Theorem eldmgm 27083

Description: Elementhood in the set of non-nonpositive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
eldmgm	⊢ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℕ0))

Proof of Theorem eldmgm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldif 3986	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝐴 ∈ (ℤ ∖ ℕ)))
2		eldif 3986	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ ∖ ℕ) ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℕ))
3		elznn 12655	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℕ ∨ -𝐴 ∈ ℕ0)))
4	3	simprbi 496	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 ∈ ℕ ∨ -𝐴 ∈ ℕ0))
5	4	orcanai 1003	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℕ) → -𝐴 ∈ ℕ0)
6		negneg 11586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → --𝐴 = 𝐴)
7	6	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝐴 ∈ ℕ0) → --𝐴 = 𝐴)
8		nn0negz 12681	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-𝐴 ∈ ℕ0 → --𝐴 ∈ ℤ)
9	8	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝐴 ∈ ℕ0) → --𝐴 ∈ ℤ)
10	7, 9	eqeltrrd 2845	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝐴 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℤ)
11	10	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℤ))
12		nngt0 12324	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)
13		nnre 12300	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
14	13	lt0neg2d 11860	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (0 < 𝐴 ↔ -𝐴 < 0))
15	12, 14	mpbid 232	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → -𝐴 < 0)
16	13	renegcld 11717	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → -𝐴 ∈ ℝ)
17		0re 11292	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ
18		ltnle 11369	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (-𝐴 < 0 ↔ ¬ 0 ≤ -𝐴))
19	16, 17, 18	sylancl 585	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (-𝐴 < 0 ↔ ¬ 0 ≤ -𝐴))
20	15, 19	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ¬ 0 ≤ -𝐴)
21		nn0ge0 12578	. . . . . . . 8 ⊢ (-𝐴 ∈ ℕ0 → 0 ≤ -𝐴)
22	20, 21	nsyl3 138	. . . . . . 7 ⊢ (-𝐴 ∈ ℕ0 → ¬ 𝐴 ∈ ℕ)
23	11, 22	jca2 513	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℕ)))
24	5, 23	impbid2 226	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℕ) ↔ -𝐴 ∈ ℕ0))
25	2, 24	bitrid 283	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ∈ (ℤ ∖ ℕ) ↔ -𝐴 ∈ ℕ0))
26	25	notbid 318	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (¬ 𝐴 ∈ (ℤ ∖ ℕ) ↔ ¬ -𝐴 ∈ ℕ0))
27	26	pm5.32i 574	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝐴 ∈ (ℤ ∖ ℕ)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℕ0))
28	1, 27	bitri 275	1 ⊢ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℕ0))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 846   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ∖ cdif 3973   class class class wbr 5166  ℂcc 11182  ℝcr 11183  0cc0 11184   < clt 11324   ≤ cle 11325  -cneg 11521  ℕcn 12293  ℕ₀cn0 12553  ℤcz 12639

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-n0 12554  df-z 12640

This theorem is referenced by:  dmgmaddn0  27084  dmlogdmgm  27085  dmgmaddnn0  27088  lgamgulmlem1  27090  lgamucov  27099