Theorem eldmgm 26999

Description: Elementhood in the set of non-nonpositive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
eldmgm	⊢ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℕ0))

Proof of Theorem eldmgm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldif 3954	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝐴 ∈ (ℤ ∖ ℕ)))
2		eldif 3954	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ ∖ ℕ) ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℕ))
3		elznn 12607	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℕ ∨ -𝐴 ∈ ℕ0)))
4	3	simprbi 495	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 ∈ ℕ ∨ -𝐴 ∈ ℕ0))
5	4	orcanai 1000	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℕ) → -𝐴 ∈ ℕ0)
6		negneg 11542	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → --𝐴 = 𝐴)
7	6	adantr 479	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝐴 ∈ ℕ0) → --𝐴 = 𝐴)
8		nn0negz 12633	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-𝐴 ∈ ℕ0 → --𝐴 ∈ ℤ)
9	8	adantl 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝐴 ∈ ℕ0) → --𝐴 ∈ ℤ)
10	7, 9	eqeltrrd 2826	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝐴 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℤ)
11	10	ex 411	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℤ))
12		nngt0 12276	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)
13		nnre 12252	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
14	13	lt0neg2d 11816	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (0 < 𝐴 ↔ -𝐴 < 0))
15	12, 14	mpbid 231	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → -𝐴 < 0)
16	13	renegcld 11673	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → -𝐴 ∈ ℝ)
17		0re 11248	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ
18		ltnle 11325	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (-𝐴 < 0 ↔ ¬ 0 ≤ -𝐴))
19	16, 17, 18	sylancl 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (-𝐴 < 0 ↔ ¬ 0 ≤ -𝐴))
20	15, 19	mpbid 231	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ¬ 0 ≤ -𝐴)
21		nn0ge0 12530	. . . . . . . 8 ⊢ (-𝐴 ∈ ℕ0 → 0 ≤ -𝐴)
22	20, 21	nsyl3 138	. . . . . . 7 ⊢ (-𝐴 ∈ ℕ0 → ¬ 𝐴 ∈ ℕ)
23	11, 22	jca2 512	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℕ)))
24	5, 23	impbid2 225	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℕ) ↔ -𝐴 ∈ ℕ0))
25	2, 24	bitrid 282	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ∈ (ℤ ∖ ℕ) ↔ -𝐴 ∈ ℕ0))
26	25	notbid 317	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (¬ 𝐴 ∈ (ℤ ∖ ℕ) ↔ ¬ -𝐴 ∈ ℕ0))
27	26	pm5.32i 573	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝐴 ∈ (ℤ ∖ ℕ)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℕ0))
28	1, 27	bitri 274	1 ⊢ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℕ0))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 845   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ∖ cdif 3941   class class class wbr 5149  ℂcc 11138  ℝcr 11139  0cc0 11140   < clt 11280   ≤ cle 11281  -cneg 11477  ℕcn 12245  ℕ₀cn0 12505  ℤcz 12591

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-nn 12246  df-n0 12506  df-z 12592

This theorem is referenced by:  dmgmaddn0  27000  dmlogdmgm  27001  dmgmaddnn0  27004  lgamgulmlem1  27006  lgamucov  27015