Theorem eldmgm 26985

Description: Elementhood in the set of non-nonpositive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
eldmgm	⊢ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℕ0))

Proof of Theorem eldmgm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldif 3900	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝐴 ∈ (ℤ ∖ ℕ)))
2		eldif 3900	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ ∖ ℕ) ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℕ))
3		elznn 12540	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℕ ∨ -𝐴 ∈ ℕ0)))
4	3	simprbi 497	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 ∈ ℕ ∨ -𝐴 ∈ ℕ0))
5	4	orcanai 1005	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℕ) → -𝐴 ∈ ℕ0)
6		negneg 11444	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → --𝐴 = 𝐴)
7	6	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝐴 ∈ ℕ0) → --𝐴 = 𝐴)
8		nn0negz 12565	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-𝐴 ∈ ℕ0 → --𝐴 ∈ ℤ)
9	8	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝐴 ∈ ℕ0) → --𝐴 ∈ ℤ)
10	7, 9	eqeltrrd 2838	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝐴 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℤ)
11	10	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℤ))
12		nngt0 12208	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)
13		nnre 12181	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
14	13	lt0neg2d 11720	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (0 < 𝐴 ↔ -𝐴 < 0))
15	12, 14	mpbid 232	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → -𝐴 < 0)
16	13	renegcld 11577	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → -𝐴 ∈ ℝ)
17		0re 11146	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ
18		ltnle 11225	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (-𝐴 < 0 ↔ ¬ 0 ≤ -𝐴))
19	16, 17, 18	sylancl 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (-𝐴 < 0 ↔ ¬ 0 ≤ -𝐴))
20	15, 19	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ¬ 0 ≤ -𝐴)
21		nn0ge0 12462	. . . . . . . 8 ⊢ (-𝐴 ∈ ℕ0 → 0 ≤ -𝐴)
22	20, 21	nsyl3 138	. . . . . . 7 ⊢ (-𝐴 ∈ ℕ0 → ¬ 𝐴 ∈ ℕ)
23	11, 22	jca2 513	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℕ)))
24	5, 23	impbid2 226	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℕ) ↔ -𝐴 ∈ ℕ0))
25	2, 24	bitrid 283	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ∈ (ℤ ∖ ℕ) ↔ -𝐴 ∈ ℕ0))
26	25	notbid 318	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (¬ 𝐴 ∈ (ℤ ∖ ℕ) ↔ ¬ -𝐴 ∈ ℕ0))
27	26	pm5.32i 574	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝐴 ∈ (ℤ ∖ ℕ)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℕ0))
28	1, 27	bitri 275	1 ⊢ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℕ0))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∖ cdif 3887   class class class wbr 5086  ℂcc 11036  ℝcr 11037  0cc0 11038   < clt 11179   ≤ cle 11180  -cneg 11378  ℕcn 12174  ℕ₀cn0 12437  ℤcz 12524

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7689  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6266  df-ord 6327  df-on 6328  df-lim 6329  df-suc 6330  df-iota 6455  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-n0 12438  df-z 12525

This theorem is referenced by:  dmgmaddn0  26986  dmlogdmgm  26987  dmgmaddnn0  26990  lgamgulmlem1  26992  lgamucov  27001