MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eldmgm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eldmgm 27079
Description: Elementhood in the set of non-nonpositive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
eldmgm (𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℕ0))

Proof of Theorem eldmgm
StepHypRef Expression
1 eldif 3972 . 2 (𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝐴 ∈ (ℤ ∖ ℕ)))
2 eldif 3972 . . . . 5 (𝐴 ∈ (ℤ ∖ ℕ) ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℕ))
3 elznn 12626 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℤ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℕ ∨ -𝐴 ∈ ℕ0)))
43simprbi 496 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 ∈ ℕ ∨ -𝐴 ∈ ℕ0))
54orcanai 1004 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℕ) → -𝐴 ∈ ℕ0)
6 negneg 11556 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → --𝐴 = 𝐴)
76adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝐴 ∈ ℕ0) → --𝐴 = 𝐴)
8 nn0negz 12652 . . . . . . . . . 10 (-𝐴 ∈ ℕ0 → --𝐴 ∈ ℤ)
98adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝐴 ∈ ℕ0) → --𝐴 ∈ ℤ)
107, 9eqeltrrd 2839 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝐴 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℤ)
1110ex 412 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (-𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ))
12 nngt0 12294 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)
13 nnre 12270 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
1413lt0neg2d 11830 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℕ → (0 < 𝐴 ↔ -𝐴 < 0))
1512, 14mpbid 232 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℕ → -𝐴 < 0)
1613renegcld 11687 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℕ → -𝐴 ∈ ℝ)
17 0re 11260 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ
18 ltnle 11337 . . . . . . . . . 10 ((-𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (-𝐴 < 0 ↔ ¬ 0 ≤ -𝐴))
1916, 17, 18sylancl 586 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℕ → (-𝐴 < 0 ↔ ¬ 0 ≤ -𝐴))
2015, 19mpbid 232 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℕ → ¬ 0 ≤ -𝐴)
21 nn0ge0 12548 . . . . . . . 8 (-𝐴 ∈ ℕ0 → 0 ≤ -𝐴)
2220, 21nsyl3 138 . . . . . . 7 (-𝐴 ∈ ℕ0 → ¬ 𝐴 ∈ ℕ)
2311, 22jca2 513 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (-𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℕ)))
245, 23impbid2 226 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℕ) ↔ -𝐴 ∈ ℕ0))
252, 24bitrid 283 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ∈ (ℤ ∖ ℕ) ↔ -𝐴 ∈ ℕ0))
2625notbid 318 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (¬ 𝐴 ∈ (ℤ ∖ ℕ) ↔ ¬ -𝐴 ∈ ℕ0))
2726pm5.32i 574 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝐴 ∈ (ℤ ∖ ℕ)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℕ0))
281, 27bitri 275 1 (𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℕ0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 206  wa 395  wo 847   = wceq 1536  wcel 2105  cdif 3959   class class class wbr 5147  cc 11150  cr 11151  0cc0 11152   < clt 11292  cle 11293  -cneg 11490  cn 12263  0cn0 12523  cz 12610
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-n0 12524  df-z 12611
This theorem is referenced by:  dmgmaddn0  27080  dmlogdmgm  27081  dmgmaddnn0  27084  lgamgulmlem1  27086  lgamucov  27095
  Copyright terms: Public domain W3C validator