MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eldmgm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eldmgm 27065
Description: Elementhood in the set of non-nonpositive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
eldmgm (𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℕ0))

Proof of Theorem eldmgm
StepHypRef Expression
1 eldif 3961 . 2 (𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝐴 ∈ (ℤ ∖ ℕ)))
2 eldif 3961 . . . . 5 (𝐴 ∈ (ℤ ∖ ℕ) ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℕ))
3 elznn 12629 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℤ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℕ ∨ -𝐴 ∈ ℕ0)))
43simprbi 496 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 ∈ ℕ ∨ -𝐴 ∈ ℕ0))
54orcanai 1005 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℕ) → -𝐴 ∈ ℕ0)
6 negneg 11559 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → --𝐴 = 𝐴)
76adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝐴 ∈ ℕ0) → --𝐴 = 𝐴)
8 nn0negz 12655 . . . . . . . . . 10 (-𝐴 ∈ ℕ0 → --𝐴 ∈ ℤ)
98adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝐴 ∈ ℕ0) → --𝐴 ∈ ℤ)
107, 9eqeltrrd 2842 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝐴 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℤ)
1110ex 412 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (-𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ))
12 nngt0 12297 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)
13 nnre 12273 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
1413lt0neg2d 11833 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℕ → (0 < 𝐴 ↔ -𝐴 < 0))
1512, 14mpbid 232 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℕ → -𝐴 < 0)
1613renegcld 11690 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℕ → -𝐴 ∈ ℝ)
17 0re 11263 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ
18 ltnle 11340 . . . . . . . . . 10 ((-𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (-𝐴 < 0 ↔ ¬ 0 ≤ -𝐴))
1916, 17, 18sylancl 586 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℕ → (-𝐴 < 0 ↔ ¬ 0 ≤ -𝐴))
2015, 19mpbid 232 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℕ → ¬ 0 ≤ -𝐴)
21 nn0ge0 12551 . . . . . . . 8 (-𝐴 ∈ ℕ0 → 0 ≤ -𝐴)
2220, 21nsyl3 138 . . . . . . 7 (-𝐴 ∈ ℕ0 → ¬ 𝐴 ∈ ℕ)
2311, 22jca2 513 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (-𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℕ)))
245, 23impbid2 226 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℕ) ↔ -𝐴 ∈ ℕ0))
252, 24bitrid 283 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ∈ (ℤ ∖ ℕ) ↔ -𝐴 ∈ ℕ0))
2625notbid 318 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (¬ 𝐴 ∈ (ℤ ∖ ℕ) ↔ ¬ -𝐴 ∈ ℕ0))
2726pm5.32i 574 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝐴 ∈ (ℤ ∖ ℕ)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℕ0))
281, 27bitri 275 1 (𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℕ0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 206  wa 395  wo 848   = wceq 1540  wcel 2108  cdif 3948   class class class wbr 5143  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155   < clt 11295  cle 11296  -cneg 11493  cn 12266  0cn0 12526  cz 12613
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614
This theorem is referenced by:  dmgmaddn0  27066  dmlogdmgm  27067  dmgmaddnn0  27070  lgamgulmlem1  27072  lgamucov  27081
  Copyright terms: Public domain W3C validator