Theorem eldmgm 27197

Description: Elementhood in the set of non-nonpositive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
eldmgm	⊢ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℕ0))

Proof of Theorem eldmgm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldif 3914	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝐴 ∈ (ℤ ∖ ℕ)))
2		eldif 3914	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ ∖ ℕ) ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℕ))
3		elznn 12613	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℕ ∨ -𝐴 ∈ ℕ0)))
4	3	simprbi 502	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 ∈ ℕ ∨ -𝐴 ∈ ℕ0))
5	4	orcanai 1017	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℕ) → -𝐴 ∈ ℕ0)
6		negneg 11514	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → --𝐴 = 𝐴)
7	6	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝐴 ∈ ℕ0) → --𝐴 = 𝐴)
8		nn0negz 12638	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-𝐴 ∈ ℕ0 → --𝐴 ∈ ℤ)
9	8	adantl 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝐴 ∈ ℕ0) → --𝐴 ∈ ℤ)
10	7, 9	eqeltrrd 2863	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝐴 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℤ)
11	10	ex 417	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℤ))
12		nngt0 12273	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)
13		nnre 12246	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
14	13	lt0neg2d 11790	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (0 < 𝐴 ↔ -𝐴 < 0))
15	12, 14	mpbid 235	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → -𝐴 < 0)
16	13	renegcld 11647	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → -𝐴 ∈ ℝ)
17		0re 11216	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ
18		ltnle 11295	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (-𝐴 < 0 ↔ ¬ 0 ≤ -𝐴))
19	16, 17, 18	sylancl 597	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (-𝐴 < 0 ↔ ¬ 0 ≤ -𝐴))
20	15, 19	mpbid 235	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ¬ 0 ≤ -𝐴)
21		nn0ge0 12535	. . . . . . . 8 ⊢ (-𝐴 ∈ ℕ0 → 0 ≤ -𝐴)
22	20, 21	nsyl3 139	. . . . . . 7 ⊢ (-𝐴 ∈ ℕ0 → ¬ 𝐴 ∈ ℕ)
23	11, 22	jca2 522	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℕ)))
24	5, 23	impbid2 229	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℕ) ↔ -𝐴 ∈ ℕ0))
25	2, 24	bitrid 286	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ∈ (ℤ ∖ ℕ) ↔ -𝐴 ∈ ℕ0))
26	25	notbid 321	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (¬ 𝐴 ∈ (ℤ ∖ ℕ) ↔ ¬ -𝐴 ∈ ℕ0))
27	26	pm5.32i 584	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝐴 ∈ (ℤ ∖ ℕ)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℕ0))
28	1, 27	bitri 278	1 ⊢ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℕ0))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   ∖ cdif 3901   class class class wbr 5108  ℂcc 11104  ℝcr 11105  0cc0 11106   < clt 11249   ≤ cle 11250  -cneg 11448  ℕcn 12239  ℕ₀cn0 12510  ℤcz 12597

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-nn 12240  df-n0 12511  df-z 12598

This theorem is used by:  dmgmaddn0  27198  dmlogdmgm  27199  dmgmaddnn0  27202  lgamgulmlem1  27204  lgamucov  27213