Theorem zzlesq 14220

Description: An integer is less than or equal to its square. (Contributed by BJ, 6-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
zzlesq	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ≤ (𝑁↑2))

Proof of Theorem zzlesq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elznn 12585	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ0)))
2		animorrl 994	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 ∈ ℕ ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)))
3		olc 879	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ ℕ ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)))
4	2, 3	jaodan 970	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑁 ∈ ℕ ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)))
5	1, 4	sylbi 219	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℕ ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)))
6		nnlesq 14219	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≤ (𝑁↑2))
7		simpl 486	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
8		0red 11185	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℝ)
9	7	resqcld 14139	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁↑2) ∈ ℝ)
10		nn0ge0 12507	. . . . 5 ⊢ (-𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ -𝑁)
11		le0neg1 11696	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝑁))
12	11	biimpar 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ -𝑁) → 𝑁 ≤ 0)
13	10, 12	sylan2 602	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ≤ 0)
14	7	sqge0d 14151	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (𝑁↑2))
15	7, 8, 9, 13, 14	letrd 11341	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ≤ (𝑁↑2))
16	6, 15	jaoi 868	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑁 ≤ (𝑁↑2))
17	5, 16	syl 17	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ≤ (𝑁↑2))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∨ wo 858   ∈ wcel 2143   class class class wbr 5101  (class class class)co 7397  ℝcr 11073  0cc0 11074   ≤ cle 11218  -cneg 11416  ℕcn 12211  2c2 12273  ℕ₀cn0 12482  ℤcz 12569  ↑cexp 14075

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7719  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6289  df-ord 6350  df-on 6351  df-lim 6352  df-suc 6353  df-iota 6478  df-fun 6524  df-fn 6525  df-f 6526  df-f1 6527  df-fo 6528  df-f1o 6529  df-fv 6530  df-riota 7354  df-ov 7400  df-oprab 7401  df-mpo 7402  df-om 7848  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8382  df-er 8679  df-en 8929  df-dom 8930  df-sdom 8931  df-pnf 11219  df-mnf 11220  df-xr 11221  df-ltxr 11222  df-le 11223  df-sub 11417  df-neg 11418  df-nn 12212  df-2 12281  df-n0 12483  df-z 12570  df-uz 12841  df-seq 14016  df-exp 14076

This theorem is referenced by: (None)