Theorem zzlesq 14207

Description: An integer is less than or equal to its square. (Contributed by BJ, 6-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
zzlesq	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ≤ (𝑁↑2))

Proof of Theorem zzlesq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elznn 12610	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ0)))
2		animorrl 978	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 ∈ ℕ ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)))
3		olc 866	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ ℕ ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)))
4	2, 3	jaodan 955	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑁 ∈ ℕ ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)))
5	1, 4	sylbi 216	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℕ ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)))
6		nnlesq 14206	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≤ (𝑁↑2))
7		simpl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
8		0red 11253	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℝ)
9	7	resqcld 14127	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁↑2) ∈ ℝ)
10		nn0ge0 12533	. . . . 5 ⊢ (-𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ -𝑁)
11		le0neg1 11758	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝑁))
12	11	biimpar 476	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ -𝑁) → 𝑁 ≤ 0)
13	10, 12	sylan2 591	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ≤ 0)
14	7	sqge0d 14139	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (𝑁↑2))
15	7, 8, 9, 13, 14	letrd 11407	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ≤ (𝑁↑2))
16	6, 15	jaoi 855	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑁 ≤ (𝑁↑2))
17	5, 16	syl 17	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ≤ (𝑁↑2))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∨ wo 845   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5150  (class class class)co 7424  ℝcr 11143  0cc0 11144   ≤ cle 11285  -cneg 11481  ℕcn 12248  2c2 12303  ℕ₀cn0 12508  ℤcz 12594  ↑cexp 14064

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7875  df-2nd 7998  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-er 8729  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-nn 12249  df-2 12311  df-n0 12509  df-z 12595  df-uz 12859  df-seq 14005  df-exp 14065

This theorem is referenced by: (None)