Theorem zzlesq 14246

Description: An integer is less than or equal to its square. (Contributed by BJ, 6-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
zzlesq	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ≤ (𝑁↑2))

Proof of Theorem zzlesq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elznn 12631	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ0)))
2		animorrl 982	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 ∈ ℕ ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)))
3		olc 868	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ ℕ ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)))
4	2, 3	jaodan 959	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑁 ∈ ℕ ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)))
5	1, 4	sylbi 217	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℕ ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)))
6		nnlesq 14245	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≤ (𝑁↑2))
7		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
8		0red 11265	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℝ)
9	7	resqcld 14166	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁↑2) ∈ ℝ)
10		nn0ge0 12553	. . . . 5 ⊢ (-𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ -𝑁)
11		le0neg1 11772	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝑁))
12	11	biimpar 477	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ -𝑁) → 𝑁 ≤ 0)
13	10, 12	sylan2 593	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ≤ 0)
14	7	sqge0d 14178	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (𝑁↑2))
15	7, 8, 9, 13, 14	letrd 11419	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ≤ (𝑁↑2))
16	6, 15	jaoi 857	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑁 ≤ (𝑁↑2))
17	5, 16	syl 17	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ≤ (𝑁↑2))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5142  (class class class)co 7432  ℝcr 11155  0cc0 11156   ≤ cle 11297  -cneg 11494  ℕcn 12267  2c2 12322  ℕ₀cn0 12528  ℤcz 12615  ↑cexp 14103

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-2 12330  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-seq 14044  df-exp 14104

This theorem is referenced by: (None)