MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  znnn0nn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem znnn0nn 12711
Description: The negative of a negative integer, is a natural number. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
znnn0nn ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → -𝑁 ∈ ℕ)

Proof of Theorem znnn0nn
StepHypRef Expression
1 simpl 481 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
21znegcld 12706 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → -𝑁 ∈ ℤ)
3 elznn 12612 . . . 4 (-𝑁 ∈ ℤ ↔ (-𝑁 ∈ ℝ ∧ (-𝑁 ∈ ℕ ∨ --𝑁 ∈ ℕ0)))
42, 3sylib 217 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → (-𝑁 ∈ ℝ ∧ (-𝑁 ∈ ℕ ∨ --𝑁 ∈ ℕ0)))
54simprd 494 . 2 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → (-𝑁 ∈ ℕ ∨ --𝑁 ∈ ℕ0))
6 zcn 12601 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
76adantr 479 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
87negnegd 11600 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → --𝑁 = 𝑁)
9 simpr 483 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → ¬ 𝑁 ∈ ℕ0)
108, 9eqneltrd 2849 . 2 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → ¬ --𝑁 ∈ ℕ0)
11 pm2.24 124 . . 3 (--𝑁 ∈ ℕ0 → (¬ --𝑁 ∈ ℕ0 → -𝑁 ∈ ℕ))
1211jao1i 856 . 2 ((-𝑁 ∈ ℕ ∨ --𝑁 ∈ ℕ0) → (¬ --𝑁 ∈ ℕ0 → -𝑁 ∈ ℕ))
135, 10, 12sylc 65 1 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → -𝑁 ∈ ℕ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 394  wo 845  wcel 2098  cc 11144  cr 11145  -cneg 11483  cn 12250  0cn0 12510  cz 12596
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-ltxr 11291  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-n0 12511  df-z 12597
This theorem is referenced by:  negn0nposznnd  41887  fperiodmul  44715  dignn0fr  47752
  Copyright terms: Public domain W3C validator