MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  znnn0nn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem znnn0nn 11907
Description: The negative of a negative integer, is a natural number. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
znnn0nn ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → -𝑁 ∈ ℕ)

Proof of Theorem znnn0nn
StepHypRef Expression
1 simpl 475 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
21znegcld 11902 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → -𝑁 ∈ ℤ)
3 elznn 11809 . . . 4 (-𝑁 ∈ ℤ ↔ (-𝑁 ∈ ℝ ∧ (-𝑁 ∈ ℕ ∨ --𝑁 ∈ ℕ0)))
42, 3sylib 210 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → (-𝑁 ∈ ℝ ∧ (-𝑁 ∈ ℕ ∨ --𝑁 ∈ ℕ0)))
54simprd 488 . 2 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → (-𝑁 ∈ ℕ ∨ --𝑁 ∈ ℕ0))
6 zcn 11798 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
76adantr 473 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
87negnegd 10789 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → --𝑁 = 𝑁)
9 simpr 477 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → ¬ 𝑁 ∈ ℕ0)
108, 9eqneltrd 2885 . 2 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → ¬ --𝑁 ∈ ℕ0)
11 pm2.24 122 . . 3 (--𝑁 ∈ ℕ0 → (¬ --𝑁 ∈ ℕ0 → -𝑁 ∈ ℕ))
1211jao1i 844 . 2 ((-𝑁 ∈ ℕ ∨ --𝑁 ∈ ℕ0) → (¬ --𝑁 ∈ ℕ0 → -𝑁 ∈ ℕ))
135, 10, 12sylc 65 1 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → -𝑁 ∈ ℕ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 387  wo 833  wcel 2050  cc 10333  cr 10334  -cneg 10671  cn 11439  0cn0 11707  cz 11793
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3682  df-csb 3787  df-dif 3832  df-un 3834  df-in 3836  df-ss 3843  df-pss 3845  df-nul 4179  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-iun 4794  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-om 7397  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-er 8089  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-ltxr 10479  df-sub 10672  df-neg 10673  df-nn 11440  df-n0 11708  df-z 11794
This theorem is referenced by:  negn0nposznnd  38606  fperiodmul  41006  dignn0fr  44035
  Copyright terms: Public domain W3C validator