Theorem znnn0nn 11692

Description: The negative of a negative integer, is a natural number. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
znnn0nn	⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → -𝑁 ∈ ℕ)

Proof of Theorem znnn0nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 468	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
2	1	znegcld 11687	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → -𝑁 ∈ ℤ)
3		elznn 11596	. . . 4 ⊢ (-𝑁 ∈ ℤ ↔ (-𝑁 ∈ ℝ ∧ (-𝑁 ∈ ℕ ∨ --𝑁 ∈ ℕ0)))
4	2, 3	sylib 208	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → (-𝑁 ∈ ℝ ∧ (-𝑁 ∈ ℕ ∨ --𝑁 ∈ ℕ0)))
5	4	simprd 483	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → (-𝑁 ∈ ℕ ∨ --𝑁 ∈ ℕ0))
6		zcn 11585	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
7	6	adantr 466	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
8	7	negnegd 10585	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → --𝑁 = 𝑁)
9		simpr 471	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → ¬ 𝑁 ∈ ℕ0)
10	8, 9	eqneltrd 2869	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → ¬ --𝑁 ∈ ℕ0)
11		ax-1 6	. . 3 ⊢ (-𝑁 ∈ ℕ → (¬ --𝑁 ∈ ℕ0 → -𝑁 ∈ ℕ))
12		pm2.24 122	. . 3 ⊢ (--𝑁 ∈ ℕ0 → (¬ --𝑁 ∈ ℕ0 → -𝑁 ∈ ℕ))
13	11, 12	jaoi 846	. 2 ⊢ ((-𝑁 ∈ ℕ ∨ --𝑁 ∈ ℕ0) → (¬ --𝑁 ∈ ℕ0 → -𝑁 ∈ ℕ))
14	5, 10, 13	sylc 65	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → -𝑁 ∈ ℕ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 382   ∨ wo 836   ∈ wcel 2145  ℂcc 10136  ℝcr 10137  -cneg 10469  ℕcn 11222  ℕ₀cn0 11495  ℤcz 11580

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5821  df-ord 5867  df-on 5868  df-lim 5869  df-suc 5870  df-iota 5992  df-fun 6031  df-fn 6032  df-f 6033  df-f1 6034  df-fo 6035  df-f1o 6036  df-fv 6037  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7213  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-n0 11496  df-z 11581

This theorem is referenced by:  fperiodmul  40032  dignn0fr  42920