Theorem zle0orge1 12532

Description: There is no integer in the open unit interval, i.e., an integer is either less than or equal to 0 or greater than or equal to 1. (Contributed by AV, 4-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
zle0orge1	⊢ (𝑍 ∈ ℤ → (𝑍 ≤ 0 ∨ 1 ≤ 𝑍))

Proof of Theorem zle0orge1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elznn 12531	. 2 ⊢ (𝑍 ∈ ℤ ↔ (𝑍 ∈ ℝ ∧ (𝑍 ∈ ℕ ∨ -𝑍 ∈ ℕ0)))
2		nnge1 12196	. . . . . 6 ⊢ (𝑍 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑍)
3	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑍 ∈ ℝ → (𝑍 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑍))
4		elnn0z 12528	. . . . . 6 ⊢ (-𝑍 ∈ ℕ0 ↔ (-𝑍 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ -𝑍))
5		le0neg1 11649	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑍 ∈ ℝ → (𝑍 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝑍))
6	5	biimprd 249	. . . . . . 7 ⊢ (𝑍 ∈ ℝ → (0 ≤ -𝑍 → 𝑍 ≤ 0))
7	6	adantld 491	. . . . . 6 ⊢ (𝑍 ∈ ℝ → ((-𝑍 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ -𝑍) → 𝑍 ≤ 0))
8	4, 7	biimtrid 243	. . . . 5 ⊢ (𝑍 ∈ ℝ → (-𝑍 ∈ ℕ0 → 𝑍 ≤ 0))
9	3, 8	orim12d 972	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ ℝ → ((𝑍 ∈ ℕ ∨ -𝑍 ∈ ℕ0) → (1 ≤ 𝑍 ∨ 𝑍 ≤ 0)))
10	9	imp 407	. . 3 ⊢ ((𝑍 ∈ ℝ ∧ (𝑍 ∈ ℕ ∨ -𝑍 ∈ ℕ0)) → (1 ≤ 𝑍 ∨ 𝑍 ≤ 0))
11	10	orcomd 877	. 2 ⊢ ((𝑍 ∈ ℝ ∧ (𝑍 ∈ ℕ ∨ -𝑍 ∈ ℕ0)) → (𝑍 ≤ 0 ∨ 1 ≤ 𝑍))
12	1, 11	sylbi 218	1 ⊢ (𝑍 ∈ ℤ → (𝑍 ≤ 0 ∨ 1 ≤ 𝑍))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 853   ∈ wcel 2119   class class class wbr 5072  ℝcr 11028  0cc0 11029  1c1 11030   ≤ cle 11171  -cneg 11369  ℕcn 12165  ℕ₀cn0 12428  ℤcz 12515

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-n0 12429  df-z 12516

This theorem is referenced by:  2mulprm  16653