MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zle0orge1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zle0orge1 12580
Description: There is no integer in the open unit interval, i.e., an integer is either less than or equal to 0 or greater than or equal to 1. (Contributed by AV, 4-Jun-2023.)
Assertion
Ref Expression
zle0orge1 (𝑍 ∈ ℤ → (𝑍 ≤ 0 ∨ 1 ≤ 𝑍))

Proof of Theorem zle0orge1
StepHypRef Expression
1 elznn 12579 . 2 (𝑍 ∈ ℤ ↔ (𝑍 ∈ ℝ ∧ (𝑍 ∈ ℕ ∨ -𝑍 ∈ ℕ0)))
2 nnge1 12245 . . . . . 6 (𝑍 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑍)
32a1i 11 . . . . 5 (𝑍 ∈ ℝ → (𝑍 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑍))
4 elnn0z 12576 . . . . . 6 (-𝑍 ∈ ℕ0 ↔ (-𝑍 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ -𝑍))
5 le0neg1 11727 . . . . . . . 8 (𝑍 ∈ ℝ → (𝑍 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝑍))
65biimprd 247 . . . . . . 7 (𝑍 ∈ ℝ → (0 ≤ -𝑍𝑍 ≤ 0))
76adantld 490 . . . . . 6 (𝑍 ∈ ℝ → ((-𝑍 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ -𝑍) → 𝑍 ≤ 0))
84, 7biimtrid 241 . . . . 5 (𝑍 ∈ ℝ → (-𝑍 ∈ ℕ0𝑍 ≤ 0))
93, 8orim12d 962 . . . 4 (𝑍 ∈ ℝ → ((𝑍 ∈ ℕ ∨ -𝑍 ∈ ℕ0) → (1 ≤ 𝑍𝑍 ≤ 0)))
109imp 406 . . 3 ((𝑍 ∈ ℝ ∧ (𝑍 ∈ ℕ ∨ -𝑍 ∈ ℕ0)) → (1 ≤ 𝑍𝑍 ≤ 0))
1110orcomd 868 . 2 ((𝑍 ∈ ℝ ∧ (𝑍 ∈ ℕ ∨ -𝑍 ∈ ℕ0)) → (𝑍 ≤ 0 ∨ 1 ≤ 𝑍))
121, 11sylbi 216 1 (𝑍 ∈ ℤ → (𝑍 ≤ 0 ∨ 1 ≤ 𝑍))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wo 844  wcel 2105   class class class wbr 5148  cr 11113  0cc0 11114  1c1 11115  cle 11254  -cneg 11450  cn 12217  0cn0 12477  cz 12563
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-n0 12478  df-z 12564
This theorem is referenced by:  2mulprm  16635
  Copyright terms: Public domain W3C validator