Theorem zle0orge1 12625

Description: There is no integer in the open unit interval, i.e., an integer is either less than or equal to 0 or greater than or equal to 1. (Contributed by AV, 4-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
zle0orge1	⊢ (𝑍 ∈ ℤ → (𝑍 ≤ 0 ∨ 1 ≤ 𝑍))

Proof of Theorem zle0orge1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elznn 12624	. 2 ⊢ (𝑍 ∈ ℤ ↔ (𝑍 ∈ ℝ ∧ (𝑍 ∈ ℕ ∨ -𝑍 ∈ ℕ0)))
2		nnge1 12281	. . . . . 6 ⊢ (𝑍 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑍)
3	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑍 ∈ ℝ → (𝑍 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑍))
4		elnn0z 12621	. . . . . 6 ⊢ (-𝑍 ∈ ℕ0 ↔ (-𝑍 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ -𝑍))
5		le0neg1 11739	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑍 ∈ ℝ → (𝑍 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝑍))
6	5	biimprd 251	. . . . . . 7 ⊢ (𝑍 ∈ ℝ → (0 ≤ -𝑍 → 𝑍 ≤ 0))
7	6	adantld 496	. . . . . 6 ⊢ (𝑍 ∈ ℝ → ((-𝑍 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ -𝑍) → 𝑍 ≤ 0))
8	4, 7	biimtrid 245	. . . . 5 ⊢ (𝑍 ∈ ℝ → (-𝑍 ∈ ℕ0 → 𝑍 ≤ 0))
9	3, 8	orim12d 979	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ ℝ → ((𝑍 ∈ ℕ ∨ -𝑍 ∈ ℕ0) → (1 ≤ 𝑍 ∨ 𝑍 ≤ 0)))
10	9	imp 412	. . 3 ⊢ ((𝑍 ∈ ℝ ∧ (𝑍 ∈ ℕ ∨ -𝑍 ∈ ℕ0)) → (1 ≤ 𝑍 ∨ 𝑍 ≤ 0))
11	10	orcomd 885	. 2 ⊢ ((𝑍 ∈ ℝ ∧ (𝑍 ∈ ℕ ∨ -𝑍 ∈ ℕ0)) → (𝑍 ≤ 0 ∨ 1 ≤ 𝑍))
12	1, 11	sylbi 220	1 ⊢ (𝑍 ∈ ℤ → (𝑍 ≤ 0 ∨ 1 ≤ 𝑍))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5111  ℝcr 11116  0cc0 11117  1c1 11118   ≤ cle 11261  -cneg 11459  ℕcn 12250  ℕ₀cn0 12521  ℤcz 12608

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-nn 12251  df-n0 12522  df-z 12609

This theorem is used by:  2mulprm  16775