Theorem zle0orge1 12608

Description: There is no integer in the open unit interval, i.e., an integer is either less than or equal to 0 or greater than or equal to 1. (Contributed by AV, 4-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
zle0orge1	⊢ (𝑍 ∈ ℤ → (𝑍 ≤ 0 ∨ 1 ≤ 𝑍))

Proof of Theorem zle0orge1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elznn 12607	. 2 ⊢ (𝑍 ∈ ℤ ↔ (𝑍 ∈ ℝ ∧ (𝑍 ∈ ℕ ∨ -𝑍 ∈ ℕ0)))
2		nnge1 12264	. . . . . 6 ⊢ (𝑍 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑍)
3	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑍 ∈ ℝ → (𝑍 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑍))
4		elnn0z 12604	. . . . . 6 ⊢ (-𝑍 ∈ ℕ0 ↔ (-𝑍 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ -𝑍))
5		le0neg1 11722	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑍 ∈ ℝ → (𝑍 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝑍))
6	5	biimprd 251	. . . . . . 7 ⊢ (𝑍 ∈ ℝ → (0 ≤ -𝑍 → 𝑍 ≤ 0))
7	6	adantld 495	. . . . . 6 ⊢ (𝑍 ∈ ℝ → ((-𝑍 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ -𝑍) → 𝑍 ≤ 0))
8	4, 7	biimtrid 245	. . . . 5 ⊢ (𝑍 ∈ ℝ → (-𝑍 ∈ ℕ0 → 𝑍 ≤ 0))
9	3, 8	orim12d 979	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ ℝ → ((𝑍 ∈ ℕ ∨ -𝑍 ∈ ℕ0) → (1 ≤ 𝑍 ∨ 𝑍 ≤ 0)))
10	9	imp 411	. . 3 ⊢ ((𝑍 ∈ ℝ ∧ (𝑍 ∈ ℕ ∨ -𝑍 ∈ ℕ0)) → (1 ≤ 𝑍 ∨ 𝑍 ≤ 0))
11	10	orcomd 884	. 2 ⊢ ((𝑍 ∈ ℝ ∧ (𝑍 ∈ ℕ ∨ -𝑍 ∈ ℕ0)) → (𝑍 ≤ 0 ∨ 1 ≤ 𝑍))
12	1, 11	sylbi 220	1 ⊢ (𝑍 ∈ ℤ → (𝑍 ≤ 0 ∨ 1 ≤ 𝑍))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∨ wo 860   ∈ wcel 2149   class class class wbr 5113  ℝcr 11099  0cc0 11100  1c1 11101   ≤ cle 11244  -cneg 11442  ℕcn 12233  ℕ₀cn0 12504  ℤcz 12591

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-n0 12505  df-z 12592

This theorem is referenced by:  2mulprm  16751