Theorem srngnvl 20729

Description: The involution function in a star ring is an involution. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
srngcl.i	⊢ ∗ = (*𝑟‘𝑅)
srngcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
srngnvl	⊢ ((𝑅 ∈ *-Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( ∗ ‘( ∗ ‘𝑋)) = 𝑋)

Proof of Theorem srngnvl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		srngcl.i	. . . 4 ⊢ ∗ = (*𝑟‘𝑅)
2		srngcl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3	1, 2	srngcl 20728	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ *-Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( ∗ ‘𝑋) ∈ 𝐵)
4		eqid 2727	. . . 4 ⊢ (*rf‘𝑅) = (*rf‘𝑅)
5	2, 1, 4	stafval 20721	. . 3 ⊢ (( ∗ ‘𝑋) ∈ 𝐵 → ((*rf‘𝑅)‘( ∗ ‘𝑋)) = ( ∗ ‘( ∗ ‘𝑋)))
6	3, 5	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ *-Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((*rf‘𝑅)‘( ∗ ‘𝑋)) = ( ∗ ‘( ∗ ‘𝑋)))
7	4	srngcnv 20726	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ *-Ring → (*rf‘𝑅) = ◡(*rf‘𝑅))
8	7	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ *-Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (*rf‘𝑅) = ◡(*rf‘𝑅))
9	8	fveq1d 6893	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ *-Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((*rf‘𝑅)‘((*rf‘𝑅)‘𝑋)) = (◡(*rf‘𝑅)‘((*rf‘𝑅)‘𝑋)))
10	2, 1, 4	stafval 20721	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → ((*rf‘𝑅)‘𝑋) = ( ∗ ‘𝑋))
11	10	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ *-Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((*rf‘𝑅)‘𝑋) = ( ∗ ‘𝑋))
12	11	fveq2d 6895	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ *-Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((*rf‘𝑅)‘((*rf‘𝑅)‘𝑋)) = ((*rf‘𝑅)‘( ∗ ‘𝑋)))
13	4, 2	srngf1o 20727	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ *-Ring → (*rf‘𝑅):𝐵–1-1-onto→𝐵)
14		f1ocnvfv1 7279	. . . 4 ⊢ (((*rf‘𝑅):𝐵–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (◡(*rf‘𝑅)‘((*rf‘𝑅)‘𝑋)) = 𝑋)
15	13, 14	sylan 579	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ *-Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (◡(*rf‘𝑅)‘((*rf‘𝑅)‘𝑋)) = 𝑋)
16	9, 12, 15	3eqtr3d 2775	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ *-Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((*rf‘𝑅)‘( ∗ ‘𝑋)) = 𝑋)
17	6, 16	eqtr3d 2769	1 ⊢ ((𝑅 ∈ *-Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( ∗ ‘( ∗ ‘𝑋)) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ^◡ccnv 5671  –1-1-onto→wf1o 6541  ‘cfv 6542  Basecbs 17173  *_𝑟cstv 17228  *_rfcstf 20716  *-Ringcsr 20717

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-map 8840  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12237  df-2 12299  df-sets 17126  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17174  df-plusg 17239  df-0g 17416  df-mhm 18733  df-ghm 19161  df-mgp 20068  df-ur 20115  df-ring 20168  df-rhm 20404  df-staf 20718  df-srng 20719

This theorem is referenced by:  ipassr2  21572