Theorem srngnvl 20795

Description: The involution function in a star ring is an involution. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
srngcl.i	⊢ ∗ = (*𝑟‘𝑅)
srngcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
srngnvl	⊢ ((𝑅 ∈ *-Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( ∗ ‘( ∗ ‘𝑋)) = 𝑋)

Proof of Theorem srngnvl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		srngcl.i	. . . 4 ⊢ ∗ = (*𝑟‘𝑅)
2		srngcl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3	1, 2	srngcl 20794	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ *-Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( ∗ ‘𝑋) ∈ 𝐵)
4		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (*rf‘𝑅) = (*rf‘𝑅)
5	2, 1, 4	stafval 20787	. . 3 ⊢ (( ∗ ‘𝑋) ∈ 𝐵 → ((*rf‘𝑅)‘( ∗ ‘𝑋)) = ( ∗ ‘( ∗ ‘𝑋)))
6	3, 5	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ *-Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((*rf‘𝑅)‘( ∗ ‘𝑋)) = ( ∗ ‘( ∗ ‘𝑋)))
7	4	srngcnv 20792	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ *-Ring → (*rf‘𝑅) = ◡(*rf‘𝑅))
8	7	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ *-Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (*rf‘𝑅) = ◡(*rf‘𝑅))
9	8	fveq1d 6844	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ *-Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((*rf‘𝑅)‘((*rf‘𝑅)‘𝑋)) = (◡(*rf‘𝑅)‘((*rf‘𝑅)‘𝑋)))
10	2, 1, 4	stafval 20787	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → ((*rf‘𝑅)‘𝑋) = ( ∗ ‘𝑋))
11	10	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ *-Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((*rf‘𝑅)‘𝑋) = ( ∗ ‘𝑋))
12	11	fveq2d 6846	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ *-Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((*rf‘𝑅)‘((*rf‘𝑅)‘𝑋)) = ((*rf‘𝑅)‘( ∗ ‘𝑋)))
13	4, 2	srngf1o 20793	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ *-Ring → (*rf‘𝑅):𝐵–1-1-onto→𝐵)
14		f1ocnvfv1 7232	. . . 4 ⊢ (((*rf‘𝑅):𝐵–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (◡(*rf‘𝑅)‘((*rf‘𝑅)‘𝑋)) = 𝑋)
15	13, 14	sylan 581	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ *-Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (◡(*rf‘𝑅)‘((*rf‘𝑅)‘𝑋)) = 𝑋)
16	9, 12, 15	3eqtr3d 2780	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ *-Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((*rf‘𝑅)‘( ∗ ‘𝑋)) = 𝑋)
17	6, 16	eqtr3d 2774	1 ⊢ ((𝑅 ∈ *-Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( ∗ ‘( ∗ ‘𝑋)) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ^◡ccnv 5631  –1-1-onto→wf1o 6499  ‘cfv 6500  Basecbs 17148  *_𝑟cstv 17191  *_rfcstf 20782  *-Ringcsr 20783

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-map 8777  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-plusg 17202  df-0g 17373  df-mhm 18720  df-ghm 19154  df-mgp 20088  df-ur 20129  df-ring 20182  df-rhm 20420  df-staf 20784  df-srng 20785

This theorem is referenced by:  ipassr2  21614