Theorem srngnvl 21108

Description: The involution function in a star ring is an involution. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
srngcl.i	⊢ ∗ = (*𝑟‘𝑅)
srngcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
srngnvl	⊢ ((𝑅 ∈ *-Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( ∗ ‘( ∗ ‘𝑋)) = 𝑋)

Proof of Theorem srngnvl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		srngcl.i	. . . 4 ⊢ ∗ = (*𝑟‘𝑅)
2		srngcl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3	1, 2	srngcl 21107	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ *-Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( ∗ ‘𝑋) ∈ 𝐵)
4		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (*rf‘𝑅) = (*rf‘𝑅)
5	2, 1, 4	stafval 21100	. . 3 ⊢ (( ∗ ‘𝑋) ∈ 𝐵 → ((*rf‘𝑅)‘( ∗ ‘𝑋)) = ( ∗ ‘( ∗ ‘𝑋)))
6	3, 5	syl 18	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ *-Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((*rf‘𝑅)‘( ∗ ‘𝑋)) = ( ∗ ‘( ∗ ‘𝑋)))
7	4	srngcnv 21105	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ *-Ring → (*rf‘𝑅) = ◡(*rf‘𝑅))
8	7	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ *-Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (*rf‘𝑅) = ◡(*rf‘𝑅))
9	8	fveq1d 6887	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ *-Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((*rf‘𝑅)‘((*rf‘𝑅)‘𝑋)) = (◡(*rf‘𝑅)‘((*rf‘𝑅)‘𝑋)))
10	2, 1, 4	stafval 21100	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → ((*rf‘𝑅)‘𝑋) = ( ∗ ‘𝑋))
11	10	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ *-Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((*rf‘𝑅)‘𝑋) = ( ∗ ‘𝑋))
12	11	fveq2d 6889	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ *-Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((*rf‘𝑅)‘((*rf‘𝑅)‘𝑋)) = ((*rf‘𝑅)‘( ∗ ‘𝑋)))
13	4, 2	srngf1o 21106	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ *-Ring → (*rf‘𝑅):𝐵–1-1-onto→𝐵)
14		f1ocnvfv1 7284	. . . 4 ⊢ (((*rf‘𝑅):𝐵–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (◡(*rf‘𝑅)‘((*rf‘𝑅)‘𝑋)) = 𝑋)
15	13, 14	sylan 592	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ *-Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (◡(*rf‘𝑅)‘((*rf‘𝑅)‘𝑋)) = 𝑋)
16	9, 12, 15	3eqtr3d 2803	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ *-Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((*rf‘𝑅)‘( ∗ ‘𝑋)) = 𝑋)
17	6, 16	eqtr3d 2797	1 ⊢ ((𝑅 ∈ *-Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( ∗ ‘( ∗ ‘𝑋)) = 𝑋)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ^◡ccnv 5649  –1-1-onto→wf1o 6537  ‘cfv 6538  Basecbs 17388  *_𝑟cstv 17431  *_rfcstf 21095  *-Ringcsr 21096

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-er 8718  df-map 8850  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-nn 12337  df-2 12406  df-sets 17343  df-slot 17361  df-ndx 17373  df-base 17389  df-plusg 17442  df-0g 17613  df-mhm 18979  df-ghm 19429  df-mgp 20362  df-ur 20409  df-ring 20462  df-rhm 20703  df-staf 21097  df-srng 21098

This theorem is used by:  ipassr2  21954