MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  srngnvl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem srngnvl 20729
Description: The involution function in a star ring is an involution. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
srngcl.i = (*𝑟𝑅)
srngcl.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
srngnvl ((𝑅 ∈ *-Ring ∧ 𝑋𝐵) → ( ‘( 𝑋)) = 𝑋)

Proof of Theorem srngnvl
StepHypRef Expression
1 srngcl.i . . . 4 = (*𝑟𝑅)
2 srngcl.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑅)
31, 2srngcl 20728 . . 3 ((𝑅 ∈ *-Ring ∧ 𝑋𝐵) → ( 𝑋) ∈ 𝐵)
4 eqid 2727 . . . 4 (*rf𝑅) = (*rf𝑅)
52, 1, 4stafval 20721 . . 3 (( 𝑋) ∈ 𝐵 → ((*rf𝑅)‘( 𝑋)) = ( ‘( 𝑋)))
63, 5syl 17 . 2 ((𝑅 ∈ *-Ring ∧ 𝑋𝐵) → ((*rf𝑅)‘( 𝑋)) = ( ‘( 𝑋)))
74srngcnv 20726 . . . . 5 (𝑅 ∈ *-Ring → (*rf𝑅) = (*rf𝑅))
87adantr 480 . . . 4 ((𝑅 ∈ *-Ring ∧ 𝑋𝐵) → (*rf𝑅) = (*rf𝑅))
98fveq1d 6893 . . 3 ((𝑅 ∈ *-Ring ∧ 𝑋𝐵) → ((*rf𝑅)‘((*rf𝑅)‘𝑋)) = ((*rf𝑅)‘((*rf𝑅)‘𝑋)))
102, 1, 4stafval 20721 . . . . 5 (𝑋𝐵 → ((*rf𝑅)‘𝑋) = ( 𝑋))
1110adantl 481 . . . 4 ((𝑅 ∈ *-Ring ∧ 𝑋𝐵) → ((*rf𝑅)‘𝑋) = ( 𝑋))
1211fveq2d 6895 . . 3 ((𝑅 ∈ *-Ring ∧ 𝑋𝐵) → ((*rf𝑅)‘((*rf𝑅)‘𝑋)) = ((*rf𝑅)‘( 𝑋)))
134, 2srngf1o 20727 . . . 4 (𝑅 ∈ *-Ring → (*rf𝑅):𝐵1-1-onto𝐵)
14 f1ocnvfv1 7279 . . . 4 (((*rf𝑅):𝐵1-1-onto𝐵𝑋𝐵) → ((*rf𝑅)‘((*rf𝑅)‘𝑋)) = 𝑋)
1513, 14sylan 579 . . 3 ((𝑅 ∈ *-Ring ∧ 𝑋𝐵) → ((*rf𝑅)‘((*rf𝑅)‘𝑋)) = 𝑋)
169, 12, 153eqtr3d 2775 . 2 ((𝑅 ∈ *-Ring ∧ 𝑋𝐵) → ((*rf𝑅)‘( 𝑋)) = 𝑋)
176, 16eqtr3d 2769 1 ((𝑅 ∈ *-Ring ∧ 𝑋𝐵) → ( ‘( 𝑋)) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1534  wcel 2099  ccnv 5671  1-1-ontowf1o 6541  cfv 6542  Basecbs 17173  *𝑟cstv 17228  *rfcstf 20716  *-Ringcsr 20717
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-map 8840  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12237  df-2 12299  df-sets 17126  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17174  df-plusg 17239  df-0g 17416  df-mhm 18733  df-ghm 19161  df-mgp 20068  df-ur 20115  df-ring 20168  df-rhm 20404  df-staf 20718  df-srng 20719
This theorem is referenced by:  ipassr2  21572
  Copyright terms: Public domain W3C validator