Theorem dihcnvid1 41720

Description: The converse isomorphism of an isomorphism. (Contributed by NM, 5-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dihcnvid1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
dihcnvid1.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihcnvid1.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
dihcnvid1	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (◡𝐼‘(𝐼‘𝑋)) = 𝑋)

Proof of Theorem dihcnvid1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dihcnvid1.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		dihcnvid1.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		dihcnvid1.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
4		eqid 2737	. . . 4 ⊢ ((DVecH‘𝐾)‘𝑊) = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (LSubSp‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) = (LSubSp‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))
6	1, 2, 3, 4, 5	dihf11 41715	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐼:𝐵–1-1→(LSubSp‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))
7		f1f1orn 6793	. . 3 ⊢ (𝐼:𝐵–1-1→(LSubSp‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) → 𝐼:𝐵–1-1-onto→ran 𝐼)
8	6, 7	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐼:𝐵–1-1-onto→ran 𝐼)
9		f1ocnvfv1 7233	. 2 ⊢ ((𝐼:𝐵–1-1-onto→ran 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (◡𝐼‘(𝐼‘𝑋)) = 𝑋)
10	8, 9	sylan 581	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (◡𝐼‘(𝐼‘𝑋)) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ^◡ccnv 5631  ran crn 5633  –1-1→wf1 6497  –1-1-onto→wf1o 6499  ‘cfv 6500  Basecbs 17181  LSubSpclss 20928  HLchlt 39798  LHypclh 40432  DVecHcdvh 41526  DIsoHcdih 41676

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7691  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117  ax-riotaBAD 39401

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7820  df-1st 7944  df-2nd 7945  df-tpos 8178  df-undef 8225  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-er 8645  df-map 8777  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-pnf 11183  df-mnf 11184  df-xr 11185  df-ltxr 11186  df-le 11187  df-sub 11381  df-neg 11382  df-nn 12177  df-2 12246  df-3 12247  df-4 12248  df-5 12249  df-6 12250  df-n0 12440  df-z 12527  df-uz 12791  df-fz 13464  df-struct 17119  df-sets 17136  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17182  df-ress 17203  df-plusg 17235  df-mulr 17236  df-sca 17238  df-vsca 17239  df-0g 17406  df-proset 18262  df-poset 18281  df-plt 18296  df-lub 18312  df-glb 18313  df-join 18314  df-meet 18315  df-p0 18391  df-p1 18392  df-lat 18400  df-clat 18467  df-mgm 18610  df-sgrp 18689  df-mnd 18705  df-submnd 18754  df-grp 18914  df-minusg 18915  df-sbg 18916  df-subg 19101  df-cntz 19294  df-lsm 19613  df-cmn 19759  df-abl 19760  df-mgp 20124  df-rng 20136  df-ur 20165  df-ring 20218  df-oppr 20319  df-dvdsr 20339  df-unit 20340  df-invr 20370  df-dvr 20383  df-drng 20710  df-lmod 20859  df-lss 20929  df-lsp 20969  df-lvec 21100  df-oposet 39624  df-ol 39626  df-oml 39627  df-covers 39714  df-ats 39715  df-atl 39746  df-cvlat 39770  df-hlat 39799  df-llines 39946  df-lplanes 39947  df-lvols 39948  df-lines 39949  df-psubsp 39951  df-pmap 39952  df-padd 40244  df-lhyp 40436  df-laut 40437  df-ldil 40552  df-ltrn 40553  df-trl 40607  df-tendo 41203  df-edring 41205  df-disoa 41477  df-dvech 41527  df-dib 41587  df-dic 41621  df-dih 41677

This theorem is referenced by:  dih0cnv  41731  dih1cnv  41736  dihatexv  41786  dochval2  41800  dochvalr2  41810  dochoc  41815  djhj  41852  dihjat6  41882