MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sadadd2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sadadd2 16345
Description: Sum of initial segments of the sadd sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
sadval.a (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„•0)
sadval.b (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† β„•0)
sadval.c 𝐢 = seq0((𝑐 ∈ 2o, π‘š ∈ β„•0 ↦ if(cadd(π‘š ∈ 𝐴, π‘š ∈ 𝐡, βˆ… ∈ 𝑐), 1o, βˆ…)), (𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 0, βˆ…, (𝑛 βˆ’ 1))))
sadcp1.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
sadcadd.k 𝐾 = β—‘(bits β†Ύ β„•0)
Assertion
Ref Expression
sadadd2 (πœ‘ β†’ ((πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁))) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘), (2↑𝑁), 0)) = ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))))
Distinct variable groups:   π‘š,𝑐,𝑛   𝐴,𝑐,π‘š   𝐡,𝑐,π‘š   𝑛,𝑁
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘š,𝑛,𝑐)   𝐴(𝑛)   𝐡(𝑛)   𝐢(π‘š,𝑛,𝑐)   𝐾(π‘š,𝑛,𝑐)   𝑁(π‘š,𝑐)

Proof of Theorem sadadd2
Dummy variables π‘˜ π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sadcp1.n . 2 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
2 oveq2 7366 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 0 β†’ (0..^π‘₯) = (0..^0))
3 fzo0 13602 . . . . . . . . . . 11 (0..^0) = βˆ…
42, 3eqtrdi 2789 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 0 β†’ (0..^π‘₯) = βˆ…)
54ineq2d 4173 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 0 β†’ ((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^π‘₯)) = ((𝐴 sadd 𝐡) ∩ βˆ…))
6 in0 4352 . . . . . . . . 9 ((𝐴 sadd 𝐡) ∩ βˆ…) = βˆ…
75, 6eqtrdi 2789 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 0 β†’ ((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^π‘₯)) = βˆ…)
87fveq2d 6847 . . . . . . 7 (π‘₯ = 0 β†’ (πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^π‘₯))) = (πΎβ€˜βˆ…))
9 sadcadd.k . . . . . . . . 9 𝐾 = β—‘(bits β†Ύ β„•0)
10 0nn0 12433 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ β„•0
11 fvres 6862 . . . . . . . . . . 11 (0 ∈ β„•0 β†’ ((bits β†Ύ β„•0)β€˜0) = (bitsβ€˜0))
1210, 11ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ((bits β†Ύ β„•0)β€˜0) = (bitsβ€˜0)
13 0bits 16324 . . . . . . . . . 10 (bitsβ€˜0) = βˆ…
1412, 13eqtr2i 2762 . . . . . . . . 9 βˆ… = ((bits β†Ύ β„•0)β€˜0)
159, 14fveq12i 6849 . . . . . . . 8 (πΎβ€˜βˆ…) = (β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜((bits β†Ύ β„•0)β€˜0))
16 bitsf1o 16330 . . . . . . . . 9 (bits β†Ύ β„•0):β„•0–1-1-ontoβ†’(𝒫 β„•0 ∩ Fin)
17 f1ocnvfv1 7223 . . . . . . . . 9 (((bits β†Ύ β„•0):β„•0–1-1-ontoβ†’(𝒫 β„•0 ∩ Fin) ∧ 0 ∈ β„•0) β†’ (β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜((bits β†Ύ β„•0)β€˜0)) = 0)
1816, 10, 17mp2an 691 . . . . . . . 8 (β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜((bits β†Ύ β„•0)β€˜0)) = 0
1915, 18eqtri 2761 . . . . . . 7 (πΎβ€˜βˆ…) = 0
208, 19eqtrdi 2789 . . . . . 6 (π‘₯ = 0 β†’ (πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^π‘₯))) = 0)
21 fveq2 6843 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 0 β†’ (πΆβ€˜π‘₯) = (πΆβ€˜0))
2221eleq2d 2820 . . . . . . 7 (π‘₯ = 0 β†’ (βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘₯) ↔ βˆ… ∈ (πΆβ€˜0)))
23 oveq2 7366 . . . . . . 7 (π‘₯ = 0 β†’ (2↑π‘₯) = (2↑0))
2422, 23ifbieq1d 4511 . . . . . 6 (π‘₯ = 0 β†’ if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘₯), (2↑π‘₯), 0) = if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜0), (2↑0), 0))
2520, 24oveq12d 7376 . . . . 5 (π‘₯ = 0 β†’ ((πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^π‘₯))) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘₯), (2↑π‘₯), 0)) = (0 + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜0), (2↑0), 0)))
264ineq2d 4173 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 0 β†’ (𝐴 ∩ (0..^π‘₯)) = (𝐴 ∩ βˆ…))
27 in0 4352 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∩ βˆ…) = βˆ…
2826, 27eqtrdi 2789 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 0 β†’ (𝐴 ∩ (0..^π‘₯)) = βˆ…)
2928fveq2d 6847 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 0 β†’ (πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^π‘₯))) = (πΎβ€˜βˆ…))
3029, 19eqtrdi 2789 . . . . . . 7 (π‘₯ = 0 β†’ (πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^π‘₯))) = 0)
314ineq2d 4173 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 0 β†’ (𝐡 ∩ (0..^π‘₯)) = (𝐡 ∩ βˆ…))
32 in0 4352 . . . . . . . . . 10 (𝐡 ∩ βˆ…) = βˆ…
3331, 32eqtrdi 2789 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 0 β†’ (𝐡 ∩ (0..^π‘₯)) = βˆ…)
3433fveq2d 6847 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 0 β†’ (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^π‘₯))) = (πΎβ€˜βˆ…))
3534, 19eqtrdi 2789 . . . . . . 7 (π‘₯ = 0 β†’ (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^π‘₯))) = 0)
3630, 35oveq12d 7376 . . . . . 6 (π‘₯ = 0 β†’ ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^π‘₯))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^π‘₯)))) = (0 + 0))
37 00id 11335 . . . . . 6 (0 + 0) = 0
3836, 37eqtrdi 2789 . . . . 5 (π‘₯ = 0 β†’ ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^π‘₯))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^π‘₯)))) = 0)
3925, 38eqeq12d 2749 . . . 4 (π‘₯ = 0 β†’ (((πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^π‘₯))) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘₯), (2↑π‘₯), 0)) = ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^π‘₯))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^π‘₯)))) ↔ (0 + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜0), (2↑0), 0)) = 0))
4039imbi2d 341 . . 3 (π‘₯ = 0 β†’ ((πœ‘ β†’ ((πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^π‘₯))) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘₯), (2↑π‘₯), 0)) = ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^π‘₯))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^π‘₯))))) ↔ (πœ‘ β†’ (0 + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜0), (2↑0), 0)) = 0)))
41 oveq2 7366 . . . . . . . 8 (π‘₯ = π‘˜ β†’ (0..^π‘₯) = (0..^π‘˜))
4241ineq2d 4173 . . . . . . 7 (π‘₯ = π‘˜ β†’ ((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^π‘₯)) = ((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^π‘˜)))
4342fveq2d 6847 . . . . . 6 (π‘₯ = π‘˜ β†’ (πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^π‘₯))) = (πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^π‘˜))))
44 fveq2 6843 . . . . . . . 8 (π‘₯ = π‘˜ β†’ (πΆβ€˜π‘₯) = (πΆβ€˜π‘˜))
4544eleq2d 2820 . . . . . . 7 (π‘₯ = π‘˜ β†’ (βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘₯) ↔ βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘˜)))
46 oveq2 7366 . . . . . . 7 (π‘₯ = π‘˜ β†’ (2↑π‘₯) = (2β†‘π‘˜))
4745, 46ifbieq1d 4511 . . . . . 6 (π‘₯ = π‘˜ β†’ if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘₯), (2↑π‘₯), 0) = if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘˜), (2β†‘π‘˜), 0))
4843, 47oveq12d 7376 . . . . 5 (π‘₯ = π‘˜ β†’ ((πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^π‘₯))) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘₯), (2↑π‘₯), 0)) = ((πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^π‘˜))) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘˜), (2β†‘π‘˜), 0)))
4941ineq2d 4173 . . . . . . 7 (π‘₯ = π‘˜ β†’ (𝐴 ∩ (0..^π‘₯)) = (𝐴 ∩ (0..^π‘˜)))
5049fveq2d 6847 . . . . . 6 (π‘₯ = π‘˜ β†’ (πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^π‘₯))) = (πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^π‘˜))))
5141ineq2d 4173 . . . . . . 7 (π‘₯ = π‘˜ β†’ (𝐡 ∩ (0..^π‘₯)) = (𝐡 ∩ (0..^π‘˜)))
5251fveq2d 6847 . . . . . 6 (π‘₯ = π‘˜ β†’ (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^π‘₯))) = (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^π‘˜))))
5350, 52oveq12d 7376 . . . . 5 (π‘₯ = π‘˜ β†’ ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^π‘₯))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^π‘₯)))) = ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^π‘˜))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^π‘˜)))))
5448, 53eqeq12d 2749 . . . 4 (π‘₯ = π‘˜ β†’ (((πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^π‘₯))) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘₯), (2↑π‘₯), 0)) = ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^π‘₯))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^π‘₯)))) ↔ ((πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^π‘˜))) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘˜), (2β†‘π‘˜), 0)) = ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^π‘˜))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^π‘˜))))))
5554imbi2d 341 . . 3 (π‘₯ = π‘˜ β†’ ((πœ‘ β†’ ((πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^π‘₯))) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘₯), (2↑π‘₯), 0)) = ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^π‘₯))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^π‘₯))))) ↔ (πœ‘ β†’ ((πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^π‘˜))) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘˜), (2β†‘π‘˜), 0)) = ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^π‘˜))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^π‘˜)))))))
56 oveq2 7366 . . . . . . . 8 (π‘₯ = (π‘˜ + 1) β†’ (0..^π‘₯) = (0..^(π‘˜ + 1)))
5756ineq2d 4173 . . . . . . 7 (π‘₯ = (π‘˜ + 1) β†’ ((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^π‘₯)) = ((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^(π‘˜ + 1))))
5857fveq2d 6847 . . . . . 6 (π‘₯ = (π‘˜ + 1) β†’ (πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^π‘₯))) = (πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^(π‘˜ + 1)))))
59 fveq2 6843 . . . . . . . 8 (π‘₯ = (π‘˜ + 1) β†’ (πΆβ€˜π‘₯) = (πΆβ€˜(π‘˜ + 1)))
6059eleq2d 2820 . . . . . . 7 (π‘₯ = (π‘˜ + 1) β†’ (βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘₯) ↔ βˆ… ∈ (πΆβ€˜(π‘˜ + 1))))
61 oveq2 7366 . . . . . . 7 (π‘₯ = (π‘˜ + 1) β†’ (2↑π‘₯) = (2↑(π‘˜ + 1)))
6260, 61ifbieq1d 4511 . . . . . 6 (π‘₯ = (π‘˜ + 1) β†’ if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘₯), (2↑π‘₯), 0) = if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜(π‘˜ + 1)), (2↑(π‘˜ + 1)), 0))
6358, 62oveq12d 7376 . . . . 5 (π‘₯ = (π‘˜ + 1) β†’ ((πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^π‘₯))) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘₯), (2↑π‘₯), 0)) = ((πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^(π‘˜ + 1)))) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜(π‘˜ + 1)), (2↑(π‘˜ + 1)), 0)))
6456ineq2d 4173 . . . . . . 7 (π‘₯ = (π‘˜ + 1) β†’ (𝐴 ∩ (0..^π‘₯)) = (𝐴 ∩ (0..^(π‘˜ + 1))))
6564fveq2d 6847 . . . . . 6 (π‘₯ = (π‘˜ + 1) β†’ (πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^π‘₯))) = (πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^(π‘˜ + 1)))))
6656ineq2d 4173 . . . . . . 7 (π‘₯ = (π‘˜ + 1) β†’ (𝐡 ∩ (0..^π‘₯)) = (𝐡 ∩ (0..^(π‘˜ + 1))))
6766fveq2d 6847 . . . . . 6 (π‘₯ = (π‘˜ + 1) β†’ (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^π‘₯))) = (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^(π‘˜ + 1)))))
6865, 67oveq12d 7376 . . . . 5 (π‘₯ = (π‘˜ + 1) β†’ ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^π‘₯))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^π‘₯)))) = ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^(π‘˜ + 1)))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^(π‘˜ + 1))))))
6963, 68eqeq12d 2749 . . . 4 (π‘₯ = (π‘˜ + 1) β†’ (((πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^π‘₯))) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘₯), (2↑π‘₯), 0)) = ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^π‘₯))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^π‘₯)))) ↔ ((πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^(π‘˜ + 1)))) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜(π‘˜ + 1)), (2↑(π‘˜ + 1)), 0)) = ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^(π‘˜ + 1)))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^(π‘˜ + 1)))))))
7069imbi2d 341 . . 3 (π‘₯ = (π‘˜ + 1) β†’ ((πœ‘ β†’ ((πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^π‘₯))) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘₯), (2↑π‘₯), 0)) = ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^π‘₯))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^π‘₯))))) ↔ (πœ‘ β†’ ((πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^(π‘˜ + 1)))) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜(π‘˜ + 1)), (2↑(π‘˜ + 1)), 0)) = ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^(π‘˜ + 1)))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^(π‘˜ + 1))))))))
71 oveq2 7366 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (0..^π‘₯) = (0..^𝑁))
7271ineq2d 4173 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑁 β†’ ((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^π‘₯)) = ((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁)))
7372fveq2d 6847 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^π‘₯))) = (πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁))))
74 fveq2 6843 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (πΆβ€˜π‘₯) = (πΆβ€˜π‘))
7574eleq2d 2820 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘₯) ↔ βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)))
76 oveq2 7366 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (2↑π‘₯) = (2↑𝑁))
7775, 76ifbieq1d 4511 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑁 β†’ if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘₯), (2↑π‘₯), 0) = if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘), (2↑𝑁), 0))
7873, 77oveq12d 7376 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑁 β†’ ((πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^π‘₯))) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘₯), (2↑π‘₯), 0)) = ((πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁))) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘), (2↑𝑁), 0)))
7971ineq2d 4173 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (𝐴 ∩ (0..^π‘₯)) = (𝐴 ∩ (0..^𝑁)))
8079fveq2d 6847 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^π‘₯))) = (πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))))
8171ineq2d 4173 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (𝐡 ∩ (0..^π‘₯)) = (𝐡 ∩ (0..^𝑁)))
8281fveq2d 6847 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^π‘₯))) = (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁))))
8380, 82oveq12d 7376 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑁 β†’ ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^π‘₯))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^π‘₯)))) = ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))))
8478, 83eqeq12d 2749 . . . 4 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (((πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^π‘₯))) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘₯), (2↑π‘₯), 0)) = ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^π‘₯))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^π‘₯)))) ↔ ((πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁))) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘), (2↑𝑁), 0)) = ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁))))))
8584imbi2d 341 . . 3 (π‘₯ = 𝑁 β†’ ((πœ‘ β†’ ((πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^π‘₯))) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘₯), (2↑π‘₯), 0)) = ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^π‘₯))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^π‘₯))))) ↔ (πœ‘ β†’ ((πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁))) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘), (2↑𝑁), 0)) = ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))))))
86 sadval.a . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„•0)
87 sadval.b . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† β„•0)
88 sadval.c . . . . . . 7 𝐢 = seq0((𝑐 ∈ 2o, π‘š ∈ β„•0 ↦ if(cadd(π‘š ∈ 𝐴, π‘š ∈ 𝐡, βˆ… ∈ 𝑐), 1o, βˆ…)), (𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 0, βˆ…, (𝑛 βˆ’ 1))))
8986, 87, 88sadc0 16339 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ Β¬ βˆ… ∈ (πΆβ€˜0))
9089iffalsed 4498 . . . . 5 (πœ‘ β†’ if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜0), (2↑0), 0) = 0)
9190oveq2d 7374 . . . 4 (πœ‘ β†’ (0 + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜0), (2↑0), 0)) = (0 + 0))
9291, 37eqtrdi 2789 . . 3 (πœ‘ β†’ (0 + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜0), (2↑0), 0)) = 0)
9386ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ ((πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^π‘˜))) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘˜), (2β†‘π‘˜), 0)) = ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^π‘˜))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^π‘˜))))) β†’ 𝐴 βŠ† β„•0)
9487ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ ((πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^π‘˜))) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘˜), (2β†‘π‘˜), 0)) = ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^π‘˜))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^π‘˜))))) β†’ 𝐡 βŠ† β„•0)
95 simplr 768 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ ((πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^π‘˜))) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘˜), (2β†‘π‘˜), 0)) = ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^π‘˜))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^π‘˜))))) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
96 simpr 486 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ ((πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^π‘˜))) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘˜), (2β†‘π‘˜), 0)) = ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^π‘˜))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^π‘˜))))) β†’ ((πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^π‘˜))) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘˜), (2β†‘π‘˜), 0)) = ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^π‘˜))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^π‘˜)))))
9793, 94, 88, 95, 9, 96sadadd2lem 16344 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ ((πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^π‘˜))) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘˜), (2β†‘π‘˜), 0)) = ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^π‘˜))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^π‘˜))))) β†’ ((πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^(π‘˜ + 1)))) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜(π‘˜ + 1)), (2↑(π‘˜ + 1)), 0)) = ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^(π‘˜ + 1)))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^(π‘˜ + 1))))))
9897ex 414 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (((πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^π‘˜))) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘˜), (2β†‘π‘˜), 0)) = ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^π‘˜))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^π‘˜)))) β†’ ((πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^(π‘˜ + 1)))) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜(π‘˜ + 1)), (2↑(π‘˜ + 1)), 0)) = ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^(π‘˜ + 1)))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^(π‘˜ + 1)))))))
9998expcom 415 . . . 4 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ (πœ‘ β†’ (((πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^π‘˜))) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘˜), (2β†‘π‘˜), 0)) = ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^π‘˜))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^π‘˜)))) β†’ ((πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^(π‘˜ + 1)))) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜(π‘˜ + 1)), (2↑(π‘˜ + 1)), 0)) = ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^(π‘˜ + 1)))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^(π‘˜ + 1))))))))
10099a2d 29 . . 3 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ ((πœ‘ β†’ ((πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^π‘˜))) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘˜), (2β†‘π‘˜), 0)) = ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^π‘˜))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^π‘˜))))) β†’ (πœ‘ β†’ ((πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^(π‘˜ + 1)))) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜(π‘˜ + 1)), (2↑(π‘˜ + 1)), 0)) = ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^(π‘˜ + 1)))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^(π‘˜ + 1))))))))
10140, 55, 70, 85, 92, 100nn0ind 12603 . 2 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (πœ‘ β†’ ((πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁))) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘), (2↑𝑁), 0)) = ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁))))))
1021, 101mpcom 38 1 (πœ‘ β†’ ((πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁))) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘), (2↑𝑁), 0)) = ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542  caddwcad 1608   ∈ wcel 2107   ∩ cin 3910   βŠ† wss 3911  βˆ…c0 4283  ifcif 4487  π’« cpw 4561   ↦ cmpt 5189  β—‘ccnv 5633   β†Ύ cres 5636  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6496  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   ∈ cmpo 7360  1oc1o 8406  2oc2o 8407  Fincfn 8886  0cc0 11056  1c1 11057   + caddc 11059   βˆ’ cmin 11390  2c2 12213  β„•0cn0 12418  ..^cfzo 13573  seqcseq 13912  β†‘cexp 13973  bitscbits 16304   sadd csad 16305
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-xor 1511  df-tru 1545  df-fal 1555  df-had 1596  df-cad 1609  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-disj 5072  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-oadd 8417  df-er 8651  df-map 8770  df-pm 8771  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9383  df-inf 9384  df-oi 9451  df-dju 9842  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-n0 12419  df-xnn0 12491  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-fl 13703  df-mod 13781  df-seq 13913  df-exp 13974  df-hash 14237  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-clim 15376  df-sum 15577  df-dvds 16142  df-bits 16307  df-sad 16336
This theorem is referenced by:  sadadd3  16346
  Copyright terms: Public domain W3C validator