MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sadadd2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sadadd2 16405
Description: Sum of initial segments of the sadd sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
sadval.a (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„•0)
sadval.b (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† β„•0)
sadval.c 𝐢 = seq0((𝑐 ∈ 2o, π‘š ∈ β„•0 ↦ if(cadd(π‘š ∈ 𝐴, π‘š ∈ 𝐡, βˆ… ∈ 𝑐), 1o, βˆ…)), (𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 0, βˆ…, (𝑛 βˆ’ 1))))
sadcp1.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
sadcadd.k 𝐾 = β—‘(bits β†Ύ β„•0)
Assertion
Ref Expression
sadadd2 (πœ‘ β†’ ((πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁))) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘), (2↑𝑁), 0)) = ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))))
Distinct variable groups:   π‘š,𝑐,𝑛   𝐴,𝑐,π‘š   𝐡,𝑐,π‘š   𝑛,𝑁
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘š,𝑛,𝑐)   𝐴(𝑛)   𝐡(𝑛)   𝐢(π‘š,𝑛,𝑐)   𝐾(π‘š,𝑛,𝑐)   𝑁(π‘š,𝑐)

Proof of Theorem sadadd2
Dummy variables π‘˜ π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sadcp1.n . 2 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
2 oveq2 7412 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 0 β†’ (0..^π‘₯) = (0..^0))
3 fzo0 13659 . . . . . . . . . . 11 (0..^0) = βˆ…
42, 3eqtrdi 2782 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 0 β†’ (0..^π‘₯) = βˆ…)
54ineq2d 4207 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 0 β†’ ((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^π‘₯)) = ((𝐴 sadd 𝐡) ∩ βˆ…))
6 in0 4386 . . . . . . . . 9 ((𝐴 sadd 𝐡) ∩ βˆ…) = βˆ…
75, 6eqtrdi 2782 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 0 β†’ ((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^π‘₯)) = βˆ…)
87fveq2d 6888 . . . . . . 7 (π‘₯ = 0 β†’ (πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^π‘₯))) = (πΎβ€˜βˆ…))
9 sadcadd.k . . . . . . . . 9 𝐾 = β—‘(bits β†Ύ β„•0)
10 0nn0 12488 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ β„•0
11 fvres 6903 . . . . . . . . . . 11 (0 ∈ β„•0 β†’ ((bits β†Ύ β„•0)β€˜0) = (bitsβ€˜0))
1210, 11ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ((bits β†Ύ β„•0)β€˜0) = (bitsβ€˜0)
13 0bits 16384 . . . . . . . . . 10 (bitsβ€˜0) = βˆ…
1412, 13eqtr2i 2755 . . . . . . . . 9 βˆ… = ((bits β†Ύ β„•0)β€˜0)
159, 14fveq12i 6890 . . . . . . . 8 (πΎβ€˜βˆ…) = (β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜((bits β†Ύ β„•0)β€˜0))
16 bitsf1o 16390 . . . . . . . . 9 (bits β†Ύ β„•0):β„•0–1-1-ontoβ†’(𝒫 β„•0 ∩ Fin)
17 f1ocnvfv1 7269 . . . . . . . . 9 (((bits β†Ύ β„•0):β„•0–1-1-ontoβ†’(𝒫 β„•0 ∩ Fin) ∧ 0 ∈ β„•0) β†’ (β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜((bits β†Ύ β„•0)β€˜0)) = 0)
1816, 10, 17mp2an 689 . . . . . . . 8 (β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜((bits β†Ύ β„•0)β€˜0)) = 0
1915, 18eqtri 2754 . . . . . . 7 (πΎβ€˜βˆ…) = 0
208, 19eqtrdi 2782 . . . . . 6 (π‘₯ = 0 β†’ (πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^π‘₯))) = 0)
21 fveq2 6884 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 0 β†’ (πΆβ€˜π‘₯) = (πΆβ€˜0))
2221eleq2d 2813 . . . . . . 7 (π‘₯ = 0 β†’ (βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘₯) ↔ βˆ… ∈ (πΆβ€˜0)))
23 oveq2 7412 . . . . . . 7 (π‘₯ = 0 β†’ (2↑π‘₯) = (2↑0))
2422, 23ifbieq1d 4547 . . . . . 6 (π‘₯ = 0 β†’ if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘₯), (2↑π‘₯), 0) = if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜0), (2↑0), 0))
2520, 24oveq12d 7422 . . . . 5 (π‘₯ = 0 β†’ ((πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^π‘₯))) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘₯), (2↑π‘₯), 0)) = (0 + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜0), (2↑0), 0)))
264ineq2d 4207 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 0 β†’ (𝐴 ∩ (0..^π‘₯)) = (𝐴 ∩ βˆ…))
27 in0 4386 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∩ βˆ…) = βˆ…
2826, 27eqtrdi 2782 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 0 β†’ (𝐴 ∩ (0..^π‘₯)) = βˆ…)
2928fveq2d 6888 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 0 β†’ (πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^π‘₯))) = (πΎβ€˜βˆ…))
3029, 19eqtrdi 2782 . . . . . . 7 (π‘₯ = 0 β†’ (πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^π‘₯))) = 0)
314ineq2d 4207 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 0 β†’ (𝐡 ∩ (0..^π‘₯)) = (𝐡 ∩ βˆ…))
32 in0 4386 . . . . . . . . . 10 (𝐡 ∩ βˆ…) = βˆ…
3331, 32eqtrdi 2782 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 0 β†’ (𝐡 ∩ (0..^π‘₯)) = βˆ…)
3433fveq2d 6888 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 0 β†’ (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^π‘₯))) = (πΎβ€˜βˆ…))
3534, 19eqtrdi 2782 . . . . . . 7 (π‘₯ = 0 β†’ (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^π‘₯))) = 0)
3630, 35oveq12d 7422 . . . . . 6 (π‘₯ = 0 β†’ ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^π‘₯))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^π‘₯)))) = (0 + 0))
37 00id 11390 . . . . . 6 (0 + 0) = 0
3836, 37eqtrdi 2782 . . . . 5 (π‘₯ = 0 β†’ ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^π‘₯))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^π‘₯)))) = 0)
3925, 38eqeq12d 2742 . . . 4 (π‘₯ = 0 β†’ (((πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^π‘₯))) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘₯), (2↑π‘₯), 0)) = ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^π‘₯))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^π‘₯)))) ↔ (0 + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜0), (2↑0), 0)) = 0))
4039imbi2d 340 . . 3 (π‘₯ = 0 β†’ ((πœ‘ β†’ ((πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^π‘₯))) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘₯), (2↑π‘₯), 0)) = ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^π‘₯))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^π‘₯))))) ↔ (πœ‘ β†’ (0 + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜0), (2↑0), 0)) = 0)))
41 oveq2 7412 . . . . . . . 8 (π‘₯ = π‘˜ β†’ (0..^π‘₯) = (0..^π‘˜))
4241ineq2d 4207 . . . . . . 7 (π‘₯ = π‘˜ β†’ ((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^π‘₯)) = ((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^π‘˜)))
4342fveq2d 6888 . . . . . 6 (π‘₯ = π‘˜ β†’ (πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^π‘₯))) = (πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^π‘˜))))
44 fveq2 6884 . . . . . . . 8 (π‘₯ = π‘˜ β†’ (πΆβ€˜π‘₯) = (πΆβ€˜π‘˜))
4544eleq2d 2813 . . . . . . 7 (π‘₯ = π‘˜ β†’ (βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘₯) ↔ βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘˜)))
46 oveq2 7412 . . . . . . 7 (π‘₯ = π‘˜ β†’ (2↑π‘₯) = (2β†‘π‘˜))
4745, 46ifbieq1d 4547 . . . . . 6 (π‘₯ = π‘˜ β†’ if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘₯), (2↑π‘₯), 0) = if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘˜), (2β†‘π‘˜), 0))
4843, 47oveq12d 7422 . . . . 5 (π‘₯ = π‘˜ β†’ ((πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^π‘₯))) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘₯), (2↑π‘₯), 0)) = ((πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^π‘˜))) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘˜), (2β†‘π‘˜), 0)))
4941ineq2d 4207 . . . . . . 7 (π‘₯ = π‘˜ β†’ (𝐴 ∩ (0..^π‘₯)) = (𝐴 ∩ (0..^π‘˜)))
5049fveq2d 6888 . . . . . 6 (π‘₯ = π‘˜ β†’ (πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^π‘₯))) = (πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^π‘˜))))
5141ineq2d 4207 . . . . . . 7 (π‘₯ = π‘˜ β†’ (𝐡 ∩ (0..^π‘₯)) = (𝐡 ∩ (0..^π‘˜)))
5251fveq2d 6888 . . . . . 6 (π‘₯ = π‘˜ β†’ (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^π‘₯))) = (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^π‘˜))))
5350, 52oveq12d 7422 . . . . 5 (π‘₯ = π‘˜ β†’ ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^π‘₯))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^π‘₯)))) = ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^π‘˜))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^π‘˜)))))
5448, 53eqeq12d 2742 . . . 4 (π‘₯ = π‘˜ β†’ (((πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^π‘₯))) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘₯), (2↑π‘₯), 0)) = ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^π‘₯))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^π‘₯)))) ↔ ((πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^π‘˜))) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘˜), (2β†‘π‘˜), 0)) = ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^π‘˜))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^π‘˜))))))
5554imbi2d 340 . . 3 (π‘₯ = π‘˜ β†’ ((πœ‘ β†’ ((πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^π‘₯))) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘₯), (2↑π‘₯), 0)) = ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^π‘₯))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^π‘₯))))) ↔ (πœ‘ β†’ ((πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^π‘˜))) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘˜), (2β†‘π‘˜), 0)) = ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^π‘˜))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^π‘˜)))))))
56 oveq2 7412 . . . . . . . 8 (π‘₯ = (π‘˜ + 1) β†’ (0..^π‘₯) = (0..^(π‘˜ + 1)))
5756ineq2d 4207 . . . . . . 7 (π‘₯ = (π‘˜ + 1) β†’ ((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^π‘₯)) = ((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^(π‘˜ + 1))))
5857fveq2d 6888 . . . . . 6 (π‘₯ = (π‘˜ + 1) β†’ (πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^π‘₯))) = (πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^(π‘˜ + 1)))))
59 fveq2 6884 . . . . . . . 8 (π‘₯ = (π‘˜ + 1) β†’ (πΆβ€˜π‘₯) = (πΆβ€˜(π‘˜ + 1)))
6059eleq2d 2813 . . . . . . 7 (π‘₯ = (π‘˜ + 1) β†’ (βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘₯) ↔ βˆ… ∈ (πΆβ€˜(π‘˜ + 1))))
61 oveq2 7412 . . . . . . 7 (π‘₯ = (π‘˜ + 1) β†’ (2↑π‘₯) = (2↑(π‘˜ + 1)))
6260, 61ifbieq1d 4547 . . . . . 6 (π‘₯ = (π‘˜ + 1) β†’ if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘₯), (2↑π‘₯), 0) = if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜(π‘˜ + 1)), (2↑(π‘˜ + 1)), 0))
6358, 62oveq12d 7422 . . . . 5 (π‘₯ = (π‘˜ + 1) β†’ ((πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^π‘₯))) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘₯), (2↑π‘₯), 0)) = ((πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^(π‘˜ + 1)))) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜(π‘˜ + 1)), (2↑(π‘˜ + 1)), 0)))
6456ineq2d 4207 . . . . . . 7 (π‘₯ = (π‘˜ + 1) β†’ (𝐴 ∩ (0..^π‘₯)) = (𝐴 ∩ (0..^(π‘˜ + 1))))
6564fveq2d 6888 . . . . . 6 (π‘₯ = (π‘˜ + 1) β†’ (πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^π‘₯))) = (πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^(π‘˜ + 1)))))
6656ineq2d 4207 . . . . . . 7 (π‘₯ = (π‘˜ + 1) β†’ (𝐡 ∩ (0..^π‘₯)) = (𝐡 ∩ (0..^(π‘˜ + 1))))
6766fveq2d 6888 . . . . . 6 (π‘₯ = (π‘˜ + 1) β†’ (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^π‘₯))) = (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^(π‘˜ + 1)))))
6865, 67oveq12d 7422 . . . . 5 (π‘₯ = (π‘˜ + 1) β†’ ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^π‘₯))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^π‘₯)))) = ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^(π‘˜ + 1)))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^(π‘˜ + 1))))))
6963, 68eqeq12d 2742 . . . 4 (π‘₯ = (π‘˜ + 1) β†’ (((πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^π‘₯))) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘₯), (2↑π‘₯), 0)) = ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^π‘₯))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^π‘₯)))) ↔ ((πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^(π‘˜ + 1)))) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜(π‘˜ + 1)), (2↑(π‘˜ + 1)), 0)) = ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^(π‘˜ + 1)))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^(π‘˜ + 1)))))))
7069imbi2d 340 . . 3 (π‘₯ = (π‘˜ + 1) β†’ ((πœ‘ β†’ ((πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^π‘₯))) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘₯), (2↑π‘₯), 0)) = ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^π‘₯))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^π‘₯))))) ↔ (πœ‘ β†’ ((πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^(π‘˜ + 1)))) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜(π‘˜ + 1)), (2↑(π‘˜ + 1)), 0)) = ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^(π‘˜ + 1)))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^(π‘˜ + 1))))))))
71 oveq2 7412 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (0..^π‘₯) = (0..^𝑁))
7271ineq2d 4207 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑁 β†’ ((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^π‘₯)) = ((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁)))
7372fveq2d 6888 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^π‘₯))) = (πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁))))
74 fveq2 6884 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (πΆβ€˜π‘₯) = (πΆβ€˜π‘))
7574eleq2d 2813 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘₯) ↔ βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)))
76 oveq2 7412 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (2↑π‘₯) = (2↑𝑁))
7775, 76ifbieq1d 4547 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑁 β†’ if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘₯), (2↑π‘₯), 0) = if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘), (2↑𝑁), 0))
7873, 77oveq12d 7422 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑁 β†’ ((πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^π‘₯))) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘₯), (2↑π‘₯), 0)) = ((πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁))) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘), (2↑𝑁), 0)))
7971ineq2d 4207 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (𝐴 ∩ (0..^π‘₯)) = (𝐴 ∩ (0..^𝑁)))
8079fveq2d 6888 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^π‘₯))) = (πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))))
8171ineq2d 4207 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (𝐡 ∩ (0..^π‘₯)) = (𝐡 ∩ (0..^𝑁)))
8281fveq2d 6888 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^π‘₯))) = (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁))))
8380, 82oveq12d 7422 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑁 β†’ ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^π‘₯))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^π‘₯)))) = ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))))
8478, 83eqeq12d 2742 . . . 4 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (((πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^π‘₯))) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘₯), (2↑π‘₯), 0)) = ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^π‘₯))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^π‘₯)))) ↔ ((πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁))) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘), (2↑𝑁), 0)) = ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁))))))
8584imbi2d 340 . . 3 (π‘₯ = 𝑁 β†’ ((πœ‘ β†’ ((πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^π‘₯))) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘₯), (2↑π‘₯), 0)) = ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^π‘₯))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^π‘₯))))) ↔ (πœ‘ β†’ ((πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁))) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘), (2↑𝑁), 0)) = ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))))))
86 sadval.a . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„•0)
87 sadval.b . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† β„•0)
88 sadval.c . . . . . . 7 𝐢 = seq0((𝑐 ∈ 2o, π‘š ∈ β„•0 ↦ if(cadd(π‘š ∈ 𝐴, π‘š ∈ 𝐡, βˆ… ∈ 𝑐), 1o, βˆ…)), (𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 0, βˆ…, (𝑛 βˆ’ 1))))
8986, 87, 88sadc0 16399 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ Β¬ βˆ… ∈ (πΆβ€˜0))
9089iffalsed 4534 . . . . 5 (πœ‘ β†’ if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜0), (2↑0), 0) = 0)
9190oveq2d 7420 . . . 4 (πœ‘ β†’ (0 + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜0), (2↑0), 0)) = (0 + 0))
9291, 37eqtrdi 2782 . . 3 (πœ‘ β†’ (0 + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜0), (2↑0), 0)) = 0)
9386ad2antrr 723 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ ((πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^π‘˜))) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘˜), (2β†‘π‘˜), 0)) = ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^π‘˜))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^π‘˜))))) β†’ 𝐴 βŠ† β„•0)
9487ad2antrr 723 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ ((πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^π‘˜))) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘˜), (2β†‘π‘˜), 0)) = ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^π‘˜))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^π‘˜))))) β†’ 𝐡 βŠ† β„•0)
95 simplr 766 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ ((πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^π‘˜))) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘˜), (2β†‘π‘˜), 0)) = ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^π‘˜))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^π‘˜))))) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
96 simpr 484 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ ((πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^π‘˜))) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘˜), (2β†‘π‘˜), 0)) = ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^π‘˜))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^π‘˜))))) β†’ ((πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^π‘˜))) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘˜), (2β†‘π‘˜), 0)) = ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^π‘˜))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^π‘˜)))))
9793, 94, 88, 95, 9, 96sadadd2lem 16404 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ ((πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^π‘˜))) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘˜), (2β†‘π‘˜), 0)) = ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^π‘˜))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^π‘˜))))) β†’ ((πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^(π‘˜ + 1)))) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜(π‘˜ + 1)), (2↑(π‘˜ + 1)), 0)) = ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^(π‘˜ + 1)))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^(π‘˜ + 1))))))
9897ex 412 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (((πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^π‘˜))) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘˜), (2β†‘π‘˜), 0)) = ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^π‘˜))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^π‘˜)))) β†’ ((πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^(π‘˜ + 1)))) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜(π‘˜ + 1)), (2↑(π‘˜ + 1)), 0)) = ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^(π‘˜ + 1)))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^(π‘˜ + 1)))))))
9998expcom 413 . . . 4 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ (πœ‘ β†’ (((πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^π‘˜))) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘˜), (2β†‘π‘˜), 0)) = ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^π‘˜))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^π‘˜)))) β†’ ((πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^(π‘˜ + 1)))) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜(π‘˜ + 1)), (2↑(π‘˜ + 1)), 0)) = ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^(π‘˜ + 1)))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^(π‘˜ + 1))))))))
10099a2d 29 . . 3 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ ((πœ‘ β†’ ((πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^π‘˜))) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘˜), (2β†‘π‘˜), 0)) = ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^π‘˜))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^π‘˜))))) β†’ (πœ‘ β†’ ((πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^(π‘˜ + 1)))) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜(π‘˜ + 1)), (2↑(π‘˜ + 1)), 0)) = ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^(π‘˜ + 1)))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^(π‘˜ + 1))))))))
10140, 55, 70, 85, 92, 100nn0ind 12658 . 2 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (πœ‘ β†’ ((πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁))) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘), (2↑𝑁), 0)) = ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁))))))
1021, 101mpcom 38 1 (πœ‘ β†’ ((πΎβ€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁))) + if(βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘), (2↑𝑁), 0)) = ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533  caddwcad 1599   ∈ wcel 2098   ∩ cin 3942   βŠ† wss 3943  βˆ…c0 4317  ifcif 4523  π’« cpw 4597   ↦ cmpt 5224  β—‘ccnv 5668   β†Ύ cres 5671  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6535  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404   ∈ cmpo 7406  1oc1o 8457  2oc2o 8458  Fincfn 8938  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112   βˆ’ cmin 11445  2c2 12268  β„•0cn0 12473  ..^cfzo 13630  seqcseq 13969  β†‘cexp 14029  bitscbits 16364   sadd csad 16365
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-xor 1505  df-tru 1536  df-fal 1546  df-had 1587  df-cad 1600  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-disj 5107  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-2o 8465  df-oadd 8468  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-dju 9895  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-n0 12474  df-xnn0 12546  df-z 12560  df-uz 12824  df-rp 12978  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-fl 13760  df-mod 13838  df-seq 13970  df-exp 14030  df-hash 14293  df-cj 15049  df-re 15050  df-im 15051  df-sqrt 15185  df-abs 15186  df-clim 15435  df-sum 15636  df-dvds 16202  df-bits 16367  df-sad 16396
This theorem is referenced by:  sadadd3  16406
  Copyright terms: Public domain W3C validator