Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem13 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem13 43244
Description: Value of 𝑉 in terms of value of 𝑄. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem13.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem13.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem13.x (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem13.p 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = (𝐴 + 𝑋) ∧ (𝑝𝑚) = (𝐵 + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
fourierdlem13.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
fourierdlem13.v (𝜑𝑉 ∈ (𝑃𝑀))
fourierdlem13.i (𝜑𝐼 ∈ (0...𝑀))
fourierdlem13.q 𝑄 = (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑉𝑖) − 𝑋))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem13 (𝜑 → ((𝑄𝐼) = ((𝑉𝐼) − 𝑋) ∧ (𝑉𝐼) = (𝑋 + (𝑄𝐼))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑚,𝑝   𝐵,𝑚,𝑝   𝑖,𝐼   𝑖,𝑀,𝑚,𝑝   𝑖,𝑉,𝑝   𝑖,𝑋,𝑚,𝑝   𝜑,𝑖
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑝)   𝐴(𝑖)   𝐵(𝑖)   𝑃(𝑖,𝑚,𝑝)   𝑄(𝑖,𝑚,𝑝)   𝐼(𝑚,𝑝)   𝑉(𝑚)

Proof of Theorem fourierdlem13
StepHypRef Expression
1 fourierdlem13.q . . . 4 𝑄 = (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑉𝑖) − 𝑋))
21a1i 11 . . 3 (𝜑𝑄 = (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑉𝑖) − 𝑋)))
3 simpr 488 . . . . 5 ((𝜑𝑖 = 𝐼) → 𝑖 = 𝐼)
43fveq2d 6691 . . . 4 ((𝜑𝑖 = 𝐼) → (𝑉𝑖) = (𝑉𝐼))
54oveq1d 7198 . . 3 ((𝜑𝑖 = 𝐼) → ((𝑉𝑖) − 𝑋) = ((𝑉𝐼) − 𝑋))
6 fourierdlem13.i . . 3 (𝜑𝐼 ∈ (0...𝑀))
7 fourierdlem13.v . . . . . . . 8 (𝜑𝑉 ∈ (𝑃𝑀))
8 fourierdlem13.m . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
9 fourierdlem13.p . . . . . . . . . 10 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = (𝐴 + 𝑋) ∧ (𝑝𝑚) = (𝐵 + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
109fourierdlem2 43233 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑉 ∈ (𝑃𝑀) ↔ (𝑉 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((𝑉‘0) = (𝐴 + 𝑋) ∧ (𝑉𝑀) = (𝐵 + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑉𝑖) < (𝑉‘(𝑖 + 1))))))
118, 10syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑉 ∈ (𝑃𝑀) ↔ (𝑉 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((𝑉‘0) = (𝐴 + 𝑋) ∧ (𝑉𝑀) = (𝐵 + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑉𝑖) < (𝑉‘(𝑖 + 1))))))
127, 11mpbid 235 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑉 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((𝑉‘0) = (𝐴 + 𝑋) ∧ (𝑉𝑀) = (𝐵 + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑉𝑖) < (𝑉‘(𝑖 + 1)))))
1312simpld 498 . . . . . 6 (𝜑𝑉 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)))
14 elmapi 8472 . . . . . 6 (𝑉 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) → 𝑉:(0...𝑀)⟶ℝ)
1513, 14syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑉:(0...𝑀)⟶ℝ)
1615, 6ffvelrnd 6875 . . . 4 (𝜑 → (𝑉𝐼) ∈ ℝ)
17 fourierdlem13.x . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
1816, 17resubcld 11159 . . 3 (𝜑 → ((𝑉𝐼) − 𝑋) ∈ ℝ)
192, 5, 6, 18fvmptd 6795 . 2 (𝜑 → (𝑄𝐼) = ((𝑉𝐼) − 𝑋))
2019oveq2d 7199 . . 3 (𝜑 → (𝑋 + (𝑄𝐼)) = (𝑋 + ((𝑉𝐼) − 𝑋)))
2117recnd 10760 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
2216recnd 10760 . . . 4 (𝜑 → (𝑉𝐼) ∈ ℂ)
2321, 22pncan3d 11091 . . 3 (𝜑 → (𝑋 + ((𝑉𝐼) − 𝑋)) = (𝑉𝐼))
2420, 23eqtr2d 2775 . 2 (𝜑 → (𝑉𝐼) = (𝑋 + (𝑄𝐼)))
2519, 24jca 515 1 (𝜑 → ((𝑄𝐼) = ((𝑉𝐼) − 𝑋) ∧ (𝑉𝐼) = (𝑋 + (𝑄𝐼))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1542  wcel 2114  wral 3054  {crab 3058   class class class wbr 5040  cmpt 5120  wf 6346  cfv 6350  (class class class)co 7183  m cmap 8450  cr 10627  0cc0 10628  1c1 10629   + caddc 10631   < clt 10766  cmin 10961  cn 11729  ...cfz 12994  ..^cfzo 13137
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7492  ax-resscn 10685  ax-1cn 10686  ax-icn 10687  ax-addcl 10688  ax-addrcl 10689  ax-mulcl 10690  ax-mulrcl 10691  ax-mulcom 10692  ax-addass 10693  ax-mulass 10694  ax-distr 10695  ax-i2m1 10696  ax-1ne0 10697  ax-1rid 10698  ax-rnegex 10699  ax-rrecex 10700  ax-cnre 10701  ax-pre-lttri 10702  ax-pre-lttrn 10703  ax-pre-ltadd 10704
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-csb 3801  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-nul 4222  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-op 4533  df-uni 4807  df-iun 4893  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-id 5439  df-po 5452  df-so 5453  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-iota 6308  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-riota 7140  df-ov 7186  df-oprab 7187  df-mpo 7188  df-1st 7727  df-2nd 7728  df-er 8333  df-map 8452  df-en 8569  df-dom 8570  df-sdom 8571  df-pnf 10768  df-mnf 10769  df-ltxr 10771  df-sub 10963  df-neg 10964
This theorem is referenced by:  fourierdlem72  43302  fourierdlem103  43333  fourierdlem104  43334
  Copyright terms: Public domain W3C validator