Theorem fourierdlem13 46158

Description: Value of 𝑉 in terms of value of 𝑄. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem13.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem13.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem13.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem13.p	⊢ 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = (𝐴 + 𝑋) ∧ (𝑝‘𝑚) = (𝐵 + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
fourierdlem13.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
fourierdlem13.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ (𝑃‘𝑀))
fourierdlem13.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (0...𝑀))
fourierdlem13.q	⊢ 𝑄 = (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑉‘𝑖) − 𝑋))

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem13	⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝐼) = ((𝑉‘𝐼) − 𝑋) ∧ (𝑉‘𝐼) = (𝑋 + (𝑄‘𝐼))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑚,𝑝   𝐵,𝑚,𝑝   𝑖,𝐼   𝑖,𝑀,𝑚,𝑝   𝑖,𝑉,𝑝   𝑖,𝑋,𝑚,𝑝   𝜑,𝑖

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑝)   𝐴(𝑖)   𝐵(𝑖)   𝑃(𝑖,𝑚,𝑝)   𝑄(𝑖,𝑚,𝑝)   𝐼(𝑚,𝑝)   𝑉(𝑚)

Proof of Theorem fourierdlem13

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem13.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑉‘𝑖) − 𝑋))
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑉‘𝑖) − 𝑋)))
3		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 𝐼) → 𝑖 = 𝐼)
4	3	fveq2d 6821	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 𝐼) → (𝑉‘𝑖) = (𝑉‘𝐼))
5	4	oveq1d 7356	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 𝐼) → ((𝑉‘𝑖) − 𝑋) = ((𝑉‘𝐼) − 𝑋))
6		fourierdlem13.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (0...𝑀))
7		fourierdlem13.v	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ (𝑃‘𝑀))
8		fourierdlem13.m	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
9		fourierdlem13.p	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = (𝐴 + 𝑋) ∧ (𝑝‘𝑚) = (𝐵 + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
10	9	fourierdlem2 46147	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑉 ∈ (𝑃‘𝑀) ↔ (𝑉 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((𝑉‘0) = (𝐴 + 𝑋) ∧ (𝑉‘𝑀) = (𝐵 + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑉‘𝑖) < (𝑉‘(𝑖 + 1))))))
11	8, 10	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑉 ∈ (𝑃‘𝑀) ↔ (𝑉 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((𝑉‘0) = (𝐴 + 𝑋) ∧ (𝑉‘𝑀) = (𝐵 + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑉‘𝑖) < (𝑉‘(𝑖 + 1))))))
12	7, 11	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑉 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((𝑉‘0) = (𝐴 + 𝑋) ∧ (𝑉‘𝑀) = (𝐵 + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑉‘𝑖) < (𝑉‘(𝑖 + 1)))))
13	12	simpld 494	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)))
14		elmapi 8768	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) → 𝑉:(0...𝑀)⟶ℝ)
15	13, 14	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑉:(0...𝑀)⟶ℝ)
16	15, 6	ffvelcdmd 7013	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑉‘𝐼) ∈ ℝ)
17		fourierdlem13.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
18	16, 17	resubcld 11540	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑉‘𝐼) − 𝑋) ∈ ℝ)
19	2, 5, 6, 18	fvmptd 6931	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝐼) = ((𝑉‘𝐼) − 𝑋))
20	19	oveq2d 7357	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + (𝑄‘𝐼)) = (𝑋 + ((𝑉‘𝐼) − 𝑋)))
21	17	recnd 11135	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
22	16	recnd 11135	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑉‘𝐼) ∈ ℂ)
23	21, 22	pncan3d 11470	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + ((𝑉‘𝐼) − 𝑋)) = (𝑉‘𝐼))
24	20, 23	eqtr2d 2767	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑉‘𝐼) = (𝑋 + (𝑄‘𝐼)))
25	19, 24	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝐼) = ((𝑉‘𝐼) − 𝑋) ∧ (𝑉‘𝐼) = (𝑋 + (𝑄‘𝐼))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047  {crab 3395   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167  ⟶wf 6472  ‘cfv 6476  (class class class)co 7341   ↑_m cmap 8745  ℝcr 11000  0cc0 11001  1c1 11002   + caddc 11004   < clt 11141   − cmin 11339  ℕcn 12120  ...cfz 13402  ..^cfzo 13549

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5506  df-po 5519  df-so 5520  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-er 8617  df-map 8747  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-ltxr 11146  df-sub 11341  df-neg 11342

This theorem is referenced by:  fourierdlem72  46216  fourierdlem103  46247  fourierdlem104  46248