Theorem fourierdlem13 45431

Description: Value of 𝑉 in terms of value of 𝑄. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem13.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem13.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem13.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem13.p	⊢ 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = (𝐴 + 𝑋) ∧ (𝑝‘𝑚) = (𝐵 + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
fourierdlem13.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
fourierdlem13.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ (𝑃‘𝑀))
fourierdlem13.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (0...𝑀))
fourierdlem13.q	⊢ 𝑄 = (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑉‘𝑖) − 𝑋))

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem13	⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝐼) = ((𝑉‘𝐼) − 𝑋) ∧ (𝑉‘𝐼) = (𝑋 + (𝑄‘𝐼))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑚,𝑝   𝐵,𝑚,𝑝   𝑖,𝐼   𝑖,𝑀,𝑚,𝑝   𝑖,𝑉,𝑝   𝑖,𝑋,𝑚,𝑝   𝜑,𝑖

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑝)   𝐴(𝑖)   𝐵(𝑖)   𝑃(𝑖,𝑚,𝑝)   𝑄(𝑖,𝑚,𝑝)   𝐼(𝑚,𝑝)   𝑉(𝑚)

Proof of Theorem fourierdlem13

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem13.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑉‘𝑖) − 𝑋))
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑉‘𝑖) − 𝑋)))
3		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 𝐼) → 𝑖 = 𝐼)
4	3	fveq2d 6895	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 𝐼) → (𝑉‘𝑖) = (𝑉‘𝐼))
5	4	oveq1d 7429	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 𝐼) → ((𝑉‘𝑖) − 𝑋) = ((𝑉‘𝐼) − 𝑋))
6		fourierdlem13.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (0...𝑀))
7		fourierdlem13.v	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ (𝑃‘𝑀))
8		fourierdlem13.m	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
9		fourierdlem13.p	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = (𝐴 + 𝑋) ∧ (𝑝‘𝑚) = (𝐵 + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
10	9	fourierdlem2 45420	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑉 ∈ (𝑃‘𝑀) ↔ (𝑉 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((𝑉‘0) = (𝐴 + 𝑋) ∧ (𝑉‘𝑀) = (𝐵 + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑉‘𝑖) < (𝑉‘(𝑖 + 1))))))
11	8, 10	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑉 ∈ (𝑃‘𝑀) ↔ (𝑉 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((𝑉‘0) = (𝐴 + 𝑋) ∧ (𝑉‘𝑀) = (𝐵 + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑉‘𝑖) < (𝑉‘(𝑖 + 1))))))
12	7, 11	mpbid 231	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑉 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((𝑉‘0) = (𝐴 + 𝑋) ∧ (𝑉‘𝑀) = (𝐵 + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑉‘𝑖) < (𝑉‘(𝑖 + 1)))))
13	12	simpld 494	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)))
14		elmapi 8859	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) → 𝑉:(0...𝑀)⟶ℝ)
15	13, 14	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑉:(0...𝑀)⟶ℝ)
16	15, 6	ffvelcdmd 7089	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑉‘𝐼) ∈ ℝ)
17		fourierdlem13.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
18	16, 17	resubcld 11664	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑉‘𝐼) − 𝑋) ∈ ℝ)
19	2, 5, 6, 18	fvmptd 7006	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝐼) = ((𝑉‘𝐼) − 𝑋))
20	19	oveq2d 7430	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + (𝑄‘𝐼)) = (𝑋 + ((𝑉‘𝐼) − 𝑋)))
21	17	recnd 11264	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
22	16	recnd 11264	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑉‘𝐼) ∈ ℂ)
23	21, 22	pncan3d 11596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + ((𝑉‘𝐼) − 𝑋)) = (𝑉‘𝐼))
24	20, 23	eqtr2d 2768	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑉‘𝐼) = (𝑋 + (𝑄‘𝐼)))
25	19, 24	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝐼) = ((𝑉‘𝐼) − 𝑋) ∧ (𝑉‘𝐼) = (𝑋 + (𝑄‘𝐼))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∀wral 3056  {crab 3427   class class class wbr 5142   ↦ cmpt 5225  ⟶wf 6538  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414   ↑_m cmap 8836  ℝcr 11129  0cc0 11130  1c1 11131   + caddc 11133   < clt 11270   − cmin 11466  ℕcn 12234  ...cfz 13508  ..^cfzo 13651

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-er 8718  df-map 8838  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-ltxr 11275  df-sub 11468  df-neg 11469

This theorem is referenced by:  fourierdlem72  45489  fourierdlem103  45520  fourierdlem104  45521