Theorem fourierdlem13 43244

Description: Value of 𝑉 in terms of value of 𝑄. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem13.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem13.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem13.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem13.p	⊢ 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = (𝐴 + 𝑋) ∧ (𝑝‘𝑚) = (𝐵 + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
fourierdlem13.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
fourierdlem13.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ (𝑃‘𝑀))
fourierdlem13.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (0...𝑀))
fourierdlem13.q	⊢ 𝑄 = (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑉‘𝑖) − 𝑋))

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem13	⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝐼) = ((𝑉‘𝐼) − 𝑋) ∧ (𝑉‘𝐼) = (𝑋 + (𝑄‘𝐼))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑚,𝑝   𝐵,𝑚,𝑝   𝑖,𝐼   𝑖,𝑀,𝑚,𝑝   𝑖,𝑉,𝑝   𝑖,𝑋,𝑚,𝑝   𝜑,𝑖

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑝)   𝐴(𝑖)   𝐵(𝑖)   𝑃(𝑖,𝑚,𝑝)   𝑄(𝑖,𝑚,𝑝)   𝐼(𝑚,𝑝)   𝑉(𝑚)

Proof of Theorem fourierdlem13

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem13.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑉‘𝑖) − 𝑋))
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑉‘𝑖) − 𝑋)))
3		simpr 488	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 𝐼) → 𝑖 = 𝐼)
4	3	fveq2d 6691	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 𝐼) → (𝑉‘𝑖) = (𝑉‘𝐼))
5	4	oveq1d 7198	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 𝐼) → ((𝑉‘𝑖) − 𝑋) = ((𝑉‘𝐼) − 𝑋))
6		fourierdlem13.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (0...𝑀))
7		fourierdlem13.v	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ (𝑃‘𝑀))
8		fourierdlem13.m	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
9		fourierdlem13.p	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = (𝐴 + 𝑋) ∧ (𝑝‘𝑚) = (𝐵 + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
10	9	fourierdlem2 43233	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑉 ∈ (𝑃‘𝑀) ↔ (𝑉 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((𝑉‘0) = (𝐴 + 𝑋) ∧ (𝑉‘𝑀) = (𝐵 + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑉‘𝑖) < (𝑉‘(𝑖 + 1))))))
11	8, 10	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑉 ∈ (𝑃‘𝑀) ↔ (𝑉 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((𝑉‘0) = (𝐴 + 𝑋) ∧ (𝑉‘𝑀) = (𝐵 + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑉‘𝑖) < (𝑉‘(𝑖 + 1))))))
12	7, 11	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑉 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((𝑉‘0) = (𝐴 + 𝑋) ∧ (𝑉‘𝑀) = (𝐵 + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑉‘𝑖) < (𝑉‘(𝑖 + 1)))))
13	12	simpld 498	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)))
14		elmapi 8472	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) → 𝑉:(0...𝑀)⟶ℝ)
15	13, 14	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑉:(0...𝑀)⟶ℝ)
16	15, 6	ffvelrnd 6875	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑉‘𝐼) ∈ ℝ)
17		fourierdlem13.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
18	16, 17	resubcld 11159	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑉‘𝐼) − 𝑋) ∈ ℝ)
19	2, 5, 6, 18	fvmptd 6795	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝐼) = ((𝑉‘𝐼) − 𝑋))
20	19	oveq2d 7199	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + (𝑄‘𝐼)) = (𝑋 + ((𝑉‘𝐼) − 𝑋)))
21	17	recnd 10760	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
22	16	recnd 10760	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑉‘𝐼) ∈ ℂ)
23	21, 22	pncan3d 11091	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + ((𝑉‘𝐼) − 𝑋)) = (𝑉‘𝐼))
24	20, 23	eqtr2d 2775	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑉‘𝐼) = (𝑋 + (𝑄‘𝐼)))
25	19, 24	jca 515	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝐼) = ((𝑉‘𝐼) − 𝑋) ∧ (𝑉‘𝐼) = (𝑋 + (𝑄‘𝐼))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3054  {crab 3058   class class class wbr 5040   ↦ cmpt 5120  ⟶wf 6346  ‘cfv 6350  (class class class)co 7183   ↑_m cmap 8450  ℝcr 10627  0cc0 10628  1c1 10629   + caddc 10631   < clt 10766   − cmin 10961  ℕcn 11729  ...cfz 12994  ..^cfzo 13137

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7492  ax-resscn 10685  ax-1cn 10686  ax-icn 10687  ax-addcl 10688  ax-addrcl 10689  ax-mulcl 10690  ax-mulrcl 10691  ax-mulcom 10692  ax-addass 10693  ax-mulass 10694  ax-distr 10695  ax-i2m1 10696  ax-1ne0 10697  ax-1rid 10698  ax-rnegex 10699  ax-rrecex 10700  ax-cnre 10701  ax-pre-lttri 10702  ax-pre-lttrn 10703  ax-pre-ltadd 10704

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-csb 3801  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-nul 4222  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-op 4533  df-uni 4807  df-iun 4893  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-id 5439  df-po 5452  df-so 5453  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-iota 6308  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-riota 7140  df-ov 7186  df-oprab 7187  df-mpo 7188  df-1st 7727  df-2nd 7728  df-er 8333  df-map 8452  df-en 8569  df-dom 8570  df-sdom 8571  df-pnf 10768  df-mnf 10769  df-ltxr 10771  df-sub 10963  df-neg 10964

This theorem is referenced by:  fourierdlem72  43302  fourierdlem103  43333  fourierdlem104  43334