Theorem fourierdlem13 46478

Description: Value of 𝑉 in terms of value of 𝑄. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem13.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem13.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem13.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem13.p	⊢ 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = (𝐴 + 𝑋) ∧ (𝑝‘𝑚) = (𝐵 + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
fourierdlem13.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
fourierdlem13.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ (𝑃‘𝑀))
fourierdlem13.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (0...𝑀))
fourierdlem13.q	⊢ 𝑄 = (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑉‘𝑖) − 𝑋))

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem13	⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝐼) = ((𝑉‘𝐼) − 𝑋) ∧ (𝑉‘𝐼) = (𝑋 + (𝑄‘𝐼))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑚,𝑝   𝐵,𝑚,𝑝   𝑖,𝐼   𝑖,𝑀,𝑚,𝑝   𝑖,𝑉,𝑝   𝑖,𝑋,𝑚,𝑝   𝜑,𝑖

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑝)   𝐴(𝑖)   𝐵(𝑖)   𝑃(𝑖,𝑚,𝑝)   𝑄(𝑖,𝑚,𝑝)   𝐼(𝑚,𝑝)   𝑉(𝑚)

Proof of Theorem fourierdlem13

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem13.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑉‘𝑖) − 𝑋))
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑉‘𝑖) − 𝑋)))
3		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 𝐼) → 𝑖 = 𝐼)
4	3	fveq2d 6846	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 𝐼) → (𝑉‘𝑖) = (𝑉‘𝐼))
5	4	oveq1d 7383	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 𝐼) → ((𝑉‘𝑖) − 𝑋) = ((𝑉‘𝐼) − 𝑋))
6		fourierdlem13.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (0...𝑀))
7		fourierdlem13.v	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ (𝑃‘𝑀))
8		fourierdlem13.m	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
9		fourierdlem13.p	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = (𝐴 + 𝑋) ∧ (𝑝‘𝑚) = (𝐵 + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
10	9	fourierdlem2 46467	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑉 ∈ (𝑃‘𝑀) ↔ (𝑉 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((𝑉‘0) = (𝐴 + 𝑋) ∧ (𝑉‘𝑀) = (𝐵 + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑉‘𝑖) < (𝑉‘(𝑖 + 1))))))
11	8, 10	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑉 ∈ (𝑃‘𝑀) ↔ (𝑉 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((𝑉‘0) = (𝐴 + 𝑋) ∧ (𝑉‘𝑀) = (𝐵 + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑉‘𝑖) < (𝑉‘(𝑖 + 1))))))
12	7, 11	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑉 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((𝑉‘0) = (𝐴 + 𝑋) ∧ (𝑉‘𝑀) = (𝐵 + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑉‘𝑖) < (𝑉‘(𝑖 + 1)))))
13	12	simpld 494	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)))
14		elmapi 8798	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) → 𝑉:(0...𝑀)⟶ℝ)
15	13, 14	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑉:(0...𝑀)⟶ℝ)
16	15, 6	ffvelcdmd 7039	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑉‘𝐼) ∈ ℝ)
17		fourierdlem13.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
18	16, 17	resubcld 11577	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑉‘𝐼) − 𝑋) ∈ ℝ)
19	2, 5, 6, 18	fvmptd 6957	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝐼) = ((𝑉‘𝐼) − 𝑋))
20	19	oveq2d 7384	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + (𝑄‘𝐼)) = (𝑋 + ((𝑉‘𝐼) − 𝑋)))
21	17	recnd 11172	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
22	16	recnd 11172	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑉‘𝐼) ∈ ℂ)
23	21, 22	pncan3d 11507	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + ((𝑉‘𝐼) − 𝑋)) = (𝑉‘𝐼))
24	20, 23	eqtr2d 2773	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑉‘𝐼) = (𝑋 + (𝑄‘𝐼)))
25	19, 24	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝐼) = ((𝑉‘𝐼) − 𝑋) ∧ (𝑉‘𝐼) = (𝑋 + (𝑄‘𝐼))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  {crab 3401   class class class wbr 5100   ↦ cmpt 5181  ⟶wf 6496  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368   ↑_m cmap 8775  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   < clt 11178   − cmin 11376  ℕcn 12157  ...cfz 13435  ..^cfzo 13582

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-po 5540  df-so 5541  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-er 8645  df-map 8777  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-ltxr 11183  df-sub 11378  df-neg 11379

This theorem is referenced by:  fourierdlem72  46536  fourierdlem103  46567  fourierdlem104  46568