Theorem pncan3d 11620

Description: Subtraction and addition of equals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
pncan3d	⊢ (𝜑 → (𝐴 + (𝐵 − 𝐴)) = 𝐵)

Proof of Theorem pncan3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		pncan3 11513	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + (𝐵 − 𝐴)) = 𝐵)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + (𝐵 − 𝐴)) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1536   ∈ wcel 2105  (class class class)co 7430  ℂcc 11150   + caddc 11155   − cmin 11489

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-po 5596  df-so 5597  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-ltxr 11297  df-sub 11491

This theorem is referenced by:  xralrple  13243  quoremz  13891  quoremnn0ALT  13893  intfrac2  13894  intfrac  13922  2cshwcshw  14860  isercoll2  15701  iseralt  15717  mertenslem1  15916  fprodser  15981  risefacfac  16067  fallfacfwd  16068  eflt  16149  efival  16184  bitsmod  16469  bitsinv1lem  16474  odzdvds  16828  modprm0  16838  pcaddlem  16921  vdwapun  17007  vdwlem12  17025  odmodnn0  19572  mndodconglem  19573  pzriprnglem10  21518  mhpmulcl  22170  psdmul  22187  minveclem4  25479  ivthlem2  25500  dvn2bss  25980  ftc2  26099  mdegmullem  26131  plymullem1  26267  dvtaylp  26426  dvntaylp  26427  dvntaylp0  26428  taylthlem1  26429  ulmbdd  26455  affineequiv  26880  mcubic  26904  quart1lem  26912  quart1  26913  asinsin  26949  birthdaylem2  27009  emcllem6  27058  perfectlem2  27288  lgseisenlem4  27436  lgsquadlem1  27438  addsqnreup  27501  dchrisumlem1  27547  dchrvmasum2if  27555  dchrisum0lem1  27574  selberg3  27617  axsegconlem10  28955  smcnlem  30725  swrdrn3  32924  cycpmco2lem6  33133  oddpwdc  34335  revpfxsfxrev  35099  itg2addnclem3  37659  ftc2nc  37688  dvrelogpow2b  42049  hashscontpow1  42102  sticksstones10  42136  sticksstones12a  42138  metakunt16  42201  metakunt20  42205  frlmvscadiccat  42492  dffltz  42620  fltnltalem  42648  fltnlta  42649  fzisoeu  45250  lptre2pt  45595  0ellimcdiv  45604  climleltrp  45631  ioodvbdlimc1lem2  45887  dvnprodlem1  45901  itgsinexp  45910  itgsbtaddcnst  45937  dirkertrigeqlem2  46054  fourierdlem4  46066  fourierdlem13  46075  fourierdlem26  46088  fourierdlem41  46103  fourierdlem42  46104  fourierdlem50  46111  fourierdlem60  46121  fourierdlem61  46122  fourierdlem74  46135  fourierdlem75  46136  fourierdlem76  46137  fourierdlem84  46145  fourierdlem89  46150  fourierdlem90  46151  fourierdlem91  46152  fourierdlem93  46154  fourierdlem101  46162  fourierdlem107  46168  fourierdlem111  46172  fourierdlem112  46173  fouriersw  46186  smfaddlem1  46718  sigarcol  46819  perfectALTVlem2  47646  nnpw2pmod  48432  rrx2vlinest  48590  itsclc0xyqsolr  48618