Theorem pncan3d 11578

Description: Subtraction and addition of equals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
pncan3d	⊢ (𝜑 → (𝐴 + (𝐵 − 𝐴)) = 𝐵)

Proof of Theorem pncan3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		pncan3 11472	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + (𝐵 − 𝐴)) = 𝐵)
4	1, 2, 3	syl2anc 582	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + (𝐵 − 𝐴)) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  (class class class)co 7411  ℂcc 11110   + caddc 11115   − cmin 11448

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-ltxr 11257  df-sub 11450

This theorem is referenced by:  xralrple  13188  quoremz  13824  quoremnn0ALT  13826  intfrac2  13827  intfrac  13855  2cshwcshw  14780  isercoll2  15619  iseralt  15635  mertenslem1  15834  fprodser  15897  risefacfac  15983  fallfacfwd  15984  eflt  16064  efival  16099  bitsmod  16381  bitsinv1lem  16386  odzdvds  16732  modprm0  16742  pcaddlem  16825  vdwapun  16911  vdwlem12  16929  odmodnn0  19449  mndodconglem  19450  pzriprnglem10  21259  mhpmulcl  21911  minveclem4  25180  ivthlem2  25201  dvn2bss  25680  ftc2  25796  mdegmullem  25831  plymullem1  25963  dvtaylp  26118  dvntaylp  26119  dvntaylp0  26120  taylthlem1  26121  ulmbdd  26146  affineequiv  26564  mcubic  26588  quart1lem  26596  quart1  26597  asinsin  26633  birthdaylem2  26693  emcllem6  26741  perfectlem2  26969  lgseisenlem4  27117  lgsquadlem1  27119  addsqnreup  27182  dchrisumlem1  27228  dchrvmasum2if  27236  dchrisum0lem1  27255  selberg3  27298  axsegconlem10  28451  smcnlem  30217  swrdrn3  32386  cycpmco2lem6  32560  oddpwdc  33651  revpfxsfxrev  34404  itg2addnclem3  36844  ftc2nc  36873  dvrelogpow2b  41239  sticksstones10  41277  sticksstones12a  41279  metakunt16  41306  metakunt20  41310  frlmvscadiccat  41386  dffltz  41678  fltnltalem  41706  fltnlta  41707  fzisoeu  44308  lptre2pt  44654  0ellimcdiv  44663  climleltrp  44690  ioodvbdlimc1lem2  44946  dvnprodlem1  44960  itgsinexp  44969  itgsbtaddcnst  44996  dirkertrigeqlem2  45113  fourierdlem4  45125  fourierdlem13  45134  fourierdlem26  45147  fourierdlem41  45162  fourierdlem42  45163  fourierdlem50  45170  fourierdlem60  45180  fourierdlem61  45181  fourierdlem74  45194  fourierdlem75  45195  fourierdlem76  45196  fourierdlem84  45204  fourierdlem89  45209  fourierdlem90  45210  fourierdlem91  45211  fourierdlem93  45213  fourierdlem101  45221  fourierdlem107  45227  fourierdlem111  45231  fourierdlem112  45232  fouriersw  45245  smfaddlem1  45777  sigarcol  45878  perfectALTVlem2  46688  nnpw2pmod  47356  rrx2vlinest  47514  itsclc0xyqsolr  47542