Theorem pncan3d 11508

Description: Subtraction and addition of equals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
pncan3d	⊢ (𝜑 → (𝐴 + (𝐵 − 𝐴)) = 𝐵)

Proof of Theorem pncan3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		pncan3 11401	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + (𝐵 − 𝐴)) = 𝐵)
4	1, 2, 3	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + (𝐵 − 𝐴)) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7367  ℂcc 11036   + caddc 11041   − cmin 11377

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-ltxr 11184  df-sub 11379

This theorem is referenced by:  xralrple  13157  quoremz  13814  quoremnn0ALT  13816  intfrac2  13817  intfrac  13845  2cshwcshw  14787  isercoll2  15631  iseralt  15647  mertenslem1  15849  fprodser  15914  risefacfac  16000  fallfacfwd  16001  eflt  16084  efival  16119  bitsmod  16405  bitsinv1lem  16410  odzdvds  16766  modprm0  16776  pcaddlem  16859  vdwapun  16945  vdwlem12  16963  odmodnn0  19515  mndodconglem  19516  pzriprnglem10  21470  mhpmulcl  22115  psdmul  22132  minveclem4  25399  ivthlem2  25419  dvn2bss  25897  ftc2  26011  mdegmullem  26043  plymullem1  26179  dvtaylp  26335  dvntaylp  26336  dvntaylp0  26337  taylthlem1  26338  ulmbdd  26363  affineequiv  26787  mcubic  26811  quart1lem  26819  quart1  26820  asinsin  26856  birthdaylem2  26916  emcllem6  26964  perfectlem2  27193  lgseisenlem4  27341  lgsquadlem1  27343  addsqnreup  27406  dchrisumlem1  27452  dchrvmasum2if  27460  dchrisum0lem1  27479  selberg3  27522  axsegconlem10  28995  smcnlem  30768  swrdrn3  33015  cycpmco2lem6  33192  constrremulcl  33911  constrreinvcl  33916  oddpwdc  34498  revpfxsfxrev  35298  itg2addnclem3  37994  ftc2nc  38023  dvrelogpow2b  42507  hashscontpow1  42560  sticksstones10  42594  sticksstones12a  42596  frlmvscadiccat  42951  dffltz  43067  fltnltalem  43095  fltnlta  43096  fzisoeu  45733  lptre2pt  46068  0ellimcdiv  46077  climleltrp  46104  ioodvbdlimc1lem2  46360  dvnprodlem1  46374  itgsinexp  46383  itgsbtaddcnst  46410  dirkertrigeqlem2  46527  fourierdlem4  46539  fourierdlem13  46548  fourierdlem26  46561  fourierdlem41  46576  fourierdlem42  46577  fourierdlem50  46584  fourierdlem60  46594  fourierdlem61  46595  fourierdlem74  46608  fourierdlem75  46609  fourierdlem76  46610  fourierdlem84  46618  fourierdlem89  46623  fourierdlem90  46624  fourierdlem91  46625  fourierdlem93  46627  fourierdlem101  46635  fourierdlem107  46641  fourierdlem111  46645  fourierdlem112  46646  fouriersw  46659  smfaddlem1  47191  sigarcol  47292  perfectALTVlem2  48198  nnpw2pmod  49059  rrx2vlinest  49217  itsclc0xyqsolr  49245