Theorem pncan3d 11499

Description: Subtraction and addition of equals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
pncan3d	⊢ (𝜑 → (𝐴 + (𝐵 − 𝐴)) = 𝐵)

Proof of Theorem pncan3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		pncan3 11392	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + (𝐵 − 𝐴)) = 𝐵)
4	1, 2, 3	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + (𝐵 − 𝐴)) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7360  ℂcc 11027   + caddc 11032   − cmin 11368

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-ltxr 11175  df-sub 11370

This theorem is referenced by:  xralrple  13148  quoremz  13805  quoremnn0ALT  13807  intfrac2  13808  intfrac  13836  2cshwcshw  14778  isercoll2  15622  iseralt  15638  mertenslem1  15840  fprodser  15905  risefacfac  15991  fallfacfwd  15992  eflt  16075  efival  16110  bitsmod  16396  bitsinv1lem  16401  odzdvds  16757  modprm0  16767  pcaddlem  16850  vdwapun  16936  vdwlem12  16954  odmodnn0  19506  mndodconglem  19507  pzriprnglem10  21480  mhpmulcl  22125  psdmul  22142  minveclem4  25409  ivthlem2  25429  dvn2bss  25907  ftc2  26021  mdegmullem  26053  plymullem1  26189  dvtaylp  26347  dvntaylp  26348  dvntaylp0  26349  taylthlem1  26350  ulmbdd  26376  affineequiv  26800  mcubic  26824  quart1lem  26832  quart1  26833  asinsin  26869  birthdaylem2  26929  emcllem6  26978  perfectlem2  27207  lgseisenlem4  27355  lgsquadlem1  27357  addsqnreup  27420  dchrisumlem1  27466  dchrvmasum2if  27474  dchrisum0lem1  27493  selberg3  27536  axsegconlem10  29009  smcnlem  30783  swrdrn3  33030  cycpmco2lem6  33207  constrremulcl  33927  constrreinvcl  33932  oddpwdc  34514  revpfxsfxrev  35314  itg2addnclem3  38008  ftc2nc  38037  dvrelogpow2b  42521  hashscontpow1  42574  sticksstones10  42608  sticksstones12a  42610  frlmvscadiccat  42965  dffltz  43081  fltnltalem  43109  fltnlta  43110  fzisoeu  45751  lptre2pt  46086  0ellimcdiv  46095  climleltrp  46122  ioodvbdlimc1lem2  46378  dvnprodlem1  46392  itgsinexp  46401  itgsbtaddcnst  46428  dirkertrigeqlem2  46545  fourierdlem4  46557  fourierdlem13  46566  fourierdlem26  46579  fourierdlem41  46594  fourierdlem42  46595  fourierdlem50  46602  fourierdlem60  46612  fourierdlem61  46613  fourierdlem74  46626  fourierdlem75  46627  fourierdlem76  46628  fourierdlem84  46636  fourierdlem89  46641  fourierdlem90  46642  fourierdlem91  46643  fourierdlem93  46645  fourierdlem101  46653  fourierdlem107  46659  fourierdlem111  46663  fourierdlem112  46664  fouriersw  46677  smfaddlem1  47209  sigarcol  47310  perfectALTVlem2  48210  nnpw2pmod  49071  rrx2vlinest  49229  itsclc0xyqsolr  49257