Theorem pncan3d 11475

Description: Subtraction and addition of equals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
pncan3d	⊢ (𝜑 → (𝐴 + (𝐵 − 𝐴)) = 𝐵)

Proof of Theorem pncan3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		pncan3 11368	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + (𝐵 − 𝐴)) = 𝐵)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + (𝐵 − 𝐴)) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7346  ℂcc 11004   + caddc 11009   − cmin 11344

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-id 5511  df-po 5524  df-so 5525  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-ltxr 11151  df-sub 11346

This theorem is referenced by:  xralrple  13104  quoremz  13759  quoremnn0ALT  13761  intfrac2  13762  intfrac  13790  2cshwcshw  14732  isercoll2  15576  iseralt  15592  mertenslem1  15791  fprodser  15856  risefacfac  15942  fallfacfwd  15943  eflt  16026  efival  16061  bitsmod  16347  bitsinv1lem  16352  odzdvds  16707  modprm0  16717  pcaddlem  16800  vdwapun  16886  vdwlem12  16904  odmodnn0  19453  mndodconglem  19454  pzriprnglem10  21428  mhpmulcl  22065  psdmul  22082  minveclem4  25360  ivthlem2  25381  dvn2bss  25860  ftc2  25979  mdegmullem  26011  plymullem1  26147  dvtaylp  26306  dvntaylp  26307  dvntaylp0  26308  taylthlem1  26309  ulmbdd  26335  affineequiv  26761  mcubic  26785  quart1lem  26793  quart1  26794  asinsin  26830  birthdaylem2  26890  emcllem6  26939  perfectlem2  27169  lgseisenlem4  27317  lgsquadlem1  27319  addsqnreup  27382  dchrisumlem1  27428  dchrvmasum2if  27436  dchrisum0lem1  27455  selberg3  27498  axsegconlem10  28905  smcnlem  30675  swrdrn3  32934  cycpmco2lem6  33098  constrremulcl  33778  constrreinvcl  33783  oddpwdc  34365  revpfxsfxrev  35158  itg2addnclem3  37719  ftc2nc  37748  dvrelogpow2b  42107  hashscontpow1  42160  sticksstones10  42194  sticksstones12a  42196  frlmvscadiccat  42545  dffltz  42673  fltnltalem  42701  fltnlta  42702  fzisoeu  45347  lptre2pt  45684  0ellimcdiv  45693  climleltrp  45720  ioodvbdlimc1lem2  45976  dvnprodlem1  45990  itgsinexp  45999  itgsbtaddcnst  46026  dirkertrigeqlem2  46143  fourierdlem4  46155  fourierdlem13  46164  fourierdlem26  46177  fourierdlem41  46192  fourierdlem42  46193  fourierdlem50  46200  fourierdlem60  46210  fourierdlem61  46211  fourierdlem74  46224  fourierdlem75  46225  fourierdlem76  46226  fourierdlem84  46234  fourierdlem89  46239  fourierdlem90  46240  fourierdlem91  46241  fourierdlem93  46243  fourierdlem101  46251  fourierdlem107  46257  fourierdlem111  46261  fourierdlem112  46262  fouriersw  46275  smfaddlem1  46807  sigarcol  46908  perfectALTVlem2  47759  nnpw2pmod  48621  rrx2vlinest  48779  itsclc0xyqsolr  48807