Theorem pncan3d 11590

Description: Subtraction and addition of equals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
pncan3d	⊢ (𝜑 → (𝐴 + (𝐵 − 𝐴)) = 𝐵)

Proof of Theorem pncan3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		pncan3 11483	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + (𝐵 − 𝐴)) = 𝐵)
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + (𝐵 − 𝐴)) = 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  (class class class)co 7423  ℂcc 11116   + caddc 11121   − cmin 11459

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5561  df-po 5574  df-so 5575  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-ltxr 11266  df-sub 11461

This theorem is used by:  xralrple  13249  quoremz  13908  quoremnn0ALT  13910  intfrac2  13911  intfrac  13939  swrdrn3  14714  revpfxsfxrev  14829  2cshwcshw  14888  isercoll2  15746  iseralt  15762  mertenslem1  15964  fprodser  16029  risefacfac  16114  fallfacfwd  16115  eflt  16198  efival  16233  bitsmod  16519  bitsinv1lem  16524  odzdvds  16880  modprm0  16890  pcaddlem  16973  vdwapun  17059  vdwlem12  17077  odmodnn0  19641  mndodconglem  19642  pzriprnglem10  21677  mhpmulcl  22349  psdmul  22366  minveclem4  25628  ivthlem2  25648  dvn2bss  26126  ftc2  26240  mdegmullem  26272  plymullem1  26408  dvtaylp  26570  dvntaylp  26571  dvntaylp0  26572  taylthlem1  26573  ulmbdd  26598  affineequiv  27025  mcubic  27049  quart1lem  27057  quart1  27058  asinsin  27094  birthdaylem2  27154  emcllem6  27202  perfectlem2  27431  lgseisenlem4  27579  lgsquadlem1  27581  addsqnreup  27644  dchrisumlem1  27690  dchrvmasum2if  27698  dchrisum0lem1  27717  selberg3  27760  axsegconlem10  29313  smcnlem  31086  cycpmco2lem6  33482  constrremulcl  34188  constrreinvcl  34193  oddpwdc  34776  itg2addnclem3  38365  ftc2nc  38394  dvrelogpow2b  42876  hashscontpow1  42929  sticksstones10  42963  sticksstones12a  42965  frlmvscadiccat  43321  dffltz  43407  fltnltalem  43435  fltnlta  43436  fzisoeu  46060  lptre2pt  46395  0ellimcdiv  46404  climleltrp  46431  ioodvbdlimc1lem2  46687  dvnprodlem1  46701  itgsinexp  46710  itgsbtaddcnst  46737  dirkertrigeqlem2  46854  fourierdlem4  46866  fourierdlem13  46875  fourierdlem26  46888  fourierdlem41  46903  fourierdlem42  46904  fourierdlem50  46911  fourierdlem60  46921  fourierdlem61  46922  fourierdlem74  46935  fourierdlem75  46936  fourierdlem76  46937  fourierdlem84  46945  fourierdlem89  46950  fourierdlem90  46951  fourierdlem91  46952  fourierdlem93  46954  fourierdlem101  46962  fourierdlem107  46968  fourierdlem111  46972  fourierdlem112  46973  fouriersw  46986  smfaddlem1  47518  sigarcol  47619  perfectALTVlem2  48528  nnpw2pmod  49404  rrx2vlinest  49562  itsclc0xyqsolr  49590