Theorem pncan3d 11344

Description: Subtraction and addition of equals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
pncan3d	⊢ (𝜑 → (𝐴 + (𝐵 − 𝐴)) = 𝐵)

Proof of Theorem pncan3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		pncan3 11238	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + (𝐵 − 𝐴)) = 𝐵)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + (𝐵 − 𝐴)) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7284  ℂcc 10878   + caddc 10883   − cmin 11214

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2710  ax-sep 5224  ax-nul 5231  ax-pow 5289  ax-pr 5353  ax-un 7597  ax-resscn 10937  ax-1cn 10938  ax-icn 10939  ax-addcl 10940  ax-addrcl 10941  ax-mulcl 10942  ax-mulrcl 10943  ax-mulcom 10944  ax-addass 10945  ax-mulass 10946  ax-distr 10947  ax-i2m1 10948  ax-1ne0 10949  ax-1rid 10950  ax-rnegex 10951  ax-rrecex 10952  ax-cnre 10953  ax-pre-lttri 10954  ax-pre-lttrn 10955  ax-pre-ltadd 10956

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3073  df-rab 3074  df-v 3435  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4841  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-id 5490  df-po 5504  df-so 5505  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-iota 6395  df-fun 6439  df-fn 6440  df-f 6441  df-f1 6442  df-fo 6443  df-f1o 6444  df-fv 6445  df-riota 7241  df-ov 7287  df-oprab 7288  df-mpo 7289  df-er 8507  df-en 8743  df-dom 8744  df-sdom 8745  df-pnf 11020  df-mnf 11021  df-ltxr 11023  df-sub 11216

This theorem is referenced by:  xralrple  12948  quoremz  13584  quoremnn0ALT  13586  intfrac2  13587  intfrac  13615  2cshwcshw  14547  isercoll2  15389  iseralt  15405  mertenslem1  15605  fprodser  15668  risefacfac  15754  fallfacfwd  15755  eflt  15835  efival  15870  bitsmod  16152  bitsinv1lem  16157  odzdvds  16505  modprm0  16515  pcaddlem  16598  vdwapun  16684  vdwlem12  16702  odmodnn0  19157  mndodconglem  19158  mhpmulcl  21348  minveclem4  24605  ivthlem2  24625  dvn2bss  25103  ftc2  25217  mdegmullem  25252  plymullem1  25384  dvtaylp  25538  dvntaylp  25539  dvntaylp0  25540  taylthlem1  25541  ulmbdd  25566  affineequiv  25982  mcubic  26006  quart1lem  26014  quart1  26015  asinsin  26051  birthdaylem2  26111  emcllem6  26159  perfectlem2  26387  lgseisenlem4  26535  lgsquadlem1  26537  addsqnreup  26600  dchrisumlem1  26646  dchrvmasum2if  26654  dchrisum0lem1  26673  selberg3  26716  axsegconlem10  27303  smcnlem  29068  swrdrn3  31236  cycpmco2lem6  31407  oddpwdc  32330  revpfxsfxrev  33086  itg2addnclem3  35839  ftc2nc  35868  dvrelogpow2b  40083  sticksstones10  40118  sticksstones12a  40120  metakunt16  40147  metakunt20  40151  frlmvscadiccat  40244  dffltz  40478  fltnltalem  40506  fltnlta  40507  fzisoeu  42846  lptre2pt  43188  0ellimcdiv  43197  climleltrp  43224  ioodvbdlimc1lem2  43480  dvnprodlem1  43494  itgsinexp  43503  itgsbtaddcnst  43530  dirkertrigeqlem2  43647  fourierdlem4  43659  fourierdlem13  43668  fourierdlem26  43681  fourierdlem41  43696  fourierdlem42  43697  fourierdlem50  43704  fourierdlem60  43714  fourierdlem61  43715  fourierdlem74  43728  fourierdlem75  43729  fourierdlem76  43730  fourierdlem84  43738  fourierdlem89  43743  fourierdlem90  43744  fourierdlem91  43745  fourierdlem93  43747  fourierdlem101  43755  fourierdlem107  43761  fourierdlem111  43765  fourierdlem112  43766  fouriersw  43779  smfaddlem1  44308  sigarcol  44391  perfectALTVlem2  45185  nnpw2pmod  45940  rrx2vlinest  46098  itsclc0xyqsolr  46126