Theorem pncan3d 11702

Description: Subtraction and addition of equals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
pncan3d	⊢ (𝜑 → (𝐴 + (𝐵 − 𝐴)) = 𝐵)

Proof of Theorem pncan3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		pncan3 11595	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + (𝐵 − 𝐴)) = 𝐵)
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + (𝐵 − 𝐴)) = 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  (class class class)co 7446  ℂcc 11228   + caddc 11233   − cmin 11571

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5551  df-po 5564  df-so 5565  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-er 8748  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-ltxr 11378  df-sub 11573

This theorem is used by:  xralrple  13365  quoremz  14025  quoremnn0ALT  14027  intfrac2  14028  intfrac  14056  swrdrn3  14833  revpfxsfxrev  14948  2cshwcshw  15007  isercoll2  15868  iseralt  15884  mertenslem1  16085  fprodser  16148  risefacfac  16233  fallfacfwd  16234  eflt  16317  efival  16352  bitsmod  16638  bitsinv1lem  16643  odzdvds  17005  modprm0  17015  pcaddlem  17098  vdwapun  17184  vdwlem12  17202  odmodnn0  19787  mndodconglem  19788  pzriprnglem10  21829  mhpmulcl  22503  psdmul  22520  minveclem4  25786  ivthlem2  25806  dvn2bss  26283  ftc2  26397  mdegmullem  26429  plymullem1  26566  dvtaylp  26730  dvntaylp  26731  dvntaylp0  26732  taylthlem1  26733  ulmbdd  26758  affineequiv  27184  mcubic  27208  quart1lem  27216  quart1  27217  asinsin  27253  birthdaylem2  27313  emcllem6  27361  perfectlem2  27590  lgseisenlem4  27738  lgsquadlem1  27740  addsqnreup  27803  dchrisumlem1  27849  dchrvmasum2if  27857  dchrisum0lem1  27876  selberg3  27919  axsegconlem10  29537  smcnlem  31332  cycpmco2lem6  33768  constrremulcl  34482  constrreinvcl  34487  oddpwdc  35069  itg2addnclem3  38796  ftc2nc  38825  dvrelogpow2b  43321  hashscontpow1  43374  sticksstones10  43408  sticksstones12a  43410  frlmvscadiccat  43777  dffltz  43874  fltnltalem  43877  fltnlta  43878  fzisoeu  46531  lptre2pt  46865  0ellimcdiv  46874  climleltrp  46901  ioodvbdlimc1lem2  47157  dvnprodlem1  47171  itgsinexp  47180  itgsbtaddcnst  47207  dirkertrigeqlem2  47324  fourierdlem4  47336  fourierdlem13  47345  fourierdlem26  47358  fourierdlem41  47373  fourierdlem42  47374  fourierdlem50  47381  fourierdlem60  47391  fourierdlem61  47392  fourierdlem74  47405  fourierdlem75  47406  fourierdlem76  47407  fourierdlem84  47415  fourierdlem89  47420  fourierdlem90  47421  fourierdlem91  47422  fourierdlem93  47424  fourierdlem101  47432  fourierdlem107  47438  fourierdlem111  47442  fourierdlem112  47443  fouriersw  47456  smfaddlem1  47988  sigarcol  48089  perfectALTVlem2  49035  nnpw2pmod  49910  rrx2vlinest  50068  itsclc0xyqsolr  50096