Theorem pncan3d 10801

Description: Subtraction and addition of equals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
pncan3d	⊢ (𝜑 → (𝐴 + (𝐵 − 𝐴)) = 𝐵)

Proof of Theorem pncan3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		pncan3 10694	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + (𝐵 − 𝐴)) = 𝐵)
4	1, 2, 3	syl2anc 576	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + (𝐵 − 𝐴)) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1507   ∈ wcel 2050  (class class class)co 6976  ℂcc 10333   + caddc 10338   − cmin 10670

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3682  df-csb 3787  df-dif 3832  df-un 3834  df-in 3836  df-ss 3843  df-nul 4179  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-op 4448  df-uni 4713  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-id 5312  df-po 5326  df-so 5327  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-er 8089  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-ltxr 10479  df-sub 10672

This theorem is referenced by:  xralrple  12415  quoremz  13038  quoremnn0ALT  13040  intfrac2  13041  intfrac  13069  ccatpfx  13883  2cshwcshw  14049  isercoll2  14886  iseralt  14902  mertenslem1  15100  fprodser  15163  risefacfac  15249  fallfacfwd  15250  eflt  15330  efival  15365  bitsmod  15645  bitsinv1lem  15650  odzdvds  15988  modprm0  15998  pcaddlem  16080  vdwapun  16166  vdwlem12  16184  odmodnn0  18430  mndodconglem  18431  minveclem4  23738  ivthlem2  23756  dvn2bss  24230  ftc2  24344  mdegmullem  24375  plymullem1  24507  dvtaylp  24661  dvntaylp  24662  dvntaylp0  24663  taylthlem1  24664  ulmbdd  24689  affineequiv  25102  mcubic  25126  quart1lem  25134  quart1  25135  asinsin  25171  birthdaylem2  25232  emcllem6  25280  perfectlem2  25508  lgseisenlem4  25656  lgsquadlem1  25658  addsqnreup  25721  dchrisumlem1  25767  dchrvmasum2if  25775  dchrisum0lem1  25794  selberg3  25837  axsegconlem10  26415  smcnlem  28251  oddpwdc  31263  itg2addnclem3  34392  ftc2nc  34423  frlmvscadiccat  38588  dffltz  38684  fltnltalem  38687  fltnlta  38688  fzisoeu  41002  lptre2pt  41358  0ellimcdiv  41367  climleltrp  41394  ioodvbdlimc1lem2  41653  dvnprodlem1  41667  itgsinexp  41676  itgsbtaddcnst  41703  dirkertrigeqlem2  41821  fourierdlem4  41833  fourierdlem13  41842  fourierdlem26  41855  fourierdlem41  41870  fourierdlem42  41871  fourierdlem50  41878  fourierdlem60  41888  fourierdlem61  41889  fourierdlem74  41902  fourierdlem75  41903  fourierdlem76  41904  fourierdlem84  41912  fourierdlem89  41917  fourierdlem90  41918  fourierdlem91  41919  fourierdlem93  41921  fourierdlem101  41929  fourierdlem107  41935  fourierdlem111  41939  fourierdlem112  41940  fouriersw  41953  smfaddlem1  42476  sigarcol  42558  perfectALTVlem2  43261  nnpw2pmod  44017  rrx2vlinest  44102  itsclc0xyqsolr  44130