Theorem pncan3d 11157

Description: Subtraction and addition of equals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
pncan3d	⊢ (𝜑 → (𝐴 + (𝐵 − 𝐴)) = 𝐵)

Proof of Theorem pncan3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		pncan3 11051	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + (𝐵 − 𝐴)) = 𝐵)
4	1, 2, 3	syl2anc 587	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + (𝐵 − 𝐴)) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1543   ∈ wcel 2112  (class class class)co 7191  ℂcc 10692   + caddc 10697   − cmin 11027

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7501  ax-resscn 10751  ax-1cn 10752  ax-icn 10753  ax-addcl 10754  ax-addrcl 10755  ax-mulcl 10756  ax-mulrcl 10757  ax-mulcom 10758  ax-addass 10759  ax-mulass 10760  ax-distr 10761  ax-i2m1 10762  ax-1ne0 10763  ax-1rid 10764  ax-rnegex 10765  ax-rrecex 10766  ax-cnre 10767  ax-pre-lttri 10768  ax-pre-lttrn 10769  ax-pre-ltadd 10770

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-op 4534  df-uni 4806  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-id 5440  df-po 5453  df-so 5454  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7148  df-ov 7194  df-oprab 7195  df-mpo 7196  df-er 8369  df-en 8605  df-dom 8606  df-sdom 8607  df-pnf 10834  df-mnf 10835  df-ltxr 10837  df-sub 11029

This theorem is referenced by:  xralrple  12760  quoremz  13393  quoremnn0ALT  13395  intfrac2  13396  intfrac  13424  2cshwcshw  14355  isercoll2  15197  iseralt  15213  mertenslem1  15411  fprodser  15474  risefacfac  15560  fallfacfwd  15561  eflt  15641  efival  15676  bitsmod  15958  bitsinv1lem  15963  odzdvds  16311  modprm0  16321  pcaddlem  16404  vdwapun  16490  vdwlem12  16508  odmodnn0  18886  mndodconglem  18887  mhpmulcl  21043  minveclem4  24283  ivthlem2  24303  dvn2bss  24781  ftc2  24895  mdegmullem  24930  plymullem1  25062  dvtaylp  25216  dvntaylp  25217  dvntaylp0  25218  taylthlem1  25219  ulmbdd  25244  affineequiv  25660  mcubic  25684  quart1lem  25692  quart1  25693  asinsin  25729  birthdaylem2  25789  emcllem6  25837  perfectlem2  26065  lgseisenlem4  26213  lgsquadlem1  26215  addsqnreup  26278  dchrisumlem1  26324  dchrvmasum2if  26332  dchrisum0lem1  26351  selberg3  26394  axsegconlem10  26971  smcnlem  28732  swrdrn3  30901  cycpmco2lem6  31071  oddpwdc  31987  revpfxsfxrev  32744  itg2addnclem3  35516  ftc2nc  35545  dvrelogpow2b  39758  sticksstones10  39780  sticksstones12a  39782  metakunt16  39803  metakunt20  39807  frlmvscadiccat  39891  dffltz  40115  fltnltalem  40143  fltnlta  40144  fzisoeu  42453  lptre2pt  42799  0ellimcdiv  42808  climleltrp  42835  ioodvbdlimc1lem2  43091  dvnprodlem1  43105  itgsinexp  43114  itgsbtaddcnst  43141  dirkertrigeqlem2  43258  fourierdlem4  43270  fourierdlem13  43279  fourierdlem26  43292  fourierdlem41  43307  fourierdlem42  43308  fourierdlem50  43315  fourierdlem60  43325  fourierdlem61  43326  fourierdlem74  43339  fourierdlem75  43340  fourierdlem76  43341  fourierdlem84  43349  fourierdlem89  43354  fourierdlem90  43355  fourierdlem91  43356  fourierdlem93  43358  fourierdlem101  43366  fourierdlem107  43372  fourierdlem111  43376  fourierdlem112  43377  fouriersw  43390  smfaddlem1  43913  sigarcol  43995  perfectALTVlem2  44790  nnpw2pmod  45545  rrx2vlinest  45703  itsclc0xyqsolr  45731