Theorem pncan3d 11573

Description: Subtraction and addition of equals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
pncan3d	⊢ (𝜑 → (𝐴 + (𝐵 − 𝐴)) = 𝐵)

Proof of Theorem pncan3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		pncan3 11466	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + (𝐵 − 𝐴)) = 𝐵)
4	1, 2, 3	syl2anc 595	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + (𝐵 − 𝐴)) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  (class class class)co 7412  ℂcc 11099   + caddc 11104   − cmin 11442

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-ltxr 11249  df-sub 11444

This theorem is referenced by:  xralrple  13232  quoremz  13890  quoremnn0ALT  13892  intfrac2  13893  intfrac  13921  2cshwcshw  14864  isercoll2  15722  iseralt  15738  mertenslem1  15940  fprodser  16005  risefacfac  16090  fallfacfwd  16091  eflt  16174  efival  16209  bitsmod  16495  bitsinv1lem  16500  odzdvds  16856  modprm0  16866  pcaddlem  16949  vdwapun  17035  vdwlem12  17053  odmodnn0  19611  mndodconglem  19612  pzriprnglem10  21621  mhpmulcl  22293  psdmul  22310  minveclem4  25572  ivthlem2  25592  dvn2bss  26070  ftc2  26184  mdegmullem  26216  plymullem1  26352  dvtaylp  26514  dvntaylp  26515  dvntaylp0  26516  taylthlem1  26517  ulmbdd  26542  affineequiv  26969  mcubic  26993  quart1lem  27001  quart1  27002  asinsin  27038  birthdaylem2  27098  emcllem6  27146  perfectlem2  27375  lgseisenlem4  27523  lgsquadlem1  27525  addsqnreup  27588  dchrisumlem1  27634  dchrvmasum2if  27642  dchrisum0lem1  27661  selberg3  27704  axsegconlem10  29257  smcnlem  31030  swrdrn3  33256  cycpmco2lem6  33432  constrremulcl  34138  constrreinvcl  34143  oddpwdc  34725  revpfxsfxrev  35588  itg2addnclem3  38305  ftc2nc  38334  dvrelogpow2b  42816  hashscontpow1  42869  sticksstones10  42903  sticksstones12a  42905  frlmvscadiccat  43261  dffltz  43349  fltnltalem  43377  fltnlta  43378  fzisoeu  46002  lptre2pt  46337  0ellimcdiv  46346  climleltrp  46373  ioodvbdlimc1lem2  46629  dvnprodlem1  46643  itgsinexp  46652  itgsbtaddcnst  46679  dirkertrigeqlem2  46796  fourierdlem4  46808  fourierdlem13  46817  fourierdlem26  46830  fourierdlem41  46845  fourierdlem42  46846  fourierdlem50  46853  fourierdlem60  46863  fourierdlem61  46864  fourierdlem74  46877  fourierdlem75  46878  fourierdlem76  46879  fourierdlem84  46887  fourierdlem89  46892  fourierdlem90  46893  fourierdlem91  46894  fourierdlem93  46896  fourierdlem101  46904  fourierdlem107  46910  fourierdlem111  46914  fourierdlem112  46915  fouriersw  46928  smfaddlem1  47460  sigarcol  47561  perfectALTVlem2  48470  nnpw2pmod  49346  rrx2vlinest  49504  itsclc0xyqsolr  49532