MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pncan3d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pncan3d 11516
Description: Subtraction and addition of equals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
negidd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
pncan3d (𝜑 → (𝐴 + (𝐵𝐴)) = 𝐵)

Proof of Theorem pncan3d
StepHypRef Expression
1 negidd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 pncand.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3 pncan3 11410 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + (𝐵𝐴)) = 𝐵)
41, 2, 3syl2anc 585 1 (𝜑 → (𝐴 + (𝐵𝐴)) = 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1542  wcel 2107  (class class class)co 7358  cc 11050   + caddc 11055  cmin 11386
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-ltxr 11195  df-sub 11388
This theorem is referenced by:  xralrple  13125  quoremz  13761  quoremnn0ALT  13763  intfrac2  13764  intfrac  13792  2cshwcshw  14715  isercoll2  15554  iseralt  15570  mertenslem1  15770  fprodser  15833  risefacfac  15919  fallfacfwd  15920  eflt  16000  efival  16035  bitsmod  16317  bitsinv1lem  16322  odzdvds  16668  modprm0  16678  pcaddlem  16761  vdwapun  16847  vdwlem12  16865  odmodnn0  19323  mndodconglem  19324  mhpmulcl  21542  minveclem4  24799  ivthlem2  24819  dvn2bss  25297  ftc2  25411  mdegmullem  25446  plymullem1  25578  dvtaylp  25732  dvntaylp  25733  dvntaylp0  25734  taylthlem1  25735  ulmbdd  25760  affineequiv  26176  mcubic  26200  quart1lem  26208  quart1  26209  asinsin  26245  birthdaylem2  26305  emcllem6  26353  perfectlem2  26581  lgseisenlem4  26729  lgsquadlem1  26731  addsqnreup  26794  dchrisumlem1  26840  dchrvmasum2if  26848  dchrisum0lem1  26867  selberg3  26910  axsegconlem10  27878  smcnlem  29642  swrdrn3  31812  cycpmco2lem6  31983  oddpwdc  32957  revpfxsfxrev  33712  itg2addnclem3  36134  ftc2nc  36163  dvrelogpow2b  40528  sticksstones10  40566  sticksstones12a  40568  metakunt16  40595  metakunt20  40599  frlmvscadiccat  40684  dffltz  40975  fltnltalem  41003  fltnlta  41004  fzisoeu  43541  lptre2pt  43888  0ellimcdiv  43897  climleltrp  43924  ioodvbdlimc1lem2  44180  dvnprodlem1  44194  itgsinexp  44203  itgsbtaddcnst  44230  dirkertrigeqlem2  44347  fourierdlem4  44359  fourierdlem13  44368  fourierdlem26  44381  fourierdlem41  44396  fourierdlem42  44397  fourierdlem50  44404  fourierdlem60  44414  fourierdlem61  44415  fourierdlem74  44428  fourierdlem75  44429  fourierdlem76  44430  fourierdlem84  44438  fourierdlem89  44443  fourierdlem90  44444  fourierdlem91  44445  fourierdlem93  44447  fourierdlem101  44455  fourierdlem107  44461  fourierdlem111  44465  fourierdlem112  44466  fouriersw  44479  smfaddlem1  45011  sigarcol  45112  perfectALTVlem2  45921  nnpw2pmod  46676  rrx2vlinest  46834  itsclc0xyqsolr  46862
  Copyright terms: Public domain W3C validator