Theorem pncan3d 11623

Description: Subtraction and addition of equals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
pncan3d	⊢ (𝜑 → (𝐴 + (𝐵 − 𝐴)) = 𝐵)

Proof of Theorem pncan3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		pncan3 11516	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + (𝐵 − 𝐴)) = 𝐵)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + (𝐵 − 𝐴)) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7431  ℂcc 11153   + caddc 11158   − cmin 11492

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-ltxr 11300  df-sub 11494

This theorem is referenced by:  xralrple  13247  quoremz  13895  quoremnn0ALT  13897  intfrac2  13898  intfrac  13926  2cshwcshw  14864  isercoll2  15705  iseralt  15721  mertenslem1  15920  fprodser  15985  risefacfac  16071  fallfacfwd  16072  eflt  16153  efival  16188  bitsmod  16473  bitsinv1lem  16478  odzdvds  16833  modprm0  16843  pcaddlem  16926  vdwapun  17012  vdwlem12  17030  odmodnn0  19558  mndodconglem  19559  pzriprnglem10  21501  mhpmulcl  22153  psdmul  22170  minveclem4  25466  ivthlem2  25487  dvn2bss  25966  ftc2  26085  mdegmullem  26117  plymullem1  26253  dvtaylp  26412  dvntaylp  26413  dvntaylp0  26414  taylthlem1  26415  ulmbdd  26441  affineequiv  26866  mcubic  26890  quart1lem  26898  quart1  26899  asinsin  26935  birthdaylem2  26995  emcllem6  27044  perfectlem2  27274  lgseisenlem4  27422  lgsquadlem1  27424  addsqnreup  27487  dchrisumlem1  27533  dchrvmasum2if  27541  dchrisum0lem1  27560  selberg3  27603  axsegconlem10  28941  smcnlem  30716  swrdrn3  32940  cycpmco2lem6  33151  oddpwdc  34356  revpfxsfxrev  35121  itg2addnclem3  37680  ftc2nc  37709  dvrelogpow2b  42069  hashscontpow1  42122  sticksstones10  42156  sticksstones12a  42158  metakunt16  42221  metakunt20  42225  frlmvscadiccat  42516  dffltz  42644  fltnltalem  42672  fltnlta  42673  fzisoeu  45312  lptre2pt  45655  0ellimcdiv  45664  climleltrp  45691  ioodvbdlimc1lem2  45947  dvnprodlem1  45961  itgsinexp  45970  itgsbtaddcnst  45997  dirkertrigeqlem2  46114  fourierdlem4  46126  fourierdlem13  46135  fourierdlem26  46148  fourierdlem41  46163  fourierdlem42  46164  fourierdlem50  46171  fourierdlem60  46181  fourierdlem61  46182  fourierdlem74  46195  fourierdlem75  46196  fourierdlem76  46197  fourierdlem84  46205  fourierdlem89  46210  fourierdlem90  46211  fourierdlem91  46212  fourierdlem93  46214  fourierdlem101  46222  fourierdlem107  46228  fourierdlem111  46232  fourierdlem112  46233  fouriersw  46246  smfaddlem1  46778  sigarcol  46879  perfectALTVlem2  47709  nnpw2pmod  48504  rrx2vlinest  48662  itsclc0xyqsolr  48690