Theorem pncan3d 11560

Description: Subtraction and addition of equals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
pncan3d	⊢ (𝜑 → (𝐴 + (𝐵 − 𝐴)) = 𝐵)

Proof of Theorem pncan3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		pncan3 11453	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + (𝐵 − 𝐴)) = 𝐵)
4	1, 2, 3	syl2anc 595	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + (𝐵 − 𝐴)) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7400  ℂcc 11086   + caddc 11091   − cmin 11429

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5547  df-po 5560  df-so 5561  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-ltxr 11236  df-sub 11431

This theorem is referenced by:  xralrple  13222  quoremz  13879  quoremnn0ALT  13881  intfrac2  13882  intfrac  13910  2cshwcshw  14852  isercoll2  15710  iseralt  15726  mertenslem1  15928  fprodser  15993  risefacfac  16079  fallfacfwd  16080  eflt  16163  efival  16198  bitsmod  16484  bitsinv1lem  16489  odzdvds  16845  modprm0  16855  pcaddlem  16938  vdwapun  17024  vdwlem12  17042  odmodnn0  19601  mndodconglem  19602  pzriprnglem10  21600  mhpmulcl  22272  psdmul  22289  minveclem4  25552  ivthlem2  25572  dvn2bss  26050  ftc2  26164  mdegmullem  26196  plymullem1  26332  dvtaylp  26491  dvntaylp  26492  dvntaylp0  26493  taylthlem1  26494  ulmbdd  26519  affineequiv  26946  mcubic  26970  quart1lem  26978  quart1  26979  asinsin  27015  birthdaylem2  27075  emcllem6  27123  perfectlem2  27352  lgseisenlem4  27500  lgsquadlem1  27502  addsqnreup  27565  dchrisumlem1  27611  dchrvmasum2if  27619  dchrisum0lem1  27638  selberg3  27681  axsegconlem10  29185  smcnlem  30958  swrdrn3  33188  cycpmco2lem6  33364  constrremulcl  34074  constrreinvcl  34079  oddpwdc  34661  revpfxsfxrev  35478  itg2addnclem3  38184  ftc2nc  38213  dvrelogpow2b  42697  hashscontpow1  42750  sticksstones10  42784  sticksstones12a  42786  frlmvscadiccat  43140  dffltz  43228  fltnltalem  43256  fltnlta  43257  fzisoeu  45877  lptre2pt  46212  0ellimcdiv  46221  climleltrp  46248  ioodvbdlimc1lem2  46504  dvnprodlem1  46518  itgsinexp  46527  itgsbtaddcnst  46554  dirkertrigeqlem2  46671  fourierdlem4  46683  fourierdlem13  46692  fourierdlem26  46705  fourierdlem41  46720  fourierdlem42  46721  fourierdlem50  46728  fourierdlem60  46738  fourierdlem61  46739  fourierdlem74  46752  fourierdlem75  46753  fourierdlem76  46754  fourierdlem84  46762  fourierdlem89  46767  fourierdlem90  46768  fourierdlem91  46769  fourierdlem93  46771  fourierdlem101  46779  fourierdlem107  46785  fourierdlem111  46789  fourierdlem112  46790  fouriersw  46803  smfaddlem1  47335  sigarcol  47436  perfectALTVlem2  48342  nnpw2pmod  49214  rrx2vlinest  49372  itsclc0xyqsolr  49400