Theorem pncan3d 11600

Description: Subtraction and addition of equals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
pncan3d	⊢ (𝜑 → (𝐴 + (𝐵 − 𝐴)) = 𝐵)

Proof of Theorem pncan3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		pncan3 11493	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + (𝐵 − 𝐴)) = 𝐵)
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + (𝐵 − 𝐴)) = 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7417  ℂcc 11126   + caddc 11131   − cmin 11469

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-po 5567  df-so 5568  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-ltxr 11276  df-sub 11471

This theorem is used by:  xralrple  13261  quoremz  13920  quoremnn0ALT  13922  intfrac2  13923  intfrac  13951  swrdrn3  14726  revpfxsfxrev  14841  2cshwcshw  14900  isercoll2  15760  iseralt  15776  mertenslem1  15977  fprodser  16042  risefacfac  16127  fallfacfwd  16128  eflt  16211  efival  16246  bitsmod  16532  bitsinv1lem  16537  odzdvds  16893  modprm0  16903  pcaddlem  16986  vdwapun  17072  vdwlem12  17090  odmodnn0  19673  mndodconglem  19674  pzriprnglem10  21709  mhpmulcl  22383  psdmul  22400  minveclem4  25666  ivthlem2  25686  dvn2bss  26164  ftc2  26278  mdegmullem  26310  plymullem1  26447  dvtaylp  26613  dvntaylp  26614  dvntaylp0  26615  taylthlem1  26616  ulmbdd  26641  affineequiv  27068  mcubic  27092  quart1lem  27100  quart1  27101  asinsin  27137  birthdaylem2  27197  emcllem6  27245  perfectlem2  27474  lgseisenlem4  27622  lgsquadlem1  27624  addsqnreup  27687  dchrisumlem1  27733  dchrvmasum2if  27741  dchrisum0lem1  27760  selberg3  27803  axsegconlem10  29391  smcnlem  31186  cycpmco2lem6  33579  constrremulcl  34285  constrreinvcl  34290  oddpwdc  34873  itg2addnclem3  38430  ftc2nc  38459  dvrelogpow2b  42942  hashscontpow1  42995  sticksstones10  43029  sticksstones12a  43031  frlmvscadiccat  43402  dffltz  43488  fltnltalem  43516  fltnlta  43517  fzisoeu  46141  lptre2pt  46476  0ellimcdiv  46485  climleltrp  46512  ioodvbdlimc1lem2  46768  dvnprodlem1  46782  itgsinexp  46791  itgsbtaddcnst  46818  dirkertrigeqlem2  46935  fourierdlem4  46947  fourierdlem13  46956  fourierdlem26  46969  fourierdlem41  46984  fourierdlem42  46985  fourierdlem50  46992  fourierdlem60  47002  fourierdlem61  47003  fourierdlem74  47016  fourierdlem75  47017  fourierdlem76  47018  fourierdlem84  47026  fourierdlem89  47031  fourierdlem90  47032  fourierdlem91  47033  fourierdlem93  47035  fourierdlem101  47043  fourierdlem107  47049  fourierdlem111  47053  fourierdlem112  47054  fouriersw  47067  smfaddlem1  47599  sigarcol  47700  perfectALTVlem2  48646  nnpw2pmod  49521  rrx2vlinest  49679  itsclc0xyqsolr  49707