Theorem pncan3d 11595

Description: Subtraction and addition of equals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
pncan3d	⊢ (𝜑 → (𝐴 + (𝐵 − 𝐴)) = 𝐵)

Proof of Theorem pncan3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		pncan3 11488	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + (𝐵 − 𝐴)) = 𝐵)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + (𝐵 − 𝐴)) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7403  ℂcc 11125   + caddc 11130   − cmin 11464

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-po 5561  df-so 5562  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-er 8717  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-ltxr 11272  df-sub 11466

This theorem is referenced by:  xralrple  13219  quoremz  13870  quoremnn0ALT  13872  intfrac2  13873  intfrac  13901  2cshwcshw  14842  isercoll2  15683  iseralt  15699  mertenslem1  15898  fprodser  15963  risefacfac  16049  fallfacfwd  16050  eflt  16133  efival  16168  bitsmod  16453  bitsinv1lem  16458  odzdvds  16813  modprm0  16823  pcaddlem  16906  vdwapun  16992  vdwlem12  17010  odmodnn0  19519  mndodconglem  19520  pzriprnglem10  21449  mhpmulcl  22085  psdmul  22102  minveclem4  25382  ivthlem2  25403  dvn2bss  25882  ftc2  26001  mdegmullem  26033  plymullem1  26169  dvtaylp  26328  dvntaylp  26329  dvntaylp0  26330  taylthlem1  26331  ulmbdd  26357  affineequiv  26783  mcubic  26807  quart1lem  26815  quart1  26816  asinsin  26852  birthdaylem2  26912  emcllem6  26961  perfectlem2  27191  lgseisenlem4  27339  lgsquadlem1  27341  addsqnreup  27404  dchrisumlem1  27450  dchrvmasum2if  27458  dchrisum0lem1  27477  selberg3  27520  axsegconlem10  28851  smcnlem  30624  swrdrn3  32877  cycpmco2lem6  33088  constrremulcl  33747  constrreinvcl  33752  oddpwdc  34332  revpfxsfxrev  35084  itg2addnclem3  37643  ftc2nc  37672  dvrelogpow2b  42027  hashscontpow1  42080  sticksstones10  42114  sticksstones12a  42116  metakunt16  42179  metakunt20  42183  frlmvscadiccat  42476  dffltz  42604  fltnltalem  42632  fltnlta  42633  fzisoeu  45277  lptre2pt  45617  0ellimcdiv  45626  climleltrp  45653  ioodvbdlimc1lem2  45909  dvnprodlem1  45923  itgsinexp  45932  itgsbtaddcnst  45959  dirkertrigeqlem2  46076  fourierdlem4  46088  fourierdlem13  46097  fourierdlem26  46110  fourierdlem41  46125  fourierdlem42  46126  fourierdlem50  46133  fourierdlem60  46143  fourierdlem61  46144  fourierdlem74  46157  fourierdlem75  46158  fourierdlem76  46159  fourierdlem84  46167  fourierdlem89  46172  fourierdlem90  46173  fourierdlem91  46174  fourierdlem93  46176  fourierdlem101  46184  fourierdlem107  46190  fourierdlem111  46194  fourierdlem112  46195  fouriersw  46208  smfaddlem1  46740  sigarcol  46841  perfectALTVlem2  47684  nnpw2pmod  48511  rrx2vlinest  48669  itsclc0xyqsolr  48697