Theorem pncan3d 11495

Description: Subtraction and addition of equals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
pncan3d	⊢ (𝜑 → (𝐴 + (𝐵 − 𝐴)) = 𝐵)

Proof of Theorem pncan3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		pncan3 11388	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + (𝐵 − 𝐴)) = 𝐵)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + (𝐵 − 𝐴)) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7358  ℂcc 11024   + caddc 11029   − cmin 11364

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-ltxr 11171  df-sub 11366

This theorem is referenced by:  xralrple  13120  quoremz  13775  quoremnn0ALT  13777  intfrac2  13778  intfrac  13806  2cshwcshw  14748  isercoll2  15592  iseralt  15608  mertenslem1  15807  fprodser  15872  risefacfac  15958  fallfacfwd  15959  eflt  16042  efival  16077  bitsmod  16363  bitsinv1lem  16368  odzdvds  16723  modprm0  16733  pcaddlem  16816  vdwapun  16902  vdwlem12  16920  odmodnn0  19469  mndodconglem  19470  pzriprnglem10  21445  mhpmulcl  22092  psdmul  22109  minveclem4  25388  ivthlem2  25409  dvn2bss  25888  ftc2  26007  mdegmullem  26039  plymullem1  26175  dvtaylp  26334  dvntaylp  26335  dvntaylp0  26336  taylthlem1  26337  ulmbdd  26363  affineequiv  26789  mcubic  26813  quart1lem  26821  quart1  26822  asinsin  26858  birthdaylem2  26918  emcllem6  26967  perfectlem2  27197  lgseisenlem4  27345  lgsquadlem1  27347  addsqnreup  27410  dchrisumlem1  27456  dchrvmasum2if  27464  dchrisum0lem1  27483  selberg3  27526  axsegconlem10  28999  smcnlem  30772  swrdrn3  33037  cycpmco2lem6  33213  constrremulcl  33924  constrreinvcl  33929  oddpwdc  34511  revpfxsfxrev  35310  itg2addnclem3  37870  ftc2nc  37899  dvrelogpow2b  42318  hashscontpow1  42371  sticksstones10  42405  sticksstones12a  42407  frlmvscadiccat  42757  dffltz  42873  fltnltalem  42901  fltnlta  42902  fzisoeu  45544  lptre2pt  45880  0ellimcdiv  45889  climleltrp  45916  ioodvbdlimc1lem2  46172  dvnprodlem1  46186  itgsinexp  46195  itgsbtaddcnst  46222  dirkertrigeqlem2  46339  fourierdlem4  46351  fourierdlem13  46360  fourierdlem26  46373  fourierdlem41  46388  fourierdlem42  46389  fourierdlem50  46396  fourierdlem60  46406  fourierdlem61  46407  fourierdlem74  46420  fourierdlem75  46421  fourierdlem76  46422  fourierdlem84  46430  fourierdlem89  46435  fourierdlem90  46436  fourierdlem91  46437  fourierdlem93  46439  fourierdlem101  46447  fourierdlem107  46453  fourierdlem111  46457  fourierdlem112  46458  fouriersw  46471  smfaddlem1  47003  sigarcol  47104  perfectALTVlem2  47964  nnpw2pmod  48825  rrx2vlinest  48983  itsclc0xyqsolr  49011