Theorem pncan3d 11542

Description: Subtraction and addition of equals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
pncan3d	⊢ (𝜑 → (𝐴 + (𝐵 − 𝐴)) = 𝐵)

Proof of Theorem pncan3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		pncan3 11435	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + (𝐵 − 𝐴)) = 𝐵)
4	1, 2, 3	syl2anc 593	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + (𝐵 − 𝐴)) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  (class class class)co 7392  ℂcc 11068   + caddc 11073   − cmin 11411

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5540  df-po 5553  df-so 5554  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-ltxr 11218  df-sub 11413

This theorem is referenced by:  xralrple  13205  quoremz  13862  quoremnn0ALT  13864  intfrac2  13865  intfrac  13893  2cshwcshw  14835  isercoll2  15679  iseralt  15695  mertenslem1  15897  fprodser  15962  risefacfac  16048  fallfacfwd  16049  eflt  16132  efival  16167  bitsmod  16453  bitsinv1lem  16458  odzdvds  16814  modprm0  16824  pcaddlem  16907  vdwapun  16993  vdwlem12  17011  odmodnn0  19563  mndodconglem  19564  pzriprnglem10  21522  mhpmulcl  22194  psdmul  22211  minveclem4  25474  ivthlem2  25494  dvn2bss  25972  ftc2  26086  mdegmullem  26118  plymullem1  26254  dvtaylp  26410  dvntaylp  26411  dvntaylp0  26412  taylthlem1  26413  ulmbdd  26438  affineequiv  26865  mcubic  26889  quart1lem  26897  quart1  26898  asinsin  26934  birthdaylem2  26994  emcllem6  27042  perfectlem2  27271  lgseisenlem4  27419  lgsquadlem1  27421  addsqnreup  27484  dchrisumlem1  27530  dchrvmasum2if  27538  dchrisum0lem1  27557  selberg3  27600  axsegconlem10  29073  smcnlem  30846  swrdrn3  33094  cycpmco2lem6  33272  constrremulcl  34025  constrreinvcl  34030  oddpwdc  34612  revpfxsfxrev  35430  itg2addnclem3  38136  ftc2nc  38165  dvrelogpow2b  42649  hashscontpow1  42702  sticksstones10  42736  sticksstones12a  42738  frlmvscadiccat  43092  dffltz  43180  fltnltalem  43208  fltnlta  43209  fzisoeu  45843  lptre2pt  46178  0ellimcdiv  46187  climleltrp  46214  ioodvbdlimc1lem2  46470  dvnprodlem1  46484  itgsinexp  46493  itgsbtaddcnst  46520  dirkertrigeqlem2  46637  fourierdlem4  46649  fourierdlem13  46658  fourierdlem26  46671  fourierdlem41  46686  fourierdlem42  46687  fourierdlem50  46694  fourierdlem60  46704  fourierdlem61  46705  fourierdlem74  46718  fourierdlem75  46719  fourierdlem76  46720  fourierdlem84  46728  fourierdlem89  46733  fourierdlem90  46734  fourierdlem91  46735  fourierdlem93  46737  fourierdlem101  46745  fourierdlem107  46751  fourierdlem111  46755  fourierdlem112  46756  fouriersw  46769  smfaddlem1  47301  sigarcol  47402  perfectALTVlem2  48308  nnpw2pmod  49169  rrx2vlinest  49327  itsclc0xyqsolr  49355