Theorem pncan3d 11507

Description: Subtraction and addition of equals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
pncan3d	⊢ (𝜑 → (𝐴 + (𝐵 − 𝐴)) = 𝐵)

Proof of Theorem pncan3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		pncan3 11400	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + (𝐵 − 𝐴)) = 𝐵)
4	1, 2, 3	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + (𝐵 − 𝐴)) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7368  ℂcc 11036   + caddc 11041   − cmin 11376

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-po 5540  df-so 5541  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-ltxr 11183  df-sub 11378

This theorem is referenced by:  xralrple  13132  quoremz  13787  quoremnn0ALT  13789  intfrac2  13790  intfrac  13818  2cshwcshw  14760  isercoll2  15604  iseralt  15620  mertenslem1  15819  fprodser  15884  risefacfac  15970  fallfacfwd  15971  eflt  16054  efival  16089  bitsmod  16375  bitsinv1lem  16380  odzdvds  16735  modprm0  16745  pcaddlem  16828  vdwapun  16914  vdwlem12  16932  odmodnn0  19481  mndodconglem  19482  pzriprnglem10  21457  mhpmulcl  22104  psdmul  22121  minveclem4  25400  ivthlem2  25421  dvn2bss  25900  ftc2  26019  mdegmullem  26051  plymullem1  26187  dvtaylp  26346  dvntaylp  26347  dvntaylp0  26348  taylthlem1  26349  ulmbdd  26375  affineequiv  26801  mcubic  26825  quart1lem  26833  quart1  26834  asinsin  26870  birthdaylem2  26930  emcllem6  26979  perfectlem2  27209  lgseisenlem4  27357  lgsquadlem1  27359  addsqnreup  27422  dchrisumlem1  27468  dchrvmasum2if  27476  dchrisum0lem1  27495  selberg3  27538  axsegconlem10  29011  smcnlem  30784  swrdrn3  33047  cycpmco2lem6  33224  constrremulcl  33944  constrreinvcl  33949  oddpwdc  34531  revpfxsfxrev  35329  itg2addnclem3  37918  ftc2nc  37947  dvrelogpow2b  42432  hashscontpow1  42485  sticksstones10  42519  sticksstones12a  42521  frlmvscadiccat  42870  dffltz  42986  fltnltalem  43014  fltnlta  43015  fzisoeu  45656  lptre2pt  45992  0ellimcdiv  46001  climleltrp  46028  ioodvbdlimc1lem2  46284  dvnprodlem1  46298  itgsinexp  46307  itgsbtaddcnst  46334  dirkertrigeqlem2  46451  fourierdlem4  46463  fourierdlem13  46472  fourierdlem26  46485  fourierdlem41  46500  fourierdlem42  46501  fourierdlem50  46508  fourierdlem60  46518  fourierdlem61  46519  fourierdlem74  46532  fourierdlem75  46533  fourierdlem76  46534  fourierdlem84  46542  fourierdlem89  46547  fourierdlem90  46548  fourierdlem91  46549  fourierdlem93  46551  fourierdlem101  46559  fourierdlem107  46565  fourierdlem111  46569  fourierdlem112  46570  fouriersw  46583  smfaddlem1  47115  sigarcol  47216  perfectALTVlem2  48076  nnpw2pmod  48937  rrx2vlinest  49095  itsclc0xyqsolr  49123