Theorem pncan3d 11506

Description: Subtraction and addition of equals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
pncan3d	⊢ (𝜑 → (𝐴 + (𝐵 − 𝐴)) = 𝐵)

Proof of Theorem pncan3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		pncan3 11399	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + (𝐵 − 𝐴)) = 𝐵)
4	1, 2, 3	syl2anc 590	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + (𝐵 − 𝐴)) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  (class class class)co 7363  ℂcc 11034   + caddc 11039   − cmin 11375

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-id 5520  df-po 5533  df-so 5534  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-ltxr 11182  df-sub 11377

This theorem is referenced by:  xralrple  13155  quoremz  13812  quoremnn0ALT  13814  intfrac2  13815  intfrac  13843  2cshwcshw  14785  isercoll2  15629  iseralt  15645  mertenslem1  15847  fprodser  15912  risefacfac  15998  fallfacfwd  15999  eflt  16082  efival  16117  bitsmod  16403  bitsinv1lem  16408  odzdvds  16764  modprm0  16774  pcaddlem  16857  vdwapun  16943  vdwlem12  16961  odmodnn0  19513  mndodconglem  19514  pzriprnglem10  21472  mhpmulcl  22144  psdmul  22161  minveclem4  25424  ivthlem2  25444  dvn2bss  25922  ftc2  26036  mdegmullem  26068  plymullem1  26204  dvtaylp  26360  dvntaylp  26361  dvntaylp0  26362  taylthlem1  26363  ulmbdd  26388  affineequiv  26812  mcubic  26836  quart1lem  26844  quart1  26845  asinsin  26881  birthdaylem2  26941  emcllem6  26989  perfectlem2  27218  lgseisenlem4  27366  lgsquadlem1  27368  addsqnreup  27431  dchrisumlem1  27477  dchrvmasum2if  27485  dchrisum0lem1  27504  selberg3  27547  axsegconlem10  29020  smcnlem  30793  swrdrn3  33041  cycpmco2lem6  33219  constrremulcl  33958  constrreinvcl  33963  oddpwdc  34545  revpfxsfxrev  35351  itg2addnclem3  38047  ftc2nc  38076  dvrelogpow2b  42560  hashscontpow1  42613  sticksstones10  42647  sticksstones12a  42649  frlmvscadiccat  43003  dffltz  43091  fltnltalem  43119  fltnlta  43120  fzisoeu  45755  lptre2pt  46090  0ellimcdiv  46099  climleltrp  46126  ioodvbdlimc1lem2  46382  dvnprodlem1  46396  itgsinexp  46405  itgsbtaddcnst  46432  dirkertrigeqlem2  46549  fourierdlem4  46561  fourierdlem13  46570  fourierdlem26  46583  fourierdlem41  46598  fourierdlem42  46599  fourierdlem50  46606  fourierdlem60  46616  fourierdlem61  46617  fourierdlem74  46630  fourierdlem75  46631  fourierdlem76  46632  fourierdlem84  46640  fourierdlem89  46645  fourierdlem90  46646  fourierdlem91  46647  fourierdlem93  46649  fourierdlem101  46657  fourierdlem107  46663  fourierdlem111  46667  fourierdlem112  46668  fouriersw  46681  smfaddlem1  47213  sigarcol  47314  perfectALTVlem2  48220  nnpw2pmod  49081  rrx2vlinest  49239  itsclc0xyqsolr  49267