Theorem pncan3d 11482

Description: Subtraction and addition of equals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
pncan3d	⊢ (𝜑 → (𝐴 + (𝐵 − 𝐴)) = 𝐵)

Proof of Theorem pncan3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		pncan3 11375	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + (𝐵 − 𝐴)) = 𝐵)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + (𝐵 − 𝐴)) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7352  ℂcc 11011   + caddc 11016   − cmin 11351

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-id 5514  df-po 5527  df-so 5528  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-ltxr 11158  df-sub 11353

This theorem is referenced by:  xralrple  13106  quoremz  13761  quoremnn0ALT  13763  intfrac2  13764  intfrac  13792  2cshwcshw  14734  isercoll2  15578  iseralt  15594  mertenslem1  15793  fprodser  15858  risefacfac  15944  fallfacfwd  15945  eflt  16028  efival  16063  bitsmod  16349  bitsinv1lem  16354  odzdvds  16709  modprm0  16719  pcaddlem  16802  vdwapun  16888  vdwlem12  16906  odmodnn0  19454  mndodconglem  19455  pzriprnglem10  21429  mhpmulcl  22065  psdmul  22082  minveclem4  25360  ivthlem2  25381  dvn2bss  25860  ftc2  25979  mdegmullem  26011  plymullem1  26147  dvtaylp  26306  dvntaylp  26307  dvntaylp0  26308  taylthlem1  26309  ulmbdd  26335  affineequiv  26761  mcubic  26785  quart1lem  26793  quart1  26794  asinsin  26830  birthdaylem2  26890  emcllem6  26939  perfectlem2  27169  lgseisenlem4  27317  lgsquadlem1  27319  addsqnreup  27382  dchrisumlem1  27428  dchrvmasum2if  27436  dchrisum0lem1  27455  selberg3  27498  axsegconlem10  28906  smcnlem  30679  swrdrn3  32943  cycpmco2lem6  33107  constrremulcl  33801  constrreinvcl  33806  oddpwdc  34388  revpfxsfxrev  35181  itg2addnclem3  37734  ftc2nc  37763  dvrelogpow2b  42182  hashscontpow1  42235  sticksstones10  42269  sticksstones12a  42271  frlmvscadiccat  42625  dffltz  42753  fltnltalem  42781  fltnlta  42782  fzisoeu  45426  lptre2pt  45763  0ellimcdiv  45772  climleltrp  45799  ioodvbdlimc1lem2  46055  dvnprodlem1  46069  itgsinexp  46078  itgsbtaddcnst  46105  dirkertrigeqlem2  46222  fourierdlem4  46234  fourierdlem13  46243  fourierdlem26  46256  fourierdlem41  46271  fourierdlem42  46272  fourierdlem50  46279  fourierdlem60  46289  fourierdlem61  46290  fourierdlem74  46303  fourierdlem75  46304  fourierdlem76  46305  fourierdlem84  46313  fourierdlem89  46318  fourierdlem90  46319  fourierdlem91  46320  fourierdlem93  46322  fourierdlem101  46330  fourierdlem107  46336  fourierdlem111  46340  fourierdlem112  46341  fouriersw  46354  smfaddlem1  46886  sigarcol  46987  perfectALTVlem2  47847  nnpw2pmod  48709  rrx2vlinest  48867  itsclc0xyqsolr  48895