Theorem pncan3d 11675

Description: Subtraction and addition of equals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
pncan3d	⊢ (𝜑 → (𝐴 + (𝐵 − 𝐴)) = 𝐵)

Proof of Theorem pncan3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		pncan3 11568	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + (𝐵 − 𝐴)) = 𝐵)
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + (𝐵 − 𝐴)) = 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  (class class class)co 7420  ℂcc 11201   + caddc 11206   − cmin 11544

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-po 5558  df-so 5559  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-ltxr 11351  df-sub 11546

This theorem is used by:  xralrple  13338  quoremz  13998  quoremnn0ALT  14000  intfrac2  14001  intfrac  14029  swrdrn3  14806  revpfxsfxrev  14921  2cshwcshw  14980  isercoll2  15841  iseralt  15857  mertenslem1  16058  fprodser  16121  risefacfac  16206  fallfacfwd  16207  eflt  16290  efival  16325  bitsmod  16611  bitsinv1lem  16616  odzdvds  16978  modprm0  16988  pcaddlem  17071  vdwapun  17157  vdwlem12  17175  odmodnn0  19759  mndodconglem  19760  pzriprnglem10  21801  mhpmulcl  22475  psdmul  22492  minveclem4  25758  ivthlem2  25778  dvn2bss  26255  ftc2  26369  mdegmullem  26401  plymullem1  26538  dvtaylp  26702  dvntaylp  26703  dvntaylp0  26704  taylthlem1  26705  ulmbdd  26730  affineequiv  27156  mcubic  27180  quart1lem  27188  quart1  27189  asinsin  27225  birthdaylem2  27285  emcllem6  27333  perfectlem2  27562  lgseisenlem4  27710  lgsquadlem1  27712  addsqnreup  27775  dchrisumlem1  27821  dchrvmasum2if  27829  dchrisum0lem1  27848  selberg3  27891  axsegconlem10  29509  smcnlem  31304  cycpmco2lem6  33738  constrremulcl  34445  constrreinvcl  34450  oddpwdc  35032  itg2addnclem3  38684  ftc2nc  38713  dvrelogpow2b  43211  hashscontpow1  43264  sticksstones10  43298  sticksstones12a  43300  frlmvscadiccat  43666  dffltz  43763  fltnltalem  43766  fltnlta  43767  fzisoeu  46409  lptre2pt  46743  0ellimcdiv  46752  climleltrp  46779  ioodvbdlimc1lem2  47035  dvnprodlem1  47049  itgsinexp  47058  itgsbtaddcnst  47085  dirkertrigeqlem2  47202  fourierdlem4  47214  fourierdlem13  47223  fourierdlem26  47236  fourierdlem41  47251  fourierdlem42  47252  fourierdlem50  47259  fourierdlem60  47269  fourierdlem61  47270  fourierdlem74  47283  fourierdlem75  47284  fourierdlem76  47285  fourierdlem84  47293  fourierdlem89  47298  fourierdlem90  47299  fourierdlem91  47300  fourierdlem93  47302  fourierdlem101  47310  fourierdlem107  47316  fourierdlem111  47320  fourierdlem112  47321  fouriersw  47334  smfaddlem1  47866  sigarcol  47967  perfectALTVlem2  48913  nnpw2pmod  49788  rrx2vlinest  49946  itsclc0xyqsolr  49974