Theorem pncan3d 11265

Description: Subtraction and addition of equals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
pncan3d	⊢ (𝜑 → (𝐴 + (𝐵 − 𝐴)) = 𝐵)

Proof of Theorem pncan3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		pncan3 11159	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + (𝐵 − 𝐴)) = 𝐵)
4	1, 2, 3	syl2anc 583	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + (𝐵 − 𝐴)) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7255  ℂcc 10800   + caddc 10805   − cmin 11135

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-po 5494  df-so 5495  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-ltxr 10945  df-sub 11137

This theorem is referenced by:  xralrple  12868  quoremz  13503  quoremnn0ALT  13505  intfrac2  13506  intfrac  13534  2cshwcshw  14466  isercoll2  15308  iseralt  15324  mertenslem1  15524  fprodser  15587  risefacfac  15673  fallfacfwd  15674  eflt  15754  efival  15789  bitsmod  16071  bitsinv1lem  16076  odzdvds  16424  modprm0  16434  pcaddlem  16517  vdwapun  16603  vdwlem12  16621  odmodnn0  19063  mndodconglem  19064  mhpmulcl  21249  minveclem4  24501  ivthlem2  24521  dvn2bss  24999  ftc2  25113  mdegmullem  25148  plymullem1  25280  dvtaylp  25434  dvntaylp  25435  dvntaylp0  25436  taylthlem1  25437  ulmbdd  25462  affineequiv  25878  mcubic  25902  quart1lem  25910  quart1  25911  asinsin  25947  birthdaylem2  26007  emcllem6  26055  perfectlem2  26283  lgseisenlem4  26431  lgsquadlem1  26433  addsqnreup  26496  dchrisumlem1  26542  dchrvmasum2if  26550  dchrisum0lem1  26569  selberg3  26612  axsegconlem10  27197  smcnlem  28960  swrdrn3  31129  cycpmco2lem6  31300  oddpwdc  32221  revpfxsfxrev  32977  itg2addnclem3  35757  ftc2nc  35786  dvrelogpow2b  40004  sticksstones10  40039  sticksstones12a  40041  metakunt16  40068  metakunt20  40072  frlmvscadiccat  40163  dffltz  40387  fltnltalem  40415  fltnlta  40416  fzisoeu  42729  lptre2pt  43071  0ellimcdiv  43080  climleltrp  43107  ioodvbdlimc1lem2  43363  dvnprodlem1  43377  itgsinexp  43386  itgsbtaddcnst  43413  dirkertrigeqlem2  43530  fourierdlem4  43542  fourierdlem13  43551  fourierdlem26  43564  fourierdlem41  43579  fourierdlem42  43580  fourierdlem50  43587  fourierdlem60  43597  fourierdlem61  43598  fourierdlem74  43611  fourierdlem75  43612  fourierdlem76  43613  fourierdlem84  43621  fourierdlem89  43626  fourierdlem90  43627  fourierdlem91  43628  fourierdlem93  43630  fourierdlem101  43638  fourierdlem107  43644  fourierdlem111  43648  fourierdlem112  43649  fouriersw  43662  smfaddlem1  44185  sigarcol  44267  perfectALTVlem2  45062  nnpw2pmod  45817  rrx2vlinest  45975  itsclc0xyqsolr  46003