Theorem pncan3d 11002

Description: Subtraction and addition of equals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
pncan3d	⊢ (𝜑 → (𝐴 + (𝐵 − 𝐴)) = 𝐵)

Proof of Theorem pncan3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		pncan3 10896	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + (𝐵 − 𝐴)) = 𝐵)
4	1, 2, 3	syl2anc 586	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + (𝐵 − 𝐴)) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7158  ℂcc 10537   + caddc 10542   − cmin 10872

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4841  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-id 5462  df-po 5476  df-so 5477  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-ltxr 10682  df-sub 10874

This theorem is referenced by:  xralrple  12601  quoremz  13226  quoremnn0ALT  13228  intfrac2  13229  intfrac  13257  2cshwcshw  14189  isercoll2  15027  iseralt  15043  mertenslem1  15242  fprodser  15305  risefacfac  15391  fallfacfwd  15392  eflt  15472  efival  15507  bitsmod  15787  bitsinv1lem  15792  odzdvds  16134  modprm0  16144  pcaddlem  16226  vdwapun  16312  vdwlem12  16330  odmodnn0  18670  mndodconglem  18671  minveclem4  24037  ivthlem2  24055  dvn2bss  24529  ftc2  24643  mdegmullem  24674  plymullem1  24806  dvtaylp  24960  dvntaylp  24961  dvntaylp0  24962  taylthlem1  24963  ulmbdd  24988  affineequiv  25403  mcubic  25427  quart1lem  25435  quart1  25436  asinsin  25472  birthdaylem2  25532  emcllem6  25580  perfectlem2  25808  lgseisenlem4  25956  lgsquadlem1  25958  addsqnreup  26021  dchrisumlem1  26067  dchrvmasum2if  26075  dchrisum0lem1  26094  selberg3  26137  axsegconlem10  26714  smcnlem  28476  swrdrn3  30631  cycpmco2lem6  30775  oddpwdc  31614  revpfxsfxrev  32364  itg2addnclem3  34947  ftc2nc  34978  frlmvscadiccat  39152  dffltz  39278  fltnltalem  39281  fltnlta  39282  fzisoeu  41574  lptre2pt  41928  0ellimcdiv  41937  climleltrp  41964  ioodvbdlimc1lem2  42224  dvnprodlem1  42238  itgsinexp  42247  itgsbtaddcnst  42274  dirkertrigeqlem2  42391  fourierdlem4  42403  fourierdlem13  42412  fourierdlem26  42425  fourierdlem41  42440  fourierdlem42  42441  fourierdlem50  42448  fourierdlem60  42458  fourierdlem61  42459  fourierdlem74  42472  fourierdlem75  42473  fourierdlem76  42474  fourierdlem84  42482  fourierdlem89  42487  fourierdlem90  42488  fourierdlem91  42489  fourierdlem93  42491  fourierdlem101  42499  fourierdlem107  42505  fourierdlem111  42509  fourierdlem112  42510  fouriersw  42523  smfaddlem1  43046  sigarcol  43128  perfectALTVlem2  43894  nnpw2pmod  44650  rrx2vlinest  44735  itsclc0xyqsolr  44763