MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pncan3d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pncan3d 10989
Description: Subtraction and addition of equals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
negidd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
pncan3d (𝜑 → (𝐴 + (𝐵𝐴)) = 𝐵)

Proof of Theorem pncan3d
StepHypRef Expression
1 negidd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 pncand.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3 pncan3 10883 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + (𝐵𝐴)) = 𝐵)
41, 2, 3syl2anc 587 1 (𝜑 → (𝐴 + (𝐵𝐴)) = 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1538  wcel 2111  (class class class)co 7135  cc 10524   + caddc 10529  cmin 10859
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-po 5438  df-so 5439  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-ltxr 10669  df-sub 10861
This theorem is referenced by:  xralrple  12586  quoremz  13218  quoremnn0ALT  13220  intfrac2  13221  intfrac  13249  2cshwcshw  14178  isercoll2  15017  iseralt  15033  mertenslem1  15232  fprodser  15295  risefacfac  15381  fallfacfwd  15382  eflt  15462  efival  15497  bitsmod  15775  bitsinv1lem  15780  odzdvds  16122  modprm0  16132  pcaddlem  16214  vdwapun  16300  vdwlem12  16318  odmodnn0  18660  mndodconglem  18661  minveclem4  24036  ivthlem2  24056  dvn2bss  24533  ftc2  24647  mdegmullem  24679  plymullem1  24811  dvtaylp  24965  dvntaylp  24966  dvntaylp0  24967  taylthlem1  24968  ulmbdd  24993  affineequiv  25409  mcubic  25433  quart1lem  25441  quart1  25442  asinsin  25478  birthdaylem2  25538  emcllem6  25586  perfectlem2  25814  lgseisenlem4  25962  lgsquadlem1  25964  addsqnreup  26027  dchrisumlem1  26073  dchrvmasum2if  26081  dchrisum0lem1  26100  selberg3  26143  axsegconlem10  26720  smcnlem  28480  swrdrn3  30655  cycpmco2lem6  30823  oddpwdc  31722  revpfxsfxrev  32472  itg2addnclem3  35107  ftc2nc  35136  metakunt16  39360  metakunt20  39364  frlmvscadiccat  39435  dffltz  39610  fltnltalem  39613  fltnlta  39614  fzisoeu  41927  lptre2pt  42277  0ellimcdiv  42286  climleltrp  42313  ioodvbdlimc1lem2  42569  dvnprodlem1  42583  itgsinexp  42592  itgsbtaddcnst  42619  dirkertrigeqlem2  42736  fourierdlem4  42748  fourierdlem13  42757  fourierdlem26  42770  fourierdlem41  42785  fourierdlem42  42786  fourierdlem50  42793  fourierdlem60  42803  fourierdlem61  42804  fourierdlem74  42817  fourierdlem75  42818  fourierdlem76  42819  fourierdlem84  42827  fourierdlem89  42832  fourierdlem90  42833  fourierdlem91  42834  fourierdlem93  42836  fourierdlem101  42844  fourierdlem107  42850  fourierdlem111  42854  fourierdlem112  42855  fouriersw  42868  smfaddlem1  43391  sigarcol  43473  perfectALTVlem2  44235  nnpw2pmod  44992  rrx2vlinest  45150  itsclc0xyqsolr  45178
  Copyright terms: Public domain W3C validator