Theorem pncan3d 11574

Description: Subtraction and addition of equals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
pncan3d	⊢ (𝜑 → (𝐴 + (𝐵 − 𝐴)) = 𝐵)

Proof of Theorem pncan3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		pncan3 11468	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + (𝐵 − 𝐴)) = 𝐵)
4	1, 2, 3	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + (𝐵 − 𝐴)) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7409  ℂcc 11108   + caddc 11113   − cmin 11444

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-ltxr 11253  df-sub 11446

This theorem is referenced by:  xralrple  13184  quoremz  13820  quoremnn0ALT  13822  intfrac2  13823  intfrac  13851  2cshwcshw  14776  isercoll2  15615  iseralt  15631  mertenslem1  15830  fprodser  15893  risefacfac  15979  fallfacfwd  15980  eflt  16060  efival  16095  bitsmod  16377  bitsinv1lem  16382  odzdvds  16728  modprm0  16738  pcaddlem  16821  vdwapun  16907  vdwlem12  16925  odmodnn0  19408  mndodconglem  19409  mhpmulcl  21692  minveclem4  24949  ivthlem2  24969  dvn2bss  25447  ftc2  25561  mdegmullem  25596  plymullem1  25728  dvtaylp  25882  dvntaylp  25883  dvntaylp0  25884  taylthlem1  25885  ulmbdd  25910  affineequiv  26328  mcubic  26352  quart1lem  26360  quart1  26361  asinsin  26397  birthdaylem2  26457  emcllem6  26505  perfectlem2  26733  lgseisenlem4  26881  lgsquadlem1  26883  addsqnreup  26946  dchrisumlem1  26992  dchrvmasum2if  27000  dchrisum0lem1  27019  selberg3  27062  axsegconlem10  28184  smcnlem  29950  swrdrn3  32119  cycpmco2lem6  32290  oddpwdc  33353  revpfxsfxrev  34106  itg2addnclem3  36541  ftc2nc  36570  dvrelogpow2b  40933  sticksstones10  40971  sticksstones12a  40973  metakunt16  41000  metakunt20  41004  frlmvscadiccat  41080  dffltz  41376  fltnltalem  41404  fltnlta  41405  fzisoeu  44010  lptre2pt  44356  0ellimcdiv  44365  climleltrp  44392  ioodvbdlimc1lem2  44648  dvnprodlem1  44662  itgsinexp  44671  itgsbtaddcnst  44698  dirkertrigeqlem2  44815  fourierdlem4  44827  fourierdlem13  44836  fourierdlem26  44849  fourierdlem41  44864  fourierdlem42  44865  fourierdlem50  44872  fourierdlem60  44882  fourierdlem61  44883  fourierdlem74  44896  fourierdlem75  44897  fourierdlem76  44898  fourierdlem84  44906  fourierdlem89  44911  fourierdlem90  44912  fourierdlem91  44913  fourierdlem93  44915  fourierdlem101  44923  fourierdlem107  44929  fourierdlem111  44933  fourierdlem112  44934  fouriersw  44947  smfaddlem1  45479  sigarcol  45580  perfectALTVlem2  46390  pzriprnglem10  46814  nnpw2pmod  47269  rrx2vlinest  47427  itsclc0xyqsolr  47455