Theorem pncan3d 11536

Description: Subtraction and addition of equals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
pncan3d	⊢ (𝜑 → (𝐴 + (𝐵 − 𝐴)) = 𝐵)

Proof of Theorem pncan3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		pncan3 11429	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + (𝐵 − 𝐴)) = 𝐵)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + (𝐵 − 𝐴)) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7387  ℂcc 11066   + caddc 11071   − cmin 11405

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-ltxr 11213  df-sub 11407

This theorem is referenced by:  xralrple  13165  quoremz  13817  quoremnn0ALT  13819  intfrac2  13820  intfrac  13848  2cshwcshw  14791  isercoll2  15635  iseralt  15651  mertenslem1  15850  fprodser  15915  risefacfac  16001  fallfacfwd  16002  eflt  16085  efival  16120  bitsmod  16406  bitsinv1lem  16411  odzdvds  16766  modprm0  16776  pcaddlem  16859  vdwapun  16945  vdwlem12  16963  odmodnn0  19470  mndodconglem  19471  pzriprnglem10  21400  mhpmulcl  22036  psdmul  22053  minveclem4  25332  ivthlem2  25353  dvn2bss  25832  ftc2  25951  mdegmullem  25983  plymullem1  26119  dvtaylp  26278  dvntaylp  26279  dvntaylp0  26280  taylthlem1  26281  ulmbdd  26307  affineequiv  26733  mcubic  26757  quart1lem  26765  quart1  26766  asinsin  26802  birthdaylem2  26862  emcllem6  26911  perfectlem2  27141  lgseisenlem4  27289  lgsquadlem1  27291  addsqnreup  27354  dchrisumlem1  27400  dchrvmasum2if  27408  dchrisum0lem1  27427  selberg3  27470  axsegconlem10  28853  smcnlem  30626  swrdrn3  32877  cycpmco2lem6  33088  constrremulcl  33757  constrreinvcl  33762  oddpwdc  34345  revpfxsfxrev  35103  itg2addnclem3  37667  ftc2nc  37696  dvrelogpow2b  42056  hashscontpow1  42109  sticksstones10  42143  sticksstones12a  42145  frlmvscadiccat  42494  dffltz  42622  fltnltalem  42650  fltnlta  42651  fzisoeu  45298  lptre2pt  45638  0ellimcdiv  45647  climleltrp  45674  ioodvbdlimc1lem2  45930  dvnprodlem1  45944  itgsinexp  45953  itgsbtaddcnst  45980  dirkertrigeqlem2  46097  fourierdlem4  46109  fourierdlem13  46118  fourierdlem26  46131  fourierdlem41  46146  fourierdlem42  46147  fourierdlem50  46154  fourierdlem60  46164  fourierdlem61  46165  fourierdlem74  46178  fourierdlem75  46179  fourierdlem76  46180  fourierdlem84  46188  fourierdlem89  46193  fourierdlem90  46194  fourierdlem91  46195  fourierdlem93  46197  fourierdlem101  46205  fourierdlem107  46211  fourierdlem111  46215  fourierdlem112  46216  fouriersw  46229  smfaddlem1  46761  sigarcol  46862  perfectALTVlem2  47723  nnpw2pmod  48572  rrx2vlinest  48730  itsclc0xyqsolr  48758