Theorem pncan3d 11653

Description: Subtraction and addition of equals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
pncan3d	⊢ (𝜑 → (𝐴 + (𝐵 − 𝐴)) = 𝐵)

Proof of Theorem pncan3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		pncan3 11546	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + (𝐵 − 𝐴)) = 𝐵)
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + (𝐵 − 𝐴)) = 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7412  ℂcc 11179   + caddc 11184   − cmin 11522

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-ltxr 11329  df-sub 11524

This theorem is used by:  xralrple  13316  quoremz  13975  quoremnn0ALT  13977  intfrac2  13978  intfrac  14006  swrdrn3  14782  revpfxsfxrev  14897  2cshwcshw  14956  isercoll2  15816  iseralt  15832  mertenslem1  16033  fprodser  16096  risefacfac  16181  fallfacfwd  16182  eflt  16265  efival  16300  bitsmod  16586  bitsinv1lem  16591  odzdvds  16953  modprm0  16963  pcaddlem  17046  vdwapun  17132  vdwlem12  17150  odmodnn0  19734  mndodconglem  19735  pzriprnglem10  21776  mhpmulcl  22450  psdmul  22467  minveclem4  25733  ivthlem2  25753  dvn2bss  26230  ftc2  26344  mdegmullem  26376  plymullem1  26513  dvtaylp  26679  dvntaylp  26680  dvntaylp0  26681  taylthlem1  26682  ulmbdd  26707  affineequiv  27133  mcubic  27157  quart1lem  27165  quart1  27166  asinsin  27202  birthdaylem2  27262  emcllem6  27310  perfectlem2  27539  lgseisenlem4  27687  lgsquadlem1  27689  addsqnreup  27752  dchrisumlem1  27798  dchrvmasum2if  27806  dchrisum0lem1  27825  selberg3  27868  axsegconlem10  29486  smcnlem  31281  cycpmco2lem6  33674  constrremulcl  34381  constrreinvcl  34386  oddpwdc  34969  itg2addnclem3  38559  ftc2nc  38588  dvrelogpow2b  43086  hashscontpow1  43139  sticksstones10  43173  sticksstones12a  43175  frlmvscadiccat  43538  dffltz  43624  fltnltalem  43627  fltnlta  43628  fzisoeu  46259  lptre2pt  46594  0ellimcdiv  46603  climleltrp  46630  ioodvbdlimc1lem2  46886  dvnprodlem1  46900  itgsinexp  46909  itgsbtaddcnst  46936  dirkertrigeqlem2  47053  fourierdlem4  47065  fourierdlem13  47074  fourierdlem26  47087  fourierdlem41  47102  fourierdlem42  47103  fourierdlem50  47110  fourierdlem60  47120  fourierdlem61  47121  fourierdlem74  47134  fourierdlem75  47135  fourierdlem76  47136  fourierdlem84  47144  fourierdlem89  47149  fourierdlem90  47150  fourierdlem91  47151  fourierdlem93  47153  fourierdlem101  47161  fourierdlem107  47167  fourierdlem111  47171  fourierdlem112  47172  fouriersw  47185  smfaddlem1  47717  sigarcol  47818  perfectALTVlem2  48764  nnpw2pmod  49639  rrx2vlinest  49797  itsclc0xyqsolr  49825