MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frlmsplit2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem frlmsplit2 21709
Description: Restriction is homomorphic on free modules. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Feb-2015.) (Proof shortened by AV, 21-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmsplit2.y π‘Œ = (𝑅 freeLMod π‘ˆ)
frlmsplit2.z 𝑍 = (𝑅 freeLMod 𝑉)
frlmsplit2.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Œ)
frlmsplit2.c 𝐢 = (Baseβ€˜π‘)
frlmsplit2.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ β†Ύ 𝑉))
Assertion
Ref Expression
frlmsplit2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) β†’ 𝐹 ∈ (π‘Œ LMHom 𝑍))
Distinct variable groups:   π‘₯,π‘Œ   π‘₯,𝑅   π‘₯,π‘ˆ   π‘₯,𝑍   π‘₯,𝑉   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝐢   π‘₯,𝑋
Allowed substitution hint:   𝐹(π‘₯)
Proof of Theorem frlmsplit2
StepHypRef Expression
1 simp1 1133 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
2 simp2 1134 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑋)
3 frlmsplit2.y . . . . . . 7 π‘Œ = (𝑅 freeLMod π‘ˆ)
4 frlmsplit2.b . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Œ)
5 eqid 2725 . . . . . . 7 (LSubSpβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s π‘ˆ)) = (LSubSpβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s π‘ˆ))
63, 4, 5frlmlss 21687 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋) β†’ 𝐡 ∈ (LSubSpβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s π‘ˆ)))
71, 2, 6syl2anc 582 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) β†’ 𝐡 ∈ (LSubSpβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s π‘ˆ)))
8 eqid 2725 . . . . . 6 (Baseβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s π‘ˆ)) = (Baseβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s π‘ˆ))
98, 5lssss 20822 . . . . 5 (𝐡 ∈ (LSubSpβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s π‘ˆ)) β†’ 𝐡 βŠ† (Baseβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s π‘ˆ)))
10 resmpt 6036 . . . . 5 (𝐡 βŠ† (Baseβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s π‘ˆ)) β†’ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s π‘ˆ)) ↦ (π‘₯ β†Ύ 𝑉)) β†Ύ 𝐡) = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ β†Ύ 𝑉)))
117, 9, 103syl 18 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) β†’ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s π‘ˆ)) ↦ (π‘₯ β†Ύ 𝑉)) β†Ύ 𝐡) = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ β†Ύ 𝑉)))
12 frlmsplit2.f . . . 4 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ β†Ύ 𝑉))
1311, 12eqtr4di 2783 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) β†’ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s π‘ˆ)) ↦ (π‘₯ β†Ύ 𝑉)) β†Ύ 𝐡) = 𝐹)
14 rlmlmod 21098 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring β†’ (ringLModβ€˜π‘…) ∈ LMod)
15 eqid 2725 . . . . . . 7 ((ringLModβ€˜π‘…) ↑s π‘ˆ) = ((ringLModβ€˜π‘…) ↑s π‘ˆ)
16 eqid 2725 . . . . . . 7 ((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝑉) = ((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝑉)
17 eqid 2725 . . . . . . 7 (Baseβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝑉)) = (Baseβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝑉))
18 eqid 2725 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s π‘ˆ)) ↦ (π‘₯ β†Ύ 𝑉)) = (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s π‘ˆ)) ↦ (π‘₯ β†Ύ 𝑉))
1915, 16, 8, 17, 18pwssplit3 20948 . . . . . 6 (((ringLModβ€˜π‘…) ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s π‘ˆ)) ↦ (π‘₯ β†Ύ 𝑉)) ∈ (((ringLModβ€˜π‘…) ↑s π‘ˆ) LMHom ((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝑉)))
2014, 19syl3an1 1160 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s π‘ˆ)) ↦ (π‘₯ β†Ύ 𝑉)) ∈ (((ringLModβ€˜π‘…) ↑s π‘ˆ) LMHom ((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝑉)))
21 eqid 2725 . . . . . 6 (((ringLModβ€˜π‘…) ↑s π‘ˆ) β†Ύs 𝐡) = (((ringLModβ€˜π‘…) ↑s π‘ˆ) β†Ύs 𝐡)
225, 21reslmhm 20939 . . . . 5 (((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s π‘ˆ)) ↦ (π‘₯ β†Ύ 𝑉)) ∈ (((ringLModβ€˜π‘…) ↑s π‘ˆ) LMHom ((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝑉)) ∧ 𝐡 ∈ (LSubSpβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s π‘ˆ))) β†’ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s π‘ˆ)) ↦ (π‘₯ β†Ύ 𝑉)) β†Ύ 𝐡) ∈ ((((ringLModβ€˜π‘…) ↑s π‘ˆ) β†Ύs 𝐡) LMHom ((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝑉)))
2320, 7, 22syl2anc 582 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) β†’ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s π‘ˆ)) ↦ (π‘₯ β†Ύ 𝑉)) β†Ύ 𝐡) ∈ ((((ringLModβ€˜π‘…) ↑s π‘ˆ) β†Ύs 𝐡) LMHom ((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝑉)))
24143ad2ant1 1130 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) β†’ (ringLModβ€˜π‘…) ∈ LMod)
25 simp3 1135 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) β†’ 𝑉 βŠ† π‘ˆ)
262, 25ssexd 5319 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) β†’ 𝑉 ∈ V)
2716pwslmod 20856 . . . . . 6 (((ringLModβ€˜π‘…) ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ V) β†’ ((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝑉) ∈ LMod)
2824, 26, 27syl2anc 582 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) β†’ ((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝑉) ∈ LMod)
29 frlmsplit2.z . . . . . . 7 𝑍 = (𝑅 freeLMod 𝑉)
30 frlmsplit2.c . . . . . . 7 𝐢 = (Baseβ€˜π‘)
31 eqid 2725 . . . . . . 7 (LSubSpβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝑉)) = (LSubSpβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝑉))
3229, 30, 31frlmlss 21687 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑉 ∈ V) β†’ 𝐢 ∈ (LSubSpβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝑉)))
331, 26, 32syl2anc 582 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) β†’ 𝐢 ∈ (LSubSpβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝑉)))
3411rneqd 5934 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) β†’ ran ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s π‘ˆ)) ↦ (π‘₯ β†Ύ 𝑉)) β†Ύ 𝐡) = ran (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ β†Ύ 𝑉)))
35 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . 13 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
363, 35, 4frlmbasf 21696 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ π‘₯:π‘ˆβŸΆ(Baseβ€˜π‘…))
372, 36sylan 578 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ π‘₯:π‘ˆβŸΆ(Baseβ€˜π‘…))
38 simpl3 1190 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝑉 βŠ† π‘ˆ)
3937, 38fssresd 6758 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯ β†Ύ 𝑉):π‘‰βŸΆ(Baseβ€˜π‘…))
40 fvex 6904 . . . . . . . . . . . 12 (Baseβ€˜π‘…) ∈ V
41 elmapg 8854 . . . . . . . . . . . 12 (((Baseβ€˜π‘…) ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V) β†’ ((π‘₯ β†Ύ 𝑉) ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝑉) ↔ (π‘₯ β†Ύ 𝑉):π‘‰βŸΆ(Baseβ€˜π‘…)))
4240, 26, 41sylancr 585 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) β†’ ((π‘₯ β†Ύ 𝑉) ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝑉) ↔ (π‘₯ β†Ύ 𝑉):π‘‰βŸΆ(Baseβ€˜π‘…)))
4342adantr 479 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ ((π‘₯ β†Ύ 𝑉) ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝑉) ↔ (π‘₯ β†Ύ 𝑉):π‘‰βŸΆ(Baseβ€˜π‘…)))
4439, 43mpbird 256 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯ β†Ύ 𝑉) ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝑉))
45 eqid 2725 . . . . . . . . . . . 12 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
463, 45, 4frlmbasfsupp 21694 . . . . . . . . . . 11 ((π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ π‘₯ finSupp (0gβ€˜π‘…))
472, 46sylan 578 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ π‘₯ finSupp (0gβ€˜π‘…))
48 fvexd 6906 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (0gβ€˜π‘…) ∈ V)
4947, 48fsuppres 9414 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯ β†Ύ 𝑉) finSupp (0gβ€˜π‘…))
5029, 35, 45, 30frlmelbas 21692 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑉 ∈ V) β†’ ((π‘₯ β†Ύ 𝑉) ∈ 𝐢 ↔ ((π‘₯ β†Ύ 𝑉) ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝑉) ∧ (π‘₯ β†Ύ 𝑉) finSupp (0gβ€˜π‘…))))
511, 26, 50syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) β†’ ((π‘₯ β†Ύ 𝑉) ∈ 𝐢 ↔ ((π‘₯ β†Ύ 𝑉) ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝑉) ∧ (π‘₯ β†Ύ 𝑉) finSupp (0gβ€˜π‘…))))
5251adantr 479 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ ((π‘₯ β†Ύ 𝑉) ∈ 𝐢 ↔ ((π‘₯ β†Ύ 𝑉) ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝑉) ∧ (π‘₯ β†Ύ 𝑉) finSupp (0gβ€˜π‘…))))
5344, 49, 52mpbir2and 711 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯ β†Ύ 𝑉) ∈ 𝐢)
5453fmpttd 7119 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ β†Ύ 𝑉)):𝐡⟢𝐢)
5554frnd 6724 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) β†’ ran (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ β†Ύ 𝑉)) βŠ† 𝐢)
5634, 55eqsstrd 4011 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) β†’ ran ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s π‘ˆ)) ↦ (π‘₯ β†Ύ 𝑉)) β†Ύ 𝐡) βŠ† 𝐢)
57 eqid 2725 . . . . . 6 (((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝑉) β†Ύs 𝐢) = (((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝑉) β†Ύs 𝐢)
5857, 31reslmhm2b 20941 . . . . 5 ((((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝑉) ∈ LMod ∧ 𝐢 ∈ (LSubSpβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝑉)) ∧ ran ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s π‘ˆ)) ↦ (π‘₯ β†Ύ 𝑉)) β†Ύ 𝐡) βŠ† 𝐢) β†’ (((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s π‘ˆ)) ↦ (π‘₯ β†Ύ 𝑉)) β†Ύ 𝐡) ∈ ((((ringLModβ€˜π‘…) ↑s π‘ˆ) β†Ύs 𝐡) LMHom ((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝑉)) ↔ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s π‘ˆ)) ↦ (π‘₯ β†Ύ 𝑉)) β†Ύ 𝐡) ∈ ((((ringLModβ€˜π‘…) ↑s π‘ˆ) β†Ύs 𝐡) LMHom (((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝑉) β†Ύs 𝐢))))
5928, 33, 56, 58syl3anc 1368 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) β†’ (((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s π‘ˆ)) ↦ (π‘₯ β†Ύ 𝑉)) β†Ύ 𝐡) ∈ ((((ringLModβ€˜π‘…) ↑s π‘ˆ) β†Ύs 𝐡) LMHom ((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝑉)) ↔ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s π‘ˆ)) ↦ (π‘₯ β†Ύ 𝑉)) β†Ύ 𝐡) ∈ ((((ringLModβ€˜π‘…) ↑s π‘ˆ) β†Ύs 𝐡) LMHom (((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝑉) β†Ύs 𝐢))))
6023, 59mpbid 231 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) β†’ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s π‘ˆ)) ↦ (π‘₯ β†Ύ 𝑉)) β†Ύ 𝐡) ∈ ((((ringLModβ€˜π‘…) ↑s π‘ˆ) β†Ύs 𝐡) LMHom (((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝑉) β†Ύs 𝐢)))
6113, 60eqeltrrd 2826 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) β†’ 𝐹 ∈ ((((ringLModβ€˜π‘…) ↑s π‘ˆ) β†Ύs 𝐡) LMHom (((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝑉) β†Ύs 𝐢)))
623, 4frlmpws 21686 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋) β†’ π‘Œ = (((ringLModβ€˜π‘…) ↑s π‘ˆ) β†Ύs 𝐡))
631, 2, 62syl2anc 582 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) β†’ π‘Œ = (((ringLModβ€˜π‘…) ↑s π‘ˆ) β†Ύs 𝐡))
6429, 30frlmpws 21686 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑉 ∈ V) β†’ 𝑍 = (((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝑉) β†Ύs 𝐢))
651, 26, 64syl2anc 582 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) β†’ 𝑍 = (((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝑉) β†Ύs 𝐢))
6663, 65oveq12d 7433 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) β†’ (π‘Œ LMHom 𝑍) = ((((ringLModβ€˜π‘…) ↑s π‘ˆ) β†Ύs 𝐡) LMHom (((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝑉) β†Ύs 𝐢)))
6761, 66eleqtrrd 2828 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) β†’ 𝐹 ∈ (π‘Œ LMHom 𝑍))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3463   βŠ† wss 3940   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5226  ran crn 5673   β†Ύ cres 5674  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7415   ↑m cmap 8841   finSupp cfsupp 9383  Basecbs 17177   β†Ύs cress 17206  0gc0g 17418   ↑s cpws 17425  Ringcrg 20175  LModclmod 20745  LSubSpclss 20817   LMHom clmhm 20906  ringLModcrglmod 21059   freeLMod cfrlm 21682
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-of 7681  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-er 8721  df-map 8843  df-ixp 8913  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-fsupp 9384  df-sup 9463  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12501  df-z 12587  df-dec 12706  df-uz 12851  df-fz 13515  df-struct 17113  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-ress 17207  df-plusg 17243  df-mulr 17244  df-sca 17246  df-vsca 17247  df-ip 17248  df-tset 17249  df-ple 17250  df-ds 17252  df-hom 17254  df-cco 17255  df-0g 17420  df-prds 17426  df-pws 17428  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-mhm 18737  df-submnd 18738  df-grp 18895  df-minusg 18896  df-sbg 18897  df-subg 19080  df-ghm 19170  df-cmn 19739  df-abl 19740  df-mgp 20077  df-rng 20095  df-ur 20124  df-ring 20177  df-subrg 20510  df-lmod 20747  df-lss 20818  df-lmhm 20909  df-sra 21060  df-rgmod 21061  df-dsmm 21668  df-frlm 21683
This theorem is referenced by:  frlmsslss  21710
  Copyright terms: Public domain W3C validator