Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frlmsplit2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frlmsplit2 20460
 Description: Restriction is homomorphic on free modules. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Feb-2015.) (Proof shortened by AV, 21-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmsplit2.y 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝑈)
frlmsplit2.z 𝑍 = (𝑅 freeLMod 𝑉)
frlmsplit2.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
frlmsplit2.c 𝐶 = (Base‘𝑍)
frlmsplit2.f 𝐹 = (𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝑉))
Assertion
Ref Expression
frlmsplit2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → 𝐹 ∈ (𝑌 LMHom 𝑍))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑌   𝑥,𝑅   𝑥,𝑈   𝑥,𝑍   𝑥,𝑉   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝑋
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem frlmsplit2
StepHypRef Expression
1 simp1 1133 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → 𝑅 ∈ Ring)
2 simp2 1134 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → 𝑈𝑋)
3 frlmsplit2.y . . . . . . 7 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝑈)
4 frlmsplit2.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑌)
5 eqid 2822 . . . . . . 7 (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑈)) = (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑈))
63, 4, 5frlmlss 20438 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝑋) → 𝐵 ∈ (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑈)))
71, 2, 6syl2anc 587 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → 𝐵 ∈ (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑈)))
8 eqid 2822 . . . . . 6 (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑈)) = (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑈))
98, 5lssss 19699 . . . . 5 (𝐵 ∈ (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑈)) → 𝐵 ⊆ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑈)))
10 resmpt 5883 . . . . 5 (𝐵 ⊆ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑈)) → ((𝑥 ∈ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑈)) ↦ (𝑥𝑉)) ↾ 𝐵) = (𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝑉)))
117, 9, 103syl 18 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → ((𝑥 ∈ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑈)) ↦ (𝑥𝑉)) ↾ 𝐵) = (𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝑉)))
12 frlmsplit2.f . . . 4 𝐹 = (𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝑉))
1311, 12eqtr4di 2875 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → ((𝑥 ∈ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑈)) ↦ (𝑥𝑉)) ↾ 𝐵) = 𝐹)
14 rlmlmod 19968 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
15 eqid 2822 . . . . . . 7 ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑈) = ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑈)
16 eqid 2822 . . . . . . 7 ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑉) = ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑉)
17 eqid 2822 . . . . . . 7 (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑉)) = (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑉))
18 eqid 2822 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑈)) ↦ (𝑥𝑉)) = (𝑥 ∈ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑈)) ↦ (𝑥𝑉))
1915, 16, 8, 17, 18pwssplit3 19824 . . . . . 6 (((ringLMod‘𝑅) ∈ LMod ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → (𝑥 ∈ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑈)) ↦ (𝑥𝑉)) ∈ (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑈) LMHom ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑉)))
2014, 19syl3an1 1160 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → (𝑥 ∈ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑈)) ↦ (𝑥𝑉)) ∈ (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑈) LMHom ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑉)))
21 eqid 2822 . . . . . 6 (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑈) ↾s 𝐵) = (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑈) ↾s 𝐵)
225, 21reslmhm 19815 . . . . 5 (((𝑥 ∈ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑈)) ↦ (𝑥𝑉)) ∈ (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑈) LMHom ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑉)) ∧ 𝐵 ∈ (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑈))) → ((𝑥 ∈ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑈)) ↦ (𝑥𝑉)) ↾ 𝐵) ∈ ((((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑈) ↾s 𝐵) LMHom ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑉)))
2320, 7, 22syl2anc 587 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → ((𝑥 ∈ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑈)) ↦ (𝑥𝑉)) ↾ 𝐵) ∈ ((((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑈) ↾s 𝐵) LMHom ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑉)))
24143ad2ant1 1130 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
25 simp3 1135 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → 𝑉𝑈)
262, 25ssexd 5204 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → 𝑉 ∈ V)
2716pwslmod 19733 . . . . . 6 (((ringLMod‘𝑅) ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ V) → ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑉) ∈ LMod)
2824, 26, 27syl2anc 587 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑉) ∈ LMod)
29 frlmsplit2.z . . . . . . 7 𝑍 = (𝑅 freeLMod 𝑉)
30 frlmsplit2.c . . . . . . 7 𝐶 = (Base‘𝑍)
31 eqid 2822 . . . . . . 7 (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑉)) = (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑉))
3229, 30, 31frlmlss 20438 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑉 ∈ V) → 𝐶 ∈ (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑉)))
331, 26, 32syl2anc 587 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → 𝐶 ∈ (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑉)))
3411rneqd 5785 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → ran ((𝑥 ∈ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑈)) ↦ (𝑥𝑉)) ↾ 𝐵) = ran (𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝑉)))
35 eqid 2822 . . . . . . . . . . . . 13 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
363, 35, 4frlmbasf 20447 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑈𝑋𝑥𝐵) → 𝑥:𝑈⟶(Base‘𝑅))
372, 36sylan 583 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑥:𝑈⟶(Base‘𝑅))
38 simpl3 1190 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑉𝑈)
3937, 38fssresd 6526 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑥𝑉):𝑉⟶(Base‘𝑅))
40 fvex 6665 . . . . . . . . . . . 12 (Base‘𝑅) ∈ V
41 elmapg 8406 . . . . . . . . . . . 12 (((Base‘𝑅) ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V) → ((𝑥𝑉) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑉) ↔ (𝑥𝑉):𝑉⟶(Base‘𝑅)))
4240, 26, 41sylancr 590 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → ((𝑥𝑉) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑉) ↔ (𝑥𝑉):𝑉⟶(Base‘𝑅)))
4342adantr 484 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑥𝐵) → ((𝑥𝑉) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑉) ↔ (𝑥𝑉):𝑉⟶(Base‘𝑅)))
4439, 43mpbird 260 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑥𝑉) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑉))
45 eqid 2822 . . . . . . . . . . . 12 (0g𝑅) = (0g𝑅)
463, 45, 4frlmbasfsupp 20445 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈𝑋𝑥𝐵) → 𝑥 finSupp (0g𝑅))
472, 46sylan 583 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑥 finSupp (0g𝑅))
48 fvexd 6667 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑥𝐵) → (0g𝑅) ∈ V)
4947, 48fsuppres 8846 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑥𝑉) finSupp (0g𝑅))
5029, 35, 45, 30frlmelbas 20443 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑉 ∈ V) → ((𝑥𝑉) ∈ 𝐶 ↔ ((𝑥𝑉) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑉) ∧ (𝑥𝑉) finSupp (0g𝑅))))
511, 26, 50syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → ((𝑥𝑉) ∈ 𝐶 ↔ ((𝑥𝑉) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑉) ∧ (𝑥𝑉) finSupp (0g𝑅))))
5251adantr 484 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑥𝐵) → ((𝑥𝑉) ∈ 𝐶 ↔ ((𝑥𝑉) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑉) ∧ (𝑥𝑉) finSupp (0g𝑅))))
5344, 49, 52mpbir2and 712 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑥𝑉) ∈ 𝐶)
5453fmpttd 6861 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → (𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝑉)):𝐵𝐶)
5554frnd 6501 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → ran (𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝑉)) ⊆ 𝐶)
5634, 55eqsstrd 3980 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → ran ((𝑥 ∈ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑈)) ↦ (𝑥𝑉)) ↾ 𝐵) ⊆ 𝐶)
57 eqid 2822 . . . . . 6 (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑉) ↾s 𝐶) = (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑉) ↾s 𝐶)
5857, 31reslmhm2b 19817 . . . . 5 ((((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑉) ∈ LMod ∧ 𝐶 ∈ (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑉)) ∧ ran ((𝑥 ∈ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑈)) ↦ (𝑥𝑉)) ↾ 𝐵) ⊆ 𝐶) → (((𝑥 ∈ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑈)) ↦ (𝑥𝑉)) ↾ 𝐵) ∈ ((((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑈) ↾s 𝐵) LMHom ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑉)) ↔ ((𝑥 ∈ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑈)) ↦ (𝑥𝑉)) ↾ 𝐵) ∈ ((((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑈) ↾s 𝐵) LMHom (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑉) ↾s 𝐶))))
5928, 33, 56, 58syl3anc 1368 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → (((𝑥 ∈ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑈)) ↦ (𝑥𝑉)) ↾ 𝐵) ∈ ((((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑈) ↾s 𝐵) LMHom ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑉)) ↔ ((𝑥 ∈ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑈)) ↦ (𝑥𝑉)) ↾ 𝐵) ∈ ((((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑈) ↾s 𝐵) LMHom (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑉) ↾s 𝐶))))
6023, 59mpbid 235 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → ((𝑥 ∈ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑈)) ↦ (𝑥𝑉)) ↾ 𝐵) ∈ ((((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑈) ↾s 𝐵) LMHom (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑉) ↾s 𝐶)))
6113, 60eqeltrrd 2915 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → 𝐹 ∈ ((((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑈) ↾s 𝐵) LMHom (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑉) ↾s 𝐶)))
623, 4frlmpws 20437 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝑋) → 𝑌 = (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑈) ↾s 𝐵))
631, 2, 62syl2anc 587 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → 𝑌 = (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑈) ↾s 𝐵))
6429, 30frlmpws 20437 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑉 ∈ V) → 𝑍 = (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑉) ↾s 𝐶))
651, 26, 64syl2anc 587 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → 𝑍 = (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑉) ↾s 𝐶))
6663, 65oveq12d 7158 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → (𝑌 LMHom 𝑍) = ((((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑈) ↾s 𝐵) LMHom (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑉) ↾s 𝐶)))
6761, 66eleqtrrd 2917 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → 𝐹 ∈ (𝑌 LMHom 𝑍))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2114  Vcvv 3469   ⊆ wss 3908   class class class wbr 5042   ↦ cmpt 5122  ran crn 5533   ↾ cres 5534  ⟶wf 6330  ‘cfv 6334  (class class class)co 7140   ↑m cmap 8393   finSupp cfsupp 8821  Basecbs 16474   ↾s cress 16475  0gc0g 16704   ↑s cpws 16711  Ringcrg 19288  LModclmod 19625  LSubSpclss 19694   LMHom clmhm 19782  ringLModcrglmod 19932   freeLMod cfrlm 20433 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-of 7394  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-ixp 8449  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-sup 8894  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-fz 12886  df-struct 16476  df-ndx 16477  df-slot 16478  df-base 16480  df-sets 16481  df-ress 16482  df-plusg 16569  df-mulr 16570  df-sca 16572  df-vsca 16573  df-ip 16574  df-tset 16575  df-ple 16576  df-ds 16578  df-hom 16580  df-cco 16581  df-0g 16706  df-prds 16712  df-pws 16714  df-mgm 17843  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-mhm 17947  df-submnd 17948  df-grp 18097  df-minusg 18098  df-sbg 18099  df-subg 18267  df-ghm 18347  df-mgp 19231  df-ur 19243  df-ring 19290  df-subrg 19524  df-lmod 19627  df-lss 19695  df-lmhm 19785  df-sra 19935  df-rgmod 19936  df-dsmm 20419  df-frlm 20434 This theorem is referenced by:  frlmsslss  20461
 Copyright terms: Public domain W3C validator