MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frlmsplit2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frlmsplit2 21025
Description: Restriction is homomorphic on free modules. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Feb-2015.) (Proof shortened by AV, 21-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmsplit2.y 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝑈)
frlmsplit2.z 𝑍 = (𝑅 freeLMod 𝑉)
frlmsplit2.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
frlmsplit2.c 𝐶 = (Base‘𝑍)
frlmsplit2.f 𝐹 = (𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝑉))
Assertion
Ref Expression
frlmsplit2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → 𝐹 ∈ (𝑌 LMHom 𝑍))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑌   𝑥,𝑅   𝑥,𝑈   𝑥,𝑍   𝑥,𝑉   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝑋
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem frlmsplit2
StepHypRef Expression
1 simp1 1136 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → 𝑅 ∈ Ring)
2 simp2 1137 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → 𝑈𝑋)
3 frlmsplit2.y . . . . . . 7 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝑈)
4 frlmsplit2.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑌)
5 eqid 2736 . . . . . . 7 (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑈)) = (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑈))
63, 4, 5frlmlss 21003 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝑋) → 𝐵 ∈ (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑈)))
71, 2, 6syl2anc 585 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → 𝐵 ∈ (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑈)))
8 eqid 2736 . . . . . 6 (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑈)) = (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑈))
98, 5lssss 20243 . . . . 5 (𝐵 ∈ (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑈)) → 𝐵 ⊆ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑈)))
10 resmpt 5957 . . . . 5 (𝐵 ⊆ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑈)) → ((𝑥 ∈ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑈)) ↦ (𝑥𝑉)) ↾ 𝐵) = (𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝑉)))
117, 9, 103syl 18 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → ((𝑥 ∈ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑈)) ↦ (𝑥𝑉)) ↾ 𝐵) = (𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝑉)))
12 frlmsplit2.f . . . 4 𝐹 = (𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝑉))
1311, 12eqtr4di 2794 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → ((𝑥 ∈ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑈)) ↦ (𝑥𝑉)) ↾ 𝐵) = 𝐹)
14 rlmlmod 20520 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
15 eqid 2736 . . . . . . 7 ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑈) = ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑈)
16 eqid 2736 . . . . . . 7 ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑉) = ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑉)
17 eqid 2736 . . . . . . 7 (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑉)) = (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑉))
18 eqid 2736 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑈)) ↦ (𝑥𝑉)) = (𝑥 ∈ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑈)) ↦ (𝑥𝑉))
1915, 16, 8, 17, 18pwssplit3 20368 . . . . . 6 (((ringLMod‘𝑅) ∈ LMod ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → (𝑥 ∈ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑈)) ↦ (𝑥𝑉)) ∈ (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑈) LMHom ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑉)))
2014, 19syl3an1 1163 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → (𝑥 ∈ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑈)) ↦ (𝑥𝑉)) ∈ (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑈) LMHom ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑉)))
21 eqid 2736 . . . . . 6 (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑈) ↾s 𝐵) = (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑈) ↾s 𝐵)
225, 21reslmhm 20359 . . . . 5 (((𝑥 ∈ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑈)) ↦ (𝑥𝑉)) ∈ (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑈) LMHom ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑉)) ∧ 𝐵 ∈ (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑈))) → ((𝑥 ∈ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑈)) ↦ (𝑥𝑉)) ↾ 𝐵) ∈ ((((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑈) ↾s 𝐵) LMHom ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑉)))
2320, 7, 22syl2anc 585 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → ((𝑥 ∈ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑈)) ↦ (𝑥𝑉)) ↾ 𝐵) ∈ ((((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑈) ↾s 𝐵) LMHom ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑉)))
24143ad2ant1 1133 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
25 simp3 1138 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → 𝑉𝑈)
262, 25ssexd 5257 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → 𝑉 ∈ V)
2716pwslmod 20277 . . . . . 6 (((ringLMod‘𝑅) ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ V) → ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑉) ∈ LMod)
2824, 26, 27syl2anc 585 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑉) ∈ LMod)
29 frlmsplit2.z . . . . . . 7 𝑍 = (𝑅 freeLMod 𝑉)
30 frlmsplit2.c . . . . . . 7 𝐶 = (Base‘𝑍)
31 eqid 2736 . . . . . . 7 (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑉)) = (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑉))
3229, 30, 31frlmlss 21003 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑉 ∈ V) → 𝐶 ∈ (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑉)))
331, 26, 32syl2anc 585 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → 𝐶 ∈ (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑉)))
3411rneqd 5859 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → ran ((𝑥 ∈ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑈)) ↦ (𝑥𝑉)) ↾ 𝐵) = ran (𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝑉)))
35 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . 13 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
363, 35, 4frlmbasf 21012 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑈𝑋𝑥𝐵) → 𝑥:𝑈⟶(Base‘𝑅))
372, 36sylan 581 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑥:𝑈⟶(Base‘𝑅))
38 simpl3 1193 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑉𝑈)
3937, 38fssresd 6671 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑥𝑉):𝑉⟶(Base‘𝑅))
40 fvex 6817 . . . . . . . . . . . 12 (Base‘𝑅) ∈ V
41 elmapg 8659 . . . . . . . . . . . 12 (((Base‘𝑅) ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V) → ((𝑥𝑉) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑉) ↔ (𝑥𝑉):𝑉⟶(Base‘𝑅)))
4240, 26, 41sylancr 588 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → ((𝑥𝑉) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑉) ↔ (𝑥𝑉):𝑉⟶(Base‘𝑅)))
4342adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑥𝐵) → ((𝑥𝑉) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑉) ↔ (𝑥𝑉):𝑉⟶(Base‘𝑅)))
4439, 43mpbird 257 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑥𝑉) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑉))
45 eqid 2736 . . . . . . . . . . . 12 (0g𝑅) = (0g𝑅)
463, 45, 4frlmbasfsupp 21010 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈𝑋𝑥𝐵) → 𝑥 finSupp (0g𝑅))
472, 46sylan 581 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑥 finSupp (0g𝑅))
48 fvexd 6819 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑥𝐵) → (0g𝑅) ∈ V)
4947, 48fsuppres 9197 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑥𝑉) finSupp (0g𝑅))
5029, 35, 45, 30frlmelbas 21008 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑉 ∈ V) → ((𝑥𝑉) ∈ 𝐶 ↔ ((𝑥𝑉) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑉) ∧ (𝑥𝑉) finSupp (0g𝑅))))
511, 26, 50syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → ((𝑥𝑉) ∈ 𝐶 ↔ ((𝑥𝑉) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑉) ∧ (𝑥𝑉) finSupp (0g𝑅))))
5251adantr 482 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑥𝐵) → ((𝑥𝑉) ∈ 𝐶 ↔ ((𝑥𝑉) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑉) ∧ (𝑥𝑉) finSupp (0g𝑅))))
5344, 49, 52mpbir2and 711 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑥𝑉) ∈ 𝐶)
5453fmpttd 7021 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → (𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝑉)):𝐵𝐶)
5554frnd 6638 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → ran (𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝑉)) ⊆ 𝐶)
5634, 55eqsstrd 3964 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → ran ((𝑥 ∈ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑈)) ↦ (𝑥𝑉)) ↾ 𝐵) ⊆ 𝐶)
57 eqid 2736 . . . . . 6 (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑉) ↾s 𝐶) = (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑉) ↾s 𝐶)
5857, 31reslmhm2b 20361 . . . . 5 ((((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑉) ∈ LMod ∧ 𝐶 ∈ (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑉)) ∧ ran ((𝑥 ∈ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑈)) ↦ (𝑥𝑉)) ↾ 𝐵) ⊆ 𝐶) → (((𝑥 ∈ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑈)) ↦ (𝑥𝑉)) ↾ 𝐵) ∈ ((((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑈) ↾s 𝐵) LMHom ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑉)) ↔ ((𝑥 ∈ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑈)) ↦ (𝑥𝑉)) ↾ 𝐵) ∈ ((((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑈) ↾s 𝐵) LMHom (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑉) ↾s 𝐶))))
5928, 33, 56, 58syl3anc 1371 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → (((𝑥 ∈ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑈)) ↦ (𝑥𝑉)) ↾ 𝐵) ∈ ((((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑈) ↾s 𝐵) LMHom ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑉)) ↔ ((𝑥 ∈ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑈)) ↦ (𝑥𝑉)) ↾ 𝐵) ∈ ((((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑈) ↾s 𝐵) LMHom (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑉) ↾s 𝐶))))
6023, 59mpbid 231 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → ((𝑥 ∈ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑈)) ↦ (𝑥𝑉)) ↾ 𝐵) ∈ ((((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑈) ↾s 𝐵) LMHom (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑉) ↾s 𝐶)))
6113, 60eqeltrrd 2838 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → 𝐹 ∈ ((((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑈) ↾s 𝐵) LMHom (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑉) ↾s 𝐶)))
623, 4frlmpws 21002 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝑋) → 𝑌 = (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑈) ↾s 𝐵))
631, 2, 62syl2anc 585 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → 𝑌 = (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑈) ↾s 𝐵))
6429, 30frlmpws 21002 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑉 ∈ V) → 𝑍 = (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑉) ↾s 𝐶))
651, 26, 64syl2anc 585 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → 𝑍 = (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑉) ↾s 𝐶))
6663, 65oveq12d 7325 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → (𝑌 LMHom 𝑍) = ((((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑈) ↾s 𝐵) LMHom (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑉) ↾s 𝐶)))
6761, 66eleqtrrd 2840 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → 𝐹 ∈ (𝑌 LMHom 𝑍))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1087   = wceq 1539  wcel 2104  Vcvv 3437  wss 3892   class class class wbr 5081  cmpt 5164  ran crn 5601  cres 5602  wf 6454  cfv 6458  (class class class)co 7307  m cmap 8646   finSupp cfsupp 9172  Basecbs 16957  s cress 16986  0gc0g 17195  s cpws 17202  Ringcrg 19828  LModclmod 20168  LSubSpclss 20238   LMHom clmhm 20326  ringLModcrglmod 20476   freeLMod cfrlm 20998
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-rep 5218  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-cnex 10973  ax-resscn 10974  ax-1cn 10975  ax-icn 10976  ax-addcl 10977  ax-addrcl 10978  ax-mulcl 10979  ax-mulrcl 10980  ax-mulcom 10981  ax-addass 10982  ax-mulass 10983  ax-distr 10984  ax-i2m1 10985  ax-1ne0 10986  ax-1rid 10987  ax-rnegex 10988  ax-rrecex 10989  ax-cnre 10990  ax-pre-lttri 10991  ax-pre-lttrn 10992  ax-pre-ltadd 10993  ax-pre-mulgt0 10994
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3285  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-tp 4570  df-op 4572  df-uni 4845  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-of 7565  df-om 7745  df-1st 7863  df-2nd 7864  df-supp 8009  df-frecs 8128  df-wrecs 8159  df-recs 8233  df-rdg 8272  df-1o 8328  df-er 8529  df-map 8648  df-ixp 8717  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-fin 8768  df-fsupp 9173  df-sup 9245  df-pnf 11057  df-mnf 11058  df-xr 11059  df-ltxr 11060  df-le 11061  df-sub 11253  df-neg 11254  df-nn 12020  df-2 12082  df-3 12083  df-4 12084  df-5 12085  df-6 12086  df-7 12087  df-8 12088  df-9 12089  df-n0 12280  df-z 12366  df-dec 12484  df-uz 12629  df-fz 13286  df-struct 16893  df-sets 16910  df-slot 16928  df-ndx 16940  df-base 16958  df-ress 16987  df-plusg 17020  df-mulr 17021  df-sca 17023  df-vsca 17024  df-ip 17025  df-tset 17026  df-ple 17027  df-ds 17029  df-hom 17031  df-cco 17032  df-0g 17197  df-prds 17203  df-pws 17205  df-mgm 18371  df-sgrp 18420  df-mnd 18431  df-mhm 18475  df-submnd 18476  df-grp 18625  df-minusg 18626  df-sbg 18627  df-subg 18797  df-ghm 18877  df-mgp 19766  df-ur 19783  df-ring 19830  df-subrg 20067  df-lmod 20170  df-lss 20239  df-lmhm 20329  df-sra 20479  df-rgmod 20480  df-dsmm 20984  df-frlm 20999
This theorem is referenced by:  frlmsslss  21026
  Copyright terms: Public domain W3C validator