MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frlmsplit2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem frlmsplit2 21668
Description: Restriction is homomorphic on free modules. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Feb-2015.) (Proof shortened by AV, 21-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmsplit2.y π‘Œ = (𝑅 freeLMod π‘ˆ)
frlmsplit2.z 𝑍 = (𝑅 freeLMod 𝑉)
frlmsplit2.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Œ)
frlmsplit2.c 𝐢 = (Baseβ€˜π‘)
frlmsplit2.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ β†Ύ 𝑉))
Assertion
Ref Expression
frlmsplit2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) β†’ 𝐹 ∈ (π‘Œ LMHom 𝑍))
Distinct variable groups:   π‘₯,π‘Œ   π‘₯,𝑅   π‘₯,π‘ˆ   π‘₯,𝑍   π‘₯,𝑉   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝐢   π‘₯,𝑋
Allowed substitution hint:   𝐹(π‘₯)
Proof of Theorem frlmsplit2
StepHypRef Expression
1 simp1 1133 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
2 simp2 1134 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑋)
3 frlmsplit2.y . . . . . . 7 π‘Œ = (𝑅 freeLMod π‘ˆ)
4 frlmsplit2.b . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Œ)
5 eqid 2726 . . . . . . 7 (LSubSpβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s π‘ˆ)) = (LSubSpβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s π‘ˆ))
63, 4, 5frlmlss 21646 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋) β†’ 𝐡 ∈ (LSubSpβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s π‘ˆ)))
71, 2, 6syl2anc 583 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) β†’ 𝐡 ∈ (LSubSpβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s π‘ˆ)))
8 eqid 2726 . . . . . 6 (Baseβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s π‘ˆ)) = (Baseβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s π‘ˆ))
98, 5lssss 20783 . . . . 5 (𝐡 ∈ (LSubSpβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s π‘ˆ)) β†’ 𝐡 βŠ† (Baseβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s π‘ˆ)))
10 resmpt 6031 . . . . 5 (𝐡 βŠ† (Baseβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s π‘ˆ)) β†’ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s π‘ˆ)) ↦ (π‘₯ β†Ύ 𝑉)) β†Ύ 𝐡) = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ β†Ύ 𝑉)))
117, 9, 103syl 18 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) β†’ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s π‘ˆ)) ↦ (π‘₯ β†Ύ 𝑉)) β†Ύ 𝐡) = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ β†Ύ 𝑉)))
12 frlmsplit2.f . . . 4 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ β†Ύ 𝑉))
1311, 12eqtr4di 2784 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) β†’ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s π‘ˆ)) ↦ (π‘₯ β†Ύ 𝑉)) β†Ύ 𝐡) = 𝐹)
14 rlmlmod 21059 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring β†’ (ringLModβ€˜π‘…) ∈ LMod)
15 eqid 2726 . . . . . . 7 ((ringLModβ€˜π‘…) ↑s π‘ˆ) = ((ringLModβ€˜π‘…) ↑s π‘ˆ)
16 eqid 2726 . . . . . . 7 ((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝑉) = ((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝑉)
17 eqid 2726 . . . . . . 7 (Baseβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝑉)) = (Baseβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝑉))
18 eqid 2726 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s π‘ˆ)) ↦ (π‘₯ β†Ύ 𝑉)) = (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s π‘ˆ)) ↦ (π‘₯ β†Ύ 𝑉))
1915, 16, 8, 17, 18pwssplit3 20909 . . . . . 6 (((ringLModβ€˜π‘…) ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s π‘ˆ)) ↦ (π‘₯ β†Ύ 𝑉)) ∈ (((ringLModβ€˜π‘…) ↑s π‘ˆ) LMHom ((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝑉)))
2014, 19syl3an1 1160 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s π‘ˆ)) ↦ (π‘₯ β†Ύ 𝑉)) ∈ (((ringLModβ€˜π‘…) ↑s π‘ˆ) LMHom ((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝑉)))
21 eqid 2726 . . . . . 6 (((ringLModβ€˜π‘…) ↑s π‘ˆ) β†Ύs 𝐡) = (((ringLModβ€˜π‘…) ↑s π‘ˆ) β†Ύs 𝐡)
225, 21reslmhm 20900 . . . . 5 (((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s π‘ˆ)) ↦ (π‘₯ β†Ύ 𝑉)) ∈ (((ringLModβ€˜π‘…) ↑s π‘ˆ) LMHom ((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝑉)) ∧ 𝐡 ∈ (LSubSpβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s π‘ˆ))) β†’ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s π‘ˆ)) ↦ (π‘₯ β†Ύ 𝑉)) β†Ύ 𝐡) ∈ ((((ringLModβ€˜π‘…) ↑s π‘ˆ) β†Ύs 𝐡) LMHom ((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝑉)))
2320, 7, 22syl2anc 583 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) β†’ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s π‘ˆ)) ↦ (π‘₯ β†Ύ 𝑉)) β†Ύ 𝐡) ∈ ((((ringLModβ€˜π‘…) ↑s π‘ˆ) β†Ύs 𝐡) LMHom ((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝑉)))
24143ad2ant1 1130 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) β†’ (ringLModβ€˜π‘…) ∈ LMod)
25 simp3 1135 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) β†’ 𝑉 βŠ† π‘ˆ)
262, 25ssexd 5317 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) β†’ 𝑉 ∈ V)
2716pwslmod 20817 . . . . . 6 (((ringLModβ€˜π‘…) ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ V) β†’ ((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝑉) ∈ LMod)
2824, 26, 27syl2anc 583 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) β†’ ((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝑉) ∈ LMod)
29 frlmsplit2.z . . . . . . 7 𝑍 = (𝑅 freeLMod 𝑉)
30 frlmsplit2.c . . . . . . 7 𝐢 = (Baseβ€˜π‘)
31 eqid 2726 . . . . . . 7 (LSubSpβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝑉)) = (LSubSpβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝑉))
3229, 30, 31frlmlss 21646 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑉 ∈ V) β†’ 𝐢 ∈ (LSubSpβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝑉)))
331, 26, 32syl2anc 583 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) β†’ 𝐢 ∈ (LSubSpβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝑉)))
3411rneqd 5931 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) β†’ ran ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s π‘ˆ)) ↦ (π‘₯ β†Ύ 𝑉)) β†Ύ 𝐡) = ran (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ β†Ύ 𝑉)))
35 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . 13 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
363, 35, 4frlmbasf 21655 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ π‘₯:π‘ˆβŸΆ(Baseβ€˜π‘…))
372, 36sylan 579 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ π‘₯:π‘ˆβŸΆ(Baseβ€˜π‘…))
38 simpl3 1190 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝑉 βŠ† π‘ˆ)
3937, 38fssresd 6752 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯ β†Ύ 𝑉):π‘‰βŸΆ(Baseβ€˜π‘…))
40 fvex 6898 . . . . . . . . . . . 12 (Baseβ€˜π‘…) ∈ V
41 elmapg 8835 . . . . . . . . . . . 12 (((Baseβ€˜π‘…) ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V) β†’ ((π‘₯ β†Ύ 𝑉) ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝑉) ↔ (π‘₯ β†Ύ 𝑉):π‘‰βŸΆ(Baseβ€˜π‘…)))
4240, 26, 41sylancr 586 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) β†’ ((π‘₯ β†Ύ 𝑉) ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝑉) ↔ (π‘₯ β†Ύ 𝑉):π‘‰βŸΆ(Baseβ€˜π‘…)))
4342adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ ((π‘₯ β†Ύ 𝑉) ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝑉) ↔ (π‘₯ β†Ύ 𝑉):π‘‰βŸΆ(Baseβ€˜π‘…)))
4439, 43mpbird 257 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯ β†Ύ 𝑉) ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝑉))
45 eqid 2726 . . . . . . . . . . . 12 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
463, 45, 4frlmbasfsupp 21653 . . . . . . . . . . 11 ((π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ π‘₯ finSupp (0gβ€˜π‘…))
472, 46sylan 579 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ π‘₯ finSupp (0gβ€˜π‘…))
48 fvexd 6900 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (0gβ€˜π‘…) ∈ V)
4947, 48fsuppres 9390 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯ β†Ύ 𝑉) finSupp (0gβ€˜π‘…))
5029, 35, 45, 30frlmelbas 21651 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑉 ∈ V) β†’ ((π‘₯ β†Ύ 𝑉) ∈ 𝐢 ↔ ((π‘₯ β†Ύ 𝑉) ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝑉) ∧ (π‘₯ β†Ύ 𝑉) finSupp (0gβ€˜π‘…))))
511, 26, 50syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) β†’ ((π‘₯ β†Ύ 𝑉) ∈ 𝐢 ↔ ((π‘₯ β†Ύ 𝑉) ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝑉) ∧ (π‘₯ β†Ύ 𝑉) finSupp (0gβ€˜π‘…))))
5251adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ ((π‘₯ β†Ύ 𝑉) ∈ 𝐢 ↔ ((π‘₯ β†Ύ 𝑉) ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝑉) ∧ (π‘₯ β†Ύ 𝑉) finSupp (0gβ€˜π‘…))))
5344, 49, 52mpbir2and 710 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯ β†Ύ 𝑉) ∈ 𝐢)
5453fmpttd 7110 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ β†Ύ 𝑉)):𝐡⟢𝐢)
5554frnd 6719 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) β†’ ran (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ β†Ύ 𝑉)) βŠ† 𝐢)
5634, 55eqsstrd 4015 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) β†’ ran ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s π‘ˆ)) ↦ (π‘₯ β†Ύ 𝑉)) β†Ύ 𝐡) βŠ† 𝐢)
57 eqid 2726 . . . . . 6 (((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝑉) β†Ύs 𝐢) = (((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝑉) β†Ύs 𝐢)
5857, 31reslmhm2b 20902 . . . . 5 ((((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝑉) ∈ LMod ∧ 𝐢 ∈ (LSubSpβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝑉)) ∧ ran ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s π‘ˆ)) ↦ (π‘₯ β†Ύ 𝑉)) β†Ύ 𝐡) βŠ† 𝐢) β†’ (((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s π‘ˆ)) ↦ (π‘₯ β†Ύ 𝑉)) β†Ύ 𝐡) ∈ ((((ringLModβ€˜π‘…) ↑s π‘ˆ) β†Ύs 𝐡) LMHom ((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝑉)) ↔ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s π‘ˆ)) ↦ (π‘₯ β†Ύ 𝑉)) β†Ύ 𝐡) ∈ ((((ringLModβ€˜π‘…) ↑s π‘ˆ) β†Ύs 𝐡) LMHom (((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝑉) β†Ύs 𝐢))))
5928, 33, 56, 58syl3anc 1368 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) β†’ (((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s π‘ˆ)) ↦ (π‘₯ β†Ύ 𝑉)) β†Ύ 𝐡) ∈ ((((ringLModβ€˜π‘…) ↑s π‘ˆ) β†Ύs 𝐡) LMHom ((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝑉)) ↔ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s π‘ˆ)) ↦ (π‘₯ β†Ύ 𝑉)) β†Ύ 𝐡) ∈ ((((ringLModβ€˜π‘…) ↑s π‘ˆ) β†Ύs 𝐡) LMHom (((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝑉) β†Ύs 𝐢))))
6023, 59mpbid 231 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) β†’ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s π‘ˆ)) ↦ (π‘₯ β†Ύ 𝑉)) β†Ύ 𝐡) ∈ ((((ringLModβ€˜π‘…) ↑s π‘ˆ) β†Ύs 𝐡) LMHom (((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝑉) β†Ύs 𝐢)))
6113, 60eqeltrrd 2828 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) β†’ 𝐹 ∈ ((((ringLModβ€˜π‘…) ↑s π‘ˆ) β†Ύs 𝐡) LMHom (((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝑉) β†Ύs 𝐢)))
623, 4frlmpws 21645 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋) β†’ π‘Œ = (((ringLModβ€˜π‘…) ↑s π‘ˆ) β†Ύs 𝐡))
631, 2, 62syl2anc 583 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) β†’ π‘Œ = (((ringLModβ€˜π‘…) ↑s π‘ˆ) β†Ύs 𝐡))
6429, 30frlmpws 21645 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑉 ∈ V) β†’ 𝑍 = (((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝑉) β†Ύs 𝐢))
651, 26, 64syl2anc 583 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) β†’ 𝑍 = (((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝑉) β†Ύs 𝐢))
6663, 65oveq12d 7423 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) β†’ (π‘Œ LMHom 𝑍) = ((((ringLModβ€˜π‘…) ↑s π‘ˆ) β†Ύs 𝐡) LMHom (((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝑉) β†Ύs 𝐢)))
6761, 66eleqtrrd 2830 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) β†’ 𝐹 ∈ (π‘Œ LMHom 𝑍))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3468   βŠ† wss 3943   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224  ran crn 5670   β†Ύ cres 5671  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   ↑m cmap 8822   finSupp cfsupp 9363  Basecbs 17153   β†Ύs cress 17182  0gc0g 17394   ↑s cpws 17401  Ringcrg 20138  LModclmod 20706  LSubSpclss 20778   LMHom clmhm 20867  ringLModcrglmod 21020   freeLMod cfrlm 21641
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13491  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-hom 17230  df-cco 17231  df-0g 17396  df-prds 17402  df-pws 17404  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-mhm 18713  df-submnd 18714  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-subg 19050  df-ghm 19139  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-subrg 20471  df-lmod 20708  df-lss 20779  df-lmhm 20870  df-sra 21021  df-rgmod 21022  df-dsmm 21627  df-frlm 21642
This theorem is referenced by:  frlmsslss  21669
  Copyright terms: Public domain W3C validator