MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frlmsplit2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frlmsplit2 21714
Description: Restriction is homomorphic on free modules. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Feb-2015.) (Proof shortened by AV, 21-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmsplit2.y 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝑈)
frlmsplit2.z 𝑍 = (𝑅 freeLMod 𝑉)
frlmsplit2.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
frlmsplit2.c 𝐶 = (Base‘𝑍)
frlmsplit2.f 𝐹 = (𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝑉))
Assertion
Ref Expression
frlmsplit2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → 𝐹 ∈ (𝑌 LMHom 𝑍))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑌   𝑥,𝑅   𝑥,𝑈   𝑥,𝑍   𝑥,𝑉   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝑋
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem frlmsplit2
StepHypRef Expression
1 simp1 1133 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → 𝑅 ∈ Ring)
2 simp2 1134 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → 𝑈𝑋)
3 frlmsplit2.y . . . . . . 7 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝑈)
4 frlmsplit2.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑌)
5 eqid 2728 . . . . . . 7 (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑈)) = (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑈))
63, 4, 5frlmlss 21692 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝑋) → 𝐵 ∈ (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑈)))
71, 2, 6syl2anc 582 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → 𝐵 ∈ (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑈)))
8 eqid 2728 . . . . . 6 (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑈)) = (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑈))
98, 5lssss 20827 . . . . 5 (𝐵 ∈ (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑈)) → 𝐵 ⊆ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑈)))
10 resmpt 6046 . . . . 5 (𝐵 ⊆ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑈)) → ((𝑥 ∈ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑈)) ↦ (𝑥𝑉)) ↾ 𝐵) = (𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝑉)))
117, 9, 103syl 18 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → ((𝑥 ∈ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑈)) ↦ (𝑥𝑉)) ↾ 𝐵) = (𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝑉)))
12 frlmsplit2.f . . . 4 𝐹 = (𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝑉))
1311, 12eqtr4di 2786 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → ((𝑥 ∈ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑈)) ↦ (𝑥𝑉)) ↾ 𝐵) = 𝐹)
14 rlmlmod 21103 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
15 eqid 2728 . . . . . . 7 ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑈) = ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑈)
16 eqid 2728 . . . . . . 7 ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑉) = ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑉)
17 eqid 2728 . . . . . . 7 (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑉)) = (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑉))
18 eqid 2728 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑈)) ↦ (𝑥𝑉)) = (𝑥 ∈ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑈)) ↦ (𝑥𝑉))
1915, 16, 8, 17, 18pwssplit3 20953 . . . . . 6 (((ringLMod‘𝑅) ∈ LMod ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → (𝑥 ∈ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑈)) ↦ (𝑥𝑉)) ∈ (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑈) LMHom ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑉)))
2014, 19syl3an1 1160 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → (𝑥 ∈ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑈)) ↦ (𝑥𝑉)) ∈ (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑈) LMHom ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑉)))
21 eqid 2728 . . . . . 6 (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑈) ↾s 𝐵) = (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑈) ↾s 𝐵)
225, 21reslmhm 20944 . . . . 5 (((𝑥 ∈ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑈)) ↦ (𝑥𝑉)) ∈ (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑈) LMHom ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑉)) ∧ 𝐵 ∈ (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑈))) → ((𝑥 ∈ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑈)) ↦ (𝑥𝑉)) ↾ 𝐵) ∈ ((((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑈) ↾s 𝐵) LMHom ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑉)))
2320, 7, 22syl2anc 582 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → ((𝑥 ∈ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑈)) ↦ (𝑥𝑉)) ↾ 𝐵) ∈ ((((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑈) ↾s 𝐵) LMHom ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑉)))
24143ad2ant1 1130 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
25 simp3 1135 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → 𝑉𝑈)
262, 25ssexd 5328 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → 𝑉 ∈ V)
2716pwslmod 20861 . . . . . 6 (((ringLMod‘𝑅) ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ V) → ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑉) ∈ LMod)
2824, 26, 27syl2anc 582 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑉) ∈ LMod)
29 frlmsplit2.z . . . . . . 7 𝑍 = (𝑅 freeLMod 𝑉)
30 frlmsplit2.c . . . . . . 7 𝐶 = (Base‘𝑍)
31 eqid 2728 . . . . . . 7 (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑉)) = (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑉))
3229, 30, 31frlmlss 21692 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑉 ∈ V) → 𝐶 ∈ (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑉)))
331, 26, 32syl2anc 582 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → 𝐶 ∈ (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑉)))
3411rneqd 5944 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → ran ((𝑥 ∈ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑈)) ↦ (𝑥𝑉)) ↾ 𝐵) = ran (𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝑉)))
35 eqid 2728 . . . . . . . . . . . . 13 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
363, 35, 4frlmbasf 21701 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑈𝑋𝑥𝐵) → 𝑥:𝑈⟶(Base‘𝑅))
372, 36sylan 578 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑥:𝑈⟶(Base‘𝑅))
38 simpl3 1190 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑉𝑈)
3937, 38fssresd 6769 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑥𝑉):𝑉⟶(Base‘𝑅))
40 fvex 6915 . . . . . . . . . . . 12 (Base‘𝑅) ∈ V
41 elmapg 8864 . . . . . . . . . . . 12 (((Base‘𝑅) ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V) → ((𝑥𝑉) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑉) ↔ (𝑥𝑉):𝑉⟶(Base‘𝑅)))
4240, 26, 41sylancr 585 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → ((𝑥𝑉) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑉) ↔ (𝑥𝑉):𝑉⟶(Base‘𝑅)))
4342adantr 479 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑥𝐵) → ((𝑥𝑉) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑉) ↔ (𝑥𝑉):𝑉⟶(Base‘𝑅)))
4439, 43mpbird 256 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑥𝑉) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑉))
45 eqid 2728 . . . . . . . . . . . 12 (0g𝑅) = (0g𝑅)
463, 45, 4frlmbasfsupp 21699 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈𝑋𝑥𝐵) → 𝑥 finSupp (0g𝑅))
472, 46sylan 578 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑥 finSupp (0g𝑅))
48 fvexd 6917 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑥𝐵) → (0g𝑅) ∈ V)
4947, 48fsuppres 9424 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑥𝑉) finSupp (0g𝑅))
5029, 35, 45, 30frlmelbas 21697 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑉 ∈ V) → ((𝑥𝑉) ∈ 𝐶 ↔ ((𝑥𝑉) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑉) ∧ (𝑥𝑉) finSupp (0g𝑅))))
511, 26, 50syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → ((𝑥𝑉) ∈ 𝐶 ↔ ((𝑥𝑉) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑉) ∧ (𝑥𝑉) finSupp (0g𝑅))))
5251adantr 479 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑥𝐵) → ((𝑥𝑉) ∈ 𝐶 ↔ ((𝑥𝑉) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑉) ∧ (𝑥𝑉) finSupp (0g𝑅))))
5344, 49, 52mpbir2and 711 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑥𝑉) ∈ 𝐶)
5453fmpttd 7130 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → (𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝑉)):𝐵𝐶)
5554frnd 6735 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → ran (𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝑉)) ⊆ 𝐶)
5634, 55eqsstrd 4020 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → ran ((𝑥 ∈ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑈)) ↦ (𝑥𝑉)) ↾ 𝐵) ⊆ 𝐶)
57 eqid 2728 . . . . . 6 (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑉) ↾s 𝐶) = (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑉) ↾s 𝐶)
5857, 31reslmhm2b 20946 . . . . 5 ((((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑉) ∈ LMod ∧ 𝐶 ∈ (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑉)) ∧ ran ((𝑥 ∈ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑈)) ↦ (𝑥𝑉)) ↾ 𝐵) ⊆ 𝐶) → (((𝑥 ∈ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑈)) ↦ (𝑥𝑉)) ↾ 𝐵) ∈ ((((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑈) ↾s 𝐵) LMHom ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑉)) ↔ ((𝑥 ∈ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑈)) ↦ (𝑥𝑉)) ↾ 𝐵) ∈ ((((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑈) ↾s 𝐵) LMHom (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑉) ↾s 𝐶))))
5928, 33, 56, 58syl3anc 1368 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → (((𝑥 ∈ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑈)) ↦ (𝑥𝑉)) ↾ 𝐵) ∈ ((((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑈) ↾s 𝐵) LMHom ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑉)) ↔ ((𝑥 ∈ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑈)) ↦ (𝑥𝑉)) ↾ 𝐵) ∈ ((((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑈) ↾s 𝐵) LMHom (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑉) ↾s 𝐶))))
6023, 59mpbid 231 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → ((𝑥 ∈ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑈)) ↦ (𝑥𝑉)) ↾ 𝐵) ∈ ((((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑈) ↾s 𝐵) LMHom (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑉) ↾s 𝐶)))
6113, 60eqeltrrd 2830 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → 𝐹 ∈ ((((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑈) ↾s 𝐵) LMHom (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑉) ↾s 𝐶)))
623, 4frlmpws 21691 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝑋) → 𝑌 = (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑈) ↾s 𝐵))
631, 2, 62syl2anc 582 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → 𝑌 = (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑈) ↾s 𝐵))
6429, 30frlmpws 21691 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑉 ∈ V) → 𝑍 = (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑉) ↾s 𝐶))
651, 26, 64syl2anc 582 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → 𝑍 = (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑉) ↾s 𝐶))
6663, 65oveq12d 7444 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → (𝑌 LMHom 𝑍) = ((((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑈) ↾s 𝐵) LMHom (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝑉) ↾s 𝐶)))
6761, 66eleqtrrd 2832 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → 𝐹 ∈ (𝑌 LMHom 𝑍))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  Vcvv 3473  wss 3949   class class class wbr 5152  cmpt 5235  ran crn 5683  cres 5684  wf 6549  cfv 6553  (class class class)co 7426  m cmap 8851   finSupp cfsupp 9393  Basecbs 17187  s cress 17216  0gc0g 17428  s cpws 17435  Ringcrg 20180  LModclmod 20750  LSubSpclss 20822   LMHom clmhm 20911  ringLModcrglmod 21064   freeLMod cfrlm 21687
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7691  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8172  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-map 8853  df-ixp 8923  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-fsupp 9394  df-sup 9473  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-fz 13525  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-sca 17256  df-vsca 17257  df-ip 17258  df-tset 17259  df-ple 17260  df-ds 17262  df-hom 17264  df-cco 17265  df-0g 17430  df-prds 17436  df-pws 17438  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-mhm 18747  df-submnd 18748  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-sbg 18902  df-subg 19085  df-ghm 19175  df-cmn 19744  df-abl 19745  df-mgp 20082  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-subrg 20515  df-lmod 20752  df-lss 20823  df-lmhm 20914  df-sra 21065  df-rgmod 21066  df-dsmm 21673  df-frlm 21688
This theorem is referenced by:  frlmsslss  21715
  Copyright terms: Public domain W3C validator