MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frlmsplit2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem frlmsplit2 21327
Description: Restriction is homomorphic on free modules. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Feb-2015.) (Proof shortened by AV, 21-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmsplit2.y π‘Œ = (𝑅 freeLMod π‘ˆ)
frlmsplit2.z 𝑍 = (𝑅 freeLMod 𝑉)
frlmsplit2.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Œ)
frlmsplit2.c 𝐢 = (Baseβ€˜π‘)
frlmsplit2.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ β†Ύ 𝑉))
Assertion
Ref Expression
frlmsplit2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) β†’ 𝐹 ∈ (π‘Œ LMHom 𝑍))
Distinct variable groups:   π‘₯,π‘Œ   π‘₯,𝑅   π‘₯,π‘ˆ   π‘₯,𝑍   π‘₯,𝑉   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝐢   π‘₯,𝑋
Allowed substitution hint:   𝐹(π‘₯)
Proof of Theorem frlmsplit2
StepHypRef Expression
1 simp1 1136 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
2 simp2 1137 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑋)
3 frlmsplit2.y . . . . . . 7 π‘Œ = (𝑅 freeLMod π‘ˆ)
4 frlmsplit2.b . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Œ)
5 eqid 2732 . . . . . . 7 (LSubSpβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s π‘ˆ)) = (LSubSpβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s π‘ˆ))
63, 4, 5frlmlss 21305 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋) β†’ 𝐡 ∈ (LSubSpβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s π‘ˆ)))
71, 2, 6syl2anc 584 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) β†’ 𝐡 ∈ (LSubSpβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s π‘ˆ)))
8 eqid 2732 . . . . . 6 (Baseβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s π‘ˆ)) = (Baseβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s π‘ˆ))
98, 5lssss 20546 . . . . 5 (𝐡 ∈ (LSubSpβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s π‘ˆ)) β†’ 𝐡 βŠ† (Baseβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s π‘ˆ)))
10 resmpt 6037 . . . . 5 (𝐡 βŠ† (Baseβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s π‘ˆ)) β†’ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s π‘ˆ)) ↦ (π‘₯ β†Ύ 𝑉)) β†Ύ 𝐡) = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ β†Ύ 𝑉)))
117, 9, 103syl 18 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) β†’ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s π‘ˆ)) ↦ (π‘₯ β†Ύ 𝑉)) β†Ύ 𝐡) = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ β†Ύ 𝑉)))
12 frlmsplit2.f . . . 4 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ β†Ύ 𝑉))
1311, 12eqtr4di 2790 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) β†’ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s π‘ˆ)) ↦ (π‘₯ β†Ύ 𝑉)) β†Ύ 𝐡) = 𝐹)
14 rlmlmod 20826 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring β†’ (ringLModβ€˜π‘…) ∈ LMod)
15 eqid 2732 . . . . . . 7 ((ringLModβ€˜π‘…) ↑s π‘ˆ) = ((ringLModβ€˜π‘…) ↑s π‘ˆ)
16 eqid 2732 . . . . . . 7 ((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝑉) = ((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝑉)
17 eqid 2732 . . . . . . 7 (Baseβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝑉)) = (Baseβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝑉))
18 eqid 2732 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s π‘ˆ)) ↦ (π‘₯ β†Ύ 𝑉)) = (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s π‘ˆ)) ↦ (π‘₯ β†Ύ 𝑉))
1915, 16, 8, 17, 18pwssplit3 20671 . . . . . 6 (((ringLModβ€˜π‘…) ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s π‘ˆ)) ↦ (π‘₯ β†Ύ 𝑉)) ∈ (((ringLModβ€˜π‘…) ↑s π‘ˆ) LMHom ((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝑉)))
2014, 19syl3an1 1163 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s π‘ˆ)) ↦ (π‘₯ β†Ύ 𝑉)) ∈ (((ringLModβ€˜π‘…) ↑s π‘ˆ) LMHom ((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝑉)))
21 eqid 2732 . . . . . 6 (((ringLModβ€˜π‘…) ↑s π‘ˆ) β†Ύs 𝐡) = (((ringLModβ€˜π‘…) ↑s π‘ˆ) β†Ύs 𝐡)
225, 21reslmhm 20662 . . . . 5 (((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s π‘ˆ)) ↦ (π‘₯ β†Ύ 𝑉)) ∈ (((ringLModβ€˜π‘…) ↑s π‘ˆ) LMHom ((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝑉)) ∧ 𝐡 ∈ (LSubSpβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s π‘ˆ))) β†’ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s π‘ˆ)) ↦ (π‘₯ β†Ύ 𝑉)) β†Ύ 𝐡) ∈ ((((ringLModβ€˜π‘…) ↑s π‘ˆ) β†Ύs 𝐡) LMHom ((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝑉)))
2320, 7, 22syl2anc 584 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) β†’ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s π‘ˆ)) ↦ (π‘₯ β†Ύ 𝑉)) β†Ύ 𝐡) ∈ ((((ringLModβ€˜π‘…) ↑s π‘ˆ) β†Ύs 𝐡) LMHom ((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝑉)))
24143ad2ant1 1133 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) β†’ (ringLModβ€˜π‘…) ∈ LMod)
25 simp3 1138 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) β†’ 𝑉 βŠ† π‘ˆ)
262, 25ssexd 5324 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) β†’ 𝑉 ∈ V)
2716pwslmod 20580 . . . . . 6 (((ringLModβ€˜π‘…) ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ V) β†’ ((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝑉) ∈ LMod)
2824, 26, 27syl2anc 584 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) β†’ ((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝑉) ∈ LMod)
29 frlmsplit2.z . . . . . . 7 𝑍 = (𝑅 freeLMod 𝑉)
30 frlmsplit2.c . . . . . . 7 𝐢 = (Baseβ€˜π‘)
31 eqid 2732 . . . . . . 7 (LSubSpβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝑉)) = (LSubSpβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝑉))
3229, 30, 31frlmlss 21305 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑉 ∈ V) β†’ 𝐢 ∈ (LSubSpβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝑉)))
331, 26, 32syl2anc 584 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) β†’ 𝐢 ∈ (LSubSpβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝑉)))
3411rneqd 5937 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) β†’ ran ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s π‘ˆ)) ↦ (π‘₯ β†Ύ 𝑉)) β†Ύ 𝐡) = ran (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ β†Ύ 𝑉)))
35 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . 13 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
363, 35, 4frlmbasf 21314 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ π‘₯:π‘ˆβŸΆ(Baseβ€˜π‘…))
372, 36sylan 580 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ π‘₯:π‘ˆβŸΆ(Baseβ€˜π‘…))
38 simpl3 1193 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝑉 βŠ† π‘ˆ)
3937, 38fssresd 6758 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯ β†Ύ 𝑉):π‘‰βŸΆ(Baseβ€˜π‘…))
40 fvex 6904 . . . . . . . . . . . 12 (Baseβ€˜π‘…) ∈ V
41 elmapg 8832 . . . . . . . . . . . 12 (((Baseβ€˜π‘…) ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V) β†’ ((π‘₯ β†Ύ 𝑉) ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝑉) ↔ (π‘₯ β†Ύ 𝑉):π‘‰βŸΆ(Baseβ€˜π‘…)))
4240, 26, 41sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) β†’ ((π‘₯ β†Ύ 𝑉) ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝑉) ↔ (π‘₯ β†Ύ 𝑉):π‘‰βŸΆ(Baseβ€˜π‘…)))
4342adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ ((π‘₯ β†Ύ 𝑉) ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝑉) ↔ (π‘₯ β†Ύ 𝑉):π‘‰βŸΆ(Baseβ€˜π‘…)))
4439, 43mpbird 256 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯ β†Ύ 𝑉) ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝑉))
45 eqid 2732 . . . . . . . . . . . 12 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
463, 45, 4frlmbasfsupp 21312 . . . . . . . . . . 11 ((π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ π‘₯ finSupp (0gβ€˜π‘…))
472, 46sylan 580 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ π‘₯ finSupp (0gβ€˜π‘…))
48 fvexd 6906 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (0gβ€˜π‘…) ∈ V)
4947, 48fsuppres 9387 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯ β†Ύ 𝑉) finSupp (0gβ€˜π‘…))
5029, 35, 45, 30frlmelbas 21310 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑉 ∈ V) β†’ ((π‘₯ β†Ύ 𝑉) ∈ 𝐢 ↔ ((π‘₯ β†Ύ 𝑉) ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝑉) ∧ (π‘₯ β†Ύ 𝑉) finSupp (0gβ€˜π‘…))))
511, 26, 50syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) β†’ ((π‘₯ β†Ύ 𝑉) ∈ 𝐢 ↔ ((π‘₯ β†Ύ 𝑉) ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝑉) ∧ (π‘₯ β†Ύ 𝑉) finSupp (0gβ€˜π‘…))))
5251adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ ((π‘₯ β†Ύ 𝑉) ∈ 𝐢 ↔ ((π‘₯ β†Ύ 𝑉) ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝑉) ∧ (π‘₯ β†Ύ 𝑉) finSupp (0gβ€˜π‘…))))
5344, 49, 52mpbir2and 711 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯ β†Ύ 𝑉) ∈ 𝐢)
5453fmpttd 7114 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ β†Ύ 𝑉)):𝐡⟢𝐢)
5554frnd 6725 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) β†’ ran (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ β†Ύ 𝑉)) βŠ† 𝐢)
5634, 55eqsstrd 4020 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) β†’ ran ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s π‘ˆ)) ↦ (π‘₯ β†Ύ 𝑉)) β†Ύ 𝐡) βŠ† 𝐢)
57 eqid 2732 . . . . . 6 (((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝑉) β†Ύs 𝐢) = (((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝑉) β†Ύs 𝐢)
5857, 31reslmhm2b 20664 . . . . 5 ((((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝑉) ∈ LMod ∧ 𝐢 ∈ (LSubSpβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝑉)) ∧ ran ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s π‘ˆ)) ↦ (π‘₯ β†Ύ 𝑉)) β†Ύ 𝐡) βŠ† 𝐢) β†’ (((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s π‘ˆ)) ↦ (π‘₯ β†Ύ 𝑉)) β†Ύ 𝐡) ∈ ((((ringLModβ€˜π‘…) ↑s π‘ˆ) β†Ύs 𝐡) LMHom ((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝑉)) ↔ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s π‘ˆ)) ↦ (π‘₯ β†Ύ 𝑉)) β†Ύ 𝐡) ∈ ((((ringLModβ€˜π‘…) ↑s π‘ˆ) β†Ύs 𝐡) LMHom (((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝑉) β†Ύs 𝐢))))
5928, 33, 56, 58syl3anc 1371 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) β†’ (((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s π‘ˆ)) ↦ (π‘₯ β†Ύ 𝑉)) β†Ύ 𝐡) ∈ ((((ringLModβ€˜π‘…) ↑s π‘ˆ) β†Ύs 𝐡) LMHom ((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝑉)) ↔ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s π‘ˆ)) ↦ (π‘₯ β†Ύ 𝑉)) β†Ύ 𝐡) ∈ ((((ringLModβ€˜π‘…) ↑s π‘ˆ) β†Ύs 𝐡) LMHom (((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝑉) β†Ύs 𝐢))))
6023, 59mpbid 231 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) β†’ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s π‘ˆ)) ↦ (π‘₯ β†Ύ 𝑉)) β†Ύ 𝐡) ∈ ((((ringLModβ€˜π‘…) ↑s π‘ˆ) β†Ύs 𝐡) LMHom (((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝑉) β†Ύs 𝐢)))
6113, 60eqeltrrd 2834 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) β†’ 𝐹 ∈ ((((ringLModβ€˜π‘…) ↑s π‘ˆ) β†Ύs 𝐡) LMHom (((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝑉) β†Ύs 𝐢)))
623, 4frlmpws 21304 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋) β†’ π‘Œ = (((ringLModβ€˜π‘…) ↑s π‘ˆ) β†Ύs 𝐡))
631, 2, 62syl2anc 584 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) β†’ π‘Œ = (((ringLModβ€˜π‘…) ↑s π‘ˆ) β†Ύs 𝐡))
6429, 30frlmpws 21304 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑉 ∈ V) β†’ 𝑍 = (((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝑉) β†Ύs 𝐢))
651, 26, 64syl2anc 584 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) β†’ 𝑍 = (((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝑉) β†Ύs 𝐢))
6663, 65oveq12d 7426 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) β†’ (π‘Œ LMHom 𝑍) = ((((ringLModβ€˜π‘…) ↑s π‘ˆ) β†Ύs 𝐡) LMHom (((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝑉) β†Ύs 𝐢)))
6761, 66eleqtrrd 2836 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) β†’ 𝐹 ∈ (π‘Œ LMHom 𝑍))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474   βŠ† wss 3948   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  ran crn 5677   β†Ύ cres 5678  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408   ↑m cmap 8819   finSupp cfsupp 9360  Basecbs 17143   β†Ύs cress 17172  0gc0g 17384   ↑s cpws 17391  Ringcrg 20055  LModclmod 20470  LSubSpclss 20541   LMHom clmhm 20629  ringLModcrglmod 20781   freeLMod cfrlm 21300
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8146  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-sup 9436  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-fz 13484  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-hom 17220  df-cco 17221  df-0g 17386  df-prds 17392  df-pws 17394  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-mhm 18670  df-submnd 18671  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-sbg 18823  df-subg 19002  df-ghm 19089  df-mgp 19987  df-ur 20004  df-ring 20057  df-subrg 20316  df-lmod 20472  df-lss 20542  df-lmhm 20632  df-sra 20784  df-rgmod 20785  df-dsmm 21286  df-frlm 21301
This theorem is referenced by:  frlmsslss  21328
  Copyright terms: Public domain W3C validator