Theorem psrbagres 21979

Description: Restrict a bag of variables in 𝐼 to a bag of variables in 𝐽 ⊆ 𝐼. (Contributed by SN, 10-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrbagres.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
psrbagres.e	⊢ 𝐸 = {𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐽) ∣ (◡𝑔 “ ℕ) ∈ Fin}
psrbagres.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
psrbagres.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ⊆ 𝐼)
psrbagres.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
psrbagres	⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐽) ∈ 𝐸)

Distinct variable groups:   ℎ,𝐹   ℎ,𝐼   𝑔,𝐹   𝑔,𝐽

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑔,ℎ)   𝐷(𝑔,ℎ)   𝐸(𝑔,ℎ)   𝐼(𝑔)   𝐽(ℎ)   𝑉(𝑔,ℎ)

Proof of Theorem psrbagres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrbagres.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
2		psrbagres.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
3	2	psrbagf 21967	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐷 → 𝐹:𝐼⟶ℕ0)
4	1, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼⟶ℕ0)
5		psrbagres.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ⊆ 𝐼)
6	4, 5	fssresd 6731	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐽):𝐽⟶ℕ0)
7	2	psrbagfsupp 21968	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐷 → 𝐹 finSupp 0)
8	1, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0)
9		0zd 12580	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
10	8, 9	fsuppres 9339	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐽) finSupp 0)
11	1	resexd 6014	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐽) ∈ V)
12		fcdmnn0fsuppg 12541	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ↾ 𝐽) ∈ V ∧ (𝐹 ↾ 𝐽):𝐽⟶ℕ0) → ((𝐹 ↾ 𝐽) finSupp 0 ↔ (◡(𝐹 ↾ 𝐽) “ ℕ) ∈ Fin))
13	11, 6, 12	syl2anc 593	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ 𝐽) finSupp 0 ↔ (◡(𝐹 ↾ 𝐽) “ ℕ) ∈ Fin))
14	10, 13	mpbid 234	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡(𝐹 ↾ 𝐽) “ ℕ) ∈ Fin)
15		psrbagres.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
16	15, 5	ssexd 5280	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ V)
17		psrbagres.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = {𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐽) ∣ (◡𝑔 “ ℕ) ∈ Fin}
18	17	psrbag 21966	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ V → ((𝐹 ↾ 𝐽) ∈ 𝐸 ↔ ((𝐹 ↾ 𝐽):𝐽⟶ℕ0 ∧ (◡(𝐹 ↾ 𝐽) “ ℕ) ∈ Fin)))
19	16, 18	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ 𝐽) ∈ 𝐸 ↔ ((𝐹 ↾ 𝐽):𝐽⟶ℕ0 ∧ (◡(𝐹 ↾ 𝐽) “ ℕ) ∈ Fin)))
20	6, 14, 19	mpbir2and 723	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐽) ∈ 𝐸)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  {crab 3414  Vcvv 3454   ⊆ wss 3904   class class class wbr 5100  ^◡ccnv 5646   ↾ cres 5649   “ cima 5650  ⟶wf 6517  (class class class)co 7396   ↑_m cmap 8808  Fincfn 8927   finSupp cfsupp 9307  0cc0 11073  ℕcn 12210  ℕ₀cn0 12481  ℤcz 12568

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-supp 8141  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8678  df-map 8810  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-fsupp 9308  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-neg 11417  df-nn 12211  df-n0 12482  df-z 12569

This theorem is referenced by:  selvvvval  22192  evlselvlem  43167  evlselv  43168