Theorem psrbagres 41117

Description: Restrict a bag of variables in 𝐼 to a bag of variables in 𝐽 ⊆ 𝐼. (Contributed by SN, 10-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrbagres.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
psrbagres.e	⊢ 𝐸 = {𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐽) ∣ (◡𝑔 “ ℕ) ∈ Fin}
psrbagres.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
psrbagres.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ⊆ 𝐼)
psrbagres.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
psrbagres	⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐽) ∈ 𝐸)

Distinct variable groups:   ℎ,𝐹   ℎ,𝐼   𝑔,𝐹   𝑔,𝐽

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑔,ℎ)   𝐷(𝑔,ℎ)   𝐸(𝑔,ℎ)   𝐼(𝑔)   𝐽(ℎ)   𝑉(𝑔,ℎ)

Proof of Theorem psrbagres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrbagres.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
2		psrbagres.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
3	2	psrbagf 21470	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐷 → 𝐹:𝐼⟶ℕ0)
4	1, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼⟶ℕ0)
5		psrbagres.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ⊆ 𝐼)
6	4, 5	fssresd 6758	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐽):𝐽⟶ℕ0)
7	2	psrbagfsupp 21472	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐷 → 𝐹 finSupp 0)
8	1, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0)
9		0zd 12569	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
10	8, 9	fsuppres 9387	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐽) finSupp 0)
11	1	resexd 6028	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐽) ∈ V)
12		fcdmnn0fsuppg 12530	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ↾ 𝐽) ∈ V ∧ (𝐹 ↾ 𝐽):𝐽⟶ℕ0) → ((𝐹 ↾ 𝐽) finSupp 0 ↔ (◡(𝐹 ↾ 𝐽) “ ℕ) ∈ Fin))
13	11, 6, 12	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ 𝐽) finSupp 0 ↔ (◡(𝐹 ↾ 𝐽) “ ℕ) ∈ Fin))
14	10, 13	mpbid 231	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡(𝐹 ↾ 𝐽) “ ℕ) ∈ Fin)
15		psrbagres.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
16	15, 5	ssexd 5324	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ V)
17		psrbagres.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = {𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐽) ∣ (◡𝑔 “ ℕ) ∈ Fin}
18	17	psrbag 21469	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ V → ((𝐹 ↾ 𝐽) ∈ 𝐸 ↔ ((𝐹 ↾ 𝐽):𝐽⟶ℕ0 ∧ (◡(𝐹 ↾ 𝐽) “ ℕ) ∈ Fin)))
19	16, 18	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ 𝐽) ∈ 𝐸 ↔ ((𝐹 ↾ 𝐽):𝐽⟶ℕ0 ∧ (◡(𝐹 ↾ 𝐽) “ ℕ) ∈ Fin)))
20	6, 14, 19	mpbir2and 711	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐽) ∈ 𝐸)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {crab 3432  Vcvv 3474   ⊆ wss 3948   class class class wbr 5148  ^◡ccnv 5675   ↾ cres 5678   “ cima 5679  ⟶wf 6539  (class class class)co 7408   ↑_m cmap 8819  Fincfn 8938   finSupp cfsupp 9360  0cc0 11109  ℕcn 12211  ℕ₀cn0 12471  ℤcz 12557

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8146  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-neg 11446  df-nn 12212  df-n0 12472  df-z 12558

This theorem is referenced by:  selvvvval  41159  evlselvlem  41160  evlselv  41161