Theorem psrbagres 42536

Description: Restrict a bag of variables in 𝐼 to a bag of variables in 𝐽 ⊆ 𝐼. (Contributed by SN, 10-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrbagres.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
psrbagres.e	⊢ 𝐸 = {𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐽) ∣ (◡𝑔 “ ℕ) ∈ Fin}
psrbagres.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
psrbagres.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ⊆ 𝐼)
psrbagres.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
psrbagres	⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐽) ∈ 𝐸)

Distinct variable groups:   ℎ,𝐹   ℎ,𝐼   𝑔,𝐹   𝑔,𝐽

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑔,ℎ)   𝐷(𝑔,ℎ)   𝐸(𝑔,ℎ)   𝐼(𝑔)   𝐽(ℎ)   𝑉(𝑔,ℎ)

Proof of Theorem psrbagres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrbagres.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
2		psrbagres.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
3	2	psrbagf 21883	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐷 → 𝐹:𝐼⟶ℕ0)
4	1, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼⟶ℕ0)
5		psrbagres.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ⊆ 𝐼)
6	4, 5	fssresd 6750	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐽):𝐽⟶ℕ0)
7	2	psrbagfsupp 21884	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐷 → 𝐹 finSupp 0)
8	1, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0)
9		0zd 12605	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
10	8, 9	fsuppres 9410	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐽) finSupp 0)
11	1	resexd 6020	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐽) ∈ V)
12		fcdmnn0fsuppg 12566	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ↾ 𝐽) ∈ V ∧ (𝐹 ↾ 𝐽):𝐽⟶ℕ0) → ((𝐹 ↾ 𝐽) finSupp 0 ↔ (◡(𝐹 ↾ 𝐽) “ ℕ) ∈ Fin))
13	11, 6, 12	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ 𝐽) finSupp 0 ↔ (◡(𝐹 ↾ 𝐽) “ ℕ) ∈ Fin))
14	10, 13	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡(𝐹 ↾ 𝐽) “ ℕ) ∈ Fin)
15		psrbagres.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
16	15, 5	ssexd 5299	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ V)
17		psrbagres.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = {𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐽) ∣ (◡𝑔 “ ℕ) ∈ Fin}
18	17	psrbag 21882	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ V → ((𝐹 ↾ 𝐽) ∈ 𝐸 ↔ ((𝐹 ↾ 𝐽):𝐽⟶ℕ0 ∧ (◡(𝐹 ↾ 𝐽) “ ℕ) ∈ Fin)))
19	16, 18	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ 𝐽) ∈ 𝐸 ↔ ((𝐹 ↾ 𝐽):𝐽⟶ℕ0 ∧ (◡(𝐹 ↾ 𝐽) “ ℕ) ∈ Fin)))
20	6, 14, 19	mpbir2and 713	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐽) ∈ 𝐸)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {crab 3420  Vcvv 3464   ⊆ wss 3931   class class class wbr 5124  ^◡ccnv 5658   ↾ cres 5661   “ cima 5662  ⟶wf 6532  (class class class)co 7410   ↑_m cmap 8845  Fincfn 8964   finSupp cfsupp 9378  0cc0 11134  ℕcn 12245  ℕ₀cn0 12506  ℤcz 12593

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8165  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8724  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9379  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-neg 11474  df-nn 12246  df-n0 12507  df-z 12594

This theorem is referenced by:  selvvvval  42575  evlselvlem  42576  evlselv  42577