Theorem psrbagres 22130

Description: Restrict a bag of variables in 𝐼 to a bag of variables in 𝐽 ⊆ 𝐼. (Contributed by SN, 10-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrbagres.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
psrbagres.e	⊢ 𝐸 = {𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐽) ∣ (◡𝑔 “ ℕ) ∈ Fin}
psrbagres.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
psrbagres.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ⊆ 𝐼)
psrbagres.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
psrbagres	⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐽) ∈ 𝐸)

Distinct variable groups:   ℎ,𝐹   ℎ,𝐼   𝑔,𝐹   𝑔,𝐽

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑔, ℎ)   𝐷(𝑔, ℎ)   𝐸(𝑔, ℎ)   𝐼(𝑔)   𝐽(ℎ)   𝑉(𝑔, ℎ)

Proof of Theorem psrbagres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrbagres.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
2		psrbagres.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
3	2	psrbagf 22118	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐷 → 𝐹:𝐼⟶ℕ0)
4	1, 3	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼⟶ℕ0)
5		psrbagres.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ⊆ 𝐼)
6	4, 5	fssresd 6749	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐽):𝐽⟶ℕ0)
7	2	psrbagfsupp 22119	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐷 → 𝐹 finSupp 0)
8	1, 7	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0)
9		0zd 12618	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
10	8, 9	fsuppres 9360	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐽) finSupp 0)
11	1	resexd 6029	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐽) ∈ V)
12		fcdmnn0fsuppg 12579	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ↾ 𝐽) ∈ V ∧ (𝐹 ↾ 𝐽):𝐽⟶ℕ0) → ((𝐹 ↾ 𝐽) finSupp 0 ↔ (◡(𝐹 ↾ 𝐽) “ ℕ) ∈ Fin))
13	11, 6, 12	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ 𝐽) finSupp 0 ↔ (◡(𝐹 ↾ 𝐽) “ ℕ) ∈ Fin))
14	10, 13	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡(𝐹 ↾ 𝐽) “ ℕ) ∈ Fin)
15		psrbagres.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
16	15, 5	ssexd 5297	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ V)
17		psrbagres.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = {𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐽) ∣ (◡𝑔 “ ℕ) ∈ Fin}
18	17	psrbag 22117	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ V → ((𝐹 ↾ 𝐽) ∈ 𝐸 ↔ ((𝐹 ↾ 𝐽):𝐽⟶ℕ0 ∧ (◡(𝐹 ↾ 𝐽) “ ℕ) ∈ Fin)))
19	16, 18	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ 𝐽) ∈ 𝐸 ↔ ((𝐹 ↾ 𝐽):𝐽⟶ℕ0 ∧ (◡(𝐹 ↾ 𝐽) “ ℕ) ∈ Fin)))
20	6, 14, 19	mpbir2and 726	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐽) ∈ 𝐸)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  {crab 3418  Vcvv 3457   ⊆ wss 3906   class class class wbr 5111  ^◡ccnv 5662   ↾ cres 5665   “ cima 5666  ⟶wf 6536  (class class class)co 7419   ↑_m cmap 8830  Fincfn 8949   finSupp cfsupp 9328  0cc0 11115  ℕcn 12248  ℕ₀cn0 12519  ℤcz 12606

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-supp 8163  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-map 8832  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-fsupp 9329  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-neg 11459  df-nn 12249  df-n0 12520  df-z 12607

This theorem is used by:  selvvvval  22343  evlselvlem  43378  evlselv  43379