Theorem psrbagres 41672

Description: Restrict a bag of variables in 𝐼 to a bag of variables in 𝐽 ⊆ 𝐼. (Contributed by SN, 10-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrbagres.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
psrbagres.e	⊢ 𝐸 = {𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐽) ∣ (◡𝑔 “ ℕ) ∈ Fin}
psrbagres.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
psrbagres.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ⊆ 𝐼)
psrbagres.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
psrbagres	⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐽) ∈ 𝐸)

Distinct variable groups:   ℎ,𝐹   ℎ,𝐼   𝑔,𝐹   𝑔,𝐽

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑔,ℎ)   𝐷(𝑔,ℎ)   𝐸(𝑔,ℎ)   𝐼(𝑔)   𝐽(ℎ)   𝑉(𝑔,ℎ)

Proof of Theorem psrbagres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrbagres.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
2		psrbagres.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
3	2	psrbagf 21812	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐷 → 𝐹:𝐼⟶ℕ0)
4	1, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼⟶ℕ0)
5		psrbagres.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ⊆ 𝐼)
6	4, 5	fssresd 6752	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐽):𝐽⟶ℕ0)
7	2	psrbagfsupp 21814	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐷 → 𝐹 finSupp 0)
8	1, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0)
9		0zd 12574	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
10	8, 9	fsuppres 9390	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐽) finSupp 0)
11	1	resexd 6022	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐽) ∈ V)
12		fcdmnn0fsuppg 12535	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ↾ 𝐽) ∈ V ∧ (𝐹 ↾ 𝐽):𝐽⟶ℕ0) → ((𝐹 ↾ 𝐽) finSupp 0 ↔ (◡(𝐹 ↾ 𝐽) “ ℕ) ∈ Fin))
13	11, 6, 12	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ 𝐽) finSupp 0 ↔ (◡(𝐹 ↾ 𝐽) “ ℕ) ∈ Fin))
14	10, 13	mpbid 231	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡(𝐹 ↾ 𝐽) “ ℕ) ∈ Fin)
15		psrbagres.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
16	15, 5	ssexd 5317	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ V)
17		psrbagres.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = {𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐽) ∣ (◡𝑔 “ ℕ) ∈ Fin}
18	17	psrbag 21811	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ V → ((𝐹 ↾ 𝐽) ∈ 𝐸 ↔ ((𝐹 ↾ 𝐽):𝐽⟶ℕ0 ∧ (◡(𝐹 ↾ 𝐽) “ ℕ) ∈ Fin)))
19	16, 18	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ 𝐽) ∈ 𝐸 ↔ ((𝐹 ↾ 𝐽):𝐽⟶ℕ0 ∧ (◡(𝐹 ↾ 𝐽) “ ℕ) ∈ Fin)))
20	6, 14, 19	mpbir2and 710	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐽) ∈ 𝐸)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3426  Vcvv 3468   ⊆ wss 3943   class class class wbr 5141  ^◡ccnv 5668   ↾ cres 5671   “ cima 5672  ⟶wf 6533  (class class class)co 7405   ↑_m cmap 8822  Fincfn 8941   finSupp cfsupp 9363  0cc0 11112  ℕcn 12216  ℕ₀cn0 12476  ℤcz 12562

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563

This theorem is referenced by:  selvvvval  41714  evlselvlem  41715  evlselv  41716