Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uncfval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uncfval 17555
 Description: Value of the uncurry functor, which is the reverse of the curry functor, taking 𝐺:𝐶⟶(𝐷⟶𝐸) to uncurryF (𝐺):𝐶 × 𝐷⟶𝐸. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
uncfval.g 𝐹 = (⟨“𝐶𝐷𝐸”⟩ uncurryF 𝐺)
uncfval.c (𝜑𝐷 ∈ Cat)
uncfval.d (𝜑𝐸 ∈ Cat)
uncfval.f (𝜑𝐺 ∈ (𝐶 Func (𝐷 FuncCat 𝐸)))
Assertion
Ref Expression
uncfval (𝜑𝐹 = ((𝐷 evalF 𝐸) ∘func ((𝐺func (𝐶 1stF 𝐷)) ⟨,⟩F (𝐶 2ndF 𝐷))))

Proof of Theorem uncfval
Dummy variables 𝑓 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uncfval.g . 2 𝐹 = (⟨“𝐶𝐷𝐸”⟩ uncurryF 𝐺)
2 df-uncf 17536 . . . 4 uncurryF = (𝑐 ∈ V, 𝑓 ∈ V ↦ (((𝑐‘1) evalF (𝑐‘2)) ∘func ((𝑓func ((𝑐‘0) 1stF (𝑐‘1))) ⟨,⟩F ((𝑐‘0) 2ndF (𝑐‘1)))))
32a1i 11 . . 3 (𝜑 → uncurryF = (𝑐 ∈ V, 𝑓 ∈ V ↦ (((𝑐‘1) evalF (𝑐‘2)) ∘func ((𝑓func ((𝑐‘0) 1stF (𝑐‘1))) ⟨,⟩F ((𝑐‘0) 2ndF (𝑐‘1))))))
4 simprl 770 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑐 = ⟨“𝐶𝐷𝐸”⟩ ∧ 𝑓 = 𝐺)) → 𝑐 = ⟨“𝐶𝐷𝐸”⟩)
54fveq1d 6664 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑐 = ⟨“𝐶𝐷𝐸”⟩ ∧ 𝑓 = 𝐺)) → (𝑐‘1) = (⟨“𝐶𝐷𝐸”⟩‘1))
6 uncfval.c . . . . . . . 8 (𝜑𝐷 ∈ Cat)
7 s3fv1 14306 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ Cat → (⟨“𝐶𝐷𝐸”⟩‘1) = 𝐷)
86, 7syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (⟨“𝐶𝐷𝐸”⟩‘1) = 𝐷)
98adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑐 = ⟨“𝐶𝐷𝐸”⟩ ∧ 𝑓 = 𝐺)) → (⟨“𝐶𝐷𝐸”⟩‘1) = 𝐷)
105, 9eqtrd 2793 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑐 = ⟨“𝐶𝐷𝐸”⟩ ∧ 𝑓 = 𝐺)) → (𝑐‘1) = 𝐷)
114fveq1d 6664 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑐 = ⟨“𝐶𝐷𝐸”⟩ ∧ 𝑓 = 𝐺)) → (𝑐‘2) = (⟨“𝐶𝐷𝐸”⟩‘2))
12 uncfval.d . . . . . . . 8 (𝜑𝐸 ∈ Cat)
13 s3fv2 14307 . . . . . . . 8 (𝐸 ∈ Cat → (⟨“𝐶𝐷𝐸”⟩‘2) = 𝐸)
1412, 13syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (⟨“𝐶𝐷𝐸”⟩‘2) = 𝐸)
1514adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑐 = ⟨“𝐶𝐷𝐸”⟩ ∧ 𝑓 = 𝐺)) → (⟨“𝐶𝐷𝐸”⟩‘2) = 𝐸)
1611, 15eqtrd 2793 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑐 = ⟨“𝐶𝐷𝐸”⟩ ∧ 𝑓 = 𝐺)) → (𝑐‘2) = 𝐸)
1710, 16oveq12d 7173 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑐 = ⟨“𝐶𝐷𝐸”⟩ ∧ 𝑓 = 𝐺)) → ((𝑐‘1) evalF (𝑐‘2)) = (𝐷 evalF 𝐸))
18 simprr 772 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑐 = ⟨“𝐶𝐷𝐸”⟩ ∧ 𝑓 = 𝐺)) → 𝑓 = 𝐺)
194fveq1d 6664 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑐 = ⟨“𝐶𝐷𝐸”⟩ ∧ 𝑓 = 𝐺)) → (𝑐‘0) = (⟨“𝐶𝐷𝐸”⟩‘0))
20 uncfval.f . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐺 ∈ (𝐶 Func (𝐷 FuncCat 𝐸)))
21 funcrcl 17197 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺 ∈ (𝐶 Func (𝐷 FuncCat 𝐸)) → (𝐶 ∈ Cat ∧ (𝐷 FuncCat 𝐸) ∈ Cat))
2220, 21syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐶 ∈ Cat ∧ (𝐷 FuncCat 𝐸) ∈ Cat))
2322simpld 498 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶 ∈ Cat)
24 s3fv0 14305 . . . . . . . . . 10 (𝐶 ∈ Cat → (⟨“𝐶𝐷𝐸”⟩‘0) = 𝐶)
2523, 24syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (⟨“𝐶𝐷𝐸”⟩‘0) = 𝐶)
2625adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑐 = ⟨“𝐶𝐷𝐸”⟩ ∧ 𝑓 = 𝐺)) → (⟨“𝐶𝐷𝐸”⟩‘0) = 𝐶)
2719, 26eqtrd 2793 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑐 = ⟨“𝐶𝐷𝐸”⟩ ∧ 𝑓 = 𝐺)) → (𝑐‘0) = 𝐶)
2827, 10oveq12d 7173 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑐 = ⟨“𝐶𝐷𝐸”⟩ ∧ 𝑓 = 𝐺)) → ((𝑐‘0) 1stF (𝑐‘1)) = (𝐶 1stF 𝐷))
2918, 28oveq12d 7173 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑐 = ⟨“𝐶𝐷𝐸”⟩ ∧ 𝑓 = 𝐺)) → (𝑓func ((𝑐‘0) 1stF (𝑐‘1))) = (𝐺func (𝐶 1stF 𝐷)))
3027, 10oveq12d 7173 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑐 = ⟨“𝐶𝐷𝐸”⟩ ∧ 𝑓 = 𝐺)) → ((𝑐‘0) 2ndF (𝑐‘1)) = (𝐶 2ndF 𝐷))
3129, 30oveq12d 7173 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑐 = ⟨“𝐶𝐷𝐸”⟩ ∧ 𝑓 = 𝐺)) → ((𝑓func ((𝑐‘0) 1stF (𝑐‘1))) ⟨,⟩F ((𝑐‘0) 2ndF (𝑐‘1))) = ((𝐺func (𝐶 1stF 𝐷)) ⟨,⟩F (𝐶 2ndF 𝐷)))
3217, 31oveq12d 7173 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑐 = ⟨“𝐶𝐷𝐸”⟩ ∧ 𝑓 = 𝐺)) → (((𝑐‘1) evalF (𝑐‘2)) ∘func ((𝑓func ((𝑐‘0) 1stF (𝑐‘1))) ⟨,⟩F ((𝑐‘0) 2ndF (𝑐‘1)))) = ((𝐷 evalF 𝐸) ∘func ((𝐺func (𝐶 1stF 𝐷)) ⟨,⟩F (𝐶 2ndF 𝐷))))
33 s3cli 14295 . . . 4 ⟨“𝐶𝐷𝐸”⟩ ∈ Word V
34 elex 3428 . . . 4 (⟨“𝐶𝐷𝐸”⟩ ∈ Word V → ⟨“𝐶𝐷𝐸”⟩ ∈ V)
3533, 34mp1i 13 . . 3 (𝜑 → ⟨“𝐶𝐷𝐸”⟩ ∈ V)
3620elexd 3430 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ V)
37 ovexd 7190 . . 3 (𝜑 → ((𝐷 evalF 𝐸) ∘func ((𝐺func (𝐶 1stF 𝐷)) ⟨,⟩F (𝐶 2ndF 𝐷))) ∈ V)
383, 32, 35, 36, 37ovmpod 7302 . 2 (𝜑 → (⟨“𝐶𝐷𝐸”⟩ uncurryF 𝐺) = ((𝐷 evalF 𝐸) ∘func ((𝐺func (𝐶 1stF 𝐷)) ⟨,⟩F (𝐶 2ndF 𝐷))))
391, 38syl5eq 2805 1 (𝜑𝐹 = ((𝐷 evalF 𝐸) ∘func ((𝐺func (𝐶 1stF 𝐷)) ⟨,⟩F (𝐶 2ndF 𝐷))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  Vcvv 3409  ‘cfv 6339  (class class class)co 7155   ∈ cmpo 7157  0cc0 10580  1c1 10581  2c2 11734  Word cword 13918  ⟨“cs3 14256  Catccat 16998   Func cfunc 17188   ∘func ccofu 17190   FuncCat cfuc 17276   1stF c1stf 17490   2ndF c2ndf 17491   ⟨,⟩F cprf 17492   evalF cevlf 17530   uncurryF cuncf 17532 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5159  ax-sep 5172  ax-nul 5179  ax-pow 5237  ax-pr 5301  ax-un 7464  ax-cnex 10636  ax-resscn 10637  ax-1cn 10638  ax-icn 10639  ax-addcl 10640  ax-addrcl 10641  ax-mulcl 10642  ax-mulrcl 10643  ax-mulcom 10644  ax-addass 10645  ax-mulass 10646  ax-distr 10647  ax-i2m1 10648  ax-1ne0 10649  ax-1rid 10650  ax-rnegex 10651  ax-rrecex 10652  ax-cnre 10653  ax-pre-lttri 10654  ax-pre-lttrn 10655  ax-pre-ltadd 10656  ax-pre-mulgt0 10657 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4842  df-iun 4888  df-br 5036  df-opab 5098  df-mpt 5116  df-tr 5142  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5446  df-so 5447  df-fr 5486  df-we 5488  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7585  df-1st 7698  df-2nd 7699  df-wrecs 7962  df-recs 8023  df-rdg 8061  df-1o 8117  df-er 8304  df-en 8533  df-dom 8534  df-sdom 8535  df-fin 8536  df-card 9406  df-pnf 10720  df-mnf 10721  df-xr 10722  df-ltxr 10723  df-le 10724  df-sub 10915  df-neg 10916  df-nn 11680  df-2 11742  df-n0 11940  df-z 12026  df-uz 12288  df-fz 12945  df-fzo 13088  df-hash 13746  df-word 13919  df-concat 13975  df-s1 14002  df-s2 14262  df-s3 14263  df-func 17192  df-uncf 17536 This theorem is referenced by:  uncfcl  17556  uncf1  17557  uncf2  17558
 Copyright terms: Public domain W3C validator