Theorem fucid 17963

Description: The identity morphism in the functor category. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fucid.q	⊢ 𝑄 = (𝐶 FuncCat 𝐷)
fucid.i	⊢ 𝐼 = (Id‘𝑄)
fucid.1	⊢ 1 = (Id‘𝐷)
fucid.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷))

Assertion

Ref	Expression
fucid	⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝐹) = ( 1 ∘ (1st ‘𝐹)))

Proof of Theorem fucid

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fucid.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Id‘𝑄)
2		fucid.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (𝐶 FuncCat 𝐷)
3		fucid.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷))
4		funcrcl 17849	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷) → (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat))
5	3, 4	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat))
6	5	simpld 494	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
7	5	simprd 495	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
8		fucid.1	. . . . 5 ⊢ 1 = (Id‘𝐷)
9	2, 6, 7, 8	fuccatid 17961	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∈ Cat ∧ (Id‘𝑄) = (𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ↦ ( 1 ∘ (1st ‘𝑓)))))
10	9	simprd 495	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Id‘𝑄) = (𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ↦ ( 1 ∘ (1st ‘𝑓))))
11	1, 10	eqtrid 2780	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 = (𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ↦ ( 1 ∘ (1st ‘𝑓))))
12		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 = 𝐹) → 𝑓 = 𝐹)
13	12	fveq2d 6901	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 = 𝐹) → (1st ‘𝑓) = (1st ‘𝐹))
14	13	coeq2d 5865	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 = 𝐹) → ( 1 ∘ (1st ‘𝑓)) = ( 1 ∘ (1st ‘𝐹)))
15	8	fvexi 6911	. . . 4 ⊢ 1 ∈ V
16		fvex 6910	. . . 4 ⊢ (1st ‘𝐹) ∈ V
17	15, 16	coex 7938	. . 3 ⊢ ( 1 ∘ (1st ‘𝐹)) ∈ V
18	17	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ( 1 ∘ (1st ‘𝐹)) ∈ V)
19	11, 14, 3, 18	fvmptd 7012	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝐹) = ( 1 ∘ (1st ‘𝐹)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  Vcvv 3471   ↦ cmpt 5231   ∘ ccom 5682  ‘cfv 6548  (class class class)co 7420  1^st c1st 7991  Catccat 17644  Idccid 17645   Func cfunc 17840   FuncCat cfuc 17932

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-map 8847  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-7 12311  df-8 12312  df-9 12313  df-n0 12504  df-z 12590  df-dec 12709  df-uz 12854  df-fz 13518  df-struct 17116  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-hom 17257  df-cco 17258  df-cat 17648  df-cid 17649  df-func 17844  df-nat 17933  df-fuc 17934

This theorem is referenced by:  fucsect  17964  evlfcl  18214  curfcl  18224  curfuncf  18230  curf2ndf  18239