MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uncfcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uncfcl 18196
Description: The uncurry operation takes a functor 𝐹:𝐶⟶(𝐷𝐸) to a functor uncurryF (𝐹):𝐶 × 𝐷𝐸. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
uncfval.g 𝐹 = (⟨“𝐶𝐷𝐸”⟩ uncurryF 𝐺)
uncfval.c (𝜑𝐷 ∈ Cat)
uncfval.d (𝜑𝐸 ∈ Cat)
uncfval.f (𝜑𝐺 ∈ (𝐶 Func (𝐷 FuncCat 𝐸)))
Assertion
Ref Expression
uncfcl (𝜑𝐹 ∈ ((𝐶 ×c 𝐷) Func 𝐸))

Proof of Theorem uncfcl
StepHypRef Expression
1 uncfval.g . . 3 𝐹 = (⟨“𝐶𝐷𝐸”⟩ uncurryF 𝐺)
2 uncfval.c . . 3 (𝜑𝐷 ∈ Cat)
3 uncfval.d . . 3 (𝜑𝐸 ∈ Cat)
4 uncfval.f . . 3 (𝜑𝐺 ∈ (𝐶 Func (𝐷 FuncCat 𝐸)))
51, 2, 3, 4uncfval 18195 . 2 (𝜑𝐹 = ((𝐷 evalF 𝐸) ∘func ((𝐺func (𝐶 1stF 𝐷)) ⟨,⟩F (𝐶 2ndF 𝐷))))
6 eqid 2724 . . . 4 ((𝐺func (𝐶 1stF 𝐷)) ⟨,⟩F (𝐶 2ndF 𝐷)) = ((𝐺func (𝐶 1stF 𝐷)) ⟨,⟩F (𝐶 2ndF 𝐷))
7 eqid 2724 . . . 4 ((𝐷 FuncCat 𝐸) ×c 𝐷) = ((𝐷 FuncCat 𝐸) ×c 𝐷)
8 eqid 2724 . . . . . 6 (𝐶 ×c 𝐷) = (𝐶 ×c 𝐷)
9 funcrcl 17818 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ (𝐶 Func (𝐷 FuncCat 𝐸)) → (𝐶 ∈ Cat ∧ (𝐷 FuncCat 𝐸) ∈ Cat))
104, 9syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶 ∈ Cat ∧ (𝐷 FuncCat 𝐸) ∈ Cat))
1110simpld 494 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ Cat)
12 eqid 2724 . . . . . 6 (𝐶 1stF 𝐷) = (𝐶 1stF 𝐷)
138, 11, 2, 121stfcl 18157 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶 1stF 𝐷) ∈ ((𝐶 ×c 𝐷) Func 𝐶))
1413, 4cofucl 17843 . . . 4 (𝜑 → (𝐺func (𝐶 1stF 𝐷)) ∈ ((𝐶 ×c 𝐷) Func (𝐷 FuncCat 𝐸)))
15 eqid 2724 . . . . 5 (𝐶 2ndF 𝐷) = (𝐶 2ndF 𝐷)
168, 11, 2, 152ndfcl 18158 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 2ndF 𝐷) ∈ ((𝐶 ×c 𝐷) Func 𝐷))
176, 7, 14, 16prfcl 18163 . . 3 (𝜑 → ((𝐺func (𝐶 1stF 𝐷)) ⟨,⟩F (𝐶 2ndF 𝐷)) ∈ ((𝐶 ×c 𝐷) Func ((𝐷 FuncCat 𝐸) ×c 𝐷)))
18 eqid 2724 . . . 4 (𝐷 evalF 𝐸) = (𝐷 evalF 𝐸)
19 eqid 2724 . . . 4 (𝐷 FuncCat 𝐸) = (𝐷 FuncCat 𝐸)
2018, 19, 2, 3evlfcl 18183 . . 3 (𝜑 → (𝐷 evalF 𝐸) ∈ (((𝐷 FuncCat 𝐸) ×c 𝐷) Func 𝐸))
2117, 20cofucl 17843 . 2 (𝜑 → ((𝐷 evalF 𝐸) ∘func ((𝐺func (𝐶 1stF 𝐷)) ⟨,⟩F (𝐶 2ndF 𝐷))) ∈ ((𝐶 ×c 𝐷) Func 𝐸))
225, 21eqeltrd 2825 1 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐶 ×c 𝐷) Func 𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  (class class class)co 7402  ⟨“cs3 14795  Catccat 17613   Func cfunc 17809  func ccofu 17811   FuncCat cfuc 17901   ×c cxpc 18128   1stF c1stf 18129   2ndF c2ndf 18130   ⟨,⟩F cprf 18131   evalF cevlf 18170   uncurryF cuncf 18172
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8700  df-map 8819  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-card 9931  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-fz 13486  df-fzo 13629  df-hash 14292  df-word 14467  df-concat 14523  df-s1 14548  df-s2 14801  df-s3 14802  df-struct 17085  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-hom 17226  df-cco 17227  df-cat 17617  df-cid 17618  df-func 17813  df-cofu 17815  df-nat 17902  df-fuc 17903  df-xpc 18132  df-1stf 18133  df-2ndf 18134  df-prf 18135  df-evlf 18174  df-uncf 18176
This theorem is referenced by:  curfuncf  18199  uncfcurf  18200
  Copyright terms: Public domain W3C validator