Theorem uncfcl 17953

Description: The uncurry operation takes a functor 𝐹:𝐶⟶(𝐷⟶𝐸) to a functor uncurry_F (𝐹):𝐶 × 𝐷⟶𝐸. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
uncfval.g	⊢ 𝐹 = (⟨“𝐶𝐷𝐸”⟩ uncurryF 𝐺)
uncfval.c	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
uncfval.d	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Cat)
uncfval.f	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝐶 Func (𝐷 FuncCat 𝐸)))

Assertion

Ref	Expression
uncfcl	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐶 ×c 𝐷) Func 𝐸))

Proof of Theorem uncfcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uncfval.g	. . 3 ⊢ 𝐹 = (⟨“𝐶𝐷𝐸”⟩ uncurryF 𝐺)
2		uncfval.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
3		uncfval.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Cat)
4		uncfval.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝐶 Func (𝐷 FuncCat 𝐸)))
5	1, 2, 3, 4	uncfval 17952	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = ((𝐷 evalF 𝐸) ∘func ((𝐺 ∘func (𝐶 1stF 𝐷)) ⟨,⟩F (𝐶 2ndF 𝐷))))
6		eqid 2738	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∘func (𝐶 1stF 𝐷)) ⟨,⟩F (𝐶 2ndF 𝐷)) = ((𝐺 ∘func (𝐶 1stF 𝐷)) ⟨,⟩F (𝐶 2ndF 𝐷))
7		eqid 2738	. . . 4 ⊢ ((𝐷 FuncCat 𝐸) ×c 𝐷) = ((𝐷 FuncCat 𝐸) ×c 𝐷)
8		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ×c 𝐷) = (𝐶 ×c 𝐷)
9		funcrcl 17578	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ (𝐶 Func (𝐷 FuncCat 𝐸)) → (𝐶 ∈ Cat ∧ (𝐷 FuncCat 𝐸) ∈ Cat))
10	4, 9	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ Cat ∧ (𝐷 FuncCat 𝐸) ∈ Cat))
11	10	simpld 495	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
12		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 1stF 𝐷) = (𝐶 1stF 𝐷)
13	8, 11, 2, 12	1stfcl 17914	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 1stF 𝐷) ∈ ((𝐶 ×c 𝐷) Func 𝐶))
14	13, 4	cofucl 17603	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘func (𝐶 1stF 𝐷)) ∈ ((𝐶 ×c 𝐷) Func (𝐷 FuncCat 𝐸)))
15		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (𝐶 2ndF 𝐷) = (𝐶 2ndF 𝐷)
16	8, 11, 2, 15	2ndfcl 17915	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 2ndF 𝐷) ∈ ((𝐶 ×c 𝐷) Func 𝐷))
17	6, 7, 14, 16	prfcl 17920	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 ∘func (𝐶 1stF 𝐷)) ⟨,⟩F (𝐶 2ndF 𝐷)) ∈ ((𝐶 ×c 𝐷) Func ((𝐷 FuncCat 𝐸) ×c 𝐷)))
18		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (𝐷 evalF 𝐸) = (𝐷 evalF 𝐸)
19		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (𝐷 FuncCat 𝐸) = (𝐷 FuncCat 𝐸)
20	18, 19, 2, 3	evlfcl 17940	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷 evalF 𝐸) ∈ (((𝐷 FuncCat 𝐸) ×c 𝐷) Func 𝐸))
21	17, 20	cofucl 17603	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 evalF 𝐸) ∘func ((𝐺 ∘func (𝐶 1stF 𝐷)) ⟨,⟩F (𝐶 2ndF 𝐷))) ∈ ((𝐶 ×c 𝐷) Func 𝐸))
22	5, 21	eqeltrd 2839	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐶 ×c 𝐷) Func 𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7275  ⟨“cs3 14555  Catccat 17373   Func cfunc 17569   ∘_func ccofu 17571   FuncCat cfuc 17658   ×_c cxpc 17885   1^st_F c1stf 17886   2^nd_F c2ndf 17887   ⟨,⟩_F cprf 17888   eval_F cevlf 17927   uncurry_F cuncf 17929

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-hash 14045  df-word 14218  df-concat 14274  df-s1 14301  df-s2 14561  df-s3 14562  df-struct 16848  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-hom 16986  df-cco 16987  df-cat 17377  df-cid 17378  df-func 17573  df-cofu 17575  df-nat 17659  df-fuc 17660  df-xpc 17889  df-1stf 17890  df-2ndf 17891  df-prf 17892  df-evlf 17931  df-uncf 17933

This theorem is referenced by:  curfuncf  17956  uncfcurf  17957