Theorem uncfcl 18292

Description: The uncurry operation takes a functor 𝐹:𝐶⟶(𝐷⟶𝐸) to a functor uncurry_F (𝐹):𝐶 × 𝐷⟶𝐸. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
uncfval.g	⊢ 𝐹 = (⟨“𝐶𝐷𝐸”⟩ uncurryF 𝐺)
uncfval.c	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
uncfval.d	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Cat)
uncfval.f	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝐶 Func (𝐷 FuncCat 𝐸)))

Assertion

Ref	Expression
uncfcl	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐶 ×c 𝐷) Func 𝐸))

Proof of Theorem uncfcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uncfval.g	. . 3 ⊢ 𝐹 = (⟨“𝐶𝐷𝐸”⟩ uncurryF 𝐺)
2		uncfval.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
3		uncfval.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Cat)
4		uncfval.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝐶 Func (𝐷 FuncCat 𝐸)))
5	1, 2, 3, 4	uncfval 18291	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = ((𝐷 evalF 𝐸) ∘func ((𝐺 ∘func (𝐶 1stF 𝐷)) ⟨,⟩F (𝐶 2ndF 𝐷))))
6		eqid 2735	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∘func (𝐶 1stF 𝐷)) ⟨,⟩F (𝐶 2ndF 𝐷)) = ((𝐺 ∘func (𝐶 1stF 𝐷)) ⟨,⟩F (𝐶 2ndF 𝐷))
7		eqid 2735	. . . 4 ⊢ ((𝐷 FuncCat 𝐸) ×c 𝐷) = ((𝐷 FuncCat 𝐸) ×c 𝐷)
8		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ×c 𝐷) = (𝐶 ×c 𝐷)
9		funcrcl 17914	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ (𝐶 Func (𝐷 FuncCat 𝐸)) → (𝐶 ∈ Cat ∧ (𝐷 FuncCat 𝐸) ∈ Cat))
10	4, 9	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ Cat ∧ (𝐷 FuncCat 𝐸) ∈ Cat))
11	10	simpld 494	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
12		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 1stF 𝐷) = (𝐶 1stF 𝐷)
13	8, 11, 2, 12	1stfcl 18253	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 1stF 𝐷) ∈ ((𝐶 ×c 𝐷) Func 𝐶))
14	13, 4	cofucl 17939	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘func (𝐶 1stF 𝐷)) ∈ ((𝐶 ×c 𝐷) Func (𝐷 FuncCat 𝐸)))
15		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (𝐶 2ndF 𝐷) = (𝐶 2ndF 𝐷)
16	8, 11, 2, 15	2ndfcl 18254	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 2ndF 𝐷) ∈ ((𝐶 ×c 𝐷) Func 𝐷))
17	6, 7, 14, 16	prfcl 18259	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 ∘func (𝐶 1stF 𝐷)) ⟨,⟩F (𝐶 2ndF 𝐷)) ∈ ((𝐶 ×c 𝐷) Func ((𝐷 FuncCat 𝐸) ×c 𝐷)))
18		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (𝐷 evalF 𝐸) = (𝐷 evalF 𝐸)
19		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (𝐷 FuncCat 𝐸) = (𝐷 FuncCat 𝐸)
20	18, 19, 2, 3	evlfcl 18279	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷 evalF 𝐸) ∈ (((𝐷 FuncCat 𝐸) ×c 𝐷) Func 𝐸))
21	17, 20	cofucl 17939	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 evalF 𝐸) ∘func ((𝐺 ∘func (𝐶 1stF 𝐷)) ⟨,⟩F (𝐶 2ndF 𝐷))) ∈ ((𝐶 ×c 𝐷) Func 𝐸))
22	5, 21	eqeltrd 2839	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐶 ×c 𝐷) Func 𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7431  ⟨“cs3 14878  Catccat 17709   Func cfunc 17905   ∘_func ccofu 17907   FuncCat cfuc 17997   ×_c cxpc 18224   1^st_F c1stf 18225   2^nd_F c2ndf 18226   ⟨,⟩_F cprf 18227   eval_F cevlf 18266   uncurry_F cuncf 18268

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-hash 14367  df-word 14550  df-concat 14606  df-s1 14631  df-s2 14884  df-s3 14885  df-struct 17181  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-hom 17322  df-cco 17323  df-cat 17713  df-cid 17714  df-func 17909  df-cofu 17911  df-nat 17998  df-fuc 17999  df-xpc 18228  df-1stf 18229  df-2ndf 18230  df-prf 18231  df-evlf 18270  df-uncf 18272

This theorem is referenced by:  curfuncf  18295  uncfcurf  18296