MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uncfcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uncfcl 18227
Description: The uncurry operation takes a functor 𝐹:𝐶⟶(𝐷𝐸) to a functor uncurryF (𝐹):𝐶 × 𝐷𝐸. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
uncfval.g 𝐹 = (⟨“𝐶𝐷𝐸”⟩ uncurryF 𝐺)
uncfval.c (𝜑𝐷 ∈ Cat)
uncfval.d (𝜑𝐸 ∈ Cat)
uncfval.f (𝜑𝐺 ∈ (𝐶 Func (𝐷 FuncCat 𝐸)))
Assertion
Ref Expression
uncfcl (𝜑𝐹 ∈ ((𝐶 ×c 𝐷) Func 𝐸))

Proof of Theorem uncfcl
StepHypRef Expression
1 uncfval.g . . 3 𝐹 = (⟨“𝐶𝐷𝐸”⟩ uncurryF 𝐺)
2 uncfval.c . . 3 (𝜑𝐷 ∈ Cat)
3 uncfval.d . . 3 (𝜑𝐸 ∈ Cat)
4 uncfval.f . . 3 (𝜑𝐺 ∈ (𝐶 Func (𝐷 FuncCat 𝐸)))
51, 2, 3, 4uncfval 18226 . 2 (𝜑𝐹 = ((𝐷 evalF 𝐸) ∘func ((𝐺func (𝐶 1stF 𝐷)) ⟨,⟩F (𝐶 2ndF 𝐷))))
6 eqid 2728 . . . 4 ((𝐺func (𝐶 1stF 𝐷)) ⟨,⟩F (𝐶 2ndF 𝐷)) = ((𝐺func (𝐶 1stF 𝐷)) ⟨,⟩F (𝐶 2ndF 𝐷))
7 eqid 2728 . . . 4 ((𝐷 FuncCat 𝐸) ×c 𝐷) = ((𝐷 FuncCat 𝐸) ×c 𝐷)
8 eqid 2728 . . . . . 6 (𝐶 ×c 𝐷) = (𝐶 ×c 𝐷)
9 funcrcl 17849 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ (𝐶 Func (𝐷 FuncCat 𝐸)) → (𝐶 ∈ Cat ∧ (𝐷 FuncCat 𝐸) ∈ Cat))
104, 9syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶 ∈ Cat ∧ (𝐷 FuncCat 𝐸) ∈ Cat))
1110simpld 494 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ Cat)
12 eqid 2728 . . . . . 6 (𝐶 1stF 𝐷) = (𝐶 1stF 𝐷)
138, 11, 2, 121stfcl 18188 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶 1stF 𝐷) ∈ ((𝐶 ×c 𝐷) Func 𝐶))
1413, 4cofucl 17874 . . . 4 (𝜑 → (𝐺func (𝐶 1stF 𝐷)) ∈ ((𝐶 ×c 𝐷) Func (𝐷 FuncCat 𝐸)))
15 eqid 2728 . . . . 5 (𝐶 2ndF 𝐷) = (𝐶 2ndF 𝐷)
168, 11, 2, 152ndfcl 18189 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 2ndF 𝐷) ∈ ((𝐶 ×c 𝐷) Func 𝐷))
176, 7, 14, 16prfcl 18194 . . 3 (𝜑 → ((𝐺func (𝐶 1stF 𝐷)) ⟨,⟩F (𝐶 2ndF 𝐷)) ∈ ((𝐶 ×c 𝐷) Func ((𝐷 FuncCat 𝐸) ×c 𝐷)))
18 eqid 2728 . . . 4 (𝐷 evalF 𝐸) = (𝐷 evalF 𝐸)
19 eqid 2728 . . . 4 (𝐷 FuncCat 𝐸) = (𝐷 FuncCat 𝐸)
2018, 19, 2, 3evlfcl 18214 . . 3 (𝜑 → (𝐷 evalF 𝐸) ∈ (((𝐷 FuncCat 𝐸) ×c 𝐷) Func 𝐸))
2117, 20cofucl 17874 . 2 (𝜑 → ((𝐷 evalF 𝐸) ∘func ((𝐺func (𝐶 1stF 𝐷)) ⟨,⟩F (𝐶 2ndF 𝐷))) ∈ ((𝐶 ×c 𝐷) Func 𝐸))
225, 21eqeltrd 2829 1 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐶 ×c 𝐷) Func 𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1534  wcel 2099  (class class class)co 7420  ⟨“cs3 14826  Catccat 17644   Func cfunc 17840  func ccofu 17842   FuncCat cfuc 17932   ×c cxpc 18159   1stF c1stf 18160   2ndF c2ndf 18161   ⟨,⟩F cprf 18162   evalF cevlf 18201   uncurryF cuncf 18203
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-map 8847  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-card 9963  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-7 12311  df-8 12312  df-9 12313  df-n0 12504  df-z 12590  df-dec 12709  df-uz 12854  df-fz 13518  df-fzo 13661  df-hash 14323  df-word 14498  df-concat 14554  df-s1 14579  df-s2 14832  df-s3 14833  df-struct 17116  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-hom 17257  df-cco 17258  df-cat 17648  df-cid 17649  df-func 17844  df-cofu 17846  df-nat 17933  df-fuc 17934  df-xpc 18163  df-1stf 18164  df-2ndf 18165  df-prf 18166  df-evlf 18205  df-uncf 18207
This theorem is referenced by:  curfuncf  18230  uncfcurf  18231
  Copyright terms: Public domain W3C validator