MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uncfcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uncfcl 18129
Description: The uncurry operation takes a functor 𝐹:𝐶⟶(𝐷𝐸) to a functor uncurryF (𝐹):𝐶 × 𝐷𝐸. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
uncfval.g 𝐹 = (⟨“𝐶𝐷𝐸”⟩ uncurryF 𝐺)
uncfval.c (𝜑𝐷 ∈ Cat)
uncfval.d (𝜑𝐸 ∈ Cat)
uncfval.f (𝜑𝐺 ∈ (𝐶 Func (𝐷 FuncCat 𝐸)))
Assertion
Ref Expression
uncfcl (𝜑𝐹 ∈ ((𝐶 ×c 𝐷) Func 𝐸))

Proof of Theorem uncfcl
StepHypRef Expression
1 uncfval.g . . 3 𝐹 = (⟨“𝐶𝐷𝐸”⟩ uncurryF 𝐺)
2 uncfval.c . . 3 (𝜑𝐷 ∈ Cat)
3 uncfval.d . . 3 (𝜑𝐸 ∈ Cat)
4 uncfval.f . . 3 (𝜑𝐺 ∈ (𝐶 Func (𝐷 FuncCat 𝐸)))
51, 2, 3, 4uncfval 18128 . 2 (𝜑𝐹 = ((𝐷 evalF 𝐸) ∘func ((𝐺func (𝐶 1stF 𝐷)) ⟨,⟩F (𝐶 2ndF 𝐷))))
6 eqid 2733 . . . 4 ((𝐺func (𝐶 1stF 𝐷)) ⟨,⟩F (𝐶 2ndF 𝐷)) = ((𝐺func (𝐶 1stF 𝐷)) ⟨,⟩F (𝐶 2ndF 𝐷))
7 eqid 2733 . . . 4 ((𝐷 FuncCat 𝐸) ×c 𝐷) = ((𝐷 FuncCat 𝐸) ×c 𝐷)
8 eqid 2733 . . . . . 6 (𝐶 ×c 𝐷) = (𝐶 ×c 𝐷)
9 funcrcl 17754 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ (𝐶 Func (𝐷 FuncCat 𝐸)) → (𝐶 ∈ Cat ∧ (𝐷 FuncCat 𝐸) ∈ Cat))
104, 9syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶 ∈ Cat ∧ (𝐷 FuncCat 𝐸) ∈ Cat))
1110simpld 496 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ Cat)
12 eqid 2733 . . . . . 6 (𝐶 1stF 𝐷) = (𝐶 1stF 𝐷)
138, 11, 2, 121stfcl 18090 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶 1stF 𝐷) ∈ ((𝐶 ×c 𝐷) Func 𝐶))
1413, 4cofucl 17779 . . . 4 (𝜑 → (𝐺func (𝐶 1stF 𝐷)) ∈ ((𝐶 ×c 𝐷) Func (𝐷 FuncCat 𝐸)))
15 eqid 2733 . . . . 5 (𝐶 2ndF 𝐷) = (𝐶 2ndF 𝐷)
168, 11, 2, 152ndfcl 18091 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 2ndF 𝐷) ∈ ((𝐶 ×c 𝐷) Func 𝐷))
176, 7, 14, 16prfcl 18096 . . 3 (𝜑 → ((𝐺func (𝐶 1stF 𝐷)) ⟨,⟩F (𝐶 2ndF 𝐷)) ∈ ((𝐶 ×c 𝐷) Func ((𝐷 FuncCat 𝐸) ×c 𝐷)))
18 eqid 2733 . . . 4 (𝐷 evalF 𝐸) = (𝐷 evalF 𝐸)
19 eqid 2733 . . . 4 (𝐷 FuncCat 𝐸) = (𝐷 FuncCat 𝐸)
2018, 19, 2, 3evlfcl 18116 . . 3 (𝜑 → (𝐷 evalF 𝐸) ∈ (((𝐷 FuncCat 𝐸) ×c 𝐷) Func 𝐸))
2117, 20cofucl 17779 . 2 (𝜑 → ((𝐷 evalF 𝐸) ∘func ((𝐺func (𝐶 1stF 𝐷)) ⟨,⟩F (𝐶 2ndF 𝐷))) ∈ ((𝐶 ×c 𝐷) Func 𝐸))
225, 21eqeltrd 2834 1 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐶 ×c 𝐷) Func 𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  (class class class)co 7358  ⟨“cs3 14737  Catccat 17549   Func cfunc 17745  func ccofu 17747   FuncCat cfuc 17834   ×c cxpc 18061   1stF c1stf 18062   2ndF c2ndf 18063   ⟨,⟩F cprf 18064   evalF cevlf 18103   uncurryF cuncf 18105
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-map 8770  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-hash 14237  df-word 14409  df-concat 14465  df-s1 14490  df-s2 14743  df-s3 14744  df-struct 17024  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-hom 17162  df-cco 17163  df-cat 17553  df-cid 17554  df-func 17749  df-cofu 17751  df-nat 17835  df-fuc 17836  df-xpc 18065  df-1stf 18066  df-2ndf 18067  df-prf 18068  df-evlf 18107  df-uncf 18109
This theorem is referenced by:  curfuncf  18132  uncfcurf  18133
  Copyright terms: Public domain W3C validator