Theorem uncfcl 18203

Description: The uncurry operation takes a functor 𝐹:𝐶⟶(𝐷⟶𝐸) to a functor uncurry_F (𝐹):𝐶 × 𝐷⟶𝐸. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
uncfval.g	⊢ 𝐹 = (⟨“𝐶𝐷𝐸”⟩ uncurryF 𝐺)
uncfval.c	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
uncfval.d	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Cat)
uncfval.f	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝐶 Func (𝐷 FuncCat 𝐸)))

Assertion

Ref	Expression
uncfcl	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐶 ×c 𝐷) Func 𝐸))

Proof of Theorem uncfcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uncfval.g	. . 3 ⊢ 𝐹 = (⟨“𝐶𝐷𝐸”⟩ uncurryF 𝐺)
2		uncfval.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
3		uncfval.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Cat)
4		uncfval.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝐶 Func (𝐷 FuncCat 𝐸)))
5	1, 2, 3, 4	uncfval 18202	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = ((𝐷 evalF 𝐸) ∘func ((𝐺 ∘func (𝐶 1stF 𝐷)) ⟨,⟩F (𝐶 2ndF 𝐷))))
6		eqid 2730	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∘func (𝐶 1stF 𝐷)) ⟨,⟩F (𝐶 2ndF 𝐷)) = ((𝐺 ∘func (𝐶 1stF 𝐷)) ⟨,⟩F (𝐶 2ndF 𝐷))
7		eqid 2730	. . . 4 ⊢ ((𝐷 FuncCat 𝐸) ×c 𝐷) = ((𝐷 FuncCat 𝐸) ×c 𝐷)
8		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ×c 𝐷) = (𝐶 ×c 𝐷)
9		funcrcl 17832	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ (𝐶 Func (𝐷 FuncCat 𝐸)) → (𝐶 ∈ Cat ∧ (𝐷 FuncCat 𝐸) ∈ Cat))
10	4, 9	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ Cat ∧ (𝐷 FuncCat 𝐸) ∈ Cat))
11	10	simpld 494	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
12		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 1stF 𝐷) = (𝐶 1stF 𝐷)
13	8, 11, 2, 12	1stfcl 18165	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 1stF 𝐷) ∈ ((𝐶 ×c 𝐷) Func 𝐶))
14	13, 4	cofucl 17857	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘func (𝐶 1stF 𝐷)) ∈ ((𝐶 ×c 𝐷) Func (𝐷 FuncCat 𝐸)))
15		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (𝐶 2ndF 𝐷) = (𝐶 2ndF 𝐷)
16	8, 11, 2, 15	2ndfcl 18166	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 2ndF 𝐷) ∈ ((𝐶 ×c 𝐷) Func 𝐷))
17	6, 7, 14, 16	prfcl 18171	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 ∘func (𝐶 1stF 𝐷)) ⟨,⟩F (𝐶 2ndF 𝐷)) ∈ ((𝐶 ×c 𝐷) Func ((𝐷 FuncCat 𝐸) ×c 𝐷)))
18		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (𝐷 evalF 𝐸) = (𝐷 evalF 𝐸)
19		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (𝐷 FuncCat 𝐸) = (𝐷 FuncCat 𝐸)
20	18, 19, 2, 3	evlfcl 18190	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷 evalF 𝐸) ∈ (((𝐷 FuncCat 𝐸) ×c 𝐷) Func 𝐸))
21	17, 20	cofucl 17857	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 evalF 𝐸) ∘func ((𝐺 ∘func (𝐶 1stF 𝐷)) ⟨,⟩F (𝐶 2ndF 𝐷))) ∈ ((𝐶 ×c 𝐷) Func 𝐸))
22	5, 21	eqeltrd 2829	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐶 ×c 𝐷) Func 𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7390  ⟨“cs3 14815  Catccat 17632   Func cfunc 17823   ∘_func ccofu 17825   FuncCat cfuc 17914   ×_c cxpc 18136   1^st_F c1stf 18137   2^nd_F c2ndf 18138   ⟨,⟩_F cprf 18139   eval_F cevlf 18177   uncurry_F cuncf 18179

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-map 8804  df-ixp 8874  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-hash 14303  df-word 14486  df-concat 14543  df-s1 14568  df-s2 14821  df-s3 14822  df-struct 17124  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-hom 17251  df-cco 17252  df-cat 17636  df-cid 17637  df-func 17827  df-cofu 17829  df-nat 17915  df-fuc 17916  df-xpc 18140  df-1stf 18141  df-2ndf 18142  df-prf 18143  df-evlf 18181  df-uncf 18183

This theorem is referenced by:  curfuncf  18206  uncfcurf  18207