Theorem uncfcl 17189

Description: The uncurry operation takes a functor 𝐹:𝐶⟶(𝐷⟶𝐸) to a functor uncurry_F (𝐹):𝐶 × 𝐷⟶𝐸. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
uncfval.g	⊢ 𝐹 = (⟨“𝐶𝐷𝐸”⟩ uncurryF 𝐺)
uncfval.c	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
uncfval.d	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Cat)
uncfval.f	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝐶 Func (𝐷 FuncCat 𝐸)))

Assertion

Ref	Expression
uncfcl	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐶 ×c 𝐷) Func 𝐸))

Proof of Theorem uncfcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uncfval.g	. . 3 ⊢ 𝐹 = (⟨“𝐶𝐷𝐸”⟩ uncurryF 𝐺)
2		uncfval.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
3		uncfval.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Cat)
4		uncfval.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝐶 Func (𝐷 FuncCat 𝐸)))
5	1, 2, 3, 4	uncfval 17188	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = ((𝐷 evalF 𝐸) ∘func ((𝐺 ∘func (𝐶 1stF 𝐷)) ⟨,⟩F (𝐶 2ndF 𝐷))))
6		eqid 2800	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∘func (𝐶 1stF 𝐷)) ⟨,⟩F (𝐶 2ndF 𝐷)) = ((𝐺 ∘func (𝐶 1stF 𝐷)) ⟨,⟩F (𝐶 2ndF 𝐷))
7		eqid 2800	. . . 4 ⊢ ((𝐷 FuncCat 𝐸) ×c 𝐷) = ((𝐷 FuncCat 𝐸) ×c 𝐷)
8		eqid 2800	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ×c 𝐷) = (𝐶 ×c 𝐷)
9		funcrcl 16836	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ (𝐶 Func (𝐷 FuncCat 𝐸)) → (𝐶 ∈ Cat ∧ (𝐷 FuncCat 𝐸) ∈ Cat))
10	4, 9	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ Cat ∧ (𝐷 FuncCat 𝐸) ∈ Cat))
11	10	simpld 489	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
12		eqid 2800	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 1stF 𝐷) = (𝐶 1stF 𝐷)
13	8, 11, 2, 12	1stfcl 17151	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 1stF 𝐷) ∈ ((𝐶 ×c 𝐷) Func 𝐶))
14	13, 4	cofucl 16861	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘func (𝐶 1stF 𝐷)) ∈ ((𝐶 ×c 𝐷) Func (𝐷 FuncCat 𝐸)))
15		eqid 2800	. . . . 5 ⊢ (𝐶 2ndF 𝐷) = (𝐶 2ndF 𝐷)
16	8, 11, 2, 15	2ndfcl 17152	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 2ndF 𝐷) ∈ ((𝐶 ×c 𝐷) Func 𝐷))
17	6, 7, 14, 16	prfcl 17157	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 ∘func (𝐶 1stF 𝐷)) ⟨,⟩F (𝐶 2ndF 𝐷)) ∈ ((𝐶 ×c 𝐷) Func ((𝐷 FuncCat 𝐸) ×c 𝐷)))
18		eqid 2800	. . . 4 ⊢ (𝐷 evalF 𝐸) = (𝐷 evalF 𝐸)
19		eqid 2800	. . . 4 ⊢ (𝐷 FuncCat 𝐸) = (𝐷 FuncCat 𝐸)
20	18, 19, 2, 3	evlfcl 17176	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷 evalF 𝐸) ∈ (((𝐷 FuncCat 𝐸) ×c 𝐷) Func 𝐸))
21	17, 20	cofucl 16861	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 evalF 𝐸) ∘func ((𝐺 ∘func (𝐶 1stF 𝐷)) ⟨,⟩F (𝐶 2ndF 𝐷))) ∈ ((𝐶 ×c 𝐷) Func 𝐸))
22	5, 21	eqeltrd 2879	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐶 ×c 𝐷) Func 𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 385   = wceq 1653   ∈ wcel 2157  (class class class)co 6879  ⟨“cs3 13926  Catccat 16638   Func cfunc 16827   ∘_func ccofu 16829   FuncCat cfuc 16915   ×_c cxpc 17122   1^st_F c1stf 17123   2^nd_F c2ndf 17124   ⟨,⟩_F cprf 17125   eval_F cevlf 17163   uncurry_F cuncf 17165

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2378  ax-ext 2778  ax-rep 4965  ax-sep 4976  ax-nul 4984  ax-pow 5036  ax-pr 5098  ax-un 7184  ax-cnex 10281  ax-resscn 10282  ax-1cn 10283  ax-icn 10284  ax-addcl 10285  ax-addrcl 10286  ax-mulcl 10287  ax-mulrcl 10288  ax-mulcom 10289  ax-addass 10290  ax-mulass 10291  ax-distr 10292  ax-i2m1 10293  ax-1ne0 10294  ax-1rid 10295  ax-rnegex 10296  ax-rrecex 10297  ax-cnre 10298  ax-pre-lttri 10299  ax-pre-lttrn 10300  ax-pre-ltadd 10301  ax-pre-mulgt0 10302

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-fal 1667  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2592  df-eu 2610  df-clab 2787  df-cleq 2793  df-clel 2796  df-nfc 2931  df-ne 2973  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3388  df-sbc 3635  df-csb 3730  df-dif 3773  df-un 3775  df-in 3777  df-ss 3784  df-pss 3786  df-nul 4117  df-if 4279  df-pw 4352  df-sn 4370  df-pr 4372  df-tp 4374  df-op 4376  df-uni 4630  df-int 4669  df-iun 4713  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5221  df-eprel 5226  df-po 5234  df-so 5235  df-fr 5272  df-we 5274  df-xp 5319  df-rel 5320  df-cnv 5321  df-co 5322  df-dm 5323  df-rn 5324  df-res 5325  df-ima 5326  df-pred 5899  df-ord 5945  df-on 5946  df-lim 5947  df-suc 5948  df-iota 6065  df-fun 6104  df-fn 6105  df-f 6106  df-f1 6107  df-fo 6108  df-f1o 6109  df-fv 6110  df-riota 6840  df-ov 6882  df-oprab 6883  df-mpt2 6884  df-om 7301  df-1st 7402  df-2nd 7403  df-wrecs 7646  df-recs 7708  df-rdg 7746  df-1o 7800  df-oadd 7804  df-er 7983  df-map 8098  df-ixp 8150  df-en 8197  df-dom 8198  df-sdom 8199  df-fin 8200  df-card 9052  df-pnf 10366  df-mnf 10367  df-xr 10368  df-ltxr 10369  df-le 10370  df-sub 10559  df-neg 10560  df-nn 11314  df-2 11375  df-3 11376  df-4 11377  df-5 11378  df-6 11379  df-7 11380  df-8 11381  df-9 11382  df-n0 11580  df-z 11666  df-dec 11783  df-uz 11930  df-fz 12580  df-fzo 12720  df-hash 13370  df-word 13534  df-concat 13590  df-s1 13615  df-s2 13932  df-s3 13933  df-struct 16185  df-ndx 16186  df-slot 16187  df-base 16189  df-hom 16290  df-cco 16291  df-cat 16642  df-cid 16643  df-func 16831  df-cofu 16833  df-nat 16916  df-fuc 16917  df-xpc 17126  df-1stf 17127  df-2ndf 17128  df-prf 17129  df-evlf 17167  df-uncf 17169

This theorem is referenced by:  curfuncf  17192  uncfcurf  17193