Theorem uncfcl 18199

Description: The uncurry operation takes a functor 𝐹:𝐶⟶(𝐷⟶𝐸) to a functor uncurry_F (𝐹):𝐶 × 𝐷⟶𝐸. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
uncfval.g	⊢ 𝐹 = (⟨“𝐶𝐷𝐸”⟩ uncurryF 𝐺)
uncfval.c	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
uncfval.d	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Cat)
uncfval.f	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝐶 Func (𝐷 FuncCat 𝐸)))

Assertion

Ref	Expression
uncfcl	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐶 ×c 𝐷) Func 𝐸))

Proof of Theorem uncfcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uncfval.g	. . 3 ⊢ 𝐹 = (⟨“𝐶𝐷𝐸”⟩ uncurryF 𝐺)
2		uncfval.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
3		uncfval.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Cat)
4		uncfval.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝐶 Func (𝐷 FuncCat 𝐸)))
5	1, 2, 3, 4	uncfval 18198	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = ((𝐷 evalF 𝐸) ∘func ((𝐺 ∘func (𝐶 1stF 𝐷)) ⟨,⟩F (𝐶 2ndF 𝐷))))
6		eqid 2740	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∘func (𝐶 1stF 𝐷)) ⟨,⟩F (𝐶 2ndF 𝐷)) = ((𝐺 ∘func (𝐶 1stF 𝐷)) ⟨,⟩F (𝐶 2ndF 𝐷))
7		eqid 2740	. . . 4 ⊢ ((𝐷 FuncCat 𝐸) ×c 𝐷) = ((𝐷 FuncCat 𝐸) ×c 𝐷)
8		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ×c 𝐷) = (𝐶 ×c 𝐷)
9		funcrcl 17828	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ (𝐶 Func (𝐷 FuncCat 𝐸)) → (𝐶 ∈ Cat ∧ (𝐷 FuncCat 𝐸) ∈ Cat))
10	4, 9	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ Cat ∧ (𝐷 FuncCat 𝐸) ∈ Cat))
11	10	simpld 495	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
12		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 1stF 𝐷) = (𝐶 1stF 𝐷)
13	8, 11, 2, 12	1stfcl 18161	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 1stF 𝐷) ∈ ((𝐶 ×c 𝐷) Func 𝐶))
14	13, 4	cofucl 17853	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘func (𝐶 1stF 𝐷)) ∈ ((𝐶 ×c 𝐷) Func (𝐷 FuncCat 𝐸)))
15		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (𝐶 2ndF 𝐷) = (𝐶 2ndF 𝐷)
16	8, 11, 2, 15	2ndfcl 18162	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 2ndF 𝐷) ∈ ((𝐶 ×c 𝐷) Func 𝐷))
17	6, 7, 14, 16	prfcl 18167	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 ∘func (𝐶 1stF 𝐷)) ⟨,⟩F (𝐶 2ndF 𝐷)) ∈ ((𝐶 ×c 𝐷) Func ((𝐷 FuncCat 𝐸) ×c 𝐷)))
18		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (𝐷 evalF 𝐸) = (𝐷 evalF 𝐸)
19		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (𝐷 FuncCat 𝐸) = (𝐷 FuncCat 𝐸)
20	18, 19, 2, 3	evlfcl 18186	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷 evalF 𝐸) ∈ (((𝐷 FuncCat 𝐸) ×c 𝐷) Func 𝐸))
21	17, 20	cofucl 17853	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 evalF 𝐸) ∘func ((𝐺 ∘func (𝐶 1stF 𝐷)) ⟨,⟩F (𝐶 2ndF 𝐷))) ∈ ((𝐶 ×c 𝐷) Func 𝐸))
22	5, 21	eqeltrd 2840	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐶 ×c 𝐷) Func 𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  (class class class)co 7363  ⟨“cs3 14802  Catccat 17628   Func cfunc 17819   ∘_func ccofu 17821   FuncCat cfuc 17910   ×_c cxpc 18132   1^st_F c1stf 18133   2^nd_F c2ndf 18134   ⟨,⟩_F cprf 18135   eval_F cevlf 18173   uncurry_F cuncf 18175

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-er 8640  df-map 8772  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-card 9861  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-4 12244  df-5 12245  df-6 12246  df-7 12247  df-8 12248  df-9 12249  df-n0 12436  df-z 12523  df-dec 12643  df-uz 12787  df-fz 13460  df-fzo 13607  df-hash 14291  df-word 14474  df-concat 14531  df-s1 14557  df-s2 14808  df-s3 14809  df-struct 17115  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17178  df-hom 17242  df-cco 17243  df-cat 17632  df-cid 17633  df-func 17823  df-cofu 17825  df-nat 17911  df-fuc 17912  df-xpc 18136  df-1stf 18137  df-2ndf 18138  df-prf 18139  df-evlf 18177  df-uncf 18179

This theorem is referenced by:  curfuncf  18202  uncfcurf  18203