MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumge0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsumge0 15687
Description: If all of the terms of a finite sum are nonnegative, so is the sum. (Contributed by NM, 26-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumge0.1 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fsumge0.2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
fsumge0.3 ((𝜑𝑘𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
Assertion
Ref Expression
fsumge0 (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑘𝐴 𝐵)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumge0
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rge0ssre 13380 . . . . 5 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
2 ax-resscn 11115 . . . . 5 ℝ ⊆ ℂ
31, 2sstri 3958 . . . 4 (0[,)+∞) ⊆ ℂ
43a1i 11 . . 3 (𝜑 → (0[,)+∞) ⊆ ℂ)
5 ge0addcl 13384 . . . 4 ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
65adantl 483 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞))) → (𝑥 + 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
7 fsumge0.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
8 fsumge0.2 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
9 fsumge0.3 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
10 elrege0 13378 . . . 4 (𝐵 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵))
118, 9, 10sylanbrc 584 . . 3 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
12 0e0icopnf 13382 . . . 4 0 ∈ (0[,)+∞)
1312a1i 11 . . 3 (𝜑 → 0 ∈ (0[,)+∞))
144, 6, 7, 11, 13fsumcllem 15624 . 2 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
15 elrege0 13378 . . 3 𝑘𝐴 𝐵 ∈ (0[,)+∞) ↔ (Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ Σ𝑘𝐴 𝐵))
1615simprbi 498 . 2 𝑘𝐴 𝐵 ∈ (0[,)+∞) → 0 ≤ Σ𝑘𝐴 𝐵)
1714, 16syl 17 1 (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑘𝐴 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  wcel 2107  wss 3915   class class class wbr 5110  (class class class)co 7362  Fincfn 8890  cc 11056  cr 11057  0cc0 11058   + caddc 11061  +∞cpnf 11193  cle 11197  [,)cico 13273  Σcsu 15577
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923  df-ico 13277  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-clim 15377  df-sum 15578
This theorem is referenced by:  fsumless  15688  fsumle  15691  o1fsum  15705  rrxcph  24772  csbren  24779  trirn  24780  rrxmet  24788  rrxdstprj1  24789  itg1ge0  25066  itg1ge0a  25092  mtest  25779  abelthlem7  25813  abelthlem8  25814  ftalem4  26441  ftalem5  26442  chtge0  26477  vmadivsum  26846  vmadivsumb  26847  rpvmasumlem  26851  dchrvmasumlem2  26862  dchrisum0re  26877  rplogsum  26891  dirith2  26892  mulog2sumlem2  26899  vmalogdivsum2  26902  2vmadivsumlem  26904  selbergb  26913  selberg2b  26916  logdivbnd  26920  selberg3lem2  26922  selberg4lem1  26924  pntrlog2bndlem1  26941  pntrlog2bndlem2  26942  pntrlog2bnd  26948  pntpbnd1  26950  pntlemf  26969  axsegconlem3  27910  ax5seglem3  27922  sibfof  32980  eulerpartlemgc  33002  eulerpartlemb  33008  hgt750leme  33311  rrnmet  36317  rrndstprj1  36318  rrndstprj2  36319  sticksstones6  40588  fsumge0cl  43888  stoweidlem26  44341  stoweidlem38  44353  stoweidlem44  44359  etransclem35  44584  rrndistlt  44605  hoiqssbllem2  44938
  Copyright terms: Public domain W3C validator