Theorem fsumge0 15768

Description: If all of the terms of a finite sum are nonnegative, so is the sum. (Contributed by NM, 26-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumge0.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fsumge0.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
fsumge0.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
fsumge0	⊢ (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumge0

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rge0ssre 13424	. . . . 5 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
2		ax-resscn 11132	. . . . 5 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
3	1, 2	sstri 3959	. . . 4 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℂ
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0[,)+∞) ⊆ ℂ)
5		ge0addcl 13428	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
6	5	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞))) → (𝑥 + 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
7		fsumge0.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
8		fsumge0.2	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
9		fsumge0.3	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
10		elrege0 13422	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵))
11	8, 9, 10	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
12		0e0icopnf 13426	. . . 4 ⊢ 0 ∈ (0[,)+∞)
13	12	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0[,)+∞))
14	4, 6, 7, 11, 13	fsumcllem 15705	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
15		elrege0 13422	. . 3 ⊢ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (0[,)+∞) ↔ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))
16	15	simprbi 496	. 2 ⊢ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (0[,)+∞) → 0 ≤ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
17	14, 16	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3917   class class class wbr 5110  (class class class)co 7390  Fincfn 8921  ℂcc 11073  ℝcr 11074  0cc0 11075   + caddc 11078  +∞cpnf 11212   ≤ cle 11216  [,)cico 13315  Σcsu 15659

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-inf2 9601  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-sup 9400  df-oi 9470  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-rp 12959  df-ico 13319  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-seq 13974  df-exp 14034  df-hash 14303  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-clim 15461  df-sum 15660

This theorem is referenced by:  fsumless  15769  fsumle  15772  o1fsum  15786  rrxcph  25299  csbren  25306  trirn  25307  rrxmet  25315  rrxdstprj1  25316  itg1ge0  25594  itg1ge0a  25619  mtest  26320  abelthlem7  26355  abelthlem8  26356  ftalem4  26993  ftalem5  26994  chtge0  27029  vmadivsum  27400  vmadivsumb  27401  rpvmasumlem  27405  dchrvmasumlem2  27416  dchrisum0re  27431  rplogsum  27445  dirith2  27446  mulog2sumlem2  27453  vmalogdivsum2  27456  2vmadivsumlem  27458  selbergb  27467  selberg2b  27470  logdivbnd  27474  selberg3lem2  27476  selberg4lem1  27478  pntrlog2bndlem1  27495  pntrlog2bndlem2  27496  pntrlog2bnd  27502  pntpbnd1  27504  pntlemf  27523  axsegconlem3  28853  ax5seglem3  28865  sibfof  34338  eulerpartlemgc  34360  eulerpartlemb  34366  hgt750leme  34656  rrnmet  37830  rrndstprj1  37831  rrndstprj2  37832  sticksstones6  42146  fsumge0cl  45578  stoweidlem26  46031  stoweidlem38  46043  stoweidlem44  46049  etransclem35  46274  rrndistlt  46295  hoiqssbllem2  46628