MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumge0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsumge0 14931
Description: If all of the terms of a finite sum are nonnegative, so is the sum. (Contributed by NM, 26-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumge0.1 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fsumge0.2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
fsumge0.3 ((𝜑𝑘𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
Assertion
Ref Expression
fsumge0 (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑘𝐴 𝐵)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumge0
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rge0ssre 12594 . . . . 5 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
2 ax-resscn 10329 . . . . 5 ℝ ⊆ ℂ
31, 2sstri 3830 . . . 4 (0[,)+∞) ⊆ ℂ
43a1i 11 . . 3 (𝜑 → (0[,)+∞) ⊆ ℂ)
5 ge0addcl 12598 . . . 4 ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
65adantl 475 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞))) → (𝑥 + 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
7 fsumge0.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
8 fsumge0.2 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
9 fsumge0.3 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
10 elrege0 12592 . . . 4 (𝐵 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵))
118, 9, 10sylanbrc 578 . . 3 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
12 0e0icopnf 12596 . . . 4 0 ∈ (0[,)+∞)
1312a1i 11 . . 3 (𝜑 → 0 ∈ (0[,)+∞))
144, 6, 7, 11, 13fsumcllem 14870 . 2 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
15 elrege0 12592 . . 3 𝑘𝐴 𝐵 ∈ (0[,)+∞) ↔ (Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ Σ𝑘𝐴 𝐵))
1615simprbi 492 . 2 𝑘𝐴 𝐵 ∈ (0[,)+∞) → 0 ≤ Σ𝑘𝐴 𝐵)
1714, 16syl 17 1 (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑘𝐴 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386  wcel 2107  wss 3792   class class class wbr 4886  (class class class)co 6922  Fincfn 8241  cc 10270  cr 10271  0cc0 10272   + caddc 10275  +∞cpnf 10408  cle 10412  [,)cico 12489  Σcsu 14824
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-inf2 8835  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-se 5315  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-isom 6144  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-oadd 7847  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-sup 8636  df-oi 8704  df-card 9098  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-n0 11643  df-z 11729  df-uz 11993  df-rp 12138  df-ico 12493  df-fz 12644  df-fzo 12785  df-seq 13120  df-exp 13179  df-hash 13436  df-cj 14246  df-re 14247  df-im 14248  df-sqrt 14382  df-abs 14383  df-clim 14627  df-sum 14825
This theorem is referenced by:  fsumless  14932  fsumle  14935  o1fsum  14949  rrxcph  23598  csbren  23605  trirn  23606  rrxmet  23614  rrxdstprj1  23615  itg1ge0  23890  itg1ge0a  23915  mtest  24595  abelthlem7  24629  abelthlem8  24630  ftalem4  25254  ftalem5  25255  chtge0  25290  vmadivsum  25623  vmadivsumb  25624  rpvmasumlem  25628  dchrvmasumlem2  25639  dchrisum0re  25654  rplogsum  25668  dirith2  25669  mulog2sumlem2  25676  vmalogdivsum2  25679  2vmadivsumlem  25681  selbergb  25690  selberg2b  25693  logdivbnd  25697  selberg3lem2  25699  selberg4lem1  25701  pntrlog2bndlem1  25718  pntrlog2bndlem2  25719  pntrlog2bnd  25725  pntpbnd1  25727  pntlemf  25746  axsegconlem3  26268  ax5seglem3  26280  sibfof  31000  eulerpartlemgc  31022  eulerpartlemb  31028  hgt750leme  31338  rrnmet  34252  rrndstprj1  34253  rrndstprj2  34254  fsumge0cl  40713  stoweidlem26  41170  stoweidlem38  41182  stoweidlem44  41188  etransclem35  41413  rrndistlt  41434  hoiqssbllem2  41764
  Copyright terms: Public domain W3C validator