Theorem fsumge0 15142

Description: If all of the terms of a finite sum are nonnegative, so is the sum. (Contributed by NM, 26-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumge0.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fsumge0.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
fsumge0.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
fsumge0	⊢ (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumge0

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rge0ssre 12834	. . . . 5 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
2		ax-resscn 10583	. . . . 5 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
3	1, 2	sstri 3924	. . . 4 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℂ
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0[,)+∞) ⊆ ℂ)
5		ge0addcl 12838	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
6	5	adantl 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞))) → (𝑥 + 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
7		fsumge0.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
8		fsumge0.2	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
9		fsumge0.3	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
10		elrege0 12832	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵))
11	8, 9, 10	sylanbrc 586	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
12		0e0icopnf 12836	. . . 4 ⊢ 0 ∈ (0[,)+∞)
13	12	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0[,)+∞))
14	4, 6, 7, 11, 13	fsumcllem 15081	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
15		elrege0 12832	. . 3 ⊢ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (0[,)+∞) ↔ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))
16	15	simprbi 500	. 2 ⊢ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (0[,)+∞) → 0 ≤ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
17	14, 16	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3881   class class class wbr 5030  (class class class)co 7135  Fincfn 8492  ℂcc 10524  ℝcr 10525  0cc0 10526   + caddc 10529  +∞cpnf 10661   ≤ cle 10665  [,)cico 12728  Σcsu 15034

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-inf2 9088  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-sup 8890  df-oi 8958  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-ico 12732  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-seq 13365  df-exp 13426  df-hash 13687  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-clim 14837  df-sum 15035

This theorem is referenced by:  fsumless  15143  fsumle  15146  o1fsum  15160  rrxcph  23996  csbren  24003  trirn  24004  rrxmet  24012  rrxdstprj1  24013  itg1ge0  24290  itg1ge0a  24315  mtest  24999  abelthlem7  25033  abelthlem8  25034  ftalem4  25661  ftalem5  25662  chtge0  25697  vmadivsum  26066  vmadivsumb  26067  rpvmasumlem  26071  dchrvmasumlem2  26082  dchrisum0re  26097  rplogsum  26111  dirith2  26112  mulog2sumlem2  26119  vmalogdivsum2  26122  2vmadivsumlem  26124  selbergb  26133  selberg2b  26136  logdivbnd  26140  selberg3lem2  26142  selberg4lem1  26144  pntrlog2bndlem1  26161  pntrlog2bndlem2  26162  pntrlog2bnd  26168  pntpbnd1  26170  pntlemf  26189  axsegconlem3  26713  ax5seglem3  26725  sibfof  31708  eulerpartlemgc  31730  eulerpartlemb  31736  hgt750leme  32039  rrnmet  35267  rrndstprj1  35268  rrndstprj2  35269  fsumge0cl  42215  stoweidlem26  42668  stoweidlem38  42680  stoweidlem44  42686  etransclem35  42911  rrndistlt  42932  hoiqssbllem2  43262