Theorem fsumge0 15150

Description: If all of the terms of a finite sum are nonnegative, so is the sum. (Contributed by NM, 26-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumge0.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fsumge0.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
fsumge0.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
fsumge0	⊢ (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumge0

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rge0ssre 12845	. . . . 5 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
2		ax-resscn 10594	. . . . 5 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
3	1, 2	sstri 3976	. . . 4 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℂ
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0[,)+∞) ⊆ ℂ)
5		ge0addcl 12849	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
6	5	adantl 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞))) → (𝑥 + 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
7		fsumge0.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
8		fsumge0.2	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
9		fsumge0.3	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
10		elrege0 12843	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵))
11	8, 9, 10	sylanbrc 585	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
12		0e0icopnf 12847	. . . 4 ⊢ 0 ∈ (0[,)+∞)
13	12	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0[,)+∞))
14	4, 6, 7, 11, 13	fsumcllem 15089	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
15		elrege0 12843	. . 3 ⊢ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (0[,)+∞) ↔ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))
16	15	simprbi 499	. 2 ⊢ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (0[,)+∞) → 0 ≤ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
17	14, 16	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3936   class class class wbr 5066  (class class class)co 7156  Fincfn 8509  ℂcc 10535  ℝcr 10536  0cc0 10537   + caddc 10540  +∞cpnf 10672   ≤ cle 10676  [,)cico 12741  Σcsu 15042

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-inf2 9104  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614  ax-pre-sup 10615

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-se 5515  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-isom 6364  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-oadd 8106  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-sup 8906  df-oi 8974  df-card 9368  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-n0 11899  df-z 11983  df-uz 12245  df-rp 12391  df-ico 12745  df-fz 12894  df-fzo 13035  df-seq 13371  df-exp 13431  df-hash 13692  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-clim 14845  df-sum 15043

This theorem is referenced by:  fsumless  15151  fsumle  15154  o1fsum  15168  rrxcph  23995  csbren  24002  trirn  24003  rrxmet  24011  rrxdstprj1  24012  itg1ge0  24287  itg1ge0a  24312  mtest  24992  abelthlem7  25026  abelthlem8  25027  ftalem4  25653  ftalem5  25654  chtge0  25689  vmadivsum  26058  vmadivsumb  26059  rpvmasumlem  26063  dchrvmasumlem2  26074  dchrisum0re  26089  rplogsum  26103  dirith2  26104  mulog2sumlem2  26111  vmalogdivsum2  26114  2vmadivsumlem  26116  selbergb  26125  selberg2b  26128  logdivbnd  26132  selberg3lem2  26134  selberg4lem1  26136  pntrlog2bndlem1  26153  pntrlog2bndlem2  26154  pntrlog2bnd  26160  pntpbnd1  26162  pntlemf  26181  axsegconlem3  26705  ax5seglem3  26717  sibfof  31598  eulerpartlemgc  31620  eulerpartlemb  31626  hgt750leme  31929  rrnmet  35122  rrndstprj1  35123  rrndstprj2  35124  fsumge0cl  41874  stoweidlem26  42331  stoweidlem38  42343  stoweidlem44  42349  etransclem35  42574  rrndistlt  42595  hoiqssbllem2  42925