Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumge0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsumge0 15149
 Description: If all of the terms of a finite sum are nonnegative, so is the sum. (Contributed by NM, 26-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumge0.1 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fsumge0.2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
fsumge0.3 ((𝜑𝑘𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
Assertion
Ref Expression
fsumge0 (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑘𝐴 𝐵)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumge0
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rge0ssre 12843 . . . . 5 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
2 ax-resscn 10593 . . . . 5 ℝ ⊆ ℂ
31, 2sstri 3975 . . . 4 (0[,)+∞) ⊆ ℂ
43a1i 11 . . 3 (𝜑 → (0[,)+∞) ⊆ ℂ)
5 ge0addcl 12847 . . . 4 ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
65adantl 484 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞))) → (𝑥 + 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
7 fsumge0.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
8 fsumge0.2 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
9 fsumge0.3 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
10 elrege0 12841 . . . 4 (𝐵 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵))
118, 9, 10sylanbrc 585 . . 3 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
12 0e0icopnf 12845 . . . 4 0 ∈ (0[,)+∞)
1312a1i 11 . . 3 (𝜑 → 0 ∈ (0[,)+∞))
144, 6, 7, 11, 13fsumcllem 15088 . 2 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
15 elrege0 12841 . . 3 𝑘𝐴 𝐵 ∈ (0[,)+∞) ↔ (Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ Σ𝑘𝐴 𝐵))
1615simprbi 499 . 2 𝑘𝐴 𝐵 ∈ (0[,)+∞) → 0 ≤ Σ𝑘𝐴 𝐵)
1714, 16syl 17 1 (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑘𝐴 𝐵)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∈ wcel 2110   ⊆ wss 3935   class class class wbr 5065  (class class class)co 7155  Fincfn 8508  ℂcc 10534  ℝcr 10535  0cc0 10536   + caddc 10539  +∞cpnf 10671   ≤ cle 10675  [,)cico 12739  Σcsu 15041 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5189  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-inf2 9103  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613  ax-pre-sup 10614 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-int 4876  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-isom 6363  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7580  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-1o 8101  df-oadd 8105  df-er 8288  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-fin 8512  df-sup 8905  df-oi 8973  df-card 9367  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-div 11297  df-nn 11638  df-2 11699  df-3 11700  df-n0 11897  df-z 11981  df-uz 12243  df-rp 12389  df-ico 12743  df-fz 12892  df-fzo 13033  df-seq 13369  df-exp 13429  df-hash 13690  df-cj 14457  df-re 14458  df-im 14459  df-sqrt 14593  df-abs 14594  df-clim 14844  df-sum 15042 This theorem is referenced by:  fsumless  15150  fsumle  15153  o1fsum  15167  rrxcph  23994  csbren  24001  trirn  24002  rrxmet  24010  rrxdstprj1  24011  itg1ge0  24286  itg1ge0a  24311  mtest  24991  abelthlem7  25025  abelthlem8  25026  ftalem4  25652  ftalem5  25653  chtge0  25688  vmadivsum  26057  vmadivsumb  26058  rpvmasumlem  26062  dchrvmasumlem2  26073  dchrisum0re  26088  rplogsum  26102  dirith2  26103  mulog2sumlem2  26110  vmalogdivsum2  26113  2vmadivsumlem  26115  selbergb  26124  selberg2b  26127  logdivbnd  26131  selberg3lem2  26133  selberg4lem1  26135  pntrlog2bndlem1  26152  pntrlog2bndlem2  26153  pntrlog2bnd  26159  pntpbnd1  26161  pntlemf  26180  axsegconlem3  26704  ax5seglem3  26716  sibfof  31598  eulerpartlemgc  31620  eulerpartlemb  31626  hgt750leme  31929  rrnmet  35106  rrndstprj1  35107  rrndstprj2  35108  fsumge0cl  41852  stoweidlem26  42310  stoweidlem38  42322  stoweidlem44  42328  etransclem35  42553  rrndistlt  42574  hoiqssbllem2  42904
 Copyright terms: Public domain W3C validator