MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumge0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsumge0 15831
Description: If all of the terms of a finite sum are nonnegative, so is the sum. (Contributed by NM, 26-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumge0.1 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fsumge0.2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
fsumge0.3 ((𝜑𝑘𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
Assertion
Ref Expression
fsumge0 (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑘𝐴 𝐵)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumge0
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rge0ssre 13496 . . . . 5 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
2 ax-resscn 11212 . . . . 5 ℝ ⊆ ℂ
31, 2sstri 3993 . . . 4 (0[,)+∞) ⊆ ℂ
43a1i 11 . . 3 (𝜑 → (0[,)+∞) ⊆ ℂ)
5 ge0addcl 13500 . . . 4 ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
65adantl 481 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞))) → (𝑥 + 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
7 fsumge0.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
8 fsumge0.2 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
9 fsumge0.3 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
10 elrege0 13494 . . . 4 (𝐵 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵))
118, 9, 10sylanbrc 583 . . 3 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
12 0e0icopnf 13498 . . . 4 0 ∈ (0[,)+∞)
1312a1i 11 . . 3 (𝜑 → 0 ∈ (0[,)+∞))
144, 6, 7, 11, 13fsumcllem 15768 . 2 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
15 elrege0 13494 . . 3 𝑘𝐴 𝐵 ∈ (0[,)+∞) ↔ (Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ Σ𝑘𝐴 𝐵))
1615simprbi 496 . 2 𝑘𝐴 𝐵 ∈ (0[,)+∞) → 0 ≤ Σ𝑘𝐴 𝐵)
1714, 16syl 17 1 (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑘𝐴 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wcel 2108  wss 3951   class class class wbr 5143  (class class class)co 7431  Fincfn 8985  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155   + caddc 11158  +∞cpnf 11292  cle 11296  [,)cico 13389  Σcsu 15722
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-ico 13393  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-sum 15723
This theorem is referenced by:  fsumless  15832  fsumle  15835  o1fsum  15849  rrxcph  25426  csbren  25433  trirn  25434  rrxmet  25442  rrxdstprj1  25443  itg1ge0  25721  itg1ge0a  25746  mtest  26447  abelthlem7  26482  abelthlem8  26483  ftalem4  27119  ftalem5  27120  chtge0  27155  vmadivsum  27526  vmadivsumb  27527  rpvmasumlem  27531  dchrvmasumlem2  27542  dchrisum0re  27557  rplogsum  27571  dirith2  27572  mulog2sumlem2  27579  vmalogdivsum2  27582  2vmadivsumlem  27584  selbergb  27593  selberg2b  27596  logdivbnd  27600  selberg3lem2  27602  selberg4lem1  27604  pntrlog2bndlem1  27621  pntrlog2bndlem2  27622  pntrlog2bnd  27628  pntpbnd1  27630  pntlemf  27649  axsegconlem3  28934  ax5seglem3  28946  sibfof  34342  eulerpartlemgc  34364  eulerpartlemb  34370  hgt750leme  34673  rrnmet  37836  rrndstprj1  37837  rrndstprj2  37838  sticksstones6  42152  fsumge0cl  45588  stoweidlem26  46041  stoweidlem38  46053  stoweidlem44  46059  etransclem35  46284  rrndistlt  46305  hoiqssbllem2  46638
  Copyright terms: Public domain W3C validator