Theorem fsumge0 15702

Description: If all of the terms of a finite sum are nonnegative, so is the sum. (Contributed by NM, 26-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumge0.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fsumge0.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
fsumge0.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
fsumge0	⊢ (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumge0

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rge0ssre 13356	. . . . 5 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
2		ax-resscn 11063	. . . . 5 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
3	1, 2	sstri 3939	. . . 4 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℂ
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0[,)+∞) ⊆ ℂ)
5		ge0addcl 13360	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
6	5	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞))) → (𝑥 + 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
7		fsumge0.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
8		fsumge0.2	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
9		fsumge0.3	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
10		elrege0 13354	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵))
11	8, 9, 10	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
12		0e0icopnf 13358	. . . 4 ⊢ 0 ∈ (0[,)+∞)
13	12	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0[,)+∞))
14	4, 6, 7, 11, 13	fsumcllem 15639	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
15		elrege0 13354	. . 3 ⊢ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (0[,)+∞) ↔ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))
16	15	simprbi 496	. 2 ⊢ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (0[,)+∞) → 0 ≤ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
17	14, 16	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3897   class class class wbr 5089  (class class class)co 7346  Fincfn 8869  ℂcc 11004  ℝcr 11005  0cc0 11006   + caddc 11009  +∞cpnf 11143   ≤ cle 11147  [,)cico 13247  Σcsu 15593

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-inf2 9531  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-se 5568  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-sup 9326  df-oi 9396  df-card 9832  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-rp 12891  df-ico 13251  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-seq 13909  df-exp 13969  df-hash 14238  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-clim 15395  df-sum 15594

This theorem is referenced by:  fsumless  15703  fsumle  15706  o1fsum  15720  rrxcph  25319  csbren  25326  trirn  25327  rrxmet  25335  rrxdstprj1  25336  itg1ge0  25614  itg1ge0a  25639  mtest  26340  abelthlem7  26375  abelthlem8  26376  ftalem4  27013  ftalem5  27014  chtge0  27049  vmadivsum  27420  vmadivsumb  27421  rpvmasumlem  27425  dchrvmasumlem2  27436  dchrisum0re  27451  rplogsum  27465  dirith2  27466  mulog2sumlem2  27473  vmalogdivsum2  27476  2vmadivsumlem  27478  selbergb  27487  selberg2b  27490  logdivbnd  27494  selberg3lem2  27496  selberg4lem1  27498  pntrlog2bndlem1  27515  pntrlog2bndlem2  27516  pntrlog2bnd  27522  pntpbnd1  27524  pntlemf  27543  axsegconlem3  28897  ax5seglem3  28909  sibfof  34353  eulerpartlemgc  34375  eulerpartlemb  34381  hgt750leme  34671  rrnmet  37877  rrndstprj1  37878  rrndstprj2  37879  sticksstones6  42192  fsumge0cl  45621  stoweidlem26  46072  stoweidlem38  46084  stoweidlem44  46090  etransclem35  46315  rrndistlt  46336  hoiqssbllem2  46669