Theorem esumfsupre 33057

Description: Formulating an extended sum over integers using the recursive sequence builder. This version is limited to real-valued functions. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Oct-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
esumfsup.1	⊢ Ⅎ𝑘𝐹

Assertion

Ref	Expression
esumfsupre	⊢ (𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) → Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹‘𝑘) = sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ*, < ))

Proof of Theorem esumfsupre

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		icossicc 13409	. . . 4 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
2		fss 6731	. . . 4 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)) → 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞))
3	1, 2	mpan2 689	. . 3 ⊢ (𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) → 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞))
4		esumfsup.1	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘𝐹
5	4	esumfsup 33056	. . 3 ⊢ (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹‘𝑘) = sup(ran seq1( +𝑒 , 𝐹), ℝ*, < ))
6	3, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) → Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹‘𝑘) = sup(ran seq1( +𝑒 , 𝐹), ℝ*, < ))
7		1zzd 12589	. . . . 5 ⊢ (𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) → 1 ∈ ℤ)
8		elnnuz 12862	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ ↔ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘1))
9		ffvelcdm 7080	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑥) ∈ (0[,)+∞))
10	8, 9	sylan2br 595	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘1)) → (𝐹‘𝑥) ∈ (0[,)+∞))
11		ge0addcl 13433	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
12	11	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞))) → (𝑥 + 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
13		rge0ssre 13429	. . . . . . 7 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
14		simprl 769	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞))) → 𝑥 ∈ (0[,)+∞))
15	13, 14	sselid 3979	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞))) → 𝑥 ∈ ℝ)
16		simprr 771	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞))) → 𝑦 ∈ (0[,)+∞))
17	13, 16	sselid 3979	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞))) → 𝑦 ∈ ℝ)
18		rexadd 13207	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 +𝑒 𝑦) = (𝑥 + 𝑦))
19	18	eqcomd 2738	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑥 +𝑒 𝑦))
20	15, 17, 19	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞))) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑥 +𝑒 𝑦))
21	7, 10, 12, 20	seqfeq3 14014	. . . 4 ⊢ (𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) → seq1( + , 𝐹) = seq1( +𝑒 , 𝐹))
22	21	rneqd 5935	. . 3 ⊢ (𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) → ran seq1( + , 𝐹) = ran seq1( +𝑒 , 𝐹))
23	22	supeq1d 9437	. 2 ⊢ (𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) → sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ*, < ) = sup(ran seq1( +𝑒 , 𝐹), ℝ*, < ))
24	6, 23	eqtr4d 2775	1 ⊢ (𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) → Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹‘𝑘) = sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ*, < ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Ⅎwnfc 2883   ⊆ wss 3947  ran crn 5676  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  supcsup 9431  ℝcr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109  +∞cpnf 11241  ℝ^*cxr 11243   < clt 11244  ℕcn 12208  ℤ_≥cuz 12818   +_𝑒 cxad 13086  [,)cico 13322  [,]cicc 13323  seqcseq 13962  Σ^*cesum 33013

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-ioc 13325  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-mod 13831  df-seq 13963  df-exp 14024  df-fac 14230  df-bc 14259  df-hash 14287  df-shft 15010  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-limsup 15411  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629  df-ef 16007  df-sin 16009  df-cos 16010  df-pi 16012  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-rest 17364  df-topn 17365  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-topgen 17385  df-pt 17386  df-prds 17389  df-ordt 17443  df-xrs 17444  df-qtop 17449  df-imas 17450  df-xps 17452  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-ps 18515  df-tsr 18516  df-plusf 18556  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-mhm 18667  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-mulg 18945  df-subg 18997  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-cring 20052  df-subrg 20353  df-abv 20417  df-lmod 20465  df-scaf 20466  df-sra 20777  df-rgmod 20778  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-fbas 20933  df-fg 20934  df-cnfld 20937  df-top 22387  df-topon 22404  df-topsp 22426  df-bases 22440  df-cld 22514  df-ntr 22515  df-cls 22516  df-nei 22593  df-lp 22631  df-perf 22632  df-cn 22722  df-cnp 22723  df-haus 22810  df-tx 23057  df-hmeo 23250  df-fil 23341  df-fm 23433  df-flim 23434  df-flf 23435  df-tmd 23567  df-tgp 23568  df-tsms 23622  df-trg 23655  df-xms 23817  df-ms 23818  df-tms 23819  df-nm 24082  df-ngp 24083  df-nrg 24085  df-nlm 24086  df-ii 24384  df-cncf 24385  df-limc 25374  df-dv 25375  df-log 26056  df-esum 33014

This theorem is referenced by:  voliune  33215