Theorem esumfsupre 34241

Description: Formulating an extended sum over integers using the recursive sequence builder. This version is limited to real-valued functions. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Oct-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
esumfsup.1	⊢ Ⅎ𝑘𝐹

Assertion

Ref	Expression
esumfsupre	⊢ (𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) → Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹‘𝑘) = sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ*, < ))

Proof of Theorem esumfsupre

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		icossicc 13357	. . . 4 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
2		fss 6679	. . . 4 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)) → 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞))
3	1, 2	mpan2 692	. . 3 ⊢ (𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) → 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞))
4		esumfsup.1	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘𝐹
5	4	esumfsup 34240	. . 3 ⊢ (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹‘𝑘) = sup(ran seq1( +𝑒 , 𝐹), ℝ*, < ))
6	3, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) → Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹‘𝑘) = sup(ran seq1( +𝑒 , 𝐹), ℝ*, < ))
7		1zzd 12527	. . . . 5 ⊢ (𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) → 1 ∈ ℤ)
8		elnnuz 12796	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ ↔ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘1))
9		ffvelcdm 7028	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑥) ∈ (0[,)+∞))
10	8, 9	sylan2br 596	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘1)) → (𝐹‘𝑥) ∈ (0[,)+∞))
11		ge0addcl 13381	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
12	11	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞))) → (𝑥 + 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
13		rge0ssre 13377	. . . . . . 7 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
14		simprl 771	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞))) → 𝑥 ∈ (0[,)+∞))
15	13, 14	sselid 3932	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞))) → 𝑥 ∈ ℝ)
16		simprr 773	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞))) → 𝑦 ∈ (0[,)+∞))
17	13, 16	sselid 3932	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞))) → 𝑦 ∈ ℝ)
18		rexadd 13152	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 +𝑒 𝑦) = (𝑥 + 𝑦))
19	18	eqcomd 2743	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑥 +𝑒 𝑦))
20	15, 17, 19	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞))) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑥 +𝑒 𝑦))
21	7, 10, 12, 20	seqfeq3 13980	. . . 4 ⊢ (𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) → seq1( + , 𝐹) = seq1( +𝑒 , 𝐹))
22	21	rneqd 5888	. . 3 ⊢ (𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) → ran seq1( + , 𝐹) = ran seq1( +𝑒 , 𝐹))
23	22	supeq1d 9354	. 2 ⊢ (𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) → sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ*, < ) = sup(ran seq1( +𝑒 , 𝐹), ℝ*, < ))
24	6, 23	eqtr4d 2775	1 ⊢ (𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) → Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹‘𝑘) = sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ*, < ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Ⅎwnfc 2884   ⊆ wss 3902  ran crn 5626  ⟶wf 6489  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  supcsup 9348  ℝcr 11030  0cc0 11031  1c1 11032   + caddc 11034  +∞cpnf 11168  ℝ^*cxr 11170   < clt 11171  ℕcn 12150  ℤ_≥cuz 12756   +_𝑒 cxad 13029  [,)cico 13268  [,]cicc 13269  seqcseq 13929  Σ^*cesum 34197

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7683  ax-inf2 9555  ax-cnex 11087  ax-resscn 11088  ax-1cn 11089  ax-icn 11090  ax-addcl 11091  ax-addrcl 11092  ax-mulcl 11093  ax-mulrcl 11094  ax-mulcom 11095  ax-addass 11096  ax-mulass 11097  ax-distr 11098  ax-i2m1 11099  ax-1ne0 11100  ax-1rid 11101  ax-rnegex 11102  ax-rrecex 11103  ax-cnre 11104  ax-pre-lttri 11105  ax-pre-lttrn 11106  ax-pre-ltadd 11107  ax-pre-mulgt0 11108  ax-pre-sup 11109  ax-addf 11110  ax-mulf 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-iin 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7625  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-supp 8106  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-1o 8400  df-2o 8401  df-er 8638  df-map 8770  df-pm 8771  df-ixp 8841  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-fin 8892  df-fsupp 9270  df-fi 9319  df-sup 9350  df-inf 9351  df-oi 9420  df-card 9856  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-div 11800  df-nn 12151  df-2 12213  df-3 12214  df-4 12215  df-5 12216  df-6 12217  df-7 12218  df-8 12219  df-9 12220  df-n0 12407  df-z 12494  df-dec 12613  df-uz 12757  df-q 12867  df-rp 12911  df-xneg 13031  df-xadd 13032  df-xmul 13033  df-ioo 13270  df-ioc 13271  df-ico 13272  df-icc 13273  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-fl 13717  df-mod 13795  df-seq 13930  df-exp 13990  df-fac 14202  df-bc 14231  df-hash 14259  df-shft 14995  df-cj 15027  df-re 15028  df-im 15029  df-sqrt 15163  df-abs 15164  df-limsup 15399  df-clim 15416  df-rlim 15417  df-sum 15615  df-ef 15995  df-sin 15997  df-cos 15998  df-pi 16000  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17142  df-ress 17163  df-plusg 17195  df-mulr 17196  df-starv 17197  df-sca 17198  df-vsca 17199  df-ip 17200  df-tset 17201  df-ple 17202  df-ds 17204  df-unif 17205  df-hom 17206  df-cco 17207  df-rest 17347  df-topn 17348  df-0g 17366  df-gsum 17367  df-topgen 17368  df-pt 17369  df-prds 17372  df-ordt 17427  df-xrs 17428  df-qtop 17433  df-imas 17434  df-xps 17436  df-mre 17510  df-mrc 17511  df-acs 17513  df-ps 18494  df-tsr 18495  df-plusf 18569  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-mhm 18713  df-submnd 18714  df-grp 18871  df-minusg 18872  df-sbg 18873  df-mulg 19003  df-subg 19058  df-cntz 19251  df-cmn 19716  df-abl 19717  df-mgp 20081  df-rng 20093  df-ur 20122  df-ring 20175  df-cring 20176  df-subrng 20484  df-subrg 20508  df-abv 20747  df-lmod 20818  df-scaf 20819  df-sra 21130  df-rgmod 21131  df-psmet 21306  df-xmet 21307  df-met 21308  df-bl 21309  df-mopn 21310  df-fbas 21311  df-fg 21312  df-cnfld 21315  df-top 22843  df-topon 22860  df-topsp 22882  df-bases 22895  df-cld 22968  df-ntr 22969  df-cls 22970  df-nei 23047  df-lp 23085  df-perf 23086  df-cn 23176  df-cnp 23177  df-haus 23264  df-tx 23511  df-hmeo 23704  df-fil 23795  df-fm 23887  df-flim 23888  df-flf 23889  df-tmd 24021  df-tgp 24022  df-tsms 24076  df-trg 24109  df-xms 24269  df-ms 24270  df-tms 24271  df-nm 24531  df-ngp 24532  df-nrg 24534  df-nlm 24535  df-ii 24831  df-cncf 24832  df-limc 25828  df-dv 25829  df-log 26526  df-esum 34198

This theorem is referenced by:  voliune  34399