Theorem ovolsf 25400

Description: Closure for the partial sums of the interval length function. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ovolfs.1	⊢ 𝐺 = ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹)
ovolfs.2	⊢ 𝑆 = seq1( + , 𝐺)

Assertion

Ref	Expression
ovolsf	⊢ (𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → 𝑆:ℕ⟶(0[,)+∞))

Proof of Theorem ovolsf

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 12775	. . 3 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2		1zzd 12503	. . 3 ⊢ (𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → 1 ∈ ℤ)
3		ovolfs.1	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹)
4	3	ovolfsf 25399	. . . 4 ⊢ (𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → 𝐺:ℕ⟶(0[,)+∞))
5	4	ffvelcdmda 7017	. . 3 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑥) ∈ (0[,)+∞))
6		ge0addcl 13360	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
7	6	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞))) → (𝑥 + 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
8	1, 2, 5, 7	seqf 13930	. 2 ⊢ (𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → seq1( + , 𝐺):ℕ⟶(0[,)+∞))
9		ovolfs.2	. . 3 ⊢ 𝑆 = seq1( + , 𝐺)
10	9	feq1i 6642	. 2 ⊢ (𝑆:ℕ⟶(0[,)+∞) ↔ seq1( + , 𝐺):ℕ⟶(0[,)+∞))
11	8, 10	sylibr 234	1 ⊢ (𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → 𝑆:ℕ⟶(0[,)+∞))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ∩ cin 3896   × cxp 5612   ∘ ccom 5618  ⟶wf 6477  (class class class)co 7346  ℝcr 11005  0cc0 11006  1c1 11007   + caddc 11009  +∞cpnf 11143   ≤ cle 11147   − cmin 11344  ℕcn 12125  [,)cico 13247  seqcseq 13908  abscabs 15141

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-sup 9326  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-rp 12891  df-ico 13251  df-fz 13408  df-seq 13909  df-exp 13969  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143

This theorem is referenced by:  elovolm  25403  ovolmge0  25405  ovolgelb  25408  ovollb2lem  25416  ovollb2  25417  ovolunlem1a  25424  ovolunlem1  25425  ovoliunlem1  25430  ovoliunlem2  25431  ovolscalem1  25441  ovolicc1  25444  ovolicc2lem4  25448  ioombl1lem2  25487  ioombl1lem4  25489  uniioovol  25507  uniiccvol  25508  uniioombllem1  25509  uniioombllem2  25511  uniioombllem3  25513  uniioombllem6  25516  mblfinlem3  37709  mblfinlem4  37710  ismblfin  37711