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Theorem itg2addnc 37203
Description: Alternate proof of itg2add 25705 using the "buffer zone" definition from the first lemma, in which every simple function in the set is divided into to by dividing its buffer by a third and finding the largest allowable function locked to a grid laid out in increments of the new, smaller buffer up to the original simple function. The measurability of this function follows from that of the augend, and subtracting it from the original simple function yields another simple function by i1fsub 25654, which is allowable by the fact that the grid must have a mark between one third and two thirds the original buffer. This has two advantages over the current approach: first, eliminating ax-cc 10456, and second, weakening the measurability hypothesis to only the augend. (Contributed by Brendan Leahy, 31-Oct-2017.) (Revised by Brendan Leahy, 13-Mar-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2addnc.f1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ MblFn)
itg2addnc.f2 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆ(0[,)+∞))
itg2addnc.f3 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜πΉ) ∈ ℝ)
itg2addnc.g2 (πœ‘ β†’ 𝐺:β„βŸΆ(0[,)+∞))
itg2addnc.g3 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜πΊ) ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
itg2addnc (πœ‘ β†’ (∫2β€˜(𝐹 ∘f + 𝐺)) = ((∫2β€˜πΉ) + (∫2β€˜πΊ)))
Proof of Theorem itg2addnc
Dummy variables 𝑑 𝑠 𝑒 π‘₯ 𝑦 𝑧 𝑓 𝑔 β„Ž π‘Ž 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprr 771 . . . . . . 7 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ (βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))) β†’ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))
2 itg1cl 25630 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ dom ∫1 β†’ (∫1β€˜π‘“) ∈ ℝ)
32adantr 479 . . . . . . 7 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ (βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))) β†’ (∫1β€˜π‘“) ∈ ℝ)
41, 3eqeltrd 2825 . . . . . 6 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ (βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
54rexlimiva 3137 . . . . 5 (βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
65abssi 4059 . . . 4 {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))} βŠ† ℝ
76a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))} βŠ† ℝ)
8 i1f0 25632 . . . . . 6 (ℝ Γ— {0}) ∈ dom ∫1
9 3nn 12319 . . . . . . . 8 3 ∈ β„•
10 nnrp 13015 . . . . . . . 8 (3 ∈ β„• β†’ 3 ∈ ℝ+)
11 ne0i 4330 . . . . . . . 8 (3 ∈ ℝ+ β†’ ℝ+ β‰  βˆ…)
129, 10, 11mp2b 10 . . . . . . 7 ℝ+ β‰  βˆ…
13 itg2addnc.f2 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆ(0[,)+∞))
1413ffvelcdmda 7088 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ (0[,)+∞))
15 elrege0 13461 . . . . . . . . . . . 12 ((πΉβ€˜π‘§) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((πΉβ€˜π‘§) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘§)))
1614, 15sylib 217 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘§)))
1716simprd 494 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘§))
1817ralrimiva 3136 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘§ ∈ ℝ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘§))
19 reex 11227 . . . . . . . . . . 11 ℝ ∈ V
2019a1i 11 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ℝ ∈ V)
21 c0ex 11236 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ V
2221a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ 0 ∈ V)
23 eqidd 2726 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ ℝ ↦ 0) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ 0))
2413feqmptd 6961 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℝ ↦ (πΉβ€˜π‘§)))
2520, 22, 14, 23, 24ofrfval2 7702 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝑧 ∈ ℝ ↦ 0) ∘r ≀ 𝐹 ↔ βˆ€π‘§ ∈ ℝ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘§)))
2618, 25mpbird 256 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ ℝ ↦ 0) ∘r ≀ 𝐹)
2726ralrimivw 3140 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ 0) ∘r ≀ 𝐹)
28 r19.2z 4490 . . . . . . 7 ((ℝ+ β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ 0) ∘r ≀ 𝐹) β†’ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ 0) ∘r ≀ 𝐹)
2912, 27, 28sylancr 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ 0) ∘r ≀ 𝐹)
30 fveq2 6891 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = (ℝ Γ— {0}) β†’ (∫1β€˜π‘“) = (∫1β€˜(ℝ Γ— {0})))
31 itg10 25633 . . . . . . . . . 10 (∫1β€˜(ℝ Γ— {0})) = 0
3230, 31eqtr2di 2782 . . . . . . . . 9 (𝑓 = (ℝ Γ— {0}) β†’ 0 = (∫1β€˜π‘“))
3332biantrud 530 . . . . . . . 8 (𝑓 = (ℝ Γ— {0}) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ↔ (βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ 0 = (∫1β€˜π‘“))))
34 fveq1 6890 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 = (ℝ Γ— {0}) β†’ (π‘“β€˜π‘§) = ((ℝ Γ— {0})β€˜π‘§))
3521fvconst2 7211 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ ℝ β†’ ((ℝ Γ— {0})β€˜π‘§) = 0)
3634, 35sylan9eq 2785 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓 = (ℝ Γ— {0}) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (π‘“β€˜π‘§) = 0)
3736iftrued 4532 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓 = (ℝ Γ— {0}) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐)) = 0)
3837mpteq2dva 5243 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = (ℝ Γ— {0}) β†’ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ 0))
3938breq1d 5153 . . . . . . . . 9 (𝑓 = (ℝ Γ— {0}) β†’ ((𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ↔ (𝑧 ∈ ℝ ↦ 0) ∘r ≀ 𝐹))
4039rexbidv 3169 . . . . . . . 8 (𝑓 = (ℝ Γ— {0}) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ↔ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ 0) ∘r ≀ 𝐹))
4133, 40bitr3d 280 . . . . . . 7 (𝑓 = (ℝ Γ— {0}) β†’ ((βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ 0 = (∫1β€˜π‘“)) ↔ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ 0) ∘r ≀ 𝐹))
4241rspcev 3602 . . . . . 6 (((ℝ Γ— {0}) ∈ dom ∫1 ∧ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ 0) ∘r ≀ 𝐹) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ 0 = (∫1β€˜π‘“)))
438, 29, 42sylancr 585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ 0 = (∫1β€˜π‘“)))
44 eqeq1 2729 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 0 β†’ (π‘₯ = (∫1β€˜π‘“) ↔ 0 = (∫1β€˜π‘“)))
4544anbi2d 628 . . . . . . 7 (π‘₯ = 0 β†’ ((βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“)) ↔ (βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ 0 = (∫1β€˜π‘“))))
4645rexbidv 3169 . . . . . 6 (π‘₯ = 0 β†’ (βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“)) ↔ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ 0 = (∫1β€˜π‘“))))
4721, 46elab 3660 . . . . 5 (0 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))} ↔ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ 0 = (∫1β€˜π‘“)))
4843, 47sylibr 233 . . . 4 (πœ‘ β†’ 0 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))})
4948ne0d 4331 . . 3 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))} β‰  βˆ…)
50 icossicc 13443 . . . . . . 7 (0[,)+∞) βŠ† (0[,]+∞)
51 fss 6733 . . . . . . 7 ((𝐹:β„βŸΆ(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) βŠ† (0[,]+∞)) β†’ 𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞))
5250, 51mpan2 689 . . . . . 6 (𝐹:β„βŸΆ(0[,)+∞) β†’ 𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞))
53 eqid 2725 . . . . . . 7 {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))} = {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}
5453itg2addnclem 37200 . . . . . 6 (𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) β†’ (∫2β€˜πΉ) = sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}, ℝ*, < ))
5513, 52, 543syl 18 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜πΉ) = sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}, ℝ*, < ))
56 itg2addnc.f3 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜πΉ) ∈ ℝ)
5755, 56eqeltrrd 2826 . . . 4 (πœ‘ β†’ sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
58 ressxr 11286 . . . . . . 7 ℝ βŠ† ℝ*
596, 58sstri 3982 . . . . . 6 {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))} βŠ† ℝ*
60 supxrub 13333 . . . . . 6 (({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))} βŠ† ℝ* ∧ 𝑏 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}) β†’ 𝑏 ≀ sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}, ℝ*, < ))
6159, 60mpan 688 . . . . 5 (𝑏 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))} β†’ 𝑏 ≀ sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}, ℝ*, < ))
6261rgen 3053 . . . 4 βˆ€π‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}𝑏 ≀ sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}, ℝ*, < )
63 brralrspcev 5203 . . . 4 ((sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}, ℝ*, < ) ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}𝑏 ≀ sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}, ℝ*, < )) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ βˆ€π‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}𝑏 ≀ π‘Ž)
6457, 62, 63sylancl 584 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ βˆ€π‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}𝑏 ≀ π‘Ž)
65 simprr 771 . . . . . . 7 ((𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ (βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))) β†’ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))
66 itg1cl 25630 . . . . . . . 8 (𝑔 ∈ dom ∫1 β†’ (∫1β€˜π‘”) ∈ ℝ)
6766adantr 479 . . . . . . 7 ((𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ (βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))) β†’ (∫1β€˜π‘”) ∈ ℝ)
6865, 67eqeltrd 2825 . . . . . 6 ((𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ (βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
6968rexlimiva 3137 . . . . 5 (βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
7069abssi 4059 . . . 4 {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))} βŠ† ℝ
7170a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))} βŠ† ℝ)
72 itg2addnc.g2 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐺:β„βŸΆ(0[,)+∞))
7372ffvelcdmda 7088 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (πΊβ€˜π‘§) ∈ (0[,)+∞))
74 elrege0 13461 . . . . . . . . . . . 12 ((πΊβ€˜π‘§) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((πΊβ€˜π‘§) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (πΊβ€˜π‘§)))
7573, 74sylib 217 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ ((πΊβ€˜π‘§) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (πΊβ€˜π‘§)))
7675simprd 494 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ 0 ≀ (πΊβ€˜π‘§))
7776ralrimiva 3136 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘§ ∈ ℝ 0 ≀ (πΊβ€˜π‘§))
7872feqmptd 6961 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐺 = (𝑧 ∈ ℝ ↦ (πΊβ€˜π‘§)))
7920, 22, 73, 23, 78ofrfval2 7702 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝑧 ∈ ℝ ↦ 0) ∘r ≀ 𝐺 ↔ βˆ€π‘§ ∈ ℝ 0 ≀ (πΊβ€˜π‘§)))
8077, 79mpbird 256 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ ℝ ↦ 0) ∘r ≀ 𝐺)
8180ralrimivw 3140 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ 0) ∘r ≀ 𝐺)
82 r19.2z 4490 . . . . . . 7 ((ℝ+ β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ 0) ∘r ≀ 𝐺) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ 0) ∘r ≀ 𝐺)
8312, 81, 82sylancr 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ 0) ∘r ≀ 𝐺)
84 fveq2 6891 . . . . . . . . . 10 (𝑔 = (ℝ Γ— {0}) β†’ (∫1β€˜π‘”) = (∫1β€˜(ℝ Γ— {0})))
8584, 31eqtr2di 2782 . . . . . . . . 9 (𝑔 = (ℝ Γ— {0}) β†’ 0 = (∫1β€˜π‘”))
8685biantrud 530 . . . . . . . 8 (𝑔 = (ℝ Γ— {0}) β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ↔ (βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ 0 = (∫1β€˜π‘”))))
87 fveq1 6890 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑔 = (ℝ Γ— {0}) β†’ (π‘”β€˜π‘§) = ((ℝ Γ— {0})β€˜π‘§))
8887, 35sylan9eq 2785 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑔 = (ℝ Γ— {0}) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (π‘”β€˜π‘§) = 0)
8988iftrued 4532 . . . . . . . . . . 11 ((𝑔 = (ℝ Γ— {0}) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑)) = 0)
9089mpteq2dva 5243 . . . . . . . . . 10 (𝑔 = (ℝ Γ— {0}) β†’ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ 0))
9190breq1d 5153 . . . . . . . . 9 (𝑔 = (ℝ Γ— {0}) β†’ ((𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ↔ (𝑧 ∈ ℝ ↦ 0) ∘r ≀ 𝐺))
9291rexbidv 3169 . . . . . . . 8 (𝑔 = (ℝ Γ— {0}) β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ 0) ∘r ≀ 𝐺))
9386, 92bitr3d 280 . . . . . . 7 (𝑔 = (ℝ Γ— {0}) β†’ ((βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ 0 = (∫1β€˜π‘”)) ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ 0) ∘r ≀ 𝐺))
9493rspcev 3602 . . . . . 6 (((ℝ Γ— {0}) ∈ dom ∫1 ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ 0) ∘r ≀ 𝐺) β†’ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ 0 = (∫1β€˜π‘”)))
958, 83, 94sylancr 585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ 0 = (∫1β€˜π‘”)))
96 eqeq1 2729 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 0 β†’ (π‘₯ = (∫1β€˜π‘”) ↔ 0 = (∫1β€˜π‘”)))
9796anbi2d 628 . . . . . . 7 (π‘₯ = 0 β†’ ((βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”)) ↔ (βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ 0 = (∫1β€˜π‘”))))
9897rexbidv 3169 . . . . . 6 (π‘₯ = 0 β†’ (βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”)) ↔ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ 0 = (∫1β€˜π‘”))))
9921, 98elab 3660 . . . . 5 (0 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))} ↔ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ 0 = (∫1β€˜π‘”)))
10095, 99sylibr 233 . . . 4 (πœ‘ β†’ 0 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))})
101100ne0d 4331 . . 3 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))} β‰  βˆ…)
102 fss 6733 . . . . . . 7 ((𝐺:β„βŸΆ(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) βŠ† (0[,]+∞)) β†’ 𝐺:β„βŸΆ(0[,]+∞))
10350, 102mpan2 689 . . . . . 6 (𝐺:β„βŸΆ(0[,)+∞) β†’ 𝐺:β„βŸΆ(0[,]+∞))
104 eqid 2725 . . . . . . 7 {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))} = {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}
105104itg2addnclem 37200 . . . . . 6 (𝐺:β„βŸΆ(0[,]+∞) β†’ (∫2β€˜πΊ) = sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}, ℝ*, < ))
10672, 103, 1053syl 18 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜πΊ) = sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}, ℝ*, < ))
107 itg2addnc.g3 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜πΊ) ∈ ℝ)
108106, 107eqeltrrd 2826 . . . 4 (πœ‘ β†’ sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
10970, 58sstri 3982 . . . . . 6 {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))} βŠ† ℝ*
110 supxrub 13333 . . . . . 6 (({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))} βŠ† ℝ* ∧ 𝑏 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}) β†’ 𝑏 ≀ sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}, ℝ*, < ))
111109, 110mpan 688 . . . . 5 (𝑏 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))} β†’ 𝑏 ≀ sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}, ℝ*, < ))
112111rgen 3053 . . . 4 βˆ€π‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}𝑏 ≀ sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}, ℝ*, < )
113 brralrspcev 5203 . . . 4 ((sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}, ℝ*, < ) ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}𝑏 ≀ sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}, ℝ*, < )) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ βˆ€π‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}𝑏 ≀ π‘Ž)
114108, 112, 113sylancl 584 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ βˆ€π‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}𝑏 ≀ π‘Ž)
115 eqid 2725 . . 3 {𝑠 ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}βˆƒπ‘’ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}𝑠 = (𝑑 + 𝑒)} = {𝑠 ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}βˆƒπ‘’ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}𝑠 = (𝑑 + 𝑒)}
1167, 49, 64, 71, 101, 114, 115supadd 12210 . 2 (πœ‘ β†’ (sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}, ℝ, < ) + sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}, ℝ, < )) = sup({𝑠 ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}βˆƒπ‘’ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}𝑠 = (𝑑 + 𝑒)}, ℝ, < ))
117 supxrre 13336 . . . . 5 (({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))} βŠ† ℝ ∧ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))} β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ βˆ€π‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}𝑏 ≀ π‘Ž) β†’ sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}, ℝ*, < ) = sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}, ℝ, < ))
1187, 49, 64, 117syl3anc 1368 . . . 4 (πœ‘ β†’ sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}, ℝ*, < ) = sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}, ℝ, < ))
11955, 118eqtrd 2765 . . 3 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜πΉ) = sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}, ℝ, < ))
120 supxrre 13336 . . . . 5 (({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))} βŠ† ℝ ∧ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))} β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ βˆ€π‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}𝑏 ≀ π‘Ž) β†’ sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}, ℝ*, < ) = sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}, ℝ, < ))
12171, 101, 114, 120syl3anc 1368 . . . 4 (πœ‘ β†’ sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}, ℝ*, < ) = sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}, ℝ, < ))
122106, 121eqtrd 2765 . . 3 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜πΊ) = sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}, ℝ, < ))
123119, 122oveq12d 7433 . 2 (πœ‘ β†’ ((∫2β€˜πΉ) + (∫2β€˜πΊ)) = (sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}, ℝ, < ) + sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}, ℝ, < )))
124 ge0addcl 13467 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) β†’ (π‘₯ + 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
12550, 124sselid 3970 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) β†’ (π‘₯ + 𝑦) ∈ (0[,]+∞))
126125adantl 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞))) β†’ (π‘₯ + 𝑦) ∈ (0[,]+∞))
127 inidm 4213 . . . . 5 (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
128126, 13, 72, 20, 20, 127off 7699 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘f + 𝐺):β„βŸΆ(0[,]+∞))
129 eqid 2725 . . . . 5 {𝑠 ∣ βˆƒβ„Ž ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((β„Žβ€˜π‘§) = 0, 0, ((β„Žβ€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ (𝐹 ∘f + 𝐺) ∧ 𝑠 = (∫1β€˜β„Ž))} = {𝑠 ∣ βˆƒβ„Ž ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((β„Žβ€˜π‘§) = 0, 0, ((β„Žβ€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ (𝐹 ∘f + 𝐺) ∧ 𝑠 = (∫1β€˜β„Ž))}
130129itg2addnclem 37200 . . . 4 ((𝐹 ∘f + 𝐺):β„βŸΆ(0[,]+∞) β†’ (∫2β€˜(𝐹 ∘f + 𝐺)) = sup({𝑠 ∣ βˆƒβ„Ž ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((β„Žβ€˜π‘§) = 0, 0, ((β„Žβ€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ (𝐹 ∘f + 𝐺) ∧ 𝑠 = (∫1β€˜β„Ž))}, ℝ*, < ))
131128, 130syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜(𝐹 ∘f + 𝐺)) = sup({𝑠 ∣ βˆƒβ„Ž ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((β„Žβ€˜π‘§) = 0, 0, ((β„Žβ€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ (𝐹 ∘f + 𝐺) ∧ 𝑠 = (∫1β€˜β„Ž))}, ℝ*, < ))
132 itg2addnc.f1 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ MblFn)
133132, 13, 56, 72, 107itg2addnclem3 37202 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (βˆƒβ„Ž ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((β„Žβ€˜π‘§) = 0, 0, ((β„Žβ€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ (𝐹 ∘f + 𝐺) ∧ 𝑠 = (∫1β€˜β„Ž)) β†’ βˆƒπ‘‘βˆƒπ‘’(βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1((βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑑 = (∫1β€˜π‘“)) ∧ (βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ 𝑒 = (∫1β€˜π‘”))) ∧ 𝑠 = (𝑑 + 𝑒))))
134 simpl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1) β†’ 𝑓 ∈ dom ∫1)
135 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1) β†’ 𝑔 ∈ dom ∫1)
136134, 135i1fadd 25640 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1) β†’ (𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ dom ∫1)
137136ad3antlr 729 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ ((βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑑 = (∫1β€˜π‘“)) ∧ (βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ 𝑒 = (∫1β€˜π‘”)))) ∧ 𝑠 = (𝑑 + 𝑒)) β†’ (𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ dom ∫1)
138 reeanv 3217 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ ((𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺) ↔ (βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺))
139138biimpri 227 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺) β†’ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ ((𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺))
140139ad2ant2r 745 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑑 = (∫1β€˜π‘“)) ∧ (βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ 𝑒 = (∫1β€˜π‘”))) β†’ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ ((𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺))
141 ifcl 4569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) β†’ if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑) ∈ ℝ+)
142141ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺)) β†’ if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑) ∈ ℝ+)
143 breq1 5146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (0 = if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐)) β†’ (0 ≀ (πΉβ€˜π‘§) ↔ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐)) ≀ (πΉβ€˜π‘§)))
144143anbi1d 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (0 = if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐)) β†’ ((0 ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑)) ≀ (πΊβ€˜π‘§)) ↔ (if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐)) ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑)) ≀ (πΊβ€˜π‘§))))
145144imbi1d 340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (0 = if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐)) β†’ (((0 ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑)) ≀ (πΊβ€˜π‘§)) β†’ if(((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) = 0, 0, (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑))) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§))) ↔ ((if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐)) ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑)) ≀ (πΊβ€˜π‘§)) β†’ if(((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) = 0, 0, (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑))) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§)))))
146 breq1 5146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐) = if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐)) β†’ (((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐) ≀ (πΉβ€˜π‘§) ↔ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐)) ≀ (πΉβ€˜π‘§)))
147146anbi1d 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐) = if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐)) β†’ ((((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐) ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑)) ≀ (πΊβ€˜π‘§)) ↔ (if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐)) ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑)) ≀ (πΊβ€˜π‘§))))
148147imbi1d 340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐) = if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐)) β†’ (((((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐) ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑)) ≀ (πΊβ€˜π‘§)) β†’ if(((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) = 0, 0, (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑))) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§))) ↔ ((if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐)) ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑)) ≀ (πΊβ€˜π‘§)) β†’ if(((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) = 0, 0, (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑))) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§)))))
149 breq1 5146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (0 = if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑)) β†’ (0 ≀ (πΊβ€˜π‘§) ↔ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑)) ≀ (πΊβ€˜π‘§)))
150149anbi2d 628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (0 = if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑)) β†’ ((0 ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ 0 ≀ (πΊβ€˜π‘§)) ↔ (0 ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑)) ≀ (πΊβ€˜π‘§))))
151150imbi1d 340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (0 = if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑)) β†’ (((0 ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ 0 ≀ (πΊβ€˜π‘§)) β†’ if(((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) = 0, 0, (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑))) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§))) ↔ ((0 ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑)) ≀ (πΊβ€˜π‘§)) β†’ if(((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) = 0, 0, (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑))) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§)))))
152 breq1 5146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑) = if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑)) β†’ (((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑) ≀ (πΊβ€˜π‘§) ↔ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑)) ≀ (πΊβ€˜π‘§)))
153152anbi2d 628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑) = if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑)) β†’ ((0 ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑) ≀ (πΊβ€˜π‘§)) ↔ (0 ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑)) ≀ (πΊβ€˜π‘§))))
154153imbi1d 340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑) = if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑)) β†’ (((0 ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑) ≀ (πΊβ€˜π‘§)) β†’ if(((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) = 0, 0, (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑))) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§))) ↔ ((0 ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑)) ≀ (πΊβ€˜π‘§)) β†’ if(((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) = 0, 0, (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑))) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§)))))
155 oveq12 7424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((π‘“β€˜π‘§) = 0 ∧ (π‘”β€˜π‘§) = 0) β†’ ((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) = (0 + 0))
156 00id 11417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (0 + 0) = 0
157155, 156eqtrdi 2781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((π‘“β€˜π‘§) = 0 ∧ (π‘”β€˜π‘§) = 0) β†’ ((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) = 0)
158157iftrued 4532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((π‘“β€˜π‘§) = 0 ∧ (π‘”β€˜π‘§) = 0) β†’ if(((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) = 0, 0, (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑))) = 0)
159158adantll 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (π‘“β€˜π‘§) = 0) ∧ (π‘”β€˜π‘§) = 0) β†’ if(((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) = 0, 0, (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑))) = 0)
160 simpll 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) β†’ πœ‘)
16115simplbi 496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((πΉβ€˜π‘§) ∈ (0[,)+∞) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ ℝ)
16214, 161syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ ℝ)
16374simplbi 496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((πΊβ€˜π‘§) ∈ (0[,)+∞) β†’ (πΊβ€˜π‘§) ∈ ℝ)
16473, 163syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (πΊβ€˜π‘§) ∈ ℝ)
165162, 164, 17, 76addge0d 11818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ 0 ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§)))
166160, 165sylan 578 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ 0 ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§)))
167166ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (π‘“β€˜π‘§) = 0) ∧ (π‘”β€˜π‘§) = 0) β†’ 0 ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§)))
168159, 167eqbrtrd 5165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (π‘“β€˜π‘§) = 0) ∧ (π‘”β€˜π‘§) = 0) β†’ if(((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) = 0, 0, (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑))) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§)))
169168a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (π‘“β€˜π‘§) = 0) ∧ (π‘”β€˜π‘§) = 0) β†’ ((0 ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ 0 ≀ (πΊβ€˜π‘§)) β†’ if(((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) = 0, 0, (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑))) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§))))
170166ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (π‘“β€˜π‘§) = 0) ∧ ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑) ≀ (πΊβ€˜π‘§)) β†’ 0 ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§)))
171 oveq1 7422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((π‘“β€˜π‘§) = 0 β†’ ((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) = (0 + (π‘”β€˜π‘§)))
172 simplrr 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) β†’ 𝑔 ∈ dom ∫1)
173 i1ff 25621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑔 ∈ dom ∫1 β†’ 𝑔:β„βŸΆβ„)
174173ffvelcdmda 7088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (π‘”β€˜π‘§) ∈ ℝ)
175172, 174sylan 578 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (π‘”β€˜π‘§) ∈ ℝ)
176175recnd 11270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (π‘”β€˜π‘§) ∈ β„‚)
177176addlidd 11443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (0 + (π‘”β€˜π‘§)) = (π‘”β€˜π‘§))
178171, 177sylan9eqr 2787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (π‘“β€˜π‘§) = 0) β†’ ((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) = (π‘”β€˜π‘§))
179178oveq1d 7430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (π‘“β€˜π‘§) = 0) β†’ (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)) = ((π‘”β€˜π‘§) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)))
180179adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (π‘“β€˜π‘§) = 0) ∧ ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑) ≀ (πΊβ€˜π‘§)) β†’ (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)) = ((π‘”β€˜π‘§) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)))
181141rpred 13046 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) β†’ if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑) ∈ ℝ)
182181ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑) ∈ ℝ)
183175, 182readdcld 11271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ ((π‘”β€˜π‘§) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)) ∈ ℝ)
184183adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑) ≀ (πΊβ€˜π‘§)) β†’ ((π‘”β€˜π‘§) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)) ∈ ℝ)
185160, 164sylan 578 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (πΊβ€˜π‘§) ∈ ℝ)
186185adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑) ≀ (πΊβ€˜π‘§)) β†’ (πΊβ€˜π‘§) ∈ ℝ)
187160, 162sylan 578 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ ℝ)
188187, 185readdcld 11271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§)) ∈ ℝ)
189188adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑) ≀ (πΊβ€˜π‘§)) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§)) ∈ ℝ)
190 simplrr 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ 𝑑 ∈ ℝ+)
191190rpred 13046 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ 𝑑 ∈ ℝ)
192 rpre 13012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑐 ∈ ℝ+ β†’ 𝑐 ∈ ℝ)
193 rpre 13012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑑 ∈ ℝ+ β†’ 𝑑 ∈ ℝ)
194 min2 13199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑) ≀ 𝑑)
195192, 193, 194syl2an 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) β†’ if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑) ≀ 𝑑)
196195ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑) ≀ 𝑑)
197182, 191, 175, 196leadd2dd 11857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ ((π‘”β€˜π‘§) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)) ≀ ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))
198175, 191readdcld 11271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑) ∈ ℝ)
199 letr 11336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((π‘”β€˜π‘§) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)) ∈ ℝ ∧ ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑) ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘§) ∈ ℝ) β†’ ((((π‘”β€˜π‘§) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)) ≀ ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑) ∧ ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑) ≀ (πΊβ€˜π‘§)) β†’ ((π‘”β€˜π‘§) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)) ≀ (πΊβ€˜π‘§)))
200183, 198, 185, 199syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ ((((π‘”β€˜π‘§) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)) ≀ ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑) ∧ ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑) ≀ (πΊβ€˜π‘§)) β†’ ((π‘”β€˜π‘§) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)) ≀ (πΊβ€˜π‘§)))
201197, 200mpand 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑) ≀ (πΊβ€˜π‘§) β†’ ((π‘”β€˜π‘§) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)) ≀ (πΊβ€˜π‘§)))
202201imp 405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑) ≀ (πΊβ€˜π‘§)) β†’ ((π‘”β€˜π‘§) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)) ≀ (πΊβ€˜π‘§))
203164, 162addge02d 11831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (0 ≀ (πΉβ€˜π‘§) ↔ (πΊβ€˜π‘§) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§))))
20417, 203mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (πΊβ€˜π‘§) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§)))
205160, 204sylan 578 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (πΊβ€˜π‘§) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§)))
206205adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑) ≀ (πΊβ€˜π‘§)) β†’ (πΊβ€˜π‘§) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§)))
207184, 186, 189, 202, 206letrd 11399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑) ≀ (πΊβ€˜π‘§)) β†’ ((π‘”β€˜π‘§) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§)))
208207adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (π‘“β€˜π‘§) = 0) ∧ ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑) ≀ (πΊβ€˜π‘§)) β†’ ((π‘”β€˜π‘§) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§)))
209180, 208eqbrtrd 5165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (π‘“β€˜π‘§) = 0) ∧ ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑) ≀ (πΊβ€˜π‘§)) β†’ (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§)))
210 breq1 5146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (0 = if(((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) = 0, 0, (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑))) β†’ (0 ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§)) ↔ if(((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) = 0, 0, (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑))) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§))))
211 breq1 5146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)) = if(((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) = 0, 0, (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑))) β†’ ((((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§)) ↔ if(((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) = 0, 0, (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑))) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§))))
212210, 211ifboth 4563 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((0 ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§)) ∧ (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§))) β†’ if(((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) = 0, 0, (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑))) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§)))
213170, 209, 212syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (π‘“β€˜π‘§) = 0) ∧ ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑) ≀ (πΊβ€˜π‘§)) β†’ if(((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) = 0, 0, (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑))) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§)))
214213ex 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (π‘“β€˜π‘§) = 0) β†’ (((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑) ≀ (πΊβ€˜π‘§) β†’ if(((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) = 0, 0, (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑))) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§))))
215214adantld 489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (π‘“β€˜π‘§) = 0) β†’ ((0 ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑) ≀ (πΊβ€˜π‘§)) β†’ if(((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) = 0, 0, (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑))) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§))))
216215adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (π‘“β€˜π‘§) = 0) ∧ Β¬ (π‘”β€˜π‘§) = 0) β†’ ((0 ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑) ≀ (πΊβ€˜π‘§)) β†’ if(((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) = 0, 0, (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑))) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§))))
217151, 154, 169, 216ifbothda 4562 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (π‘“β€˜π‘§) = 0) β†’ ((0 ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑)) ≀ (πΊβ€˜π‘§)) β†’ if(((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) = 0, 0, (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑))) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§))))
218149anbi2d 628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (0 = if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑)) β†’ ((((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐) ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ 0 ≀ (πΊβ€˜π‘§)) ↔ (((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐) ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑)) ≀ (πΊβ€˜π‘§))))
219218imbi1d 340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (0 = if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑)) β†’ (((((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐) ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ 0 ≀ (πΊβ€˜π‘§)) β†’ if(((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) = 0, 0, (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑))) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§))) ↔ ((((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐) ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑)) ≀ (πΊβ€˜π‘§)) β†’ if(((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) = 0, 0, (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑))) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§)))))
220152anbi2d 628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑) = if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑)) β†’ ((((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐) ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑) ≀ (πΊβ€˜π‘§)) ↔ (((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐) ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑)) ≀ (πΊβ€˜π‘§))))
221220imbi1d 340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑) = if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑)) β†’ (((((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐) ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑) ≀ (πΊβ€˜π‘§)) β†’ if(((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) = 0, 0, (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑))) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§))) ↔ ((((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐) ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑)) ≀ (πΊβ€˜π‘§)) β†’ if(((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) = 0, 0, (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑))) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§)))))
222166ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (π‘”β€˜π‘§) = 0) ∧ ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐) ≀ (πΉβ€˜π‘§)) β†’ 0 ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§)))
223 oveq2 7423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((π‘”β€˜π‘§) = 0 β†’ ((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) = ((π‘“β€˜π‘§) + 0))
224 simplrl 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) β†’ 𝑓 ∈ dom ∫1)
225 i1ff 25621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑓 ∈ dom ∫1 β†’ 𝑓:β„βŸΆβ„)
226225ffvelcdmda 7088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (π‘“β€˜π‘§) ∈ ℝ)
227224, 226sylan 578 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (π‘“β€˜π‘§) ∈ ℝ)
228227recnd 11270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (π‘“β€˜π‘§) ∈ β„‚)
229228addridd 11442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ ((π‘“β€˜π‘§) + 0) = (π‘“β€˜π‘§))
230223, 229sylan9eqr 2787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (π‘”β€˜π‘§) = 0) β†’ ((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) = (π‘“β€˜π‘§))
231230oveq1d 7430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (π‘”β€˜π‘§) = 0) β†’ (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)) = ((π‘“β€˜π‘§) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)))
232231adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (π‘”β€˜π‘§) = 0) ∧ ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐) ≀ (πΉβ€˜π‘§)) β†’ (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)) = ((π‘“β€˜π‘§) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)))
233227, 182readdcld 11271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ ((π‘“β€˜π‘§) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)) ∈ ℝ)
234233adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐) ≀ (πΉβ€˜π‘§)) β†’ ((π‘“β€˜π‘§) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)) ∈ ℝ)
235187adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐) ≀ (πΉβ€˜π‘§)) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ ℝ)
236188adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐) ≀ (πΉβ€˜π‘§)) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§)) ∈ ℝ)
237 simplrl 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ 𝑐 ∈ ℝ+)
238237rpred 13046 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ 𝑐 ∈ ℝ)
239 min1 13198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑) ≀ 𝑐)
240192, 193, 239syl2an 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) β†’ if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑) ≀ 𝑐)
241240ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑) ≀ 𝑐)
242182, 238, 227, 241leadd2dd 11857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ ((π‘“β€˜π‘§) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)) ≀ ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))
243227, 238readdcld 11271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐) ∈ ℝ)
244 letr 11336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((π‘“β€˜π‘§) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)) ∈ ℝ ∧ ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ ℝ) β†’ ((((π‘“β€˜π‘§) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)) ≀ ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐) ∧ ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐) ≀ (πΉβ€˜π‘§)) β†’ ((π‘“β€˜π‘§) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)) ≀ (πΉβ€˜π‘§)))
245233, 243, 187, 244syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ ((((π‘“β€˜π‘§) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)) ≀ ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐) ∧ ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐) ≀ (πΉβ€˜π‘§)) β†’ ((π‘“β€˜π‘§) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)) ≀ (πΉβ€˜π‘§)))
246242, 245mpand 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐) ≀ (πΉβ€˜π‘§) β†’ ((π‘“β€˜π‘§) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)) ≀ (πΉβ€˜π‘§)))
247246imp 405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐) ≀ (πΉβ€˜π‘§)) β†’ ((π‘“β€˜π‘§) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)) ≀ (πΉβ€˜π‘§))
248162, 164addge01d 11830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (0 ≀ (πΊβ€˜π‘§) ↔ (πΉβ€˜π‘§) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§))))
24976, 248mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§)))
250160, 249sylan 578 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§)))
251250adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐) ≀ (πΉβ€˜π‘§)) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§)))
252234, 235, 236, 247, 251letrd 11399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐) ≀ (πΉβ€˜π‘§)) β†’ ((π‘“β€˜π‘§) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§)))
253252adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (π‘”β€˜π‘§) = 0) ∧ ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐) ≀ (πΉβ€˜π‘§)) β†’ ((π‘“β€˜π‘§) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§)))
254232, 253eqbrtrd 5165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (π‘”β€˜π‘§) = 0) ∧ ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐) ≀ (πΉβ€˜π‘§)) β†’ (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§)))
255222, 254, 212syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (π‘”β€˜π‘§) = 0) ∧ ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐) ≀ (πΉβ€˜π‘§)) β†’ if(((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) = 0, 0, (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑))) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§)))
256255ex 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (π‘”β€˜π‘§) = 0) β†’ (((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐) ≀ (πΉβ€˜π‘§) β†’ if(((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) = 0, 0, (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑))) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§))))
257256adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ Β¬ (π‘“β€˜π‘§) = 0) ∧ (π‘”β€˜π‘§) = 0) β†’ (((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐) ≀ (πΉβ€˜π‘§) β†’ if(((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) = 0, 0, (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑))) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§))))
258257adantrd 490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ Β¬ (π‘“β€˜π‘§) = 0) ∧ (π‘”β€˜π‘§) = 0) β†’ ((((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐) ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ 0 ≀ (πΊβ€˜π‘§)) β†’ if(((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) = 0, 0, (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑))) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§))))
259166adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐) ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑) ≀ (πΊβ€˜π‘§))) β†’ 0 ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§)))
260182recnd 11270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑) ∈ β„‚)
261228, 176, 260addassd 11264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)) = ((π‘“β€˜π‘§) + ((π‘”β€˜π‘§) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑))))
262261adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐) ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑) ≀ (πΊβ€˜π‘§))) β†’ (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)) = ((π‘“β€˜π‘§) + ((π‘”β€˜π‘§) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑))))
263227, 237ltaddrpd 13079 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (π‘“β€˜π‘§) < ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))
264227, 243, 263ltled 11390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (π‘“β€˜π‘§) ≀ ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))
265 letr 11336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((π‘“β€˜π‘§) ∈ ℝ ∧ ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ ℝ) β†’ (((π‘“β€˜π‘§) ≀ ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐) ∧ ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐) ≀ (πΉβ€˜π‘§)) β†’ (π‘“β€˜π‘§) ≀ (πΉβ€˜π‘§)))
266227, 243, 187, 265syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (((π‘“β€˜π‘§) ≀ ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐) ∧ ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐) ≀ (πΉβ€˜π‘§)) β†’ (π‘“β€˜π‘§) ≀ (πΉβ€˜π‘§)))
267264, 266mpand 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐) ≀ (πΉβ€˜π‘§) β†’ (π‘“β€˜π‘§) ≀ (πΉβ€˜π‘§)))
268 le2add 11724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((π‘“β€˜π‘§) ∈ ℝ ∧ ((π‘”β€˜π‘§) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)) ∈ ℝ) ∧ ((πΉβ€˜π‘§) ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘§) ∈ ℝ)) β†’ (((π‘“β€˜π‘§) ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ ((π‘”β€˜π‘§) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)) ≀ (πΊβ€˜π‘§)) β†’ ((π‘“β€˜π‘§) + ((π‘”β€˜π‘§) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑))) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§))))
269227, 183, 187, 185, 268syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (((π‘“β€˜π‘§) ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ ((π‘”β€˜π‘§) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)) ≀ (πΊβ€˜π‘§)) β†’ ((π‘“β€˜π‘§) + ((π‘”β€˜π‘§) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑))) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§))))
270267, 201, 269syl2and 606 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ ((((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐) ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑) ≀ (πΊβ€˜π‘§)) β†’ ((π‘“β€˜π‘§) + ((π‘”β€˜π‘§) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑))) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§))))
271270imp 405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐) ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑) ≀ (πΊβ€˜π‘§))) β†’ ((π‘“β€˜π‘§) + ((π‘”β€˜π‘§) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑))) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§)))
272262, 271eqbrtrd 5165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐) ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑) ≀ (πΊβ€˜π‘§))) β†’ (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§)))
273259, 272, 212syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐) ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑) ≀ (πΊβ€˜π‘§))) β†’ if(((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) = 0, 0, (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑))) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§)))
274273ex 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ ((((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐) ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑) ≀ (πΊβ€˜π‘§)) β†’ if(((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) = 0, 0, (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑))) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§))))
275274ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ Β¬ (π‘“β€˜π‘§) = 0) ∧ Β¬ (π‘”β€˜π‘§) = 0) β†’ ((((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐) ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑) ≀ (πΊβ€˜π‘§)) β†’ if(((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) = 0, 0, (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑))) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§))))
276219, 221, 258, 275ifbothda 4562 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ Β¬ (π‘“β€˜π‘§) = 0) β†’ ((((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐) ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑)) ≀ (πΊβ€˜π‘§)) β†’ if(((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) = 0, 0, (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑))) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§))))
277145, 148, 217, 276ifbothda 4562 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ ((if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐)) ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑)) ≀ (πΊβ€˜π‘§)) β†’ if(((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) = 0, 0, (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑))) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§))))
278277ralimdva 3157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ ℝ (if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐)) ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑)) ≀ (πΊβ€˜π‘§)) β†’ βˆ€π‘§ ∈ ℝ if(((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) = 0, 0, (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑))) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§))))
279 ovex 7448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐) ∈ V
28021, 279ifex 4574 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐)) ∈ V
281280a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐)) ∈ V)
282 eqidd 2726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))))
28320, 281, 14, 282, 24ofrfval2 7702 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (πœ‘ β†’ ((𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ↔ βˆ€π‘§ ∈ ℝ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐)) ≀ (πΉβ€˜π‘§)))
284 ovex 7448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑) ∈ V
28521, 284ifex 4574 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑)) ∈ V
286285a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑)) ∈ V)
287 eqidd 2726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))))
28820, 286, 73, 287, 78ofrfval2 7702 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (πœ‘ β†’ ((𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ↔ βˆ€π‘§ ∈ ℝ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑)) ≀ (πΊβ€˜π‘§)))
289283, 288anbi12d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (πœ‘ β†’ (((𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺) ↔ (βˆ€π‘§ ∈ ℝ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐)) ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘§ ∈ ℝ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑)) ≀ (πΊβ€˜π‘§))))
290 r19.26 3101 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (βˆ€π‘§ ∈ ℝ (if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐)) ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑)) ≀ (πΊβ€˜π‘§)) ↔ (βˆ€π‘§ ∈ ℝ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐)) ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘§ ∈ ℝ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑)) ≀ (πΊβ€˜π‘§)))
291289, 290bitr4di 288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ (((𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺) ↔ βˆ€π‘§ ∈ ℝ (if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐)) ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑)) ≀ (πΊβ€˜π‘§))))
292291ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) β†’ (((𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺) ↔ βˆ€π‘§ ∈ ℝ (if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐)) ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑)) ≀ (πΊβ€˜π‘§))))
29319a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) β†’ ℝ ∈ V)
294 ovex 7448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)) ∈ V
29521, 294ifex 4574 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 if(((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) = 0, 0, (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑))) ∈ V
296295a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ if(((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) = 0, 0, (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑))) ∈ V)
297 ovexd 7450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§)) ∈ V)
298225ffnd 6717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑓 ∈ dom ∫1 β†’ 𝑓 Fn ℝ)
299298adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1) β†’ 𝑓 Fn ℝ)
300299ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) β†’ 𝑓 Fn ℝ)
301173ffnd 6717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑔 ∈ dom ∫1 β†’ 𝑔 Fn ℝ)
302301adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1) β†’ 𝑔 Fn ℝ)
303302ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) β†’ 𝑔 Fn ℝ)
304 eqidd 2726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (π‘“β€˜π‘§) = (π‘“β€˜π‘§))
305 eqidd 2726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (π‘”β€˜π‘§) = (π‘”β€˜π‘§))
306300, 303, 293, 293, 127, 304, 305ofval 7692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ ((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) = ((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)))
307306eqeq1d 2727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) = 0 ↔ ((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) = 0))
308306oveq1d 7430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)) = (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)))
309307, 308ifbieq2d 4550 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ if(((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) = 0, 0, (((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑))) = if(((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) = 0, 0, (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑))))
310309mpteq2dva 5243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) β†’ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) = 0, 0, (((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)))) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) = 0, 0, (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)))))
31113ffnd 6717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn ℝ)
31272ffnd 6717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (πœ‘ β†’ 𝐺 Fn ℝ)
313 eqidd 2726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘§) = (πΉβ€˜π‘§))
314 eqidd 2726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜π‘§))
315311, 312, 20, 20, 127, 313, 314offval 7690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘f + 𝐺) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§))))
316315ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) β†’ (𝐹 ∘f + 𝐺) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§))))
317293, 296, 297, 310, 316ofrfval2 7702 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) β†’ ((𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) = 0, 0, (((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)))) ∘r ≀ (𝐹 ∘f + 𝐺) ↔ βˆ€π‘§ ∈ ℝ if(((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) = 0, 0, (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑))) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§))))
318278, 292, 3173imtr4d 293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) β†’ (((𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺) β†’ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) = 0, 0, (((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)))) ∘r ≀ (𝐹 ∘f + 𝐺)))
319318imp 405 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺)) β†’ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) = 0, 0, (((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)))) ∘r ≀ (𝐹 ∘f + 𝐺))
320 oveq2 7423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 = if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑) β†’ (((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) + 𝑦) = (((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)))
321320ifeq2d 4544 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 = if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑) β†’ if(((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) = 0, 0, (((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) + 𝑦)) = if(((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) = 0, 0, (((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑))))
322321mpteq2dv 5245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑) β†’ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) = 0, 0, (((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) + 𝑦))) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) = 0, 0, (((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)))))
323322breq1d 5153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑) β†’ ((𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) = 0, 0, (((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ (𝐹 ∘f + 𝐺) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) = 0, 0, (((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)))) ∘r ≀ (𝐹 ∘f + 𝐺)))
324323rspcev 3602 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑) ∈ ℝ+ ∧ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) = 0, 0, (((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)))) ∘r ≀ (𝐹 ∘f + 𝐺)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) = 0, 0, (((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ (𝐹 ∘f + 𝐺))
325142, 319, 324syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) = 0, 0, (((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ (𝐹 ∘f + 𝐺))
326325ex 411 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) β†’ (((𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) = 0, 0, (((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ (𝐹 ∘f + 𝐺)))
327326rexlimdvva 3202 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ ((𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) = 0, 0, (((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ (𝐹 ∘f + 𝐺)))
328140, 327syl5 34 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) β†’ (((βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑑 = (∫1β€˜π‘“)) ∧ (βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ 𝑒 = (∫1β€˜π‘”))) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) = 0, 0, (((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ (𝐹 ∘f + 𝐺)))
329328a1dd 50 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) β†’ (((βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑑 = (∫1β€˜π‘“)) ∧ (βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ 𝑒 = (∫1β€˜π‘”))) β†’ (𝑠 = (𝑑 + 𝑒) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) = 0, 0, (((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ (𝐹 ∘f + 𝐺))))
330329imp31 416 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ ((βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑑 = (∫1β€˜π‘“)) ∧ (βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ 𝑒 = (∫1β€˜π‘”)))) ∧ 𝑠 = (𝑑 + 𝑒)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) = 0, 0, (((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ (𝐹 ∘f + 𝐺))
331 oveq12 7424 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑑 = (∫1β€˜π‘“) ∧ 𝑒 = (∫1β€˜π‘”)) β†’ (𝑑 + 𝑒) = ((∫1β€˜π‘“) + (∫1β€˜π‘”)))
332331ad2ant2l 744 . . . . . . . . . . . . . 14 (((βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑑 = (∫1β€˜π‘“)) ∧ (βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ 𝑒 = (∫1β€˜π‘”))) β†’ (𝑑 + 𝑒) = ((∫1β€˜π‘“) + (∫1β€˜π‘”)))
333134, 135itg1add 25647 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1) β†’ (∫1β€˜(𝑓 ∘f + 𝑔)) = ((∫1β€˜π‘“) + (∫1β€˜π‘”)))
334333eqcomd 2731 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1) β†’ ((∫1β€˜π‘“) + (∫1β€˜π‘”)) = (∫1β€˜(𝑓 ∘f + 𝑔)))
335334adantl 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) β†’ ((∫1β€˜π‘“) + (∫1β€˜π‘”)) = (∫1β€˜(𝑓 ∘f + 𝑔)))
336332, 335sylan9eqr 2787 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ ((βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑑 = (∫1β€˜π‘“)) ∧ (βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ 𝑒 = (∫1β€˜π‘”)))) β†’ (𝑑 + 𝑒) = (∫1β€˜(𝑓 ∘f + 𝑔)))
337 eqtr 2748 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑠 = (𝑑 + 𝑒) ∧ (𝑑 + 𝑒) = (∫1β€˜(𝑓 ∘f + 𝑔))) β†’ 𝑠 = (∫1β€˜(𝑓 ∘f + 𝑔)))
338337ancoms 457 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑑 + 𝑒) = (∫1β€˜(𝑓 ∘f + 𝑔)) ∧ 𝑠 = (𝑑 + 𝑒)) β†’ 𝑠 = (∫1β€˜(𝑓 ∘f + 𝑔)))
339336, 338sylan 578 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ ((βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑑 = (∫1β€˜π‘“)) ∧ (βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ 𝑒 = (∫1β€˜π‘”)))) ∧ 𝑠 = (𝑑 + 𝑒)) β†’ 𝑠 = (∫1β€˜(𝑓 ∘f + 𝑔)))
340 fveq1 6890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (β„Ž = (𝑓 ∘f + 𝑔) β†’ (β„Žβ€˜π‘§) = ((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§))
341340eqeq1d 2727 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (β„Ž = (𝑓 ∘f + 𝑔) β†’ ((β„Žβ€˜π‘§) = 0 ↔ ((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) = 0))
342340oveq1d 7430 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (β„Ž = (𝑓 ∘f + 𝑔) β†’ ((β„Žβ€˜π‘§) + 𝑦) = (((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) + 𝑦))
343341, 342ifbieq2d 4550 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (β„Ž = (𝑓 ∘f + 𝑔) β†’ if((β„Žβ€˜π‘§) = 0, 0, ((β„Žβ€˜π‘§) + 𝑦)) = if(((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) = 0, 0, (((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) + 𝑦)))
344343mpteq2dv 5245 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (β„Ž = (𝑓 ∘f + 𝑔) β†’ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((β„Žβ€˜π‘§) = 0, 0, ((β„Žβ€˜π‘§) + 𝑦))) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) = 0, 0, (((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) + 𝑦))))
345344breq1d 5153 . . . . . . . . . . . . . . 15 (β„Ž = (𝑓 ∘f + 𝑔) β†’ ((𝑧 ∈ ℝ ↦ if((β„Žβ€˜π‘§) = 0, 0, ((β„Žβ€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ (𝐹 ∘f + 𝐺) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) = 0, 0, (((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ (𝐹 ∘f + 𝐺)))
346345rexbidv 3169 . . . . . . . . . . . . . 14 (β„Ž = (𝑓 ∘f + 𝑔) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((β„Žβ€˜π‘§) = 0, 0, ((β„Žβ€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ (𝐹 ∘f + 𝐺) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) = 0, 0, (((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ (𝐹 ∘f + 𝐺)))
347 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . 15 (β„Ž = (𝑓 ∘f + 𝑔) β†’ (∫1β€˜β„Ž) = (∫1β€˜(𝑓 ∘f + 𝑔)))
348347eqeq2d 2736 . . . . . . . . . . . . . 14 (β„Ž = (𝑓 ∘f + 𝑔) β†’ (𝑠 = (∫1β€˜β„Ž) ↔ 𝑠 = (∫1β€˜(𝑓 ∘f + 𝑔))))
349346, 348anbi12d 630 . . . . . . . . . . . . 13 (β„Ž = (𝑓 ∘f + 𝑔) β†’ ((βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((β„Žβ€˜π‘§) = 0, 0, ((β„Žβ€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ (𝐹 ∘f + 𝐺) ∧ 𝑠 = (∫1β€˜β„Ž)) ↔ (βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) = 0, 0, (((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ (𝐹 ∘f + 𝐺) ∧ 𝑠 = (∫1β€˜(𝑓 ∘f + 𝑔)))))
350349rspcev 3602 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ dom ∫1 ∧ (βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) = 0, 0, (((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ (𝐹 ∘f + 𝐺) ∧ 𝑠 = (∫1β€˜(𝑓 ∘f + 𝑔)))) β†’ βˆƒβ„Ž ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((β„Žβ€˜π‘§) = 0, 0, ((β„Žβ€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ (𝐹 ∘f + 𝐺) ∧ 𝑠 = (∫1β€˜β„Ž)))
351137, 330, 339, 350syl12anc 835 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ ((βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑑 = (∫1β€˜π‘“)) ∧ (βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ 𝑒 = (∫1β€˜π‘”)))) ∧ 𝑠 = (𝑑 + 𝑒)) β†’ βˆƒβ„Ž ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((β„Žβ€˜π‘§) = 0, 0, ((β„Žβ€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ (𝐹 ∘f + 𝐺) ∧ 𝑠 = (∫1β€˜β„Ž)))
352351exp31 418 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) β†’ (((βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑑 = (∫1β€˜π‘“)) ∧ (βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ 𝑒 = (∫1β€˜π‘”))) β†’ (𝑠 = (𝑑 + 𝑒) β†’ βˆƒβ„Ž ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((β„Žβ€˜π‘§) = 0, 0, ((β„Žβ€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ (𝐹 ∘f + 𝐺) ∧ 𝑠 = (∫1β€˜β„Ž)))))
353352rexlimdvva 3202 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1((βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑑 = (∫1β€˜π‘“)) ∧ (βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ 𝑒 = (∫1β€˜π‘”))) β†’ (𝑠 = (𝑑 + 𝑒) β†’ βˆƒβ„Ž ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((β„Žβ€˜π‘§) = 0, 0, ((β„Žβ€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ (𝐹 ∘f + 𝐺) ∧ 𝑠 = (∫1β€˜β„Ž)))))
354353impd 409 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1((βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑑 = (∫1β€˜π‘“)) ∧ (βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ 𝑒 = (∫1β€˜π‘”))) ∧ 𝑠 = (𝑑 + 𝑒)) β†’ βˆƒβ„Ž ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((β„Žβ€˜π‘§) = 0, 0, ((β„Žβ€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ (𝐹 ∘f + 𝐺) ∧ 𝑠 = (∫1β€˜β„Ž))))
355354exlimdvv 1929 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘‘βˆƒπ‘’(βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1((βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑑 = (∫1β€˜π‘“)) ∧ (βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ 𝑒 = (∫1β€˜π‘”))) ∧ 𝑠 = (𝑑 + 𝑒)) β†’ βˆƒβ„Ž ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((β„Žβ€˜π‘§) = 0, 0, ((β„Žβ€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ (𝐹 ∘f + 𝐺) ∧ 𝑠 = (∫1β€˜β„Ž))))
356133, 355impbid 211 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (βˆƒβ„Ž ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((β„Žβ€˜π‘§) = 0, 0, ((β„Žβ€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ (𝐹 ∘f + 𝐺) ∧ 𝑠 = (∫1β€˜β„Ž)) ↔ βˆƒπ‘‘βˆƒπ‘’(βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1((βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑑 = (∫1β€˜π‘“)) ∧ (βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ 𝑒 = (∫1β€˜π‘”))) ∧ 𝑠 = (𝑑 + 𝑒))))
357 eqeq1 2729 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑑 β†’ (π‘₯ = (∫1β€˜π‘“) ↔ 𝑑 = (∫1β€˜π‘“)))
358357anbi2d 628 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑑 β†’ ((βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“)) ↔ (βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑑 = (∫1β€˜π‘“))))
359358rexbidv 3169 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑑 β†’ (βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“)) ↔ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑑 = (∫1β€˜π‘“))))
360359rexab 3682 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}βˆƒπ‘’ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}𝑠 = (𝑑 + 𝑒) ↔ βˆƒπ‘‘(βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑑 = (∫1β€˜π‘“)) ∧ βˆƒπ‘’ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}𝑠 = (𝑑 + 𝑒)))
361 eqeq1 2729 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = 𝑒 β†’ (π‘₯ = (∫1β€˜π‘”) ↔ 𝑒 = (∫1β€˜π‘”)))
362361anbi2d 628 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = 𝑒 β†’ ((βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”)) ↔ (βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ 𝑒 = (∫1β€˜π‘”))))
363362rexbidv 3169 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝑒 β†’ (βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”)) ↔ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ 𝑒 = (∫1β€˜π‘”))))
364363rexab 3682 . . . . . . . . . 10 (βˆƒπ‘’ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}𝑠 = (𝑑 + 𝑒) ↔ βˆƒπ‘’(βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ 𝑒 = (∫1β€˜π‘”)) ∧ 𝑠 = (𝑑 + 𝑒)))
365364anbi2i 621 . . . . . . . . 9 ((βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑑 = (∫1β€˜π‘“)) ∧ βˆƒπ‘’ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}𝑠 = (𝑑 + 𝑒)) ↔ (βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑑 = (∫1β€˜π‘“)) ∧ βˆƒπ‘’(βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ 𝑒 = (∫1β€˜π‘”)) ∧ 𝑠 = (𝑑 + 𝑒))))
366 19.42v 1949 . . . . . . . . 9 (βˆƒπ‘’(βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑑 = (∫1β€˜π‘“)) ∧ (βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ 𝑒 = (∫1β€˜π‘”)) ∧ 𝑠 = (𝑑 + 𝑒))) ↔ (βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑑 = (∫1β€˜π‘“)) ∧ βˆƒπ‘’(βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ 𝑒 = (∫1β€˜π‘”)) ∧ 𝑠 = (𝑑 + 𝑒))))
367 reeanv 3217 . . . . . . . . . . . 12 (βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1((βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑑 = (∫1β€˜π‘“)) ∧ (βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ 𝑒 = (∫1β€˜π‘”))) ↔ (βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑑 = (∫1β€˜π‘“)) ∧ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ 𝑒 = (∫1β€˜π‘”))))
368367anbi1i 622 . . . . . . . . . . 11 ((βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1((βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑑 = (∫1β€˜π‘“)) ∧ (βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ 𝑒 = (∫1β€˜π‘”))) ∧ 𝑠 = (𝑑 + 𝑒)) ↔ ((βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑑 = (∫1β€˜π‘“)) ∧ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ 𝑒 = (∫1β€˜π‘”))) ∧ 𝑠 = (𝑑 + 𝑒)))
369 anass 467 . . . . . . . . . . 11 (((βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑑 = (∫1β€˜π‘“)) ∧ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ 𝑒 = (∫1β€˜π‘”))) ∧ 𝑠 = (𝑑 + 𝑒)) ↔ (βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑑 = (∫1β€˜π‘“)) ∧ (βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ 𝑒 = (∫1β€˜π‘”)) ∧ 𝑠 = (𝑑 + 𝑒))))
370368, 369bitr2i 275 . . . . . . . . . 10 ((βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑑 = (∫1β€˜π‘“)) ∧ (βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ 𝑒 = (∫1β€˜π‘”)) ∧ 𝑠 = (𝑑 + 𝑒))) ↔ (βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1((βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑑 = (∫1β€˜π‘“)) ∧ (βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ 𝑒 = (∫1β€˜π‘”))) ∧ 𝑠 = (𝑑 + 𝑒)))
371370exbii 1842 . . . . . . . . 9 (βˆƒπ‘’(βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑑 = (∫1β€˜π‘“)) ∧ (βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ 𝑒 = (∫1β€˜π‘”)) ∧ 𝑠 = (𝑑 + 𝑒))) ↔ βˆƒπ‘’(βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1((βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑑 = (∫1β€˜π‘“)) ∧ (βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ 𝑒 = (∫1β€˜π‘”))) ∧ 𝑠 = (𝑑 + 𝑒)))
372365, 366, 3713bitr2i 298 . . . . . . . 8 ((βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑑 = (∫1β€˜π‘“)) ∧ βˆƒπ‘’ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}𝑠 = (𝑑 + 𝑒)) ↔ βˆƒπ‘’(βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1((βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑑 = (∫1β€˜π‘“)) ∧ (βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ 𝑒 = (∫1β€˜π‘”))) ∧ 𝑠 = (𝑑 + 𝑒)))
373372exbii 1842 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘‘(βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑑 = (∫1β€˜π‘“)) ∧ βˆƒπ‘’ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}𝑠 = (𝑑 + 𝑒)) ↔ βˆƒπ‘‘βˆƒπ‘’(βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1((βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑑 = (∫1β€˜π‘“)) ∧ (βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ 𝑒 = (∫1β€˜π‘”))) ∧ 𝑠 = (𝑑 + 𝑒)))
374360, 373bitri 274 . . . . . 6 (βˆƒπ‘‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}βˆƒπ‘’ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}𝑠 = (𝑑 + 𝑒) ↔ βˆƒπ‘‘βˆƒπ‘’(βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1((βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑑 = (∫1β€˜π‘“)) ∧ (βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ 𝑒 = (∫1β€˜π‘”))) ∧ 𝑠 = (𝑑 + 𝑒)))
375356, 374bitr4di 288 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆƒβ„Ž ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((β„Žβ€˜π‘§) = 0, 0, ((β„Žβ€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ (𝐹 ∘f + 𝐺) ∧ 𝑠 = (∫1β€˜β„Ž)) ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}βˆƒπ‘’ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}𝑠 = (𝑑 + 𝑒)))
376375abbidv 2794 . . . 4 (πœ‘ β†’ {𝑠 ∣ βˆƒβ„Ž ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((β„Žβ€˜π‘§) = 0, 0, ((β„Žβ€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ (𝐹 ∘f + 𝐺) ∧ 𝑠 = (∫1β€˜β„Ž))} = {𝑠 ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}βˆƒπ‘’ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}𝑠 = (𝑑 + 𝑒)})
377376supeq1d 9467 . . 3 (πœ‘ β†’ sup({𝑠 ∣ βˆƒβ„Ž ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((β„Žβ€˜π‘§) = 0, 0, ((β„Žβ€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ (𝐹 ∘f + 𝐺) ∧ 𝑠 = (∫1β€˜β„Ž))}, ℝ*, < ) = sup({𝑠 ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}βˆƒπ‘’ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}𝑠 = (𝑑 + 𝑒)}, ℝ*, < ))
378 simpr 483 . . . . . . . . 9 (((𝑑 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))} ∧ 𝑒 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}) ∧ 𝑠 = (𝑑 + 𝑒)) β†’ 𝑠 = (𝑑 + 𝑒))
3796sseli 3968 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))} β†’ 𝑑 ∈ ℝ)
380379ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((𝑑 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))} ∧ 𝑒 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}) ∧ 𝑠 = (𝑑 + 𝑒)) β†’ 𝑑 ∈ ℝ)
38170sseli 3968 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))} β†’ 𝑒 ∈ ℝ)
382381ad2antlr 725 . . . . . . . . . 10 (((𝑑 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))} ∧ 𝑒 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}) ∧ 𝑠 = (𝑑 + 𝑒)) β†’ 𝑒 ∈ ℝ)
383380, 382readdcld 11271 . . . . . . . . 9 (((𝑑 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))} ∧ 𝑒 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}) ∧ 𝑠 = (𝑑 + 𝑒)) β†’ (𝑑 + 𝑒) ∈ ℝ)
384378, 383eqeltrd 2825 . . . . . . . 8 (((𝑑 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))} ∧ 𝑒 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}) ∧ 𝑠 = (𝑑 + 𝑒)) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
385384ex 411 . . . . . . 7 ((𝑑 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))} ∧ 𝑒 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}) β†’ (𝑠 = (𝑑 + 𝑒) β†’ 𝑠 ∈ ℝ))
386385rexlimivv 3190 . . . . . 6 (βˆƒπ‘‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}βˆƒπ‘’ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}𝑠 = (𝑑 + 𝑒) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
387386abssi 4059 . . . . 5 {𝑠 ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}βˆƒπ‘’ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}𝑠 = (𝑑 + 𝑒)} βŠ† ℝ
388387a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ {𝑠 ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}βˆƒπ‘’ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}𝑠 = (𝑑 + 𝑒)} βŠ† ℝ)
389156eqcomi 2734 . . . . . . . 8 0 = (0 + 0)
390 rspceov 7463 . . . . . . . 8 ((0 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))} ∧ 0 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))} ∧ 0 = (0 + 0)) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}βˆƒπ‘’ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}0 = (𝑑 + 𝑒))
391389, 390mp3an3 1446 . . . . . . 7 ((0 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))} ∧ 0 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}βˆƒπ‘’ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}0 = (𝑑 + 𝑒))
39248, 100, 391syl2anc 582 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}βˆƒπ‘’ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}0 = (𝑑 + 𝑒))
393 eqeq1 2729 . . . . . . . 8 (𝑠 = 0 β†’ (𝑠 = (𝑑 + 𝑒) ↔ 0 = (𝑑 + 𝑒)))
3943932rexbidv 3210 . . . . . . 7 (𝑠 = 0 β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}βˆƒπ‘’ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}𝑠 = (𝑑 + 𝑒) ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}βˆƒπ‘’ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}0 = (𝑑 + 𝑒)))
39521, 394spcev 3586 . . . . . 6 (βˆƒπ‘‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}βˆƒπ‘’ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}0 = (𝑑 + 𝑒) β†’ βˆƒπ‘ βˆƒπ‘‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}βˆƒπ‘’ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}𝑠 = (𝑑 + 𝑒))
396392, 395syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ βˆƒπ‘‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}βˆƒπ‘’ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}𝑠 = (𝑑 + 𝑒))
397 abn0 4376 . . . . 5 ({𝑠 ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}βˆƒπ‘’ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}𝑠 = (𝑑 + 𝑒)} β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘ βˆƒπ‘‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}βˆƒπ‘’ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}𝑠 = (𝑑 + 𝑒))
398396, 397sylibr 233 . . . 4 (πœ‘ β†’ {𝑠 ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}βˆƒπ‘’ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}𝑠 = (𝑑 + 𝑒)} β‰  βˆ…)
39957, 108readdcld 11271 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}, ℝ*, < ) + sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}, ℝ*, < )) ∈ ℝ)
400 simpr 483 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))} ∧ 𝑒 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))})) ∧ 𝑏 = (𝑑 + 𝑒)) β†’ 𝑏 = (𝑑 + 𝑒))
401379ad2antrl 726 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))} ∧ 𝑒 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))})) β†’ 𝑑 ∈ ℝ)
402381ad2antll 727 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))} ∧ 𝑒 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))})) β†’ 𝑒 ∈ ℝ)
40357adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))} ∧ 𝑒 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))})) β†’ sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
404108adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))} ∧ 𝑒 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))})) β†’ sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
405 supxrub 13333 . . . . . . . . . . . . 13 (({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))} βŠ† ℝ* ∧ 𝑑 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}) β†’ 𝑑 ≀ sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}, ℝ*, < ))
40659, 405mpan 688 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))} β†’ 𝑑 ≀ sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}, ℝ*, < ))
407406ad2antrl 726 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))} ∧ 𝑒 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))})) β†’ 𝑑 ≀ sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}, ℝ*, < ))
408 supxrub 13333 . . . . . . . . . . . . 13 (({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))} βŠ† ℝ* ∧ 𝑒 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}) β†’ 𝑒 ≀ sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}, ℝ*, < ))
409109, 408mpan 688 . . . . . . . . . . . 12 (𝑒 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))} β†’ 𝑒 ≀ sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}, ℝ*, < ))
410409ad2antll 727 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))} ∧ 𝑒 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))})) β†’ 𝑒 ≀ sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}, ℝ*, < ))
411401, 402, 403, 404, 407, 410le2addd 11861 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))} ∧ 𝑒 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))})) β†’ (𝑑 + 𝑒) ≀ (sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}, ℝ*, < ) + sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}, ℝ*, < )))
412411adantr 479 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))} ∧ 𝑒 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))})) ∧ 𝑏 = (𝑑 + 𝑒)) β†’ (𝑑 + 𝑒) ≀ (sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}, ℝ*, < ) + sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}, ℝ*, < )))
413400, 412eqbrtrd 5165 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))} ∧ 𝑒 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))})) ∧ 𝑏 = (𝑑 + 𝑒)) β†’ 𝑏 ≀ (sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}, ℝ*, < ) + sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}, ℝ*, < )))
414413ex 411 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))} ∧ 𝑒 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))})) β†’ (𝑏 = (𝑑 + 𝑒) β†’ 𝑏 ≀ (sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}, ℝ*, < ) + sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}, ℝ*, < ))))
415414rexlimdvva 3202 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}βˆƒπ‘’ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}𝑏 = (𝑑 + 𝑒) β†’ 𝑏 ≀ (sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}, ℝ*, < ) + sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}, ℝ*, < ))))
416415alrimiv 1922 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘(βˆƒπ‘‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}βˆƒπ‘’ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}𝑏 = (𝑑 + 𝑒) β†’ 𝑏 ≀ (sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}, ℝ*, < ) + sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}, ℝ*, < ))))
417 breq2 5147 . . . . . . . 8 (π‘Ž = (sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}, ℝ*, < ) + sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}, ℝ*, < )) β†’ (𝑏 ≀ π‘Ž ↔ 𝑏 ≀ (sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}, ℝ*, < ) + sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}, ℝ*, < ))))
418417ralbidv 3168 . . . . . . 7 (π‘Ž = (sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}, ℝ*, < ) + sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}, ℝ*, < )) β†’ (βˆ€π‘ ∈ {𝑠 ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}βˆƒπ‘’ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}𝑠 = (𝑑 + 𝑒)}𝑏 ≀ π‘Ž ↔ βˆ€π‘ ∈ {𝑠 ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}βˆƒπ‘’ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}𝑠 = (𝑑 + 𝑒)}𝑏 ≀ (sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}, ℝ*, < ) + sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}, ℝ*, < ))))
419 eqeq1 2729 . . . . . . . . 9 (𝑠 = 𝑏 β†’ (𝑠 = (𝑑 + 𝑒) ↔ 𝑏 = (𝑑 + 𝑒)))
4204192rexbidv 3210 . . . . . . . 8 (𝑠 = 𝑏 β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}βˆƒπ‘’ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}𝑠 = (𝑑 + 𝑒) ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}βˆƒπ‘’ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}𝑏 = (𝑑 + 𝑒)))
421420ralab 3679 . . . . . . 7 (βˆ€π‘ ∈ {𝑠 ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}βˆƒπ‘’ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}𝑠 = (𝑑 + 𝑒)}𝑏 ≀ (sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}, ℝ*, < ) + sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}, ℝ*, < )) ↔ βˆ€π‘(βˆƒπ‘‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}βˆƒπ‘’ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}𝑏 = (𝑑 + 𝑒) β†’ 𝑏 ≀ (sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}, ℝ*, < ) + sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}, ℝ*, < ))))
422418, 421bitrdi 286 . . . . . 6 (π‘Ž = (sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}, ℝ*, < ) + sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}, ℝ*, < )) β†’ (βˆ€π‘ ∈ {𝑠 ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}βˆƒπ‘’ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}𝑠 = (𝑑 + 𝑒)}𝑏 ≀ π‘Ž ↔ βˆ€π‘(βˆƒπ‘‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}βˆƒπ‘’ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}𝑏 = (𝑑 + 𝑒) β†’ 𝑏 ≀ (sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}, ℝ*, < ) + sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}, ℝ*, < )))))
423422rspcev 3602 . . . . 5 (((sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}, ℝ*, < ) + sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}, ℝ*, < )) ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘(βˆƒπ‘‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}βˆƒπ‘’ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}𝑏 = (𝑑 + 𝑒) β†’ 𝑏 ≀ (sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}, ℝ*, < ) + sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}, ℝ*, < )))) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ βˆ€π‘ ∈ {𝑠 ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}βˆƒπ‘’ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}𝑠 = (𝑑 + 𝑒)}𝑏 ≀ π‘Ž)
424399, 416, 423syl2anc 582 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ βˆ€π‘ ∈ {𝑠 ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}βˆƒπ‘’ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}𝑠 = (𝑑 + 𝑒)}𝑏 ≀ π‘Ž)
425 supxrre 13336 . . . 4 (({𝑠 ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}βˆƒπ‘’ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}𝑠 = (𝑑 + 𝑒)} βŠ† ℝ ∧ {𝑠 ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}βˆƒπ‘’ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}𝑠 = (𝑑 + 𝑒)} β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ βˆ€π‘ ∈ {𝑠 ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}βˆƒπ‘’ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}𝑠 = (𝑑 + 𝑒)}𝑏 ≀ π‘Ž) β†’ sup({𝑠 ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}βˆƒπ‘’ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}𝑠 = (𝑑 + 𝑒)}, ℝ*, < ) = sup({𝑠 ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}βˆƒπ‘’ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}𝑠 = (𝑑 + 𝑒)}, ℝ, < ))
426388, 398, 424, 425syl3anc 1368 . . 3 (πœ‘ β†’ sup({𝑠 ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}βˆƒπ‘’ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}𝑠 = (𝑑 + 𝑒)}, ℝ*, < ) = sup({𝑠 ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}βˆƒπ‘’ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}𝑠 = (𝑑 + 𝑒)}, ℝ, < ))
427131, 377, 4263eqtrd 2769 . 2 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜(𝐹 ∘f + 𝐺)) = sup({𝑠 ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}βˆƒπ‘’ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}𝑠 = (𝑑 + 𝑒)}, ℝ, < ))
428116, 123, 4273eqtr4rd 2776 1 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜(𝐹 ∘f + 𝐺)) = ((∫2β€˜πΉ) + (∫2β€˜πΊ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394  βˆ€wal 1531   = wceq 1533  βˆƒwex 1773   ∈ wcel 2098  {cab 2702   β‰  wne 2930  βˆ€wral 3051  βˆƒwrex 3060  Vcvv 3463   βŠ† wss 3940  βˆ…c0 4318  ifcif 4524  {csn 4624   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5226   Γ— cxp 5670  dom cdm 5672   Fn wfn 6537  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7415   ∘f cof 7679   ∘r cofr 7680  supcsup 9461  β„cr 11135  0cc0 11136   + caddc 11139  +∞cpnf 11273  β„*cxr 11275   < clt 11276   ≀ cle 11277  β„•cn 12240  3c3 12296  β„+crp 13004  [,)cico 13356  [,]cicc 13357  MblFncmbf 25559  βˆ«1citg1 25560  βˆ«2citg2 25561
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-inf2 9662  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214  ax-addf 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-disj 5109  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-of 7681  df-ofr 7682  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-2o 8484  df-er 8721  df-map 8843  df-pm 8844  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-fi 9432  df-sup 9463  df-inf 9464  df-oi 9531  df-dju 9922  df-card 9960  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851  df-q 12961  df-rp 13005  df-xneg 13122  df-xadd 13123  df-xmul 13124  df-ioo 13358  df-ico 13360  df-icc 13361  df-fz 13515  df-fzo 13658  df-fl 13787  df-seq 13997  df-exp 14057  df-hash 14320  df-cj 15076  df-re 15077  df-im 15078  df-sqrt 15212  df-abs 15213  df-clim 15462  df-sum 15663  df-rest 17401  df-topgen 17422  df-psmet 21273  df-xmet 21274  df-met 21275  df-bl 21276  df-mopn 21277  df-top 22812  df-topon 22829  df-bases 22865  df-cmp 23307  df-ovol 25409  df-vol 25410  df-mbf 25564  df-itg1 25565  df-itg2 25566
This theorem is referenced by:  ibladdnclem  37205  itgaddnclem1  37207  iblabsnclem  37212  iblabsnc  37213  iblmulc2nc  37214  ftc1anclem4  37225  ftc1anclem5  37226  ftc1anclem6  37227  ftc1anclem8  37229
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