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Theorem itg2addnc 36530
Description: Alternate proof of itg2add 25268 using the "buffer zone" definition from the first lemma, in which every simple function in the set is divided into to by dividing its buffer by a third and finding the largest allowable function locked to a grid laid out in increments of the new, smaller buffer up to the original simple function. The measurability of this function follows from that of the augend, and subtracting it from the original simple function yields another simple function by i1fsub 25217, which is allowable by the fact that the grid must have a mark between one third and two thirds the original buffer. This has two advantages over the current approach: first, eliminating ax-cc 10426, and second, weakening the measurability hypothesis to only the augend. (Contributed by Brendan Leahy, 31-Oct-2017.) (Revised by Brendan Leahy, 13-Mar-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2addnc.f1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ MblFn)
itg2addnc.f2 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆ(0[,)+∞))
itg2addnc.f3 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜πΉ) ∈ ℝ)
itg2addnc.g2 (πœ‘ β†’ 𝐺:β„βŸΆ(0[,)+∞))
itg2addnc.g3 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜πΊ) ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
itg2addnc (πœ‘ β†’ (∫2β€˜(𝐹 ∘f + 𝐺)) = ((∫2β€˜πΉ) + (∫2β€˜πΊ)))
Proof of Theorem itg2addnc
Dummy variables 𝑑 𝑠 𝑒 π‘₯ 𝑦 𝑧 𝑓 𝑔 β„Ž π‘Ž 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprr 771 . . . . . . 7 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ (βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))) β†’ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))
2 itg1cl 25193 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ dom ∫1 β†’ (∫1β€˜π‘“) ∈ ℝ)
32adantr 481 . . . . . . 7 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ (βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))) β†’ (∫1β€˜π‘“) ∈ ℝ)
41, 3eqeltrd 2833 . . . . . 6 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ (βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
54rexlimiva 3147 . . . . 5 (βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
65abssi 4066 . . . 4 {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))} βŠ† ℝ
76a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))} βŠ† ℝ)
8 i1f0 25195 . . . . . 6 (ℝ Γ— {0}) ∈ dom ∫1
9 3nn 12287 . . . . . . . 8 3 ∈ β„•
10 nnrp 12981 . . . . . . . 8 (3 ∈ β„• β†’ 3 ∈ ℝ+)
11 ne0i 4333 . . . . . . . 8 (3 ∈ ℝ+ β†’ ℝ+ β‰  βˆ…)
129, 10, 11mp2b 10 . . . . . . 7 ℝ+ β‰  βˆ…
13 itg2addnc.f2 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆ(0[,)+∞))
1413ffvelcdmda 7083 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ (0[,)+∞))
15 elrege0 13427 . . . . . . . . . . . 12 ((πΉβ€˜π‘§) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((πΉβ€˜π‘§) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘§)))
1614, 15sylib 217 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘§)))
1716simprd 496 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘§))
1817ralrimiva 3146 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘§ ∈ ℝ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘§))
19 reex 11197 . . . . . . . . . . 11 ℝ ∈ V
2019a1i 11 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ℝ ∈ V)
21 c0ex 11204 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ V
2221a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ 0 ∈ V)
23 eqidd 2733 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ ℝ ↦ 0) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ 0))
2413feqmptd 6957 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℝ ↦ (πΉβ€˜π‘§)))
2520, 22, 14, 23, 24ofrfval2 7687 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝑧 ∈ ℝ ↦ 0) ∘r ≀ 𝐹 ↔ βˆ€π‘§ ∈ ℝ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘§)))
2618, 25mpbird 256 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ ℝ ↦ 0) ∘r ≀ 𝐹)
2726ralrimivw 3150 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ 0) ∘r ≀ 𝐹)
28 r19.2z 4493 . . . . . . 7 ((ℝ+ β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ 0) ∘r ≀ 𝐹) β†’ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ 0) ∘r ≀ 𝐹)
2912, 27, 28sylancr 587 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ 0) ∘r ≀ 𝐹)
30 fveq2 6888 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = (ℝ Γ— {0}) β†’ (∫1β€˜π‘“) = (∫1β€˜(ℝ Γ— {0})))
31 itg10 25196 . . . . . . . . . 10 (∫1β€˜(ℝ Γ— {0})) = 0
3230, 31eqtr2di 2789 . . . . . . . . 9 (𝑓 = (ℝ Γ— {0}) β†’ 0 = (∫1β€˜π‘“))
3332biantrud 532 . . . . . . . 8 (𝑓 = (ℝ Γ— {0}) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ↔ (βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ 0 = (∫1β€˜π‘“))))
34 fveq1 6887 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 = (ℝ Γ— {0}) β†’ (π‘“β€˜π‘§) = ((ℝ Γ— {0})β€˜π‘§))
3521fvconst2 7201 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ ℝ β†’ ((ℝ Γ— {0})β€˜π‘§) = 0)
3634, 35sylan9eq 2792 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓 = (ℝ Γ— {0}) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (π‘“β€˜π‘§) = 0)
3736iftrued 4535 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓 = (ℝ Γ— {0}) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐)) = 0)
3837mpteq2dva 5247 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = (ℝ Γ— {0}) β†’ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ 0))
3938breq1d 5157 . . . . . . . . 9 (𝑓 = (ℝ Γ— {0}) β†’ ((𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ↔ (𝑧 ∈ ℝ ↦ 0) ∘r ≀ 𝐹))
4039rexbidv 3178 . . . . . . . 8 (𝑓 = (ℝ Γ— {0}) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ↔ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ 0) ∘r ≀ 𝐹))
4133, 40bitr3d 280 . . . . . . 7 (𝑓 = (ℝ Γ— {0}) β†’ ((βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ 0 = (∫1β€˜π‘“)) ↔ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ 0) ∘r ≀ 𝐹))
4241rspcev 3612 . . . . . 6 (((ℝ Γ— {0}) ∈ dom ∫1 ∧ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ 0) ∘r ≀ 𝐹) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ 0 = (∫1β€˜π‘“)))
438, 29, 42sylancr 587 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ 0 = (∫1β€˜π‘“)))
44 eqeq1 2736 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 0 β†’ (π‘₯ = (∫1β€˜π‘“) ↔ 0 = (∫1β€˜π‘“)))
4544anbi2d 629 . . . . . . 7 (π‘₯ = 0 β†’ ((βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“)) ↔ (βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ 0 = (∫1β€˜π‘“))))
4645rexbidv 3178 . . . . . 6 (π‘₯ = 0 β†’ (βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“)) ↔ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ 0 = (∫1β€˜π‘“))))
4721, 46elab 3667 . . . . 5 (0 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))} ↔ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ 0 = (∫1β€˜π‘“)))
4843, 47sylibr 233 . . . 4 (πœ‘ β†’ 0 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))})
4948ne0d 4334 . . 3 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))} β‰  βˆ…)
50 icossicc 13409 . . . . . . 7 (0[,)+∞) βŠ† (0[,]+∞)
51 fss 6731 . . . . . . 7 ((𝐹:β„βŸΆ(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) βŠ† (0[,]+∞)) β†’ 𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞))
5250, 51mpan2 689 . . . . . 6 (𝐹:β„βŸΆ(0[,)+∞) β†’ 𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞))
53 eqid 2732 . . . . . . 7 {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))} = {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}
5453itg2addnclem 36527 . . . . . 6 (𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) β†’ (∫2β€˜πΉ) = sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}, ℝ*, < ))
5513, 52, 543syl 18 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜πΉ) = sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}, ℝ*, < ))
56 itg2addnc.f3 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜πΉ) ∈ ℝ)
5755, 56eqeltrrd 2834 . . . 4 (πœ‘ β†’ sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
58 ressxr 11254 . . . . . . 7 ℝ βŠ† ℝ*
596, 58sstri 3990 . . . . . 6 {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))} βŠ† ℝ*
60 supxrub 13299 . . . . . 6 (({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))} βŠ† ℝ* ∧ 𝑏 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}) β†’ 𝑏 ≀ sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}, ℝ*, < ))
6159, 60mpan 688 . . . . 5 (𝑏 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))} β†’ 𝑏 ≀ sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}, ℝ*, < ))
6261rgen 3063 . . . 4 βˆ€π‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}𝑏 ≀ sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}, ℝ*, < )
63 brralrspcev 5207 . . . 4 ((sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}, ℝ*, < ) ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}𝑏 ≀ sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}, ℝ*, < )) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ βˆ€π‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}𝑏 ≀ π‘Ž)
6457, 62, 63sylancl 586 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ βˆ€π‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}𝑏 ≀ π‘Ž)
65 simprr 771 . . . . . . 7 ((𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ (βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))) β†’ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))
66 itg1cl 25193 . . . . . . . 8 (𝑔 ∈ dom ∫1 β†’ (∫1β€˜π‘”) ∈ ℝ)
6766adantr 481 . . . . . . 7 ((𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ (βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))) β†’ (∫1β€˜π‘”) ∈ ℝ)
6865, 67eqeltrd 2833 . . . . . 6 ((𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ (βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
6968rexlimiva 3147 . . . . 5 (βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
7069abssi 4066 . . . 4 {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))} βŠ† ℝ
7170a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))} βŠ† ℝ)
72 itg2addnc.g2 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐺:β„βŸΆ(0[,)+∞))
7372ffvelcdmda 7083 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (πΊβ€˜π‘§) ∈ (0[,)+∞))
74 elrege0 13427 . . . . . . . . . . . 12 ((πΊβ€˜π‘§) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((πΊβ€˜π‘§) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (πΊβ€˜π‘§)))
7573, 74sylib 217 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ ((πΊβ€˜π‘§) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (πΊβ€˜π‘§)))
7675simprd 496 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ 0 ≀ (πΊβ€˜π‘§))
7776ralrimiva 3146 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘§ ∈ ℝ 0 ≀ (πΊβ€˜π‘§))
7872feqmptd 6957 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐺 = (𝑧 ∈ ℝ ↦ (πΊβ€˜π‘§)))
7920, 22, 73, 23, 78ofrfval2 7687 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝑧 ∈ ℝ ↦ 0) ∘r ≀ 𝐺 ↔ βˆ€π‘§ ∈ ℝ 0 ≀ (πΊβ€˜π‘§)))
8077, 79mpbird 256 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ ℝ ↦ 0) ∘r ≀ 𝐺)
8180ralrimivw 3150 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ 0) ∘r ≀ 𝐺)
82 r19.2z 4493 . . . . . . 7 ((ℝ+ β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ 0) ∘r ≀ 𝐺) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ 0) ∘r ≀ 𝐺)
8312, 81, 82sylancr 587 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ 0) ∘r ≀ 𝐺)
84 fveq2 6888 . . . . . . . . . 10 (𝑔 = (ℝ Γ— {0}) β†’ (∫1β€˜π‘”) = (∫1β€˜(ℝ Γ— {0})))
8584, 31eqtr2di 2789 . . . . . . . . 9 (𝑔 = (ℝ Γ— {0}) β†’ 0 = (∫1β€˜π‘”))
8685biantrud 532 . . . . . . . 8 (𝑔 = (ℝ Γ— {0}) β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ↔ (βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ 0 = (∫1β€˜π‘”))))
87 fveq1 6887 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑔 = (ℝ Γ— {0}) β†’ (π‘”β€˜π‘§) = ((ℝ Γ— {0})β€˜π‘§))
8887, 35sylan9eq 2792 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑔 = (ℝ Γ— {0}) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (π‘”β€˜π‘§) = 0)
8988iftrued 4535 . . . . . . . . . . 11 ((𝑔 = (ℝ Γ— {0}) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑)) = 0)
9089mpteq2dva 5247 . . . . . . . . . 10 (𝑔 = (ℝ Γ— {0}) β†’ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ 0))
9190breq1d 5157 . . . . . . . . 9 (𝑔 = (ℝ Γ— {0}) β†’ ((𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ↔ (𝑧 ∈ ℝ ↦ 0) ∘r ≀ 𝐺))
9291rexbidv 3178 . . . . . . . 8 (𝑔 = (ℝ Γ— {0}) β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ 0) ∘r ≀ 𝐺))
9386, 92bitr3d 280 . . . . . . 7 (𝑔 = (ℝ Γ— {0}) β†’ ((βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ 0 = (∫1β€˜π‘”)) ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ 0) ∘r ≀ 𝐺))
9493rspcev 3612 . . . . . 6 (((ℝ Γ— {0}) ∈ dom ∫1 ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ 0) ∘r ≀ 𝐺) β†’ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ 0 = (∫1β€˜π‘”)))
958, 83, 94sylancr 587 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ 0 = (∫1β€˜π‘”)))
96 eqeq1 2736 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 0 β†’ (π‘₯ = (∫1β€˜π‘”) ↔ 0 = (∫1β€˜π‘”)))
9796anbi2d 629 . . . . . . 7 (π‘₯ = 0 β†’ ((βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”)) ↔ (βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ 0 = (∫1β€˜π‘”))))
9897rexbidv 3178 . . . . . 6 (π‘₯ = 0 β†’ (βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”)) ↔ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ 0 = (∫1β€˜π‘”))))
9921, 98elab 3667 . . . . 5 (0 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))} ↔ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ 0 = (∫1β€˜π‘”)))
10095, 99sylibr 233 . . . 4 (πœ‘ β†’ 0 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))})
101100ne0d 4334 . . 3 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))} β‰  βˆ…)
102 fss 6731 . . . . . . 7 ((𝐺:β„βŸΆ(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) βŠ† (0[,]+∞)) β†’ 𝐺:β„βŸΆ(0[,]+∞))
10350, 102mpan2 689 . . . . . 6 (𝐺:β„βŸΆ(0[,)+∞) β†’ 𝐺:β„βŸΆ(0[,]+∞))
104 eqid 2732 . . . . . . 7 {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))} = {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}
105104itg2addnclem 36527 . . . . . 6 (𝐺:β„βŸΆ(0[,]+∞) β†’ (∫2β€˜πΊ) = sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}, ℝ*, < ))
10672, 103, 1053syl 18 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜πΊ) = sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}, ℝ*, < ))
107 itg2addnc.g3 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜πΊ) ∈ ℝ)
108106, 107eqeltrrd 2834 . . . 4 (πœ‘ β†’ sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
10970, 58sstri 3990 . . . . . 6 {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))} βŠ† ℝ*
110 supxrub 13299 . . . . . 6 (({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))} βŠ† ℝ* ∧ 𝑏 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}) β†’ 𝑏 ≀ sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}, ℝ*, < ))
111109, 110mpan 688 . . . . 5 (𝑏 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))} β†’ 𝑏 ≀ sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}, ℝ*, < ))
112111rgen 3063 . . . 4 βˆ€π‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}𝑏 ≀ sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}, ℝ*, < )
113 brralrspcev 5207 . . . 4 ((sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}, ℝ*, < ) ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}𝑏 ≀ sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}, ℝ*, < )) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ βˆ€π‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}𝑏 ≀ π‘Ž)
114108, 112, 113sylancl 586 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ βˆ€π‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}𝑏 ≀ π‘Ž)
115 eqid 2732 . . 3 {𝑠 ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}βˆƒπ‘’ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}𝑠 = (𝑑 + 𝑒)} = {𝑠 ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}βˆƒπ‘’ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}𝑠 = (𝑑 + 𝑒)}
1167, 49, 64, 71, 101, 114, 115supadd 12178 . 2 (πœ‘ β†’ (sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}, ℝ, < ) + sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}, ℝ, < )) = sup({𝑠 ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}βˆƒπ‘’ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}𝑠 = (𝑑 + 𝑒)}, ℝ, < ))
117 supxrre 13302 . . . . 5 (({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))} βŠ† ℝ ∧ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))} β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ βˆ€π‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}𝑏 ≀ π‘Ž) β†’ sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}, ℝ*, < ) = sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}, ℝ, < ))
1187, 49, 64, 117syl3anc 1371 . . . 4 (πœ‘ β†’ sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}, ℝ*, < ) = sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}, ℝ, < ))
11955, 118eqtrd 2772 . . 3 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜πΉ) = sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}, ℝ, < ))
120 supxrre 13302 . . . . 5 (({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))} βŠ† ℝ ∧ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))} β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ βˆ€π‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}𝑏 ≀ π‘Ž) β†’ sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}, ℝ*, < ) = sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}, ℝ, < ))
12171, 101, 114, 120syl3anc 1371 . . . 4 (πœ‘ β†’ sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}, ℝ*, < ) = sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}, ℝ, < ))
122106, 121eqtrd 2772 . . 3 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜πΊ) = sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}, ℝ, < ))
123119, 122oveq12d 7423 . 2 (πœ‘ β†’ ((∫2β€˜πΉ) + (∫2β€˜πΊ)) = (sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}, ℝ, < ) + sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}, ℝ, < )))
124 ge0addcl 13433 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) β†’ (π‘₯ + 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
12550, 124sselid 3979 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) β†’ (π‘₯ + 𝑦) ∈ (0[,]+∞))
126125adantl 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞))) β†’ (π‘₯ + 𝑦) ∈ (0[,]+∞))
127 inidm 4217 . . . . 5 (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
128126, 13, 72, 20, 20, 127off 7684 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘f + 𝐺):β„βŸΆ(0[,]+∞))
129 eqid 2732 . . . . 5 {𝑠 ∣ βˆƒβ„Ž ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((β„Žβ€˜π‘§) = 0, 0, ((β„Žβ€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ (𝐹 ∘f + 𝐺) ∧ 𝑠 = (∫1β€˜β„Ž))} = {𝑠 ∣ βˆƒβ„Ž ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((β„Žβ€˜π‘§) = 0, 0, ((β„Žβ€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ (𝐹 ∘f + 𝐺) ∧ 𝑠 = (∫1β€˜β„Ž))}
130129itg2addnclem 36527 . . . 4 ((𝐹 ∘f + 𝐺):β„βŸΆ(0[,]+∞) β†’ (∫2β€˜(𝐹 ∘f + 𝐺)) = sup({𝑠 ∣ βˆƒβ„Ž ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((β„Žβ€˜π‘§) = 0, 0, ((β„Žβ€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ (𝐹 ∘f + 𝐺) ∧ 𝑠 = (∫1β€˜β„Ž))}, ℝ*, < ))
131128, 130syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜(𝐹 ∘f + 𝐺)) = sup({𝑠 ∣ βˆƒβ„Ž ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((β„Žβ€˜π‘§) = 0, 0, ((β„Žβ€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ (𝐹 ∘f + 𝐺) ∧ 𝑠 = (∫1β€˜β„Ž))}, ℝ*, < ))
132 itg2addnc.f1 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ MblFn)
133132, 13, 56, 72, 107itg2addnclem3 36529 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (βˆƒβ„Ž ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((β„Žβ€˜π‘§) = 0, 0, ((β„Žβ€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ (𝐹 ∘f + 𝐺) ∧ 𝑠 = (∫1β€˜β„Ž)) β†’ βˆƒπ‘‘βˆƒπ‘’(βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1((βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑑 = (∫1β€˜π‘“)) ∧ (βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ 𝑒 = (∫1β€˜π‘”))) ∧ 𝑠 = (𝑑 + 𝑒))))
134 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1) β†’ 𝑓 ∈ dom ∫1)
135 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1) β†’ 𝑔 ∈ dom ∫1)
136134, 135i1fadd 25203 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1) β†’ (𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ dom ∫1)
137136ad3antlr 729 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ ((βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑑 = (∫1β€˜π‘“)) ∧ (βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ 𝑒 = (∫1β€˜π‘”)))) ∧ 𝑠 = (𝑑 + 𝑒)) β†’ (𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ dom ∫1)
138 reeanv 3226 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ ((𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺) ↔ (βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺))
139138biimpri 227 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺) β†’ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ ((𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺))
140139ad2ant2r 745 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑑 = (∫1β€˜π‘“)) ∧ (βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ 𝑒 = (∫1β€˜π‘”))) β†’ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ ((𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺))
141 ifcl 4572 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) β†’ if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑) ∈ ℝ+)
142141ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺)) β†’ if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑) ∈ ℝ+)
143 breq1 5150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (0 = if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐)) β†’ (0 ≀ (πΉβ€˜π‘§) ↔ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐)) ≀ (πΉβ€˜π‘§)))
144143anbi1d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (0 = if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐)) β†’ ((0 ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑)) ≀ (πΊβ€˜π‘§)) ↔ (if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐)) ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑)) ≀ (πΊβ€˜π‘§))))
145144imbi1d 341 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (0 = if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐)) β†’ (((0 ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑)) ≀ (πΊβ€˜π‘§)) β†’ if(((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) = 0, 0, (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑))) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§))) ↔ ((if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐)) ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑)) ≀ (πΊβ€˜π‘§)) β†’ if(((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) = 0, 0, (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑))) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§)))))
146 breq1 5150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐) = if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐)) β†’ (((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐) ≀ (πΉβ€˜π‘§) ↔ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐)) ≀ (πΉβ€˜π‘§)))
147146anbi1d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐) = if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐)) β†’ ((((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐) ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑)) ≀ (πΊβ€˜π‘§)) ↔ (if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐)) ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑)) ≀ (πΊβ€˜π‘§))))
148147imbi1d 341 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐) = if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐)) β†’ (((((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐) ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑)) ≀ (πΊβ€˜π‘§)) β†’ if(((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) = 0, 0, (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑))) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§))) ↔ ((if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐)) ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑)) ≀ (πΊβ€˜π‘§)) β†’ if(((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) = 0, 0, (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑))) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§)))))
149 breq1 5150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (0 = if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑)) β†’ (0 ≀ (πΊβ€˜π‘§) ↔ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑)) ≀ (πΊβ€˜π‘§)))
150149anbi2d 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (0 = if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑)) β†’ ((0 ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ 0 ≀ (πΊβ€˜π‘§)) ↔ (0 ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑)) ≀ (πΊβ€˜π‘§))))
151150imbi1d 341 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (0 = if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑)) β†’ (((0 ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ 0 ≀ (πΊβ€˜π‘§)) β†’ if(((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) = 0, 0, (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑))) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§))) ↔ ((0 ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑)) ≀ (πΊβ€˜π‘§)) β†’ if(((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) = 0, 0, (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑))) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§)))))
152 breq1 5150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑) = if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑)) β†’ (((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑) ≀ (πΊβ€˜π‘§) ↔ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑)) ≀ (πΊβ€˜π‘§)))
153152anbi2d 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑) = if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑)) β†’ ((0 ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑) ≀ (πΊβ€˜π‘§)) ↔ (0 ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑)) ≀ (πΊβ€˜π‘§))))
154153imbi1d 341 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑) = if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑)) β†’ (((0 ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑) ≀ (πΊβ€˜π‘§)) β†’ if(((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) = 0, 0, (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑))) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§))) ↔ ((0 ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑)) ≀ (πΊβ€˜π‘§)) β†’ if(((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) = 0, 0, (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑))) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§)))))
155 oveq12 7414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((π‘“β€˜π‘§) = 0 ∧ (π‘”β€˜π‘§) = 0) β†’ ((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) = (0 + 0))
156 00id 11385 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (0 + 0) = 0
157155, 156eqtrdi 2788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((π‘“β€˜π‘§) = 0 ∧ (π‘”β€˜π‘§) = 0) β†’ ((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) = 0)
158157iftrued 4535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((π‘“β€˜π‘§) = 0 ∧ (π‘”β€˜π‘§) = 0) β†’ if(((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) = 0, 0, (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑))) = 0)
159158adantll 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (π‘“β€˜π‘§) = 0) ∧ (π‘”β€˜π‘§) = 0) β†’ if(((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) = 0, 0, (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑))) = 0)
160 simpll 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) β†’ πœ‘)
16115simplbi 498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((πΉβ€˜π‘§) ∈ (0[,)+∞) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ ℝ)
16214, 161syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ ℝ)
16374simplbi 498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((πΊβ€˜π‘§) ∈ (0[,)+∞) β†’ (πΊβ€˜π‘§) ∈ ℝ)
16473, 163syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (πΊβ€˜π‘§) ∈ ℝ)
165162, 164, 17, 76addge0d 11786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ 0 ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§)))
166160, 165sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ 0 ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§)))
167166ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (π‘“β€˜π‘§) = 0) ∧ (π‘”β€˜π‘§) = 0) β†’ 0 ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§)))
168159, 167eqbrtrd 5169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (π‘“β€˜π‘§) = 0) ∧ (π‘”β€˜π‘§) = 0) β†’ if(((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) = 0, 0, (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑))) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§)))
169168a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (π‘“β€˜π‘§) = 0) ∧ (π‘”β€˜π‘§) = 0) β†’ ((0 ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ 0 ≀ (πΊβ€˜π‘§)) β†’ if(((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) = 0, 0, (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑))) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§))))
170166ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (π‘“β€˜π‘§) = 0) ∧ ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑) ≀ (πΊβ€˜π‘§)) β†’ 0 ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§)))
171 oveq1 7412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((π‘“β€˜π‘§) = 0 β†’ ((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) = (0 + (π‘”β€˜π‘§)))
172 simplrr 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) β†’ 𝑔 ∈ dom ∫1)
173 i1ff 25184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑔 ∈ dom ∫1 β†’ 𝑔:β„βŸΆβ„)
174173ffvelcdmda 7083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (π‘”β€˜π‘§) ∈ ℝ)
175172, 174sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (π‘”β€˜π‘§) ∈ ℝ)
176175recnd 11238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (π‘”β€˜π‘§) ∈ β„‚)
177176addlidd 11411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (0 + (π‘”β€˜π‘§)) = (π‘”β€˜π‘§))
178171, 177sylan9eqr 2794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (π‘“β€˜π‘§) = 0) β†’ ((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) = (π‘”β€˜π‘§))
179178oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (π‘“β€˜π‘§) = 0) β†’ (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)) = ((π‘”β€˜π‘§) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)))
180179adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (π‘“β€˜π‘§) = 0) ∧ ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑) ≀ (πΊβ€˜π‘§)) β†’ (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)) = ((π‘”β€˜π‘§) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)))
181141rpred 13012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) β†’ if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑) ∈ ℝ)
182181ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑) ∈ ℝ)
183175, 182readdcld 11239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ ((π‘”β€˜π‘§) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)) ∈ ℝ)
184183adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑) ≀ (πΊβ€˜π‘§)) β†’ ((π‘”β€˜π‘§) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)) ∈ ℝ)
185160, 164sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (πΊβ€˜π‘§) ∈ ℝ)
186185adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑) ≀ (πΊβ€˜π‘§)) β†’ (πΊβ€˜π‘§) ∈ ℝ)
187160, 162sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ ℝ)
188187, 185readdcld 11239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§)) ∈ ℝ)
189188adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑) ≀ (πΊβ€˜π‘§)) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§)) ∈ ℝ)
190 simplrr 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ 𝑑 ∈ ℝ+)
191190rpred 13012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ 𝑑 ∈ ℝ)
192 rpre 12978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑐 ∈ ℝ+ β†’ 𝑐 ∈ ℝ)
193 rpre 12978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑑 ∈ ℝ+ β†’ 𝑑 ∈ ℝ)
194 min2 13165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑) ≀ 𝑑)
195192, 193, 194syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) β†’ if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑) ≀ 𝑑)
196195ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑) ≀ 𝑑)
197182, 191, 175, 196leadd2dd 11825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ ((π‘”β€˜π‘§) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)) ≀ ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))
198175, 191readdcld 11239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑) ∈ ℝ)
199 letr 11304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((π‘”β€˜π‘§) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)) ∈ ℝ ∧ ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑) ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘§) ∈ ℝ) β†’ ((((π‘”β€˜π‘§) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)) ≀ ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑) ∧ ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑) ≀ (πΊβ€˜π‘§)) β†’ ((π‘”β€˜π‘§) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)) ≀ (πΊβ€˜π‘§)))
200183, 198, 185, 199syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ ((((π‘”β€˜π‘§) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)) ≀ ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑) ∧ ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑) ≀ (πΊβ€˜π‘§)) β†’ ((π‘”β€˜π‘§) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)) ≀ (πΊβ€˜π‘§)))
201197, 200mpand 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑) ≀ (πΊβ€˜π‘§) β†’ ((π‘”β€˜π‘§) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)) ≀ (πΊβ€˜π‘§)))
202201imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑) ≀ (πΊβ€˜π‘§)) β†’ ((π‘”β€˜π‘§) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)) ≀ (πΊβ€˜π‘§))
203164, 162addge02d 11799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (0 ≀ (πΉβ€˜π‘§) ↔ (πΊβ€˜π‘§) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§))))
20417, 203mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (πΊβ€˜π‘§) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§)))
205160, 204sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (πΊβ€˜π‘§) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§)))
206205adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑) ≀ (πΊβ€˜π‘§)) β†’ (πΊβ€˜π‘§) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§)))
207184, 186, 189, 202, 206letrd 11367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑) ≀ (πΊβ€˜π‘§)) β†’ ((π‘”β€˜π‘§) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§)))
208207adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (π‘“β€˜π‘§) = 0) ∧ ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑) ≀ (πΊβ€˜π‘§)) β†’ ((π‘”β€˜π‘§) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§)))
209180, 208eqbrtrd 5169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (π‘“β€˜π‘§) = 0) ∧ ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑) ≀ (πΊβ€˜π‘§)) β†’ (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§)))
210 breq1 5150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (0 = if(((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) = 0, 0, (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑))) β†’ (0 ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§)) ↔ if(((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) = 0, 0, (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑))) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§))))
211 breq1 5150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)) = if(((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) = 0, 0, (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑))) β†’ ((((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§)) ↔ if(((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) = 0, 0, (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑))) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§))))
212210, 211ifboth 4566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((0 ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§)) ∧ (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§))) β†’ if(((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) = 0, 0, (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑))) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§)))
213170, 209, 212syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (π‘“β€˜π‘§) = 0) ∧ ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑) ≀ (πΊβ€˜π‘§)) β†’ if(((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) = 0, 0, (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑))) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§)))
214213ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (π‘“β€˜π‘§) = 0) β†’ (((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑) ≀ (πΊβ€˜π‘§) β†’ if(((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) = 0, 0, (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑))) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§))))
215214adantld 491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (π‘“β€˜π‘§) = 0) β†’ ((0 ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑) ≀ (πΊβ€˜π‘§)) β†’ if(((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) = 0, 0, (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑))) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§))))
216215adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (π‘“β€˜π‘§) = 0) ∧ Β¬ (π‘”β€˜π‘§) = 0) β†’ ((0 ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑) ≀ (πΊβ€˜π‘§)) β†’ if(((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) = 0, 0, (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑))) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§))))
217151, 154, 169, 216ifbothda 4565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (π‘“β€˜π‘§) = 0) β†’ ((0 ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑)) ≀ (πΊβ€˜π‘§)) β†’ if(((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) = 0, 0, (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑))) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§))))
218149anbi2d 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (0 = if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑)) β†’ ((((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐) ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ 0 ≀ (πΊβ€˜π‘§)) ↔ (((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐) ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑)) ≀ (πΊβ€˜π‘§))))
219218imbi1d 341 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (0 = if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑)) β†’ (((((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐) ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ 0 ≀ (πΊβ€˜π‘§)) β†’ if(((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) = 0, 0, (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑))) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§))) ↔ ((((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐) ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑)) ≀ (πΊβ€˜π‘§)) β†’ if(((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) = 0, 0, (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑))) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§)))))
220152anbi2d 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑) = if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑)) β†’ ((((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐) ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑) ≀ (πΊβ€˜π‘§)) ↔ (((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐) ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑)) ≀ (πΊβ€˜π‘§))))
221220imbi1d 341 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑) = if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑)) β†’ (((((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐) ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑) ≀ (πΊβ€˜π‘§)) β†’ if(((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) = 0, 0, (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑))) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§))) ↔ ((((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐) ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑)) ≀ (πΊβ€˜π‘§)) β†’ if(((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) = 0, 0, (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑))) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§)))))
222166ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (π‘”β€˜π‘§) = 0) ∧ ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐) ≀ (πΉβ€˜π‘§)) β†’ 0 ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§)))
223 oveq2 7413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((π‘”β€˜π‘§) = 0 β†’ ((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) = ((π‘“β€˜π‘§) + 0))
224 simplrl 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) β†’ 𝑓 ∈ dom ∫1)
225 i1ff 25184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑓 ∈ dom ∫1 β†’ 𝑓:β„βŸΆβ„)
226225ffvelcdmda 7083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (π‘“β€˜π‘§) ∈ ℝ)
227224, 226sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (π‘“β€˜π‘§) ∈ ℝ)
228227recnd 11238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (π‘“β€˜π‘§) ∈ β„‚)
229228addridd 11410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ ((π‘“β€˜π‘§) + 0) = (π‘“β€˜π‘§))
230223, 229sylan9eqr 2794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (π‘”β€˜π‘§) = 0) β†’ ((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) = (π‘“β€˜π‘§))
231230oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (π‘”β€˜π‘§) = 0) β†’ (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)) = ((π‘“β€˜π‘§) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)))
232231adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (π‘”β€˜π‘§) = 0) ∧ ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐) ≀ (πΉβ€˜π‘§)) β†’ (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)) = ((π‘“β€˜π‘§) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)))
233227, 182readdcld 11239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ ((π‘“β€˜π‘§) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)) ∈ ℝ)
234233adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐) ≀ (πΉβ€˜π‘§)) β†’ ((π‘“β€˜π‘§) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)) ∈ ℝ)
235187adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐) ≀ (πΉβ€˜π‘§)) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ ℝ)
236188adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐) ≀ (πΉβ€˜π‘§)) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§)) ∈ ℝ)
237 simplrl 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ 𝑐 ∈ ℝ+)
238237rpred 13012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ 𝑐 ∈ ℝ)
239 min1 13164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑) ≀ 𝑐)
240192, 193, 239syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) β†’ if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑) ≀ 𝑐)
241240ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑) ≀ 𝑐)
242182, 238, 227, 241leadd2dd 11825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ ((π‘“β€˜π‘§) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)) ≀ ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))
243227, 238readdcld 11239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐) ∈ ℝ)
244 letr 11304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((π‘“β€˜π‘§) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)) ∈ ℝ ∧ ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ ℝ) β†’ ((((π‘“β€˜π‘§) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)) ≀ ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐) ∧ ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐) ≀ (πΉβ€˜π‘§)) β†’ ((π‘“β€˜π‘§) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)) ≀ (πΉβ€˜π‘§)))
245233, 243, 187, 244syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ ((((π‘“β€˜π‘§) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)) ≀ ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐) ∧ ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐) ≀ (πΉβ€˜π‘§)) β†’ ((π‘“β€˜π‘§) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)) ≀ (πΉβ€˜π‘§)))
246242, 245mpand 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐) ≀ (πΉβ€˜π‘§) β†’ ((π‘“β€˜π‘§) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)) ≀ (πΉβ€˜π‘§)))
247246imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐) ≀ (πΉβ€˜π‘§)) β†’ ((π‘“β€˜π‘§) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)) ≀ (πΉβ€˜π‘§))
248162, 164addge01d 11798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (0 ≀ (πΊβ€˜π‘§) ↔ (πΉβ€˜π‘§) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§))))
24976, 248mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§)))
250160, 249sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§)))
251250adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐) ≀ (πΉβ€˜π‘§)) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§)))
252234, 235, 236, 247, 251letrd 11367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐) ≀ (πΉβ€˜π‘§)) β†’ ((π‘“β€˜π‘§) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§)))
253252adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (π‘”β€˜π‘§) = 0) ∧ ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐) ≀ (πΉβ€˜π‘§)) β†’ ((π‘“β€˜π‘§) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§)))
254232, 253eqbrtrd 5169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (π‘”β€˜π‘§) = 0) ∧ ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐) ≀ (πΉβ€˜π‘§)) β†’ (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§)))
255222, 254, 212syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (π‘”β€˜π‘§) = 0) ∧ ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐) ≀ (πΉβ€˜π‘§)) β†’ if(((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) = 0, 0, (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑))) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§)))
256255ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (π‘”β€˜π‘§) = 0) β†’ (((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐) ≀ (πΉβ€˜π‘§) β†’ if(((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) = 0, 0, (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑))) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§))))
257256adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ Β¬ (π‘“β€˜π‘§) = 0) ∧ (π‘”β€˜π‘§) = 0) β†’ (((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐) ≀ (πΉβ€˜π‘§) β†’ if(((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) = 0, 0, (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑))) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§))))
258257adantrd 492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ Β¬ (π‘“β€˜π‘§) = 0) ∧ (π‘”β€˜π‘§) = 0) β†’ ((((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐) ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ 0 ≀ (πΊβ€˜π‘§)) β†’ if(((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) = 0, 0, (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑))) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§))))
259166adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐) ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑) ≀ (πΊβ€˜π‘§))) β†’ 0 ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§)))
260182recnd 11238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑) ∈ β„‚)
261228, 176, 260addassd 11232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)) = ((π‘“β€˜π‘§) + ((π‘”β€˜π‘§) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑))))
262261adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐) ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑) ≀ (πΊβ€˜π‘§))) β†’ (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)) = ((π‘“β€˜π‘§) + ((π‘”β€˜π‘§) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑))))
263227, 237ltaddrpd 13045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (π‘“β€˜π‘§) < ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))
264227, 243, 263ltled 11358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (π‘“β€˜π‘§) ≀ ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))
265 letr 11304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((π‘“β€˜π‘§) ∈ ℝ ∧ ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ ℝ) β†’ (((π‘“β€˜π‘§) ≀ ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐) ∧ ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐) ≀ (πΉβ€˜π‘§)) β†’ (π‘“β€˜π‘§) ≀ (πΉβ€˜π‘§)))
266227, 243, 187, 265syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (((π‘“β€˜π‘§) ≀ ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐) ∧ ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐) ≀ (πΉβ€˜π‘§)) β†’ (π‘“β€˜π‘§) ≀ (πΉβ€˜π‘§)))
267264, 266mpand 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐) ≀ (πΉβ€˜π‘§) β†’ (π‘“β€˜π‘§) ≀ (πΉβ€˜π‘§)))
268 le2add 11692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((π‘“β€˜π‘§) ∈ ℝ ∧ ((π‘”β€˜π‘§) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)) ∈ ℝ) ∧ ((πΉβ€˜π‘§) ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘§) ∈ ℝ)) β†’ (((π‘“β€˜π‘§) ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ ((π‘”β€˜π‘§) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)) ≀ (πΊβ€˜π‘§)) β†’ ((π‘“β€˜π‘§) + ((π‘”β€˜π‘§) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑))) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§))))
269227, 183, 187, 185, 268syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (((π‘“β€˜π‘§) ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ ((π‘”β€˜π‘§) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)) ≀ (πΊβ€˜π‘§)) β†’ ((π‘“β€˜π‘§) + ((π‘”β€˜π‘§) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑))) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§))))
270267, 201, 269syl2and 608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ ((((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐) ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑) ≀ (πΊβ€˜π‘§)) β†’ ((π‘“β€˜π‘§) + ((π‘”β€˜π‘§) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑))) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§))))
271270imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐) ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑) ≀ (πΊβ€˜π‘§))) β†’ ((π‘“β€˜π‘§) + ((π‘”β€˜π‘§) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑))) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§)))
272262, 271eqbrtrd 5169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐) ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑) ≀ (πΊβ€˜π‘§))) β†’ (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§)))
273259, 272, 212syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐) ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑) ≀ (πΊβ€˜π‘§))) β†’ if(((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) = 0, 0, (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑))) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§)))
274273ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ ((((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐) ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑) ≀ (πΊβ€˜π‘§)) β†’ if(((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) = 0, 0, (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑))) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§))))
275274ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ Β¬ (π‘“β€˜π‘§) = 0) ∧ Β¬ (π‘”β€˜π‘§) = 0) β†’ ((((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐) ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑) ≀ (πΊβ€˜π‘§)) β†’ if(((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) = 0, 0, (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑))) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§))))
276219, 221, 258, 275ifbothda 4565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ Β¬ (π‘“β€˜π‘§) = 0) β†’ ((((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐) ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑)) ≀ (πΊβ€˜π‘§)) β†’ if(((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) = 0, 0, (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑))) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§))))
277145, 148, 217, 276ifbothda 4565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ ((if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐)) ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑)) ≀ (πΊβ€˜π‘§)) β†’ if(((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) = 0, 0, (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑))) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§))))
278277ralimdva 3167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ ℝ (if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐)) ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑)) ≀ (πΊβ€˜π‘§)) β†’ βˆ€π‘§ ∈ ℝ if(((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) = 0, 0, (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑))) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§))))
279 ovex 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐) ∈ V
28021, 279ifex 4577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐)) ∈ V
281280a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐)) ∈ V)
282 eqidd 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))))
28320, 281, 14, 282, 24ofrfval2 7687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (πœ‘ β†’ ((𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ↔ βˆ€π‘§ ∈ ℝ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐)) ≀ (πΉβ€˜π‘§)))
284 ovex 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑) ∈ V
28521, 284ifex 4577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑)) ∈ V
286285a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑)) ∈ V)
287 eqidd 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))))
28820, 286, 73, 287, 78ofrfval2 7687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (πœ‘ β†’ ((𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ↔ βˆ€π‘§ ∈ ℝ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑)) ≀ (πΊβ€˜π‘§)))
289283, 288anbi12d 631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (πœ‘ β†’ (((𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺) ↔ (βˆ€π‘§ ∈ ℝ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐)) ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘§ ∈ ℝ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑)) ≀ (πΊβ€˜π‘§))))
290 r19.26 3111 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (βˆ€π‘§ ∈ ℝ (if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐)) ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑)) ≀ (πΊβ€˜π‘§)) ↔ (βˆ€π‘§ ∈ ℝ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐)) ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘§ ∈ ℝ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑)) ≀ (πΊβ€˜π‘§)))
291289, 290bitr4di 288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ (((𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺) ↔ βˆ€π‘§ ∈ ℝ (if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐)) ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑)) ≀ (πΊβ€˜π‘§))))
292291ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) β†’ (((𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺) ↔ βˆ€π‘§ ∈ ℝ (if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐)) ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑)) ≀ (πΊβ€˜π‘§))))
29319a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) β†’ ℝ ∈ V)
294 ovex 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)) ∈ V
29521, 294ifex 4577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 if(((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) = 0, 0, (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑))) ∈ V
296295a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ if(((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) = 0, 0, (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑))) ∈ V)
297 ovexd 7440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§)) ∈ V)
298225ffnd 6715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑓 ∈ dom ∫1 β†’ 𝑓 Fn ℝ)
299298adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1) β†’ 𝑓 Fn ℝ)
300299ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) β†’ 𝑓 Fn ℝ)
301173ffnd 6715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑔 ∈ dom ∫1 β†’ 𝑔 Fn ℝ)
302301adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1) β†’ 𝑔 Fn ℝ)
303302ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) β†’ 𝑔 Fn ℝ)
304 eqidd 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (π‘“β€˜π‘§) = (π‘“β€˜π‘§))
305 eqidd 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (π‘”β€˜π‘§) = (π‘”β€˜π‘§))
306300, 303, 293, 293, 127, 304, 305ofval 7677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ ((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) = ((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)))
307306eqeq1d 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) = 0 ↔ ((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) = 0))
308306oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)) = (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)))
309307, 308ifbieq2d 4553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ if(((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) = 0, 0, (((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑))) = if(((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) = 0, 0, (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑))))
310309mpteq2dva 5247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) β†’ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) = 0, 0, (((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)))) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) = 0, 0, (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)))))
31113ffnd 6715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn ℝ)
31272ffnd 6715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (πœ‘ β†’ 𝐺 Fn ℝ)
313 eqidd 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘§) = (πΉβ€˜π‘§))
314 eqidd 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜π‘§))
315311, 312, 20, 20, 127, 313, 314offval 7675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘f + 𝐺) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§))))
316315ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) β†’ (𝐹 ∘f + 𝐺) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§))))
317293, 296, 297, 310, 316ofrfval2 7687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) β†’ ((𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) = 0, 0, (((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)))) ∘r ≀ (𝐹 ∘f + 𝐺) ↔ βˆ€π‘§ ∈ ℝ if(((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) = 0, 0, (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑))) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§))))
318278, 292, 3173imtr4d 293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) β†’ (((𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺) β†’ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) = 0, 0, (((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)))) ∘r ≀ (𝐹 ∘f + 𝐺)))
319318imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺)) β†’ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) = 0, 0, (((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)))) ∘r ≀ (𝐹 ∘f + 𝐺))
320 oveq2 7413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 = if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑) β†’ (((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) + 𝑦) = (((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)))
321320ifeq2d 4547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 = if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑) β†’ if(((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) = 0, 0, (((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) + 𝑦)) = if(((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) = 0, 0, (((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑))))
322321mpteq2dv 5249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑) β†’ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) = 0, 0, (((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) + 𝑦))) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) = 0, 0, (((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)))))
323322breq1d 5157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑) β†’ ((𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) = 0, 0, (((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ (𝐹 ∘f + 𝐺) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) = 0, 0, (((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)))) ∘r ≀ (𝐹 ∘f + 𝐺)))
324323rspcev 3612 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑) ∈ ℝ+ ∧ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) = 0, 0, (((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)))) ∘r ≀ (𝐹 ∘f + 𝐺)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) = 0, 0, (((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ (𝐹 ∘f + 𝐺))
325142, 319, 324syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) = 0, 0, (((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ (𝐹 ∘f + 𝐺))
326325ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) β†’ (((𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) = 0, 0, (((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ (𝐹 ∘f + 𝐺)))
327326rexlimdvva 3211 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ ((𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) = 0, 0, (((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ (𝐹 ∘f + 𝐺)))
328140, 327syl5 34 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) β†’ (((βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑑 = (∫1β€˜π‘“)) ∧ (βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ 𝑒 = (∫1β€˜π‘”))) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) = 0, 0, (((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ (𝐹 ∘f + 𝐺)))
329328a1dd 50 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) β†’ (((βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑑 = (∫1β€˜π‘“)) ∧ (βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ 𝑒 = (∫1β€˜π‘”))) β†’ (𝑠 = (𝑑 + 𝑒) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) = 0, 0, (((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ (𝐹 ∘f + 𝐺))))
330329imp31 418 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ ((βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑑 = (∫1β€˜π‘“)) ∧ (βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ 𝑒 = (∫1β€˜π‘”)))) ∧ 𝑠 = (𝑑 + 𝑒)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) = 0, 0, (((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ (𝐹 ∘f + 𝐺))
331 oveq12 7414 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑑 = (∫1β€˜π‘“) ∧ 𝑒 = (∫1β€˜π‘”)) β†’ (𝑑 + 𝑒) = ((∫1β€˜π‘“) + (∫1β€˜π‘”)))
332331ad2ant2l 744 . . . . . . . . . . . . . 14 (((βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑑 = (∫1β€˜π‘“)) ∧ (βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ 𝑒 = (∫1β€˜π‘”))) β†’ (𝑑 + 𝑒) = ((∫1β€˜π‘“) + (∫1β€˜π‘”)))
333134, 135itg1add 25210 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1) β†’ (∫1β€˜(𝑓 ∘f + 𝑔)) = ((∫1β€˜π‘“) + (∫1β€˜π‘”)))
334333eqcomd 2738 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1) β†’ ((∫1β€˜π‘“) + (∫1β€˜π‘”)) = (∫1β€˜(𝑓 ∘f + 𝑔)))
335334adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) β†’ ((∫1β€˜π‘“) + (∫1β€˜π‘”)) = (∫1β€˜(𝑓 ∘f + 𝑔)))
336332, 335sylan9eqr 2794 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ ((βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑑 = (∫1β€˜π‘“)) ∧ (βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ 𝑒 = (∫1β€˜π‘”)))) β†’ (𝑑 + 𝑒) = (∫1β€˜(𝑓 ∘f + 𝑔)))
337 eqtr 2755 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑠 = (𝑑 + 𝑒) ∧ (𝑑 + 𝑒) = (∫1β€˜(𝑓 ∘f + 𝑔))) β†’ 𝑠 = (∫1β€˜(𝑓 ∘f + 𝑔)))
338337ancoms 459 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑑 + 𝑒) = (∫1β€˜(𝑓 ∘f + 𝑔)) ∧ 𝑠 = (𝑑 + 𝑒)) β†’ 𝑠 = (∫1β€˜(𝑓 ∘f + 𝑔)))
339336, 338sylan 580 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ ((βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑑 = (∫1β€˜π‘“)) ∧ (βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ 𝑒 = (∫1β€˜π‘”)))) ∧ 𝑠 = (𝑑 + 𝑒)) β†’ 𝑠 = (∫1β€˜(𝑓 ∘f + 𝑔)))
340 fveq1 6887 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (β„Ž = (𝑓 ∘f + 𝑔) β†’ (β„Žβ€˜π‘§) = ((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§))
341340eqeq1d 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (β„Ž = (𝑓 ∘f + 𝑔) β†’ ((β„Žβ€˜π‘§) = 0 ↔ ((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) = 0))
342340oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (β„Ž = (𝑓 ∘f + 𝑔) β†’ ((β„Žβ€˜π‘§) + 𝑦) = (((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) + 𝑦))
343341, 342ifbieq2d 4553 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (β„Ž = (𝑓 ∘f + 𝑔) β†’ if((β„Žβ€˜π‘§) = 0, 0, ((β„Žβ€˜π‘§) + 𝑦)) = if(((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) = 0, 0, (((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) + 𝑦)))
344343mpteq2dv 5249 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (β„Ž = (𝑓 ∘f + 𝑔) β†’ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((β„Žβ€˜π‘§) = 0, 0, ((β„Žβ€˜π‘§) + 𝑦))) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) = 0, 0, (((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) + 𝑦))))
345344breq1d 5157 . . . . . . . . . . . . . . 15 (β„Ž = (𝑓 ∘f + 𝑔) β†’ ((𝑧 ∈ ℝ ↦ if((β„Žβ€˜π‘§) = 0, 0, ((β„Žβ€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ (𝐹 ∘f + 𝐺) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) = 0, 0, (((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ (𝐹 ∘f + 𝐺)))
346345rexbidv 3178 . . . . . . . . . . . . . 14 (β„Ž = (𝑓 ∘f + 𝑔) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((β„Žβ€˜π‘§) = 0, 0, ((β„Žβ€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ (𝐹 ∘f + 𝐺) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) = 0, 0, (((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ (𝐹 ∘f + 𝐺)))
347 fveq2 6888 . . . . . . . . . . . . . . 15 (β„Ž = (𝑓 ∘f + 𝑔) β†’ (∫1β€˜β„Ž) = (∫1β€˜(𝑓 ∘f + 𝑔)))
348347eqeq2d 2743 . . . . . . . . . . . . . 14 (β„Ž = (𝑓 ∘f + 𝑔) β†’ (𝑠 = (∫1β€˜β„Ž) ↔ 𝑠 = (∫1β€˜(𝑓 ∘f + 𝑔))))
349346, 348anbi12d 631 . . . . . . . . . . . . 13 (β„Ž = (𝑓 ∘f + 𝑔) β†’ ((βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((β„Žβ€˜π‘§) = 0, 0, ((β„Žβ€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ (𝐹 ∘f + 𝐺) ∧ 𝑠 = (∫1β€˜β„Ž)) ↔ (βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) = 0, 0, (((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ (𝐹 ∘f + 𝐺) ∧ 𝑠 = (∫1β€˜(𝑓 ∘f + 𝑔)))))
350349rspcev 3612 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ dom ∫1 ∧ (βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) = 0, 0, (((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ (𝐹 ∘f + 𝐺) ∧ 𝑠 = (∫1β€˜(𝑓 ∘f + 𝑔)))) β†’ βˆƒβ„Ž ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((β„Žβ€˜π‘§) = 0, 0, ((β„Žβ€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ (𝐹 ∘f + 𝐺) ∧ 𝑠 = (∫1β€˜β„Ž)))
351137, 330, 339, 350syl12anc 835 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ ((βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑑 = (∫1β€˜π‘“)) ∧ (βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ 𝑒 = (∫1β€˜π‘”)))) ∧ 𝑠 = (𝑑 + 𝑒)) β†’ βˆƒβ„Ž ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((β„Žβ€˜π‘§) = 0, 0, ((β„Žβ€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ (𝐹 ∘f + 𝐺) ∧ 𝑠 = (∫1β€˜β„Ž)))
352351exp31 420 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) β†’ (((βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑑 = (∫1β€˜π‘“)) ∧ (βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ 𝑒 = (∫1β€˜π‘”))) β†’ (𝑠 = (𝑑 + 𝑒) β†’ βˆƒβ„Ž ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((β„Žβ€˜π‘§) = 0, 0, ((β„Žβ€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ (𝐹 ∘f + 𝐺) ∧ 𝑠 = (∫1β€˜β„Ž)))))
353352rexlimdvva 3211 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1((βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑑 = (∫1β€˜π‘“)) ∧ (βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ 𝑒 = (∫1β€˜π‘”))) β†’ (𝑠 = (𝑑 + 𝑒) β†’ βˆƒβ„Ž ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((β„Žβ€˜π‘§) = 0, 0, ((β„Žβ€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ (𝐹 ∘f + 𝐺) ∧ 𝑠 = (∫1β€˜β„Ž)))))
354353impd 411 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1((βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑑 = (∫1β€˜π‘“)) ∧ (βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ 𝑒 = (∫1β€˜π‘”))) ∧ 𝑠 = (𝑑 + 𝑒)) β†’ βˆƒβ„Ž ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((β„Žβ€˜π‘§) = 0, 0, ((β„Žβ€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ (𝐹 ∘f + 𝐺) ∧ 𝑠 = (∫1β€˜β„Ž))))
355354exlimdvv 1937 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘‘βˆƒπ‘’(βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1((βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑑 = (∫1β€˜π‘“)) ∧ (βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ 𝑒 = (∫1β€˜π‘”))) ∧ 𝑠 = (𝑑 + 𝑒)) β†’ βˆƒβ„Ž ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((β„Žβ€˜π‘§) = 0, 0, ((β„Žβ€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ (𝐹 ∘f + 𝐺) ∧ 𝑠 = (∫1β€˜β„Ž))))
356133, 355impbid 211 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (βˆƒβ„Ž ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((β„Žβ€˜π‘§) = 0, 0, ((β„Žβ€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ (𝐹 ∘f + 𝐺) ∧ 𝑠 = (∫1β€˜β„Ž)) ↔ βˆƒπ‘‘βˆƒπ‘’(βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1((βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑑 = (∫1β€˜π‘“)) ∧ (βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ 𝑒 = (∫1β€˜π‘”))) ∧ 𝑠 = (𝑑 + 𝑒))))
357 eqeq1 2736 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑑 β†’ (π‘₯ = (∫1β€˜π‘“) ↔ 𝑑 = (∫1β€˜π‘“)))
358357anbi2d 629 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑑 β†’ ((βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“)) ↔ (βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑑 = (∫1β€˜π‘“))))
359358rexbidv 3178 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑑 β†’ (βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“)) ↔ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑑 = (∫1β€˜π‘“))))
360359rexab 3689 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}βˆƒπ‘’ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}𝑠 = (𝑑 + 𝑒) ↔ βˆƒπ‘‘(βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑑 = (∫1β€˜π‘“)) ∧ βˆƒπ‘’ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}𝑠 = (𝑑 + 𝑒)))
361 eqeq1 2736 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = 𝑒 β†’ (π‘₯ = (∫1β€˜π‘”) ↔ 𝑒 = (∫1β€˜π‘”)))
362361anbi2d 629 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = 𝑒 β†’ ((βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”)) ↔ (βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ 𝑒 = (∫1β€˜π‘”))))
363362rexbidv 3178 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝑒 β†’ (βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”)) ↔ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ 𝑒 = (∫1β€˜π‘”))))
364363rexab 3689 . . . . . . . . . 10 (βˆƒπ‘’ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}𝑠 = (𝑑 + 𝑒) ↔ βˆƒπ‘’(βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ 𝑒 = (∫1β€˜π‘”)) ∧ 𝑠 = (𝑑 + 𝑒)))
365364anbi2i 623 . . . . . . . . 9 ((βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑑 = (∫1β€˜π‘“)) ∧ βˆƒπ‘’ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}𝑠 = (𝑑 + 𝑒)) ↔ (βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑑 = (∫1β€˜π‘“)) ∧ βˆƒπ‘’(βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ 𝑒 = (∫1β€˜π‘”)) ∧ 𝑠 = (𝑑 + 𝑒))))
366 19.42v 1957 . . . . . . . . 9 (βˆƒπ‘’(βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑑 = (∫1β€˜π‘“)) ∧ (βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ 𝑒 = (∫1β€˜π‘”)) ∧ 𝑠 = (𝑑 + 𝑒))) ↔ (βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑑 = (∫1β€˜π‘“)) ∧ βˆƒπ‘’(βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ 𝑒 = (∫1β€˜π‘”)) ∧ 𝑠 = (𝑑 + 𝑒))))
367 reeanv 3226 . . . . . . . . . . . 12 (βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1((βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑑 = (∫1β€˜π‘“)) ∧ (βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ 𝑒 = (∫1β€˜π‘”))) ↔ (βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑑 = (∫1β€˜π‘“)) ∧ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ 𝑒 = (∫1β€˜π‘”))))
368367anbi1i 624 . . . . . . . . . . 11 ((βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1((βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑑 = (∫1β€˜π‘“)) ∧ (βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ 𝑒 = (∫1β€˜π‘”))) ∧ 𝑠 = (𝑑 + 𝑒)) ↔ ((βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑑 = (∫1β€˜π‘“)) ∧ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ 𝑒 = (∫1β€˜π‘”))) ∧ 𝑠 = (𝑑 + 𝑒)))
369 anass 469 . . . . . . . . . . 11 (((βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑑 = (∫1β€˜π‘“)) ∧ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ 𝑒 = (∫1β€˜π‘”))) ∧ 𝑠 = (𝑑 + 𝑒)) ↔ (βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑑 = (∫1β€˜π‘“)) ∧ (βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ 𝑒 = (∫1β€˜π‘”)) ∧ 𝑠 = (𝑑 + 𝑒))))
370368, 369bitr2i 275 . . . . . . . . . 10 ((βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑑 = (∫1β€˜π‘“)) ∧ (βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ 𝑒 = (∫1β€˜π‘”)) ∧ 𝑠 = (𝑑 + 𝑒))) ↔ (βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1((βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑑 = (∫1β€˜π‘“)) ∧ (βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ 𝑒 = (∫1β€˜π‘”))) ∧ 𝑠 = (𝑑 + 𝑒)))
371370exbii 1850 . . . . . . . . 9 (βˆƒπ‘’(βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑑 = (∫1β€˜π‘“)) ∧ (βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ 𝑒 = (∫1β€˜π‘”)) ∧ 𝑠 = (𝑑 + 𝑒))) ↔ βˆƒπ‘’(βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1((βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑑 = (∫1β€˜π‘“)) ∧ (βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ 𝑒 = (∫1β€˜π‘”))) ∧ 𝑠 = (𝑑 + 𝑒)))
372365, 366, 3713bitr2i 298 . . . . . . . 8 ((βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑑 = (∫1β€˜π‘“)) ∧ βˆƒπ‘’ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}𝑠 = (𝑑 + 𝑒)) ↔ βˆƒπ‘’(βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1((βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑑 = (∫1β€˜π‘“)) ∧ (βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ 𝑒 = (∫1β€˜π‘”))) ∧ 𝑠 = (𝑑 + 𝑒)))
373372exbii 1850 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘‘(βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑑 = (∫1β€˜π‘“)) ∧ βˆƒπ‘’ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}𝑠 = (𝑑 + 𝑒)) ↔ βˆƒπ‘‘βˆƒπ‘’(βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1((βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑑 = (∫1β€˜π‘“)) ∧ (βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ 𝑒 = (∫1β€˜π‘”))) ∧ 𝑠 = (𝑑 + 𝑒)))
374360, 373bitri 274 . . . . . 6 (βˆƒπ‘‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}βˆƒπ‘’ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}𝑠 = (𝑑 + 𝑒) ↔ βˆƒπ‘‘βˆƒπ‘’(βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1((βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑑 = (∫1β€˜π‘“)) ∧ (βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ 𝑒 = (∫1β€˜π‘”))) ∧ 𝑠 = (𝑑 + 𝑒)))
375356, 374bitr4di 288 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆƒβ„Ž ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((β„Žβ€˜π‘§) = 0, 0, ((β„Žβ€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ (𝐹 ∘f + 𝐺) ∧ 𝑠 = (∫1β€˜β„Ž)) ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}βˆƒπ‘’ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}𝑠 = (𝑑 + 𝑒)))
376375abbidv 2801 . . . 4 (πœ‘ β†’ {𝑠 ∣ βˆƒβ„Ž ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((β„Žβ€˜π‘§) = 0, 0, ((β„Žβ€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ (𝐹 ∘f + 𝐺) ∧ 𝑠 = (∫1β€˜β„Ž))} = {𝑠 ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}βˆƒπ‘’ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}𝑠 = (𝑑 + 𝑒)})
377376supeq1d 9437 . . 3 (πœ‘ β†’ sup({𝑠 ∣ βˆƒβ„Ž ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((β„Žβ€˜π‘§) = 0, 0, ((β„Žβ€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ (𝐹 ∘f + 𝐺) ∧ 𝑠 = (∫1β€˜β„Ž))}, ℝ*, < ) = sup({𝑠 ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}βˆƒπ‘’ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}𝑠 = (𝑑 + 𝑒)}, ℝ*, < ))
378 simpr 485 . . . . . . . . 9 (((𝑑 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))} ∧ 𝑒 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}) ∧ 𝑠 = (𝑑 + 𝑒)) β†’ 𝑠 = (𝑑 + 𝑒))
3796sseli 3977 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))} β†’ 𝑑 ∈ ℝ)
380379ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((𝑑 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))} ∧ 𝑒 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}) ∧ 𝑠 = (𝑑 + 𝑒)) β†’ 𝑑 ∈ ℝ)
38170sseli 3977 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))} β†’ 𝑒 ∈ ℝ)
382381ad2antlr 725 . . . . . . . . . 10 (((𝑑 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))} ∧ 𝑒 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}) ∧ 𝑠 = (𝑑 + 𝑒)) β†’ 𝑒 ∈ ℝ)
383380, 382readdcld 11239 . . . . . . . . 9 (((𝑑 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))} ∧ 𝑒 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}) ∧ 𝑠 = (𝑑 + 𝑒)) β†’ (𝑑 + 𝑒) ∈ ℝ)
384378, 383eqeltrd 2833 . . . . . . . 8 (((𝑑 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))} ∧ 𝑒 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}) ∧ 𝑠 = (𝑑 + 𝑒)) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
385384ex 413 . . . . . . 7 ((𝑑 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))} ∧ 𝑒 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}) β†’ (𝑠 = (𝑑 + 𝑒) β†’ 𝑠 ∈ ℝ))
386385rexlimivv 3199 . . . . . 6 (βˆƒπ‘‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}βˆƒπ‘’ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}𝑠 = (𝑑 + 𝑒) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
387386abssi 4066 . . . . 5 {𝑠 ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}βˆƒπ‘’ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}𝑠 = (𝑑 + 𝑒)} βŠ† ℝ
388387a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ {𝑠 ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}βˆƒπ‘’ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}𝑠 = (𝑑 + 𝑒)} βŠ† ℝ)
389156eqcomi 2741 . . . . . . . 8 0 = (0 + 0)
390 rspceov 7452 . . . . . . . 8 ((0 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))} ∧ 0 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))} ∧ 0 = (0 + 0)) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}βˆƒπ‘’ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}0 = (𝑑 + 𝑒))
391389, 390mp3an3 1450 . . . . . . 7 ((0 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))} ∧ 0 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}βˆƒπ‘’ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}0 = (𝑑 + 𝑒))
39248, 100, 391syl2anc 584 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}βˆƒπ‘’ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}0 = (𝑑 + 𝑒))
393 eqeq1 2736 . . . . . . . 8 (𝑠 = 0 β†’ (𝑠 = (𝑑 + 𝑒) ↔ 0 = (𝑑 + 𝑒)))
3943932rexbidv 3219 . . . . . . 7 (𝑠 = 0 β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}βˆƒπ‘’ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}𝑠 = (𝑑 + 𝑒) ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}βˆƒπ‘’ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}0 = (𝑑 + 𝑒)))
39521, 394spcev 3596 . . . . . 6 (βˆƒπ‘‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}βˆƒπ‘’ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}0 = (𝑑 + 𝑒) β†’ βˆƒπ‘ βˆƒπ‘‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}βˆƒπ‘’ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}𝑠 = (𝑑 + 𝑒))
396392, 395syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ βˆƒπ‘‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}βˆƒπ‘’ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}𝑠 = (𝑑 + 𝑒))
397 abn0 4379 . . . . 5 ({𝑠 ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}βˆƒπ‘’ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}𝑠 = (𝑑 + 𝑒)} β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘ βˆƒπ‘‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}βˆƒπ‘’ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}𝑠 = (𝑑 + 𝑒))
398396, 397sylibr 233 . . . 4 (πœ‘ β†’ {𝑠 ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}βˆƒπ‘’ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}𝑠 = (𝑑 + 𝑒)} β‰  βˆ…)
39957, 108readdcld 11239 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}, ℝ*, < ) + sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}, ℝ*, < )) ∈ ℝ)
400 simpr 485 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))} ∧ 𝑒 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))})) ∧ 𝑏 = (𝑑 + 𝑒)) β†’ 𝑏 = (𝑑 + 𝑒))
401379ad2antrl 726 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))} ∧ 𝑒 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))})) β†’ 𝑑 ∈ ℝ)
402381ad2antll 727 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))} ∧ 𝑒 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))})) β†’ 𝑒 ∈ ℝ)
40357adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))} ∧ 𝑒 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))})) β†’ sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
404108adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))} ∧ 𝑒 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))})) β†’ sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
405 supxrub 13299 . . . . . . . . . . . . 13 (({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))} βŠ† ℝ* ∧ 𝑑 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}) β†’ 𝑑 ≀ sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}, ℝ*, < ))
40659, 405mpan 688 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))} β†’ 𝑑 ≀ sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}, ℝ*, < ))
407406ad2antrl 726 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))} ∧ 𝑒 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))})) β†’ 𝑑 ≀ sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}, ℝ*, < ))
408 supxrub 13299 . . . . . . . . . . . . 13 (({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))} βŠ† ℝ* ∧ 𝑒 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}) β†’ 𝑒 ≀ sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}, ℝ*, < ))
409109, 408mpan 688 . . . . . . . . . . . 12 (𝑒 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))} β†’ 𝑒 ≀ sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}, ℝ*, < ))
410409ad2antll 727 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))} ∧ 𝑒 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))})) β†’ 𝑒 ≀ sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}, ℝ*, < ))
411401, 402, 403, 404, 407, 410le2addd 11829 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))} ∧ 𝑒 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))})) β†’ (𝑑 + 𝑒) ≀ (sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}, ℝ*, < ) + sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}, ℝ*, < )))
412411adantr 481 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))} ∧ 𝑒 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))})) ∧ 𝑏 = (𝑑 + 𝑒)) β†’ (𝑑 + 𝑒) ≀ (sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}, ℝ*, < ) + sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}, ℝ*, < )))
413400, 412eqbrtrd 5169 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))} ∧ 𝑒 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))})) ∧ 𝑏 = (𝑑 + 𝑒)) β†’ 𝑏 ≀ (sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}, ℝ*, < ) + sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}, ℝ*, < )))
414413ex 413 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))} ∧ 𝑒 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))})) β†’ (𝑏 = (𝑑 + 𝑒) β†’ 𝑏 ≀ (sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}, ℝ*, < ) + sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}, ℝ*, < ))))
415414rexlimdvva 3211 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}βˆƒπ‘’ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}𝑏 = (𝑑 + 𝑒) β†’ 𝑏 ≀ (sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}, ℝ*, < ) + sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}, ℝ*, < ))))
416415alrimiv 1930 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘(βˆƒπ‘‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}βˆƒπ‘’ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}𝑏 = (𝑑 + 𝑒) β†’ 𝑏 ≀ (sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}, ℝ*, < ) + sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}, ℝ*, < ))))
417 breq2 5151 . . . . . . . 8 (π‘Ž = (sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}, ℝ*, < ) + sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}, ℝ*, < )) β†’ (𝑏 ≀ π‘Ž ↔ 𝑏 ≀ (sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}, ℝ*, < ) + sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}, ℝ*, < ))))
418417ralbidv 3177 . . . . . . 7 (π‘Ž = (sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}, ℝ*, < ) + sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}, ℝ*, < )) β†’ (βˆ€π‘ ∈ {𝑠 ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}βˆƒπ‘’ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}𝑠 = (𝑑 + 𝑒)}𝑏 ≀ π‘Ž ↔ βˆ€π‘ ∈ {𝑠 ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}βˆƒπ‘’ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}𝑠 = (𝑑 + 𝑒)}𝑏 ≀ (sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}, ℝ*, < ) + sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}, ℝ*, < ))))
419 eqeq1 2736 . . . . . . . . 9 (𝑠 = 𝑏 β†’ (𝑠 = (𝑑 + 𝑒) ↔ 𝑏 = (𝑑 + 𝑒)))
4204192rexbidv 3219 . . . . . . . 8 (𝑠 = 𝑏 β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}βˆƒπ‘’ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}𝑠 = (𝑑 + 𝑒) ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}βˆƒπ‘’ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}𝑏 = (𝑑 + 𝑒)))
421420ralab 3686 . . . . . . 7 (βˆ€π‘ ∈ {𝑠 ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}βˆƒπ‘’ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}𝑠 = (𝑑 + 𝑒)}𝑏 ≀ (sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}, ℝ*, < ) + sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}, ℝ*, < )) ↔ βˆ€π‘(βˆƒπ‘‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}βˆƒπ‘’ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}𝑏 = (𝑑 + 𝑒) β†’ 𝑏 ≀ (sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}, ℝ*, < ) + sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}, ℝ*, < ))))
422418, 421bitrdi 286 . . . . . 6 (π‘Ž = (sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}, ℝ*, < ) + sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}, ℝ*, < )) β†’ (βˆ€π‘ ∈ {𝑠 ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}βˆƒπ‘’ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}𝑠 = (𝑑 + 𝑒)}𝑏 ≀ π‘Ž ↔ βˆ€π‘(βˆƒπ‘‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}βˆƒπ‘’ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}𝑏 = (𝑑 + 𝑒) β†’ 𝑏 ≀ (sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}, ℝ*, < ) + sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}, ℝ*, < )))))
423422rspcev 3612 . . . . 5 (((sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}, ℝ*, < ) + sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}, ℝ*, < )) ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘(βˆƒπ‘‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}βˆƒπ‘’ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}𝑏 = (𝑑 + 𝑒) β†’ 𝑏 ≀ (sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}, ℝ*, < ) + sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}, ℝ*, < )))) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ βˆ€π‘ ∈ {𝑠 ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}βˆƒπ‘’ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}𝑠 = (𝑑 + 𝑒)}𝑏 ≀ π‘Ž)
424399, 416, 423syl2anc 584 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ βˆ€π‘ ∈ {𝑠 ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}βˆƒπ‘’ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}𝑠 = (𝑑 + 𝑒)}𝑏 ≀ π‘Ž)
425 supxrre 13302 . . . 4 (({𝑠 ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}βˆƒπ‘’ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}𝑠 = (𝑑 + 𝑒)} βŠ† ℝ ∧ {𝑠 ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}βˆƒπ‘’ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}𝑠 = (𝑑 + 𝑒)} β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ βˆ€π‘ ∈ {𝑠 ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}βˆƒπ‘’ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}𝑠 = (𝑑 + 𝑒)}𝑏 ≀ π‘Ž) β†’ sup({𝑠 ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}βˆƒπ‘’ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}𝑠 = (𝑑 + 𝑒)}, ℝ*, < ) = sup({𝑠 ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}βˆƒπ‘’ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}𝑠 = (𝑑 + 𝑒)}, ℝ, < ))
426388, 398, 424, 425syl3anc 1371 . . 3 (πœ‘ β†’ sup({𝑠 ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}βˆƒπ‘’ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}𝑠 = (𝑑 + 𝑒)}, ℝ*, < ) = sup({𝑠 ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}βˆƒπ‘’ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}𝑠 = (𝑑 + 𝑒)}, ℝ, < ))
427131, 377, 4263eqtrd 2776 . 2 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜(𝐹 ∘f + 𝐺)) = sup({𝑠 ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}βˆƒπ‘’ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}𝑠 = (𝑑 + 𝑒)}, ℝ, < ))
428116, 123, 4273eqtr4rd 2783 1 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜(𝐹 ∘f + 𝐺)) = ((∫2β€˜πΉ) + (∫2β€˜πΊ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396  βˆ€wal 1539   = wceq 1541  βˆƒwex 1781   ∈ wcel 2106  {cab 2709   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3474   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321  ifcif 4527  {csn 4627   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230   Γ— cxp 5673  dom cdm 5675   Fn wfn 6535  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405   ∘f cof 7664   ∘r cofr 7665  supcsup 9431  β„cr 11105  0cc0 11106   + caddc 11109  +∞cpnf 11241  β„*cxr 11243   < clt 11244   ≀ cle 11245  β„•cn 12208  3c3 12264  β„+crp 12970  [,)cico 13322  [,]cicc 13323  MblFncmbf 25122  βˆ«1citg1 25123  βˆ«2citg2 25124
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-disj 5113  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-ofr 7667  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-dju 9892  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-sum 15629  df-rest 17364  df-topgen 17385  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-top 22387  df-topon 22404  df-bases 22440  df-cmp 22882  df-ovol 24972  df-vol 24973  df-mbf 25127  df-itg1 25128  df-itg2 25129
This theorem is referenced by:  ibladdnclem  36532  itgaddnclem1  36534  iblabsnclem  36539  iblabsnc  36540  iblmulc2nc  36541  ftc1anclem4  36552  ftc1anclem5  36553  ftc1anclem6  36554  ftc1anclem8  36556
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