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Theorem itg2addnc 37055
Description: Alternate proof of itg2add 25644 using the "buffer zone" definition from the first lemma, in which every simple function in the set is divided into to by dividing its buffer by a third and finding the largest allowable function locked to a grid laid out in increments of the new, smaller buffer up to the original simple function. The measurability of this function follows from that of the augend, and subtracting it from the original simple function yields another simple function by i1fsub 25593, which is allowable by the fact that the grid must have a mark between one third and two thirds the original buffer. This has two advantages over the current approach: first, eliminating ax-cc 10432, and second, weakening the measurability hypothesis to only the augend. (Contributed by Brendan Leahy, 31-Oct-2017.) (Revised by Brendan Leahy, 13-Mar-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2addnc.f1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ MblFn)
itg2addnc.f2 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆ(0[,)+∞))
itg2addnc.f3 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜πΉ) ∈ ℝ)
itg2addnc.g2 (πœ‘ β†’ 𝐺:β„βŸΆ(0[,)+∞))
itg2addnc.g3 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜πΊ) ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
itg2addnc (πœ‘ β†’ (∫2β€˜(𝐹 ∘f + 𝐺)) = ((∫2β€˜πΉ) + (∫2β€˜πΊ)))
Proof of Theorem itg2addnc
Dummy variables 𝑑 𝑠 𝑒 π‘₯ 𝑦 𝑧 𝑓 𝑔 β„Ž π‘Ž 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprr 770 . . . . . . 7 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ (βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))) β†’ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))
2 itg1cl 25569 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ dom ∫1 β†’ (∫1β€˜π‘“) ∈ ℝ)
32adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ (βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))) β†’ (∫1β€˜π‘“) ∈ ℝ)
41, 3eqeltrd 2827 . . . . . 6 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ (βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
54rexlimiva 3141 . . . . 5 (βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
65abssi 4062 . . . 4 {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))} βŠ† ℝ
76a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))} βŠ† ℝ)
8 i1f0 25571 . . . . . 6 (ℝ Γ— {0}) ∈ dom ∫1
9 3nn 12295 . . . . . . . 8 3 ∈ β„•
10 nnrp 12991 . . . . . . . 8 (3 ∈ β„• β†’ 3 ∈ ℝ+)
11 ne0i 4329 . . . . . . . 8 (3 ∈ ℝ+ β†’ ℝ+ β‰  βˆ…)
129, 10, 11mp2b 10 . . . . . . 7 ℝ+ β‰  βˆ…
13 itg2addnc.f2 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆ(0[,)+∞))
1413ffvelcdmda 7080 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ (0[,)+∞))
15 elrege0 13437 . . . . . . . . . . . 12 ((πΉβ€˜π‘§) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((πΉβ€˜π‘§) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘§)))
1614, 15sylib 217 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘§)))
1716simprd 495 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘§))
1817ralrimiva 3140 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘§ ∈ ℝ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘§))
19 reex 11203 . . . . . . . . . . 11 ℝ ∈ V
2019a1i 11 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ℝ ∈ V)
21 c0ex 11212 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ V
2221a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ 0 ∈ V)
23 eqidd 2727 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ ℝ ↦ 0) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ 0))
2413feqmptd 6954 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℝ ↦ (πΉβ€˜π‘§)))
2520, 22, 14, 23, 24ofrfval2 7688 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝑧 ∈ ℝ ↦ 0) ∘r ≀ 𝐹 ↔ βˆ€π‘§ ∈ ℝ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘§)))
2618, 25mpbird 257 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ ℝ ↦ 0) ∘r ≀ 𝐹)
2726ralrimivw 3144 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ 0) ∘r ≀ 𝐹)
28 r19.2z 4489 . . . . . . 7 ((ℝ+ β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ 0) ∘r ≀ 𝐹) β†’ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ 0) ∘r ≀ 𝐹)
2912, 27, 28sylancr 586 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ 0) ∘r ≀ 𝐹)
30 fveq2 6885 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = (ℝ Γ— {0}) β†’ (∫1β€˜π‘“) = (∫1β€˜(ℝ Γ— {0})))
31 itg10 25572 . . . . . . . . . 10 (∫1β€˜(ℝ Γ— {0})) = 0
3230, 31eqtr2di 2783 . . . . . . . . 9 (𝑓 = (ℝ Γ— {0}) β†’ 0 = (∫1β€˜π‘“))
3332biantrud 531 . . . . . . . 8 (𝑓 = (ℝ Γ— {0}) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ↔ (βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ 0 = (∫1β€˜π‘“))))
34 fveq1 6884 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 = (ℝ Γ— {0}) β†’ (π‘“β€˜π‘§) = ((ℝ Γ— {0})β€˜π‘§))
3521fvconst2 7201 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ ℝ β†’ ((ℝ Γ— {0})β€˜π‘§) = 0)
3634, 35sylan9eq 2786 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓 = (ℝ Γ— {0}) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (π‘“β€˜π‘§) = 0)
3736iftrued 4531 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓 = (ℝ Γ— {0}) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐)) = 0)
3837mpteq2dva 5241 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = (ℝ Γ— {0}) β†’ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ 0))
3938breq1d 5151 . . . . . . . . 9 (𝑓 = (ℝ Γ— {0}) β†’ ((𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ↔ (𝑧 ∈ ℝ ↦ 0) ∘r ≀ 𝐹))
4039rexbidv 3172 . . . . . . . 8 (𝑓 = (ℝ Γ— {0}) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ↔ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ 0) ∘r ≀ 𝐹))
4133, 40bitr3d 281 . . . . . . 7 (𝑓 = (ℝ Γ— {0}) β†’ ((βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ 0 = (∫1β€˜π‘“)) ↔ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ 0) ∘r ≀ 𝐹))
4241rspcev 3606 . . . . . 6 (((ℝ Γ— {0}) ∈ dom ∫1 ∧ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ 0) ∘r ≀ 𝐹) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ 0 = (∫1β€˜π‘“)))
438, 29, 42sylancr 586 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ 0 = (∫1β€˜π‘“)))
44 eqeq1 2730 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 0 β†’ (π‘₯ = (∫1β€˜π‘“) ↔ 0 = (∫1β€˜π‘“)))
4544anbi2d 628 . . . . . . 7 (π‘₯ = 0 β†’ ((βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“)) ↔ (βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ 0 = (∫1β€˜π‘“))))
4645rexbidv 3172 . . . . . 6 (π‘₯ = 0 β†’ (βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“)) ↔ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ 0 = (∫1β€˜π‘“))))
4721, 46elab 3663 . . . . 5 (0 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))} ↔ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ 0 = (∫1β€˜π‘“)))
4843, 47sylibr 233 . . . 4 (πœ‘ β†’ 0 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))})
4948ne0d 4330 . . 3 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))} β‰  βˆ…)
50 icossicc 13419 . . . . . . 7 (0[,)+∞) βŠ† (0[,]+∞)
51 fss 6728 . . . . . . 7 ((𝐹:β„βŸΆ(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) βŠ† (0[,]+∞)) β†’ 𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞))
5250, 51mpan2 688 . . . . . 6 (𝐹:β„βŸΆ(0[,)+∞) β†’ 𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞))
53 eqid 2726 . . . . . . 7 {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))} = {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}
5453itg2addnclem 37052 . . . . . 6 (𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) β†’ (∫2β€˜πΉ) = sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}, ℝ*, < ))
5513, 52, 543syl 18 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜πΉ) = sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}, ℝ*, < ))
56 itg2addnc.f3 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜πΉ) ∈ ℝ)
5755, 56eqeltrrd 2828 . . . 4 (πœ‘ β†’ sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
58 ressxr 11262 . . . . . . 7 ℝ βŠ† ℝ*
596, 58sstri 3986 . . . . . 6 {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))} βŠ† ℝ*
60 supxrub 13309 . . . . . 6 (({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))} βŠ† ℝ* ∧ 𝑏 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}) β†’ 𝑏 ≀ sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}, ℝ*, < ))
6159, 60mpan 687 . . . . 5 (𝑏 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))} β†’ 𝑏 ≀ sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}, ℝ*, < ))
6261rgen 3057 . . . 4 βˆ€π‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}𝑏 ≀ sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}, ℝ*, < )
63 brralrspcev 5201 . . . 4 ((sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}, ℝ*, < ) ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}𝑏 ≀ sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}, ℝ*, < )) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ βˆ€π‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}𝑏 ≀ π‘Ž)
6457, 62, 63sylancl 585 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ βˆ€π‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}𝑏 ≀ π‘Ž)
65 simprr 770 . . . . . . 7 ((𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ (βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))) β†’ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))
66 itg1cl 25569 . . . . . . . 8 (𝑔 ∈ dom ∫1 β†’ (∫1β€˜π‘”) ∈ ℝ)
6766adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ (βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))) β†’ (∫1β€˜π‘”) ∈ ℝ)
6865, 67eqeltrd 2827 . . . . . 6 ((𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ (βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
6968rexlimiva 3141 . . . . 5 (βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
7069abssi 4062 . . . 4 {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))} βŠ† ℝ
7170a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))} βŠ† ℝ)
72 itg2addnc.g2 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐺:β„βŸΆ(0[,)+∞))
7372ffvelcdmda 7080 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (πΊβ€˜π‘§) ∈ (0[,)+∞))
74 elrege0 13437 . . . . . . . . . . . 12 ((πΊβ€˜π‘§) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((πΊβ€˜π‘§) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (πΊβ€˜π‘§)))
7573, 74sylib 217 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ ((πΊβ€˜π‘§) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (πΊβ€˜π‘§)))
7675simprd 495 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ 0 ≀ (πΊβ€˜π‘§))
7776ralrimiva 3140 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘§ ∈ ℝ 0 ≀ (πΊβ€˜π‘§))
7872feqmptd 6954 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐺 = (𝑧 ∈ ℝ ↦ (πΊβ€˜π‘§)))
7920, 22, 73, 23, 78ofrfval2 7688 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝑧 ∈ ℝ ↦ 0) ∘r ≀ 𝐺 ↔ βˆ€π‘§ ∈ ℝ 0 ≀ (πΊβ€˜π‘§)))
8077, 79mpbird 257 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ ℝ ↦ 0) ∘r ≀ 𝐺)
8180ralrimivw 3144 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ 0) ∘r ≀ 𝐺)
82 r19.2z 4489 . . . . . . 7 ((ℝ+ β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ 0) ∘r ≀ 𝐺) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ 0) ∘r ≀ 𝐺)
8312, 81, 82sylancr 586 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ 0) ∘r ≀ 𝐺)
84 fveq2 6885 . . . . . . . . . 10 (𝑔 = (ℝ Γ— {0}) β†’ (∫1β€˜π‘”) = (∫1β€˜(ℝ Γ— {0})))
8584, 31eqtr2di 2783 . . . . . . . . 9 (𝑔 = (ℝ Γ— {0}) β†’ 0 = (∫1β€˜π‘”))
8685biantrud 531 . . . . . . . 8 (𝑔 = (ℝ Γ— {0}) β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ↔ (βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ 0 = (∫1β€˜π‘”))))
87 fveq1 6884 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑔 = (ℝ Γ— {0}) β†’ (π‘”β€˜π‘§) = ((ℝ Γ— {0})β€˜π‘§))
8887, 35sylan9eq 2786 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑔 = (ℝ Γ— {0}) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (π‘”β€˜π‘§) = 0)
8988iftrued 4531 . . . . . . . . . . 11 ((𝑔 = (ℝ Γ— {0}) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑)) = 0)
9089mpteq2dva 5241 . . . . . . . . . 10 (𝑔 = (ℝ Γ— {0}) β†’ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ 0))
9190breq1d 5151 . . . . . . . . 9 (𝑔 = (ℝ Γ— {0}) β†’ ((𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ↔ (𝑧 ∈ ℝ ↦ 0) ∘r ≀ 𝐺))
9291rexbidv 3172 . . . . . . . 8 (𝑔 = (ℝ Γ— {0}) β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ 0) ∘r ≀ 𝐺))
9386, 92bitr3d 281 . . . . . . 7 (𝑔 = (ℝ Γ— {0}) β†’ ((βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ 0 = (∫1β€˜π‘”)) ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ 0) ∘r ≀ 𝐺))
9493rspcev 3606 . . . . . 6 (((ℝ Γ— {0}) ∈ dom ∫1 ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ 0) ∘r ≀ 𝐺) β†’ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ 0 = (∫1β€˜π‘”)))
958, 83, 94sylancr 586 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ 0 = (∫1β€˜π‘”)))
96 eqeq1 2730 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 0 β†’ (π‘₯ = (∫1β€˜π‘”) ↔ 0 = (∫1β€˜π‘”)))
9796anbi2d 628 . . . . . . 7 (π‘₯ = 0 β†’ ((βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”)) ↔ (βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ 0 = (∫1β€˜π‘”))))
9897rexbidv 3172 . . . . . 6 (π‘₯ = 0 β†’ (βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”)) ↔ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ 0 = (∫1β€˜π‘”))))
9921, 98elab 3663 . . . . 5 (0 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))} ↔ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ 0 = (∫1β€˜π‘”)))
10095, 99sylibr 233 . . . 4 (πœ‘ β†’ 0 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))})
101100ne0d 4330 . . 3 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))} β‰  βˆ…)
102 fss 6728 . . . . . . 7 ((𝐺:β„βŸΆ(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) βŠ† (0[,]+∞)) β†’ 𝐺:β„βŸΆ(0[,]+∞))
10350, 102mpan2 688 . . . . . 6 (𝐺:β„βŸΆ(0[,)+∞) β†’ 𝐺:β„βŸΆ(0[,]+∞))
104 eqid 2726 . . . . . . 7 {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))} = {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}
105104itg2addnclem 37052 . . . . . 6 (𝐺:β„βŸΆ(0[,]+∞) β†’ (∫2β€˜πΊ) = sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}, ℝ*, < ))
10672, 103, 1053syl 18 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜πΊ) = sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}, ℝ*, < ))
107 itg2addnc.g3 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜πΊ) ∈ ℝ)
108106, 107eqeltrrd 2828 . . . 4 (πœ‘ β†’ sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
10970, 58sstri 3986 . . . . . 6 {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))} βŠ† ℝ*
110 supxrub 13309 . . . . . 6 (({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))} βŠ† ℝ* ∧ 𝑏 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}) β†’ 𝑏 ≀ sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}, ℝ*, < ))
111109, 110mpan 687 . . . . 5 (𝑏 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))} β†’ 𝑏 ≀ sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}, ℝ*, < ))
112111rgen 3057 . . . 4 βˆ€π‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}𝑏 ≀ sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}, ℝ*, < )
113 brralrspcev 5201 . . . 4 ((sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}, ℝ*, < ) ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}𝑏 ≀ sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}, ℝ*, < )) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ βˆ€π‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}𝑏 ≀ π‘Ž)
114108, 112, 113sylancl 585 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ βˆ€π‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}𝑏 ≀ π‘Ž)
115 eqid 2726 . . 3 {𝑠 ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}βˆƒπ‘’ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}𝑠 = (𝑑 + 𝑒)} = {𝑠 ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}βˆƒπ‘’ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}𝑠 = (𝑑 + 𝑒)}
1167, 49, 64, 71, 101, 114, 115supadd 12186 . 2 (πœ‘ β†’ (sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}, ℝ, < ) + sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}, ℝ, < )) = sup({𝑠 ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}βˆƒπ‘’ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}𝑠 = (𝑑 + 𝑒)}, ℝ, < ))
117 supxrre 13312 . . . . 5 (({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))} βŠ† ℝ ∧ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))} β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ βˆ€π‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}𝑏 ≀ π‘Ž) β†’ sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}, ℝ*, < ) = sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}, ℝ, < ))
1187, 49, 64, 117syl3anc 1368 . . . 4 (πœ‘ β†’ sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}, ℝ*, < ) = sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}, ℝ, < ))
11955, 118eqtrd 2766 . . 3 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜πΉ) = sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}, ℝ, < ))
120 supxrre 13312 . . . . 5 (({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))} βŠ† ℝ ∧ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))} β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ βˆ€π‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}𝑏 ≀ π‘Ž) β†’ sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}, ℝ*, < ) = sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}, ℝ, < ))
12171, 101, 114, 120syl3anc 1368 . . . 4 (πœ‘ β†’ sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}, ℝ*, < ) = sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}, ℝ, < ))
122106, 121eqtrd 2766 . . 3 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜πΊ) = sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}, ℝ, < ))
123119, 122oveq12d 7423 . 2 (πœ‘ β†’ ((∫2β€˜πΉ) + (∫2β€˜πΊ)) = (sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}, ℝ, < ) + sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}, ℝ, < )))
124 ge0addcl 13443 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) β†’ (π‘₯ + 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
12550, 124sselid 3975 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) β†’ (π‘₯ + 𝑦) ∈ (0[,]+∞))
126125adantl 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞))) β†’ (π‘₯ + 𝑦) ∈ (0[,]+∞))
127 inidm 4213 . . . . 5 (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
128126, 13, 72, 20, 20, 127off 7685 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘f + 𝐺):β„βŸΆ(0[,]+∞))
129 eqid 2726 . . . . 5 {𝑠 ∣ βˆƒβ„Ž ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((β„Žβ€˜π‘§) = 0, 0, ((β„Žβ€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ (𝐹 ∘f + 𝐺) ∧ 𝑠 = (∫1β€˜β„Ž))} = {𝑠 ∣ βˆƒβ„Ž ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((β„Žβ€˜π‘§) = 0, 0, ((β„Žβ€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ (𝐹 ∘f + 𝐺) ∧ 𝑠 = (∫1β€˜β„Ž))}
130129itg2addnclem 37052 . . . 4 ((𝐹 ∘f + 𝐺):β„βŸΆ(0[,]+∞) β†’ (∫2β€˜(𝐹 ∘f + 𝐺)) = sup({𝑠 ∣ βˆƒβ„Ž ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((β„Žβ€˜π‘§) = 0, 0, ((β„Žβ€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ (𝐹 ∘f + 𝐺) ∧ 𝑠 = (∫1β€˜β„Ž))}, ℝ*, < ))
131128, 130syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜(𝐹 ∘f + 𝐺)) = sup({𝑠 ∣ βˆƒβ„Ž ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((β„Žβ€˜π‘§) = 0, 0, ((β„Žβ€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ (𝐹 ∘f + 𝐺) ∧ 𝑠 = (∫1β€˜β„Ž))}, ℝ*, < ))
132 itg2addnc.f1 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ MblFn)
133132, 13, 56, 72, 107itg2addnclem3 37054 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (βˆƒβ„Ž ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((β„Žβ€˜π‘§) = 0, 0, ((β„Žβ€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ (𝐹 ∘f + 𝐺) ∧ 𝑠 = (∫1β€˜β„Ž)) β†’ βˆƒπ‘‘βˆƒπ‘’(βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1((βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑑 = (∫1β€˜π‘“)) ∧ (βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ 𝑒 = (∫1β€˜π‘”))) ∧ 𝑠 = (𝑑 + 𝑒))))
134 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1) β†’ 𝑓 ∈ dom ∫1)
135 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1) β†’ 𝑔 ∈ dom ∫1)
136134, 135i1fadd 25579 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1) β†’ (𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ dom ∫1)
137136ad3antlr 728 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ ((βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑑 = (∫1β€˜π‘“)) ∧ (βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ 𝑒 = (∫1β€˜π‘”)))) ∧ 𝑠 = (𝑑 + 𝑒)) β†’ (𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ dom ∫1)
138 reeanv 3220 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ ((𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺) ↔ (βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺))
139138biimpri 227 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺) β†’ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ ((𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺))
140139ad2ant2r 744 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑑 = (∫1β€˜π‘“)) ∧ (βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ 𝑒 = (∫1β€˜π‘”))) β†’ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ ((𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺))
141 ifcl 4568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) β†’ if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑) ∈ ℝ+)
142141ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺)) β†’ if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑) ∈ ℝ+)
143 breq1 5144 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (0 = if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐)) β†’ (0 ≀ (πΉβ€˜π‘§) ↔ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐)) ≀ (πΉβ€˜π‘§)))
144143anbi1d 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (0 = if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐)) β†’ ((0 ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑)) ≀ (πΊβ€˜π‘§)) ↔ (if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐)) ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑)) ≀ (πΊβ€˜π‘§))))
145144imbi1d 341 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (0 = if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐)) β†’ (((0 ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑)) ≀ (πΊβ€˜π‘§)) β†’ if(((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) = 0, 0, (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑))) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§))) ↔ ((if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐)) ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑)) ≀ (πΊβ€˜π‘§)) β†’ if(((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) = 0, 0, (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑))) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§)))))
146 breq1 5144 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐) = if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐)) β†’ (((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐) ≀ (πΉβ€˜π‘§) ↔ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐)) ≀ (πΉβ€˜π‘§)))
147146anbi1d 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐) = if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐)) β†’ ((((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐) ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑)) ≀ (πΊβ€˜π‘§)) ↔ (if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐)) ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑)) ≀ (πΊβ€˜π‘§))))
148147imbi1d 341 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐) = if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐)) β†’ (((((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐) ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑)) ≀ (πΊβ€˜π‘§)) β†’ if(((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) = 0, 0, (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑))) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§))) ↔ ((if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐)) ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑)) ≀ (πΊβ€˜π‘§)) β†’ if(((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) = 0, 0, (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑))) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§)))))
149 breq1 5144 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (0 = if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑)) β†’ (0 ≀ (πΊβ€˜π‘§) ↔ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑)) ≀ (πΊβ€˜π‘§)))
150149anbi2d 628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (0 = if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑)) β†’ ((0 ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ 0 ≀ (πΊβ€˜π‘§)) ↔ (0 ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑)) ≀ (πΊβ€˜π‘§))))
151150imbi1d 341 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (0 = if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑)) β†’ (((0 ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ 0 ≀ (πΊβ€˜π‘§)) β†’ if(((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) = 0, 0, (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑))) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§))) ↔ ((0 ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑)) ≀ (πΊβ€˜π‘§)) β†’ if(((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) = 0, 0, (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑))) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§)))))
152 breq1 5144 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑) = if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑)) β†’ (((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑) ≀ (πΊβ€˜π‘§) ↔ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑)) ≀ (πΊβ€˜π‘§)))
153152anbi2d 628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑) = if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑)) β†’ ((0 ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑) ≀ (πΊβ€˜π‘§)) ↔ (0 ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑)) ≀ (πΊβ€˜π‘§))))
154153imbi1d 341 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑) = if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑)) β†’ (((0 ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑) ≀ (πΊβ€˜π‘§)) β†’ if(((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) = 0, 0, (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑))) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§))) ↔ ((0 ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑)) ≀ (πΊβ€˜π‘§)) β†’ if(((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) = 0, 0, (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑))) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§)))))
155 oveq12 7414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((π‘“β€˜π‘§) = 0 ∧ (π‘”β€˜π‘§) = 0) β†’ ((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) = (0 + 0))
156 00id 11393 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (0 + 0) = 0
157155, 156eqtrdi 2782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((π‘“β€˜π‘§) = 0 ∧ (π‘”β€˜π‘§) = 0) β†’ ((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) = 0)
158157iftrued 4531 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((π‘“β€˜π‘§) = 0 ∧ (π‘”β€˜π‘§) = 0) β†’ if(((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) = 0, 0, (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑))) = 0)
159158adantll 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (π‘“β€˜π‘§) = 0) ∧ (π‘”β€˜π‘§) = 0) β†’ if(((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) = 0, 0, (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑))) = 0)
160 simpll 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) β†’ πœ‘)
16115simplbi 497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((πΉβ€˜π‘§) ∈ (0[,)+∞) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ ℝ)
16214, 161syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ ℝ)
16374simplbi 497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((πΊβ€˜π‘§) ∈ (0[,)+∞) β†’ (πΊβ€˜π‘§) ∈ ℝ)
16473, 163syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (πΊβ€˜π‘§) ∈ ℝ)
165162, 164, 17, 76addge0d 11794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ 0 ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§)))
166160, 165sylan 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ 0 ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§)))
167166ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (π‘“β€˜π‘§) = 0) ∧ (π‘”β€˜π‘§) = 0) β†’ 0 ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§)))
168159, 167eqbrtrd 5163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (π‘“β€˜π‘§) = 0) ∧ (π‘”β€˜π‘§) = 0) β†’ if(((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) = 0, 0, (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑))) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§)))
169168a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (π‘“β€˜π‘§) = 0) ∧ (π‘”β€˜π‘§) = 0) β†’ ((0 ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ 0 ≀ (πΊβ€˜π‘§)) β†’ if(((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) = 0, 0, (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑))) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§))))
170166ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (π‘“β€˜π‘§) = 0) ∧ ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑) ≀ (πΊβ€˜π‘§)) β†’ 0 ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§)))
171 oveq1 7412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((π‘“β€˜π‘§) = 0 β†’ ((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) = (0 + (π‘”β€˜π‘§)))
172 simplrr 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) β†’ 𝑔 ∈ dom ∫1)
173 i1ff 25560 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑔 ∈ dom ∫1 β†’ 𝑔:β„βŸΆβ„)
174173ffvelcdmda 7080 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (π‘”β€˜π‘§) ∈ ℝ)
175172, 174sylan 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (π‘”β€˜π‘§) ∈ ℝ)
176175recnd 11246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (π‘”β€˜π‘§) ∈ β„‚)
177176addlidd 11419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (0 + (π‘”β€˜π‘§)) = (π‘”β€˜π‘§))
178171, 177sylan9eqr 2788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (π‘“β€˜π‘§) = 0) β†’ ((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) = (π‘”β€˜π‘§))
179178oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (π‘“β€˜π‘§) = 0) β†’ (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)) = ((π‘”β€˜π‘§) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)))
180179adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (π‘“β€˜π‘§) = 0) ∧ ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑) ≀ (πΊβ€˜π‘§)) β†’ (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)) = ((π‘”β€˜π‘§) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)))
181141rpred 13022 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) β†’ if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑) ∈ ℝ)
182181ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑) ∈ ℝ)
183175, 182readdcld 11247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ ((π‘”β€˜π‘§) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)) ∈ ℝ)
184183adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑) ≀ (πΊβ€˜π‘§)) β†’ ((π‘”β€˜π‘§) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)) ∈ ℝ)
185160, 164sylan 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (πΊβ€˜π‘§) ∈ ℝ)
186185adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑) ≀ (πΊβ€˜π‘§)) β†’ (πΊβ€˜π‘§) ∈ ℝ)
187160, 162sylan 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ ℝ)
188187, 185readdcld 11247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§)) ∈ ℝ)
189188adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑) ≀ (πΊβ€˜π‘§)) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§)) ∈ ℝ)
190 simplrr 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ 𝑑 ∈ ℝ+)
191190rpred 13022 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ 𝑑 ∈ ℝ)
192 rpre 12988 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑐 ∈ ℝ+ β†’ 𝑐 ∈ ℝ)
193 rpre 12988 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑑 ∈ ℝ+ β†’ 𝑑 ∈ ℝ)
194 min2 13175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑) ≀ 𝑑)
195192, 193, 194syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) β†’ if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑) ≀ 𝑑)
196195ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑) ≀ 𝑑)
197182, 191, 175, 196leadd2dd 11833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ ((π‘”β€˜π‘§) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)) ≀ ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))
198175, 191readdcld 11247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑) ∈ ℝ)
199 letr 11312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((π‘”β€˜π‘§) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)) ∈ ℝ ∧ ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑) ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘§) ∈ ℝ) β†’ ((((π‘”β€˜π‘§) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)) ≀ ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑) ∧ ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑) ≀ (πΊβ€˜π‘§)) β†’ ((π‘”β€˜π‘§) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)) ≀ (πΊβ€˜π‘§)))
200183, 198, 185, 199syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ ((((π‘”β€˜π‘§) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)) ≀ ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑) ∧ ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑) ≀ (πΊβ€˜π‘§)) β†’ ((π‘”β€˜π‘§) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)) ≀ (πΊβ€˜π‘§)))
201197, 200mpand 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑) ≀ (πΊβ€˜π‘§) β†’ ((π‘”β€˜π‘§) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)) ≀ (πΊβ€˜π‘§)))
202201imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑) ≀ (πΊβ€˜π‘§)) β†’ ((π‘”β€˜π‘§) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)) ≀ (πΊβ€˜π‘§))
203164, 162addge02d 11807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (0 ≀ (πΉβ€˜π‘§) ↔ (πΊβ€˜π‘§) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§))))
20417, 203mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (πΊβ€˜π‘§) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§)))
205160, 204sylan 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (πΊβ€˜π‘§) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§)))
206205adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑) ≀ (πΊβ€˜π‘§)) β†’ (πΊβ€˜π‘§) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§)))
207184, 186, 189, 202, 206letrd 11375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑) ≀ (πΊβ€˜π‘§)) β†’ ((π‘”β€˜π‘§) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§)))
208207adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (π‘“β€˜π‘§) = 0) ∧ ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑) ≀ (πΊβ€˜π‘§)) β†’ ((π‘”β€˜π‘§) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§)))
209180, 208eqbrtrd 5163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (π‘“β€˜π‘§) = 0) ∧ ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑) ≀ (πΊβ€˜π‘§)) β†’ (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§)))
210 breq1 5144 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (0 = if(((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) = 0, 0, (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑))) β†’ (0 ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§)) ↔ if(((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) = 0, 0, (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑))) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§))))
211 breq1 5144 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)) = if(((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) = 0, 0, (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑))) β†’ ((((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§)) ↔ if(((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) = 0, 0, (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑))) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§))))
212210, 211ifboth 4562 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((0 ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§)) ∧ (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§))) β†’ if(((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) = 0, 0, (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑))) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§)))
213170, 209, 212syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (π‘“β€˜π‘§) = 0) ∧ ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑) ≀ (πΊβ€˜π‘§)) β†’ if(((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) = 0, 0, (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑))) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§)))
214213ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (π‘“β€˜π‘§) = 0) β†’ (((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑) ≀ (πΊβ€˜π‘§) β†’ if(((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) = 0, 0, (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑))) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§))))
215214adantld 490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (π‘“β€˜π‘§) = 0) β†’ ((0 ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑) ≀ (πΊβ€˜π‘§)) β†’ if(((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) = 0, 0, (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑))) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§))))
216215adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (π‘“β€˜π‘§) = 0) ∧ Β¬ (π‘”β€˜π‘§) = 0) β†’ ((0 ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑) ≀ (πΊβ€˜π‘§)) β†’ if(((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) = 0, 0, (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑))) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§))))
217151, 154, 169, 216ifbothda 4561 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (π‘“β€˜π‘§) = 0) β†’ ((0 ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑)) ≀ (πΊβ€˜π‘§)) β†’ if(((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) = 0, 0, (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑))) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§))))
218149anbi2d 628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (0 = if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑)) β†’ ((((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐) ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ 0 ≀ (πΊβ€˜π‘§)) ↔ (((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐) ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑)) ≀ (πΊβ€˜π‘§))))
219218imbi1d 341 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (0 = if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑)) β†’ (((((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐) ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ 0 ≀ (πΊβ€˜π‘§)) β†’ if(((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) = 0, 0, (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑))) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§))) ↔ ((((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐) ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑)) ≀ (πΊβ€˜π‘§)) β†’ if(((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) = 0, 0, (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑))) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§)))))
220152anbi2d 628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑) = if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑)) β†’ ((((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐) ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑) ≀ (πΊβ€˜π‘§)) ↔ (((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐) ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑)) ≀ (πΊβ€˜π‘§))))
221220imbi1d 341 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑) = if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑)) β†’ (((((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐) ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑) ≀ (πΊβ€˜π‘§)) β†’ if(((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) = 0, 0, (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑))) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§))) ↔ ((((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐) ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑)) ≀ (πΊβ€˜π‘§)) β†’ if(((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) = 0, 0, (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑))) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§)))))
222166ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (π‘”β€˜π‘§) = 0) ∧ ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐) ≀ (πΉβ€˜π‘§)) β†’ 0 ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§)))
223 oveq2 7413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((π‘”β€˜π‘§) = 0 β†’ ((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) = ((π‘“β€˜π‘§) + 0))
224 simplrl 774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) β†’ 𝑓 ∈ dom ∫1)
225 i1ff 25560 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑓 ∈ dom ∫1 β†’ 𝑓:β„βŸΆβ„)
226225ffvelcdmda 7080 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (π‘“β€˜π‘§) ∈ ℝ)
227224, 226sylan 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (π‘“β€˜π‘§) ∈ ℝ)
228227recnd 11246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (π‘“β€˜π‘§) ∈ β„‚)
229228addridd 11418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ ((π‘“β€˜π‘§) + 0) = (π‘“β€˜π‘§))
230223, 229sylan9eqr 2788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (π‘”β€˜π‘§) = 0) β†’ ((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) = (π‘“β€˜π‘§))
231230oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (π‘”β€˜π‘§) = 0) β†’ (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)) = ((π‘“β€˜π‘§) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)))
232231adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (π‘”β€˜π‘§) = 0) ∧ ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐) ≀ (πΉβ€˜π‘§)) β†’ (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)) = ((π‘“β€˜π‘§) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)))
233227, 182readdcld 11247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ ((π‘“β€˜π‘§) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)) ∈ ℝ)
234233adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐) ≀ (πΉβ€˜π‘§)) β†’ ((π‘“β€˜π‘§) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)) ∈ ℝ)
235187adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐) ≀ (πΉβ€˜π‘§)) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ ℝ)
236188adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐) ≀ (πΉβ€˜π‘§)) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§)) ∈ ℝ)
237 simplrl 774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ 𝑐 ∈ ℝ+)
238237rpred 13022 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ 𝑐 ∈ ℝ)
239 min1 13174 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑) ≀ 𝑐)
240192, 193, 239syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) β†’ if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑) ≀ 𝑐)
241240ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑) ≀ 𝑐)
242182, 238, 227, 241leadd2dd 11833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ ((π‘“β€˜π‘§) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)) ≀ ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))
243227, 238readdcld 11247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐) ∈ ℝ)
244 letr 11312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((π‘“β€˜π‘§) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)) ∈ ℝ ∧ ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ ℝ) β†’ ((((π‘“β€˜π‘§) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)) ≀ ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐) ∧ ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐) ≀ (πΉβ€˜π‘§)) β†’ ((π‘“β€˜π‘§) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)) ≀ (πΉβ€˜π‘§)))
245233, 243, 187, 244syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ ((((π‘“β€˜π‘§) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)) ≀ ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐) ∧ ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐) ≀ (πΉβ€˜π‘§)) β†’ ((π‘“β€˜π‘§) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)) ≀ (πΉβ€˜π‘§)))
246242, 245mpand 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐) ≀ (πΉβ€˜π‘§) β†’ ((π‘“β€˜π‘§) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)) ≀ (πΉβ€˜π‘§)))
247246imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐) ≀ (πΉβ€˜π‘§)) β†’ ((π‘“β€˜π‘§) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)) ≀ (πΉβ€˜π‘§))
248162, 164addge01d 11806 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (0 ≀ (πΊβ€˜π‘§) ↔ (πΉβ€˜π‘§) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§))))
24976, 248mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§)))
250160, 249sylan 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§)))
251250adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐) ≀ (πΉβ€˜π‘§)) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§)))
252234, 235, 236, 247, 251letrd 11375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐) ≀ (πΉβ€˜π‘§)) β†’ ((π‘“β€˜π‘§) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§)))
253252adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (π‘”β€˜π‘§) = 0) ∧ ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐) ≀ (πΉβ€˜π‘§)) β†’ ((π‘“β€˜π‘§) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§)))
254232, 253eqbrtrd 5163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (π‘”β€˜π‘§) = 0) ∧ ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐) ≀ (πΉβ€˜π‘§)) β†’ (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§)))
255222, 254, 212syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (π‘”β€˜π‘§) = 0) ∧ ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐) ≀ (πΉβ€˜π‘§)) β†’ if(((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) = 0, 0, (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑))) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§)))
256255ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (π‘”β€˜π‘§) = 0) β†’ (((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐) ≀ (πΉβ€˜π‘§) β†’ if(((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) = 0, 0, (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑))) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§))))
257256adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ Β¬ (π‘“β€˜π‘§) = 0) ∧ (π‘”β€˜π‘§) = 0) β†’ (((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐) ≀ (πΉβ€˜π‘§) β†’ if(((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) = 0, 0, (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑))) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§))))
258257adantrd 491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ Β¬ (π‘“β€˜π‘§) = 0) ∧ (π‘”β€˜π‘§) = 0) β†’ ((((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐) ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ 0 ≀ (πΊβ€˜π‘§)) β†’ if(((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) = 0, 0, (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑))) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§))))
259166adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐) ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑) ≀ (πΊβ€˜π‘§))) β†’ 0 ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§)))
260182recnd 11246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑) ∈ β„‚)
261228, 176, 260addassd 11240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)) = ((π‘“β€˜π‘§) + ((π‘”β€˜π‘§) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑))))
262261adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐) ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑) ≀ (πΊβ€˜π‘§))) β†’ (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)) = ((π‘“β€˜π‘§) + ((π‘”β€˜π‘§) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑))))
263227, 237ltaddrpd 13055 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (π‘“β€˜π‘§) < ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))
264227, 243, 263ltled 11366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (π‘“β€˜π‘§) ≀ ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))
265 letr 11312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((π‘“β€˜π‘§) ∈ ℝ ∧ ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ ℝ) β†’ (((π‘“β€˜π‘§) ≀ ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐) ∧ ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐) ≀ (πΉβ€˜π‘§)) β†’ (π‘“β€˜π‘§) ≀ (πΉβ€˜π‘§)))
266227, 243, 187, 265syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (((π‘“β€˜π‘§) ≀ ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐) ∧ ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐) ≀ (πΉβ€˜π‘§)) β†’ (π‘“β€˜π‘§) ≀ (πΉβ€˜π‘§)))
267264, 266mpand 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐) ≀ (πΉβ€˜π‘§) β†’ (π‘“β€˜π‘§) ≀ (πΉβ€˜π‘§)))
268 le2add 11700 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((π‘“β€˜π‘§) ∈ ℝ ∧ ((π‘”β€˜π‘§) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)) ∈ ℝ) ∧ ((πΉβ€˜π‘§) ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘§) ∈ ℝ)) β†’ (((π‘“β€˜π‘§) ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ ((π‘”β€˜π‘§) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)) ≀ (πΊβ€˜π‘§)) β†’ ((π‘“β€˜π‘§) + ((π‘”β€˜π‘§) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑))) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§))))
269227, 183, 187, 185, 268syl22anc 836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (((π‘“β€˜π‘§) ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ ((π‘”β€˜π‘§) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)) ≀ (πΊβ€˜π‘§)) β†’ ((π‘“β€˜π‘§) + ((π‘”β€˜π‘§) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑))) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§))))
270267, 201, 269syl2and 607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ ((((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐) ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑) ≀ (πΊβ€˜π‘§)) β†’ ((π‘“β€˜π‘§) + ((π‘”β€˜π‘§) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑))) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§))))
271270imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐) ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑) ≀ (πΊβ€˜π‘§))) β†’ ((π‘“β€˜π‘§) + ((π‘”β€˜π‘§) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑))) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§)))
272262, 271eqbrtrd 5163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐) ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑) ≀ (πΊβ€˜π‘§))) β†’ (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§)))
273259, 272, 212syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐) ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑) ≀ (πΊβ€˜π‘§))) β†’ if(((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) = 0, 0, (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑))) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§)))
274273ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ ((((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐) ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑) ≀ (πΊβ€˜π‘§)) β†’ if(((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) = 0, 0, (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑))) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§))))
275274ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ Β¬ (π‘“β€˜π‘§) = 0) ∧ Β¬ (π‘”β€˜π‘§) = 0) β†’ ((((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐) ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑) ≀ (πΊβ€˜π‘§)) β†’ if(((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) = 0, 0, (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑))) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§))))
276219, 221, 258, 275ifbothda 4561 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ Β¬ (π‘“β€˜π‘§) = 0) β†’ ((((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐) ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑)) ≀ (πΊβ€˜π‘§)) β†’ if(((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) = 0, 0, (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑))) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§))))
277145, 148, 217, 276ifbothda 4561 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ ((if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐)) ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑)) ≀ (πΊβ€˜π‘§)) β†’ if(((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) = 0, 0, (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑))) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§))))
278277ralimdva 3161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ ℝ (if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐)) ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑)) ≀ (πΊβ€˜π‘§)) β†’ βˆ€π‘§ ∈ ℝ if(((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) = 0, 0, (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑))) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§))))
279 ovex 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐) ∈ V
28021, 279ifex 4573 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐)) ∈ V
281280a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐)) ∈ V)
282 eqidd 2727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))))
28320, 281, 14, 282, 24ofrfval2 7688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (πœ‘ β†’ ((𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ↔ βˆ€π‘§ ∈ ℝ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐)) ≀ (πΉβ€˜π‘§)))
284 ovex 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑) ∈ V
28521, 284ifex 4573 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑)) ∈ V
286285a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑)) ∈ V)
287 eqidd 2727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))))
28820, 286, 73, 287, 78ofrfval2 7688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (πœ‘ β†’ ((𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ↔ βˆ€π‘§ ∈ ℝ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑)) ≀ (πΊβ€˜π‘§)))
289283, 288anbi12d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (πœ‘ β†’ (((𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺) ↔ (βˆ€π‘§ ∈ ℝ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐)) ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘§ ∈ ℝ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑)) ≀ (πΊβ€˜π‘§))))
290 r19.26 3105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (βˆ€π‘§ ∈ ℝ (if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐)) ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑)) ≀ (πΊβ€˜π‘§)) ↔ (βˆ€π‘§ ∈ ℝ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐)) ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘§ ∈ ℝ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑)) ≀ (πΊβ€˜π‘§)))
291289, 290bitr4di 289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ (((𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺) ↔ βˆ€π‘§ ∈ ℝ (if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐)) ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑)) ≀ (πΊβ€˜π‘§))))
292291ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) β†’ (((𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺) ↔ βˆ€π‘§ ∈ ℝ (if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐)) ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑)) ≀ (πΊβ€˜π‘§))))
29319a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) β†’ ℝ ∈ V)
294 ovex 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)) ∈ V
29521, 294ifex 4573 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 if(((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) = 0, 0, (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑))) ∈ V
296295a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ if(((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) = 0, 0, (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑))) ∈ V)
297 ovexd 7440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§)) ∈ V)
298225ffnd 6712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑓 ∈ dom ∫1 β†’ 𝑓 Fn ℝ)
299298adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1) β†’ 𝑓 Fn ℝ)
300299ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) β†’ 𝑓 Fn ℝ)
301173ffnd 6712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑔 ∈ dom ∫1 β†’ 𝑔 Fn ℝ)
302301adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1) β†’ 𝑔 Fn ℝ)
303302ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) β†’ 𝑔 Fn ℝ)
304 eqidd 2727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (π‘“β€˜π‘§) = (π‘“β€˜π‘§))
305 eqidd 2727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (π‘”β€˜π‘§) = (π‘”β€˜π‘§))
306300, 303, 293, 293, 127, 304, 305ofval 7678 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ ((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) = ((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)))
307306eqeq1d 2728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) = 0 ↔ ((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) = 0))
308306oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)) = (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)))
309307, 308ifbieq2d 4549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ if(((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) = 0, 0, (((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑))) = if(((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) = 0, 0, (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑))))
310309mpteq2dva 5241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) β†’ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) = 0, 0, (((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)))) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) = 0, 0, (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)))))
31113ffnd 6712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn ℝ)
31272ffnd 6712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (πœ‘ β†’ 𝐺 Fn ℝ)
313 eqidd 2727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘§) = (πΉβ€˜π‘§))
314 eqidd 2727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜π‘§))
315311, 312, 20, 20, 127, 313, 314offval 7676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘f + 𝐺) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§))))
316315ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) β†’ (𝐹 ∘f + 𝐺) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§))))
317293, 296, 297, 310, 316ofrfval2 7688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) β†’ ((𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) = 0, 0, (((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)))) ∘r ≀ (𝐹 ∘f + 𝐺) ↔ βˆ€π‘§ ∈ ℝ if(((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) = 0, 0, (((π‘“β€˜π‘§) + (π‘”β€˜π‘§)) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑))) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§))))
318278, 292, 3173imtr4d 294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) β†’ (((𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺) β†’ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) = 0, 0, (((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)))) ∘r ≀ (𝐹 ∘f + 𝐺)))
319318imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺)) β†’ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) = 0, 0, (((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)))) ∘r ≀ (𝐹 ∘f + 𝐺))
320 oveq2 7413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 = if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑) β†’ (((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) + 𝑦) = (((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)))
321320ifeq2d 4543 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 = if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑) β†’ if(((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) = 0, 0, (((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) + 𝑦)) = if(((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) = 0, 0, (((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑))))
322321mpteq2dv 5243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑) β†’ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) = 0, 0, (((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) + 𝑦))) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) = 0, 0, (((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)))))
323322breq1d 5151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑) β†’ ((𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) = 0, 0, (((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ (𝐹 ∘f + 𝐺) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) = 0, 0, (((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)))) ∘r ≀ (𝐹 ∘f + 𝐺)))
324323rspcev 3606 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑) ∈ ℝ+ ∧ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) = 0, 0, (((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) + if(𝑐 ≀ 𝑑, 𝑐, 𝑑)))) ∘r ≀ (𝐹 ∘f + 𝐺)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) = 0, 0, (((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ (𝐹 ∘f + 𝐺))
325142, 319, 324syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) = 0, 0, (((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ (𝐹 ∘f + 𝐺))
326325ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) β†’ (((𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) = 0, 0, (((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ (𝐹 ∘f + 𝐺)))
327326rexlimdvva 3205 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ ((𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) = 0, 0, (((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ (𝐹 ∘f + 𝐺)))
328140, 327syl5 34 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) β†’ (((βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑑 = (∫1β€˜π‘“)) ∧ (βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ 𝑒 = (∫1β€˜π‘”))) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) = 0, 0, (((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ (𝐹 ∘f + 𝐺)))
329328a1dd 50 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) β†’ (((βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑑 = (∫1β€˜π‘“)) ∧ (βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ 𝑒 = (∫1β€˜π‘”))) β†’ (𝑠 = (𝑑 + 𝑒) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) = 0, 0, (((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ (𝐹 ∘f + 𝐺))))
330329imp31 417 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ ((βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑑 = (∫1β€˜π‘“)) ∧ (βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ 𝑒 = (∫1β€˜π‘”)))) ∧ 𝑠 = (𝑑 + 𝑒)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) = 0, 0, (((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ (𝐹 ∘f + 𝐺))
331 oveq12 7414 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑑 = (∫1β€˜π‘“) ∧ 𝑒 = (∫1β€˜π‘”)) β†’ (𝑑 + 𝑒) = ((∫1β€˜π‘“) + (∫1β€˜π‘”)))
332331ad2ant2l 743 . . . . . . . . . . . . . 14 (((βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑑 = (∫1β€˜π‘“)) ∧ (βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ 𝑒 = (∫1β€˜π‘”))) β†’ (𝑑 + 𝑒) = ((∫1β€˜π‘“) + (∫1β€˜π‘”)))
333134, 135itg1add 25586 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1) β†’ (∫1β€˜(𝑓 ∘f + 𝑔)) = ((∫1β€˜π‘“) + (∫1β€˜π‘”)))
334333eqcomd 2732 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1) β†’ ((∫1β€˜π‘“) + (∫1β€˜π‘”)) = (∫1β€˜(𝑓 ∘f + 𝑔)))
335334adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) β†’ ((∫1β€˜π‘“) + (∫1β€˜π‘”)) = (∫1β€˜(𝑓 ∘f + 𝑔)))
336332, 335sylan9eqr 2788 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ ((βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑑 = (∫1β€˜π‘“)) ∧ (βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ 𝑒 = (∫1β€˜π‘”)))) β†’ (𝑑 + 𝑒) = (∫1β€˜(𝑓 ∘f + 𝑔)))
337 eqtr 2749 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑠 = (𝑑 + 𝑒) ∧ (𝑑 + 𝑒) = (∫1β€˜(𝑓 ∘f + 𝑔))) β†’ 𝑠 = (∫1β€˜(𝑓 ∘f + 𝑔)))
338337ancoms 458 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑑 + 𝑒) = (∫1β€˜(𝑓 ∘f + 𝑔)) ∧ 𝑠 = (𝑑 + 𝑒)) β†’ 𝑠 = (∫1β€˜(𝑓 ∘f + 𝑔)))
339336, 338sylan 579 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ ((βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑑 = (∫1β€˜π‘“)) ∧ (βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ 𝑒 = (∫1β€˜π‘”)))) ∧ 𝑠 = (𝑑 + 𝑒)) β†’ 𝑠 = (∫1β€˜(𝑓 ∘f + 𝑔)))
340 fveq1 6884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (β„Ž = (𝑓 ∘f + 𝑔) β†’ (β„Žβ€˜π‘§) = ((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§))
341340eqeq1d 2728 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (β„Ž = (𝑓 ∘f + 𝑔) β†’ ((β„Žβ€˜π‘§) = 0 ↔ ((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) = 0))
342340oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (β„Ž = (𝑓 ∘f + 𝑔) β†’ ((β„Žβ€˜π‘§) + 𝑦) = (((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) + 𝑦))
343341, 342ifbieq2d 4549 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (β„Ž = (𝑓 ∘f + 𝑔) β†’ if((β„Žβ€˜π‘§) = 0, 0, ((β„Žβ€˜π‘§) + 𝑦)) = if(((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) = 0, 0, (((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) + 𝑦)))
344343mpteq2dv 5243 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (β„Ž = (𝑓 ∘f + 𝑔) β†’ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((β„Žβ€˜π‘§) = 0, 0, ((β„Žβ€˜π‘§) + 𝑦))) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) = 0, 0, (((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) + 𝑦))))
345344breq1d 5151 . . . . . . . . . . . . . . 15 (β„Ž = (𝑓 ∘f + 𝑔) β†’ ((𝑧 ∈ ℝ ↦ if((β„Žβ€˜π‘§) = 0, 0, ((β„Žβ€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ (𝐹 ∘f + 𝐺) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) = 0, 0, (((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ (𝐹 ∘f + 𝐺)))
346345rexbidv 3172 . . . . . . . . . . . . . 14 (β„Ž = (𝑓 ∘f + 𝑔) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((β„Žβ€˜π‘§) = 0, 0, ((β„Žβ€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ (𝐹 ∘f + 𝐺) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) = 0, 0, (((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ (𝐹 ∘f + 𝐺)))
347 fveq2 6885 . . . . . . . . . . . . . . 15 (β„Ž = (𝑓 ∘f + 𝑔) β†’ (∫1β€˜β„Ž) = (∫1β€˜(𝑓 ∘f + 𝑔)))
348347eqeq2d 2737 . . . . . . . . . . . . . 14 (β„Ž = (𝑓 ∘f + 𝑔) β†’ (𝑠 = (∫1β€˜β„Ž) ↔ 𝑠 = (∫1β€˜(𝑓 ∘f + 𝑔))))
349346, 348anbi12d 630 . . . . . . . . . . . . 13 (β„Ž = (𝑓 ∘f + 𝑔) β†’ ((βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((β„Žβ€˜π‘§) = 0, 0, ((β„Žβ€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ (𝐹 ∘f + 𝐺) ∧ 𝑠 = (∫1β€˜β„Ž)) ↔ (βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) = 0, 0, (((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ (𝐹 ∘f + 𝐺) ∧ 𝑠 = (∫1β€˜(𝑓 ∘f + 𝑔)))))
350349rspcev 3606 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ dom ∫1 ∧ (βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) = 0, 0, (((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ (𝐹 ∘f + 𝐺) ∧ 𝑠 = (∫1β€˜(𝑓 ∘f + 𝑔)))) β†’ βˆƒβ„Ž ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((β„Žβ€˜π‘§) = 0, 0, ((β„Žβ€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ (𝐹 ∘f + 𝐺) ∧ 𝑠 = (∫1β€˜β„Ž)))
351137, 330, 339, 350syl12anc 834 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ ((βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑑 = (∫1β€˜π‘“)) ∧ (βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ 𝑒 = (∫1β€˜π‘”)))) ∧ 𝑠 = (𝑑 + 𝑒)) β†’ βˆƒβ„Ž ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((β„Žβ€˜π‘§) = 0, 0, ((β„Žβ€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ (𝐹 ∘f + 𝐺) ∧ 𝑠 = (∫1β€˜β„Ž)))
352351exp31 419 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) β†’ (((βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑑 = (∫1β€˜π‘“)) ∧ (βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ 𝑒 = (∫1β€˜π‘”))) β†’ (𝑠 = (𝑑 + 𝑒) β†’ βˆƒβ„Ž ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((β„Žβ€˜π‘§) = 0, 0, ((β„Žβ€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ (𝐹 ∘f + 𝐺) ∧ 𝑠 = (∫1β€˜β„Ž)))))
353352rexlimdvva 3205 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1((βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑑 = (∫1β€˜π‘“)) ∧ (βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ 𝑒 = (∫1β€˜π‘”))) β†’ (𝑠 = (𝑑 + 𝑒) β†’ βˆƒβ„Ž ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((β„Žβ€˜π‘§) = 0, 0, ((β„Žβ€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ (𝐹 ∘f + 𝐺) ∧ 𝑠 = (∫1β€˜β„Ž)))))
354353impd 410 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1((βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑑 = (∫1β€˜π‘“)) ∧ (βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ 𝑒 = (∫1β€˜π‘”))) ∧ 𝑠 = (𝑑 + 𝑒)) β†’ βˆƒβ„Ž ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((β„Žβ€˜π‘§) = 0, 0, ((β„Žβ€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ (𝐹 ∘f + 𝐺) ∧ 𝑠 = (∫1β€˜β„Ž))))
355354exlimdvv 1929 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘‘βˆƒπ‘’(βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1((βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑑 = (∫1β€˜π‘“)) ∧ (βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ 𝑒 = (∫1β€˜π‘”))) ∧ 𝑠 = (𝑑 + 𝑒)) β†’ βˆƒβ„Ž ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((β„Žβ€˜π‘§) = 0, 0, ((β„Žβ€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ (𝐹 ∘f + 𝐺) ∧ 𝑠 = (∫1β€˜β„Ž))))
356133, 355impbid 211 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (βˆƒβ„Ž ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((β„Žβ€˜π‘§) = 0, 0, ((β„Žβ€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ (𝐹 ∘f + 𝐺) ∧ 𝑠 = (∫1β€˜β„Ž)) ↔ βˆƒπ‘‘βˆƒπ‘’(βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1((βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑑 = (∫1β€˜π‘“)) ∧ (βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ 𝑒 = (∫1β€˜π‘”))) ∧ 𝑠 = (𝑑 + 𝑒))))
357 eqeq1 2730 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑑 β†’ (π‘₯ = (∫1β€˜π‘“) ↔ 𝑑 = (∫1β€˜π‘“)))
358357anbi2d 628 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑑 β†’ ((βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“)) ↔ (βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑑 = (∫1β€˜π‘“))))
359358rexbidv 3172 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑑 β†’ (βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“)) ↔ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑑 = (∫1β€˜π‘“))))
360359rexab 3685 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}βˆƒπ‘’ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}𝑠 = (𝑑 + 𝑒) ↔ βˆƒπ‘‘(βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑑 = (∫1β€˜π‘“)) ∧ βˆƒπ‘’ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}𝑠 = (𝑑 + 𝑒)))
361 eqeq1 2730 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = 𝑒 β†’ (π‘₯ = (∫1β€˜π‘”) ↔ 𝑒 = (∫1β€˜π‘”)))
362361anbi2d 628 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = 𝑒 β†’ ((βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”)) ↔ (βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ 𝑒 = (∫1β€˜π‘”))))
363362rexbidv 3172 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝑒 β†’ (βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”)) ↔ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ 𝑒 = (∫1β€˜π‘”))))
364363rexab 3685 . . . . . . . . . 10 (βˆƒπ‘’ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}𝑠 = (𝑑 + 𝑒) ↔ βˆƒπ‘’(βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ 𝑒 = (∫1β€˜π‘”)) ∧ 𝑠 = (𝑑 + 𝑒)))
365364anbi2i 622 . . . . . . . . 9 ((βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑑 = (∫1β€˜π‘“)) ∧ βˆƒπ‘’ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}𝑠 = (𝑑 + 𝑒)) ↔ (βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑑 = (∫1β€˜π‘“)) ∧ βˆƒπ‘’(βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ 𝑒 = (∫1β€˜π‘”)) ∧ 𝑠 = (𝑑 + 𝑒))))
366 19.42v 1949 . . . . . . . . 9 (βˆƒπ‘’(βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑑 = (∫1β€˜π‘“)) ∧ (βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ 𝑒 = (∫1β€˜π‘”)) ∧ 𝑠 = (𝑑 + 𝑒))) ↔ (βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑑 = (∫1β€˜π‘“)) ∧ βˆƒπ‘’(βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ 𝑒 = (∫1β€˜π‘”)) ∧ 𝑠 = (𝑑 + 𝑒))))
367 reeanv 3220 . . . . . . . . . . . 12 (βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1((βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑑 = (∫1β€˜π‘“)) ∧ (βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ 𝑒 = (∫1β€˜π‘”))) ↔ (βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑑 = (∫1β€˜π‘“)) ∧ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ 𝑒 = (∫1β€˜π‘”))))
368367anbi1i 623 . . . . . . . . . . 11 ((βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1((βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑑 = (∫1β€˜π‘“)) ∧ (βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ 𝑒 = (∫1β€˜π‘”))) ∧ 𝑠 = (𝑑 + 𝑒)) ↔ ((βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑑 = (∫1β€˜π‘“)) ∧ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ 𝑒 = (∫1β€˜π‘”))) ∧ 𝑠 = (𝑑 + 𝑒)))
369 anass 468 . . . . . . . . . . 11 (((βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑑 = (∫1β€˜π‘“)) ∧ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ 𝑒 = (∫1β€˜π‘”))) ∧ 𝑠 = (𝑑 + 𝑒)) ↔ (βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑑 = (∫1β€˜π‘“)) ∧ (βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ 𝑒 = (∫1β€˜π‘”)) ∧ 𝑠 = (𝑑 + 𝑒))))
370368, 369bitr2i 276 . . . . . . . . . 10 ((βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑑 = (∫1β€˜π‘“)) ∧ (βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ 𝑒 = (∫1β€˜π‘”)) ∧ 𝑠 = (𝑑 + 𝑒))) ↔ (βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1((βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑑 = (∫1β€˜π‘“)) ∧ (βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ 𝑒 = (∫1β€˜π‘”))) ∧ 𝑠 = (𝑑 + 𝑒)))
371370exbii 1842 . . . . . . . . 9 (βˆƒπ‘’(βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑑 = (∫1β€˜π‘“)) ∧ (βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ 𝑒 = (∫1β€˜π‘”)) ∧ 𝑠 = (𝑑 + 𝑒))) ↔ βˆƒπ‘’(βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1((βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑑 = (∫1β€˜π‘“)) ∧ (βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ 𝑒 = (∫1β€˜π‘”))) ∧ 𝑠 = (𝑑 + 𝑒)))
372365, 366, 3713bitr2i 299 . . . . . . . 8 ((βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑑 = (∫1β€˜π‘“)) ∧ βˆƒπ‘’ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}𝑠 = (𝑑 + 𝑒)) ↔ βˆƒπ‘’(βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1((βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑑 = (∫1β€˜π‘“)) ∧ (βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ 𝑒 = (∫1β€˜π‘”))) ∧ 𝑠 = (𝑑 + 𝑒)))
373372exbii 1842 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘‘(βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑑 = (∫1β€˜π‘“)) ∧ βˆƒπ‘’ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}𝑠 = (𝑑 + 𝑒)) ↔ βˆƒπ‘‘βˆƒπ‘’(βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1((βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑑 = (∫1β€˜π‘“)) ∧ (βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ 𝑒 = (∫1β€˜π‘”))) ∧ 𝑠 = (𝑑 + 𝑒)))
374360, 373bitri 275 . . . . . 6 (βˆƒπ‘‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}βˆƒπ‘’ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}𝑠 = (𝑑 + 𝑒) ↔ βˆƒπ‘‘βˆƒπ‘’(βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1((βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑑 = (∫1β€˜π‘“)) ∧ (βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ 𝑒 = (∫1β€˜π‘”))) ∧ 𝑠 = (𝑑 + 𝑒)))
375356, 374bitr4di 289 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆƒβ„Ž ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((β„Žβ€˜π‘§) = 0, 0, ((β„Žβ€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ (𝐹 ∘f + 𝐺) ∧ 𝑠 = (∫1β€˜β„Ž)) ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}βˆƒπ‘’ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}𝑠 = (𝑑 + 𝑒)))
376375abbidv 2795 . . . 4 (πœ‘ β†’ {𝑠 ∣ βˆƒβ„Ž ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((β„Žβ€˜π‘§) = 0, 0, ((β„Žβ€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ (𝐹 ∘f + 𝐺) ∧ 𝑠 = (∫1β€˜β„Ž))} = {𝑠 ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}βˆƒπ‘’ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}𝑠 = (𝑑 + 𝑒)})
377376supeq1d 9443 . . 3 (πœ‘ β†’ sup({𝑠 ∣ βˆƒβ„Ž ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((β„Žβ€˜π‘§) = 0, 0, ((β„Žβ€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ (𝐹 ∘f + 𝐺) ∧ 𝑠 = (∫1β€˜β„Ž))}, ℝ*, < ) = sup({𝑠 ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}βˆƒπ‘’ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}𝑠 = (𝑑 + 𝑒)}, ℝ*, < ))
378 simpr 484 . . . . . . . . 9 (((𝑑 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))} ∧ 𝑒 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}) ∧ 𝑠 = (𝑑 + 𝑒)) β†’ 𝑠 = (𝑑 + 𝑒))
3796sseli 3973 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))} β†’ 𝑑 ∈ ℝ)
380379ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10 (((𝑑 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))} ∧ 𝑒 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}) ∧ 𝑠 = (𝑑 + 𝑒)) β†’ 𝑑 ∈ ℝ)
38170sseli 3973 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))} β†’ 𝑒 ∈ ℝ)
382381ad2antlr 724 . . . . . . . . . 10 (((𝑑 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))} ∧ 𝑒 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}) ∧ 𝑠 = (𝑑 + 𝑒)) β†’ 𝑒 ∈ ℝ)
383380, 382readdcld 11247 . . . . . . . . 9 (((𝑑 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))} ∧ 𝑒 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}) ∧ 𝑠 = (𝑑 + 𝑒)) β†’ (𝑑 + 𝑒) ∈ ℝ)
384378, 383eqeltrd 2827 . . . . . . . 8 (((𝑑 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))} ∧ 𝑒 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}) ∧ 𝑠 = (𝑑 + 𝑒)) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
385384ex 412 . . . . . . 7 ((𝑑 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))} ∧ 𝑒 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}) β†’ (𝑠 = (𝑑 + 𝑒) β†’ 𝑠 ∈ ℝ))
386385rexlimivv 3193 . . . . . 6 (βˆƒπ‘‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}βˆƒπ‘’ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}𝑠 = (𝑑 + 𝑒) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
387386abssi 4062 . . . . 5 {𝑠 ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}βˆƒπ‘’ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}𝑠 = (𝑑 + 𝑒)} βŠ† ℝ
388387a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ {𝑠 ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}βˆƒπ‘’ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}𝑠 = (𝑑 + 𝑒)} βŠ† ℝ)
389156eqcomi 2735 . . . . . . . 8 0 = (0 + 0)
390 rspceov 7452 . . . . . . . 8 ((0 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))} ∧ 0 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))} ∧ 0 = (0 + 0)) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}βˆƒπ‘’ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}0 = (𝑑 + 𝑒))
391389, 390mp3an3 1446 . . . . . . 7 ((0 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))} ∧ 0 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}βˆƒπ‘’ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}0 = (𝑑 + 𝑒))
39248, 100, 391syl2anc 583 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}βˆƒπ‘’ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}0 = (𝑑 + 𝑒))
393 eqeq1 2730 . . . . . . . 8 (𝑠 = 0 β†’ (𝑠 = (𝑑 + 𝑒) ↔ 0 = (𝑑 + 𝑒)))
3943932rexbidv 3213 . . . . . . 7 (𝑠 = 0 β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}βˆƒπ‘’ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}𝑠 = (𝑑 + 𝑒) ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}βˆƒπ‘’ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}0 = (𝑑 + 𝑒)))
39521, 394spcev 3590 . . . . . 6 (βˆƒπ‘‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}βˆƒπ‘’ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}0 = (𝑑 + 𝑒) β†’ βˆƒπ‘ βˆƒπ‘‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}βˆƒπ‘’ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}𝑠 = (𝑑 + 𝑒))
396392, 395syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ βˆƒπ‘‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}βˆƒπ‘’ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}𝑠 = (𝑑 + 𝑒))
397 abn0 4375 . . . . 5 ({𝑠 ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}βˆƒπ‘’ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}𝑠 = (𝑑 + 𝑒)} β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘ βˆƒπ‘‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}βˆƒπ‘’ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}𝑠 = (𝑑 + 𝑒))
398396, 397sylibr 233 . . . 4 (πœ‘ β†’ {𝑠 ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}βˆƒπ‘’ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}𝑠 = (𝑑 + 𝑒)} β‰  βˆ…)
39957, 108readdcld 11247 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}, ℝ*, < ) + sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}, ℝ*, < )) ∈ ℝ)
400 simpr 484 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))} ∧ 𝑒 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))})) ∧ 𝑏 = (𝑑 + 𝑒)) β†’ 𝑏 = (𝑑 + 𝑒))
401379ad2antrl 725 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))} ∧ 𝑒 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))})) β†’ 𝑑 ∈ ℝ)
402381ad2antll 726 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))} ∧ 𝑒 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))})) β†’ 𝑒 ∈ ℝ)
40357adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))} ∧ 𝑒 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))})) β†’ sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
404108adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))} ∧ 𝑒 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))})) β†’ sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
405 supxrub 13309 . . . . . . . . . . . . 13 (({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))} βŠ† ℝ* ∧ 𝑑 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}) β†’ 𝑑 ≀ sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}, ℝ*, < ))
40659, 405mpan 687 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))} β†’ 𝑑 ≀ sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}, ℝ*, < ))
407406ad2antrl 725 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))} ∧ 𝑒 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))})) β†’ 𝑑 ≀ sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}, ℝ*, < ))
408 supxrub 13309 . . . . . . . . . . . . 13 (({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))} βŠ† ℝ* ∧ 𝑒 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}) β†’ 𝑒 ≀ sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}, ℝ*, < ))
409109, 408mpan 687 . . . . . . . . . . . 12 (𝑒 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))} β†’ 𝑒 ≀ sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}, ℝ*, < ))
410409ad2antll 726 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))} ∧ 𝑒 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))})) β†’ 𝑒 ≀ sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}, ℝ*, < ))
411401, 402, 403, 404, 407, 410le2addd 11837 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))} ∧ 𝑒 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))})) β†’ (𝑑 + 𝑒) ≀ (sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}, ℝ*, < ) + sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}, ℝ*, < )))
412411adantr 480 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))} ∧ 𝑒 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))})) ∧ 𝑏 = (𝑑 + 𝑒)) β†’ (𝑑 + 𝑒) ≀ (sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}, ℝ*, < ) + sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}, ℝ*, < )))
413400, 412eqbrtrd 5163 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))} ∧ 𝑒 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))})) ∧ 𝑏 = (𝑑 + 𝑒)) β†’ 𝑏 ≀ (sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}, ℝ*, < ) + sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}, ℝ*, < )))
414413ex 412 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))} ∧ 𝑒 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))})) β†’ (𝑏 = (𝑑 + 𝑒) β†’ 𝑏 ≀ (sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}, ℝ*, < ) + sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}, ℝ*, < ))))
415414rexlimdvva 3205 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}βˆƒπ‘’ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}𝑏 = (𝑑 + 𝑒) β†’ 𝑏 ≀ (sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}, ℝ*, < ) + sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}, ℝ*, < ))))
416415alrimiv 1922 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘(βˆƒπ‘‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}βˆƒπ‘’ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}𝑏 = (𝑑 + 𝑒) β†’ 𝑏 ≀ (sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}, ℝ*, < ) + sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}, ℝ*, < ))))
417 breq2 5145 . . . . . . . 8 (π‘Ž = (sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}, ℝ*, < ) + sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}, ℝ*, < )) β†’ (𝑏 ≀ π‘Ž ↔ 𝑏 ≀ (sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}, ℝ*, < ) + sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}, ℝ*, < ))))
418417ralbidv 3171 . . . . . . 7 (π‘Ž = (sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}, ℝ*, < ) + sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}, ℝ*, < )) β†’ (βˆ€π‘ ∈ {𝑠 ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}βˆƒπ‘’ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}𝑠 = (𝑑 + 𝑒)}𝑏 ≀ π‘Ž ↔ βˆ€π‘ ∈ {𝑠 ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}βˆƒπ‘’ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}𝑠 = (𝑑 + 𝑒)}𝑏 ≀ (sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}, ℝ*, < ) + sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}, ℝ*, < ))))
419 eqeq1 2730 . . . . . . . . 9 (𝑠 = 𝑏 β†’ (𝑠 = (𝑑 + 𝑒) ↔ 𝑏 = (𝑑 + 𝑒)))
4204192rexbidv 3213 . . . . . . . 8 (𝑠 = 𝑏 β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}βˆƒπ‘’ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}𝑠 = (𝑑 + 𝑒) ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}βˆƒπ‘’ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}𝑏 = (𝑑 + 𝑒)))
421420ralab 3682 . . . . . . 7 (βˆ€π‘ ∈ {𝑠 ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}βˆƒπ‘’ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}𝑠 = (𝑑 + 𝑒)}𝑏 ≀ (sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}, ℝ*, < ) + sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}, ℝ*, < )) ↔ βˆ€π‘(βˆƒπ‘‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}βˆƒπ‘’ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}𝑏 = (𝑑 + 𝑒) β†’ 𝑏 ≀ (sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}, ℝ*, < ) + sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}, ℝ*, < ))))
422418, 421bitrdi 287 . . . . . 6 (π‘Ž = (sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}, ℝ*, < ) + sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}, ℝ*, < )) β†’ (βˆ€π‘ ∈ {𝑠 ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}βˆƒπ‘’ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}𝑠 = (𝑑 + 𝑒)}𝑏 ≀ π‘Ž ↔ βˆ€π‘(βˆƒπ‘‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}βˆƒπ‘’ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}𝑏 = (𝑑 + 𝑒) β†’ 𝑏 ≀ (sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}, ℝ*, < ) + sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}, ℝ*, < )))))
423422rspcev 3606 . . . . 5 (((sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}, ℝ*, < ) + sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}, ℝ*, < )) ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘(βˆƒπ‘‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}βˆƒπ‘’ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}𝑏 = (𝑑 + 𝑒) β†’ 𝑏 ≀ (sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}, ℝ*, < ) + sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}, ℝ*, < )))) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ βˆ€π‘ ∈ {𝑠 ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}βˆƒπ‘’ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}𝑠 = (𝑑 + 𝑒)}𝑏 ≀ π‘Ž)
424399, 416, 423syl2anc 583 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ βˆ€π‘ ∈ {𝑠 ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}βˆƒπ‘’ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}𝑠 = (𝑑 + 𝑒)}𝑏 ≀ π‘Ž)
425 supxrre 13312 . . . 4 (({𝑠 ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}βˆƒπ‘’ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}𝑠 = (𝑑 + 𝑒)} βŠ† ℝ ∧ {𝑠 ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}βˆƒπ‘’ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}𝑠 = (𝑑 + 𝑒)} β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ βˆ€π‘ ∈ {𝑠 ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}βˆƒπ‘’ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}𝑠 = (𝑑 + 𝑒)}𝑏 ≀ π‘Ž) β†’ sup({𝑠 ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}βˆƒπ‘’ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}𝑠 = (𝑑 + 𝑒)}, ℝ*, < ) = sup({𝑠 ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}βˆƒπ‘’ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}𝑠 = (𝑑 + 𝑒)}, ℝ, < ))
426388, 398, 424, 425syl3anc 1368 . . 3 (πœ‘ β†’ sup({𝑠 ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}βˆƒπ‘’ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}𝑠 = (𝑑 + 𝑒)}, ℝ*, < ) = sup({𝑠 ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}βˆƒπ‘’ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}𝑠 = (𝑑 + 𝑒)}, ℝ, < ))
427131, 377, 4263eqtrd 2770 . 2 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜(𝐹 ∘f + 𝐺)) = sup({𝑠 ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑐))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}βˆƒπ‘’ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑑))) ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}𝑠 = (𝑑 + 𝑒)}, ℝ, < ))
428116, 123, 4273eqtr4rd 2777 1 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜(𝐹 ∘f + 𝐺)) = ((∫2β€˜πΉ) + (∫2β€˜πΊ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395  βˆ€wal 1531   = wceq 1533  βˆƒwex 1773   ∈ wcel 2098  {cab 2703   β‰  wne 2934  βˆ€wral 3055  βˆƒwrex 3064  Vcvv 3468   βŠ† wss 3943  βˆ…c0 4317  ifcif 4523  {csn 4623   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224   Γ— cxp 5667  dom cdm 5669   Fn wfn 6532  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   ∘f cof 7665   ∘r cofr 7666  supcsup 9437  β„cr 11111  0cc0 11112   + caddc 11115  +∞cpnf 11249  β„*cxr 11251   < clt 11252   ≀ cle 11253  β„•cn 12216  3c3 12272  β„+crp 12980  [,)cico 13332  [,]cicc 13333  MblFncmbf 25498  βˆ«1citg1 25499  βˆ«2citg2 25500
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-disj 5107  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-ofr 7668  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-ioo 13334  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-sum 15639  df-rest 17377  df-topgen 17398  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-top 22751  df-topon 22768  df-bases 22804  df-cmp 23246  df-ovol 25348  df-vol 25349  df-mbf 25503  df-itg1 25504  df-itg2 25505
This theorem is referenced by:  ibladdnclem  37057  itgaddnclem1  37059  iblabsnclem  37064  iblabsnc  37065  iblmulc2nc  37066  ftc1anclem4  37077  ftc1anclem5  37078  ftc1anclem6  37079  ftc1anclem8  37081
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