Theorem gt0srpr 10995

Description: Greater than zero in terms of positive reals. (Contributed by NM, 13-May-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
gt0srpr	⊢ (0R <R [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~R ↔ 𝐵<P 𝐴)

Proof of Theorem gt0srpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltsrpr 10994	. 2 ⊢ ([⟨1P, 1P⟩] ~R <R [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~R ↔ (1P +P 𝐵)<P (1P +P 𝐴))
2		df-0r 10977	. . 3 ⊢ 0R = [⟨1P, 1P⟩] ~R
3	2	breq1i 5093	. 2 ⊢ (0R <R [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~R ↔ [⟨1P, 1P⟩] ~R <R [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~R )
4		1pr 10932	. . 3 ⊢ 1P ∈ P
5		ltapr 10962	. . 3 ⊢ (1P ∈ P → (𝐵<P 𝐴 ↔ (1P +P 𝐵)<P (1P +P 𝐴)))
6	4, 5	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝐵<P 𝐴 ↔ (1P +P 𝐵)<P (1P +P 𝐴))
7	1, 3, 6	3bitr4i 303	1 ⊢ (0R <R [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~R ↔ 𝐵<P 𝐴)

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∈ wcel 2114  ⟨cop 4574   class class class wbr 5086  (class class class)co 7361  [cec 8635  Pcnp 10776  1_Pc1p 10777   +_P cpp 10778  <_P cltp 10780   ~_R cer 10781  0_Rc0r 10783   <_R cltr 10788

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-inf2 9556

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-oadd 8403  df-omul 8404  df-er 8637  df-ec 8639  df-qs 8643  df-ni 10789  df-pli 10790  df-mi 10791  df-lti 10792  df-plpq 10825  df-mpq 10826  df-ltpq 10827  df-enq 10828  df-nq 10829  df-erq 10830  df-plq 10831  df-mq 10832  df-1nq 10833  df-rq 10834  df-ltnq 10835  df-np 10898  df-1p 10899  df-plp 10900  df-ltp 10902  df-enr 10972  df-nr 10973  df-ltr 10976  df-0r 10977

This theorem is referenced by:  recexsrlem  11020  mulgt0sr  11022