Theorem gt0srpr 10187

Description: Greater than zero in terms of positive reals. (Contributed by NM, 13-May-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
gt0srpr	⊢ (0R <R [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~R ↔ 𝐵<P 𝐴)

Proof of Theorem gt0srpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltsrpr 10186	. 2 ⊢ ([⟨1P, 1P⟩] ~R <R [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~R ↔ (1P +P 𝐵)<P (1P +P 𝐴))
2		df-0r 10170	. . 3 ⊢ 0R = [⟨1P, 1P⟩] ~R
3	2	breq1i 4850	. 2 ⊢ (0R <R [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~R ↔ [⟨1P, 1P⟩] ~R <R [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~R )
4		1pr 10125	. . 3 ⊢ 1P ∈ P
5		ltapr 10155	. . 3 ⊢ (1P ∈ P → (𝐵<P 𝐴 ↔ (1P +P 𝐵)<P (1P +P 𝐴)))
6	4, 5	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝐵<P 𝐴 ↔ (1P +P 𝐵)<P (1P +P 𝐴))
7	1, 3, 6	3bitr4i 295	1 ⊢ (0R <R [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~R ↔ 𝐵<P 𝐴)

Syntax hints:   ↔ wb 198   ∈ wcel 2157  ⟨cop 4374   class class class wbr 4843  (class class class)co 6878  [cec 7980  Pcnp 9969  1_Pc1p 9970   +_P cpp 9971  <_P cltp 9973   ~_R cer 9974  0_Rc0r 9976   <_R cltr 9981

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-inf2 8788

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-oadd 7803  df-omul 7804  df-er 7982  df-ec 7984  df-qs 7988  df-ni 9982  df-pli 9983  df-mi 9984  df-lti 9985  df-plpq 10018  df-mpq 10019  df-ltpq 10020  df-enq 10021  df-nq 10022  df-erq 10023  df-plq 10024  df-mq 10025  df-1nq 10026  df-rq 10027  df-ltnq 10028  df-np 10091  df-1p 10092  df-plp 10093  df-ltp 10095  df-enr 10165  df-nr 10166  df-ltr 10169  df-0r 10170

This theorem is referenced by:  recexsrlem  10212  mulgt0sr  10214