Theorem gt0srpr 11099

Description: Greater than zero in terms of positive reals. (Contributed by NM, 13-May-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
gt0srpr	⊢ (0R <R [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~R ↔ 𝐵<P 𝐴)

Proof of Theorem gt0srpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltsrpr 11098	. 2 ⊢ ([⟨1P, 1P⟩] ~R <R [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~R ↔ (1P +P 𝐵)<P (1P +P 𝐴))
2		df-0r 11081	. . 3 ⊢ 0R = [⟨1P, 1P⟩] ~R
3	2	breq1i 5130	. 2 ⊢ (0R <R [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~R ↔ [⟨1P, 1P⟩] ~R <R [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~R )
4		1pr 11036	. . 3 ⊢ 1P ∈ P
5		ltapr 11066	. . 3 ⊢ (1P ∈ P → (𝐵<P 𝐴 ↔ (1P +P 𝐵)<P (1P +P 𝐴)))
6	4, 5	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝐵<P 𝐴 ↔ (1P +P 𝐵)<P (1P +P 𝐴))
7	1, 3, 6	3bitr4i 303	1 ⊢ (0R <R [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~R ↔ 𝐵<P 𝐴)

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∈ wcel 2107  ⟨cop 4612   class class class wbr 5123  (class class class)co 7412  [cec 8724  Pcnp 10880  1_Pc1p 10881   +_P cpp 10882  <_P cltp 10884   ~_R cer 10885  0_Rc0r 10887   <_R cltr 10892

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7736  ax-inf2 9662

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-int 4927  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6493  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7869  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-oadd 8491  df-omul 8492  df-er 8726  df-ec 8728  df-qs 8732  df-ni 10893  df-pli 10894  df-mi 10895  df-lti 10896  df-plpq 10929  df-mpq 10930  df-ltpq 10931  df-enq 10932  df-nq 10933  df-erq 10934  df-plq 10935  df-mq 10936  df-1nq 10937  df-rq 10938  df-ltnq 10939  df-np 11002  df-1p 11003  df-plp 11004  df-ltp 11006  df-enr 11076  df-nr 11077  df-ltr 11080  df-0r 11081

This theorem is referenced by:  recexsrlem  11124  mulgt0sr  11126