Theorem gt0srpr 11080

Description: Greater than zero in terms of positive reals. (Contributed by NM, 13-May-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
gt0srpr	⊢ (0R <R [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~R ↔ 𝐵<P 𝐴)

Proof of Theorem gt0srpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltsrpr 11079	. 2 ⊢ ([⟨1P, 1P⟩] ~R <R [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~R ↔ (1P +P 𝐵)<P (1P +P 𝐴))
2		df-0r 11062	. . 3 ⊢ 0R = [⟨1P, 1P⟩] ~R
3	2	breq1i 5118	. 2 ⊢ (0R <R [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~R ↔ [⟨1P, 1P⟩] ~R <R [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~R )
4		1pr 11017	. . 3 ⊢ 1P ∈ P
5		ltapr 11047	. . 3 ⊢ (1P ∈ P → (𝐵<P 𝐴 ↔ (1P +P 𝐵)<P (1P +P 𝐴)))
6	4, 5	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝐵<P 𝐴 ↔ (1P +P 𝐵)<P (1P +P 𝐴))
7	1, 3, 6	3bitr4i 306	1 ⊢ (0R <R [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~R ↔ 𝐵<P 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∈ wcel 2146  ⟨cop 4597   class class class wbr 5111  (class class class)co 7419  [cec 8698  Pcnp 10861  1_Pc1p 10862   +_P cpp 10863  <_P cltp 10865   ~_R cer 10866  0_Rc0r 10868   <_R cltr 10873

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-inf2 9617

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-oadd 8463  df-omul 8464  df-er 8700  df-ec 8702  df-qs 8706  df-ni 10874  df-pli 10875  df-mi 10876  df-lti 10877  df-plpq 10910  df-mpq 10911  df-ltpq 10912  df-enq 10913  df-nq 10914  df-erq 10915  df-plq 10916  df-mq 10917  df-1nq 10918  df-rq 10919  df-ltnq 10920  df-np 10983  df-1p 10984  df-plp 10985  df-ltp 10987  df-enr 11057  df-nr 11058  df-ltr 11061  df-0r 11062

This theorem is used by:  recexsrlem  11105  mulgt0sr  11107