Theorem gt0srpr 11122

Description: Greater than zero in terms of positive reals. (Contributed by NM, 13-May-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
gt0srpr	⊢ (0R <R [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~R ↔ 𝐵<P 𝐴)

Proof of Theorem gt0srpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltsrpr 11121	. 2 ⊢ ([⟨1P, 1P⟩] ~R <R [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~R ↔ (1P +P 𝐵)<P (1P +P 𝐴))
2		df-0r 11104	. . 3 ⊢ 0R = [⟨1P, 1P⟩] ~R
3	2	breq1i 5156	. 2 ⊢ (0R <R [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~R ↔ [⟨1P, 1P⟩] ~R <R [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~R )
4		1pr 11059	. . 3 ⊢ 1P ∈ P
5		ltapr 11089	. . 3 ⊢ (1P ∈ P → (𝐵<P 𝐴 ↔ (1P +P 𝐵)<P (1P +P 𝐴)))
6	4, 5	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝐵<P 𝐴 ↔ (1P +P 𝐵)<P (1P +P 𝐴))
7	1, 3, 6	3bitr4i 303	1 ⊢ (0R <R [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~R ↔ 𝐵<P 𝐴)

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∈ wcel 2107  ⟨cop 4638   class class class wbr 5149  (class class class)co 7435  [cec 8748  Pcnp 10903  1_Pc1p 10904   +_P cpp 10905  <_P cltp 10907   ~_R cer 10908  0_Rc0r 10910   <_R cltr 10915

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5303  ax-nul 5313  ax-pow 5372  ax-pr 5439  ax-un 7758  ax-inf2 9685

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3435  df-v 3481  df-sbc 3793  df-csb 3910  df-dif 3967  df-un 3969  df-in 3971  df-ss 3981  df-pss 3984  df-nul 4341  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4914  df-int 4953  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5584  df-eprel 5590  df-po 5598  df-so 5599  df-fr 5642  df-we 5644  df-xp 5696  df-rel 5697  df-cnv 5698  df-co 5699  df-dm 5700  df-rn 5701  df-res 5702  df-ima 5703  df-pred 6326  df-ord 6392  df-on 6393  df-lim 6394  df-suc 6395  df-iota 6519  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-ov 7438  df-oprab 7439  df-mpo 7440  df-om 7892  df-1st 8019  df-2nd 8020  df-frecs 8311  df-wrecs 8342  df-recs 8416  df-rdg 8455  df-1o 8511  df-oadd 8515  df-omul 8516  df-er 8750  df-ec 8752  df-qs 8756  df-ni 10916  df-pli 10917  df-mi 10918  df-lti 10919  df-plpq 10952  df-mpq 10953  df-ltpq 10954  df-enq 10955  df-nq 10956  df-erq 10957  df-plq 10958  df-mq 10959  df-1nq 10960  df-rq 10961  df-ltnq 10962  df-np 11025  df-1p 11026  df-plp 11027  df-ltp 11029  df-enr 11099  df-nr 11100  df-ltr 11103  df-0r 11104

This theorem is referenced by:  recexsrlem  11147  mulgt0sr  11149