Theorem hvsubcan2 29156

Description: Cancellation law for vector addition. (Contributed by NM, 18-May-2005.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hvsubcan2	⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 −ℎ 𝐶) = (𝐵 −ℎ 𝐶) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem hvsubcan2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hvsubcl 29098	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝐶 −ℎ 𝐴) ∈ ℋ)
2	1	3adant3 1134	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐶 −ℎ 𝐴) ∈ ℋ)
3		hvsubcl 29098	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐶 −ℎ 𝐵) ∈ ℋ)
4	3	3adant2 1133	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐶 −ℎ 𝐵) ∈ ℋ)
5		neg1cn 11944	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℂ
6		neg1ne0 11946	. . . . . 6 ⊢ -1 ≠ 0
7	5, 6	pm3.2i 474	. . . . 5 ⊢ (-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0)
8		hvmulcan 29153	. . . . 5 ⊢ (((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0) ∧ (𝐶 −ℎ 𝐴) ∈ ℋ ∧ (𝐶 −ℎ 𝐵) ∈ ℋ) → ((-1 ·ℎ (𝐶 −ℎ 𝐴)) = (-1 ·ℎ (𝐶 −ℎ 𝐵)) ↔ (𝐶 −ℎ 𝐴) = (𝐶 −ℎ 𝐵)))
9	7, 8	mp3an1 1450	. . . 4 ⊢ (((𝐶 −ℎ 𝐴) ∈ ℋ ∧ (𝐶 −ℎ 𝐵) ∈ ℋ) → ((-1 ·ℎ (𝐶 −ℎ 𝐴)) = (-1 ·ℎ (𝐶 −ℎ 𝐵)) ↔ (𝐶 −ℎ 𝐴) = (𝐶 −ℎ 𝐵)))
10	2, 4, 9	syl2anc 587	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((-1 ·ℎ (𝐶 −ℎ 𝐴)) = (-1 ·ℎ (𝐶 −ℎ 𝐵)) ↔ (𝐶 −ℎ 𝐴) = (𝐶 −ℎ 𝐵)))
11		hvnegdi 29148	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (-1 ·ℎ (𝐶 −ℎ 𝐴)) = (𝐴 −ℎ 𝐶))
12	11	3adant3 1134	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (-1 ·ℎ (𝐶 −ℎ 𝐴)) = (𝐴 −ℎ 𝐶))
13		hvnegdi 29148	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (-1 ·ℎ (𝐶 −ℎ 𝐵)) = (𝐵 −ℎ 𝐶))
14	13	3adant2 1133	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (-1 ·ℎ (𝐶 −ℎ 𝐵)) = (𝐵 −ℎ 𝐶))
15	12, 14	eqeq12d 2753	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((-1 ·ℎ (𝐶 −ℎ 𝐴)) = (-1 ·ℎ (𝐶 −ℎ 𝐵)) ↔ (𝐴 −ℎ 𝐶) = (𝐵 −ℎ 𝐶)))
16		hvsubcan 29155	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐶 −ℎ 𝐴) = (𝐶 −ℎ 𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))
17	10, 15, 16	3bitr3d 312	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 −ℎ 𝐶) = (𝐵 −ℎ 𝐶) ↔ 𝐴 = 𝐵))
18	17	3coml 1129	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 −ℎ 𝐶) = (𝐵 −ℎ 𝐶) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1089   = wceq 1543   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2940  (class class class)co 7213  ℂcc 10727  0cc0 10729  1c1 10730  -cneg 11063   ℋchba 29000   ·_ℎ csm 29002   −_ℎ cmv 29006

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-hfvadd 29081  ax-hvcom 29082  ax-hvass 29083  ax-hv0cl 29084  ax-hvaddid 29085  ax-hfvmul 29086  ax-hvmulid 29087  ax-hvmulass 29088  ax-hvdistr1 29089  ax-hvdistr2 29090  ax-hvmul0 29091

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-id 5455  df-po 5468  df-so 5469  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-hvsub 29052

This theorem is referenced by:  hvaddsub4  29159