Theorem hvsubcan2 31150

Description: Cancellation law for vector addition. (Contributed by NM, 18-May-2005.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hvsubcan2	⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 −ℎ 𝐶) = (𝐵 −ℎ 𝐶) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem hvsubcan2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hvsubcl 31092	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝐶 −ℎ 𝐴) ∈ ℋ)
2	1	3adant3 1132	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐶 −ℎ 𝐴) ∈ ℋ)
3		hvsubcl 31092	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐶 −ℎ 𝐵) ∈ ℋ)
4	3	3adant2 1131	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐶 −ℎ 𝐵) ∈ ℋ)
5		neg1cn 12130	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℂ
6		neg1ne0 12132	. . . . . 6 ⊢ -1 ≠ 0
7	5, 6	pm3.2i 470	. . . . 5 ⊢ (-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0)
8		hvmulcan 31147	. . . . 5 ⊢ (((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0) ∧ (𝐶 −ℎ 𝐴) ∈ ℋ ∧ (𝐶 −ℎ 𝐵) ∈ ℋ) → ((-1 ·ℎ (𝐶 −ℎ 𝐴)) = (-1 ·ℎ (𝐶 −ℎ 𝐵)) ↔ (𝐶 −ℎ 𝐴) = (𝐶 −ℎ 𝐵)))
9	7, 8	mp3an1 1450	. . . 4 ⊢ (((𝐶 −ℎ 𝐴) ∈ ℋ ∧ (𝐶 −ℎ 𝐵) ∈ ℋ) → ((-1 ·ℎ (𝐶 −ℎ 𝐴)) = (-1 ·ℎ (𝐶 −ℎ 𝐵)) ↔ (𝐶 −ℎ 𝐴) = (𝐶 −ℎ 𝐵)))
10	2, 4, 9	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((-1 ·ℎ (𝐶 −ℎ 𝐴)) = (-1 ·ℎ (𝐶 −ℎ 𝐵)) ↔ (𝐶 −ℎ 𝐴) = (𝐶 −ℎ 𝐵)))
11		hvnegdi 31142	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (-1 ·ℎ (𝐶 −ℎ 𝐴)) = (𝐴 −ℎ 𝐶))
12	11	3adant3 1132	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (-1 ·ℎ (𝐶 −ℎ 𝐴)) = (𝐴 −ℎ 𝐶))
13		hvnegdi 31142	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (-1 ·ℎ (𝐶 −ℎ 𝐵)) = (𝐵 −ℎ 𝐶))
14	13	3adant2 1131	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (-1 ·ℎ (𝐶 −ℎ 𝐵)) = (𝐵 −ℎ 𝐶))
15	12, 14	eqeq12d 2752	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((-1 ·ℎ (𝐶 −ℎ 𝐴)) = (-1 ·ℎ (𝐶 −ℎ 𝐵)) ↔ (𝐴 −ℎ 𝐶) = (𝐵 −ℎ 𝐶)))
16		hvsubcan 31149	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐶 −ℎ 𝐴) = (𝐶 −ℎ 𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))
17	10, 15, 16	3bitr3d 309	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 −ℎ 𝐶) = (𝐵 −ℎ 𝐶) ↔ 𝐴 = 𝐵))
18	17	3coml 1127	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 −ℎ 𝐶) = (𝐵 −ℎ 𝐶) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  (class class class)co 7358  ℂcc 11024  0cc0 11026  1c1 11027  -cneg 11365   ℋchba 30994   ·_ℎ csm 30996   −_ℎ cmv 31000

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-hfvadd 31075  ax-hvcom 31076  ax-hvass 31077  ax-hv0cl 31078  ax-hvaddid 31079  ax-hfvmul 31080  ax-hvmulid 31081  ax-hvmulass 31082  ax-hvdistr1 31083  ax-hvdistr2 31084  ax-hvmul0 31085

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-hvsub 31046

This theorem is referenced by:  hvaddsub4  31153