Theorem hvsubcan2 31076

Description: Cancellation law for vector addition. (Contributed by NM, 18-May-2005.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hvsubcan2	⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 −ℎ 𝐶) = (𝐵 −ℎ 𝐶) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem hvsubcan2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hvsubcl 31018	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝐶 −ℎ 𝐴) ∈ ℋ)
2	1	3adant3 1132	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐶 −ℎ 𝐴) ∈ ℋ)
3		hvsubcl 31018	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐶 −ℎ 𝐵) ∈ ℋ)
4	3	3adant2 1131	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐶 −ℎ 𝐵) ∈ ℋ)
5		neg1cn 12121	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℂ
6		neg1ne0 12123	. . . . . 6 ⊢ -1 ≠ 0
7	5, 6	pm3.2i 470	. . . . 5 ⊢ (-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0)
8		hvmulcan 31073	. . . . 5 ⊢ (((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0) ∧ (𝐶 −ℎ 𝐴) ∈ ℋ ∧ (𝐶 −ℎ 𝐵) ∈ ℋ) → ((-1 ·ℎ (𝐶 −ℎ 𝐴)) = (-1 ·ℎ (𝐶 −ℎ 𝐵)) ↔ (𝐶 −ℎ 𝐴) = (𝐶 −ℎ 𝐵)))
9	7, 8	mp3an1 1450	. . . 4 ⊢ (((𝐶 −ℎ 𝐴) ∈ ℋ ∧ (𝐶 −ℎ 𝐵) ∈ ℋ) → ((-1 ·ℎ (𝐶 −ℎ 𝐴)) = (-1 ·ℎ (𝐶 −ℎ 𝐵)) ↔ (𝐶 −ℎ 𝐴) = (𝐶 −ℎ 𝐵)))
10	2, 4, 9	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((-1 ·ℎ (𝐶 −ℎ 𝐴)) = (-1 ·ℎ (𝐶 −ℎ 𝐵)) ↔ (𝐶 −ℎ 𝐴) = (𝐶 −ℎ 𝐵)))
11		hvnegdi 31068	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (-1 ·ℎ (𝐶 −ℎ 𝐴)) = (𝐴 −ℎ 𝐶))
12	11	3adant3 1132	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (-1 ·ℎ (𝐶 −ℎ 𝐴)) = (𝐴 −ℎ 𝐶))
13		hvnegdi 31068	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (-1 ·ℎ (𝐶 −ℎ 𝐵)) = (𝐵 −ℎ 𝐶))
14	13	3adant2 1131	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (-1 ·ℎ (𝐶 −ℎ 𝐵)) = (𝐵 −ℎ 𝐶))
15	12, 14	eqeq12d 2749	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((-1 ·ℎ (𝐶 −ℎ 𝐴)) = (-1 ·ℎ (𝐶 −ℎ 𝐵)) ↔ (𝐴 −ℎ 𝐶) = (𝐵 −ℎ 𝐶)))
16		hvsubcan 31075	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐶 −ℎ 𝐴) = (𝐶 −ℎ 𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))
17	10, 15, 16	3bitr3d 309	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 −ℎ 𝐶) = (𝐵 −ℎ 𝐶) ↔ 𝐴 = 𝐵))
18	17	3coml 1127	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 −ℎ 𝐶) = (𝐵 −ℎ 𝐶) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929  (class class class)co 7355  ℂcc 11015  0cc0 11017  1c1 11018  -cneg 11356   ℋchba 30920   ·_ℎ csm 30922   −_ℎ cmv 30926

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094  ax-hfvadd 31001  ax-hvcom 31002  ax-hvass 31003  ax-hv0cl 31004  ax-hvaddid 31005  ax-hfvmul 31006  ax-hvmulid 31007  ax-hvmulass 31008  ax-hvdistr1 31009  ax-hvdistr2 31010  ax-hvmul0 31011

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5516  df-po 5529  df-so 5530  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-er 8631  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-div 11786  df-hvsub 30972

This theorem is referenced by:  hvaddsub4  31079