HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hvsubcan2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hvsubcan2 29915
Description: Cancellation law for vector addition. (Contributed by NM, 18-May-2005.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hvsubcan2 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 𝐶) = (𝐵 𝐶) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem hvsubcan2
StepHypRef Expression
1 hvsubcl 29857 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝐶 𝐴) ∈ ℋ)
213adant3 1132 . . . 4 ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐶 𝐴) ∈ ℋ)
3 hvsubcl 29857 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐶 𝐵) ∈ ℋ)
433adant2 1131 . . . 4 ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐶 𝐵) ∈ ℋ)
5 neg1cn 12264 . . . . . 6 -1 ∈ ℂ
6 neg1ne0 12266 . . . . . 6 -1 ≠ 0
75, 6pm3.2i 471 . . . . 5 (-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0)
8 hvmulcan 29912 . . . . 5 (((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0) ∧ (𝐶 𝐴) ∈ ℋ ∧ (𝐶 𝐵) ∈ ℋ) → ((-1 · (𝐶 𝐴)) = (-1 · (𝐶 𝐵)) ↔ (𝐶 𝐴) = (𝐶 𝐵)))
97, 8mp3an1 1448 . . . 4 (((𝐶 𝐴) ∈ ℋ ∧ (𝐶 𝐵) ∈ ℋ) → ((-1 · (𝐶 𝐴)) = (-1 · (𝐶 𝐵)) ↔ (𝐶 𝐴) = (𝐶 𝐵)))
102, 4, 9syl2anc 584 . . 3 ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((-1 · (𝐶 𝐴)) = (-1 · (𝐶 𝐵)) ↔ (𝐶 𝐴) = (𝐶 𝐵)))
11 hvnegdi 29907 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (-1 · (𝐶 𝐴)) = (𝐴 𝐶))
12113adant3 1132 . . . 4 ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (-1 · (𝐶 𝐴)) = (𝐴 𝐶))
13 hvnegdi 29907 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (-1 · (𝐶 𝐵)) = (𝐵 𝐶))
14133adant2 1131 . . . 4 ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (-1 · (𝐶 𝐵)) = (𝐵 𝐶))
1512, 14eqeq12d 2752 . . 3 ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((-1 · (𝐶 𝐴)) = (-1 · (𝐶 𝐵)) ↔ (𝐴 𝐶) = (𝐵 𝐶)))
16 hvsubcan 29914 . . 3 ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐶 𝐴) = (𝐶 𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))
1710, 15, 163bitr3d 308 . 2 ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 𝐶) = (𝐵 𝐶) ↔ 𝐴 = 𝐵))
18173coml 1127 1 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 𝐶) = (𝐵 𝐶) ↔ 𝐴 = 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2942  (class class class)co 7354  cc 11046  0cc0 11048  1c1 11049  -cneg 11383  chba 29759   · csm 29761   cmv 29765
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7669  ax-resscn 11105  ax-1cn 11106  ax-icn 11107  ax-addcl 11108  ax-addrcl 11109  ax-mulcl 11110  ax-mulrcl 11111  ax-mulcom 11112  ax-addass 11113  ax-mulass 11114  ax-distr 11115  ax-i2m1 11116  ax-1ne0 11117  ax-1rid 11118  ax-rnegex 11119  ax-rrecex 11120  ax-cnre 11121  ax-pre-lttri 11122  ax-pre-lttrn 11123  ax-pre-ltadd 11124  ax-pre-mulgt0 11125  ax-hfvadd 29840  ax-hvcom 29841  ax-hvass 29842  ax-hv0cl 29843  ax-hvaddid 29844  ax-hfvmul 29845  ax-hvmulid 29846  ax-hvmulass 29847  ax-hvdistr1 29848  ax-hvdistr2 29849  ax-hvmul0 29850
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-id 5530  df-po 5544  df-so 5545  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6446  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7310  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-er 8645  df-en 8881  df-dom 8882  df-sdom 8883  df-pnf 11188  df-mnf 11189  df-xr 11190  df-ltxr 11191  df-le 11192  df-sub 11384  df-neg 11385  df-div 11810  df-hvsub 29811
This theorem is referenced by:  hvaddsub4  29918
  Copyright terms: Public domain W3C validator