HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hvsubcan2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hvsubcan2 31094
Description: Cancellation law for vector addition. (Contributed by NM, 18-May-2005.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hvsubcan2 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 𝐶) = (𝐵 𝐶) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem hvsubcan2
StepHypRef Expression
1 hvsubcl 31036 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝐶 𝐴) ∈ ℋ)
213adant3 1133 . . . 4 ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐶 𝐴) ∈ ℋ)
3 hvsubcl 31036 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐶 𝐵) ∈ ℋ)
433adant2 1132 . . . 4 ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐶 𝐵) ∈ ℋ)
5 neg1cn 12380 . . . . . 6 -1 ∈ ℂ
6 neg1ne0 12382 . . . . . 6 -1 ≠ 0
75, 6pm3.2i 470 . . . . 5 (-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0)
8 hvmulcan 31091 . . . . 5 (((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0) ∧ (𝐶 𝐴) ∈ ℋ ∧ (𝐶 𝐵) ∈ ℋ) → ((-1 · (𝐶 𝐴)) = (-1 · (𝐶 𝐵)) ↔ (𝐶 𝐴) = (𝐶 𝐵)))
97, 8mp3an1 1450 . . . 4 (((𝐶 𝐴) ∈ ℋ ∧ (𝐶 𝐵) ∈ ℋ) → ((-1 · (𝐶 𝐴)) = (-1 · (𝐶 𝐵)) ↔ (𝐶 𝐴) = (𝐶 𝐵)))
102, 4, 9syl2anc 584 . . 3 ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((-1 · (𝐶 𝐴)) = (-1 · (𝐶 𝐵)) ↔ (𝐶 𝐴) = (𝐶 𝐵)))
11 hvnegdi 31086 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (-1 · (𝐶 𝐴)) = (𝐴 𝐶))
12113adant3 1133 . . . 4 ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (-1 · (𝐶 𝐴)) = (𝐴 𝐶))
13 hvnegdi 31086 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (-1 · (𝐶 𝐵)) = (𝐵 𝐶))
14133adant2 1132 . . . 4 ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (-1 · (𝐶 𝐵)) = (𝐵 𝐶))
1512, 14eqeq12d 2753 . . 3 ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((-1 · (𝐶 𝐴)) = (-1 · (𝐶 𝐵)) ↔ (𝐴 𝐶) = (𝐵 𝐶)))
16 hvsubcan 31093 . . 3 ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐶 𝐴) = (𝐶 𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))
1710, 15, 163bitr3d 309 . 2 ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 𝐶) = (𝐵 𝐶) ↔ 𝐴 = 𝐵))
18173coml 1128 1 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 𝐶) = (𝐵 𝐶) ↔ 𝐴 = 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  (class class class)co 7431  cc 11153  0cc0 11155  1c1 11156  -cneg 11493  chba 30938   · csm 30940   cmv 30944
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-hfvadd 31019  ax-hvcom 31020  ax-hvass 31021  ax-hv0cl 31022  ax-hvaddid 31023  ax-hfvmul 31024  ax-hvmulid 31025  ax-hvmulass 31026  ax-hvdistr1 31027  ax-hvdistr2 31028  ax-hvmul0 31029
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-hvsub 30990
This theorem is referenced by:  hvaddsub4  31097
  Copyright terms: Public domain W3C validator