Theorem hausmapdom 23524

Description: If 𝑋 is a first-countable Hausdorff space, then the cardinality of the closure of a set 𝐴 is bounded by ℕ to the power 𝐴. In particular, a first-countable Hausdorff space with a dense subset 𝐴 has cardinality at most 𝐴↑ℕ, and a separable first-countable Hausdorff space has cardinality at most 𝒫 ℕ. (Compare hauspwpwdom 24012 to see a weaker result if the assumption of first-countability is omitted.) (Contributed by Mario Carneiro, 9-Apr-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
hauspwdom.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
hausmapdom	⊢ ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → ((cls‘𝐽)‘𝐴) ≼ (𝐴 ↑m ℕ))

Proof of Theorem hausmapdom

Dummy variables 𝑥 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hauspwdom.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2	1	1stcelcls 23485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → (𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴) ↔ ∃𝑓(𝑓:ℕ⟶𝐴 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥)))
3	2	3adant1 1129	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → (𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴) ↔ ∃𝑓(𝑓:ℕ⟶𝐴 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥)))
4		uniexg 7759	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐽 ∈ Haus → ∪ 𝐽 ∈ V)
5	4	3ad2ant1 1132	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → ∪ 𝐽 ∈ V)
6	1, 5	eqeltrid 2843	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → 𝑋 ∈ V)
7		simp3 1137	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → 𝐴 ⊆ 𝑋)
8	6, 7	ssexd 5330	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → 𝐴 ∈ V)
9		nnex 12270	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ ∈ V
10		elmapg 8878	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ ℕ ∈ V) → (𝑓 ∈ (𝐴 ↑m ℕ) ↔ 𝑓:ℕ⟶𝐴))
11	8, 9, 10	sylancl 586	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → (𝑓 ∈ (𝐴 ↑m ℕ) ↔ 𝑓:ℕ⟶𝐴))
12	11	anbi1d 631	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → ((𝑓 ∈ (𝐴 ↑m ℕ) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ↔ (𝑓:ℕ⟶𝐴 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥)))
13	12	exbidv 1919	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → (∃𝑓(𝑓 ∈ (𝐴 ↑m ℕ) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ↔ ∃𝑓(𝑓:ℕ⟶𝐴 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥)))
14	3, 13	bitr4d 282	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → (𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴) ↔ ∃𝑓(𝑓 ∈ (𝐴 ↑m ℕ) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥)))
15		df-rex 3069	. . . . 5 ⊢ (∃𝑓 ∈ (𝐴 ↑m ℕ)𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 ↔ ∃𝑓(𝑓 ∈ (𝐴 ↑m ℕ) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥))
16	14, 15	bitr4di 289	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → (𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴) ↔ ∃𝑓 ∈ (𝐴 ↑m ℕ)𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥))
17		vex 3482	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
18	17	elima 6085	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ((⇝𝑡‘𝐽) “ (𝐴 ↑m ℕ)) ↔ ∃𝑓 ∈ (𝐴 ↑m ℕ)𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥)
19	16, 18	bitr4di 289	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → (𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴) ↔ 𝑥 ∈ ((⇝𝑡‘𝐽) “ (𝐴 ↑m ℕ))))
20	19	eqrdv 2733	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → ((cls‘𝐽)‘𝐴) = ((⇝𝑡‘𝐽) “ (𝐴 ↑m ℕ)))
21		ovex 7464	. . 3 ⊢ (𝐴 ↑m ℕ) ∈ V
22		lmfun 23405	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Haus → Fun (⇝𝑡‘𝐽))
23	22	3ad2ant1 1132	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → Fun (⇝𝑡‘𝐽))
24		imadomg 10572	. . 3 ⊢ ((𝐴 ↑m ℕ) ∈ V → (Fun (⇝𝑡‘𝐽) → ((⇝𝑡‘𝐽) “ (𝐴 ↑m ℕ)) ≼ (𝐴 ↑m ℕ)))
25	21, 23, 24	mpsyl 68	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → ((⇝𝑡‘𝐽) “ (𝐴 ↑m ℕ)) ≼ (𝐴 ↑m ℕ))
26	20, 25	eqbrtrd 5170	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → ((cls‘𝐽)‘𝐴) ≼ (𝐴 ↑m ℕ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537  ∃wex 1776   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3068  Vcvv 3478   ⊆ wss 3963  ∪ cuni 4912   class class class wbr 5148   “ cima 5692  Fun wfun 6557  ⟶wf 6559  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431   ↑_m cmap 8865   ≼ cdom 8982  ℕcn 12264  clsccl 23042  ⇝_𝑡clm 23250  Hauscha 23332  1^stωc1stc 23461

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cc 10473  ax-ac2 10501  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-card 9977  df-acn 9980  df-ac 10154  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-top 22916  df-topon 22933  df-cld 23043  df-ntr 23044  df-cls 23045  df-lm 23253  df-haus 23339  df-1stc 23463

This theorem is referenced by:  hauspwdom  23525