Theorem hausmapdom 23529

Description: If 𝑋 is a first-countable Hausdorff space, then the cardinality of the closure of a set 𝐴 is bounded by ℕ to the power 𝐴. In particular, a first-countable Hausdorff space with a dense subset 𝐴 has cardinality at most 𝐴↑ℕ, and a separable first-countable Hausdorff space has cardinality at most 𝒫 ℕ. (Compare hauspwpwdom 24017 to see a weaker result if the assumption of first-countability is omitted.) (Contributed by Mario Carneiro, 9-Apr-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
hauspwdom.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
hausmapdom	⊢ ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → ((cls‘𝐽)‘𝐴) ≼ (𝐴 ↑m ℕ))

Proof of Theorem hausmapdom

Dummy variables 𝑥 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hauspwdom.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2	1	1stcelcls 23490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → (𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴) ↔ ∃𝑓(𝑓:ℕ⟶𝐴 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥)))
3	2	3adant1 1130	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → (𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴) ↔ ∃𝑓(𝑓:ℕ⟶𝐴 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥)))
4		uniexg 7775	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐽 ∈ Haus → ∪ 𝐽 ∈ V)
5	4	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → ∪ 𝐽 ∈ V)
6	1, 5	eqeltrid 2848	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → 𝑋 ∈ V)
7		simp3 1138	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → 𝐴 ⊆ 𝑋)
8	6, 7	ssexd 5342	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → 𝐴 ∈ V)
9		nnex 12299	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ ∈ V
10		elmapg 8897	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ ℕ ∈ V) → (𝑓 ∈ (𝐴 ↑m ℕ) ↔ 𝑓:ℕ⟶𝐴))
11	8, 9, 10	sylancl 585	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → (𝑓 ∈ (𝐴 ↑m ℕ) ↔ 𝑓:ℕ⟶𝐴))
12	11	anbi1d 630	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → ((𝑓 ∈ (𝐴 ↑m ℕ) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ↔ (𝑓:ℕ⟶𝐴 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥)))
13	12	exbidv 1920	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → (∃𝑓(𝑓 ∈ (𝐴 ↑m ℕ) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ↔ ∃𝑓(𝑓:ℕ⟶𝐴 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥)))
14	3, 13	bitr4d 282	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → (𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴) ↔ ∃𝑓(𝑓 ∈ (𝐴 ↑m ℕ) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥)))
15		df-rex 3077	. . . . 5 ⊢ (∃𝑓 ∈ (𝐴 ↑m ℕ)𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 ↔ ∃𝑓(𝑓 ∈ (𝐴 ↑m ℕ) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥))
16	14, 15	bitr4di 289	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → (𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴) ↔ ∃𝑓 ∈ (𝐴 ↑m ℕ)𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥))
17		vex 3492	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
18	17	elima 6094	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ((⇝𝑡‘𝐽) “ (𝐴 ↑m ℕ)) ↔ ∃𝑓 ∈ (𝐴 ↑m ℕ)𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥)
19	16, 18	bitr4di 289	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → (𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴) ↔ 𝑥 ∈ ((⇝𝑡‘𝐽) “ (𝐴 ↑m ℕ))))
20	19	eqrdv 2738	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → ((cls‘𝐽)‘𝐴) = ((⇝𝑡‘𝐽) “ (𝐴 ↑m ℕ)))
21		ovex 7481	. . 3 ⊢ (𝐴 ↑m ℕ) ∈ V
22		lmfun 23410	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Haus → Fun (⇝𝑡‘𝐽))
23	22	3ad2ant1 1133	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → Fun (⇝𝑡‘𝐽))
24		imadomg 10603	. . 3 ⊢ ((𝐴 ↑m ℕ) ∈ V → (Fun (⇝𝑡‘𝐽) → ((⇝𝑡‘𝐽) “ (𝐴 ↑m ℕ)) ≼ (𝐴 ↑m ℕ)))
25	21, 23, 24	mpsyl 68	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → ((⇝𝑡‘𝐽) “ (𝐴 ↑m ℕ)) ≼ (𝐴 ↑m ℕ))
26	20, 25	eqbrtrd 5188	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → ((cls‘𝐽)‘𝐴) ≼ (𝐴 ↑m ℕ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537  ∃wex 1777   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3076  Vcvv 3488   ⊆ wss 3976  ∪ cuni 4931   class class class wbr 5166   “ cima 5703  Fun wfun 6567  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448   ↑_m cmap 8884   ≼ cdom 9001  ℕcn 12293  clsccl 23047  ⇝_𝑡clm 23255  Hauscha 23337  1^stωc1stc 23466

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710  ax-cc 10504  ax-ac2 10532  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-map 8886  df-pm 8887  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-card 10008  df-acn 10011  df-ac 10185  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-fz 13568  df-top 22921  df-topon 22938  df-cld 23048  df-ntr 23049  df-cls 23050  df-lm 23258  df-haus 23344  df-1stc 23468

This theorem is referenced by:  hauspwdom  23530