MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hausmapdom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hausmapdom 22995
Description: If 𝑋 is a first-countable Hausdorff space, then the cardinality of the closure of a set 𝐴 is bounded by to the power 𝐴. In particular, a first-countable Hausdorff space with a dense subset 𝐴 has cardinality at most 𝐴↑ℕ, and a separable first-countable Hausdorff space has cardinality at most 𝒫 ℕ. (Compare hauspwpwdom 23483 to see a weaker result if the assumption of first-countability is omitted.) (Contributed by Mario Carneiro, 9-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
hauspwdom.1 𝑋 = 𝐽
Assertion
Ref Expression
hausmapdom ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴𝑋) → ((cls‘𝐽)‘𝐴) ≼ (𝐴m ℕ))

Proof of Theorem hausmapdom
Dummy variables 𝑥 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hauspwdom.1 . . . . . . . 8 𝑋 = 𝐽
211stcelcls 22956 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴𝑋) → (𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴) ↔ ∃𝑓(𝑓:ℕ⟶𝐴𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥)))
323adant1 1130 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴𝑋) → (𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴) ↔ ∃𝑓(𝑓:ℕ⟶𝐴𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥)))
4 uniexg 7726 . . . . . . . . . . . 12 (𝐽 ∈ Haus → 𝐽 ∈ V)
543ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴𝑋) → 𝐽 ∈ V)
61, 5eqeltrid 2837 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴𝑋) → 𝑋 ∈ V)
7 simp3 1138 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴𝑋) → 𝐴𝑋)
86, 7ssexd 5323 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴𝑋) → 𝐴 ∈ V)
9 nnex 12214 . . . . . . . . 9 ℕ ∈ V
10 elmapg 8829 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ V ∧ ℕ ∈ V) → (𝑓 ∈ (𝐴m ℕ) ↔ 𝑓:ℕ⟶𝐴))
118, 9, 10sylancl 586 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴𝑋) → (𝑓 ∈ (𝐴m ℕ) ↔ 𝑓:ℕ⟶𝐴))
1211anbi1d 630 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑓 ∈ (𝐴m ℕ) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥) ↔ (𝑓:ℕ⟶𝐴𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥)))
1312exbidv 1924 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴𝑋) → (∃𝑓(𝑓 ∈ (𝐴m ℕ) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥) ↔ ∃𝑓(𝑓:ℕ⟶𝐴𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥)))
143, 13bitr4d 281 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴𝑋) → (𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴) ↔ ∃𝑓(𝑓 ∈ (𝐴m ℕ) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥)))
15 df-rex 3071 . . . . 5 (∃𝑓 ∈ (𝐴m ℕ)𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥 ↔ ∃𝑓(𝑓 ∈ (𝐴m ℕ) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥))
1614, 15bitr4di 288 . . . 4 ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴𝑋) → (𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴) ↔ ∃𝑓 ∈ (𝐴m ℕ)𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥))
17 vex 3478 . . . . 5 𝑥 ∈ V
1817elima 6062 . . . 4 (𝑥 ∈ ((⇝𝑡𝐽) “ (𝐴m ℕ)) ↔ ∃𝑓 ∈ (𝐴m ℕ)𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥)
1916, 18bitr4di 288 . . 3 ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴𝑋) → (𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴) ↔ 𝑥 ∈ ((⇝𝑡𝐽) “ (𝐴m ℕ))))
2019eqrdv 2730 . 2 ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴𝑋) → ((cls‘𝐽)‘𝐴) = ((⇝𝑡𝐽) “ (𝐴m ℕ)))
21 ovex 7438 . . 3 (𝐴m ℕ) ∈ V
22 lmfun 22876 . . . 4 (𝐽 ∈ Haus → Fun (⇝𝑡𝐽))
23223ad2ant1 1133 . . 3 ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴𝑋) → Fun (⇝𝑡𝐽))
24 imadomg 10525 . . 3 ((𝐴m ℕ) ∈ V → (Fun (⇝𝑡𝐽) → ((⇝𝑡𝐽) “ (𝐴m ℕ)) ≼ (𝐴m ℕ)))
2521, 23, 24mpsyl 68 . 2 ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴𝑋) → ((⇝𝑡𝐽) “ (𝐴m ℕ)) ≼ (𝐴m ℕ))
2620, 25eqbrtrd 5169 1 ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴𝑋) → ((cls‘𝐽)‘𝐴) ≼ (𝐴m ℕ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wex 1781  wcel 2106  wrex 3070  Vcvv 3474  wss 3947   cuni 4907   class class class wbr 5147  cima 5678  Fun wfun 6534  wf 6536  cfv 6540  (class class class)co 7405  m cmap 8816  cdom 8933  cn 12208  clsccl 22513  𝑡clm 22721  Hauscha 22803  1stωc1stc 22932
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cc 10426  ax-ac2 10454  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-card 9930  df-acn 9933  df-ac 10107  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-top 22387  df-topon 22404  df-cld 22514  df-ntr 22515  df-cls 22516  df-lm 22724  df-haus 22810  df-1stc 22934
This theorem is referenced by:  hauspwdom  22996
  Copyright terms: Public domain W3C validator