Theorem hausmapdom 23657

Description: If 𝑋 is a first-countable Hausdorff space, then the cardinality of the closure of a set 𝐴 is bounded by ℕ to the power 𝐴. In particular, a first-countable Hausdorff space with a dense subset 𝐴 has cardinality at most 𝐴↑ℕ, and a separable first-countable Hausdorff space has cardinality at most 𝒫 ℕ. (Compare hauspwpwdom 24145 to see a weaker result if the assumption of first-countability is omitted.) (Contributed by Mario Carneiro, 9-Apr-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
hauspwdom.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
hausmapdom	⊢ ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → ((cls‘𝐽)‘𝐴) ≼ (𝐴 ↑m ℕ))

Proof of Theorem hausmapdom

Dummy variables 𝑥 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hauspwdom.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2	1	1stcelcls 23618	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → (𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴) ↔ ∃𝑓(𝑓:ℕ⟶𝐴 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥)))
3	2	3adant1 1148	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → (𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴) ↔ ∃𝑓(𝑓:ℕ⟶𝐴 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥)))
4		uniexg 7738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐽 ∈ Haus → ∪ 𝐽 ∈ V)
5	4	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → ∪ 𝐽 ∈ V)
6	1, 5	eqeltrid 2867	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → 𝑋 ∈ V)
7		simp3 1156	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → 𝐴 ⊆ 𝑋)
8	6, 7	ssexd 5295	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → 𝐴 ∈ V)
9		nnex 12234	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ ∈ V
10		elmapg 8832	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ ℕ ∈ V) → (𝑓 ∈ (𝐴 ↑m ℕ) ↔ 𝑓:ℕ⟶𝐴))
11	8, 9, 10	sylancl 597	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → (𝑓 ∈ (𝐴 ↑m ℕ) ↔ 𝑓:ℕ⟶𝐴))
12	11	anbi1d 642	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → ((𝑓 ∈ (𝐴 ↑m ℕ) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ↔ (𝑓:ℕ⟶𝐴 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥)))
13	12	exbidv 1951	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → (∃𝑓(𝑓 ∈ (𝐴 ↑m ℕ) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ↔ ∃𝑓(𝑓:ℕ⟶𝐴 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥)))
14	3, 13	bitr4d 285	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → (𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴) ↔ ∃𝑓(𝑓 ∈ (𝐴 ↑m ℕ) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥)))
15		df-rex 3090	. . . . 5 ⊢ (∃𝑓 ∈ (𝐴 ↑m ℕ)𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 ↔ ∃𝑓(𝑓 ∈ (𝐴 ↑m ℕ) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥))
16	14, 15	bitr4di 292	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → (𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴) ↔ ∃𝑓 ∈ (𝐴 ↑m ℕ)𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥))
17		vex 3459	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
18	17	elima 6067	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ((⇝𝑡‘𝐽) “ (𝐴 ↑m ℕ)) ↔ ∃𝑓 ∈ (𝐴 ↑m ℕ)𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥)
19	16, 18	bitr4di 292	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → (𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴) ↔ 𝑥 ∈ ((⇝𝑡‘𝐽) “ (𝐴 ↑m ℕ))))
20	19	eqrdv 2761	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → ((cls‘𝐽)‘𝐴) = ((⇝𝑡‘𝐽) “ (𝐴 ↑m ℕ)))
21		ovex 7443	. . 3 ⊢ (𝐴 ↑m ℕ) ∈ V
22		lmfun 23538	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Haus → Fun (⇝𝑡‘𝐽))
23	22	3ad2ant1 1151	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → Fun (⇝𝑡‘𝐽))
24		imadomg 10513	. . 3 ⊢ ((𝐴 ↑m ℕ) ∈ V → (Fun (⇝𝑡‘𝐽) → ((⇝𝑡‘𝐽) “ (𝐴 ↑m ℕ)) ≼ (𝐴 ↑m ℕ)))
25	21, 23, 24	mpsyl 69	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → ((⇝𝑡‘𝐽) “ (𝐴 ↑m ℕ)) ≼ (𝐴 ↑m ℕ))
26	20, 25	eqbrtrd 5133	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → ((cls‘𝐽)‘𝐴) ≼ (𝐴 ↑m ℕ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570  ∃wex 1809   ∈ wcel 2143  ∃wrex 3089  Vcvv 3455   ⊆ wss 3905  ∪ cuni 4872   class class class wbr 5109   “ cima 5664  Fun wfun 6530  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ↑_m cmap 8820   ≼ cdom 8937  ℕcn 12228  clsccl 23175  ⇝_𝑡clm 23383  Hauscha 23465  1^stωc1stc 23594

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-inf2 9606  ax-cc 10414  ax-ac2 10442  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-er 8690  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-card 9921  df-acn 9924  df-ac 10096  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12858  df-fz 13531  df-top 23051  df-topon 23068  df-cld 23176  df-ntr 23177  df-cls 23178  df-lm 23386  df-haus 23472  df-1stc 23596

This theorem is referenced by:  hauspwdom  23658