Theorem odujoin 18453

Description: Joins in a dual order are meets in the original. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
oduglb.d	⊢ 𝐷 = (ODual‘𝑂)
odujoin.m	⊢ ∧ = (meet‘𝑂)

Assertion

Ref	Expression
odujoin	⊢ ∧ = (join‘𝐷)

Proof of Theorem odujoin

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		odujoin.m	. 2 ⊢ ∧ = (meet‘𝑂)
2		oduglb.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = (ODual‘𝑂)
3		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (glb‘𝑂) = (glb‘𝑂)
4	2, 3	odulub 18452	. . . . . 6 ⊢ (𝑂 ∈ V → (glb‘𝑂) = (lub‘𝐷))
5	4	breqd 5154	. . . . 5 ⊢ (𝑂 ∈ V → ({𝑎, 𝑏} (glb‘𝑂)𝑐 ↔ {𝑎, 𝑏} (lub‘𝐷)𝑐))
6	5	oprabbidv 7499	. . . 4 ⊢ (𝑂 ∈ V → {⟨⟨𝑎, 𝑏⟩, 𝑐⟩ ∣ {𝑎, 𝑏} (glb‘𝑂)𝑐} = {⟨⟨𝑎, 𝑏⟩, 𝑐⟩ ∣ {𝑎, 𝑏} (lub‘𝐷)𝑐})
7		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (meet‘𝑂) = (meet‘𝑂)
8	3, 7	meetfval 18432	. . . 4 ⊢ (𝑂 ∈ V → (meet‘𝑂) = {⟨⟨𝑎, 𝑏⟩, 𝑐⟩ ∣ {𝑎, 𝑏} (glb‘𝑂)𝑐})
9	2	fvexi 6920	. . . . 5 ⊢ 𝐷 ∈ V
10		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (lub‘𝐷) = (lub‘𝐷)
11		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (join‘𝐷) = (join‘𝐷)
12	10, 11	joinfval 18418	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ V → (join‘𝐷) = {⟨⟨𝑎, 𝑏⟩, 𝑐⟩ ∣ {𝑎, 𝑏} (lub‘𝐷)𝑐})
13	9, 12	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (𝑂 ∈ V → (join‘𝐷) = {⟨⟨𝑎, 𝑏⟩, 𝑐⟩ ∣ {𝑎, 𝑏} (lub‘𝐷)𝑐})
14	6, 8, 13	3eqtr4d 2787	. . 3 ⊢ (𝑂 ∈ V → (meet‘𝑂) = (join‘𝐷))
15		fvprc 6898	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑂 ∈ V → (meet‘𝑂) = ∅)
16		fvprc 6898	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑂 ∈ V → (ODual‘𝑂) = ∅)
17	2, 16	eqtrid 2789	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑂 ∈ V → 𝐷 = ∅)
18	17	fveq2d 6910	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑂 ∈ V → (join‘𝐷) = (join‘∅))
19		join0 18450	. . . . 5 ⊢ (join‘∅) = ∅
20	18, 19	eqtrdi 2793	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑂 ∈ V → (join‘𝐷) = ∅)
21	15, 20	eqtr4d 2780	. . 3 ⊢ (¬ 𝑂 ∈ V → (meet‘𝑂) = (join‘𝐷))
22	14, 21	pm2.61i 182	. 2 ⊢ (meet‘𝑂) = (join‘𝐷)
23	1, 22	eqtri 2765	1 ⊢ ∧ = (join‘𝐷)

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  Vcvv 3480  ∅c0 4333  {cpr 4628   class class class wbr 5143  ‘cfv 6561  {coprab 7432  ODualcodu 18331  lubclub 18355  glbcglb 18356  joincjn 18357  meetcmee 18358

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-dec 12734  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ple 17317  df-odu 18332  df-lub 18391  df-glb 18392  df-join 18393  df-meet 18394

This theorem is referenced by:  odulatb  18479  latmass  18540  latdisd  18542  odudlatb  18570  dlatjmdi  18571