Theorem odujoin 18466

Description: Joins in a dual order are meets in the original. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
oduglb.d	⊢ 𝐷 = (ODual‘𝑂)
odujoin.m	⊢ ∧ = (meet‘𝑂)

Assertion

Ref	Expression
odujoin	⊢ ∧ = (join‘𝐷)

Proof of Theorem odujoin

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		odujoin.m	. 2 ⊢ ∧ = (meet‘𝑂)
2		oduglb.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = (ODual‘𝑂)
3		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (glb‘𝑂) = (glb‘𝑂)
4	2, 3	odulub 18465	. . . . . 6 ⊢ (𝑂 ∈ V → (glb‘𝑂) = (lub‘𝐷))
5	4	breqd 5159	. . . . 5 ⊢ (𝑂 ∈ V → ({𝑎, 𝑏} (glb‘𝑂)𝑐 ↔ {𝑎, 𝑏} (lub‘𝐷)𝑐))
6	5	oprabbidv 7499	. . . 4 ⊢ (𝑂 ∈ V → {⟨⟨𝑎, 𝑏⟩, 𝑐⟩ ∣ {𝑎, 𝑏} (glb‘𝑂)𝑐} = {⟨⟨𝑎, 𝑏⟩, 𝑐⟩ ∣ {𝑎, 𝑏} (lub‘𝐷)𝑐})
7		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (meet‘𝑂) = (meet‘𝑂)
8	3, 7	meetfval 18445	. . . 4 ⊢ (𝑂 ∈ V → (meet‘𝑂) = {⟨⟨𝑎, 𝑏⟩, 𝑐⟩ ∣ {𝑎, 𝑏} (glb‘𝑂)𝑐})
9	2	fvexi 6921	. . . . 5 ⊢ 𝐷 ∈ V
10		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (lub‘𝐷) = (lub‘𝐷)
11		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (join‘𝐷) = (join‘𝐷)
12	10, 11	joinfval 18431	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ V → (join‘𝐷) = {⟨⟨𝑎, 𝑏⟩, 𝑐⟩ ∣ {𝑎, 𝑏} (lub‘𝐷)𝑐})
13	9, 12	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (𝑂 ∈ V → (join‘𝐷) = {⟨⟨𝑎, 𝑏⟩, 𝑐⟩ ∣ {𝑎, 𝑏} (lub‘𝐷)𝑐})
14	6, 8, 13	3eqtr4d 2785	. . 3 ⊢ (𝑂 ∈ V → (meet‘𝑂) = (join‘𝐷))
15		fvprc 6899	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑂 ∈ V → (meet‘𝑂) = ∅)
16		fvprc 6899	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑂 ∈ V → (ODual‘𝑂) = ∅)
17	2, 16	eqtrid 2787	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑂 ∈ V → 𝐷 = ∅)
18	17	fveq2d 6911	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑂 ∈ V → (join‘𝐷) = (join‘∅))
19		join0 18463	. . . . 5 ⊢ (join‘∅) = ∅
20	18, 19	eqtrdi 2791	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑂 ∈ V → (join‘𝐷) = ∅)
21	15, 20	eqtr4d 2778	. . 3 ⊢ (¬ 𝑂 ∈ V → (meet‘𝑂) = (join‘𝐷))
22	14, 21	pm2.61i 182	. 2 ⊢ (meet‘𝑂) = (join‘𝐷)
23	1, 22	eqtri 2763	1 ⊢ ∧ = (join‘𝐷)

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  Vcvv 3478  ∅c0 4339  {cpr 4633   class class class wbr 5148  ‘cfv 6563  {coprab 7432  ODualcodu 18343  lubclub 18367  glbcglb 18368  joincjn 18369  meetcmee 18370

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-dec 12732  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ple 17318  df-odu 18344  df-lub 18404  df-glb 18405  df-join 18406  df-meet 18407

This theorem is referenced by:  odulatb  18492  latmass  18553  latdisd  18555  odudlatb  18583  dlatjmdi  18584