Theorem odujoin 18418

Description: Joins in a dual order are meets in the original. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
oduglb.d	⊢ 𝐷 = (ODual‘𝑂)
odujoin.m	⊢ ∧ = (meet‘𝑂)

Assertion

Ref	Expression
odujoin	⊢ ∧ = (join‘𝐷)

Proof of Theorem odujoin

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		odujoin.m	. 2 ⊢ ∧ = (meet‘𝑂)
2		oduglb.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = (ODual‘𝑂)
3		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (glb‘𝑂) = (glb‘𝑂)
4	2, 3	odulub 18417	. . . . . 6 ⊢ (𝑂 ∈ V → (glb‘𝑂) = (lub‘𝐷))
5	4	breqd 5130	. . . . 5 ⊢ (𝑂 ∈ V → ({𝑎, 𝑏} (glb‘𝑂)𝑐 ↔ {𝑎, 𝑏} (lub‘𝐷)𝑐))
6	5	oprabbidv 7473	. . . 4 ⊢ (𝑂 ∈ V → {⟨⟨𝑎, 𝑏⟩, 𝑐⟩ ∣ {𝑎, 𝑏} (glb‘𝑂)𝑐} = {⟨⟨𝑎, 𝑏⟩, 𝑐⟩ ∣ {𝑎, 𝑏} (lub‘𝐷)𝑐})
7		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (meet‘𝑂) = (meet‘𝑂)
8	3, 7	meetfval 18397	. . . 4 ⊢ (𝑂 ∈ V → (meet‘𝑂) = {⟨⟨𝑎, 𝑏⟩, 𝑐⟩ ∣ {𝑎, 𝑏} (glb‘𝑂)𝑐})
9	2	fvexi 6890	. . . . 5 ⊢ 𝐷 ∈ V
10		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (lub‘𝐷) = (lub‘𝐷)
11		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (join‘𝐷) = (join‘𝐷)
12	10, 11	joinfval 18383	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ V → (join‘𝐷) = {⟨⟨𝑎, 𝑏⟩, 𝑐⟩ ∣ {𝑎, 𝑏} (lub‘𝐷)𝑐})
13	9, 12	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (𝑂 ∈ V → (join‘𝐷) = {⟨⟨𝑎, 𝑏⟩, 𝑐⟩ ∣ {𝑎, 𝑏} (lub‘𝐷)𝑐})
14	6, 8, 13	3eqtr4d 2780	. . 3 ⊢ (𝑂 ∈ V → (meet‘𝑂) = (join‘𝐷))
15		fvprc 6868	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑂 ∈ V → (meet‘𝑂) = ∅)
16		fvprc 6868	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑂 ∈ V → (ODual‘𝑂) = ∅)
17	2, 16	eqtrid 2782	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑂 ∈ V → 𝐷 = ∅)
18	17	fveq2d 6880	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑂 ∈ V → (join‘𝐷) = (join‘∅))
19		join0 18415	. . . . 5 ⊢ (join‘∅) = ∅
20	18, 19	eqtrdi 2786	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑂 ∈ V → (join‘𝐷) = ∅)
21	15, 20	eqtr4d 2773	. . 3 ⊢ (¬ 𝑂 ∈ V → (meet‘𝑂) = (join‘𝐷))
22	14, 21	pm2.61i 182	. 2 ⊢ (meet‘𝑂) = (join‘𝐷)
23	1, 22	eqtri 2758	1 ⊢ ∧ = (join‘𝐷)

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  Vcvv 3459  ∅c0 4308  {cpr 4603   class class class wbr 5119  ‘cfv 6531  {coprab 7406  ODualcodu 18298  lubclub 18321  glbcglb 18322  joincjn 18323  meetcmee 18324

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-dec 12709  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ple 17291  df-odu 18299  df-lub 18356  df-glb 18357  df-join 18358  df-meet 18359

This theorem is referenced by:  odulatb  18444  latmass  18505  latdisd  18507  odudlatb  18535  dlatjmdi  18536