Theorem odujoin 18472

Description: Joins in a dual order are meets in the original. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
oduglb.d	⊢ 𝐷 = (ODual‘𝑂)
odujoin.m	⊢ ∧ = (meet‘𝑂)

Assertion

Ref	Expression
odujoin	⊢ ∧ = (join‘𝐷)

Proof of Theorem odujoin

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		odujoin.m	. 2 ⊢ ∧ = (meet‘𝑂)
2		oduglb.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = (ODual‘𝑂)
3		eqid 2766	. . . . . . 7 ⊢ (glb‘𝑂) = (glb‘𝑂)
4	2, 3	odulub 18471	. . . . . 6 ⊢ (𝑂 ∈ V → (glb‘𝑂) = (lub‘𝐷))
5	4	breqd 5123	. . . . 5 ⊢ (𝑂 ∈ V → ({𝑎, 𝑏} (glb‘𝑂)𝑐 ↔ {𝑎, 𝑏} (lub‘𝐷)𝑐))
6	5	oprabbidv 7482	. . . 4 ⊢ (𝑂 ∈ V → {⟨⟨𝑎, 𝑏⟩, 𝑐⟩ ∣ {𝑎, 𝑏} (glb‘𝑂)𝑐} = {⟨⟨𝑎, 𝑏⟩, 𝑐⟩ ∣ {𝑎, 𝑏} (lub‘𝐷)𝑐})
7		eqid 2766	. . . . 5 ⊢ (meet‘𝑂) = (meet‘𝑂)
8	3, 7	meetfval 18451	. . . 4 ⊢ (𝑂 ∈ V → (meet‘𝑂) = {⟨⟨𝑎, 𝑏⟩, 𝑐⟩ ∣ {𝑎, 𝑏} (glb‘𝑂)𝑐})
9	2	fvexi 6899	. . . . 5 ⊢ 𝐷 ∈ V
10		eqid 2766	. . . . . 6 ⊢ (lub‘𝐷) = (lub‘𝐷)
11		eqid 2766	. . . . . 6 ⊢ (join‘𝐷) = (join‘𝐷)
12	10, 11	joinfval 18437	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ V → (join‘𝐷) = {⟨⟨𝑎, 𝑏⟩, 𝑐⟩ ∣ {𝑎, 𝑏} (lub‘𝐷)𝑐})
13	9, 12	mp1i 14	. . . 4 ⊢ (𝑂 ∈ V → (join‘𝐷) = {⟨⟨𝑎, 𝑏⟩, 𝑐⟩ ∣ {𝑎, 𝑏} (lub‘𝐷)𝑐})
14	6, 8, 13	3eqtr4d 2811	. . 3 ⊢ (𝑂 ∈ V → (meet‘𝑂) = (join‘𝐷))
15		fvprc 6877	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑂 ∈ V → (meet‘𝑂) = ∅)
16		fvprc 6877	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑂 ∈ V → (ODual‘𝑂) = ∅)
17	2, 16	eqtrid 2813	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑂 ∈ V → 𝐷 = ∅)
18	17	fveq2d 6889	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑂 ∈ V → (join‘𝐷) = (join‘∅))
19		join0 18469	. . . . 5 ⊢ (join‘∅) = ∅
20	18, 19	eqtrdi 2817	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑂 ∈ V → (join‘𝐷) = ∅)
21	15, 20	eqtr4d 2804	. . 3 ⊢ (¬ 𝑂 ∈ V → (meet‘𝑂) = (join‘𝐷))
22	14, 21	pm2.61i 184	. 2 ⊢ (meet‘𝑂) = (join‘𝐷)
23	1, 22	eqtri 2789	1 ⊢ ∧ = (join‘𝐷)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  Vcvv 3458  ∅c0 4289  {cpr 4594   class class class wbr 5112  ‘cfv 6540  {coprab 7417  ODualcodu 18352  lubclub 18375  glbcglb 18376  joincjn 18377  meetcmee 18378

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5241  ax-sep 5260  ax-nul 5272  ax-pow 5339  ax-pr 5407  ax-un 7738  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4876  df-iun 4961  df-br 5113  df-opab 5177  df-mpt 5196  df-tr 5222  df-id 5559  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-ima 5677  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12244  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12515  df-z 12602  df-dec 12722  df-sets 17234  df-slot 17252  df-ndx 17264  df-base 17280  df-ple 17340  df-odu 18353  df-lub 18410  df-glb 18411  df-join 18412  df-meet 18413

This theorem is used by:  odulatb  18500  latmass  18561  latdisd  18563  odudlatb  18591  dlatjmdi  18592