Theorem k39o 35968

Description: Values of the 𝐾₃ function are ordinals less than 9. (Contributed by BTernaryTau, 11-Oct-2026.)

Assertion

Ref	Expression
k39o	⊢ (𝐾3‘𝐴) ∈ 9o

Proof of Theorem k39o

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2fveq3 6895	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (2nd ‘(◡𝐽‘𝑥)) = (2nd ‘(◡𝐽‘𝐴)))
2		dfk32 35965	. . . 4 ⊢ 𝐾3 = (𝑥 ∈ On ↦ (2nd ‘(◡𝐽‘𝑥)))
3		fvex 6903	. . . 4 ⊢ (2nd ‘(◡𝐽‘𝐴)) ∈ V
4	1, 2, 3	fvmpt 6998	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐾3‘𝐴) = (2nd ‘(◡𝐽‘𝐴)))
5		jf1o 35962	. . . . 5 ⊢ 𝐽:((On × On) × 9o)–1-1-onto→On
6		f1ocnvdm 7297	. . . . 5 ⊢ ((𝐽:((On × On) × 9o)–1-1-onto→On ∧ 𝐴 ∈ On) → (◡𝐽‘𝐴) ∈ ((On × On) × 9o))
7	5, 6	mpan 703	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ On → (◡𝐽‘𝐴) ∈ ((On × On) × 9o))
8		xp2nd 8038	. . . 4 ⊢ ((◡𝐽‘𝐴) ∈ ((On × On) × 9o) → (2nd ‘(◡𝐽‘𝐴)) ∈ 9o)
9	7, 8	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → (2nd ‘(◡𝐽‘𝐴)) ∈ 9o)
10	4, 9	eqeltrd 2860	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐾3‘𝐴) ∈ 9o)
11	2	fvmptndm 7030	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ On → (𝐾3‘𝐴) = ∅)
12		df-9o 35838	. . . . 5 ⊢ 9o = suc 8o
13		nsuceq0 6451	. . . . 5 ⊢ suc 8o ≠ ∅
14	12, 13	eqnetri 3025	. . . 4 ⊢ 9o ≠ ∅
15		9on 35843	. . . . 5 ⊢ 9o ∈ On
16		on0eln0 6423	. . . . 5 ⊢ (9o ∈ On → (∅ ∈ 9o ↔ 9o ≠ ∅))
17	15, 16	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ 9o ↔ 9o ≠ ∅)
18	14, 17	mpbir 234	. . 3 ⊢ ∅ ∈ 9o
19	11, 18	eqeltrdi 2868	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ On → (𝐾3‘𝐴) ∈ 9o)
20	10, 19	pm2.61i 184	1 ⊢ (𝐾3‘𝐴) ∈ 9o

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ↔ wb 209   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∅c0 4277   × cxp 5649  ^◡ccnv 5650  Oncon0 6365  suc csuc 6367  –1-1-onto→wf1o 6542  ‘cfv 6543  2^nd c2nd 8004  8_oc8o 35832  9_oc9o 35833  𝐽cj 35934  𝐾₃ck3 35937

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-ot 4858  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-mpt3 7688  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8387  df-rdg 8426  df-1o 8484  df-2o 8485  df-3o 8486  df-4o 8487  df-oadd 8488  df-omul 8489  df-oi 9511  df-5o 35834  df-6o 35835  df-7o 35836  df-8o 35837  df-9o 35838  df-lexo 35940  df-r0 35941  df-j0 35942  df-j 35943  df-k3 35946

This theorem is used by:  jk1k2k3  35969  j0le  35970  k3n0j0lt  35971  fnlfvk3n0  35979