Theorem k3n0k1lt 35974

Description: The value of 𝐾₁ is strictly bounded by its argument when the value of 𝐾₃ is nonzero. Part of Proposition 15.10(2) of [TakeutiZaring] p. 156. (Contributed by BTernaryTau, 12-Oct-2026.)

Assertion

Ref	Expression
k3n0k1lt	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ ∅ ∈ (𝐾3‘𝐴)) → (𝐾1‘𝐴) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem k3n0k1lt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		k3n0j0lt 35971	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ ∅ ∈ (𝐾3‘𝐴)) → (𝐽0‘⟨(𝐾1‘𝐴), (𝐾2‘𝐴)⟩) ∈ 𝐴)
2		k1on 35966	. . . . . 6 ⊢ (𝐾1‘𝐴) ∈ On
3		k2on 35967	. . . . . 6 ⊢ (𝐾2‘𝐴) ∈ On
4		maxssj0 35957	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾1‘𝐴) ∈ On ∧ (𝐾2‘𝐴) ∈ On) → ((𝐾1‘𝐴) ∪ (𝐾2‘𝐴)) ⊆ (𝐽0‘⟨(𝐾1‘𝐴), (𝐾2‘𝐴)⟩))
5	2, 3, 4	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ ((𝐾1‘𝐴) ∪ (𝐾2‘𝐴)) ⊆ (𝐽0‘⟨(𝐾1‘𝐴), (𝐾2‘𝐴)⟩)
6	2, 3	onun2i 6489	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾1‘𝐴) ∪ (𝐾2‘𝐴)) ∈ On
7		ontr2 6414	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾1‘𝐴) ∪ (𝐾2‘𝐴)) ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → ((((𝐾1‘𝐴) ∪ (𝐾2‘𝐴)) ⊆ (𝐽0‘⟨(𝐾1‘𝐴), (𝐾2‘𝐴)⟩) ∧ (𝐽0‘⟨(𝐾1‘𝐴), (𝐾2‘𝐴)⟩) ∈ 𝐴) → ((𝐾1‘𝐴) ∪ (𝐾2‘𝐴)) ∈ 𝐴))
8	6, 7	mpan 703	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ On → ((((𝐾1‘𝐴) ∪ (𝐾2‘𝐴)) ⊆ (𝐽0‘⟨(𝐾1‘𝐴), (𝐾2‘𝐴)⟩) ∧ (𝐽0‘⟨(𝐾1‘𝐴), (𝐾2‘𝐴)⟩) ∈ 𝐴) → ((𝐾1‘𝐴) ∪ (𝐾2‘𝐴)) ∈ 𝐴))
9	5, 8	mpani 709	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ On → ((𝐽0‘⟨(𝐾1‘𝐴), (𝐾2‘𝐴)⟩) ∈ 𝐴 → ((𝐾1‘𝐴) ∪ (𝐾2‘𝐴)) ∈ 𝐴))
10	9	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ ∅ ∈ (𝐾3‘𝐴)) → ((𝐽0‘⟨(𝐾1‘𝐴), (𝐾2‘𝐴)⟩) ∈ 𝐴 → ((𝐾1‘𝐴) ∪ (𝐾2‘𝐴)) ∈ 𝐴))
11	1, 10	mpd 16	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ ∅ ∈ (𝐾3‘𝐴)) → ((𝐾1‘𝐴) ∪ (𝐾2‘𝐴)) ∈ 𝐴)
12		onunel 6473	. . . . 5 ⊢ (((𝐾1‘𝐴) ∈ On ∧ (𝐾2‘𝐴) ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (((𝐾1‘𝐴) ∪ (𝐾2‘𝐴)) ∈ 𝐴 ↔ ((𝐾1‘𝐴) ∈ 𝐴 ∧ (𝐾2‘𝐴) ∈ 𝐴)))
13	2, 3, 12	mp3an12 1480	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ On → (((𝐾1‘𝐴) ∪ (𝐾2‘𝐴)) ∈ 𝐴 ↔ ((𝐾1‘𝐴) ∈ 𝐴 ∧ (𝐾2‘𝐴) ∈ 𝐴)))
14	13	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ ∅ ∈ (𝐾3‘𝐴)) → (((𝐾1‘𝐴) ∪ (𝐾2‘𝐴)) ∈ 𝐴 ↔ ((𝐾1‘𝐴) ∈ 𝐴 ∧ (𝐾2‘𝐴) ∈ 𝐴)))
15	14	simprbda 504	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ ∅ ∈ (𝐾3‘𝐴)) ∧ ((𝐾1‘𝐴) ∪ (𝐾2‘𝐴)) ∈ 𝐴) → (𝐾1‘𝐴) ∈ 𝐴)
16	11, 15	mpdan 700	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ ∅ ∈ (𝐾3‘𝐴)) → (𝐾1‘𝐴) ∈ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3896   ∪ cun 4148  ∅c0 4277  ⟨cop 4834  Oncon0 6365  ‘cfv 6543  𝐽₀ccj0 35933  𝐾₁ck1 35935  𝐾₂ck2 35936  𝐾₃ck3 35937

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-ot 4858  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-mpt3 7688  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-smo 8362  df-recs 8387  df-rdg 8426  df-1o 8484  df-2o 8485  df-3o 8486  df-4o 8487  df-oadd 8488  df-omul 8489  df-oi 9511  df-5o 35834  df-6o 35835  df-7o 35836  df-8o 35837  df-9o 35838  df-lexo 35940  df-r0 35941  df-j0 35942  df-j 35943  df-k1 35944  df-k2 35945  df-k3 35946

This theorem is used by:  fnlfvk3n0  35979