Theorem k3n0k2lt 36065

Description: The value of 𝐾₂ is strictly bounded by its argument when the value of 𝐾₃ is nonzero. Part of Proposition 15.10(2) of [TakeutiZaring] p. 156. (Contributed by BTernaryTau, 12-Oct-2026.)

Assertion

Ref	Expression
k3n0k2lt	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ ∅ ∈ (𝐾3‘𝐴)) → (𝐾2‘𝐴) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem k3n0k2lt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		k3n0j0lt 36061	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ ∅ ∈ (𝐾3‘𝐴)) → (𝐽0‘⟨(𝐾1‘𝐴), (𝐾2‘𝐴)⟩) ∈ 𝐴)
2		k1on 36056	. . . . . 6 ⊢ (𝐾1‘𝐴) ∈ On
3		k2on 36057	. . . . . 6 ⊢ (𝐾2‘𝐴) ∈ On
4		maxssj0 36047	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾1‘𝐴) ∈ On ∧ (𝐾2‘𝐴) ∈ On) → ((𝐾1‘𝐴) ∪ (𝐾2‘𝐴)) ⊆ (𝐽0‘⟨(𝐾1‘𝐴), (𝐾2‘𝐴)⟩))
5	2, 3, 4	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ ((𝐾1‘𝐴) ∪ (𝐾2‘𝐴)) ⊆ (𝐽0‘⟨(𝐾1‘𝐴), (𝐾2‘𝐴)⟩)
6	2, 3	onun2i 6512	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾1‘𝐴) ∪ (𝐾2‘𝐴)) ∈ On
7		ontr2 6437	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾1‘𝐴) ∪ (𝐾2‘𝐴)) ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → ((((𝐾1‘𝐴) ∪ (𝐾2‘𝐴)) ⊆ (𝐽0‘⟨(𝐾1‘𝐴), (𝐾2‘𝐴)⟩) ∧ (𝐽0‘⟨(𝐾1‘𝐴), (𝐾2‘𝐴)⟩) ∈ 𝐴) → ((𝐾1‘𝐴) ∪ (𝐾2‘𝐴)) ∈ 𝐴))
8	6, 7	mpan 703	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ On → ((((𝐾1‘𝐴) ∪ (𝐾2‘𝐴)) ⊆ (𝐽0‘⟨(𝐾1‘𝐴), (𝐾2‘𝐴)⟩) ∧ (𝐽0‘⟨(𝐾1‘𝐴), (𝐾2‘𝐴)⟩) ∈ 𝐴) → ((𝐾1‘𝐴) ∪ (𝐾2‘𝐴)) ∈ 𝐴))
9	5, 8	mpani 709	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ On → ((𝐽0‘⟨(𝐾1‘𝐴), (𝐾2‘𝐴)⟩) ∈ 𝐴 → ((𝐾1‘𝐴) ∪ (𝐾2‘𝐴)) ∈ 𝐴))
10	9	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ ∅ ∈ (𝐾3‘𝐴)) → ((𝐽0‘⟨(𝐾1‘𝐴), (𝐾2‘𝐴)⟩) ∈ 𝐴 → ((𝐾1‘𝐴) ∪ (𝐾2‘𝐴)) ∈ 𝐴))
11	1, 10	mpd 16	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ ∅ ∈ (𝐾3‘𝐴)) → ((𝐾1‘𝐴) ∪ (𝐾2‘𝐴)) ∈ 𝐴)
12		onunel 6496	. . . . 5 ⊢ (((𝐾1‘𝐴) ∈ On ∧ (𝐾2‘𝐴) ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (((𝐾1‘𝐴) ∪ (𝐾2‘𝐴)) ∈ 𝐴 ↔ ((𝐾1‘𝐴) ∈ 𝐴 ∧ (𝐾2‘𝐴) ∈ 𝐴)))
13	2, 3, 12	mp3an12 1481	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ On → (((𝐾1‘𝐴) ∪ (𝐾2‘𝐴)) ∈ 𝐴 ↔ ((𝐾1‘𝐴) ∈ 𝐴 ∧ (𝐾2‘𝐴) ∈ 𝐴)))
14	13	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ ∅ ∈ (𝐾3‘𝐴)) → (((𝐾1‘𝐴) ∪ (𝐾2‘𝐴)) ∈ 𝐴 ↔ ((𝐾1‘𝐴) ∈ 𝐴 ∧ (𝐾2‘𝐴) ∈ 𝐴)))
15	14	simplbda 505	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ ∅ ∈ (𝐾3‘𝐴)) ∧ ((𝐾1‘𝐴) ∪ (𝐾2‘𝐴)) ∈ 𝐴) → (𝐾2‘𝐴) ∈ 𝐴)
16	11, 15	mpdan 700	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ ∅ ∈ (𝐾3‘𝐴)) → (𝐾2‘𝐴) ∈ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2147   ⊆ wss 3900   ∪ cun 4152  ∅c0 4281  ⟨cop 4840  Oncon0 6388  ‘cfv 6566  𝐽₀ccj0 36023  𝐾₁ck1 36025  𝐾₂ck2 36026  𝐾₃ck3 36027

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-ot 4864  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-isom 6575  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-mpt3 7716  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-smo 8392  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-2o 8515  df-3o 8516  df-4o 8517  df-oadd 8518  df-omul 8519  df-oi 9541  df-5o 35899  df-6o 35900  df-7o 35901  df-8o 35902  df-9o 35903  df-lexo 36030  df-r0 36031  df-j0 36032  df-j 36033  df-k1 36034  df-k2 36035  df-k3 36036

This theorem is used by:  fnlfvk3n0  36069