Theorem jltalephlem 36066

Description: Lemma for jltaleph 36067. (Contributed by BTernaryTau, 16-Oct-2026.)

Assertion

Ref	Expression
jltalephlem	⊢ ((𝐶 ∈ 9o ∧ ω ≼ (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩)) → ((9o ·o (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩)) +o 𝐶) ≈ (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩))

Proof of Theorem jltalephlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		9on 35908	. . . . . . 7 ⊢ 9o ∈ On
2		j0iso 36045	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐽0 Isom 𝑅0, E ((On × On), On)
3		isof1o 7362	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐽0 Isom 𝑅0, E ((On × On), On) → 𝐽0:(On × On)⟶1-1ontoOn)
4		f1of 6854	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐽0:(On × On)⟶1-1ontoOn → 𝐽0:(On × On)⟶On)
5	2, 3, 4	mp2b 10	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽0:(On × On)⟶On
6		0elon 6444	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ On
7	5, 6	f0cli 7130	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ∈ On
8		omxpen 9136	. . . . . . 7 ⊢ ((9o ∈ On ∧ (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ∈ On) → (9o ·o (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩)) ≈ (9o × (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩)))
9	1, 7, 8	mp2an 705	. . . . . 6 ⊢ (9o ·o (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩)) ≈ (9o × (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩))
10		9onn 35913	. . . . . . . 8 ⊢ 9o ∈ ω
11	10	elexi 3476	. . . . . . 7 ⊢ 9o ∈ V
12		fvex 6929	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ∈ V
13	11, 12	xpcomen 9125	. . . . . 6 ⊢ (9o × (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩)) ≈ ((𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩) × 9o)
14	9, 13	entri 9073	. . . . 5 ⊢ (9o ·o (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩)) ≈ ((𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩) × 9o)
15		nnfi 9221	. . . . . . . 8 ⊢ (9o ∈ ω → 9o ∈ Fin)
16		fict 9691	. . . . . . . 8 ⊢ (9o ∈ Fin → 9o ≼ ω)
17	10, 15, 16	mp2b 10	. . . . . . 7 ⊢ 9o ≼ ω
18		domtr 9072	. . . . . . 7 ⊢ ((9o ≼ ω ∧ ω ≼ (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩)) → 9o ≼ (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩))
19	17, 18	mpan 703	. . . . . 6 ⊢ (ω ≼ (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩) → 9o ≼ (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩))
20		df-9o 35903	. . . . . . . 8 ⊢ 9o = suc 8o
21		nsuceq0 6474	. . . . . . . 8 ⊢ suc 8o ≠ ∅
22	20, 21	eqnetri 3029	. . . . . . 7 ⊢ 9o ≠ ∅
23		onenon 10067	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ∈ On → (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ∈ dom card)
24	7, 23	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ∈ dom card
25		infxpabs 10328	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ∈ dom card ∧ ω ≼ (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩)) ∧ (9o ≠ ∅ ∧ 9o ≼ (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩))) → ((𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩) × 9o) ≈ (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩))
26	24, 25	mpanl1 713	. . . . . . 7 ⊢ ((ω ≼ (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ∧ (9o ≠ ∅ ∧ 9o ≼ (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩))) → ((𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩) × 9o) ≈ (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩))
27	22, 26	mpanr1 716	. . . . . 6 ⊢ ((ω ≼ (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ∧ 9o ≼ (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩)) → ((𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩) × 9o) ≈ (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩))
28	19, 27	mpdan 700	. . . . 5 ⊢ (ω ≼ (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩) → ((𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩) × 9o) ≈ (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩))
29		entr 9071	. . . . 5 ⊢ (((9o ·o (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩)) ≈ ((𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩) × 9o) ∧ ((𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩) × 9o) ≈ (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩)) → (9o ·o (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩)) ≈ (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩))
30	14, 28, 29	sylancr 599	. . . 4 ⊢ (ω ≼ (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩) → (9o ·o (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩)) ≈ (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩))
31		ensym 9068	. . . . 5 ⊢ ((9o ·o (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩)) ≈ (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩) → (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ≈ (9o ·o (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩)))
32		domentr 9078	. . . . 5 ⊢ ((ω ≼ (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ∧ (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ≈ (9o ·o (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩))) → ω ≼ (9o ·o (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩)))
33	31, 32	sylan2 605	. . . 4 ⊢ ((ω ≼ (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ∧ (9o ·o (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩)) ≈ (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩)) → ω ≼ (9o ·o (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩)))
34	30, 33	mpdan 700	. . 3 ⊢ (ω ≼ (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩) → ω ≼ (9o ·o (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩)))
35		omcl 8582	. . . . . 6 ⊢ ((9o ∈ On ∧ (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ∈ On) → (9o ·o (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩)) ∈ On)
36	1, 7, 35	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ (9o ·o (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩)) ∈ On
37	1	oneli 6504	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ 9o → 𝐶 ∈ On)
38		onadju 10311	. . . . 5 ⊢ (((9o ·o (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩)) ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → ((9o ·o (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩)) +o 𝐶) ≈ ((9o ·o (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩)) ⊔ 𝐶))
39	36, 37, 38	sylancr 599	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ 9o → ((9o ·o (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩)) +o 𝐶) ≈ ((9o ·o (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩)) ⊔ 𝐶))
40		onenon 10067	. . . . . 6 ⊢ ((9o ·o (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩)) ∈ On → (9o ·o (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩)) ∈ dom card)
41	36, 40	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (9o ·o (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩)) ∈ dom card
42		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ 9o ∧ ω ≼ (9o ·o (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩))) → ω ≼ (9o ·o (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩)))
43		elnn 7922	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ 9o ∧ 9o ∈ ω) → 𝐶 ∈ ω)
44	10, 43	mpan2 704	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ 9o → 𝐶 ∈ ω)
45		nnfi 9221	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ω → 𝐶 ∈ Fin)
46		fict 9691	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ Fin → 𝐶 ≼ ω)
47	44, 45, 46	3syl 19	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ 9o → 𝐶 ≼ ω)
48		domtr 9072	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ≼ ω ∧ ω ≼ (9o ·o (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩))) → 𝐶 ≼ (9o ·o (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩)))
49	47, 48	sylan 592	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ 9o ∧ ω ≼ (9o ·o (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩))) → 𝐶 ≼ (9o ·o (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩)))
50		infdjuabs 10322	. . . . 5 ⊢ (((9o ·o (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩)) ∈ dom card ∧ ω ≼ (9o ·o (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩)) ∧ 𝐶 ≼ (9o ·o (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩))) → ((9o ·o (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩)) ⊔ 𝐶) ≈ (9o ·o (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩)))
51	41, 42, 49, 50	mp3an2i 1496	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ 9o ∧ ω ≼ (9o ·o (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩))) → ((9o ·o (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩)) ⊔ 𝐶) ≈ (9o ·o (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩)))
52		entr 9071	. . . 4 ⊢ ((((9o ·o (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩)) +o 𝐶) ≈ ((9o ·o (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩)) ⊔ 𝐶) ∧ ((9o ·o (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩)) ⊔ 𝐶) ≈ (9o ·o (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩))) → ((9o ·o (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩)) +o 𝐶) ≈ (9o ·o (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩)))
53	39, 51, 52	syl2an2r 698	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ 9o ∧ ω ≼ (9o ·o (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩))) → ((9o ·o (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩)) +o 𝐶) ≈ (9o ·o (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩)))
54	34, 53	sylan2 605	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ 9o ∧ ω ≼ (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩)) → ((9o ·o (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩)) +o 𝐶) ≈ (9o ·o (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩)))
55	30	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ 9o ∧ ω ≼ (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩)) → (9o ·o (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩)) ≈ (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩))
56		entr 9071	. 2 ⊢ ((((9o ·o (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩)) +o 𝐶) ≈ (9o ·o (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩)) ∧ (9o ·o (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩)) ≈ (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩)) → ((9o ·o (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩)) +o 𝐶) ≈ (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩))
57	54, 55, 56	syl2anc 596	1 ⊢ ((𝐶 ∈ 9o ∧ ω ≼ (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩)) → ((9o ·o (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩)) +o 𝐶) ≈ (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∅c0 4281  ⟨cop 4840   class class class wbr 5108   E cep 5557   × cxp 5656  dom cdm 5658  Oncon0 6388  suc csuc 6390  ⟶wf 6562  ⟶1-1ontowf1o 6565  ‘cfv 6566   Isom wiso 6567  (class class class)co 7451  ωcom 7911   +_o coa 8511   ·_o comu 8512   ≈ cen 9008   ≼ cdom 9009  Fincfn 9011   ⊔ cdju 10016  cardccrd 10053  8_oc8o 35897  9_oc9o 35898  𝑅₀cr0 36022  𝐽₀ccj0 36023

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-inf2 9679

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-isom 6575  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-2o 8515  df-3o 8516  df-4o 8517  df-oadd 8518  df-omul 8519  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-oi 9541  df-dju 10019  df-card 10057  df-5o 35899  df-6o 35900  df-7o 35901  df-8o 35902  df-9o 35903  df-lexo 36030  df-r0 36031  df-j0 36032

This theorem is used by:  jltaleph  36067