Theorem jltalephlem 35976

Description: Lemma for jltaleph 35977. (Contributed by BTernaryTau, 16-Oct-2026.)

Assertion

Ref	Expression
jltalephlem	⊢ ((𝐶 ∈ 9o ∧ ω ≼ (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩)) → ((9o ·o (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩)) +o 𝐶) ≈ (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩))

Proof of Theorem jltalephlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		9on 35843	. . . . . . 7 ⊢ 9o ∈ On
2		j0iso 35955	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐽0 Isom 𝑅0, E ((On × On), On)
3		isof1o 7335	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐽0 Isom 𝑅0, E ((On × On), On) → 𝐽0:(On × On)–1-1-onto→On)
4		f1of 6829	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐽0:(On × On)–1-1-onto→On → 𝐽0:(On × On)⟶On)
5	2, 3, 4	mp2b 10	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽0:(On × On)⟶On
6		0elon 6421	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ On
7	5, 6	f0cli 7103	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ∈ On
8		omxpen 9106	. . . . . . 7 ⊢ ((9o ∈ On ∧ (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ∈ On) → (9o ·o (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩)) ≈ (9o × (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩)))
9	1, 7, 8	mp2an 705	. . . . . 6 ⊢ (9o ·o (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩)) ≈ (9o × (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩))
10		9onn 35848	. . . . . . . 8 ⊢ 9o ∈ ω
11	10	elexi 3472	. . . . . . 7 ⊢ 9o ∈ V
12		fvex 6903	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ∈ V
13	11, 12	xpcomen 9095	. . . . . 6 ⊢ (9o × (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩)) ≈ ((𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩) × 9o)
14	9, 13	entri 9043	. . . . 5 ⊢ (9o ·o (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩)) ≈ ((𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩) × 9o)
15		nnfi 9191	. . . . . . . 8 ⊢ (9o ∈ ω → 9o ∈ Fin)
16		fict 9661	. . . . . . . 8 ⊢ (9o ∈ Fin → 9o ≼ ω)
17	10, 15, 16	mp2b 10	. . . . . . 7 ⊢ 9o ≼ ω
18		domtr 9042	. . . . . . 7 ⊢ ((9o ≼ ω ∧ ω ≼ (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩)) → 9o ≼ (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩))
19	17, 18	mpan 703	. . . . . 6 ⊢ (ω ≼ (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩) → 9o ≼ (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩))
20		df-9o 35838	. . . . . . . 8 ⊢ 9o = suc 8o
21		nsuceq0 6451	. . . . . . . 8 ⊢ suc 8o ≠ ∅
22	20, 21	eqnetri 3025	. . . . . . 7 ⊢ 9o ≠ ∅
23		onenon 10037	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ∈ On → (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ∈ dom card)
24	7, 23	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ∈ dom card
25		infxpabs 10296	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ∈ dom card ∧ ω ≼ (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩)) ∧ (9o ≠ ∅ ∧ 9o ≼ (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩))) → ((𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩) × 9o) ≈ (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩))
26	24, 25	mpanl1 713	. . . . . . 7 ⊢ ((ω ≼ (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ∧ (9o ≠ ∅ ∧ 9o ≼ (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩))) → ((𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩) × 9o) ≈ (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩))
27	22, 26	mpanr1 716	. . . . . 6 ⊢ ((ω ≼ (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ∧ 9o ≼ (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩)) → ((𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩) × 9o) ≈ (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩))
28	19, 27	mpdan 700	. . . . 5 ⊢ (ω ≼ (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩) → ((𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩) × 9o) ≈ (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩))
29		entr 9041	. . . . 5 ⊢ (((9o ·o (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩)) ≈ ((𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩) × 9o) ∧ ((𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩) × 9o) ≈ (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩)) → (9o ·o (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩)) ≈ (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩))
30	14, 28, 29	sylancr 599	. . . 4 ⊢ (ω ≼ (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩) → (9o ·o (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩)) ≈ (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩))
31		ensym 9038	. . . . 5 ⊢ ((9o ·o (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩)) ≈ (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩) → (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ≈ (9o ·o (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩)))
32		domentr 9048	. . . . 5 ⊢ ((ω ≼ (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ∧ (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ≈ (9o ·o (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩))) → ω ≼ (9o ·o (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩)))
33	31, 32	sylan2 605	. . . 4 ⊢ ((ω ≼ (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ∧ (9o ·o (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩)) ≈ (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩)) → ω ≼ (9o ·o (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩)))
34	30, 33	mpdan 700	. . 3 ⊢ (ω ≼ (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩) → ω ≼ (9o ·o (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩)))
35		omcl 8552	. . . . . 6 ⊢ ((9o ∈ On ∧ (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ∈ On) → (9o ·o (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩)) ∈ On)
36	1, 7, 35	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ (9o ·o (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩)) ∈ On
37	1	oneli 6481	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ 9o → 𝐶 ∈ On)
38		onadju 10279	. . . . 5 ⊢ (((9o ·o (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩)) ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → ((9o ·o (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩)) +o 𝐶) ≈ ((9o ·o (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩)) ⊔ 𝐶))
39	36, 37, 38	sylancr 599	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ 9o → ((9o ·o (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩)) +o 𝐶) ≈ ((9o ·o (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩)) ⊔ 𝐶))
40		onenon 10037	. . . . . 6 ⊢ ((9o ·o (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩)) ∈ On → (9o ·o (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩)) ∈ dom card)
41	36, 40	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (9o ·o (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩)) ∈ dom card
42		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ 9o ∧ ω ≼ (9o ·o (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩))) → ω ≼ (9o ·o (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩)))
43		elnn 7892	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ 9o ∧ 9o ∈ ω) → 𝐶 ∈ ω)
44	10, 43	mpan2 704	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ 9o → 𝐶 ∈ ω)
45		nnfi 9191	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ω → 𝐶 ∈ Fin)
46		fict 9661	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ Fin → 𝐶 ≼ ω)
47	44, 45, 46	3syl 19	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ 9o → 𝐶 ≼ ω)
48		domtr 9042	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ≼ ω ∧ ω ≼ (9o ·o (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩))) → 𝐶 ≼ (9o ·o (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩)))
49	47, 48	sylan 592	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ 9o ∧ ω ≼ (9o ·o (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩))) → 𝐶 ≼ (9o ·o (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩)))
50		infdjuabs 10290	. . . . 5 ⊢ (((9o ·o (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩)) ∈ dom card ∧ ω ≼ (9o ·o (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩)) ∧ 𝐶 ≼ (9o ·o (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩))) → ((9o ·o (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩)) ⊔ 𝐶) ≈ (9o ·o (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩)))
51	41, 42, 49, 50	mp3an2i 1495	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ 9o ∧ ω ≼ (9o ·o (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩))) → ((9o ·o (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩)) ⊔ 𝐶) ≈ (9o ·o (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩)))
52		entr 9041	. . . 4 ⊢ ((((9o ·o (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩)) +o 𝐶) ≈ ((9o ·o (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩)) ⊔ 𝐶) ∧ ((9o ·o (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩)) ⊔ 𝐶) ≈ (9o ·o (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩))) → ((9o ·o (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩)) +o 𝐶) ≈ (9o ·o (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩)))
53	39, 51, 52	syl2an2r 698	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ 9o ∧ ω ≼ (9o ·o (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩))) → ((9o ·o (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩)) +o 𝐶) ≈ (9o ·o (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩)))
54	34, 53	sylan2 605	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ 9o ∧ ω ≼ (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩)) → ((9o ·o (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩)) +o 𝐶) ≈ (9o ·o (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩)))
55	30	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ 9o ∧ ω ≼ (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩)) → (9o ·o (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩)) ≈ (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩))
56		entr 9041	. 2 ⊢ ((((9o ·o (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩)) +o 𝐶) ≈ (9o ·o (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩)) ∧ (9o ·o (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩)) ≈ (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩)) → ((9o ·o (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩)) +o 𝐶) ≈ (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩))
57	54, 55, 56	syl2anc 596	1 ⊢ ((𝐶 ∈ 9o ∧ ω ≼ (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩)) → ((9o ·o (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩)) +o 𝐶) ≈ (𝐽0‘⟨𝐴, 𝐵⟩))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∅c0 4277  ⟨cop 4834   class class class wbr 5102   E cep 5550   × cxp 5649  dom cdm 5651  Oncon0 6365  suc csuc 6367  ⟶wf 6539  –1-1-onto→wf1o 6542  ‘cfv 6543   Isom wiso 6544  (class class class)co 7424  ωcom 7881   +_o coa 8481   ·_o comu 8482   ≈ cen 8978   ≼ cdom 8979  Fincfn 8981   ⊔ cdju 9986  cardccrd 10023  8_oc8o 35832  9_oc9o 35833  𝑅₀cr0 35932  𝐽₀ccj0 35933

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-inf2 9649

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8387  df-rdg 8426  df-1o 8484  df-2o 8485  df-3o 8486  df-4o 8487  df-oadd 8488  df-omul 8489  df-er 8725  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-fin 8985  df-oi 9511  df-dju 9989  df-card 10027  df-5o 35834  df-6o 35835  df-7o 35836  df-8o 35837  df-9o 35838  df-lexo 35940  df-r0 35941  df-j0 35942

This theorem is used by:  jltaleph  35977