Theorem karddom 35690

Description: One set dominates another iff an element in its kard cardinality dominates an element in the second set's kard cardinality. (Contributed by BTernaryTau, 4-Jul-2026.)

Assertion

Ref	Expression
karddom	⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ (kard‘𝐴)∃𝑦 ∈ (kard‘𝐵)𝑥 ≼ 𝑦)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦

Proof of Theorem karddom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reldom 8961	. . . . . . 7 ⊢ Rel ≼
2	1	brrelex1i 5711	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐴 ∈ V)
3		kardeq0 35685	. . . . . . 7 ⊢ ((kard‘𝐴) = ∅ ↔ ¬ 𝐴 ∈ V)
4	3	necon2abii 3005	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ V ↔ (kard‘𝐴) ≠ ∅)
5	2, 4	sylib 221	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → (kard‘𝐴) ≠ ∅)
6		n0 4300	. . . . 5 ⊢ ((kard‘𝐴) ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ (kard‘𝐴))
7	5, 6	sylib 221	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → ∃𝑥 𝑥 ∈ (kard‘𝐴))
8	1	brrelex2i 5712	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐵 ∈ V)
9		kardeq0 35685	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((kard‘𝐵) = ∅ ↔ ¬ 𝐵 ∈ V)
10	9	necon2abii 3005	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ V ↔ (kard‘𝐵) ≠ ∅)
11	8, 10	sylib 221	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → (kard‘𝐵) ≠ ∅)
12		n0 4300	. . . . . . . . 9 ⊢ ((kard‘𝐵) ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦 ∈ (kard‘𝐵))
13	11, 12	sylib 221	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → ∃𝑦 𝑦 ∈ (kard‘𝐵))
14		19.42v 1986	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑦(𝑥 ∈ (kard‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (kard‘𝐵)) ↔ (𝑥 ∈ (kard‘𝐴) ∧ ∃𝑦 𝑦 ∈ (kard‘𝐵)))
15		simpr 490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ (kard‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (kard‘𝐵)) → 𝑦 ∈ (kard‘𝐵))
16	15	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → ((𝑥 ∈ (kard‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (kard‘𝐵)) → 𝑦 ∈ (kard‘𝐵)))
17		elkarden 35684	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (kard‘𝐴) → 𝑥 ≈ 𝐴)
18		elkarden 35684	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ (kard‘𝐵) → 𝑦 ≈ 𝐵)
19		endomtr 9021	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ≈ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → 𝑥 ≼ 𝐵)
20	19	ancoms 464	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝑥 ≈ 𝐴) → 𝑥 ≼ 𝐵)
21		ensym 9012	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ≈ 𝐵 → 𝐵 ≈ 𝑦)
22		domentr 9022	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝑦) → 𝑥 ≼ 𝑦)
23	21, 22	sylan2 605	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ≼ 𝐵 ∧ 𝑦 ≈ 𝐵) → 𝑥 ≼ 𝑦)
24	20, 23	stoic3 1809	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝑥 ≈ 𝐴 ∧ 𝑦 ≈ 𝐵) → 𝑥 ≼ 𝑦)
25	24	3expib 1140	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → ((𝑥 ≈ 𝐴 ∧ 𝑦 ≈ 𝐵) → 𝑥 ≼ 𝑦))
26	17, 18, 25	syl2ani 619	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → ((𝑥 ∈ (kard‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (kard‘𝐵)) → 𝑥 ≼ 𝑦))
27	16, 26	jcad 522	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → ((𝑥 ∈ (kard‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (kard‘𝐵)) → (𝑦 ∈ (kard‘𝐵) ∧ 𝑥 ≼ 𝑦)))
28	27	eximdv 1950	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → (∃𝑦(𝑥 ∈ (kard‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (kard‘𝐵)) → ∃𝑦(𝑦 ∈ (kard‘𝐵) ∧ 𝑥 ≼ 𝑦)))
29	14, 28	biimtrrid 246	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → ((𝑥 ∈ (kard‘𝐴) ∧ ∃𝑦 𝑦 ∈ (kard‘𝐵)) → ∃𝑦(𝑦 ∈ (kard‘𝐵) ∧ 𝑥 ≼ 𝑦)))
30	13, 29	mpan2d 707	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → (𝑥 ∈ (kard‘𝐴) → ∃𝑦(𝑦 ∈ (kard‘𝐵) ∧ 𝑥 ≼ 𝑦)))
31		df-rex 3087	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑦 ∈ (kard‘𝐵)𝑥 ≼ 𝑦 ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ (kard‘𝐵) ∧ 𝑥 ≼ 𝑦))
32	30, 31	imbitrrdi 255	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → (𝑥 ∈ (kard‘𝐴) → ∃𝑦 ∈ (kard‘𝐵)𝑥 ≼ 𝑦))
33	32	ancld 560	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → (𝑥 ∈ (kard‘𝐴) → (𝑥 ∈ (kard‘𝐴) ∧ ∃𝑦 ∈ (kard‘𝐵)𝑥 ≼ 𝑦)))
34	33	eximdv 1950	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → (∃𝑥 𝑥 ∈ (kard‘𝐴) → ∃𝑥(𝑥 ∈ (kard‘𝐴) ∧ ∃𝑦 ∈ (kard‘𝐵)𝑥 ≼ 𝑦)))
35	7, 34	mpd 16	. . 3 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → ∃𝑥(𝑥 ∈ (kard‘𝐴) ∧ ∃𝑦 ∈ (kard‘𝐵)𝑥 ≼ 𝑦))
36		df-rex 3087	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ (kard‘𝐴)∃𝑦 ∈ (kard‘𝐵)𝑥 ≼ 𝑦 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ (kard‘𝐴) ∧ ∃𝑦 ∈ (kard‘𝐵)𝑥 ≼ 𝑦))
37	35, 36	sylibr 237	. 2 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → ∃𝑥 ∈ (kard‘𝐴)∃𝑦 ∈ (kard‘𝐵)𝑥 ≼ 𝑦)
38		ensym 9012	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ≈ 𝐴 → 𝐴 ≈ 𝑥)
39		endomtr 9021	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ≼ 𝑦) → 𝐴 ≼ 𝑦)
40	38, 39	sylan 592	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ≈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≼ 𝑦) → 𝐴 ≼ 𝑦)
41	40	ancoms 464	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ≼ 𝑦 ∧ 𝑥 ≈ 𝐴) → 𝐴 ≼ 𝑦)
42		domentr 9022	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝑦 ∧ 𝑦 ≈ 𝐵) → 𝐴 ≼ 𝐵)
43	41, 42	stoic3 1809	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ≼ 𝑦 ∧ 𝑥 ≈ 𝐴 ∧ 𝑦 ≈ 𝐵) → 𝐴 ≼ 𝐵)
44	43	3expib 1140	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ≼ 𝑦 → ((𝑥 ≈ 𝐴 ∧ 𝑦 ≈ 𝐵) → 𝐴 ≼ 𝐵))
45	44	com12 33	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ≈ 𝐴 ∧ 𝑦 ≈ 𝐵) → (𝑥 ≼ 𝑦 → 𝐴 ≼ 𝐵))
46	17, 18, 45	syl2an 608	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ (kard‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (kard‘𝐵)) → (𝑥 ≼ 𝑦 → 𝐴 ≼ 𝐵))
47	46	rexlimivv 3204	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ (kard‘𝐴)∃𝑦 ∈ (kard‘𝐵)𝑥 ≼ 𝑦 → 𝐴 ≼ 𝐵)
48	37, 47	impbii 212	1 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ (kard‘𝐴)∃𝑦 ∈ (kard‘𝐵)𝑥 ≼ 𝑦)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∃wrex 3086  Vcvv 3450  ∅c0 4279   class class class wbr 5103  ‘cfv 6533   ≈ cen 8952   ≼ cdom 8953  kardckard 35678

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-reg 9567  ax-inf2 9623

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7417  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-r1 9749  df-rank 9750  df-scott 9871  df-kard 35679

This theorem is used by:  kardexen  35692