Theorem karddom 35507

Description: One set dominates another iff an element in its kard cardinality dominates an element in the second set's kard cardinality. (Contributed by BTernaryTau, 4-Jul-2026.)

Assertion

Ref	Expression
karddom	⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ (kard‘𝐴)∃𝑦 ∈ (kard‘𝐵)𝑥 ≼ 𝑦)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦

Proof of Theorem karddom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reldom 8949	. . . . . . 7 ⊢ Rel ≼
2	1	brrelex1i 5718	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐴 ∈ V)
3		kardeq0 35502	. . . . . . 7 ⊢ ((kard‘𝐴) = ∅ ↔ ¬ 𝐴 ∈ V)
4	3	necon2abii 3014	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ V ↔ (kard‘𝐴) ≠ ∅)
5	2, 4	sylib 221	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → (kard‘𝐴) ≠ ∅)
6		n0 4315	. . . . 5 ⊢ ((kard‘𝐴) ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ (kard‘𝐴))
7	5, 6	sylib 221	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → ∃𝑥 𝑥 ∈ (kard‘𝐴))
8	1	brrelex2i 5719	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐵 ∈ V)
9		kardeq0 35502	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((kard‘𝐵) = ∅ ↔ ¬ 𝐵 ∈ V)
10	9	necon2abii 3014	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ V ↔ (kard‘𝐵) ≠ ∅)
11	8, 10	sylib 221	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → (kard‘𝐵) ≠ ∅)
12		n0 4315	. . . . . . . . 9 ⊢ ((kard‘𝐵) ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦 ∈ (kard‘𝐵))
13	11, 12	sylib 221	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → ∃𝑦 𝑦 ∈ (kard‘𝐵))
14		19.42v 1980	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑦(𝑥 ∈ (kard‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (kard‘𝐵)) ↔ (𝑥 ∈ (kard‘𝐴) ∧ ∃𝑦 𝑦 ∈ (kard‘𝐵)))
15		simpr 489	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ (kard‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (kard‘𝐵)) → 𝑦 ∈ (kard‘𝐵))
16	15	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → ((𝑥 ∈ (kard‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (kard‘𝐵)) → 𝑦 ∈ (kard‘𝐵)))
17		elkarden 35501	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (kard‘𝐴) → 𝑥 ≈ 𝐴)
18		elkarden 35501	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ (kard‘𝐵) → 𝑦 ≈ 𝐵)
19		endomtr 9009	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ≈ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → 𝑥 ≼ 𝐵)
20	19	ancoms 463	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝑥 ≈ 𝐴) → 𝑥 ≼ 𝐵)
21		ensym 9000	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ≈ 𝐵 → 𝐵 ≈ 𝑦)
22		domentr 9010	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝑦) → 𝑥 ≼ 𝑦)
23	21, 22	sylan2 604	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ≼ 𝐵 ∧ 𝑦 ≈ 𝐵) → 𝑥 ≼ 𝑦)
24	20, 23	stoic3 1803	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝑥 ≈ 𝐴 ∧ 𝑦 ≈ 𝐵) → 𝑥 ≼ 𝑦)
25	24	3expib 1138	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → ((𝑥 ≈ 𝐴 ∧ 𝑦 ≈ 𝐵) → 𝑥 ≼ 𝑦))
26	17, 18, 25	syl2ani 618	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → ((𝑥 ∈ (kard‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (kard‘𝐵)) → 𝑥 ≼ 𝑦))
27	16, 26	jcad 521	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → ((𝑥 ∈ (kard‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (kard‘𝐵)) → (𝑦 ∈ (kard‘𝐵) ∧ 𝑥 ≼ 𝑦)))
28	27	eximdv 1944	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → (∃𝑦(𝑥 ∈ (kard‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (kard‘𝐵)) → ∃𝑦(𝑦 ∈ (kard‘𝐵) ∧ 𝑥 ≼ 𝑦)))
29	14, 28	biimtrrid 246	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → ((𝑥 ∈ (kard‘𝐴) ∧ ∃𝑦 𝑦 ∈ (kard‘𝐵)) → ∃𝑦(𝑦 ∈ (kard‘𝐵) ∧ 𝑥 ≼ 𝑦)))
30	13, 29	mpan2d 706	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → (𝑥 ∈ (kard‘𝐴) → ∃𝑦(𝑦 ∈ (kard‘𝐵) ∧ 𝑥 ≼ 𝑦)))
31		df-rex 3096	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑦 ∈ (kard‘𝐵)𝑥 ≼ 𝑦 ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ (kard‘𝐵) ∧ 𝑥 ≼ 𝑦))
32	30, 31	imbitrrdi 255	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → (𝑥 ∈ (kard‘𝐴) → ∃𝑦 ∈ (kard‘𝐵)𝑥 ≼ 𝑦))
33	32	ancld 559	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → (𝑥 ∈ (kard‘𝐴) → (𝑥 ∈ (kard‘𝐴) ∧ ∃𝑦 ∈ (kard‘𝐵)𝑥 ≼ 𝑦)))
34	33	eximdv 1944	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → (∃𝑥 𝑥 ∈ (kard‘𝐴) → ∃𝑥(𝑥 ∈ (kard‘𝐴) ∧ ∃𝑦 ∈ (kard‘𝐵)𝑥 ≼ 𝑦)))
35	7, 34	mpd 16	. . 3 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → ∃𝑥(𝑥 ∈ (kard‘𝐴) ∧ ∃𝑦 ∈ (kard‘𝐵)𝑥 ≼ 𝑦))
36		df-rex 3096	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ (kard‘𝐴)∃𝑦 ∈ (kard‘𝐵)𝑥 ≼ 𝑦 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ (kard‘𝐴) ∧ ∃𝑦 ∈ (kard‘𝐵)𝑥 ≼ 𝑦))
37	35, 36	sylibr 237	. 2 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → ∃𝑥 ∈ (kard‘𝐴)∃𝑦 ∈ (kard‘𝐵)𝑥 ≼ 𝑦)
38		ensym 9000	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ≈ 𝐴 → 𝐴 ≈ 𝑥)
39		endomtr 9009	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ≼ 𝑦) → 𝐴 ≼ 𝑦)
40	38, 39	sylan 591	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ≈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≼ 𝑦) → 𝐴 ≼ 𝑦)
41	40	ancoms 463	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ≼ 𝑦 ∧ 𝑥 ≈ 𝐴) → 𝐴 ≼ 𝑦)
42		domentr 9010	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝑦 ∧ 𝑦 ≈ 𝐵) → 𝐴 ≼ 𝐵)
43	41, 42	stoic3 1803	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ≼ 𝑦 ∧ 𝑥 ≈ 𝐴 ∧ 𝑦 ≈ 𝐵) → 𝐴 ≼ 𝐵)
44	43	3expib 1138	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ≼ 𝑦 → ((𝑥 ≈ 𝐴 ∧ 𝑦 ≈ 𝐵) → 𝐴 ≼ 𝐵))
45	44	com12 33	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ≈ 𝐴 ∧ 𝑦 ≈ 𝐵) → (𝑥 ≼ 𝑦 → 𝐴 ≼ 𝐵))
46	17, 18, 45	syl2an 607	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ (kard‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (kard‘𝐵)) → (𝑥 ≼ 𝑦 → 𝐴 ≼ 𝐵))
47	46	rexlimivv 3213	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ (kard‘𝐴)∃𝑦 ∈ (kard‘𝐵)𝑥 ≼ 𝑦 → 𝐴 ≼ 𝐵)
48	37, 47	impbii 212	1 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ (kard‘𝐴)∃𝑦 ∈ (kard‘𝐵)𝑥 ≼ 𝑦)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400  ∃wex 1806   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  ∃wrex 3095  Vcvv 3463  ∅c0 4294   class class class wbr 5113  ‘cfv 6537   ≈ cen 8940   ≼ cdom 8941  kardckard 35495

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-reg 9554  ax-inf2 9610

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-iin 4963  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7414  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-r1 9736  df-rank 9737  df-scott 9858  df-kard 35496

This theorem is referenced by:  kardexen  35509