Theorem kardsdom 35901

Description: One set strictly dominates another iff an element in its kard cardinality strictly dominates an element in the second set's kard cardinality. (Contributed by BTernaryTau, 6-Jul-2026.)

Assertion

Ref	Expression
kardsdom	⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ (kard‘𝐴)∃𝑦 ∈ (kard‘𝐵)𝑥 ≺ 𝑦)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦

Proof of Theorem kardsdom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relsdom 8991	. . . . . . 7 ⊢ Rel ≺
2	1	brrelex1i 5710	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 → 𝐴 ∈ V)
3		kardeq0 35895	. . . . . . 7 ⊢ ((kard‘𝐴) = ∅ ↔ ¬ 𝐴 ∈ V)
4	3	necon2abii 3008	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ V ↔ (kard‘𝐴) ≠ ∅)
5	2, 4	sylib 221	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 → (kard‘𝐴) ≠ ∅)
6		n0 4302	. . . . 5 ⊢ ((kard‘𝐴) ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ (kard‘𝐴))
7	5, 6	sylib 221	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 → ∃𝑥 𝑥 ∈ (kard‘𝐴))
8	1	brrelex2i 5711	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 → 𝐵 ∈ V)
9		kardeq0 35895	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((kard‘𝐵) = ∅ ↔ ¬ 𝐵 ∈ V)
10	9	necon2abii 3008	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ V ↔ (kard‘𝐵) ≠ ∅)
11	8, 10	sylib 221	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 → (kard‘𝐵) ≠ ∅)
12		n0 4302	. . . . . . . . 9 ⊢ ((kard‘𝐵) ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦 ∈ (kard‘𝐵))
13	11, 12	sylib 221	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 → ∃𝑦 𝑦 ∈ (kard‘𝐵))
14		19.42v 1987	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑦(𝑥 ∈ (kard‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (kard‘𝐵)) ↔ (𝑥 ∈ (kard‘𝐴) ∧ ∃𝑦 𝑦 ∈ (kard‘𝐵)))
15		simpr 490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ (kard‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (kard‘𝐵)) → 𝑦 ∈ (kard‘𝐵))
16	15	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 → ((𝑥 ∈ (kard‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (kard‘𝐵)) → 𝑦 ∈ (kard‘𝐵)))
17		elkarden 35894	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (kard‘𝐴) → 𝑥 ≈ 𝐴)
18		elkarden 35894	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ (kard‘𝐵) → 𝑦 ≈ 𝐵)
19		ensdomtr 9143	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ≈ 𝐴 ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → 𝑥 ≺ 𝐵)
20	19	ancoms 464	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ≺ 𝐵 ∧ 𝑥 ≈ 𝐴) → 𝑥 ≺ 𝐵)
21		ensym 9041	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ≈ 𝐵 → 𝐵 ≈ 𝑦)
22		sdomentr 9141	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝑦) → 𝑥 ≺ 𝑦)
23	21, 22	sylan2 605	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ≺ 𝐵 ∧ 𝑦 ≈ 𝐵) → 𝑥 ≺ 𝑦)
24	20, 23	stoic3 1808	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ≺ 𝐵 ∧ 𝑥 ≈ 𝐴 ∧ 𝑦 ≈ 𝐵) → 𝑥 ≺ 𝑦)
25	24	3expib 1140	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 → ((𝑥 ≈ 𝐴 ∧ 𝑦 ≈ 𝐵) → 𝑥 ≺ 𝑦))
26	17, 18, 25	syl2ani 619	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 → ((𝑥 ∈ (kard‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (kard‘𝐵)) → 𝑥 ≺ 𝑦))
27	16, 26	jcad 522	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 → ((𝑥 ∈ (kard‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (kard‘𝐵)) → (𝑦 ∈ (kard‘𝐵) ∧ 𝑥 ≺ 𝑦)))
28	27	eximdv 1951	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 → (∃𝑦(𝑥 ∈ (kard‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (kard‘𝐵)) → ∃𝑦(𝑦 ∈ (kard‘𝐵) ∧ 𝑥 ≺ 𝑦)))
29	14, 28	biimtrrid 246	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 → ((𝑥 ∈ (kard‘𝐴) ∧ ∃𝑦 𝑦 ∈ (kard‘𝐵)) → ∃𝑦(𝑦 ∈ (kard‘𝐵) ∧ 𝑥 ≺ 𝑦)))
30	13, 29	mpan2d 707	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 → (𝑥 ∈ (kard‘𝐴) → ∃𝑦(𝑦 ∈ (kard‘𝐵) ∧ 𝑥 ≺ 𝑦)))
31		df-rex 3090	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑦 ∈ (kard‘𝐵)𝑥 ≺ 𝑦 ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ (kard‘𝐵) ∧ 𝑥 ≺ 𝑦))
32	30, 31	imbitrrdi 255	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 → (𝑥 ∈ (kard‘𝐴) → ∃𝑦 ∈ (kard‘𝐵)𝑥 ≺ 𝑦))
33	32	ancld 560	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 → (𝑥 ∈ (kard‘𝐴) → (𝑥 ∈ (kard‘𝐴) ∧ ∃𝑦 ∈ (kard‘𝐵)𝑥 ≺ 𝑦)))
34	33	eximdv 1951	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 → (∃𝑥 𝑥 ∈ (kard‘𝐴) → ∃𝑥(𝑥 ∈ (kard‘𝐴) ∧ ∃𝑦 ∈ (kard‘𝐵)𝑥 ≺ 𝑦)))
35	7, 34	mpd 16	. . 3 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 → ∃𝑥(𝑥 ∈ (kard‘𝐴) ∧ ∃𝑦 ∈ (kard‘𝐵)𝑥 ≺ 𝑦))
36		df-rex 3090	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ (kard‘𝐴)∃𝑦 ∈ (kard‘𝐵)𝑥 ≺ 𝑦 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ (kard‘𝐴) ∧ ∃𝑦 ∈ (kard‘𝐵)𝑥 ≺ 𝑦))
37	35, 36	sylibr 237	. 2 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 → ∃𝑥 ∈ (kard‘𝐴)∃𝑦 ∈ (kard‘𝐵)𝑥 ≺ 𝑦)
38		ensym 9041	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ≈ 𝐴 → 𝐴 ≈ 𝑥)
39		ensdomtr 9143	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ≺ 𝑦) → 𝐴 ≺ 𝑦)
40	38, 39	sylan 592	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ≈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≺ 𝑦) → 𝐴 ≺ 𝑦)
41	40	ancoms 464	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ≺ 𝑦 ∧ 𝑥 ≈ 𝐴) → 𝐴 ≺ 𝑦)
42		sdomentr 9141	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ≺ 𝑦 ∧ 𝑦 ≈ 𝐵) → 𝐴 ≺ 𝐵)
43	41, 42	stoic3 1808	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ≺ 𝑦 ∧ 𝑥 ≈ 𝐴 ∧ 𝑦 ≈ 𝐵) → 𝐴 ≺ 𝐵)
44	43	3expib 1140	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ≺ 𝑦 → ((𝑥 ≈ 𝐴 ∧ 𝑦 ≈ 𝐵) → 𝐴 ≺ 𝐵))
45	44	com12 33	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ≈ 𝐴 ∧ 𝑦 ≈ 𝐵) → (𝑥 ≺ 𝑦 → 𝐴 ≺ 𝐵))
46	17, 18, 45	syl2an 608	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ (kard‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (kard‘𝐵)) → (𝑥 ≺ 𝑦 → 𝐴 ≺ 𝐵))
47	46	rexlimivv 3207	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ (kard‘𝐴)∃𝑦 ∈ (kard‘𝐵)𝑥 ≺ 𝑦 → 𝐴 ≺ 𝐵)
48	37, 47	impbii 212	1 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ (kard‘𝐴)∃𝑦 ∈ (kard‘𝐵)𝑥 ≺ 𝑦)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401  ∃wex 1811   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2958  ∃wrex 3089  Vcvv 3453  ∅c0 4280   class class class wbr 5105  ‘cfv 6546   ≈ cen 8981   ≺ csdm 8983  kardckard 35888

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-reg 9596  ax-inf2 9652

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-int 4910  df-iun 4955  df-iin 4956  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6310  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-ov 7430  df-om 7885  df-2nd 8009  df-frecs 8310  df-wrecs 8341  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8728  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-r1 9778  df-rank 9779  df-scott 9939  df-kard 35889

This theorem is used by:  kardexen  35902