Theorem ftc2ditg 25925

Description: Directed integral analogue of ftc2 25923. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ftc2ditg.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
ftc2ditg.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
ftc2ditg.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝑋[,]𝑌))
ftc2ditg.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝑋[,]𝑌))
ftc2ditg.c	⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐹) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
ftc2ditg.i	⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐹) ∈ 𝐿1)
ftc2ditg.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℂ))

Assertion

Ref	Expression
ftc2ditg	⊢ (𝜑 → ⨜[𝐴 → 𝐵]((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡 = ((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)))

Distinct variable groups:   𝑡,𝐴   𝑡,𝐵   𝑡,𝐹   𝜑,𝑡   𝑡,𝑋   𝑡,𝑌

Proof of Theorem ftc2ditg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ftc2ditg.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
2		ftc2ditg.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
3		iccssre 13407	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝑋[,]𝑌) ⊆ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋[,]𝑌) ⊆ ℝ)
5		ftc2ditg.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝑋[,]𝑌))
6	4, 5	sseldd 3976	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
7		ftc2ditg.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝑋[,]𝑌))
8	4, 7	sseldd 3976	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
9		ftc2ditg.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐹) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
10		ftc2ditg.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐹) ∈ 𝐿1)
11		ftc2ditg.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℂ))
12	1, 2, 5, 7, 9, 10, 11	ftc2ditglem 25924	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ⨜[𝐴 → 𝐵]((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡 = ((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)))
13		fvexd 6897	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑡) ∈ V)
14		cncff 24757	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℝ D 𝐹) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ) → (ℝ D 𝐹):(𝑋(,)𝑌)⟶ℂ)
15	9, 14	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐹):(𝑋(,)𝑌)⟶ℂ)
16	15	feqmptd 6951	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐹) = (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ((ℝ D 𝐹)‘𝑡)))
17	16, 10	eqeltrrd 2826	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ∈ 𝐿1)
18	1, 2, 7, 5, 13, 17	ditgswap 25732	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⨜[𝐴 → 𝐵]((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡 = -⨜[𝐵 → 𝐴]((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡)
19	18	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → ⨜[𝐴 → 𝐵]((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡 = -⨜[𝐵 → 𝐴]((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡)
20	1, 2, 7, 5, 9, 10, 11	ftc2ditglem 25924	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → ⨜[𝐵 → 𝐴]((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡 = ((𝐹‘𝐴) − (𝐹‘𝐵)))
21	20	negeqd 11453	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → -⨜[𝐵 → 𝐴]((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡 = -((𝐹‘𝐴) − (𝐹‘𝐵)))
22		cncff 24757	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℂ) → 𝐹:(𝑋[,]𝑌)⟶ℂ)
23	11, 22	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝑋[,]𝑌)⟶ℂ)
24	23, 5	ffvelcdmd 7078	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ∈ ℂ)
25	23, 7	ffvelcdmd 7078	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) ∈ ℂ)
26	24, 25	negsubdi2d 11586	. . . 4 ⊢ (𝜑 → -((𝐹‘𝐴) − (𝐹‘𝐵)) = ((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)))
27	26	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → -((𝐹‘𝐴) − (𝐹‘𝐵)) = ((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)))
28	19, 21, 27	3eqtrd 2768	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → ⨜[𝐴 → 𝐵]((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡 = ((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)))
29	6, 8, 12, 28	lecasei 11319	1 ⊢ (𝜑 → ⨜[𝐴 → 𝐵]((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡 = ((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3466   ⊆ wss 3941   class class class wbr 5139   ↦ cmpt 5222  ⟶wf 6530  ‘cfv 6534  (class class class)co 7402  ℂcc 11105  ℝcr 11106   ≤ cle 11248   − cmin 11443  -cneg 11444  (,)cioo 13325  [,]cicc 13328  –cn→ccncf 24740  𝐿¹cibl 25490  ⨜cdit 25719   D cdv 25736

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-inf2 9633  ax-cc 10427  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185  ax-addf 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-symdif 4235  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-iin 4991  df-disj 5105  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-se 5623  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-of 7664  df-ofr 7665  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-supp 8142  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-oadd 8466  df-omul 8467  df-er 8700  df-map 8819  df-pm 8820  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fsupp 9359  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9502  df-dju 9893  df-card 9931  df-acn 9934  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12976  df-xneg 13093  df-xadd 13094  df-xmul 13095  df-ioo 13329  df-ioc 13330  df-ico 13331  df-icc 13332  df-fz 13486  df-fzo 13629  df-fl 13758  df-mod 13836  df-seq 13968  df-exp 14029  df-hash 14292  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-clim 15434  df-rlim 15435  df-sum 15635  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-hom 17226  df-cco 17227  df-rest 17373  df-topn 17374  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-topgen 17394  df-pt 17395  df-prds 17398  df-xrs 17453  df-qtop 17458  df-imas 17459  df-xps 17461  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-submnd 18710  df-mulg 18992  df-cntz 19229  df-cmn 19698  df-psmet 21226  df-xmet 21227  df-met 21228  df-bl 21229  df-mopn 21230  df-fbas 21231  df-fg 21232  df-cnfld 21235  df-top 22740  df-topon 22757  df-topsp 22779  df-bases 22793  df-cld 22867  df-ntr 22868  df-cls 22869  df-nei 22946  df-lp 22984  df-perf 22985  df-cn 23075  df-cnp 23076  df-haus 23163  df-cmp 23235  df-tx 23410  df-hmeo 23603  df-fil 23694  df-fm 23786  df-flim 23787  df-flf 23788  df-xms 24170  df-ms 24171  df-tms 24172  df-cncf 24742  df-ovol 25337  df-vol 25338  df-mbf 25492  df-itg1 25493  df-itg2 25494  df-ibl 25495  df-itg 25496  df-0p 25543  df-ditg 25720  df-limc 25739  df-dv 25740

This theorem is referenced by: (None)