MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mndodcong Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mndodcong 19410
Description: If two multipliers are congruent relative to the base point's order, the corresponding multiples are the same. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odcl.1 ๐‘‹ = (Baseโ€˜๐บ)
odcl.2 ๐‘‚ = (odโ€˜๐บ)
odid.3 ยท = (.gโ€˜๐บ)
odid.4 0 = (0gโ€˜๐บ)
Assertion
Ref Expression
mndodcong (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘‚โ€˜๐ด) โˆฅ (๐‘€ โˆ’ ๐‘) โ†” (๐‘€ ยท ๐ด) = (๐‘ ยท ๐ด)))

Proof of Theorem mndodcong
StepHypRef Expression
1 oveq1 7416 . . 3 ((๐‘€ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) = (๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) โ†’ ((๐‘€ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) ยท ๐ด) = ((๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) ยท ๐ด))
2 simp2l 1200 . . . . . . . . 9 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•0)
32nn0zd 12584 . . . . . . . 8 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
4 simp3 1139 . . . . . . . 8 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•)
53, 4zmodcld 13857 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘€ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„•0)
65adantr 482 . . . . . 6 ((((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โˆง ((๐‘€ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) ยท ๐ด) = ((๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) ยท ๐ด)) โ†’ (๐‘€ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„•0)
76nn0red 12533 . . . . 5 ((((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โˆง ((๐‘€ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) ยท ๐ด) = ((๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) ยท ๐ด)) โ†’ (๐‘€ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
8 simp2r 1201 . . . . . . . . 9 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
98nn0zd 12584 . . . . . . . 8 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
109, 4zmodcld 13857 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„•0)
1110adantr 482 . . . . . 6 ((((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โˆง ((๐‘€ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) ยท ๐ด) = ((๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) ยท ๐ด)) โ†’ (๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„•0)
1211nn0red 12533 . . . . 5 ((((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โˆง ((๐‘€ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) ยท ๐ด) = ((๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) ยท ๐ด)) โ†’ (๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
13 odcl.1 . . . . . 6 ๐‘‹ = (Baseโ€˜๐บ)
14 odcl.2 . . . . . 6 ๐‘‚ = (odโ€˜๐บ)
15 odid.3 . . . . . 6 ยท = (.gโ€˜๐บ)
16 odid.4 . . . . . 6 0 = (0gโ€˜๐บ)
17 simp1l 1198 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ ๐บ โˆˆ Mnd)
1817adantr 482 . . . . . 6 ((((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โˆง ((๐‘€ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) ยท ๐ด) = ((๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) ยท ๐ด)) โ†’ ๐บ โˆˆ Mnd)
19 simp1r 1199 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ด โˆˆ ๐‘‹)
2019adantr 482 . . . . . 6 ((((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โˆง ((๐‘€ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) ยท ๐ด) = ((๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) ยท ๐ด)) โ†’ ๐ด โˆˆ ๐‘‹)
214adantr 482 . . . . . 6 ((((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โˆง ((๐‘€ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) ยท ๐ด) = ((๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) ยท ๐ด)) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•)
222nn0red 12533 . . . . . . . 8 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„)
234nnrpd 13014 . . . . . . . 8 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„+)
24 modlt 13845 . . . . . . . 8 ((๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„+) โ†’ (๐‘€ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) < (๐‘‚โ€˜๐ด))
2522, 23, 24syl2anc 585 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘€ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) < (๐‘‚โ€˜๐ด))
2625adantr 482 . . . . . 6 ((((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โˆง ((๐‘€ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) ยท ๐ด) = ((๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) ยท ๐ด)) โ†’ (๐‘€ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) < (๐‘‚โ€˜๐ด))
278nn0red 12533 . . . . . . . 8 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
28 modlt 13845 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„+) โ†’ (๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) < (๐‘‚โ€˜๐ด))
2927, 23, 28syl2anc 585 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) < (๐‘‚โ€˜๐ด))
3029adantr 482 . . . . . 6 ((((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โˆง ((๐‘€ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) ยท ๐ด) = ((๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) ยท ๐ด)) โ†’ (๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) < (๐‘‚โ€˜๐ด))
31 simpr 486 . . . . . 6 ((((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โˆง ((๐‘€ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) ยท ๐ด) = ((๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) ยท ๐ด)) โ†’ ((๐‘€ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) ยท ๐ด) = ((๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) ยท ๐ด))
3213, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 6, 11, 26, 30, 31mndodconglem 19409 . . . . 5 (((((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โˆง ((๐‘€ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) ยท ๐ด) = ((๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) ยท ๐ด)) โˆง (๐‘€ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) โ‰ค (๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด))) โ†’ (๐‘€ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) = (๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)))
3331eqcomd 2739 . . . . . . 7 ((((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โˆง ((๐‘€ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) ยท ๐ด) = ((๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) ยท ๐ด)) โ†’ ((๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) ยท ๐ด) = ((๐‘€ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) ยท ๐ด))
3413, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 11, 6, 30, 26, 33mndodconglem 19409 . . . . . 6 (((((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โˆง ((๐‘€ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) ยท ๐ด) = ((๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) ยท ๐ด)) โˆง (๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) โ‰ค (๐‘€ mod (๐‘‚โ€˜๐ด))) โ†’ (๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) = (๐‘€ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)))
3534eqcomd 2739 . . . . 5 (((((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โˆง ((๐‘€ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) ยท ๐ด) = ((๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) ยท ๐ด)) โˆง (๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) โ‰ค (๐‘€ mod (๐‘‚โ€˜๐ด))) โ†’ (๐‘€ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) = (๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)))
367, 12, 32, 35lecasei 11320 . . . 4 ((((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โˆง ((๐‘€ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) ยท ๐ด) = ((๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) ยท ๐ด)) โ†’ (๐‘€ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) = (๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)))
3736ex 414 . . 3 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘€ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) ยท ๐ด) = ((๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) ยท ๐ด) โ†’ (๐‘€ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) = (๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด))))
381, 37impbid2 225 . 2 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘€ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) = (๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) โ†” ((๐‘€ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) ยท ๐ด) = ((๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) ยท ๐ด)))
39 moddvds 16208 . . 3 (((๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘€ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) = (๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) โ†” (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆฅ (๐‘€ โˆ’ ๐‘)))
404, 3, 9, 39syl3anc 1372 . 2 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘€ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) = (๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) โ†” (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆฅ (๐‘€ โˆ’ ๐‘)))
4113, 14, 15, 16odmodnn0 19408 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘€ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) ยท ๐ด) = (๐‘€ ยท ๐ด))
4217, 19, 2, 4, 41syl31anc 1374 . . 3 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘€ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) ยท ๐ด) = (๐‘€ ยท ๐ด))
4313, 14, 15, 16odmodnn0 19408 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) ยท ๐ด) = (๐‘ ยท ๐ด))
4417, 19, 8, 4, 43syl31anc 1374 . . 3 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) ยท ๐ด) = (๐‘ ยท ๐ด))
4542, 44eqeq12d 2749 . 2 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘€ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) ยท ๐ด) = ((๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) ยท ๐ด) โ†” (๐‘€ ยท ๐ด) = (๐‘ ยท ๐ด)))
4638, 40, 453bitr3d 309 1 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘‚โ€˜๐ด) โˆฅ (๐‘€ โˆ’ ๐‘) โ†” (๐‘€ ยท ๐ด) = (๐‘ ยท ๐ด)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   class class class wbr 5149  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  โ„cr 11109   < clt 11248   โ‰ค cle 11249   โˆ’ cmin 11444  โ„•cn 12212  โ„•0cn0 12472  โ„คcz 12558  โ„+crp 12974   mod cmo 13834   โˆฅ cdvds 16197  Basecbs 17144  0gc0g 17385  Mndcmnd 18625  .gcmg 18950  odcod 19392
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-dvds 16198  df-0g 17387  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-mulg 18951  df-od 19396
This theorem is referenced by:  mndodcongi  19411  oddvdsnn0  19412
  Copyright terms: Public domain W3C validator