Theorem mndodcong 19607

Description: If two multipliers are congruent relative to the base point's order, the corresponding multiples are the same. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
odcl.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
odcl.2	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
odid.3	⊢ · = (.g‘𝐺)
odid.4	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mndodcong	⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑂‘𝐴) ∥ (𝑀 − 𝑁) ↔ (𝑀 · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴)))

Proof of Theorem mndodcong

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7417	. . 3 ⊢ ((𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) = (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) → ((𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴))
2		simp2l 1218	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℕ0)
3	2	nn0zd 12611	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℤ)
4		simp3 1156	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ)
5	3, 4	zmodcld 13921	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) ∈ ℕ0)
6	5	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ ((𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴)) → (𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) ∈ ℕ0)
7	6	nn0red 12561	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ ((𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴)) → (𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) ∈ ℝ)
8		simp2r 1219	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
9	8	nn0zd 12611	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℤ)
10	9, 4	zmodcld 13921	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) ∈ ℕ0)
11	10	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ ((𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴)) → (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) ∈ ℕ0)
12	11	nn0red 12561	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ ((𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴)) → (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) ∈ ℝ)
13		odcl.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
14		odcl.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
15		odid.3	. . . . . 6 ⊢ · = (.g‘𝐺)
16		odid.4	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
17		simp1l 1216	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → 𝐺 ∈ Mnd)
18	17	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ ((𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴)) → 𝐺 ∈ Mnd)
19		simp1r 1217	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ 𝑋)
20	19	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ ((𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴)) → 𝐴 ∈ 𝑋)
21	4	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ ((𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴)) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ)
22	2	nn0red 12561	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℝ)
23	4	nnrpd 13053	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℝ+)
24		modlt 13909	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℝ+) → (𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) < (𝑂‘𝐴))
25	22, 23, 24	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) < (𝑂‘𝐴))
26	25	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ ((𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴)) → (𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) < (𝑂‘𝐴))
27	8	nn0red 12561	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
28		modlt 13909	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℝ+) → (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) < (𝑂‘𝐴))
29	27, 23, 28	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) < (𝑂‘𝐴))
30	29	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ ((𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴)) → (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) < (𝑂‘𝐴))
31		simpr 489	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ ((𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴)) → ((𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴))
32	13, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 6, 11, 26, 30, 31	mndodconglem 19606	. . . . 5 ⊢ (((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ ((𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴)) ∧ (𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) ≤ (𝑁 mod (𝑂‘𝐴))) → (𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) = (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)))
33	31	eqcomd 2769	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ ((𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴)) → ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = ((𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴))
34	13, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 11, 6, 30, 26, 33	mndodconglem 19606	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ ((𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴)) ∧ (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) ≤ (𝑀 mod (𝑂‘𝐴))) → (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) = (𝑀 mod (𝑂‘𝐴)))
35	34	eqcomd 2769	. . . . 5 ⊢ (((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ ((𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴)) ∧ (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) ≤ (𝑀 mod (𝑂‘𝐴))) → (𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) = (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)))
36	7, 12, 32, 35	lecasei 11311	. . . 4 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ ((𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴)) → (𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) = (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)))
37	36	ex 417	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (((𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) → (𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) = (𝑁 mod (𝑂‘𝐴))))
38	1, 37	impbid2 229	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) = (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) ↔ ((𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴)))
39		moddvds 16316	. . 3 ⊢ (((𝑂‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) = (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) ↔ (𝑂‘𝐴) ∥ (𝑀 − 𝑁)))
40	4, 3, 9, 39	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) = (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) ↔ (𝑂‘𝐴) ∥ (𝑀 − 𝑁)))
41	13, 14, 15, 16	odmodnn0 19605	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = (𝑀 · 𝐴))
42	17, 19, 2, 4, 41	syl31anc 1400	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = (𝑀 · 𝐴))
43	13, 14, 15, 16	odmodnn0 19605	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴))
44	17, 19, 8, 4, 43	syl31anc 1400	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴))
45	42, 44	eqeq12d 2779	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (((𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) ↔ (𝑀 · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴)))
46	38, 40, 45	3bitr3d 312	1 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑂‘𝐴) ∥ (𝑀 − 𝑁) ↔ (𝑀 · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   class class class wbr 5109  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℝcr 11094   < clt 11238   ≤ cle 11239   − cmin 11436  ℕcn 12228  ℕ₀cn0 12499  ℤcz 12586  ℝ⁺crp 13011   mod cmo 13898   ∥ cdvds 16305  Basecbs 17264  0_gc0g 17487  Mndcmnd 18787  ._gcmg 19128  odcod 19589

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-pre-sup 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9398  df-inf 9399  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12858  df-rp 13012  df-fz 13531  df-fl 13821  df-mod 13899  df-seq 14034  df-dvds 16306  df-0g 17489  df-mgm 18693  df-sgrp 18772  df-mnd 18788  df-mulg 19129  df-od 19593

This theorem is referenced by:  mndodcongi  19608  oddvdsnn0  19609