Theorem mndodcong 19508

Description: If two multipliers are congruent relative to the base point's order, the corresponding multiples are the same. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
odcl.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
odcl.2	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
odid.3	⊢ · = (.g‘𝐺)
odid.4	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mndodcong	⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑂‘𝐴) ∥ (𝑀 − 𝑁) ↔ (𝑀 · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴)))

Proof of Theorem mndodcong

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7367	. . 3 ⊢ ((𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) = (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) → ((𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴))
2		simp2l 1201	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℕ0)
3	2	nn0zd 12540	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℤ)
4		simp3 1139	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ)
5	3, 4	zmodcld 13842	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) ∈ ℕ0)
6	5	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ ((𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴)) → (𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) ∈ ℕ0)
7	6	nn0red 12490	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ ((𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴)) → (𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) ∈ ℝ)
8		simp2r 1202	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
9	8	nn0zd 12540	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℤ)
10	9, 4	zmodcld 13842	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) ∈ ℕ0)
11	10	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ ((𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴)) → (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) ∈ ℕ0)
12	11	nn0red 12490	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ ((𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴)) → (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) ∈ ℝ)
13		odcl.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
14		odcl.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
15		odid.3	. . . . . 6 ⊢ · = (.g‘𝐺)
16		odid.4	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
17		simp1l 1199	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → 𝐺 ∈ Mnd)
18	17	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ ((𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴)) → 𝐺 ∈ Mnd)
19		simp1r 1200	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ 𝑋)
20	19	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ ((𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴)) → 𝐴 ∈ 𝑋)
21	4	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ ((𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴)) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ)
22	2	nn0red 12490	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℝ)
23	4	nnrpd 12975	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℝ+)
24		modlt 13830	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℝ+) → (𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) < (𝑂‘𝐴))
25	22, 23, 24	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) < (𝑂‘𝐴))
26	25	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ ((𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴)) → (𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) < (𝑂‘𝐴))
27	8	nn0red 12490	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
28		modlt 13830	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℝ+) → (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) < (𝑂‘𝐴))
29	27, 23, 28	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) < (𝑂‘𝐴))
30	29	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ ((𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴)) → (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) < (𝑂‘𝐴))
31		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ ((𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴)) → ((𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴))
32	13, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 6, 11, 26, 30, 31	mndodconglem 19507	. . . . 5 ⊢ (((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ ((𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴)) ∧ (𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) ≤ (𝑁 mod (𝑂‘𝐴))) → (𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) = (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)))
33	31	eqcomd 2743	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ ((𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴)) → ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = ((𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴))
34	13, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 11, 6, 30, 26, 33	mndodconglem 19507	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ ((𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴)) ∧ (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) ≤ (𝑀 mod (𝑂‘𝐴))) → (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) = (𝑀 mod (𝑂‘𝐴)))
35	34	eqcomd 2743	. . . . 5 ⊢ (((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ ((𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴)) ∧ (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) ≤ (𝑀 mod (𝑂‘𝐴))) → (𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) = (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)))
36	7, 12, 32, 35	lecasei 11243	. . . 4 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ ((𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴)) → (𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) = (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)))
37	36	ex 412	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (((𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) → (𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) = (𝑁 mod (𝑂‘𝐴))))
38	1, 37	impbid2 226	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) = (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) ↔ ((𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴)))
39		moddvds 16223	. . 3 ⊢ (((𝑂‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) = (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) ↔ (𝑂‘𝐴) ∥ (𝑀 − 𝑁)))
40	4, 3, 9, 39	syl3anc 1374	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) = (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) ↔ (𝑂‘𝐴) ∥ (𝑀 − 𝑁)))
41	13, 14, 15, 16	odmodnn0 19506	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = (𝑀 · 𝐴))
42	17, 19, 2, 4, 41	syl31anc 1376	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = (𝑀 · 𝐴))
43	13, 14, 15, 16	odmodnn0 19506	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴))
44	17, 19, 8, 4, 43	syl31anc 1376	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴))
45	42, 44	eqeq12d 2753	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (((𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) ↔ (𝑀 · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴)))
46	38, 40, 45	3bitr3d 309	1 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑂‘𝐴) ∥ (𝑀 − 𝑁) ↔ (𝑀 · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  ℝcr 11028   < clt 11170   ≤ cle 11171   − cmin 11368  ℕcn 12165  ℕ₀cn0 12428  ℤcz 12515  ℝ⁺crp 12933   mod cmo 13819   ∥ cdvds 16212  Basecbs 17170  0_gc0g 17393  Mndcmnd 18693  ._gcmg 19034  odcod 19490

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-sup 9348  df-inf 9349  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-rp 12934  df-fz 13453  df-fl 13742  df-mod 13820  df-seq 13955  df-dvds 16213  df-0g 17395  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-mulg 19035  df-od 19494

This theorem is referenced by:  mndodcongi  19509  oddvdsnn0  19510