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Theorem mndodcong 19574
Description: If two multipliers are congruent relative to the base point's order, the corresponding multiples are the same. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odcl.1 𝑋 = (Base‘𝐺)
odcl.2 𝑂 = (od‘𝐺)
odid.3 · = (.g𝐺)
odid.4 0 = (0g𝐺)
Assertion
Ref Expression
mndodcong (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑂𝐴) ∥ (𝑀𝑁) ↔ (𝑀 · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴)))

Proof of Theorem mndodcong
StepHypRef Expression
1 oveq1 7437 . . 3 ((𝑀 mod (𝑂𝐴)) = (𝑁 mod (𝑂𝐴)) → ((𝑀 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴))
2 simp2l 1198 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℕ0)
32nn0zd 12636 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℤ)
4 simp3 1137 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (𝑂𝐴) ∈ ℕ)
53, 4zmodcld 13928 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (𝑀 mod (𝑂𝐴)) ∈ ℕ0)
65adantr 480 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ ((𝑀 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴)) → (𝑀 mod (𝑂𝐴)) ∈ ℕ0)
76nn0red 12585 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ ((𝑀 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴)) → (𝑀 mod (𝑂𝐴)) ∈ ℝ)
8 simp2r 1199 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
98nn0zd 12636 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℤ)
109, 4zmodcld 13928 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (𝑁 mod (𝑂𝐴)) ∈ ℕ0)
1110adantr 480 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ ((𝑀 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴)) → (𝑁 mod (𝑂𝐴)) ∈ ℕ0)
1211nn0red 12585 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ ((𝑀 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴)) → (𝑁 mod (𝑂𝐴)) ∈ ℝ)
13 odcl.1 . . . . . 6 𝑋 = (Base‘𝐺)
14 odcl.2 . . . . . 6 𝑂 = (od‘𝐺)
15 odid.3 . . . . . 6 · = (.g𝐺)
16 odid.4 . . . . . 6 0 = (0g𝐺)
17 simp1l 1196 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → 𝐺 ∈ Mnd)
1817adantr 480 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ ((𝑀 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴)) → 𝐺 ∈ Mnd)
19 simp1r 1197 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → 𝐴𝑋)
2019adantr 480 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ ((𝑀 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴)) → 𝐴𝑋)
214adantr 480 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ ((𝑀 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴)) → (𝑂𝐴) ∈ ℕ)
222nn0red 12585 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℝ)
234nnrpd 13072 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (𝑂𝐴) ∈ ℝ+)
24 modlt 13916 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℝ+) → (𝑀 mod (𝑂𝐴)) < (𝑂𝐴))
2522, 23, 24syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (𝑀 mod (𝑂𝐴)) < (𝑂𝐴))
2625adantr 480 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ ((𝑀 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴)) → (𝑀 mod (𝑂𝐴)) < (𝑂𝐴))
278nn0red 12585 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
28 modlt 13916 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℝ+) → (𝑁 mod (𝑂𝐴)) < (𝑂𝐴))
2927, 23, 28syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (𝑁 mod (𝑂𝐴)) < (𝑂𝐴))
3029adantr 480 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ ((𝑀 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴)) → (𝑁 mod (𝑂𝐴)) < (𝑂𝐴))
31 simpr 484 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ ((𝑀 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴)) → ((𝑀 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴))
3213, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 6, 11, 26, 30, 31mndodconglem 19573 . . . . 5 (((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ ((𝑀 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴)) ∧ (𝑀 mod (𝑂𝐴)) ≤ (𝑁 mod (𝑂𝐴))) → (𝑀 mod (𝑂𝐴)) = (𝑁 mod (𝑂𝐴)))
3331eqcomd 2740 . . . . . . 7 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ ((𝑀 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴)) → ((𝑁 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴) = ((𝑀 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴))
3413, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 11, 6, 30, 26, 33mndodconglem 19573 . . . . . 6 (((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ ((𝑀 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴)) ∧ (𝑁 mod (𝑂𝐴)) ≤ (𝑀 mod (𝑂𝐴))) → (𝑁 mod (𝑂𝐴)) = (𝑀 mod (𝑂𝐴)))
3534eqcomd 2740 . . . . 5 (((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ ((𝑀 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴)) ∧ (𝑁 mod (𝑂𝐴)) ≤ (𝑀 mod (𝑂𝐴))) → (𝑀 mod (𝑂𝐴)) = (𝑁 mod (𝑂𝐴)))
367, 12, 32, 35lecasei 11364 . . . 4 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ ((𝑀 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴)) → (𝑀 mod (𝑂𝐴)) = (𝑁 mod (𝑂𝐴)))
3736ex 412 . . 3 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (((𝑀 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴) → (𝑀 mod (𝑂𝐴)) = (𝑁 mod (𝑂𝐴))))
381, 37impbid2 226 . 2 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑀 mod (𝑂𝐴)) = (𝑁 mod (𝑂𝐴)) ↔ ((𝑀 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴)))
39 moddvds 16297 . . 3 (((𝑂𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 mod (𝑂𝐴)) = (𝑁 mod (𝑂𝐴)) ↔ (𝑂𝐴) ∥ (𝑀𝑁)))
404, 3, 9, 39syl3anc 1370 . 2 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑀 mod (𝑂𝐴)) = (𝑁 mod (𝑂𝐴)) ↔ (𝑂𝐴) ∥ (𝑀𝑁)))
4113, 14, 15, 16odmodnn0 19572 . . . 4 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑀 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴) = (𝑀 · 𝐴))
4217, 19, 2, 4, 41syl31anc 1372 . . 3 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑀 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴) = (𝑀 · 𝐴))
4313, 14, 15, 16odmodnn0 19572 . . . 4 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑁 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴))
4417, 19, 8, 4, 43syl31anc 1372 . . 3 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑁 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴))
4542, 44eqeq12d 2750 . 2 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (((𝑀 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴) ↔ (𝑀 · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴)))
4638, 40, 453bitr3d 309 1 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑂𝐴) ∥ (𝑀𝑁) ↔ (𝑀 · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105   class class class wbr 5147  cfv 6562  (class class class)co 7430  cr 11151   < clt 11292  cle 11293  cmin 11489  cn 12263  0cn0 12523  cz 12610  +crp 13031   mod cmo 13905  cdvds 16286  Basecbs 17244  0gc0g 17485  Mndcmnd 18759  .gcmg 19097  odcod 19556
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-sup 9479  df-inf 9480  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-rp 13032  df-fz 13544  df-fl 13828  df-mod 13906  df-seq 14039  df-dvds 16287  df-0g 17487  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-mulg 19098  df-od 19560
This theorem is referenced by:  mndodcongi  19575  oddvdsnn0  19576
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