Theorem mndodcong 19451

Description: If two multipliers are congruent relative to the base point's order, the corresponding multiples are the same. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
odcl.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
odcl.2	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
odid.3	⊢ · = (.g‘𝐺)
odid.4	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mndodcong	⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑂‘𝐴) ∥ (𝑀 − 𝑁) ↔ (𝑀 · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴)))

Proof of Theorem mndodcong

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7418	. . 3 ⊢ ((𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) = (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) → ((𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴))
2		simp2l 1197	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℕ0)
3	2	nn0zd 12588	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℤ)
4		simp3 1136	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ)
5	3, 4	zmodcld 13861	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) ∈ ℕ0)
6	5	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ ((𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴)) → (𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) ∈ ℕ0)
7	6	nn0red 12537	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ ((𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴)) → (𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) ∈ ℝ)
8		simp2r 1198	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
9	8	nn0zd 12588	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℤ)
10	9, 4	zmodcld 13861	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) ∈ ℕ0)
11	10	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ ((𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴)) → (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) ∈ ℕ0)
12	11	nn0red 12537	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ ((𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴)) → (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) ∈ ℝ)
13		odcl.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
14		odcl.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
15		odid.3	. . . . . 6 ⊢ · = (.g‘𝐺)
16		odid.4	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
17		simp1l 1195	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → 𝐺 ∈ Mnd)
18	17	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ ((𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴)) → 𝐺 ∈ Mnd)
19		simp1r 1196	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ 𝑋)
20	19	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ ((𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴)) → 𝐴 ∈ 𝑋)
21	4	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ ((𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴)) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ)
22	2	nn0red 12537	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℝ)
23	4	nnrpd 13018	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℝ+)
24		modlt 13849	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℝ+) → (𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) < (𝑂‘𝐴))
25	22, 23, 24	syl2anc 582	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) < (𝑂‘𝐴))
26	25	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ ((𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴)) → (𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) < (𝑂‘𝐴))
27	8	nn0red 12537	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
28		modlt 13849	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℝ+) → (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) < (𝑂‘𝐴))
29	27, 23, 28	syl2anc 582	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) < (𝑂‘𝐴))
30	29	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ ((𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴)) → (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) < (𝑂‘𝐴))
31		simpr 483	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ ((𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴)) → ((𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴))
32	13, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 6, 11, 26, 30, 31	mndodconglem 19450	. . . . 5 ⊢ (((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ ((𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴)) ∧ (𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) ≤ (𝑁 mod (𝑂‘𝐴))) → (𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) = (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)))
33	31	eqcomd 2736	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ ((𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴)) → ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = ((𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴))
34	13, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 11, 6, 30, 26, 33	mndodconglem 19450	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ ((𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴)) ∧ (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) ≤ (𝑀 mod (𝑂‘𝐴))) → (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) = (𝑀 mod (𝑂‘𝐴)))
35	34	eqcomd 2736	. . . . 5 ⊢ (((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ ((𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴)) ∧ (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) ≤ (𝑀 mod (𝑂‘𝐴))) → (𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) = (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)))
36	7, 12, 32, 35	lecasei 11324	. . . 4 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ ((𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴)) → (𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) = (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)))
37	36	ex 411	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (((𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) → (𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) = (𝑁 mod (𝑂‘𝐴))))
38	1, 37	impbid2 225	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) = (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) ↔ ((𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴)))
39		moddvds 16212	. . 3 ⊢ (((𝑂‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) = (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) ↔ (𝑂‘𝐴) ∥ (𝑀 − 𝑁)))
40	4, 3, 9, 39	syl3anc 1369	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) = (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) ↔ (𝑂‘𝐴) ∥ (𝑀 − 𝑁)))
41	13, 14, 15, 16	odmodnn0 19449	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = (𝑀 · 𝐴))
42	17, 19, 2, 4, 41	syl31anc 1371	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = (𝑀 · 𝐴))
43	13, 14, 15, 16	odmodnn0 19449	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴))
44	17, 19, 8, 4, 43	syl31anc 1371	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴))
45	42, 44	eqeq12d 2746	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (((𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) ↔ (𝑀 · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴)))
46	38, 40, 45	3bitr3d 308	1 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑂‘𝐴) ∥ (𝑀 − 𝑁) ↔ (𝑀 · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   class class class wbr 5147  ‘cfv 6542  (class class class)co 7411  ℝcr 11111   < clt 11252   ≤ cle 11253   − cmin 11448  ℕcn 12216  ℕ₀cn0 12476  ℤcz 12562  ℝ⁺crp 12978   mod cmo 13838   ∥ cdvds 16201  Basecbs 17148  0_gc0g 17389  Mndcmnd 18659  ._gcmg 18986  odcod 19433

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-fz 13489  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13971  df-dvds 16202  df-0g 17391  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mulg 18987  df-od 19437

This theorem is referenced by:  mndodcongi  19452  oddvdsnn0  19453