Theorem mndodcong 19669

Description: If two multipliers are congruent relative to the base point's order, the corresponding multiples are the same. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
odcl.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
odcl.2	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
odid.3	⊢ · = (.g‘𝐺)
odid.4	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mndodcong	⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑂‘𝐴) ∥ (𝑀 − 𝑁) ↔ (𝑀 · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴)))

Proof of Theorem mndodcong

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7420	. . 3 ⊢ ((𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) = (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) → ((𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴))
2		simp2l 1218	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℕ0)
3	2	nn0zd 12640	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℤ)
4		simp3 1156	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ)
5	3, 4	zmodcld 13953	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) ∈ ℕ0)
6	5	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ ((𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴)) → (𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) ∈ ℕ0)
7	6	nn0red 12590	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ ((𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴)) → (𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) ∈ ℝ)
8		simp2r 1219	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
9	8	nn0zd 12640	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℤ)
10	9, 4	zmodcld 13953	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) ∈ ℕ0)
11	10	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ ((𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴)) → (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) ∈ ℕ0)
12	11	nn0red 12590	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ ((𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴)) → (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) ∈ ℝ)
13		odcl.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
14		odcl.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
15		odid.3	. . . . . 6 ⊢ · = (.g‘𝐺)
16		odid.4	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
17		simp1l 1216	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → 𝐺 ∈ Mnd)
18	17	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ ((𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴)) → 𝐺 ∈ Mnd)
19		simp1r 1217	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ 𝑋)
20	19	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ ((𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴)) → 𝐴 ∈ 𝑋)
21	4	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ ((𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴)) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ)
22	2	nn0red 12590	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℝ)
23	4	nnrpd 13084	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℝ+)
24		modlt 13941	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℝ+) → (𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) < (𝑂‘𝐴))
25	22, 23, 24	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) < (𝑂‘𝐴))
26	25	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ ((𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴)) → (𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) < (𝑂‘𝐴))
27	8	nn0red 12590	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
28		modlt 13941	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℝ+) → (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) < (𝑂‘𝐴))
29	27, 23, 28	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) < (𝑂‘𝐴))
30	29	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ ((𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴)) → (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) < (𝑂‘𝐴))
31		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ ((𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴)) → ((𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴))
32	13, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 6, 11, 26, 30, 31	mndodconglem 19668	. . . . 5 ⊢ (((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ ((𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴)) ∧ (𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) ≤ (𝑁 mod (𝑂‘𝐴))) → (𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) = (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)))
33	31	eqcomd 2766	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ ((𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴)) → ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = ((𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴))
34	13, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 11, 6, 30, 26, 33	mndodconglem 19668	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ ((𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴)) ∧ (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) ≤ (𝑀 mod (𝑂‘𝐴))) → (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) = (𝑀 mod (𝑂‘𝐴)))
35	34	eqcomd 2766	. . . . 5 ⊢ (((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ ((𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴)) ∧ (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) ≤ (𝑀 mod (𝑂‘𝐴))) → (𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) = (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)))
36	7, 12, 32, 35	lecasei 11340	. . . 4 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ ((𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴)) → (𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) = (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)))
37	36	ex 418	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (((𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) → (𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) = (𝑁 mod (𝑂‘𝐴))))
38	1, 37	impbid2 229	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) = (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) ↔ ((𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴)))
39		moddvds 16353	. . 3 ⊢ (((𝑂‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) = (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) ↔ (𝑂‘𝐴) ∥ (𝑀 − 𝑁)))
40	4, 3, 9, 39	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) = (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) ↔ (𝑂‘𝐴) ∥ (𝑀 − 𝑁)))
41	13, 14, 15, 16	odmodnn0 19667	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = (𝑀 · 𝐴))
42	17, 19, 2, 4, 41	syl31anc 1400	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = (𝑀 · 𝐴))
43	13, 14, 15, 16	odmodnn0 19667	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴))
44	17, 19, 8, 4, 43	syl31anc 1400	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴))
45	42, 44	eqeq12d 2776	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (((𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) ↔ (𝑀 · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴)))
46	38, 40, 45	3bitr3d 312	1 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑂‘𝐴) ∥ (𝑀 − 𝑁) ↔ (𝑀 · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  ℝcr 11123   < clt 11267   ≤ cle 11268   − cmin 11465  ℕcn 12257  ℕ₀cn0 12528  ℤcz 12615  ℝ⁺crp 13042   mod cmo 13930   ∥ cdvds 16342  Basecbs 17301  0_gc0g 17524  Mndcmnd 18836  ._gcmg 19190  odcod 19651

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-sup 9412  df-inf 9413  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-div 11896  df-nn 12258  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12888  df-rp 13043  df-fz 13562  df-fl 13853  df-mod 13931  df-seq 14066  df-dvds 16343  df-0g 17526  df-mgm 18730  df-sgrp 18821  df-mnd 18837  df-mulg 19191  df-od 19655

This theorem is used by:  mndodcongi  19670  oddvdsnn0  19671