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Theorem mndodcong 19150
Description: If two multipliers are congruent relative to the base point's order, the corresponding multiples are the same. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odcl.1 𝑋 = (Base‘𝐺)
odcl.2 𝑂 = (od‘𝐺)
odid.3 · = (.g𝐺)
odid.4 0 = (0g𝐺)
Assertion
Ref Expression
mndodcong (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑂𝐴) ∥ (𝑀𝑁) ↔ (𝑀 · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴)))

Proof of Theorem mndodcong
StepHypRef Expression
1 oveq1 7282 . . 3 ((𝑀 mod (𝑂𝐴)) = (𝑁 mod (𝑂𝐴)) → ((𝑀 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴))
2 simp2l 1198 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℕ0)
32nn0zd 12424 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℤ)
4 simp3 1137 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (𝑂𝐴) ∈ ℕ)
53, 4zmodcld 13612 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (𝑀 mod (𝑂𝐴)) ∈ ℕ0)
65adantr 481 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ ((𝑀 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴)) → (𝑀 mod (𝑂𝐴)) ∈ ℕ0)
76nn0red 12294 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ ((𝑀 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴)) → (𝑀 mod (𝑂𝐴)) ∈ ℝ)
8 simp2r 1199 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
98nn0zd 12424 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℤ)
109, 4zmodcld 13612 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (𝑁 mod (𝑂𝐴)) ∈ ℕ0)
1110adantr 481 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ ((𝑀 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴)) → (𝑁 mod (𝑂𝐴)) ∈ ℕ0)
1211nn0red 12294 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ ((𝑀 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴)) → (𝑁 mod (𝑂𝐴)) ∈ ℝ)
13 odcl.1 . . . . . 6 𝑋 = (Base‘𝐺)
14 odcl.2 . . . . . 6 𝑂 = (od‘𝐺)
15 odid.3 . . . . . 6 · = (.g𝐺)
16 odid.4 . . . . . 6 0 = (0g𝐺)
17 simp1l 1196 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → 𝐺 ∈ Mnd)
1817adantr 481 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ ((𝑀 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴)) → 𝐺 ∈ Mnd)
19 simp1r 1197 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → 𝐴𝑋)
2019adantr 481 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ ((𝑀 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴)) → 𝐴𝑋)
214adantr 481 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ ((𝑀 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴)) → (𝑂𝐴) ∈ ℕ)
222nn0red 12294 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℝ)
234nnrpd 12770 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (𝑂𝐴) ∈ ℝ+)
24 modlt 13600 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℝ+) → (𝑀 mod (𝑂𝐴)) < (𝑂𝐴))
2522, 23, 24syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (𝑀 mod (𝑂𝐴)) < (𝑂𝐴))
2625adantr 481 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ ((𝑀 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴)) → (𝑀 mod (𝑂𝐴)) < (𝑂𝐴))
278nn0red 12294 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
28 modlt 13600 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℝ+) → (𝑁 mod (𝑂𝐴)) < (𝑂𝐴))
2927, 23, 28syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (𝑁 mod (𝑂𝐴)) < (𝑂𝐴))
3029adantr 481 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ ((𝑀 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴)) → (𝑁 mod (𝑂𝐴)) < (𝑂𝐴))
31 simpr 485 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ ((𝑀 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴)) → ((𝑀 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴))
3213, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 6, 11, 26, 30, 31mndodconglem 19149 . . . . 5 (((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ ((𝑀 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴)) ∧ (𝑀 mod (𝑂𝐴)) ≤ (𝑁 mod (𝑂𝐴))) → (𝑀 mod (𝑂𝐴)) = (𝑁 mod (𝑂𝐴)))
3331eqcomd 2744 . . . . . . 7 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ ((𝑀 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴)) → ((𝑁 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴) = ((𝑀 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴))
3413, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 11, 6, 30, 26, 33mndodconglem 19149 . . . . . 6 (((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ ((𝑀 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴)) ∧ (𝑁 mod (𝑂𝐴)) ≤ (𝑀 mod (𝑂𝐴))) → (𝑁 mod (𝑂𝐴)) = (𝑀 mod (𝑂𝐴)))
3534eqcomd 2744 . . . . 5 (((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ ((𝑀 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴)) ∧ (𝑁 mod (𝑂𝐴)) ≤ (𝑀 mod (𝑂𝐴))) → (𝑀 mod (𝑂𝐴)) = (𝑁 mod (𝑂𝐴)))
367, 12, 32, 35lecasei 11081 . . . 4 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ ((𝑀 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴)) → (𝑀 mod (𝑂𝐴)) = (𝑁 mod (𝑂𝐴)))
3736ex 413 . . 3 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (((𝑀 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴) → (𝑀 mod (𝑂𝐴)) = (𝑁 mod (𝑂𝐴))))
381, 37impbid2 225 . 2 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑀 mod (𝑂𝐴)) = (𝑁 mod (𝑂𝐴)) ↔ ((𝑀 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴)))
39 moddvds 15974 . . 3 (((𝑂𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 mod (𝑂𝐴)) = (𝑁 mod (𝑂𝐴)) ↔ (𝑂𝐴) ∥ (𝑀𝑁)))
404, 3, 9, 39syl3anc 1370 . 2 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑀 mod (𝑂𝐴)) = (𝑁 mod (𝑂𝐴)) ↔ (𝑂𝐴) ∥ (𝑀𝑁)))
4113, 14, 15, 16odmodnn0 19148 . . . 4 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑀 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴) = (𝑀 · 𝐴))
4217, 19, 2, 4, 41syl31anc 1372 . . 3 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑀 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴) = (𝑀 · 𝐴))
4313, 14, 15, 16odmodnn0 19148 . . . 4 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑁 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴))
4417, 19, 8, 4, 43syl31anc 1372 . . 3 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑁 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴))
4542, 44eqeq12d 2754 . 2 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (((𝑀 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴) ↔ (𝑀 · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴)))
4638, 40, 453bitr3d 309 1 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑂𝐴) ∥ (𝑀𝑁) ↔ (𝑀 · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2106   class class class wbr 5074  cfv 6433  (class class class)co 7275  cr 10870   < clt 11009  cle 11010  cmin 11205  cn 11973  0cn0 12233  cz 12319  +crp 12730   mod cmo 13589  cdvds 15963  Basecbs 16912  0gc0g 17150  Mndcmnd 18385  .gcmg 18700  odcod 19132
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-sup 9201  df-inf 9202  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-fz 13240  df-fl 13512  df-mod 13590  df-seq 13722  df-dvds 15964  df-0g 17152  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-mulg 18701  df-od 19136
This theorem is referenced by:  mndodcongi  19151  oddvdsnn0  19152
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