Theorem mndodcong 19807

Description: If two multipliers are congruent relative to the base point's order, the corresponding multiples are the same. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
odcl.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
odcl.2	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
odid.3	⊢ · = (.g‘𝐺)
odid.4	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mndodcong	⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑂‘𝐴) ∥ (𝑀 − 𝑁) ↔ (𝑀 · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴)))

Proof of Theorem mndodcong

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7458	. . 3 ⊢ ((𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) = (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) → ((𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴))
2		simp2l 1218	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℕ0)
3	2	nn0zd 12758	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℤ)
4		simp3 1156	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ)
5	3, 4	zmodcld 14072	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) ∈ ℕ0)
6	5	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ ((𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴)) → (𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) ∈ ℕ0)
7	6	nn0red 12708	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ ((𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴)) → (𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) ∈ ℝ)
8		simp2r 1219	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
9	8	nn0zd 12758	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℤ)
10	9, 4	zmodcld 14072	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) ∈ ℕ0)
11	10	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ ((𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴)) → (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) ∈ ℕ0)
12	11	nn0red 12708	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ ((𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴)) → (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) ∈ ℝ)
13		odcl.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
14		odcl.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
15		odid.3	. . . . . 6 ⊢ · = (.g‘𝐺)
16		odid.4	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
17		simp1l 1216	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → 𝐺 ∈ Mnd)
18	17	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ ((𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴)) → 𝐺 ∈ Mnd)
19		simp1r 1217	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ 𝑋)
20	19	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ ((𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴)) → 𝐴 ∈ 𝑋)
21	4	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ ((𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴)) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ)
22	2	nn0red 12708	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℝ)
23	4	nnrpd 13202	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℝ+)
24		modlt 14060	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℝ+) → (𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) < (𝑂‘𝐴))
25	22, 23, 24	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) < (𝑂‘𝐴))
26	25	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ ((𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴)) → (𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) < (𝑂‘𝐴))
27	8	nn0red 12708	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
28		modlt 14060	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℝ+) → (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) < (𝑂‘𝐴))
29	27, 23, 28	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) < (𝑂‘𝐴))
30	29	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ ((𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴)) → (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) < (𝑂‘𝐴))
31		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ ((𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴)) → ((𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴))
32	13, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 6, 11, 26, 30, 31	mndodconglem 19806	. . . . 5 ⊢ (((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ ((𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴)) ∧ (𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) ≤ (𝑁 mod (𝑂‘𝐴))) → (𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) = (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)))
33	31	eqcomd 2769	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ ((𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴)) → ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = ((𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴))
34	13, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 11, 6, 30, 26, 33	mndodconglem 19806	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ ((𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴)) ∧ (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) ≤ (𝑀 mod (𝑂‘𝐴))) → (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) = (𝑀 mod (𝑂‘𝐴)))
35	34	eqcomd 2769	. . . . 5 ⊢ (((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ ((𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴)) ∧ (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) ≤ (𝑀 mod (𝑂‘𝐴))) → (𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) = (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)))
36	7, 12, 32, 35	lecasei 11455	. . . 4 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ ((𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴)) → (𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) = (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)))
37	36	ex 418	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (((𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) → (𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) = (𝑁 mod (𝑂‘𝐴))))
38	1, 37	impbid2 229	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) = (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) ↔ ((𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴)))
39		moddvds 16477	. . 3 ⊢ (((𝑂‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) = (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) ↔ (𝑂‘𝐴) ∥ (𝑀 − 𝑁)))
40	4, 3, 9, 39	syl3anc 1399	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) = (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) ↔ (𝑂‘𝐴) ∥ (𝑀 − 𝑁)))
41	13, 14, 15, 16	odmodnn0 19805	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = (𝑀 · 𝐴))
42	17, 19, 2, 4, 41	syl31anc 1401	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = (𝑀 · 𝐴))
43	13, 14, 15, 16	odmodnn0 19805	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴))
44	17, 19, 8, 4, 43	syl31anc 1401	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴))
45	42, 44	eqeq12d 2779	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (((𝑀 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) ↔ (𝑀 · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴)))
46	38, 40, 45	3bitr3d 312	1 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑂‘𝐴) ∥ (𝑀 − 𝑁) ↔ (𝑀 · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5108  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  ℝcr 11238   < clt 11382   ≤ cle 11383   − cmin 11580  ℕcn 12375  ℕ₀cn0 12646  ℤcz 12733  ℝ⁺crp 13160   mod cmo 14049   ∥ cdvds 16466  Basecbs 17431  0_gc0g 17660  Mndcmnd 18973  ._gcmg 19327  odcod 19789

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-sup 9471  df-inf 9472  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-rp 13161  df-fz 13680  df-fl 13972  df-mod 14050  df-seq 14185  df-dvds 16467  df-0g 17662  df-mgm 18866  df-sgrp 18958  df-mnd 18974  df-mulg 19328  df-od 19793

This theorem is used by:  mndodcongi  19808  oddvdsnn0  19809