MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mndodcong Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mndodcong 18606
Description: If two multipliers are congruent relative to the base point's order, the corresponding multiples are the same. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odcl.1 𝑋 = (Base‘𝐺)
odcl.2 𝑂 = (od‘𝐺)
odid.3 · = (.g𝐺)
odid.4 0 = (0g𝐺)
Assertion
Ref Expression
mndodcong (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑂𝐴) ∥ (𝑀𝑁) ↔ (𝑀 · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴)))

Proof of Theorem mndodcong
StepHypRef Expression
1 oveq1 7157 . . 3 ((𝑀 mod (𝑂𝐴)) = (𝑁 mod (𝑂𝐴)) → ((𝑀 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴))
2 simp2l 1193 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℕ0)
32nn0zd 12079 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℤ)
4 simp3 1132 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (𝑂𝐴) ∈ ℕ)
53, 4zmodcld 13255 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (𝑀 mod (𝑂𝐴)) ∈ ℕ0)
65adantr 481 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ ((𝑀 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴)) → (𝑀 mod (𝑂𝐴)) ∈ ℕ0)
76nn0red 11950 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ ((𝑀 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴)) → (𝑀 mod (𝑂𝐴)) ∈ ℝ)
8 simp2r 1194 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
98nn0zd 12079 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℤ)
109, 4zmodcld 13255 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (𝑁 mod (𝑂𝐴)) ∈ ℕ0)
1110adantr 481 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ ((𝑀 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴)) → (𝑁 mod (𝑂𝐴)) ∈ ℕ0)
1211nn0red 11950 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ ((𝑀 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴)) → (𝑁 mod (𝑂𝐴)) ∈ ℝ)
13 odcl.1 . . . . . 6 𝑋 = (Base‘𝐺)
14 odcl.2 . . . . . 6 𝑂 = (od‘𝐺)
15 odid.3 . . . . . 6 · = (.g𝐺)
16 odid.4 . . . . . 6 0 = (0g𝐺)
17 simp1l 1191 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → 𝐺 ∈ Mnd)
1817adantr 481 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ ((𝑀 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴)) → 𝐺 ∈ Mnd)
19 simp1r 1192 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → 𝐴𝑋)
2019adantr 481 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ ((𝑀 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴)) → 𝐴𝑋)
214adantr 481 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ ((𝑀 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴)) → (𝑂𝐴) ∈ ℕ)
222nn0red 11950 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℝ)
234nnrpd 12424 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (𝑂𝐴) ∈ ℝ+)
24 modlt 13243 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℝ+) → (𝑀 mod (𝑂𝐴)) < (𝑂𝐴))
2522, 23, 24syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (𝑀 mod (𝑂𝐴)) < (𝑂𝐴))
2625adantr 481 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ ((𝑀 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴)) → (𝑀 mod (𝑂𝐴)) < (𝑂𝐴))
278nn0red 11950 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
28 modlt 13243 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℝ+) → (𝑁 mod (𝑂𝐴)) < (𝑂𝐴))
2927, 23, 28syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (𝑁 mod (𝑂𝐴)) < (𝑂𝐴))
3029adantr 481 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ ((𝑀 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴)) → (𝑁 mod (𝑂𝐴)) < (𝑂𝐴))
31 simpr 485 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ ((𝑀 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴)) → ((𝑀 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴))
3213, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 6, 11, 26, 30, 31mndodconglem 18605 . . . . 5 (((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ ((𝑀 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴)) ∧ (𝑀 mod (𝑂𝐴)) ≤ (𝑁 mod (𝑂𝐴))) → (𝑀 mod (𝑂𝐴)) = (𝑁 mod (𝑂𝐴)))
3331eqcomd 2832 . . . . . . 7 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ ((𝑀 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴)) → ((𝑁 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴) = ((𝑀 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴))
3413, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 11, 6, 30, 26, 33mndodconglem 18605 . . . . . 6 (((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ ((𝑀 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴)) ∧ (𝑁 mod (𝑂𝐴)) ≤ (𝑀 mod (𝑂𝐴))) → (𝑁 mod (𝑂𝐴)) = (𝑀 mod (𝑂𝐴)))
3534eqcomd 2832 . . . . 5 (((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ ((𝑀 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴)) ∧ (𝑁 mod (𝑂𝐴)) ≤ (𝑀 mod (𝑂𝐴))) → (𝑀 mod (𝑂𝐴)) = (𝑁 mod (𝑂𝐴)))
367, 12, 32, 35lecasei 10740 . . . 4 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ ((𝑀 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴)) → (𝑀 mod (𝑂𝐴)) = (𝑁 mod (𝑂𝐴)))
3736ex 413 . . 3 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (((𝑀 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴) → (𝑀 mod (𝑂𝐴)) = (𝑁 mod (𝑂𝐴))))
381, 37impbid2 227 . 2 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑀 mod (𝑂𝐴)) = (𝑁 mod (𝑂𝐴)) ↔ ((𝑀 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴)))
39 moddvds 15613 . . 3 (((𝑂𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 mod (𝑂𝐴)) = (𝑁 mod (𝑂𝐴)) ↔ (𝑂𝐴) ∥ (𝑀𝑁)))
404, 3, 9, 39syl3anc 1365 . 2 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑀 mod (𝑂𝐴)) = (𝑁 mod (𝑂𝐴)) ↔ (𝑂𝐴) ∥ (𝑀𝑁)))
4113, 14, 15, 16odmodnn0 18604 . . . 4 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑀 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴) = (𝑀 · 𝐴))
4217, 19, 2, 4, 41syl31anc 1367 . . 3 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑀 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴) = (𝑀 · 𝐴))
4313, 14, 15, 16odmodnn0 18604 . . . 4 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑁 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴))
4417, 19, 8, 4, 43syl31anc 1367 . . 3 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑁 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴))
4542, 44eqeq12d 2842 . 2 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (((𝑀 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴) ↔ (𝑀 · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴)))
4638, 40, 453bitr3d 310 1 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑂𝐴) ∥ (𝑀𝑁) ↔ (𝑀 · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107   class class class wbr 5063  cfv 6354  (class class class)co 7150  cr 10530   < clt 10669  cle 10670  cmin 10864  cn 11632  0cn0 11891  cz 11975  +crp 12384   mod cmo 13232  cdvds 15602  Basecbs 16478  0gc0g 16708  Mndcmnd 17906  .gcmg 18169  odcod 18588
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7574  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-er 8284  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-sup 8900  df-inf 8901  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-rp 12385  df-fz 12888  df-fl 13157  df-mod 13233  df-seq 13365  df-dvds 15603  df-0g 16710  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-mulg 18170  df-od 18592
This theorem is referenced by:  mndodcongi  18607  oddvdsnn0  18608
  Copyright terms: Public domain W3C validator