Theorem dyaddisj 25766

Description: Two closed dyadic rational intervals are either in a subset relationship or are almost disjoint (the interiors are disjoint). (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
dyadmbl.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩)

Assertion

Ref	Expression
dyaddisj	⊢ ((𝐴 ∈ ran 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ ran 𝐹) → (([,]‘𝐴) ⊆ ([,]‘𝐵) ∨ ([,]‘𝐵) ⊆ ([,]‘𝐴) ∨ (((,)‘𝐴) ∩ ((,)‘𝐵)) = ∅))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦

Proof of Theorem dyaddisj

Dummy variables 𝑐 𝑑 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dyadmbl.1	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩)
2	1	dyadf 25761	. . . 4 ⊢ 𝐹:(ℤ × ℕ0)⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ))
3		ffn 6705	. . . 4 ⊢ (𝐹:(ℤ × ℕ0)⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → 𝐹 Fn (ℤ × ℕ0))
4		ovelrn 7588	. . . . 5 ⊢ (𝐹 Fn (ℤ × ℕ0) → (𝐴 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑐 ∈ ℕ0 𝐴 = (𝑎𝐹𝑐)))
5		ovelrn 7588	. . . . 5 ⊢ (𝐹 Fn (ℤ × ℕ0) → (𝐵 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑏 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℕ0 𝐵 = (𝑏𝐹𝑑)))
6	4, 5	anbi12d 643	. . . 4 ⊢ (𝐹 Fn (ℤ × ℕ0) → ((𝐴 ∈ ran 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ ran 𝐹) ↔ (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑐 ∈ ℕ0 𝐴 = (𝑎𝐹𝑐) ∧ ∃𝑏 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℕ0 𝐵 = (𝑏𝐹𝑑))))
7	2, 3, 6	mp2b 10	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ran 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ ran 𝐹) ↔ (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑐 ∈ ℕ0 𝐴 = (𝑎𝐹𝑐) ∧ ∃𝑏 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℕ0 𝐵 = (𝑏𝐹𝑑)))
8		reeanv 3236	. . 3 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (∃𝑐 ∈ ℕ0 𝐴 = (𝑎𝐹𝑐) ∧ ∃𝑑 ∈ ℕ0 𝐵 = (𝑏𝐹𝑑)) ↔ (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑐 ∈ ℕ0 𝐴 = (𝑎𝐹𝑐) ∧ ∃𝑏 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℕ0 𝐵 = (𝑏𝐹𝑑)))
9	7, 8	bitr4i 281	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ran 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ ran 𝐹) ↔ ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (∃𝑐 ∈ ℕ0 𝐴 = (𝑎𝐹𝑐) ∧ ∃𝑑 ∈ ℕ0 𝐵 = (𝑏𝐹𝑑)))
10		reeanv 3236	. . . 4 ⊢ (∃𝑐 ∈ ℕ0 ∃𝑑 ∈ ℕ0 (𝐴 = (𝑎𝐹𝑐) ∧ 𝐵 = (𝑏𝐹𝑑)) ↔ (∃𝑐 ∈ ℕ0 𝐴 = (𝑎𝐹𝑐) ∧ ∃𝑑 ∈ ℕ0 𝐵 = (𝑏𝐹𝑑)))
11		nn0re 12519	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 ∈ ℕ0 → 𝑐 ∈ ℝ)
12	11	ad2antrl 740	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℕ0 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0)) → 𝑐 ∈ ℝ)
13		nn0re 12519	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑑 ∈ ℕ0 → 𝑑 ∈ ℝ)
14	13	ad2antll 741	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℕ0 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0)) → 𝑑 ∈ ℝ)
15	1	dyaddisjlem 25765	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℕ0 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑐 ≤ 𝑑) → (([,]‘(𝑎𝐹𝑐)) ⊆ ([,]‘(𝑏𝐹𝑑)) ∨ ([,]‘(𝑏𝐹𝑑)) ⊆ ([,]‘(𝑎𝐹𝑐)) ∨ (((,)‘(𝑎𝐹𝑐)) ∩ ((,)‘(𝑏𝐹𝑑))) = ∅))
16		ancom 465	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ↔ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ ℤ))
17		ancom 465	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑐 ∈ ℕ0 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ↔ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ 𝑐 ∈ ℕ0))
18	16, 17	anbi12i 639	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℕ0 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0)) ↔ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ 𝑐 ∈ ℕ0)))
19	1	dyaddisjlem 25765	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ 𝑐 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑑 ≤ 𝑐) → (([,]‘(𝑏𝐹𝑑)) ⊆ ([,]‘(𝑎𝐹𝑐)) ∨ ([,]‘(𝑎𝐹𝑐)) ⊆ ([,]‘(𝑏𝐹𝑑)) ∨ (((,)‘(𝑏𝐹𝑑)) ∩ ((,)‘(𝑎𝐹𝑐))) = ∅))
20	18, 19	sylanb 592	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℕ0 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑑 ≤ 𝑐) → (([,]‘(𝑏𝐹𝑑)) ⊆ ([,]‘(𝑎𝐹𝑐)) ∨ ([,]‘(𝑎𝐹𝑐)) ⊆ ([,]‘(𝑏𝐹𝑑)) ∨ (((,)‘(𝑏𝐹𝑑)) ∩ ((,)‘(𝑎𝐹𝑐))) = ∅))
21		orcom 883	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((([,]‘(𝑏𝐹𝑑)) ⊆ ([,]‘(𝑎𝐹𝑐)) ∨ ([,]‘(𝑎𝐹𝑐)) ⊆ ([,]‘(𝑏𝐹𝑑))) ↔ (([,]‘(𝑎𝐹𝑐)) ⊆ ([,]‘(𝑏𝐹𝑑)) ∨ ([,]‘(𝑏𝐹𝑑)) ⊆ ([,]‘(𝑎𝐹𝑐))))
22		incom 4161	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((,)‘(𝑏𝐹𝑑)) ∩ ((,)‘(𝑎𝐹𝑐))) = (((,)‘(𝑎𝐹𝑐)) ∩ ((,)‘(𝑏𝐹𝑑)))
23	22	eqeq1i 2767	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((,)‘(𝑏𝐹𝑑)) ∩ ((,)‘(𝑎𝐹𝑐))) = ∅ ↔ (((,)‘(𝑎𝐹𝑐)) ∩ ((,)‘(𝑏𝐹𝑑))) = ∅)
24	21, 23	orbi12i 927	. . . . . . . . 9 ⊢ (((([,]‘(𝑏𝐹𝑑)) ⊆ ([,]‘(𝑎𝐹𝑐)) ∨ ([,]‘(𝑎𝐹𝑐)) ⊆ ([,]‘(𝑏𝐹𝑑))) ∨ (((,)‘(𝑏𝐹𝑑)) ∩ ((,)‘(𝑎𝐹𝑐))) = ∅) ↔ ((([,]‘(𝑎𝐹𝑐)) ⊆ ([,]‘(𝑏𝐹𝑑)) ∨ ([,]‘(𝑏𝐹𝑑)) ⊆ ([,]‘(𝑎𝐹𝑐))) ∨ (((,)‘(𝑎𝐹𝑐)) ∩ ((,)‘(𝑏𝐹𝑑))) = ∅))
25		df-3or 1103	. . . . . . . . 9 ⊢ ((([,]‘(𝑏𝐹𝑑)) ⊆ ([,]‘(𝑎𝐹𝑐)) ∨ ([,]‘(𝑎𝐹𝑐)) ⊆ ([,]‘(𝑏𝐹𝑑)) ∨ (((,)‘(𝑏𝐹𝑑)) ∩ ((,)‘(𝑎𝐹𝑐))) = ∅) ↔ ((([,]‘(𝑏𝐹𝑑)) ⊆ ([,]‘(𝑎𝐹𝑐)) ∨ ([,]‘(𝑎𝐹𝑐)) ⊆ ([,]‘(𝑏𝐹𝑑))) ∨ (((,)‘(𝑏𝐹𝑑)) ∩ ((,)‘(𝑎𝐹𝑐))) = ∅))
26		df-3or 1103	. . . . . . . . 9 ⊢ ((([,]‘(𝑎𝐹𝑐)) ⊆ ([,]‘(𝑏𝐹𝑑)) ∨ ([,]‘(𝑏𝐹𝑑)) ⊆ ([,]‘(𝑎𝐹𝑐)) ∨ (((,)‘(𝑎𝐹𝑐)) ∩ ((,)‘(𝑏𝐹𝑑))) = ∅) ↔ ((([,]‘(𝑎𝐹𝑐)) ⊆ ([,]‘(𝑏𝐹𝑑)) ∨ ([,]‘(𝑏𝐹𝑑)) ⊆ ([,]‘(𝑎𝐹𝑐))) ∨ (((,)‘(𝑎𝐹𝑐)) ∩ ((,)‘(𝑏𝐹𝑑))) = ∅))
27	24, 25, 26	3bitr4i 306	. . . . . . . 8 ⊢ ((([,]‘(𝑏𝐹𝑑)) ⊆ ([,]‘(𝑎𝐹𝑐)) ∨ ([,]‘(𝑎𝐹𝑐)) ⊆ ([,]‘(𝑏𝐹𝑑)) ∨ (((,)‘(𝑏𝐹𝑑)) ∩ ((,)‘(𝑎𝐹𝑐))) = ∅) ↔ (([,]‘(𝑎𝐹𝑐)) ⊆ ([,]‘(𝑏𝐹𝑑)) ∨ ([,]‘(𝑏𝐹𝑑)) ⊆ ([,]‘(𝑎𝐹𝑐)) ∨ (((,)‘(𝑎𝐹𝑐)) ∩ ((,)‘(𝑏𝐹𝑑))) = ∅))
28	20, 27	sylib 221	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℕ0 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑑 ≤ 𝑐) → (([,]‘(𝑎𝐹𝑐)) ⊆ ([,]‘(𝑏𝐹𝑑)) ∨ ([,]‘(𝑏𝐹𝑑)) ⊆ ([,]‘(𝑎𝐹𝑐)) ∨ (((,)‘(𝑎𝐹𝑐)) ∩ ((,)‘(𝑏𝐹𝑑))) = ∅))
29	12, 14, 15, 28	lecasei 11322	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℕ0 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0)) → (([,]‘(𝑎𝐹𝑐)) ⊆ ([,]‘(𝑏𝐹𝑑)) ∨ ([,]‘(𝑏𝐹𝑑)) ⊆ ([,]‘(𝑎𝐹𝑐)) ∨ (((,)‘(𝑎𝐹𝑐)) ∩ ((,)‘(𝑏𝐹𝑑))) = ∅))
30		simpl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 = (𝑎𝐹𝑐) ∧ 𝐵 = (𝑏𝐹𝑑)) → 𝐴 = (𝑎𝐹𝑐))
31	30	fveq2d 6885	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 = (𝑎𝐹𝑐) ∧ 𝐵 = (𝑏𝐹𝑑)) → ([,]‘𝐴) = ([,]‘(𝑎𝐹𝑐)))
32		simpr 489	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 = (𝑎𝐹𝑐) ∧ 𝐵 = (𝑏𝐹𝑑)) → 𝐵 = (𝑏𝐹𝑑))
33	32	fveq2d 6885	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 = (𝑎𝐹𝑐) ∧ 𝐵 = (𝑏𝐹𝑑)) → ([,]‘𝐵) = ([,]‘(𝑏𝐹𝑑)))
34	31, 33	sseq12d 3969	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 = (𝑎𝐹𝑐) ∧ 𝐵 = (𝑏𝐹𝑑)) → (([,]‘𝐴) ⊆ ([,]‘𝐵) ↔ ([,]‘(𝑎𝐹𝑐)) ⊆ ([,]‘(𝑏𝐹𝑑))))
35	33, 31	sseq12d 3969	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 = (𝑎𝐹𝑐) ∧ 𝐵 = (𝑏𝐹𝑑)) → (([,]‘𝐵) ⊆ ([,]‘𝐴) ↔ ([,]‘(𝑏𝐹𝑑)) ⊆ ([,]‘(𝑎𝐹𝑐))))
36	30	fveq2d 6885	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 = (𝑎𝐹𝑐) ∧ 𝐵 = (𝑏𝐹𝑑)) → ((,)‘𝐴) = ((,)‘(𝑎𝐹𝑐)))
37	32	fveq2d 6885	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 = (𝑎𝐹𝑐) ∧ 𝐵 = (𝑏𝐹𝑑)) → ((,)‘𝐵) = ((,)‘(𝑏𝐹𝑑)))
38	36, 37	ineq12d 4173	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 = (𝑎𝐹𝑐) ∧ 𝐵 = (𝑏𝐹𝑑)) → (((,)‘𝐴) ∩ ((,)‘𝐵)) = (((,)‘(𝑎𝐹𝑐)) ∩ ((,)‘(𝑏𝐹𝑑))))
39	38	eqeq1d 2764	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 = (𝑎𝐹𝑐) ∧ 𝐵 = (𝑏𝐹𝑑)) → ((((,)‘𝐴) ∩ ((,)‘𝐵)) = ∅ ↔ (((,)‘(𝑎𝐹𝑐)) ∩ ((,)‘(𝑏𝐹𝑑))) = ∅))
40	34, 35, 39	3orbi123d 1462	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 = (𝑎𝐹𝑐) ∧ 𝐵 = (𝑏𝐹𝑑)) → ((([,]‘𝐴) ⊆ ([,]‘𝐵) ∨ ([,]‘𝐵) ⊆ ([,]‘𝐴) ∨ (((,)‘𝐴) ∩ ((,)‘𝐵)) = ∅) ↔ (([,]‘(𝑎𝐹𝑐)) ⊆ ([,]‘(𝑏𝐹𝑑)) ∨ ([,]‘(𝑏𝐹𝑑)) ⊆ ([,]‘(𝑎𝐹𝑐)) ∨ (((,)‘(𝑎𝐹𝑐)) ∩ ((,)‘(𝑏𝐹𝑑))) = ∅)))
41	29, 40	syl5ibrcom 250	. . . . 5 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℕ0 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0)) → ((𝐴 = (𝑎𝐹𝑐) ∧ 𝐵 = (𝑏𝐹𝑑)) → (([,]‘𝐴) ⊆ ([,]‘𝐵) ∨ ([,]‘𝐵) ⊆ ([,]‘𝐴) ∨ (((,)‘𝐴) ∩ ((,)‘𝐵)) = ∅)))
42	41	rexlimdvva 3221	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (∃𝑐 ∈ ℕ0 ∃𝑑 ∈ ℕ0 (𝐴 = (𝑎𝐹𝑐) ∧ 𝐵 = (𝑏𝐹𝑑)) → (([,]‘𝐴) ⊆ ([,]‘𝐵) ∨ ([,]‘𝐵) ⊆ ([,]‘𝐴) ∨ (((,)‘𝐴) ∩ ((,)‘𝐵)) = ∅)))
43	10, 42	biimtrrid 246	. . 3 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → ((∃𝑐 ∈ ℕ0 𝐴 = (𝑎𝐹𝑐) ∧ ∃𝑑 ∈ ℕ0 𝐵 = (𝑏𝐹𝑑)) → (([,]‘𝐴) ⊆ ([,]‘𝐵) ∨ ([,]‘𝐵) ⊆ ([,]‘𝐴) ∨ (((,)‘𝐴) ∩ ((,)‘𝐵)) = ∅)))
44	43	rexlimivv 3206	. 2 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (∃𝑐 ∈ ℕ0 𝐴 = (𝑎𝐹𝑐) ∧ ∃𝑑 ∈ ℕ0 𝐵 = (𝑏𝐹𝑑)) → (([,]‘𝐴) ⊆ ([,]‘𝐵) ∨ ([,]‘𝐵) ⊆ ([,]‘𝐴) ∨ (((,)‘𝐴) ∩ ((,)‘𝐵)) = ∅))
45	9, 44	sylbi 220	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ran 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ ran 𝐹) → (([,]‘𝐴) ⊆ ([,]‘𝐵) ∨ ([,]‘𝐵) ⊆ ([,]‘𝐴) ∨ (((,)‘𝐴) ∩ ((,)‘𝐵)) = ∅))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   ∨ w3o 1101   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  ∃wrex 3088   ∩ cin 3903   ⊆ wss 3904  ∅c0 4285  ⟨cop 4594   class class class wbr 5108   × cxp 5658  ran crn 5661   Fn wfn 6531  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412   ∈ cmpo 7414  ℝcr 11105  1c1 11107   + caddc 11109   ≤ cle 11250   / cdiv 11877  2c2 12301  ℕ₀cn0 12510  ℤcz 12597  (,)cioo 13378  [,]cicc 13381  ↑cexp 14104

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-div 11878  df-nn 12240  df-2 12309  df-n0 12511  df-z 12598  df-uz 12869  df-ioo 13382  df-icc 13385  df-seq 14045  df-exp 14105

This theorem is used by:  dyadmbl  25770  mblfinlem2  38337