MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dyaddisj Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dyaddisj 24832
Description: Two closed dyadic rational intervals are either in a subset relationship or are almost disjoint (the interiors are disjoint). (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
dyadmbl.1 𝐹 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩)
Assertion
Ref Expression
dyaddisj ((𝐴 ∈ ran 𝐹𝐵 ∈ ran 𝐹) → (([,]‘𝐴) ⊆ ([,]‘𝐵) ∨ ([,]‘𝐵) ⊆ ([,]‘𝐴) ∨ (((,)‘𝐴) ∩ ((,)‘𝐵)) = ∅))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦

Proof of Theorem dyaddisj
Dummy variables 𝑐 𝑑 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dyadmbl.1 . . . . 5 𝐹 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩)
21dyadf 24827 . . . 4 𝐹:(ℤ × ℕ0)⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ))
3 ffn 6637 . . . 4 (𝐹:(ℤ × ℕ0)⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → 𝐹 Fn (ℤ × ℕ0))
4 ovelrn 7488 . . . . 5 (𝐹 Fn (ℤ × ℕ0) → (𝐴 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑐 ∈ ℕ0 𝐴 = (𝑎𝐹𝑐)))
5 ovelrn 7488 . . . . 5 (𝐹 Fn (ℤ × ℕ0) → (𝐵 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑏 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℕ0 𝐵 = (𝑏𝐹𝑑)))
64, 5anbi12d 631 . . . 4 (𝐹 Fn (ℤ × ℕ0) → ((𝐴 ∈ ran 𝐹𝐵 ∈ ran 𝐹) ↔ (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑐 ∈ ℕ0 𝐴 = (𝑎𝐹𝑐) ∧ ∃𝑏 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℕ0 𝐵 = (𝑏𝐹𝑑))))
72, 3, 6mp2b 10 . . 3 ((𝐴 ∈ ran 𝐹𝐵 ∈ ran 𝐹) ↔ (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑐 ∈ ℕ0 𝐴 = (𝑎𝐹𝑐) ∧ ∃𝑏 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℕ0 𝐵 = (𝑏𝐹𝑑)))
8 reeanv 3214 . . 3 (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (∃𝑐 ∈ ℕ0 𝐴 = (𝑎𝐹𝑐) ∧ ∃𝑑 ∈ ℕ0 𝐵 = (𝑏𝐹𝑑)) ↔ (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑐 ∈ ℕ0 𝐴 = (𝑎𝐹𝑐) ∧ ∃𝑏 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℕ0 𝐵 = (𝑏𝐹𝑑)))
97, 8bitr4i 277 . 2 ((𝐴 ∈ ran 𝐹𝐵 ∈ ran 𝐹) ↔ ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (∃𝑐 ∈ ℕ0 𝐴 = (𝑎𝐹𝑐) ∧ ∃𝑑 ∈ ℕ0 𝐵 = (𝑏𝐹𝑑)))
10 reeanv 3214 . . . 4 (∃𝑐 ∈ ℕ0𝑑 ∈ ℕ0 (𝐴 = (𝑎𝐹𝑐) ∧ 𝐵 = (𝑏𝐹𝑑)) ↔ (∃𝑐 ∈ ℕ0 𝐴 = (𝑎𝐹𝑐) ∧ ∃𝑑 ∈ ℕ0 𝐵 = (𝑏𝐹𝑑)))
11 nn0re 12315 . . . . . . . 8 (𝑐 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℝ)
1211ad2antrl 725 . . . . . . 7 (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℕ0𝑑 ∈ ℕ0)) → 𝑐 ∈ ℝ)
13 nn0re 12315 . . . . . . . 8 (𝑑 ∈ ℕ0𝑑 ∈ ℝ)
1413ad2antll 726 . . . . . . 7 (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℕ0𝑑 ∈ ℕ0)) → 𝑑 ∈ ℝ)
151dyaddisjlem 24831 . . . . . . 7 ((((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℕ0𝑑 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑐𝑑) → (([,]‘(𝑎𝐹𝑐)) ⊆ ([,]‘(𝑏𝐹𝑑)) ∨ ([,]‘(𝑏𝐹𝑑)) ⊆ ([,]‘(𝑎𝐹𝑐)) ∨ (((,)‘(𝑎𝐹𝑐)) ∩ ((,)‘(𝑏𝐹𝑑))) = ∅))
16 ancom 461 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ↔ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ ℤ))
17 ancom 461 . . . . . . . . . 10 ((𝑐 ∈ ℕ0𝑑 ∈ ℕ0) ↔ (𝑑 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0))
1816, 17anbi12i 627 . . . . . . . . 9 (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℕ0𝑑 ∈ ℕ0)) ↔ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0)))
191dyaddisjlem 24831 . . . . . . . . 9 ((((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑑𝑐) → (([,]‘(𝑏𝐹𝑑)) ⊆ ([,]‘(𝑎𝐹𝑐)) ∨ ([,]‘(𝑎𝐹𝑐)) ⊆ ([,]‘(𝑏𝐹𝑑)) ∨ (((,)‘(𝑏𝐹𝑑)) ∩ ((,)‘(𝑎𝐹𝑐))) = ∅))
2018, 19sylanb 581 . . . . . . . 8 ((((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℕ0𝑑 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑑𝑐) → (([,]‘(𝑏𝐹𝑑)) ⊆ ([,]‘(𝑎𝐹𝑐)) ∨ ([,]‘(𝑎𝐹𝑐)) ⊆ ([,]‘(𝑏𝐹𝑑)) ∨ (((,)‘(𝑏𝐹𝑑)) ∩ ((,)‘(𝑎𝐹𝑐))) = ∅))
21 orcom 867 . . . . . . . . . 10 ((([,]‘(𝑏𝐹𝑑)) ⊆ ([,]‘(𝑎𝐹𝑐)) ∨ ([,]‘(𝑎𝐹𝑐)) ⊆ ([,]‘(𝑏𝐹𝑑))) ↔ (([,]‘(𝑎𝐹𝑐)) ⊆ ([,]‘(𝑏𝐹𝑑)) ∨ ([,]‘(𝑏𝐹𝑑)) ⊆ ([,]‘(𝑎𝐹𝑐))))
22 incom 4146 . . . . . . . . . . 11 (((,)‘(𝑏𝐹𝑑)) ∩ ((,)‘(𝑎𝐹𝑐))) = (((,)‘(𝑎𝐹𝑐)) ∩ ((,)‘(𝑏𝐹𝑑)))
2322eqeq1i 2742 . . . . . . . . . 10 ((((,)‘(𝑏𝐹𝑑)) ∩ ((,)‘(𝑎𝐹𝑐))) = ∅ ↔ (((,)‘(𝑎𝐹𝑐)) ∩ ((,)‘(𝑏𝐹𝑑))) = ∅)
2421, 23orbi12i 912 . . . . . . . . 9 (((([,]‘(𝑏𝐹𝑑)) ⊆ ([,]‘(𝑎𝐹𝑐)) ∨ ([,]‘(𝑎𝐹𝑐)) ⊆ ([,]‘(𝑏𝐹𝑑))) ∨ (((,)‘(𝑏𝐹𝑑)) ∩ ((,)‘(𝑎𝐹𝑐))) = ∅) ↔ ((([,]‘(𝑎𝐹𝑐)) ⊆ ([,]‘(𝑏𝐹𝑑)) ∨ ([,]‘(𝑏𝐹𝑑)) ⊆ ([,]‘(𝑎𝐹𝑐))) ∨ (((,)‘(𝑎𝐹𝑐)) ∩ ((,)‘(𝑏𝐹𝑑))) = ∅))
25 df-3or 1087 . . . . . . . . 9 ((([,]‘(𝑏𝐹𝑑)) ⊆ ([,]‘(𝑎𝐹𝑐)) ∨ ([,]‘(𝑎𝐹𝑐)) ⊆ ([,]‘(𝑏𝐹𝑑)) ∨ (((,)‘(𝑏𝐹𝑑)) ∩ ((,)‘(𝑎𝐹𝑐))) = ∅) ↔ ((([,]‘(𝑏𝐹𝑑)) ⊆ ([,]‘(𝑎𝐹𝑐)) ∨ ([,]‘(𝑎𝐹𝑐)) ⊆ ([,]‘(𝑏𝐹𝑑))) ∨ (((,)‘(𝑏𝐹𝑑)) ∩ ((,)‘(𝑎𝐹𝑐))) = ∅))
26 df-3or 1087 . . . . . . . . 9 ((([,]‘(𝑎𝐹𝑐)) ⊆ ([,]‘(𝑏𝐹𝑑)) ∨ ([,]‘(𝑏𝐹𝑑)) ⊆ ([,]‘(𝑎𝐹𝑐)) ∨ (((,)‘(𝑎𝐹𝑐)) ∩ ((,)‘(𝑏𝐹𝑑))) = ∅) ↔ ((([,]‘(𝑎𝐹𝑐)) ⊆ ([,]‘(𝑏𝐹𝑑)) ∨ ([,]‘(𝑏𝐹𝑑)) ⊆ ([,]‘(𝑎𝐹𝑐))) ∨ (((,)‘(𝑎𝐹𝑐)) ∩ ((,)‘(𝑏𝐹𝑑))) = ∅))
2724, 25, 263bitr4i 302 . . . . . . . 8 ((([,]‘(𝑏𝐹𝑑)) ⊆ ([,]‘(𝑎𝐹𝑐)) ∨ ([,]‘(𝑎𝐹𝑐)) ⊆ ([,]‘(𝑏𝐹𝑑)) ∨ (((,)‘(𝑏𝐹𝑑)) ∩ ((,)‘(𝑎𝐹𝑐))) = ∅) ↔ (([,]‘(𝑎𝐹𝑐)) ⊆ ([,]‘(𝑏𝐹𝑑)) ∨ ([,]‘(𝑏𝐹𝑑)) ⊆ ([,]‘(𝑎𝐹𝑐)) ∨ (((,)‘(𝑎𝐹𝑐)) ∩ ((,)‘(𝑏𝐹𝑑))) = ∅))
2820, 27sylib 217 . . . . . . 7 ((((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℕ0𝑑 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑑𝑐) → (([,]‘(𝑎𝐹𝑐)) ⊆ ([,]‘(𝑏𝐹𝑑)) ∨ ([,]‘(𝑏𝐹𝑑)) ⊆ ([,]‘(𝑎𝐹𝑐)) ∨ (((,)‘(𝑎𝐹𝑐)) ∩ ((,)‘(𝑏𝐹𝑑))) = ∅))
2912, 14, 15, 28lecasei 11154 . . . . . 6 (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℕ0𝑑 ∈ ℕ0)) → (([,]‘(𝑎𝐹𝑐)) ⊆ ([,]‘(𝑏𝐹𝑑)) ∨ ([,]‘(𝑏𝐹𝑑)) ⊆ ([,]‘(𝑎𝐹𝑐)) ∨ (((,)‘(𝑎𝐹𝑐)) ∩ ((,)‘(𝑏𝐹𝑑))) = ∅))
30 simpl 483 . . . . . . . . 9 ((𝐴 = (𝑎𝐹𝑐) ∧ 𝐵 = (𝑏𝐹𝑑)) → 𝐴 = (𝑎𝐹𝑐))
3130fveq2d 6815 . . . . . . . 8 ((𝐴 = (𝑎𝐹𝑐) ∧ 𝐵 = (𝑏𝐹𝑑)) → ([,]‘𝐴) = ([,]‘(𝑎𝐹𝑐)))
32 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((𝐴 = (𝑎𝐹𝑐) ∧ 𝐵 = (𝑏𝐹𝑑)) → 𝐵 = (𝑏𝐹𝑑))
3332fveq2d 6815 . . . . . . . 8 ((𝐴 = (𝑎𝐹𝑐) ∧ 𝐵 = (𝑏𝐹𝑑)) → ([,]‘𝐵) = ([,]‘(𝑏𝐹𝑑)))
3431, 33sseq12d 3964 . . . . . . 7 ((𝐴 = (𝑎𝐹𝑐) ∧ 𝐵 = (𝑏𝐹𝑑)) → (([,]‘𝐴) ⊆ ([,]‘𝐵) ↔ ([,]‘(𝑎𝐹𝑐)) ⊆ ([,]‘(𝑏𝐹𝑑))))
3533, 31sseq12d 3964 . . . . . . 7 ((𝐴 = (𝑎𝐹𝑐) ∧ 𝐵 = (𝑏𝐹𝑑)) → (([,]‘𝐵) ⊆ ([,]‘𝐴) ↔ ([,]‘(𝑏𝐹𝑑)) ⊆ ([,]‘(𝑎𝐹𝑐))))
3630fveq2d 6815 . . . . . . . . 9 ((𝐴 = (𝑎𝐹𝑐) ∧ 𝐵 = (𝑏𝐹𝑑)) → ((,)‘𝐴) = ((,)‘(𝑎𝐹𝑐)))
3732fveq2d 6815 . . . . . . . . 9 ((𝐴 = (𝑎𝐹𝑐) ∧ 𝐵 = (𝑏𝐹𝑑)) → ((,)‘𝐵) = ((,)‘(𝑏𝐹𝑑)))
3836, 37ineq12d 4158 . . . . . . . 8 ((𝐴 = (𝑎𝐹𝑐) ∧ 𝐵 = (𝑏𝐹𝑑)) → (((,)‘𝐴) ∩ ((,)‘𝐵)) = (((,)‘(𝑎𝐹𝑐)) ∩ ((,)‘(𝑏𝐹𝑑))))
3938eqeq1d 2739 . . . . . . 7 ((𝐴 = (𝑎𝐹𝑐) ∧ 𝐵 = (𝑏𝐹𝑑)) → ((((,)‘𝐴) ∩ ((,)‘𝐵)) = ∅ ↔ (((,)‘(𝑎𝐹𝑐)) ∩ ((,)‘(𝑏𝐹𝑑))) = ∅))
4034, 35, 393orbi123d 1434 . . . . . 6 ((𝐴 = (𝑎𝐹𝑐) ∧ 𝐵 = (𝑏𝐹𝑑)) → ((([,]‘𝐴) ⊆ ([,]‘𝐵) ∨ ([,]‘𝐵) ⊆ ([,]‘𝐴) ∨ (((,)‘𝐴) ∩ ((,)‘𝐵)) = ∅) ↔ (([,]‘(𝑎𝐹𝑐)) ⊆ ([,]‘(𝑏𝐹𝑑)) ∨ ([,]‘(𝑏𝐹𝑑)) ⊆ ([,]‘(𝑎𝐹𝑐)) ∨ (((,)‘(𝑎𝐹𝑐)) ∩ ((,)‘(𝑏𝐹𝑑))) = ∅)))
4129, 40syl5ibrcom 246 . . . . 5 (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℕ0𝑑 ∈ ℕ0)) → ((𝐴 = (𝑎𝐹𝑐) ∧ 𝐵 = (𝑏𝐹𝑑)) → (([,]‘𝐴) ⊆ ([,]‘𝐵) ∨ ([,]‘𝐵) ⊆ ([,]‘𝐴) ∨ (((,)‘𝐴) ∩ ((,)‘𝐵)) = ∅)))
4241rexlimdvva 3202 . . . 4 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (∃𝑐 ∈ ℕ0𝑑 ∈ ℕ0 (𝐴 = (𝑎𝐹𝑐) ∧ 𝐵 = (𝑏𝐹𝑑)) → (([,]‘𝐴) ⊆ ([,]‘𝐵) ∨ ([,]‘𝐵) ⊆ ([,]‘𝐴) ∨ (((,)‘𝐴) ∩ ((,)‘𝐵)) = ∅)))
4310, 42syl5bir 242 . . 3 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → ((∃𝑐 ∈ ℕ0 𝐴 = (𝑎𝐹𝑐) ∧ ∃𝑑 ∈ ℕ0 𝐵 = (𝑏𝐹𝑑)) → (([,]‘𝐴) ⊆ ([,]‘𝐵) ∨ ([,]‘𝐵) ⊆ ([,]‘𝐴) ∨ (((,)‘𝐴) ∩ ((,)‘𝐵)) = ∅)))
4443rexlimivv 3193 . 2 (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (∃𝑐 ∈ ℕ0 𝐴 = (𝑎𝐹𝑐) ∧ ∃𝑑 ∈ ℕ0 𝐵 = (𝑏𝐹𝑑)) → (([,]‘𝐴) ⊆ ([,]‘𝐵) ∨ ([,]‘𝐵) ⊆ ([,]‘𝐴) ∨ (((,)‘𝐴) ∩ ((,)‘𝐵)) = ∅))
459, 44sylbi 216 1 ((𝐴 ∈ ran 𝐹𝐵 ∈ ran 𝐹) → (([,]‘𝐴) ⊆ ([,]‘𝐵) ∨ ([,]‘𝐵) ⊆ ([,]‘𝐴) ∨ (((,)‘𝐴) ∩ ((,)‘𝐵)) = ∅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  wo 844  w3o 1085   = wceq 1540  wcel 2105  wrex 3071  cin 3896  wss 3897  c0 4267  cop 4577   class class class wbr 5087   × cxp 5605  ran crn 5608   Fn wfn 6460  wf 6461  cfv 6465  (class class class)co 7315  cmpo 7317  cr 10943  1c1 10945   + caddc 10947  cle 11083   / cdiv 11705  2c2 12101  0cn0 12306  cz 12392  (,)cioo 13152  [,]cicc 13155  cexp 13855
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-sep 5238  ax-nul 5245  ax-pow 5303  ax-pr 5367  ax-un 7628  ax-cnex 11000  ax-resscn 11001  ax-1cn 11002  ax-icn 11003  ax-addcl 11004  ax-addrcl 11005  ax-mulcl 11006  ax-mulrcl 11007  ax-mulcom 11008  ax-addass 11009  ax-mulass 11010  ax-distr 11011  ax-i2m1 11012  ax-1ne0 11013  ax-1rid 11014  ax-rnegex 11015  ax-rrecex 11016  ax-cnre 11017  ax-pre-lttri 11018  ax-pre-lttrn 11019  ax-pre-ltadd 11020  ax-pre-mulgt0 11021
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4268  df-if 4472  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4851  df-iun 4939  df-br 5088  df-opab 5150  df-mpt 5171  df-tr 5205  df-id 5507  df-eprel 5513  df-po 5521  df-so 5522  df-fr 5562  df-we 5564  df-xp 5613  df-rel 5614  df-cnv 5615  df-co 5616  df-dm 5617  df-rn 5618  df-res 5619  df-ima 5620  df-pred 6224  df-ord 6291  df-on 6292  df-lim 6293  df-suc 6294  df-iota 6417  df-fun 6467  df-fn 6468  df-f 6469  df-f1 6470  df-fo 6471  df-f1o 6472  df-fv 6473  df-riota 7272  df-ov 7318  df-oprab 7319  df-mpo 7320  df-om 7758  df-1st 7876  df-2nd 7877  df-frecs 8144  df-wrecs 8175  df-recs 8249  df-rdg 8288  df-er 8546  df-en 8782  df-dom 8783  df-sdom 8784  df-pnf 11084  df-mnf 11085  df-xr 11086  df-ltxr 11087  df-le 11088  df-sub 11280  df-neg 11281  df-div 11706  df-nn 12047  df-2 12109  df-n0 12307  df-z 12393  df-uz 12656  df-ioo 13156  df-icc 13159  df-seq 13795  df-exp 13856
This theorem is referenced by:  dyadmbl  24836  mblfinlem2  35871
  Copyright terms: Public domain W3C validator