Theorem dyaddisj 25113

Description: Two closed dyadic rational intervals are either in a subset relationship or are almost disjoint (the interiors are disjoint). (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
dyadmbl.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩)

Assertion

Ref	Expression
dyaddisj	⊢ ((𝐴 ∈ ran 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ ran 𝐹) → (([,]‘𝐴) ⊆ ([,]‘𝐵) ∨ ([,]‘𝐵) ⊆ ([,]‘𝐴) ∨ (((,)‘𝐴) ∩ ((,)‘𝐵)) = ∅))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦

Proof of Theorem dyaddisj

Dummy variables 𝑐 𝑑 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dyadmbl.1	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩)
2	1	dyadf 25108	. . . 4 ⊢ 𝐹:(ℤ × ℕ0)⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ))
3		ffn 6718	. . . 4 ⊢ (𝐹:(ℤ × ℕ0)⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → 𝐹 Fn (ℤ × ℕ0))
4		ovelrn 7583	. . . . 5 ⊢ (𝐹 Fn (ℤ × ℕ0) → (𝐴 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑐 ∈ ℕ0 𝐴 = (𝑎𝐹𝑐)))
5		ovelrn 7583	. . . . 5 ⊢ (𝐹 Fn (ℤ × ℕ0) → (𝐵 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑏 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℕ0 𝐵 = (𝑏𝐹𝑑)))
6	4, 5	anbi12d 632	. . . 4 ⊢ (𝐹 Fn (ℤ × ℕ0) → ((𝐴 ∈ ran 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ ran 𝐹) ↔ (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑐 ∈ ℕ0 𝐴 = (𝑎𝐹𝑐) ∧ ∃𝑏 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℕ0 𝐵 = (𝑏𝐹𝑑))))
7	2, 3, 6	mp2b 10	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ran 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ ran 𝐹) ↔ (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑐 ∈ ℕ0 𝐴 = (𝑎𝐹𝑐) ∧ ∃𝑏 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℕ0 𝐵 = (𝑏𝐹𝑑)))
8		reeanv 3227	. . 3 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (∃𝑐 ∈ ℕ0 𝐴 = (𝑎𝐹𝑐) ∧ ∃𝑑 ∈ ℕ0 𝐵 = (𝑏𝐹𝑑)) ↔ (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑐 ∈ ℕ0 𝐴 = (𝑎𝐹𝑐) ∧ ∃𝑏 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℕ0 𝐵 = (𝑏𝐹𝑑)))
9	7, 8	bitr4i 278	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ran 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ ran 𝐹) ↔ ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (∃𝑐 ∈ ℕ0 𝐴 = (𝑎𝐹𝑐) ∧ ∃𝑑 ∈ ℕ0 𝐵 = (𝑏𝐹𝑑)))
10		reeanv 3227	. . . 4 ⊢ (∃𝑐 ∈ ℕ0 ∃𝑑 ∈ ℕ0 (𝐴 = (𝑎𝐹𝑐) ∧ 𝐵 = (𝑏𝐹𝑑)) ↔ (∃𝑐 ∈ ℕ0 𝐴 = (𝑎𝐹𝑐) ∧ ∃𝑑 ∈ ℕ0 𝐵 = (𝑏𝐹𝑑)))
11		nn0re 12481	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 ∈ ℕ0 → 𝑐 ∈ ℝ)
12	11	ad2antrl 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℕ0 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0)) → 𝑐 ∈ ℝ)
13		nn0re 12481	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑑 ∈ ℕ0 → 𝑑 ∈ ℝ)
14	13	ad2antll 728	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℕ0 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0)) → 𝑑 ∈ ℝ)
15	1	dyaddisjlem 25112	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℕ0 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑐 ≤ 𝑑) → (([,]‘(𝑎𝐹𝑐)) ⊆ ([,]‘(𝑏𝐹𝑑)) ∨ ([,]‘(𝑏𝐹𝑑)) ⊆ ([,]‘(𝑎𝐹𝑐)) ∨ (((,)‘(𝑎𝐹𝑐)) ∩ ((,)‘(𝑏𝐹𝑑))) = ∅))
16		ancom 462	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ↔ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ ℤ))
17		ancom 462	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑐 ∈ ℕ0 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ↔ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ 𝑐 ∈ ℕ0))
18	16, 17	anbi12i 628	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℕ0 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0)) ↔ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ 𝑐 ∈ ℕ0)))
19	1	dyaddisjlem 25112	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ 𝑐 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑑 ≤ 𝑐) → (([,]‘(𝑏𝐹𝑑)) ⊆ ([,]‘(𝑎𝐹𝑐)) ∨ ([,]‘(𝑎𝐹𝑐)) ⊆ ([,]‘(𝑏𝐹𝑑)) ∨ (((,)‘(𝑏𝐹𝑑)) ∩ ((,)‘(𝑎𝐹𝑐))) = ∅))
20	18, 19	sylanb 582	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℕ0 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑑 ≤ 𝑐) → (([,]‘(𝑏𝐹𝑑)) ⊆ ([,]‘(𝑎𝐹𝑐)) ∨ ([,]‘(𝑎𝐹𝑐)) ⊆ ([,]‘(𝑏𝐹𝑑)) ∨ (((,)‘(𝑏𝐹𝑑)) ∩ ((,)‘(𝑎𝐹𝑐))) = ∅))
21		orcom 869	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((([,]‘(𝑏𝐹𝑑)) ⊆ ([,]‘(𝑎𝐹𝑐)) ∨ ([,]‘(𝑎𝐹𝑐)) ⊆ ([,]‘(𝑏𝐹𝑑))) ↔ (([,]‘(𝑎𝐹𝑐)) ⊆ ([,]‘(𝑏𝐹𝑑)) ∨ ([,]‘(𝑏𝐹𝑑)) ⊆ ([,]‘(𝑎𝐹𝑐))))
22		incom 4202	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((,)‘(𝑏𝐹𝑑)) ∩ ((,)‘(𝑎𝐹𝑐))) = (((,)‘(𝑎𝐹𝑐)) ∩ ((,)‘(𝑏𝐹𝑑)))
23	22	eqeq1i 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((,)‘(𝑏𝐹𝑑)) ∩ ((,)‘(𝑎𝐹𝑐))) = ∅ ↔ (((,)‘(𝑎𝐹𝑐)) ∩ ((,)‘(𝑏𝐹𝑑))) = ∅)
24	21, 23	orbi12i 914	. . . . . . . . 9 ⊢ (((([,]‘(𝑏𝐹𝑑)) ⊆ ([,]‘(𝑎𝐹𝑐)) ∨ ([,]‘(𝑎𝐹𝑐)) ⊆ ([,]‘(𝑏𝐹𝑑))) ∨ (((,)‘(𝑏𝐹𝑑)) ∩ ((,)‘(𝑎𝐹𝑐))) = ∅) ↔ ((([,]‘(𝑎𝐹𝑐)) ⊆ ([,]‘(𝑏𝐹𝑑)) ∨ ([,]‘(𝑏𝐹𝑑)) ⊆ ([,]‘(𝑎𝐹𝑐))) ∨ (((,)‘(𝑎𝐹𝑐)) ∩ ((,)‘(𝑏𝐹𝑑))) = ∅))
25		df-3or 1089	. . . . . . . . 9 ⊢ ((([,]‘(𝑏𝐹𝑑)) ⊆ ([,]‘(𝑎𝐹𝑐)) ∨ ([,]‘(𝑎𝐹𝑐)) ⊆ ([,]‘(𝑏𝐹𝑑)) ∨ (((,)‘(𝑏𝐹𝑑)) ∩ ((,)‘(𝑎𝐹𝑐))) = ∅) ↔ ((([,]‘(𝑏𝐹𝑑)) ⊆ ([,]‘(𝑎𝐹𝑐)) ∨ ([,]‘(𝑎𝐹𝑐)) ⊆ ([,]‘(𝑏𝐹𝑑))) ∨ (((,)‘(𝑏𝐹𝑑)) ∩ ((,)‘(𝑎𝐹𝑐))) = ∅))
26		df-3or 1089	. . . . . . . . 9 ⊢ ((([,]‘(𝑎𝐹𝑐)) ⊆ ([,]‘(𝑏𝐹𝑑)) ∨ ([,]‘(𝑏𝐹𝑑)) ⊆ ([,]‘(𝑎𝐹𝑐)) ∨ (((,)‘(𝑎𝐹𝑐)) ∩ ((,)‘(𝑏𝐹𝑑))) = ∅) ↔ ((([,]‘(𝑎𝐹𝑐)) ⊆ ([,]‘(𝑏𝐹𝑑)) ∨ ([,]‘(𝑏𝐹𝑑)) ⊆ ([,]‘(𝑎𝐹𝑐))) ∨ (((,)‘(𝑎𝐹𝑐)) ∩ ((,)‘(𝑏𝐹𝑑))) = ∅))
27	24, 25, 26	3bitr4i 303	. . . . . . . 8 ⊢ ((([,]‘(𝑏𝐹𝑑)) ⊆ ([,]‘(𝑎𝐹𝑐)) ∨ ([,]‘(𝑎𝐹𝑐)) ⊆ ([,]‘(𝑏𝐹𝑑)) ∨ (((,)‘(𝑏𝐹𝑑)) ∩ ((,)‘(𝑎𝐹𝑐))) = ∅) ↔ (([,]‘(𝑎𝐹𝑐)) ⊆ ([,]‘(𝑏𝐹𝑑)) ∨ ([,]‘(𝑏𝐹𝑑)) ⊆ ([,]‘(𝑎𝐹𝑐)) ∨ (((,)‘(𝑎𝐹𝑐)) ∩ ((,)‘(𝑏𝐹𝑑))) = ∅))
28	20, 27	sylib 217	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℕ0 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑑 ≤ 𝑐) → (([,]‘(𝑎𝐹𝑐)) ⊆ ([,]‘(𝑏𝐹𝑑)) ∨ ([,]‘(𝑏𝐹𝑑)) ⊆ ([,]‘(𝑎𝐹𝑐)) ∨ (((,)‘(𝑎𝐹𝑐)) ∩ ((,)‘(𝑏𝐹𝑑))) = ∅))
29	12, 14, 15, 28	lecasei 11320	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℕ0 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0)) → (([,]‘(𝑎𝐹𝑐)) ⊆ ([,]‘(𝑏𝐹𝑑)) ∨ ([,]‘(𝑏𝐹𝑑)) ⊆ ([,]‘(𝑎𝐹𝑐)) ∨ (((,)‘(𝑎𝐹𝑐)) ∩ ((,)‘(𝑏𝐹𝑑))) = ∅))
30		simpl 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 = (𝑎𝐹𝑐) ∧ 𝐵 = (𝑏𝐹𝑑)) → 𝐴 = (𝑎𝐹𝑐))
31	30	fveq2d 6896	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 = (𝑎𝐹𝑐) ∧ 𝐵 = (𝑏𝐹𝑑)) → ([,]‘𝐴) = ([,]‘(𝑎𝐹𝑐)))
32		simpr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 = (𝑎𝐹𝑐) ∧ 𝐵 = (𝑏𝐹𝑑)) → 𝐵 = (𝑏𝐹𝑑))
33	32	fveq2d 6896	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 = (𝑎𝐹𝑐) ∧ 𝐵 = (𝑏𝐹𝑑)) → ([,]‘𝐵) = ([,]‘(𝑏𝐹𝑑)))
34	31, 33	sseq12d 4016	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 = (𝑎𝐹𝑐) ∧ 𝐵 = (𝑏𝐹𝑑)) → (([,]‘𝐴) ⊆ ([,]‘𝐵) ↔ ([,]‘(𝑎𝐹𝑐)) ⊆ ([,]‘(𝑏𝐹𝑑))))
35	33, 31	sseq12d 4016	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 = (𝑎𝐹𝑐) ∧ 𝐵 = (𝑏𝐹𝑑)) → (([,]‘𝐵) ⊆ ([,]‘𝐴) ↔ ([,]‘(𝑏𝐹𝑑)) ⊆ ([,]‘(𝑎𝐹𝑐))))
36	30	fveq2d 6896	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 = (𝑎𝐹𝑐) ∧ 𝐵 = (𝑏𝐹𝑑)) → ((,)‘𝐴) = ((,)‘(𝑎𝐹𝑐)))
37	32	fveq2d 6896	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 = (𝑎𝐹𝑐) ∧ 𝐵 = (𝑏𝐹𝑑)) → ((,)‘𝐵) = ((,)‘(𝑏𝐹𝑑)))
38	36, 37	ineq12d 4214	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 = (𝑎𝐹𝑐) ∧ 𝐵 = (𝑏𝐹𝑑)) → (((,)‘𝐴) ∩ ((,)‘𝐵)) = (((,)‘(𝑎𝐹𝑐)) ∩ ((,)‘(𝑏𝐹𝑑))))
39	38	eqeq1d 2735	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 = (𝑎𝐹𝑐) ∧ 𝐵 = (𝑏𝐹𝑑)) → ((((,)‘𝐴) ∩ ((,)‘𝐵)) = ∅ ↔ (((,)‘(𝑎𝐹𝑐)) ∩ ((,)‘(𝑏𝐹𝑑))) = ∅))
40	34, 35, 39	3orbi123d 1436	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 = (𝑎𝐹𝑐) ∧ 𝐵 = (𝑏𝐹𝑑)) → ((([,]‘𝐴) ⊆ ([,]‘𝐵) ∨ ([,]‘𝐵) ⊆ ([,]‘𝐴) ∨ (((,)‘𝐴) ∩ ((,)‘𝐵)) = ∅) ↔ (([,]‘(𝑎𝐹𝑐)) ⊆ ([,]‘(𝑏𝐹𝑑)) ∨ ([,]‘(𝑏𝐹𝑑)) ⊆ ([,]‘(𝑎𝐹𝑐)) ∨ (((,)‘(𝑎𝐹𝑐)) ∩ ((,)‘(𝑏𝐹𝑑))) = ∅)))
41	29, 40	syl5ibrcom 246	. . . . 5 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℕ0 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0)) → ((𝐴 = (𝑎𝐹𝑐) ∧ 𝐵 = (𝑏𝐹𝑑)) → (([,]‘𝐴) ⊆ ([,]‘𝐵) ∨ ([,]‘𝐵) ⊆ ([,]‘𝐴) ∨ (((,)‘𝐴) ∩ ((,)‘𝐵)) = ∅)))
42	41	rexlimdvva 3212	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (∃𝑐 ∈ ℕ0 ∃𝑑 ∈ ℕ0 (𝐴 = (𝑎𝐹𝑐) ∧ 𝐵 = (𝑏𝐹𝑑)) → (([,]‘𝐴) ⊆ ([,]‘𝐵) ∨ ([,]‘𝐵) ⊆ ([,]‘𝐴) ∨ (((,)‘𝐴) ∩ ((,)‘𝐵)) = ∅)))
43	10, 42	biimtrrid 242	. . 3 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → ((∃𝑐 ∈ ℕ0 𝐴 = (𝑎𝐹𝑐) ∧ ∃𝑑 ∈ ℕ0 𝐵 = (𝑏𝐹𝑑)) → (([,]‘𝐴) ⊆ ([,]‘𝐵) ∨ ([,]‘𝐵) ⊆ ([,]‘𝐴) ∨ (((,)‘𝐴) ∩ ((,)‘𝐵)) = ∅)))
44	43	rexlimivv 3200	. 2 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (∃𝑐 ∈ ℕ0 𝐴 = (𝑎𝐹𝑐) ∧ ∃𝑑 ∈ ℕ0 𝐵 = (𝑏𝐹𝑑)) → (([,]‘𝐴) ⊆ ([,]‘𝐵) ∨ ([,]‘𝐵) ⊆ ([,]‘𝐴) ∨ (((,)‘𝐴) ∩ ((,)‘𝐵)) = ∅))
45	9, 44	sylbi 216	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ran 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ ran 𝐹) → (([,]‘𝐴) ⊆ ([,]‘𝐵) ∨ ([,]‘𝐵) ⊆ ([,]‘𝐴) ∨ (((,)‘𝐴) ∩ ((,)‘𝐵)) = ∅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∨ w3o 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ∃wrex 3071   ∩ cin 3948   ⊆ wss 3949  ∅c0 4323  ⟨cop 4635   class class class wbr 5149   × cxp 5675  ran crn 5678   Fn wfn 6539  ⟶wf 6540  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409   ∈ cmpo 7411  ℝcr 11109  1c1 11111   + caddc 11113   ≤ cle 11249   / cdiv 11871  2c2 12267  ℕ₀cn0 12472  ℤcz 12558  (,)cioo 13324  [,]cicc 13327  ↑cexp 14027

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-ioo 13328  df-icc 13331  df-seq 13967  df-exp 14028

This theorem is referenced by:  dyadmbl  25117  mblfinlem2  36526