MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reconn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem reconn 22910
Description: A subset of the reals is connected iff it has the interval property. (Contributed by Jeff Hankins, 15-Jul-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
reconn (𝐴 ⊆ ℝ → (((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn ↔ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴))
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem reconn
Dummy variables 𝑏 𝑐 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reconnlem1 22908 . . . 4 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴)
21ralrimivva 3118 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴)
32ex 401 . 2 (𝐴 ⊆ ℝ → (((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴))
4 n0 4095 . . . . . . . . 9 ((𝑢𝐴) ≠ ∅ ↔ ∃𝑏 𝑏 ∈ (𝑢𝐴))
5 n0 4095 . . . . . . . . 9 ((𝑣𝐴) ≠ ∅ ↔ ∃𝑐 𝑐 ∈ (𝑣𝐴))
64, 5anbi12i 620 . . . . . . . 8 (((𝑢𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑣𝐴) ≠ ∅) ↔ (∃𝑏 𝑏 ∈ (𝑢𝐴) ∧ ∃𝑐 𝑐 ∈ (𝑣𝐴)))
7 eeanv 2346 . . . . . . . . 9 (∃𝑏𝑐(𝑏 ∈ (𝑢𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣𝐴)) ↔ (∃𝑏 𝑏 ∈ (𝑢𝐴) ∧ ∃𝑐 𝑐 ∈ (𝑣𝐴)))
8 simplll 791 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣𝐴)) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) → 𝐴 ⊆ ℝ)
9 inss2 3993 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑢𝐴) ⊆ 𝐴
10 simprll 797 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣𝐴)) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) → 𝑏 ∈ (𝑢𝐴))
119, 10sseldi 3759 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣𝐴)) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) → 𝑏𝐴)
128, 11sseldd 3762 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣𝐴)) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) → 𝑏 ∈ ℝ)
13 inss2 3993 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣𝐴) ⊆ 𝐴
14 simprlr 798 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣𝐴)) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) → 𝑐 ∈ (𝑣𝐴))
1513, 14sseldi 3759 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣𝐴)) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) → 𝑐𝐴)
168, 15sseldd 3762 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣𝐴)) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) → 𝑐 ∈ ℝ)
178adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣𝐴)) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑏𝑐) → 𝐴 ⊆ ℝ)
18 simplrl 795 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) → 𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)))
1918ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣𝐴)) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑏𝑐) → 𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)))
20 simplrr 796 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) → 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))
2120ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣𝐴)) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑏𝑐) → 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))
22 simpllr 793 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣𝐴)) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑏𝑐) → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴)
2310adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣𝐴)) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑏𝑐) → 𝑏 ∈ (𝑢𝐴))
2414adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣𝐴)) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑏𝑐) → 𝑐 ∈ (𝑣𝐴))
25 simplrr 796 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣𝐴)) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑏𝑐) → (𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))
26 simpr 477 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣𝐴)) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑏𝑐) → 𝑏𝑐)
27 eqid 2765 . . . . . . . . . . . . 13 sup((𝑢 ∩ (𝑏[,]𝑐)), ℝ, < ) = sup((𝑢 ∩ (𝑏[,]𝑐)), ℝ, < )
2817, 19, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27reconnlem2 22909 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣𝐴)) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑏𝑐) → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑢𝑣))
298adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣𝐴)) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑐𝑏) → 𝐴 ⊆ ℝ)
3020ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣𝐴)) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑐𝑏) → 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))
3118ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣𝐴)) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑐𝑏) → 𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)))
32 simpllr 793 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣𝐴)) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑐𝑏) → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴)
3314adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣𝐴)) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑐𝑏) → 𝑐 ∈ (𝑣𝐴))
3410adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣𝐴)) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑐𝑏) → 𝑏 ∈ (𝑢𝐴))
35 incom 3967 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣𝑢) = (𝑢𝑣)
36 simplrr 796 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣𝐴)) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑐𝑏) → (𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))
3735, 36syl5eqss 3809 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣𝐴)) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑐𝑏) → (𝑣𝑢) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))
38 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣𝐴)) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑐𝑏) → 𝑐𝑏)
39 eqid 2765 . . . . . . . . . . . . . 14 sup((𝑣 ∩ (𝑐[,]𝑏)), ℝ, < ) = sup((𝑣 ∩ (𝑐[,]𝑏)), ℝ, < )
4029, 30, 31, 32, 33, 34, 37, 38, 39reconnlem2 22909 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣𝐴)) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑐𝑏) → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑣𝑢))
41 uncom 3919 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣𝑢) = (𝑢𝑣)
4241sseq2i 3790 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ⊆ (𝑣𝑢) ↔ 𝐴 ⊆ (𝑢𝑣))
4340, 42sylnib 319 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣𝐴)) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑐𝑏) → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑢𝑣))
4412, 16, 28, 43lecasei 10397 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣𝐴)) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑢𝑣))
4544exp32 411 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) → ((𝑏 ∈ (𝑢𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣𝐴)) → ((𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴) → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑢𝑣))))
4645exlimdvv 2029 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) → (∃𝑏𝑐(𝑏 ∈ (𝑢𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣𝐴)) → ((𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴) → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑢𝑣))))
477, 46syl5bir 234 . . . . . . . 8 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) → ((∃𝑏 𝑏 ∈ (𝑢𝐴) ∧ ∃𝑐 𝑐 ∈ (𝑣𝐴)) → ((𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴) → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑢𝑣))))
486, 47syl5bi 233 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) → (((𝑢𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑣𝐴) ≠ ∅) → ((𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴) → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑢𝑣))))
4948expd 404 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) → ((𝑢𝐴) ≠ ∅ → ((𝑣𝐴) ≠ ∅ → ((𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴) → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑢𝑣)))))
50493impd 1457 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) → (((𝑢𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑣𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴)) → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑢𝑣)))
5150ex 401 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) → (∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴 → (((𝑢𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑣𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴)) → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑢𝑣))))
5251ralrimdvva 3121 . . 3 (𝐴 ⊆ ℝ → (∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴 → ∀𝑢 ∈ (topGen‘ran (,))∀𝑣 ∈ (topGen‘ran (,))(((𝑢𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑣𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴)) → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑢𝑣))))
53 retopon 22846 . . . 4 (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
54 connsub 21504 . . . 4 (((topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn ↔ ∀𝑢 ∈ (topGen‘ran (,))∀𝑣 ∈ (topGen‘ran (,))(((𝑢𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑣𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴)) → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑢𝑣))))
5553, 54mpan 681 . . 3 (𝐴 ⊆ ℝ → (((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn ↔ ∀𝑢 ∈ (topGen‘ran (,))∀𝑣 ∈ (topGen‘ran (,))(((𝑢𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑣𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴)) → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑢𝑣))))
5652, 55sylibrd 250 . 2 (𝐴 ⊆ ℝ → (∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴 → ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn))
573, 56impbid 203 1 (𝐴 ⊆ ℝ → (((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn ↔ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107  wex 1874  wcel 2155  wne 2937  wral 3055  cdif 3729  cun 3730  cin 3731  wss 3732  c0 4079   class class class wbr 4809  ran crn 5278  cfv 6068  (class class class)co 6842  supcsup 8553  cr 10188   < clt 10328  cle 10329  (,)cioo 12377  [,]cicc 12380  t crest 16347  topGenctg 16364  TopOnctopon 20994  Conncconn 21494
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-oadd 7768  df-er 7947  df-map 8062  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-fi 8524  df-sup 8555  df-inf 8556  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-n0 11539  df-z 11625  df-uz 11887  df-q 11990  df-rp 12029  df-xneg 12146  df-xadd 12147  df-xmul 12148  df-ioo 12381  df-ico 12383  df-icc 12384  df-seq 13009  df-exp 13068  df-cj 14124  df-re 14125  df-im 14126  df-sqrt 14260  df-abs 14261  df-rest 16349  df-topgen 16370  df-psmet 20011  df-xmet 20012  df-met 20013  df-bl 20014  df-mopn 20015  df-top 20978  df-topon 20995  df-bases 21030  df-cld 21103  df-conn 21495
This theorem is referenced by:  retopconn  22911  iccconn  22912  resconn  31676  ioosconn  31677  iccllysconn  31680  ivthALT  32773
  Copyright terms: Public domain W3C validator