Theorem reconn 24877

Description: A subset of the reals is connected iff it has the interval property. (Contributed by Jeff Hankins, 15-Jul-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
reconn	⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem reconn

Dummy variables 𝑏 𝑐 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reconnlem1 24875	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴)
2	1	ralrimivva 3204	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴)
3	2	ex 416	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴))
4		n0 4303	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑢 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ↔ ∃𝑏 𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴))
5		n0 4303	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑣 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ↔ ∃𝑐 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴))
6	4, 5	anbi12i 637	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑢 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑣 ∩ 𝐴) ≠ ∅) ↔ (∃𝑏 𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ ∃𝑐 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)))
7		exdistrv 1974	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑏∃𝑐(𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ↔ (∃𝑏 𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ ∃𝑐 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)))
8		simplll 784	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) → 𝐴 ⊆ ℝ)
9		simprll 788	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) → 𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴))
10	9	elin2d 4155	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) → 𝑏 ∈ 𝐴)
11	8, 10	sseldd 3935	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) → 𝑏 ∈ ℝ)
12		simprlr 789	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) → 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴))
13	12	elin2d 4155	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) → 𝑐 ∈ 𝐴)
14	8, 13	sseldd 3935	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) → 𝑐 ∈ ℝ)
15	8	adantr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑏 ≤ 𝑐) → 𝐴 ⊆ ℝ)
16		simplrl 786	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) → 𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)))
17	16	ad2antrr 736	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑏 ≤ 𝑐) → 𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)))
18		simplrr 787	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) → 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))
19	18	ad2antrr 736	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑏 ≤ 𝑐) → 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))
20		simpllr 785	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑏 ≤ 𝑐) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴)
21	9	adantr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑏 ≤ 𝑐) → 𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴))
22	12	adantr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑏 ≤ 𝑐) → 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴))
23		simplrr 787	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑏 ≤ 𝑐) → (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))
24		simpr 488	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑏 ≤ 𝑐) → 𝑏 ≤ 𝑐)
25		eqid 2761	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ sup((𝑢 ∩ (𝑏[,]𝑐)), ℝ, < ) = sup((𝑢 ∩ (𝑏[,]𝑐)), ℝ, < )
26	15, 17, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25	reconnlem2 24876	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑏 ≤ 𝑐) → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣))
27	8	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑐 ≤ 𝑏) → 𝐴 ⊆ ℝ)
28	18	ad2antrr 736	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑐 ≤ 𝑏) → 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))
29	16	ad2antrr 736	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑐 ≤ 𝑏) → 𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)))
30		simpllr 785	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑐 ≤ 𝑏) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴)
31	12	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑐 ≤ 𝑏) → 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴))
32	9	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑐 ≤ 𝑏) → 𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴))
33		incom 4159	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑣 ∩ 𝑢) = (𝑢 ∩ 𝑣)
34		simplrr 787	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑐 ≤ 𝑏) → (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))
35	33, 34	eqsstrid 3972	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑐 ≤ 𝑏) → (𝑣 ∩ 𝑢) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))
36		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑐 ≤ 𝑏) → 𝑐 ≤ 𝑏)
37		eqid 2761	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ sup((𝑣 ∩ (𝑐[,]𝑏)), ℝ, < ) = sup((𝑣 ∩ (𝑐[,]𝑏)), ℝ, < )
38	27, 28, 29, 30, 31, 32, 35, 36, 37	reconnlem2 24876	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑐 ≤ 𝑏) → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑣 ∪ 𝑢))
39		uncom 4109	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑣 ∪ 𝑢) = (𝑢 ∪ 𝑣)
40	39	sseq2i 3963	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ⊆ (𝑣 ∪ 𝑢) ↔ 𝐴 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣))
41	38, 40	sylnib 330	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑐 ≤ 𝑏) → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣))
42	11, 14, 26, 41	lecasei 11283	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣))
43	42	exp32 424	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) → ((𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) → ((𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴) → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣))))
44	43	exlimdvv 1953	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) → (∃𝑏∃𝑐(𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) → ((𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴) → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣))))
45	7, 44	biimtrrid 245	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) → ((∃𝑏 𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ ∃𝑐 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) → ((𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴) → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣))))
46	6, 45	biimtrid 244	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) → (((𝑢 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑣 ∩ 𝐴) ≠ ∅) → ((𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴) → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣))))
47	46	expd 419	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) → ((𝑢 ∩ 𝐴) ≠ ∅ → ((𝑣 ∩ 𝐴) ≠ ∅ → ((𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴) → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣)))))
48	47	3impd 1361	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) → (((𝑢 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑣 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴)) → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣)))
49	48	ex 416	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴 → (((𝑢 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑣 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴)) → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣))))
50	49	ralrimdvva 3216	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴 → ∀𝑢 ∈ (topGen‘ran (,))∀𝑣 ∈ (topGen‘ran (,))(((𝑢 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑣 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴)) → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣))))
51		retopon 24811	. . . 4 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
52		connsub 23469	. . . 4 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn ↔ ∀𝑢 ∈ (topGen‘ran (,))∀𝑣 ∈ (topGen‘ran (,))(((𝑢 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑣 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴)) → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣))))
53	51, 52	mpan 700	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn ↔ ∀𝑢 ∈ (topGen‘ran (,))∀𝑣 ∈ (topGen‘ran (,))(((𝑢 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑣 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴)) → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣))))
54	50, 53	sylibrd 261	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴 → ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn))
55	3, 54	impbid 214	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1097  ∃wex 1798   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  ∀wral 3075   ∖ cdif 3899   ∪ cun 3900   ∩ cin 3901   ⊆ wss 3902  ∅c0 4283   class class class wbr 5097  ran crn 5644  ‘cfv 6516  (class class class)co 7391  supcsup 9380  ℝcr 11066   < clt 11210   ≤ cle 11211  (,)cioo 13343  [,]cicc 13346   ↾_t crest 17440  topGenctg 17457  TopOnctopon 22958  Conncconn 23459

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144  ax-pre-sup 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-om 7842  df-1st 7965  df-2nd 7966  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-er 8672  df-map 8804  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fi 9351  df-sup 9382  df-inf 9383  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-div 11839  df-nn 12205  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12476  df-z 12563  df-uz 12834  df-q 12944  df-rp 12988  df-xneg 13108  df-xadd 13109  df-xmul 13110  df-ioo 13347  df-ico 13349  df-icc 13350  df-seq 14009  df-exp 14069  df-cj 15117  df-re 15118  df-im 15119  df-sqrt 15253  df-abs 15254  df-rest 17442  df-topgen 17463  df-psmet 21404  df-xmet 21405  df-met 21406  df-bl 21407  df-mopn 21408  df-top 22942  df-topon 22959  df-bases 22994  df-cld 23067  df-conn 23460

This theorem is referenced by:  retopconn  24878  iccconn  24879  resconn  35557  ioosconn  35558  iccllysconn  35561  ivthALT  36656