MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reconn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem reconn 24343
Description: A subset of the reals is connected iff it has the interval property. (Contributed by Jeff Hankins, 15-Jul-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
reconn (𝐴 βŠ† ℝ β†’ (((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝐴) ∈ Conn ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴))
Distinct variable group:   π‘₯,𝑦,𝐴

Proof of Theorem reconn
Dummy variables 𝑏 𝑐 𝑒 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reconnlem1 24341 . . . 4 (((𝐴 βŠ† ℝ ∧ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) β†’ (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴)
21ralrimivva 3200 . . 3 ((𝐴 βŠ† ℝ ∧ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴)
32ex 413 . 2 (𝐴 βŠ† ℝ β†’ (((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝐴) ∈ Conn β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴))
4 n0 4346 . . . . . . . . 9 ((𝑒 ∩ 𝐴) β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘ 𝑏 ∈ (𝑒 ∩ 𝐴))
5 n0 4346 . . . . . . . . 9 ((𝑣 ∩ 𝐴) β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴))
64, 5anbi12i 627 . . . . . . . 8 (((𝑒 ∩ 𝐴) β‰  βˆ… ∧ (𝑣 ∩ 𝐴) β‰  βˆ…) ↔ (βˆƒπ‘ 𝑏 ∈ (𝑒 ∩ 𝐴) ∧ βˆƒπ‘ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)))
7 exdistrv 1959 . . . . . . . . 9 (βˆƒπ‘βˆƒπ‘(𝑏 ∈ (𝑒 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ↔ (βˆƒπ‘ 𝑏 ∈ (𝑒 ∩ 𝐴) ∧ βˆƒπ‘ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)))
8 simplll 773 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ (𝑒 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGenβ€˜ran (,)))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑒 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (ℝ βˆ– 𝐴))) β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
9 simprll 777 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ (𝑒 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGenβ€˜ran (,)))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑒 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (ℝ βˆ– 𝐴))) β†’ 𝑏 ∈ (𝑒 ∩ 𝐴))
109elin2d 4199 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ (𝑒 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGenβ€˜ran (,)))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑒 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (ℝ βˆ– 𝐴))) β†’ 𝑏 ∈ 𝐴)
118, 10sseldd 3983 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ (𝑒 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGenβ€˜ran (,)))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑒 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (ℝ βˆ– 𝐴))) β†’ 𝑏 ∈ ℝ)
12 simprlr 778 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ (𝑒 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGenβ€˜ran (,)))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑒 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (ℝ βˆ– 𝐴))) β†’ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴))
1312elin2d 4199 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ (𝑒 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGenβ€˜ran (,)))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑒 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (ℝ βˆ– 𝐴))) β†’ 𝑐 ∈ 𝐴)
148, 13sseldd 3983 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ (𝑒 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGenβ€˜ran (,)))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑒 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (ℝ βˆ– 𝐴))) β†’ 𝑐 ∈ ℝ)
158adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ (𝑒 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGenβ€˜ran (,)))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑒 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (ℝ βˆ– 𝐴))) ∧ 𝑏 ≀ 𝑐) β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
16 simplrl 775 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 βŠ† ℝ ∧ (𝑒 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGenβ€˜ran (,)))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴) β†’ 𝑒 ∈ (topGenβ€˜ran (,)))
1716ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ (𝑒 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGenβ€˜ran (,)))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑒 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (ℝ βˆ– 𝐴))) ∧ 𝑏 ≀ 𝑐) β†’ 𝑒 ∈ (topGenβ€˜ran (,)))
18 simplrr 776 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 βŠ† ℝ ∧ (𝑒 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGenβ€˜ran (,)))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴) β†’ 𝑣 ∈ (topGenβ€˜ran (,)))
1918ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ (𝑒 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGenβ€˜ran (,)))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑒 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (ℝ βˆ– 𝐴))) ∧ 𝑏 ≀ 𝑐) β†’ 𝑣 ∈ (topGenβ€˜ran (,)))
20 simpllr 774 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ (𝑒 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGenβ€˜ran (,)))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑒 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (ℝ βˆ– 𝐴))) ∧ 𝑏 ≀ 𝑐) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴)
219adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ (𝑒 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGenβ€˜ran (,)))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑒 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (ℝ βˆ– 𝐴))) ∧ 𝑏 ≀ 𝑐) β†’ 𝑏 ∈ (𝑒 ∩ 𝐴))
2212adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ (𝑒 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGenβ€˜ran (,)))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑒 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (ℝ βˆ– 𝐴))) ∧ 𝑏 ≀ 𝑐) β†’ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴))
23 simplrr 776 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ (𝑒 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGenβ€˜ran (,)))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑒 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (ℝ βˆ– 𝐴))) ∧ 𝑏 ≀ 𝑐) β†’ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (ℝ βˆ– 𝐴))
24 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ (𝑒 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGenβ€˜ran (,)))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑒 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (ℝ βˆ– 𝐴))) ∧ 𝑏 ≀ 𝑐) β†’ 𝑏 ≀ 𝑐)
25 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . 13 sup((𝑒 ∩ (𝑏[,]𝑐)), ℝ, < ) = sup((𝑒 ∩ (𝑏[,]𝑐)), ℝ, < )
2615, 17, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25reconnlem2 24342 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ (𝑒 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGenβ€˜ran (,)))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑒 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (ℝ βˆ– 𝐴))) ∧ 𝑏 ≀ 𝑐) β†’ Β¬ 𝐴 βŠ† (𝑒 βˆͺ 𝑣))
278adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ (𝑒 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGenβ€˜ran (,)))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑒 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (ℝ βˆ– 𝐴))) ∧ 𝑐 ≀ 𝑏) β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
2818ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ (𝑒 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGenβ€˜ran (,)))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑒 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (ℝ βˆ– 𝐴))) ∧ 𝑐 ≀ 𝑏) β†’ 𝑣 ∈ (topGenβ€˜ran (,)))
2916ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ (𝑒 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGenβ€˜ran (,)))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑒 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (ℝ βˆ– 𝐴))) ∧ 𝑐 ≀ 𝑏) β†’ 𝑒 ∈ (topGenβ€˜ran (,)))
30 simpllr 774 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ (𝑒 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGenβ€˜ran (,)))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑒 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (ℝ βˆ– 𝐴))) ∧ 𝑐 ≀ 𝑏) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴)
3112adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ (𝑒 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGenβ€˜ran (,)))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑒 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (ℝ βˆ– 𝐴))) ∧ 𝑐 ≀ 𝑏) β†’ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴))
329adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ (𝑒 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGenβ€˜ran (,)))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑒 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (ℝ βˆ– 𝐴))) ∧ 𝑐 ≀ 𝑏) β†’ 𝑏 ∈ (𝑒 ∩ 𝐴))
33 incom 4201 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣 ∩ 𝑒) = (𝑒 ∩ 𝑣)
34 simplrr 776 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ (𝑒 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGenβ€˜ran (,)))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑒 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (ℝ βˆ– 𝐴))) ∧ 𝑐 ≀ 𝑏) β†’ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (ℝ βˆ– 𝐴))
3533, 34eqsstrid 4030 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ (𝑒 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGenβ€˜ran (,)))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑒 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (ℝ βˆ– 𝐴))) ∧ 𝑐 ≀ 𝑏) β†’ (𝑣 ∩ 𝑒) βŠ† (ℝ βˆ– 𝐴))
36 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ (𝑒 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGenβ€˜ran (,)))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑒 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (ℝ βˆ– 𝐴))) ∧ 𝑐 ≀ 𝑏) β†’ 𝑐 ≀ 𝑏)
37 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . 14 sup((𝑣 ∩ (𝑐[,]𝑏)), ℝ, < ) = sup((𝑣 ∩ (𝑐[,]𝑏)), ℝ, < )
3827, 28, 29, 30, 31, 32, 35, 36, 37reconnlem2 24342 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ (𝑒 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGenβ€˜ran (,)))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑒 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (ℝ βˆ– 𝐴))) ∧ 𝑐 ≀ 𝑏) β†’ Β¬ 𝐴 βŠ† (𝑣 βˆͺ 𝑒))
39 uncom 4153 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣 βˆͺ 𝑒) = (𝑒 βˆͺ 𝑣)
4039sseq2i 4011 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 βŠ† (𝑣 βˆͺ 𝑒) ↔ 𝐴 βŠ† (𝑒 βˆͺ 𝑣))
4138, 40sylnib 327 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ (𝑒 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGenβ€˜ran (,)))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑒 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (ℝ βˆ– 𝐴))) ∧ 𝑐 ≀ 𝑏) β†’ Β¬ 𝐴 βŠ† (𝑒 βˆͺ 𝑣))
4211, 14, 26, 41lecasei 11319 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ (𝑒 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGenβ€˜ran (,)))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑒 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (ℝ βˆ– 𝐴))) β†’ Β¬ 𝐴 βŠ† (𝑒 βˆͺ 𝑣))
4342exp32 421 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 βŠ† ℝ ∧ (𝑒 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGenβ€˜ran (,)))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴) β†’ ((𝑏 ∈ (𝑒 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) β†’ ((𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (ℝ βˆ– 𝐴) β†’ Β¬ 𝐴 βŠ† (𝑒 βˆͺ 𝑣))))
4443exlimdvv 1937 . . . . . . . . 9 (((𝐴 βŠ† ℝ ∧ (𝑒 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGenβ€˜ran (,)))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴) β†’ (βˆƒπ‘βˆƒπ‘(𝑏 ∈ (𝑒 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) β†’ ((𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (ℝ βˆ– 𝐴) β†’ Β¬ 𝐴 βŠ† (𝑒 βˆͺ 𝑣))))
457, 44biimtrrid 242 . . . . . . . 8 (((𝐴 βŠ† ℝ ∧ (𝑒 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGenβ€˜ran (,)))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴) β†’ ((βˆƒπ‘ 𝑏 ∈ (𝑒 ∩ 𝐴) ∧ βˆƒπ‘ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) β†’ ((𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (ℝ βˆ– 𝐴) β†’ Β¬ 𝐴 βŠ† (𝑒 βˆͺ 𝑣))))
466, 45biimtrid 241 . . . . . . 7 (((𝐴 βŠ† ℝ ∧ (𝑒 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGenβ€˜ran (,)))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴) β†’ (((𝑒 ∩ 𝐴) β‰  βˆ… ∧ (𝑣 ∩ 𝐴) β‰  βˆ…) β†’ ((𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (ℝ βˆ– 𝐴) β†’ Β¬ 𝐴 βŠ† (𝑒 βˆͺ 𝑣))))
4746expd 416 . . . . . 6 (((𝐴 βŠ† ℝ ∧ (𝑒 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGenβ€˜ran (,)))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴) β†’ ((𝑒 ∩ 𝐴) β‰  βˆ… β†’ ((𝑣 ∩ 𝐴) β‰  βˆ… β†’ ((𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (ℝ βˆ– 𝐴) β†’ Β¬ 𝐴 βŠ† (𝑒 βˆͺ 𝑣)))))
48473impd 1348 . . . . 5 (((𝐴 βŠ† ℝ ∧ (𝑒 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGenβ€˜ran (,)))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴) β†’ (((𝑒 ∩ 𝐴) β‰  βˆ… ∧ (𝑣 ∩ 𝐴) β‰  βˆ… ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (ℝ βˆ– 𝐴)) β†’ Β¬ 𝐴 βŠ† (𝑒 βˆͺ 𝑣)))
4948ex 413 . . . 4 ((𝐴 βŠ† ℝ ∧ (𝑒 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGenβ€˜ran (,)))) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴 β†’ (((𝑒 ∩ 𝐴) β‰  βˆ… ∧ (𝑣 ∩ 𝐴) β‰  βˆ… ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (ℝ βˆ– 𝐴)) β†’ Β¬ 𝐴 βŠ† (𝑒 βˆͺ 𝑣))))
5049ralrimdvva 3209 . . 3 (𝐴 βŠ† ℝ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴 β†’ βˆ€π‘’ ∈ (topGenβ€˜ran (,))βˆ€π‘£ ∈ (topGenβ€˜ran (,))(((𝑒 ∩ 𝐴) β‰  βˆ… ∧ (𝑣 ∩ 𝐴) β‰  βˆ… ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (ℝ βˆ– 𝐴)) β†’ Β¬ 𝐴 βŠ† (𝑒 βˆͺ 𝑣))))
51 retopon 24279 . . . 4 (topGenβ€˜ran (,)) ∈ (TopOnβ€˜β„)
52 connsub 22924 . . . 4 (((topGenβ€˜ran (,)) ∈ (TopOnβ€˜β„) ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) β†’ (((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝐴) ∈ Conn ↔ βˆ€π‘’ ∈ (topGenβ€˜ran (,))βˆ€π‘£ ∈ (topGenβ€˜ran (,))(((𝑒 ∩ 𝐴) β‰  βˆ… ∧ (𝑣 ∩ 𝐴) β‰  βˆ… ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (ℝ βˆ– 𝐴)) β†’ Β¬ 𝐴 βŠ† (𝑒 βˆͺ 𝑣))))
5351, 52mpan 688 . . 3 (𝐴 βŠ† ℝ β†’ (((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝐴) ∈ Conn ↔ βˆ€π‘’ ∈ (topGenβ€˜ran (,))βˆ€π‘£ ∈ (topGenβ€˜ran (,))(((𝑒 ∩ 𝐴) β‰  βˆ… ∧ (𝑣 ∩ 𝐴) β‰  βˆ… ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (ℝ βˆ– 𝐴)) β†’ Β¬ 𝐴 βŠ† (𝑒 βˆͺ 𝑣))))
5450, 53sylibrd 258 . 2 (𝐴 βŠ† ℝ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴 β†’ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝐴) ∈ Conn))
553, 54impbid 211 1 (𝐴 βŠ† ℝ β†’ (((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝐴) ∈ Conn ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087  βˆƒwex 1781   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061   βˆ– cdif 3945   βˆͺ cun 3946   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322   class class class wbr 5148  ran crn 5677  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  supcsup 9434  β„cr 11108   < clt 11247   ≀ cle 11248  (,)cioo 13323  [,]cicc 13326   β†Ύt crest 17365  topGenctg 17382  TopOnctopon 22411  Conncconn 22914
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12974  df-xneg 13091  df-xadd 13092  df-xmul 13093  df-ioo 13327  df-ico 13329  df-icc 13330  df-seq 13966  df-exp 14027  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-rest 17367  df-topgen 17388  df-psmet 20935  df-xmet 20936  df-met 20937  df-bl 20938  df-mopn 20939  df-top 22395  df-topon 22412  df-bases 22448  df-cld 22522  df-conn 22915
This theorem is referenced by:  retopconn  24344  iccconn  24345  resconn  34232  ioosconn  34233  iccllysconn  34236  ivthALT  35215
  Copyright terms: Public domain W3C validator