MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reconn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem reconn 24344
Description: A subset of the reals is connected iff it has the interval property. (Contributed by Jeff Hankins, 15-Jul-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
reconn (𝐴 βŠ† ℝ β†’ (((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝐴) ∈ Conn ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴))
Distinct variable group:   π‘₯,𝑦,𝐴

Proof of Theorem reconn
Dummy variables 𝑏 𝑐 𝑒 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reconnlem1 24342 . . . 4 (((𝐴 βŠ† ℝ ∧ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) β†’ (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴)
21ralrimivva 3201 . . 3 ((𝐴 βŠ† ℝ ∧ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴)
32ex 414 . 2 (𝐴 βŠ† ℝ β†’ (((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝐴) ∈ Conn β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴))
4 n0 4347 . . . . . . . . 9 ((𝑒 ∩ 𝐴) β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘ 𝑏 ∈ (𝑒 ∩ 𝐴))
5 n0 4347 . . . . . . . . 9 ((𝑣 ∩ 𝐴) β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴))
64, 5anbi12i 628 . . . . . . . 8 (((𝑒 ∩ 𝐴) β‰  βˆ… ∧ (𝑣 ∩ 𝐴) β‰  βˆ…) ↔ (βˆƒπ‘ 𝑏 ∈ (𝑒 ∩ 𝐴) ∧ βˆƒπ‘ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)))
7 exdistrv 1960 . . . . . . . . 9 (βˆƒπ‘βˆƒπ‘(𝑏 ∈ (𝑒 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ↔ (βˆƒπ‘ 𝑏 ∈ (𝑒 ∩ 𝐴) ∧ βˆƒπ‘ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)))
8 simplll 774 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ (𝑒 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGenβ€˜ran (,)))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑒 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (ℝ βˆ– 𝐴))) β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
9 simprll 778 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ (𝑒 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGenβ€˜ran (,)))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑒 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (ℝ βˆ– 𝐴))) β†’ 𝑏 ∈ (𝑒 ∩ 𝐴))
109elin2d 4200 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ (𝑒 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGenβ€˜ran (,)))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑒 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (ℝ βˆ– 𝐴))) β†’ 𝑏 ∈ 𝐴)
118, 10sseldd 3984 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ (𝑒 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGenβ€˜ran (,)))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑒 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (ℝ βˆ– 𝐴))) β†’ 𝑏 ∈ ℝ)
12 simprlr 779 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ (𝑒 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGenβ€˜ran (,)))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑒 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (ℝ βˆ– 𝐴))) β†’ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴))
1312elin2d 4200 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ (𝑒 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGenβ€˜ran (,)))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑒 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (ℝ βˆ– 𝐴))) β†’ 𝑐 ∈ 𝐴)
148, 13sseldd 3984 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ (𝑒 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGenβ€˜ran (,)))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑒 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (ℝ βˆ– 𝐴))) β†’ 𝑐 ∈ ℝ)
158adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ (𝑒 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGenβ€˜ran (,)))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑒 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (ℝ βˆ– 𝐴))) ∧ 𝑏 ≀ 𝑐) β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
16 simplrl 776 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 βŠ† ℝ ∧ (𝑒 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGenβ€˜ran (,)))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴) β†’ 𝑒 ∈ (topGenβ€˜ran (,)))
1716ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ (𝑒 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGenβ€˜ran (,)))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑒 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (ℝ βˆ– 𝐴))) ∧ 𝑏 ≀ 𝑐) β†’ 𝑒 ∈ (topGenβ€˜ran (,)))
18 simplrr 777 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 βŠ† ℝ ∧ (𝑒 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGenβ€˜ran (,)))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴) β†’ 𝑣 ∈ (topGenβ€˜ran (,)))
1918ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ (𝑒 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGenβ€˜ran (,)))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑒 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (ℝ βˆ– 𝐴))) ∧ 𝑏 ≀ 𝑐) β†’ 𝑣 ∈ (topGenβ€˜ran (,)))
20 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ (𝑒 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGenβ€˜ran (,)))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑒 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (ℝ βˆ– 𝐴))) ∧ 𝑏 ≀ 𝑐) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴)
219adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ (𝑒 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGenβ€˜ran (,)))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑒 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (ℝ βˆ– 𝐴))) ∧ 𝑏 ≀ 𝑐) β†’ 𝑏 ∈ (𝑒 ∩ 𝐴))
2212adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ (𝑒 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGenβ€˜ran (,)))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑒 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (ℝ βˆ– 𝐴))) ∧ 𝑏 ≀ 𝑐) β†’ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴))
23 simplrr 777 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ (𝑒 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGenβ€˜ran (,)))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑒 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (ℝ βˆ– 𝐴))) ∧ 𝑏 ≀ 𝑐) β†’ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (ℝ βˆ– 𝐴))
24 simpr 486 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ (𝑒 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGenβ€˜ran (,)))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑒 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (ℝ βˆ– 𝐴))) ∧ 𝑏 ≀ 𝑐) β†’ 𝑏 ≀ 𝑐)
25 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . 13 sup((𝑒 ∩ (𝑏[,]𝑐)), ℝ, < ) = sup((𝑒 ∩ (𝑏[,]𝑐)), ℝ, < )
2615, 17, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25reconnlem2 24343 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ (𝑒 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGenβ€˜ran (,)))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑒 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (ℝ βˆ– 𝐴))) ∧ 𝑏 ≀ 𝑐) β†’ Β¬ 𝐴 βŠ† (𝑒 βˆͺ 𝑣))
278adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ (𝑒 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGenβ€˜ran (,)))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑒 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (ℝ βˆ– 𝐴))) ∧ 𝑐 ≀ 𝑏) β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
2818ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ (𝑒 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGenβ€˜ran (,)))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑒 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (ℝ βˆ– 𝐴))) ∧ 𝑐 ≀ 𝑏) β†’ 𝑣 ∈ (topGenβ€˜ran (,)))
2916ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ (𝑒 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGenβ€˜ran (,)))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑒 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (ℝ βˆ– 𝐴))) ∧ 𝑐 ≀ 𝑏) β†’ 𝑒 ∈ (topGenβ€˜ran (,)))
30 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ (𝑒 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGenβ€˜ran (,)))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑒 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (ℝ βˆ– 𝐴))) ∧ 𝑐 ≀ 𝑏) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴)
3112adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ (𝑒 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGenβ€˜ran (,)))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑒 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (ℝ βˆ– 𝐴))) ∧ 𝑐 ≀ 𝑏) β†’ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴))
329adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ (𝑒 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGenβ€˜ran (,)))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑒 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (ℝ βˆ– 𝐴))) ∧ 𝑐 ≀ 𝑏) β†’ 𝑏 ∈ (𝑒 ∩ 𝐴))
33 incom 4202 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣 ∩ 𝑒) = (𝑒 ∩ 𝑣)
34 simplrr 777 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ (𝑒 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGenβ€˜ran (,)))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑒 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (ℝ βˆ– 𝐴))) ∧ 𝑐 ≀ 𝑏) β†’ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (ℝ βˆ– 𝐴))
3533, 34eqsstrid 4031 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ (𝑒 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGenβ€˜ran (,)))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑒 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (ℝ βˆ– 𝐴))) ∧ 𝑐 ≀ 𝑏) β†’ (𝑣 ∩ 𝑒) βŠ† (ℝ βˆ– 𝐴))
36 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ (𝑒 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGenβ€˜ran (,)))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑒 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (ℝ βˆ– 𝐴))) ∧ 𝑐 ≀ 𝑏) β†’ 𝑐 ≀ 𝑏)
37 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 sup((𝑣 ∩ (𝑐[,]𝑏)), ℝ, < ) = sup((𝑣 ∩ (𝑐[,]𝑏)), ℝ, < )
3827, 28, 29, 30, 31, 32, 35, 36, 37reconnlem2 24343 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ (𝑒 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGenβ€˜ran (,)))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑒 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (ℝ βˆ– 𝐴))) ∧ 𝑐 ≀ 𝑏) β†’ Β¬ 𝐴 βŠ† (𝑣 βˆͺ 𝑒))
39 uncom 4154 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣 βˆͺ 𝑒) = (𝑒 βˆͺ 𝑣)
4039sseq2i 4012 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 βŠ† (𝑣 βˆͺ 𝑒) ↔ 𝐴 βŠ† (𝑒 βˆͺ 𝑣))
4138, 40sylnib 328 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ (𝑒 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGenβ€˜ran (,)))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑒 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (ℝ βˆ– 𝐴))) ∧ 𝑐 ≀ 𝑏) β†’ Β¬ 𝐴 βŠ† (𝑒 βˆͺ 𝑣))
4211, 14, 26, 41lecasei 11320 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ (𝑒 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGenβ€˜ran (,)))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑒 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (ℝ βˆ– 𝐴))) β†’ Β¬ 𝐴 βŠ† (𝑒 βˆͺ 𝑣))
4342exp32 422 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 βŠ† ℝ ∧ (𝑒 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGenβ€˜ran (,)))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴) β†’ ((𝑏 ∈ (𝑒 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) β†’ ((𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (ℝ βˆ– 𝐴) β†’ Β¬ 𝐴 βŠ† (𝑒 βˆͺ 𝑣))))
4443exlimdvv 1938 . . . . . . . . 9 (((𝐴 βŠ† ℝ ∧ (𝑒 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGenβ€˜ran (,)))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴) β†’ (βˆƒπ‘βˆƒπ‘(𝑏 ∈ (𝑒 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) β†’ ((𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (ℝ βˆ– 𝐴) β†’ Β¬ 𝐴 βŠ† (𝑒 βˆͺ 𝑣))))
457, 44biimtrrid 242 . . . . . . . 8 (((𝐴 βŠ† ℝ ∧ (𝑒 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGenβ€˜ran (,)))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴) β†’ ((βˆƒπ‘ 𝑏 ∈ (𝑒 ∩ 𝐴) ∧ βˆƒπ‘ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) β†’ ((𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (ℝ βˆ– 𝐴) β†’ Β¬ 𝐴 βŠ† (𝑒 βˆͺ 𝑣))))
466, 45biimtrid 241 . . . . . . 7 (((𝐴 βŠ† ℝ ∧ (𝑒 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGenβ€˜ran (,)))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴) β†’ (((𝑒 ∩ 𝐴) β‰  βˆ… ∧ (𝑣 ∩ 𝐴) β‰  βˆ…) β†’ ((𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (ℝ βˆ– 𝐴) β†’ Β¬ 𝐴 βŠ† (𝑒 βˆͺ 𝑣))))
4746expd 417 . . . . . 6 (((𝐴 βŠ† ℝ ∧ (𝑒 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGenβ€˜ran (,)))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴) β†’ ((𝑒 ∩ 𝐴) β‰  βˆ… β†’ ((𝑣 ∩ 𝐴) β‰  βˆ… β†’ ((𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (ℝ βˆ– 𝐴) β†’ Β¬ 𝐴 βŠ† (𝑒 βˆͺ 𝑣)))))
48473impd 1349 . . . . 5 (((𝐴 βŠ† ℝ ∧ (𝑒 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGenβ€˜ran (,)))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴) β†’ (((𝑒 ∩ 𝐴) β‰  βˆ… ∧ (𝑣 ∩ 𝐴) β‰  βˆ… ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (ℝ βˆ– 𝐴)) β†’ Β¬ 𝐴 βŠ† (𝑒 βˆͺ 𝑣)))
4948ex 414 . . . 4 ((𝐴 βŠ† ℝ ∧ (𝑒 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGenβ€˜ran (,)))) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴 β†’ (((𝑒 ∩ 𝐴) β‰  βˆ… ∧ (𝑣 ∩ 𝐴) β‰  βˆ… ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (ℝ βˆ– 𝐴)) β†’ Β¬ 𝐴 βŠ† (𝑒 βˆͺ 𝑣))))
5049ralrimdvva 3210 . . 3 (𝐴 βŠ† ℝ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴 β†’ βˆ€π‘’ ∈ (topGenβ€˜ran (,))βˆ€π‘£ ∈ (topGenβ€˜ran (,))(((𝑒 ∩ 𝐴) β‰  βˆ… ∧ (𝑣 ∩ 𝐴) β‰  βˆ… ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (ℝ βˆ– 𝐴)) β†’ Β¬ 𝐴 βŠ† (𝑒 βˆͺ 𝑣))))
51 retopon 24280 . . . 4 (topGenβ€˜ran (,)) ∈ (TopOnβ€˜β„)
52 connsub 22925 . . . 4 (((topGenβ€˜ran (,)) ∈ (TopOnβ€˜β„) ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) β†’ (((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝐴) ∈ Conn ↔ βˆ€π‘’ ∈ (topGenβ€˜ran (,))βˆ€π‘£ ∈ (topGenβ€˜ran (,))(((𝑒 ∩ 𝐴) β‰  βˆ… ∧ (𝑣 ∩ 𝐴) β‰  βˆ… ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (ℝ βˆ– 𝐴)) β†’ Β¬ 𝐴 βŠ† (𝑒 βˆͺ 𝑣))))
5351, 52mpan 689 . . 3 (𝐴 βŠ† ℝ β†’ (((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝐴) ∈ Conn ↔ βˆ€π‘’ ∈ (topGenβ€˜ran (,))βˆ€π‘£ ∈ (topGenβ€˜ran (,))(((𝑒 ∩ 𝐴) β‰  βˆ… ∧ (𝑣 ∩ 𝐴) β‰  βˆ… ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (ℝ βˆ– 𝐴)) β†’ Β¬ 𝐴 βŠ† (𝑒 βˆͺ 𝑣))))
5450, 53sylibrd 259 . 2 (𝐴 βŠ† ℝ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴 β†’ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝐴) ∈ Conn))
553, 54impbid 211 1 (𝐴 βŠ† ℝ β†’ (((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝐴) ∈ Conn ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062   βˆ– cdif 3946   βˆͺ cun 3947   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323   class class class wbr 5149  ran crn 5678  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  supcsup 9435  β„cr 11109   < clt 11248   ≀ cle 11249  (,)cioo 13324  [,]cicc 13327   β†Ύt crest 17366  topGenctg 17383  TopOnctopon 22412  Conncconn 22915
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ico 13330  df-icc 13331  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-rest 17368  df-topgen 17389  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-top 22396  df-topon 22413  df-bases 22449  df-cld 22523  df-conn 22916
This theorem is referenced by:  retopconn  24345  iccconn  24346  resconn  34268  ioosconn  34269  iccllysconn  34272  ivthALT  35268
  Copyright terms: Public domain W3C validator