MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reconn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem reconn 24214
Description: A subset of the reals is connected iff it has the interval property. (Contributed by Jeff Hankins, 15-Jul-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
reconn (𝐴 βŠ† ℝ β†’ (((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝐴) ∈ Conn ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴))
Distinct variable group:   π‘₯,𝑦,𝐴

Proof of Theorem reconn
Dummy variables 𝑏 𝑐 𝑒 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reconnlem1 24212 . . . 4 (((𝐴 βŠ† ℝ ∧ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) β†’ (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴)
21ralrimivva 3194 . . 3 ((𝐴 βŠ† ℝ ∧ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴)
32ex 414 . 2 (𝐴 βŠ† ℝ β†’ (((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝐴) ∈ Conn β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴))
4 n0 4310 . . . . . . . . 9 ((𝑒 ∩ 𝐴) β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘ 𝑏 ∈ (𝑒 ∩ 𝐴))
5 n0 4310 . . . . . . . . 9 ((𝑣 ∩ 𝐴) β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴))
64, 5anbi12i 628 . . . . . . . 8 (((𝑒 ∩ 𝐴) β‰  βˆ… ∧ (𝑣 ∩ 𝐴) β‰  βˆ…) ↔ (βˆƒπ‘ 𝑏 ∈ (𝑒 ∩ 𝐴) ∧ βˆƒπ‘ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)))
7 exdistrv 1960 . . . . . . . . 9 (βˆƒπ‘βˆƒπ‘(𝑏 ∈ (𝑒 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ↔ (βˆƒπ‘ 𝑏 ∈ (𝑒 ∩ 𝐴) ∧ βˆƒπ‘ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)))
8 simplll 774 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ (𝑒 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGenβ€˜ran (,)))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑒 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (ℝ βˆ– 𝐴))) β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
9 simprll 778 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ (𝑒 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGenβ€˜ran (,)))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑒 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (ℝ βˆ– 𝐴))) β†’ 𝑏 ∈ (𝑒 ∩ 𝐴))
109elin2d 4163 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ (𝑒 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGenβ€˜ran (,)))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑒 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (ℝ βˆ– 𝐴))) β†’ 𝑏 ∈ 𝐴)
118, 10sseldd 3949 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ (𝑒 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGenβ€˜ran (,)))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑒 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (ℝ βˆ– 𝐴))) β†’ 𝑏 ∈ ℝ)
12 simprlr 779 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ (𝑒 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGenβ€˜ran (,)))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑒 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (ℝ βˆ– 𝐴))) β†’ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴))
1312elin2d 4163 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ (𝑒 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGenβ€˜ran (,)))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑒 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (ℝ βˆ– 𝐴))) β†’ 𝑐 ∈ 𝐴)
148, 13sseldd 3949 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ (𝑒 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGenβ€˜ran (,)))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑒 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (ℝ βˆ– 𝐴))) β†’ 𝑐 ∈ ℝ)
158adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ (𝑒 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGenβ€˜ran (,)))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑒 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (ℝ βˆ– 𝐴))) ∧ 𝑏 ≀ 𝑐) β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
16 simplrl 776 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 βŠ† ℝ ∧ (𝑒 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGenβ€˜ran (,)))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴) β†’ 𝑒 ∈ (topGenβ€˜ran (,)))
1716ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ (𝑒 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGenβ€˜ran (,)))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑒 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (ℝ βˆ– 𝐴))) ∧ 𝑏 ≀ 𝑐) β†’ 𝑒 ∈ (topGenβ€˜ran (,)))
18 simplrr 777 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 βŠ† ℝ ∧ (𝑒 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGenβ€˜ran (,)))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴) β†’ 𝑣 ∈ (topGenβ€˜ran (,)))
1918ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ (𝑒 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGenβ€˜ran (,)))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑒 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (ℝ βˆ– 𝐴))) ∧ 𝑏 ≀ 𝑐) β†’ 𝑣 ∈ (topGenβ€˜ran (,)))
20 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ (𝑒 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGenβ€˜ran (,)))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑒 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (ℝ βˆ– 𝐴))) ∧ 𝑏 ≀ 𝑐) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴)
219adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ (𝑒 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGenβ€˜ran (,)))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑒 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (ℝ βˆ– 𝐴))) ∧ 𝑏 ≀ 𝑐) β†’ 𝑏 ∈ (𝑒 ∩ 𝐴))
2212adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ (𝑒 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGenβ€˜ran (,)))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑒 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (ℝ βˆ– 𝐴))) ∧ 𝑏 ≀ 𝑐) β†’ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴))
23 simplrr 777 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ (𝑒 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGenβ€˜ran (,)))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑒 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (ℝ βˆ– 𝐴))) ∧ 𝑏 ≀ 𝑐) β†’ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (ℝ βˆ– 𝐴))
24 simpr 486 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ (𝑒 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGenβ€˜ran (,)))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑒 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (ℝ βˆ– 𝐴))) ∧ 𝑏 ≀ 𝑐) β†’ 𝑏 ≀ 𝑐)
25 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . 13 sup((𝑒 ∩ (𝑏[,]𝑐)), ℝ, < ) = sup((𝑒 ∩ (𝑏[,]𝑐)), ℝ, < )
2615, 17, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25reconnlem2 24213 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ (𝑒 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGenβ€˜ran (,)))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑒 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (ℝ βˆ– 𝐴))) ∧ 𝑏 ≀ 𝑐) β†’ Β¬ 𝐴 βŠ† (𝑒 βˆͺ 𝑣))
278adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ (𝑒 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGenβ€˜ran (,)))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑒 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (ℝ βˆ– 𝐴))) ∧ 𝑐 ≀ 𝑏) β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
2818ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ (𝑒 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGenβ€˜ran (,)))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑒 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (ℝ βˆ– 𝐴))) ∧ 𝑐 ≀ 𝑏) β†’ 𝑣 ∈ (topGenβ€˜ran (,)))
2916ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ (𝑒 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGenβ€˜ran (,)))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑒 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (ℝ βˆ– 𝐴))) ∧ 𝑐 ≀ 𝑏) β†’ 𝑒 ∈ (topGenβ€˜ran (,)))
30 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ (𝑒 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGenβ€˜ran (,)))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑒 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (ℝ βˆ– 𝐴))) ∧ 𝑐 ≀ 𝑏) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴)
3112adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ (𝑒 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGenβ€˜ran (,)))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑒 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (ℝ βˆ– 𝐴))) ∧ 𝑐 ≀ 𝑏) β†’ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴))
329adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ (𝑒 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGenβ€˜ran (,)))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑒 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (ℝ βˆ– 𝐴))) ∧ 𝑐 ≀ 𝑏) β†’ 𝑏 ∈ (𝑒 ∩ 𝐴))
33 incom 4165 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣 ∩ 𝑒) = (𝑒 ∩ 𝑣)
34 simplrr 777 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ (𝑒 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGenβ€˜ran (,)))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑒 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (ℝ βˆ– 𝐴))) ∧ 𝑐 ≀ 𝑏) β†’ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (ℝ βˆ– 𝐴))
3533, 34eqsstrid 3996 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ (𝑒 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGenβ€˜ran (,)))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑒 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (ℝ βˆ– 𝐴))) ∧ 𝑐 ≀ 𝑏) β†’ (𝑣 ∩ 𝑒) βŠ† (ℝ βˆ– 𝐴))
36 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ (𝑒 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGenβ€˜ran (,)))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑒 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (ℝ βˆ– 𝐴))) ∧ 𝑐 ≀ 𝑏) β†’ 𝑐 ≀ 𝑏)
37 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 sup((𝑣 ∩ (𝑐[,]𝑏)), ℝ, < ) = sup((𝑣 ∩ (𝑐[,]𝑏)), ℝ, < )
3827, 28, 29, 30, 31, 32, 35, 36, 37reconnlem2 24213 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ (𝑒 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGenβ€˜ran (,)))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑒 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (ℝ βˆ– 𝐴))) ∧ 𝑐 ≀ 𝑏) β†’ Β¬ 𝐴 βŠ† (𝑣 βˆͺ 𝑒))
39 uncom 4117 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣 βˆͺ 𝑒) = (𝑒 βˆͺ 𝑣)
4039sseq2i 3977 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 βŠ† (𝑣 βˆͺ 𝑒) ↔ 𝐴 βŠ† (𝑒 βˆͺ 𝑣))
4138, 40sylnib 328 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ (𝑒 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGenβ€˜ran (,)))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑒 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (ℝ βˆ– 𝐴))) ∧ 𝑐 ≀ 𝑏) β†’ Β¬ 𝐴 βŠ† (𝑒 βˆͺ 𝑣))
4211, 14, 26, 41lecasei 11269 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ (𝑒 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGenβ€˜ran (,)))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑒 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (ℝ βˆ– 𝐴))) β†’ Β¬ 𝐴 βŠ† (𝑒 βˆͺ 𝑣))
4342exp32 422 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 βŠ† ℝ ∧ (𝑒 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGenβ€˜ran (,)))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴) β†’ ((𝑏 ∈ (𝑒 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) β†’ ((𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (ℝ βˆ– 𝐴) β†’ Β¬ 𝐴 βŠ† (𝑒 βˆͺ 𝑣))))
4443exlimdvv 1938 . . . . . . . . 9 (((𝐴 βŠ† ℝ ∧ (𝑒 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGenβ€˜ran (,)))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴) β†’ (βˆƒπ‘βˆƒπ‘(𝑏 ∈ (𝑒 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) β†’ ((𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (ℝ βˆ– 𝐴) β†’ Β¬ 𝐴 βŠ† (𝑒 βˆͺ 𝑣))))
457, 44biimtrrid 242 . . . . . . . 8 (((𝐴 βŠ† ℝ ∧ (𝑒 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGenβ€˜ran (,)))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴) β†’ ((βˆƒπ‘ 𝑏 ∈ (𝑒 ∩ 𝐴) ∧ βˆƒπ‘ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) β†’ ((𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (ℝ βˆ– 𝐴) β†’ Β¬ 𝐴 βŠ† (𝑒 βˆͺ 𝑣))))
466, 45biimtrid 241 . . . . . . 7 (((𝐴 βŠ† ℝ ∧ (𝑒 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGenβ€˜ran (,)))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴) β†’ (((𝑒 ∩ 𝐴) β‰  βˆ… ∧ (𝑣 ∩ 𝐴) β‰  βˆ…) β†’ ((𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (ℝ βˆ– 𝐴) β†’ Β¬ 𝐴 βŠ† (𝑒 βˆͺ 𝑣))))
4746expd 417 . . . . . 6 (((𝐴 βŠ† ℝ ∧ (𝑒 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGenβ€˜ran (,)))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴) β†’ ((𝑒 ∩ 𝐴) β‰  βˆ… β†’ ((𝑣 ∩ 𝐴) β‰  βˆ… β†’ ((𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (ℝ βˆ– 𝐴) β†’ Β¬ 𝐴 βŠ† (𝑒 βˆͺ 𝑣)))))
48473impd 1349 . . . . 5 (((𝐴 βŠ† ℝ ∧ (𝑒 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGenβ€˜ran (,)))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴) β†’ (((𝑒 ∩ 𝐴) β‰  βˆ… ∧ (𝑣 ∩ 𝐴) β‰  βˆ… ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (ℝ βˆ– 𝐴)) β†’ Β¬ 𝐴 βŠ† (𝑒 βˆͺ 𝑣)))
4948ex 414 . . . 4 ((𝐴 βŠ† ℝ ∧ (𝑒 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGenβ€˜ran (,)))) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴 β†’ (((𝑒 ∩ 𝐴) β‰  βˆ… ∧ (𝑣 ∩ 𝐴) β‰  βˆ… ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (ℝ βˆ– 𝐴)) β†’ Β¬ 𝐴 βŠ† (𝑒 βˆͺ 𝑣))))
5049ralrimdvva 3200 . . 3 (𝐴 βŠ† ℝ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴 β†’ βˆ€π‘’ ∈ (topGenβ€˜ran (,))βˆ€π‘£ ∈ (topGenβ€˜ran (,))(((𝑒 ∩ 𝐴) β‰  βˆ… ∧ (𝑣 ∩ 𝐴) β‰  βˆ… ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (ℝ βˆ– 𝐴)) β†’ Β¬ 𝐴 βŠ† (𝑒 βˆͺ 𝑣))))
51 retopon 24150 . . . 4 (topGenβ€˜ran (,)) ∈ (TopOnβ€˜β„)
52 connsub 22795 . . . 4 (((topGenβ€˜ran (,)) ∈ (TopOnβ€˜β„) ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) β†’ (((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝐴) ∈ Conn ↔ βˆ€π‘’ ∈ (topGenβ€˜ran (,))βˆ€π‘£ ∈ (topGenβ€˜ran (,))(((𝑒 ∩ 𝐴) β‰  βˆ… ∧ (𝑣 ∩ 𝐴) β‰  βˆ… ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (ℝ βˆ– 𝐴)) β†’ Β¬ 𝐴 βŠ† (𝑒 βˆͺ 𝑣))))
5351, 52mpan 689 . . 3 (𝐴 βŠ† ℝ β†’ (((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝐴) ∈ Conn ↔ βˆ€π‘’ ∈ (topGenβ€˜ran (,))βˆ€π‘£ ∈ (topGenβ€˜ran (,))(((𝑒 ∩ 𝐴) β‰  βˆ… ∧ (𝑣 ∩ 𝐴) β‰  βˆ… ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (ℝ βˆ– 𝐴)) β†’ Β¬ 𝐴 βŠ† (𝑒 βˆͺ 𝑣))))
5450, 53sylibrd 259 . 2 (𝐴 βŠ† ℝ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴 β†’ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝐴) ∈ Conn))
553, 54impbid 211 1 (𝐴 βŠ† ℝ β†’ (((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝐴) ∈ Conn ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061   βˆ– cdif 3911   βˆͺ cun 3912   ∩ cin 3913   βŠ† wss 3914  βˆ…c0 4286   class class class wbr 5109  ran crn 5638  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  supcsup 9384  β„cr 11058   < clt 11197   ≀ cle 11198  (,)cioo 13273  [,]cicc 13276   β†Ύt crest 17310  topGenctg 17327  TopOnctopon 22282  Conncconn 22785
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fi 9355  df-sup 9386  df-inf 9387  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-q 12882  df-rp 12924  df-xneg 13041  df-xadd 13042  df-xmul 13043  df-ioo 13277  df-ico 13279  df-icc 13280  df-seq 13916  df-exp 13977  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-rest 17312  df-topgen 17333  df-psmet 20811  df-xmet 20812  df-met 20813  df-bl 20814  df-mopn 20815  df-top 22266  df-topon 22283  df-bases 22319  df-cld 22393  df-conn 22786
This theorem is referenced by:  retopconn  24215  iccconn  24216  resconn  33904  ioosconn  33905  iccllysconn  33908  ivthALT  34860
  Copyright terms: Public domain W3C validator