Theorem reconn 24724

Description: A subset of the reals is connected iff it has the interval property. (Contributed by Jeff Hankins, 15-Jul-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
reconn	⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem reconn

Dummy variables 𝑏 𝑐 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reconnlem1 24722	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴)
2	1	ralrimivva 3181	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴)
3	2	ex 412	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴))
4		n0 4319	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑢 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ↔ ∃𝑏 𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴))
5		n0 4319	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑣 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ↔ ∃𝑐 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴))
6	4, 5	anbi12i 628	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑢 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑣 ∩ 𝐴) ≠ ∅) ↔ (∃𝑏 𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ ∃𝑐 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)))
7		exdistrv 1955	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑏∃𝑐(𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ↔ (∃𝑏 𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ ∃𝑐 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)))
8		simplll 774	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) → 𝐴 ⊆ ℝ)
9		simprll 778	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) → 𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴))
10	9	elin2d 4171	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) → 𝑏 ∈ 𝐴)
11	8, 10	sseldd 3950	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) → 𝑏 ∈ ℝ)
12		simprlr 779	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) → 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴))
13	12	elin2d 4171	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) → 𝑐 ∈ 𝐴)
14	8, 13	sseldd 3950	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) → 𝑐 ∈ ℝ)
15	8	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑏 ≤ 𝑐) → 𝐴 ⊆ ℝ)
16		simplrl 776	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) → 𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)))
17	16	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑏 ≤ 𝑐) → 𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)))
18		simplrr 777	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) → 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))
19	18	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑏 ≤ 𝑐) → 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))
20		simpllr 775	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑏 ≤ 𝑐) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴)
21	9	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑏 ≤ 𝑐) → 𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴))
22	12	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑏 ≤ 𝑐) → 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴))
23		simplrr 777	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑏 ≤ 𝑐) → (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))
24		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑏 ≤ 𝑐) → 𝑏 ≤ 𝑐)
25		eqid 2730	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ sup((𝑢 ∩ (𝑏[,]𝑐)), ℝ, < ) = sup((𝑢 ∩ (𝑏[,]𝑐)), ℝ, < )
26	15, 17, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25	reconnlem2 24723	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑏 ≤ 𝑐) → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣))
27	8	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑐 ≤ 𝑏) → 𝐴 ⊆ ℝ)
28	18	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑐 ≤ 𝑏) → 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))
29	16	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑐 ≤ 𝑏) → 𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)))
30		simpllr 775	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑐 ≤ 𝑏) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴)
31	12	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑐 ≤ 𝑏) → 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴))
32	9	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑐 ≤ 𝑏) → 𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴))
33		incom 4175	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑣 ∩ 𝑢) = (𝑢 ∩ 𝑣)
34		simplrr 777	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑐 ≤ 𝑏) → (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))
35	33, 34	eqsstrid 3988	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑐 ≤ 𝑏) → (𝑣 ∩ 𝑢) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))
36		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑐 ≤ 𝑏) → 𝑐 ≤ 𝑏)
37		eqid 2730	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ sup((𝑣 ∩ (𝑐[,]𝑏)), ℝ, < ) = sup((𝑣 ∩ (𝑐[,]𝑏)), ℝ, < )
38	27, 28, 29, 30, 31, 32, 35, 36, 37	reconnlem2 24723	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑐 ≤ 𝑏) → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑣 ∪ 𝑢))
39		uncom 4124	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑣 ∪ 𝑢) = (𝑢 ∪ 𝑣)
40	39	sseq2i 3979	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ⊆ (𝑣 ∪ 𝑢) ↔ 𝐴 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣))
41	38, 40	sylnib 328	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑐 ≤ 𝑏) → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣))
42	11, 14, 26, 41	lecasei 11287	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣))
43	42	exp32 420	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) → ((𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) → ((𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴) → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣))))
44	43	exlimdvv 1934	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) → (∃𝑏∃𝑐(𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) → ((𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴) → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣))))
45	7, 44	biimtrrid 243	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) → ((∃𝑏 𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ ∃𝑐 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) → ((𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴) → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣))))
46	6, 45	biimtrid 242	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) → (((𝑢 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑣 ∩ 𝐴) ≠ ∅) → ((𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴) → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣))))
47	46	expd 415	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) → ((𝑢 ∩ 𝐴) ≠ ∅ → ((𝑣 ∩ 𝐴) ≠ ∅ → ((𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴) → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣)))))
48	47	3impd 1349	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) → (((𝑢 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑣 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴)) → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣)))
49	48	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴 → (((𝑢 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑣 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴)) → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣))))
50	49	ralrimdvva 3193	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴 → ∀𝑢 ∈ (topGen‘ran (,))∀𝑣 ∈ (topGen‘ran (,))(((𝑢 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑣 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴)) → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣))))
51		retopon 24658	. . . 4 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
52		connsub 23315	. . . 4 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn ↔ ∀𝑢 ∈ (topGen‘ran (,))∀𝑣 ∈ (topGen‘ran (,))(((𝑢 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑣 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴)) → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣))))
53	51, 52	mpan 690	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn ↔ ∀𝑢 ∈ (topGen‘ran (,))∀𝑣 ∈ (topGen‘ran (,))(((𝑢 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑣 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴)) → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣))))
54	50, 53	sylibrd 259	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴 → ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn))
55	3, 54	impbid 212	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  ∀wral 3045   ∖ cdif 3914   ∪ cun 3915   ∩ cin 3916   ⊆ wss 3917  ∅c0 4299   class class class wbr 5110  ran crn 5642  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  supcsup 9398  ℝcr 11074   < clt 11215   ≤ cle 11216  (,)cioo 13313  [,]cicc 13316   ↾_t crest 17390  topGenctg 17407  TopOnctopon 22804  Conncconn 23305

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-map 8804  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fi 9369  df-sup 9400  df-inf 9401  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-q 12915  df-rp 12959  df-xneg 13079  df-xadd 13080  df-xmul 13081  df-ioo 13317  df-ico 13319  df-icc 13320  df-seq 13974  df-exp 14034  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-rest 17392  df-topgen 17413  df-psmet 21263  df-xmet 21264  df-met 21265  df-bl 21266  df-mopn 21267  df-top 22788  df-topon 22805  df-bases 22840  df-cld 22913  df-conn 23306

This theorem is referenced by:  retopconn  24725  iccconn  24726  resconn  35240  ioosconn  35241  iccllysconn  35244  ivthALT  36330