Theorem reconn 25055

Description: A subset of the reals is connected iff it has the interval property. (Contributed by Jeff Hankins, 15-Jul-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
reconn	⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem reconn

Dummy variables 𝑏 𝑐 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reconnlem1 25053	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴)
2	1	ralrimivva 3205	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴)
3	2	ex 418	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴))
4		n0 4300	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑢 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ↔ ∃𝑏 𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴))
5		n0 4300	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑣 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ↔ ∃𝑐 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴))
6	4, 5	anbi12i 640	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑢 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑣 ∩ 𝐴) ≠ ∅) ↔ (∃𝑏 𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ ∃𝑐 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)))
7		exdistrv 1988	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑏∃𝑐(𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ↔ (∃𝑏 𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ ∃𝑐 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)))
8		simplll 787	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) → 𝐴 ⊆ ℝ)
9		simprll 791	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) → 𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴))
10	9	elin2d 4151	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) → 𝑏 ∈ 𝐴)
11	8, 10	sseldd 3932	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) → 𝑏 ∈ ℝ)
12		simprlr 792	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) → 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴))
13	12	elin2d 4151	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) → 𝑐 ∈ 𝐴)
14	8, 13	sseldd 3932	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) → 𝑐 ∈ ℝ)
15	8	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑏 ≤ 𝑐) → 𝐴 ⊆ ℝ)
16		simplrl 789	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) → 𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)))
17	16	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑏 ≤ 𝑐) → 𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)))
18		simplrr 790	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) → 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))
19	18	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑏 ≤ 𝑐) → 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))
20		simpllr 788	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑏 ≤ 𝑐) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴)
21	9	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑏 ≤ 𝑐) → 𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴))
22	12	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑏 ≤ 𝑐) → 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴))
23		simplrr 790	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑏 ≤ 𝑐) → (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))
24		simpr 490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑏 ≤ 𝑐) → 𝑏 ≤ 𝑐)
25		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ sup((𝑢 ∩ (𝑏[,]𝑐)), ℝ, < ) = sup((𝑢 ∩ (𝑏[,]𝑐)), ℝ, < )
26	15, 17, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25	reconnlem2 25054	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑏 ≤ 𝑐) → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣))
27	8	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑐 ≤ 𝑏) → 𝐴 ⊆ ℝ)
28	18	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑐 ≤ 𝑏) → 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))
29	16	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑐 ≤ 𝑏) → 𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)))
30		simpllr 788	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑐 ≤ 𝑏) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴)
31	12	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑐 ≤ 𝑏) → 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴))
32	9	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑐 ≤ 𝑏) → 𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴))
33		incom 4155	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑣 ∩ 𝑢) = (𝑢 ∩ 𝑣)
34		simplrr 790	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑐 ≤ 𝑏) → (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))
35	33, 34	eqsstrid 3969	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑐 ≤ 𝑏) → (𝑣 ∩ 𝑢) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))
36		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑐 ≤ 𝑏) → 𝑐 ≤ 𝑏)
37		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ sup((𝑣 ∩ (𝑐[,]𝑏)), ℝ, < ) = sup((𝑣 ∩ (𝑐[,]𝑏)), ℝ, < )
38	27, 28, 29, 30, 31, 32, 35, 36, 37	reconnlem2 25054	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑐 ≤ 𝑏) → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑣 ∪ 𝑢))
39		uncom 4105	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑣 ∪ 𝑢) = (𝑢 ∪ 𝑣)
40	39	sseq2i 3960	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ⊆ (𝑣 ∪ 𝑢) ↔ 𝐴 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣))
41	38, 40	sylnib 331	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑐 ≤ 𝑏) → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣))
42	11, 14, 26, 41	lecasei 11340	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣))
43	42	exp32 426	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) → ((𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) → ((𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴) → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣))))
44	43	exlimdvv 1967	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) → (∃𝑏∃𝑐(𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) → ((𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴) → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣))))
45	7, 44	biimtrrid 246	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) → ((∃𝑏 𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ ∃𝑐 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) → ((𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴) → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣))))
46	6, 45	biimtrid 245	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) → (((𝑢 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑣 ∩ 𝐴) ≠ ∅) → ((𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴) → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣))))
47	46	expd 421	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) → ((𝑢 ∩ 𝐴) ≠ ∅ → ((𝑣 ∩ 𝐴) ≠ ∅ → ((𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴) → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣)))))
48	47	3impd 1367	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) → (((𝑢 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑣 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴)) → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣)))
49	48	ex 418	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴 → (((𝑢 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑣 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴)) → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣))))
50	49	ralrimdvva 3217	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴 → ∀𝑢 ∈ (topGen‘ran (,))∀𝑣 ∈ (topGen‘ran (,))(((𝑢 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑣 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴)) → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣))))
51		retopon 24989	. . . 4 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
52		connsub 23646	. . . 4 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn ↔ ∀𝑢 ∈ (topGen‘ran (,))∀𝑣 ∈ (topGen‘ran (,))(((𝑢 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑣 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴)) → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣))))
53	51, 52	mpan 703	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn ↔ ∀𝑢 ∈ (topGen‘ran (,))∀𝑣 ∈ (topGen‘ran (,))(((𝑢 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑣 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴)) → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣))))
54	50, 53	sylibrd 262	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴 → ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn))
55	3, 54	impbid 215	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∀wral 3076   ∖ cdif 3896   ∪ cun 3897   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279   class class class wbr 5103  ran crn 5656  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  supcsup 9410  ℝcr 11123   < clt 11267   ≤ cle 11268  (,)cioo 13398  [,]cicc 13401   ↾_t crest 17505  topGenctg 17522  TopOnctopon 23135  Conncconn 23636

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-map 8828  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fi 9381  df-sup 9412  df-inf 9413  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-div 11896  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12888  df-q 12998  df-rp 13043  df-xneg 13163  df-xadd 13164  df-xmul 13165  df-ioo 13402  df-ico 13404  df-icc 13405  df-seq 14066  df-exp 14126  df-cj 15186  df-re 15187  df-im 15188  df-sqrt 15322  df-abs 15323  df-rest 17507  df-topgen 17528  df-psmet 21577  df-xmet 21578  df-met 21579  df-bl 21580  df-mopn 21581  df-top 23119  df-topon 23136  df-bases 23171  df-cld 23244  df-conn 23637

This theorem is used by:  retopconn  25056  iccconn  25057  resconn  35825  ioosconn  35826  iccllysconn  35829  ivthALT  36954