Theorem reconn 24804

Description: A subset of the reals is connected iff it has the interval property. (Contributed by Jeff Hankins, 15-Jul-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
reconn	⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem reconn

Dummy variables 𝑏 𝑐 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reconnlem1 24802	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴)
2	1	ralrimivva 3181	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴)
3	2	ex 412	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴))
4		n0 4294	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑢 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ↔ ∃𝑏 𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴))
5		n0 4294	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑣 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ↔ ∃𝑐 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴))
6	4, 5	anbi12i 629	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑢 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑣 ∩ 𝐴) ≠ ∅) ↔ (∃𝑏 𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ ∃𝑐 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)))
7		exdistrv 1957	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑏∃𝑐(𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ↔ (∃𝑏 𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ ∃𝑐 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)))
8		simplll 775	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) → 𝐴 ⊆ ℝ)
9		simprll 779	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) → 𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴))
10	9	elin2d 4146	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) → 𝑏 ∈ 𝐴)
11	8, 10	sseldd 3923	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) → 𝑏 ∈ ℝ)
12		simprlr 780	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) → 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴))
13	12	elin2d 4146	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) → 𝑐 ∈ 𝐴)
14	8, 13	sseldd 3923	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) → 𝑐 ∈ ℝ)
15	8	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑏 ≤ 𝑐) → 𝐴 ⊆ ℝ)
16		simplrl 777	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) → 𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)))
17	16	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑏 ≤ 𝑐) → 𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)))
18		simplrr 778	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) → 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))
19	18	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑏 ≤ 𝑐) → 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))
20		simpllr 776	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑏 ≤ 𝑐) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴)
21	9	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑏 ≤ 𝑐) → 𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴))
22	12	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑏 ≤ 𝑐) → 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴))
23		simplrr 778	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑏 ≤ 𝑐) → (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))
24		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑏 ≤ 𝑐) → 𝑏 ≤ 𝑐)
25		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ sup((𝑢 ∩ (𝑏[,]𝑐)), ℝ, < ) = sup((𝑢 ∩ (𝑏[,]𝑐)), ℝ, < )
26	15, 17, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25	reconnlem2 24803	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑏 ≤ 𝑐) → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣))
27	8	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑐 ≤ 𝑏) → 𝐴 ⊆ ℝ)
28	18	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑐 ≤ 𝑏) → 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))
29	16	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑐 ≤ 𝑏) → 𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)))
30		simpllr 776	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑐 ≤ 𝑏) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴)
31	12	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑐 ≤ 𝑏) → 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴))
32	9	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑐 ≤ 𝑏) → 𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴))
33		incom 4150	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑣 ∩ 𝑢) = (𝑢 ∩ 𝑣)
34		simplrr 778	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑐 ≤ 𝑏) → (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))
35	33, 34	eqsstrid 3961	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑐 ≤ 𝑏) → (𝑣 ∩ 𝑢) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))
36		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑐 ≤ 𝑏) → 𝑐 ≤ 𝑏)
37		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ sup((𝑣 ∩ (𝑐[,]𝑏)), ℝ, < ) = sup((𝑣 ∩ (𝑐[,]𝑏)), ℝ, < )
38	27, 28, 29, 30, 31, 32, 35, 36, 37	reconnlem2 24803	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑐 ≤ 𝑏) → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑣 ∪ 𝑢))
39		uncom 4099	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑣 ∪ 𝑢) = (𝑢 ∪ 𝑣)
40	39	sseq2i 3952	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ⊆ (𝑣 ∪ 𝑢) ↔ 𝐴 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣))
41	38, 40	sylnib 328	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑐 ≤ 𝑏) → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣))
42	11, 14, 26, 41	lecasei 11243	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣))
43	42	exp32 420	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) → ((𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) → ((𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴) → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣))))
44	43	exlimdvv 1936	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) → (∃𝑏∃𝑐(𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) → ((𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴) → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣))))
45	7, 44	biimtrrid 243	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) → ((∃𝑏 𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ ∃𝑐 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) → ((𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴) → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣))))
46	6, 45	biimtrid 242	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) → (((𝑢 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑣 ∩ 𝐴) ≠ ∅) → ((𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴) → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣))))
47	46	expd 415	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) → ((𝑢 ∩ 𝐴) ≠ ∅ → ((𝑣 ∩ 𝐴) ≠ ∅ → ((𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴) → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣)))))
48	47	3impd 1350	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) → (((𝑢 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑣 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴)) → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣)))
49	48	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴 → (((𝑢 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑣 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴)) → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣))))
50	49	ralrimdvva 3193	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴 → ∀𝑢 ∈ (topGen‘ran (,))∀𝑣 ∈ (topGen‘ran (,))(((𝑢 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑣 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴)) → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣))))
51		retopon 24738	. . . 4 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
52		connsub 23396	. . . 4 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn ↔ ∀𝑢 ∈ (topGen‘ran (,))∀𝑣 ∈ (topGen‘ran (,))(((𝑢 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑣 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴)) → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣))))
53	51, 52	mpan 691	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn ↔ ∀𝑢 ∈ (topGen‘ran (,))∀𝑣 ∈ (topGen‘ran (,))(((𝑢 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑣 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴)) → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣))))
54	50, 53	sylibrd 259	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴 → ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn))
55	3, 54	impbid 212	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052   ∖ cdif 3887   ∪ cun 3888   ∩ cin 3889   ⊆ wss 3890  ∅c0 4274   class class class wbr 5086  ran crn 5625  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  supcsup 9346  ℝcr 11028   < clt 11170   ≤ cle 11171  (,)cioo 13289  [,]cicc 13292   ↾_t crest 17374  topGenctg 17391  TopOnctopon 22885  Conncconn 23386

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-map 8768  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fi 9317  df-sup 9348  df-inf 9349  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-q 12890  df-rp 12934  df-xneg 13054  df-xadd 13055  df-xmul 13056  df-ioo 13293  df-ico 13295  df-icc 13296  df-seq 13955  df-exp 14015  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-rest 17376  df-topgen 17397  df-psmet 21336  df-xmet 21337  df-met 21338  df-bl 21339  df-mopn 21340  df-top 22869  df-topon 22886  df-bases 22921  df-cld 22994  df-conn 23387

This theorem is referenced by:  retopconn  24805  iccconn  24806  resconn  35444  ioosconn  35445  iccllysconn  35448  ivthALT  36533