MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reconn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem reconn 23139
Description: A subset of the reals is connected iff it has the interval property. (Contributed by Jeff Hankins, 15-Jul-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
reconn (𝐴 ⊆ ℝ → (((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn ↔ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴))
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem reconn
Dummy variables 𝑏 𝑐 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reconnlem1 23137 . . . 4 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴)
21ralrimivva 3141 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴)
32ex 405 . 2 (𝐴 ⊆ ℝ → (((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴))
4 n0 4196 . . . . . . . . 9 ((𝑢𝐴) ≠ ∅ ↔ ∃𝑏 𝑏 ∈ (𝑢𝐴))
5 n0 4196 . . . . . . . . 9 ((𝑣𝐴) ≠ ∅ ↔ ∃𝑐 𝑐 ∈ (𝑣𝐴))
64, 5anbi12i 617 . . . . . . . 8 (((𝑢𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑣𝐴) ≠ ∅) ↔ (∃𝑏 𝑏 ∈ (𝑢𝐴) ∧ ∃𝑐 𝑐 ∈ (𝑣𝐴)))
7 exdistrv 1914 . . . . . . . . 9 (∃𝑏𝑐(𝑏 ∈ (𝑢𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣𝐴)) ↔ (∃𝑏 𝑏 ∈ (𝑢𝐴) ∧ ∃𝑐 𝑐 ∈ (𝑣𝐴)))
8 simplll 762 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣𝐴)) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) → 𝐴 ⊆ ℝ)
9 simprll 766 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣𝐴)) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) → 𝑏 ∈ (𝑢𝐴))
109elin2d 4064 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣𝐴)) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) → 𝑏𝐴)
118, 10sseldd 3859 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣𝐴)) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) → 𝑏 ∈ ℝ)
12 simprlr 767 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣𝐴)) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) → 𝑐 ∈ (𝑣𝐴))
1312elin2d 4064 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣𝐴)) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) → 𝑐𝐴)
148, 13sseldd 3859 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣𝐴)) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) → 𝑐 ∈ ℝ)
158adantr 473 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣𝐴)) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑏𝑐) → 𝐴 ⊆ ℝ)
16 simplrl 764 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) → 𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)))
1716ad2antrr 713 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣𝐴)) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑏𝑐) → 𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)))
18 simplrr 765 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) → 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))
1918ad2antrr 713 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣𝐴)) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑏𝑐) → 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))
20 simpllr 763 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣𝐴)) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑏𝑐) → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴)
219adantr 473 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣𝐴)) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑏𝑐) → 𝑏 ∈ (𝑢𝐴))
2212adantr 473 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣𝐴)) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑏𝑐) → 𝑐 ∈ (𝑣𝐴))
23 simplrr 765 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣𝐴)) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑏𝑐) → (𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))
24 simpr 477 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣𝐴)) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑏𝑐) → 𝑏𝑐)
25 eqid 2778 . . . . . . . . . . . . 13 sup((𝑢 ∩ (𝑏[,]𝑐)), ℝ, < ) = sup((𝑢 ∩ (𝑏[,]𝑐)), ℝ, < )
2615, 17, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25reconnlem2 23138 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣𝐴)) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑏𝑐) → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑢𝑣))
278adantr 473 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣𝐴)) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑐𝑏) → 𝐴 ⊆ ℝ)
2818ad2antrr 713 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣𝐴)) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑐𝑏) → 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))
2916ad2antrr 713 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣𝐴)) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑐𝑏) → 𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)))
30 simpllr 763 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣𝐴)) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑐𝑏) → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴)
3112adantr 473 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣𝐴)) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑐𝑏) → 𝑐 ∈ (𝑣𝐴))
329adantr 473 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣𝐴)) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑐𝑏) → 𝑏 ∈ (𝑢𝐴))
33 incom 4066 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣𝑢) = (𝑢𝑣)
34 simplrr 765 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣𝐴)) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑐𝑏) → (𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))
3533, 34syl5eqss 3905 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣𝐴)) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑐𝑏) → (𝑣𝑢) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))
36 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣𝐴)) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑐𝑏) → 𝑐𝑏)
37 eqid 2778 . . . . . . . . . . . . . 14 sup((𝑣 ∩ (𝑐[,]𝑏)), ℝ, < ) = sup((𝑣 ∩ (𝑐[,]𝑏)), ℝ, < )
3827, 28, 29, 30, 31, 32, 35, 36, 37reconnlem2 23138 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣𝐴)) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑐𝑏) → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑣𝑢))
39 uncom 4018 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣𝑢) = (𝑢𝑣)
4039sseq2i 3886 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ⊆ (𝑣𝑢) ↔ 𝐴 ⊆ (𝑢𝑣))
4138, 40sylnib 320 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣𝐴)) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑐𝑏) → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑢𝑣))
4211, 14, 26, 41lecasei 10546 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣𝐴)) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑢𝑣))
4342exp32 413 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) → ((𝑏 ∈ (𝑢𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣𝐴)) → ((𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴) → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑢𝑣))))
4443exlimdvv 1893 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) → (∃𝑏𝑐(𝑏 ∈ (𝑢𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣𝐴)) → ((𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴) → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑢𝑣))))
457, 44syl5bir 235 . . . . . . . 8 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) → ((∃𝑏 𝑏 ∈ (𝑢𝐴) ∧ ∃𝑐 𝑐 ∈ (𝑣𝐴)) → ((𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴) → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑢𝑣))))
466, 45syl5bi 234 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) → (((𝑢𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑣𝐴) ≠ ∅) → ((𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴) → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑢𝑣))))
4746expd 408 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) → ((𝑢𝐴) ≠ ∅ → ((𝑣𝐴) ≠ ∅ → ((𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴) → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑢𝑣)))))
48473impd 1328 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) → (((𝑢𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑣𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴)) → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑢𝑣)))
4948ex 405 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) → (∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴 → (((𝑢𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑣𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴)) → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑢𝑣))))
5049ralrimdvva 3144 . . 3 (𝐴 ⊆ ℝ → (∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴 → ∀𝑢 ∈ (topGen‘ran (,))∀𝑣 ∈ (topGen‘ran (,))(((𝑢𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑣𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴)) → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑢𝑣))))
51 retopon 23075 . . . 4 (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
52 connsub 21733 . . . 4 (((topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn ↔ ∀𝑢 ∈ (topGen‘ran (,))∀𝑣 ∈ (topGen‘ran (,))(((𝑢𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑣𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴)) → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑢𝑣))))
5351, 52mpan 677 . . 3 (𝐴 ⊆ ℝ → (((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn ↔ ∀𝑢 ∈ (topGen‘ran (,))∀𝑣 ∈ (topGen‘ran (,))(((𝑢𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑣𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴)) → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑢𝑣))))
5450, 53sylibrd 251 . 2 (𝐴 ⊆ ℝ → (∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴 → ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn))
553, 54impbid 204 1 (𝐴 ⊆ ℝ → (((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn ↔ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 387  w3a 1068  wex 1742  wcel 2050  wne 2967  wral 3088  cdif 3826  cun 3827  cin 3828  wss 3829  c0 4178   class class class wbr 4929  ran crn 5408  cfv 6188  (class class class)co 6976  supcsup 8699  cr 10334   < clt 10474  cle 10475  (,)cioo 12554  [,]cicc 12557  t crest 16550  topGenctg 16567  TopOnctopon 21222  Conncconn 21723
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-rep 5049  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412  ax-pre-sup 10413
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3682  df-csb 3787  df-dif 3832  df-un 3834  df-in 3836  df-ss 3843  df-pss 3845  df-nul 4179  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-int 4750  df-iun 4794  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-om 7397  df-1st 7501  df-2nd 7502  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-oadd 7909  df-er 8089  df-map 8208  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-fin 8310  df-fi 8670  df-sup 8701  df-inf 8702  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-div 11099  df-nn 11440  df-2 11503  df-3 11504  df-n0 11708  df-z 11794  df-uz 12059  df-q 12163  df-rp 12205  df-xneg 12324  df-xadd 12325  df-xmul 12326  df-ioo 12558  df-ico 12560  df-icc 12561  df-seq 13185  df-exp 13245  df-cj 14319  df-re 14320  df-im 14321  df-sqrt 14455  df-abs 14456  df-rest 16552  df-topgen 16573  df-psmet 20239  df-xmet 20240  df-met 20241  df-bl 20242  df-mopn 20243  df-top 21206  df-topon 21223  df-bases 21258  df-cld 21331  df-conn 21724
This theorem is referenced by:  retopconn  23140  iccconn  23141  resconn  32084  ioosconn  32085  iccllysconn  32088  ivthALT  33210
  Copyright terms: Public domain W3C validator