Theorem max0add 15227

Description: The sum of the positive and negative part functions is the absolute value function over the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
max0add	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0) + if(0 ≤ -𝐴, -𝐴, 0)) = (abs‘𝐴))

Proof of Theorem max0add

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0red 11125	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
2		id 22	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ)
3		recn 11106	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
4	3	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
5	4	addridd 11323	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝐴 + 0) = 𝐴)
6		iftrue 4482	. . . . 5 ⊢ (0 ≤ 𝐴 → if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0) = 𝐴)
7	6	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0) = 𝐴)
8		le0neg2 11636	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐴 ↔ -𝐴 ≤ 0))
9	8	biimpa 476	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → -𝐴 ≤ 0)
10	9	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 0 ≤ -𝐴) → -𝐴 ≤ 0)
11		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 0 ≤ -𝐴) → 0 ≤ -𝐴)
12		renegcl 11434	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
13	12	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 0 ≤ -𝐴) → -𝐴 ∈ ℝ)
14		0re 11124	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
15		letri3 11208	. . . . . . . 8 ⊢ ((-𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (-𝐴 = 0 ↔ (-𝐴 ≤ 0 ∧ 0 ≤ -𝐴)))
16	13, 14, 15	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 0 ≤ -𝐴) → (-𝐴 = 0 ↔ (-𝐴 ≤ 0 ∧ 0 ≤ -𝐴)))
17	10, 11, 16	mpbir2and 713	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 0 ≤ -𝐴) → -𝐴 = 0)
18	17	ifeq1da 4508	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → if(0 ≤ -𝐴, -𝐴, 0) = if(0 ≤ -𝐴, 0, 0))
19		ifid 4517	. . . . 5 ⊢ if(0 ≤ -𝐴, 0, 0) = 0
20	18, 19	eqtrdi 2784	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → if(0 ≤ -𝐴, -𝐴, 0) = 0)
21	7, 20	oveq12d 7373	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0) + if(0 ≤ -𝐴, -𝐴, 0)) = (𝐴 + 0))
22		absid 15213	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (abs‘𝐴) = 𝐴)
23	5, 21, 22	3eqtr4d 2778	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0) + if(0 ≤ -𝐴, -𝐴, 0)) = (abs‘𝐴))
24	3	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
25	24	negcld 11469	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → -𝐴 ∈ ℂ)
26	25	addlidd 11324	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → (0 + -𝐴) = -𝐴)
27		letri3 11208	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐴 = 0 ↔ (𝐴 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝐴)))
28	14, 27	mpan2 691	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 = 0 ↔ (𝐴 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝐴)))
29	28	biimprd 248	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 = 0))
30	29	impl 455	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 = 0)
31	30	ifeq1da 4508	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0) = if(0 ≤ 𝐴, 0, 0))
32		ifid 4517	. . . . 5 ⊢ if(0 ≤ 𝐴, 0, 0) = 0
33	31, 32	eqtrdi 2784	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0) = 0)
34		le0neg1 11635	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝐴))
35	34	biimpa 476	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → 0 ≤ -𝐴)
36	35	iftrued 4484	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → if(0 ≤ -𝐴, -𝐴, 0) = -𝐴)
37	33, 36	oveq12d 7373	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → (if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0) + if(0 ≤ -𝐴, -𝐴, 0)) = (0 + -𝐴))
38		absnid 15215	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → (abs‘𝐴) = -𝐴)
39	26, 37, 38	3eqtr4d 2778	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → (if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0) + if(0 ≤ -𝐴, -𝐴, 0)) = (abs‘𝐴))
40	1, 2, 23, 39	lecasei 11229	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0) + if(0 ≤ -𝐴, -𝐴, 0)) = (abs‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ifcif 4476   class class class wbr 5095  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355  ℂcc 11014  ℝcr 11015  0cc0 11016   + caddc 11019   ≤ cle 11157  -cneg 11355  abscabs 15151

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11072  ax-resscn 11073  ax-1cn 11074  ax-icn 11075  ax-addcl 11076  ax-addrcl 11077  ax-mulcl 11078  ax-mulrcl 11079  ax-mulcom 11080  ax-addass 11081  ax-mulass 11082  ax-distr 11083  ax-i2m1 11084  ax-1ne0 11085  ax-1rid 11086  ax-rnegex 11087  ax-rrecex 11088  ax-cnre 11089  ax-pre-lttri 11090  ax-pre-lttrn 11091  ax-pre-ltadd 11092  ax-pre-mulgt0 11093  ax-pre-sup 11094

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-er 8631  df-en 8879  df-dom 8880  df-sdom 8881  df-sup 9336  df-pnf 11158  df-mnf 11159  df-xr 11160  df-ltxr 11161  df-le 11162  df-sub 11356  df-neg 11357  df-div 11785  df-nn 12136  df-2 12198  df-3 12199  df-n0 12392  df-z 12479  df-uz 12743  df-rp 12901  df-seq 13919  df-exp 13979  df-cj 15016  df-re 15017  df-im 15018  df-sqrt 15152  df-abs 15153

This theorem is referenced by:  iblabslem  25766  iblabsnclem  37733