MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  max0add Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem max0add 14649
Description: The sum of the positive and negative part functions is the absolute value function over the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
max0add (𝐴 ∈ ℝ → (if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0) + if(0 ≤ -𝐴, -𝐴, 0)) = (abs‘𝐴))

Proof of Theorem max0add
StepHypRef Expression
1 0red 10621 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
2 id 22 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ)
3 recn 10604 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
43adantr 484 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
54addid1d 10817 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝐴 + 0) = 𝐴)
6 iftrue 4446 . . . . 5 (0 ≤ 𝐴 → if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0) = 𝐴)
76adantl 485 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0) = 𝐴)
8 le0neg2 11126 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐴 ↔ -𝐴 ≤ 0))
98biimpa 480 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → -𝐴 ≤ 0)
109adantr 484 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 0 ≤ -𝐴) → -𝐴 ≤ 0)
11 simpr 488 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 0 ≤ -𝐴) → 0 ≤ -𝐴)
12 renegcl 10926 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
1312ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 0 ≤ -𝐴) → -𝐴 ∈ ℝ)
14 0re 10620 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
15 letri3 10703 . . . . . . . 8 ((-𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (-𝐴 = 0 ↔ (-𝐴 ≤ 0 ∧ 0 ≤ -𝐴)))
1613, 14, 15sylancl 589 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 0 ≤ -𝐴) → (-𝐴 = 0 ↔ (-𝐴 ≤ 0 ∧ 0 ≤ -𝐴)))
1710, 11, 16mpbir2and 712 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 0 ≤ -𝐴) → -𝐴 = 0)
1817ifeq1da 4470 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → if(0 ≤ -𝐴, -𝐴, 0) = if(0 ≤ -𝐴, 0, 0))
19 ifid 4479 . . . . 5 if(0 ≤ -𝐴, 0, 0) = 0
2018, 19syl6eq 2872 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → if(0 ≤ -𝐴, -𝐴, 0) = 0)
217, 20oveq12d 7148 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0) + if(0 ≤ -𝐴, -𝐴, 0)) = (𝐴 + 0))
22 absid 14635 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (abs‘𝐴) = 𝐴)
235, 21, 223eqtr4d 2866 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0) + if(0 ≤ -𝐴, -𝐴, 0)) = (abs‘𝐴))
243adantr 484 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
2524negcld 10961 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → -𝐴 ∈ ℂ)
2625addid2d 10818 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → (0 + -𝐴) = -𝐴)
27 letri3 10703 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐴 = 0 ↔ (𝐴 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝐴)))
2814, 27mpan2 690 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 = 0 ↔ (𝐴 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝐴)))
2928biimprd 251 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 = 0))
3029impl 459 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 = 0)
3130ifeq1da 4470 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0) = if(0 ≤ 𝐴, 0, 0))
32 ifid 4479 . . . . 5 if(0 ≤ 𝐴, 0, 0) = 0
3331, 32syl6eq 2872 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0) = 0)
34 le0neg1 11125 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝐴))
3534biimpa 480 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → 0 ≤ -𝐴)
3635iftrued 4448 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → if(0 ≤ -𝐴, -𝐴, 0) = -𝐴)
3733, 36oveq12d 7148 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → (if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0) + if(0 ≤ -𝐴, -𝐴, 0)) = (0 + -𝐴))
38 absnid 14637 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → (abs‘𝐴) = -𝐴)
3926, 37, 383eqtr4d 2866 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → (if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0) + if(0 ≤ -𝐴, -𝐴, 0)) = (abs‘𝐴))
401, 2, 23, 39lecasei 10723 1 (𝐴 ∈ ℝ → (if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0) + if(0 ≤ -𝐴, -𝐴, 0)) = (abs‘𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  ifcif 4440   class class class wbr 5039  cfv 6328  (class class class)co 7130  cc 10512  cr 10513  0cc0 10514   + caddc 10517  cle 10653  -cneg 10848  abscabs 14572
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591  ax-pre-sup 10592
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rmo 3134  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-om 7556  df-2nd 7665  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-er 8264  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-sup 8882  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-div 11275  df-nn 11616  df-2 11678  df-3 11679  df-n0 11876  df-z 11960  df-uz 12222  df-rp 12368  df-seq 13353  df-exp 13414  df-cj 14437  df-re 14438  df-im 14439  df-sqrt 14573  df-abs 14574
This theorem is referenced by:  iblabslem  24410  iblabsnclem  35006
  Copyright terms: Public domain W3C validator