Theorem max0add 14950

Description: The sum of the positive and negative part functions is the absolute value function over the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
max0add	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0) + if(0 ≤ -𝐴, -𝐴, 0)) = (abs‘𝐴))

Proof of Theorem max0add

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0red 10909	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
2		id 22	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ)
3		recn 10892	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
4	3	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
5	4	addid1d 11105	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝐴 + 0) = 𝐴)
6		iftrue 4462	. . . . 5 ⊢ (0 ≤ 𝐴 → if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0) = 𝐴)
7	6	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0) = 𝐴)
8		le0neg2 11414	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐴 ↔ -𝐴 ≤ 0))
9	8	biimpa 476	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → -𝐴 ≤ 0)
10	9	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 0 ≤ -𝐴) → -𝐴 ≤ 0)
11		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 0 ≤ -𝐴) → 0 ≤ -𝐴)
12		renegcl 11214	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
13	12	ad2antrr 722	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 0 ≤ -𝐴) → -𝐴 ∈ ℝ)
14		0re 10908	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
15		letri3 10991	. . . . . . . 8 ⊢ ((-𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (-𝐴 = 0 ↔ (-𝐴 ≤ 0 ∧ 0 ≤ -𝐴)))
16	13, 14, 15	sylancl 585	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 0 ≤ -𝐴) → (-𝐴 = 0 ↔ (-𝐴 ≤ 0 ∧ 0 ≤ -𝐴)))
17	10, 11, 16	mpbir2and 709	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 0 ≤ -𝐴) → -𝐴 = 0)
18	17	ifeq1da 4487	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → if(0 ≤ -𝐴, -𝐴, 0) = if(0 ≤ -𝐴, 0, 0))
19		ifid 4496	. . . . 5 ⊢ if(0 ≤ -𝐴, 0, 0) = 0
20	18, 19	eqtrdi 2795	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → if(0 ≤ -𝐴, -𝐴, 0) = 0)
21	7, 20	oveq12d 7273	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0) + if(0 ≤ -𝐴, -𝐴, 0)) = (𝐴 + 0))
22		absid 14936	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (abs‘𝐴) = 𝐴)
23	5, 21, 22	3eqtr4d 2788	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0) + if(0 ≤ -𝐴, -𝐴, 0)) = (abs‘𝐴))
24	3	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
25	24	negcld 11249	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → -𝐴 ∈ ℂ)
26	25	addid2d 11106	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → (0 + -𝐴) = -𝐴)
27		letri3 10991	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐴 = 0 ↔ (𝐴 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝐴)))
28	14, 27	mpan2 687	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 = 0 ↔ (𝐴 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝐴)))
29	28	biimprd 247	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 = 0))
30	29	impl 455	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 = 0)
31	30	ifeq1da 4487	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0) = if(0 ≤ 𝐴, 0, 0))
32		ifid 4496	. . . . 5 ⊢ if(0 ≤ 𝐴, 0, 0) = 0
33	31, 32	eqtrdi 2795	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0) = 0)
34		le0neg1 11413	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝐴))
35	34	biimpa 476	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → 0 ≤ -𝐴)
36	35	iftrued 4464	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → if(0 ≤ -𝐴, -𝐴, 0) = -𝐴)
37	33, 36	oveq12d 7273	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → (if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0) + if(0 ≤ -𝐴, -𝐴, 0)) = (0 + -𝐴))
38		absnid 14938	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → (abs‘𝐴) = -𝐴)
39	26, 37, 38	3eqtr4d 2788	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → (if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0) + if(0 ≤ -𝐴, -𝐴, 0)) = (abs‘𝐴))
40	1, 2, 23, 39	lecasei 11011	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0) + if(0 ≤ -𝐴, -𝐴, 0)) = (abs‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ifcif 4456   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  ℝcr 10801  0cc0 10802   + caddc 10805   ≤ cle 10941  -cneg 11136  abscabs 14873

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-sup 9131  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-seq 13650  df-exp 13711  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875

This theorem is referenced by:  iblabslem  24897  iblabsnclem  35767