Theorem coseq0negpitopi 26847

Description: Location of the zeroes of cosine in ( -π(,]π). (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)

Assertion

Ref	Expression
coseq0negpitopi	⊢ (𝐴 ∈ ( -π(,]π) → ((cos‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 ∈ {(π / 2), -(π / 2)}))

Proof of Theorem coseq0negpitopi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pire 26798	. . . . . . . 8 ⊢ π ∈ ℝ
2	1	renegcli 11632	. . . . . . 7 ⊢ -π ∈ ℝ
3	2	rexri 11380	. . . . . 6 ⊢ -π ∈ ℝ*
4		elioc2 13553	. . . . . 6 ⊢ (( -π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ ( -π(,]π) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -π < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ π)))
5	3, 1, 4	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ( -π(,]π) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -π < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ π))
6	5	birani 509	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ( -π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ -π < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ π))
7	6	simp1d 1160	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ( -π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
8		0re 11323	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
9	8	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ( -π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → 0 ∈ ℝ)
10	7	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ( -π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
11	10	recnd 11350	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ( -π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
12	7	recnd 11350	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ( -π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
13	12	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ( -π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
14		cosneg 16330	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘ -𝐴) = (cos‘𝐴))
15	13, 14	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ( -π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → (cos‘ -𝐴) = (cos‘𝐴))
16		simplr 781	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ( -π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → (cos‘𝐴) = 0)
17	15, 16	eqtrd 2798	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ( -π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → (cos‘ -𝐴) = 0)
18	7	renegcld 11756	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ( -π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → -𝐴 ∈ ℝ)
19	18	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ( -π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → -𝐴 ∈ ℝ)
20		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ( -π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → 𝐴 ≤ 0)
21	10	le0neg1d 11900	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ( -π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → (𝐴 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝐴))
22	20, 21	mpbid 235	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ( -π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → 0 ≤ -𝐴)
23	1	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ( -π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → π ∈ ℝ)
24	6	simp2d 1161	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ( -π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → -π < 𝐴)
25	23, 7, 24	ltnegcon1d 11909	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ( -π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → -𝐴 < π)
26	18, 23, 25	ltled 11471	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ( -π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → -𝐴 ≤ π)
27	26	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ( -π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → -𝐴 ≤ π)
28	8, 1	elicc2i 13556	. . . . . . . . 9 ⊢ ( -𝐴 ∈ (0[,]π) ↔ ( -𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ -𝐴 ∧ -𝐴 ≤ π))
29	19, 22, 27, 28	syl3anbrc 1362	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ( -π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → -𝐴 ∈ (0[,]π))
30		coseq00topi 26846	. . . . . . . 8 ⊢ ( -𝐴 ∈ (0[,]π) → ((cos‘ -𝐴) = 0 ↔ -𝐴 = (π / 2)))
31	29, 30	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ( -π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → ((cos‘ -𝐴) = 0 ↔ -𝐴 = (π / 2)))
32	17, 31	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ( -π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → -𝐴 = (π / 2))
33	11, 32	negcon1ad 11677	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ( -π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → -(π / 2) = 𝐴)
34	33	eqcomd 2769	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ( -π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → 𝐴 = -(π / 2))
35		halfpire 26808	. . . . . 6 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ
36	35	renegcli 11632	. . . . 5 ⊢ -(π / 2) ∈ ℝ
37		prid2g 4722	. . . . 5 ⊢ ( -(π / 2) ∈ ℝ → -(π / 2) ∈ {(π / 2), -(π / 2)})
38		eleq1a 2859	. . . . 5 ⊢ ( -(π / 2) ∈ {(π / 2), -(π / 2)} → (𝐴 = -(π / 2) → 𝐴 ∈ {(π / 2), -(π / 2)}))
39	36, 37, 38	mp2b 10	. . . 4 ⊢ (𝐴 = -(π / 2) → 𝐴 ∈ {(π / 2), -(π / 2)})
40	34, 39	syl 18	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ( -π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → 𝐴 ∈ {(π / 2), -(π / 2)})
41		simplr 781	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ( -π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 0 ≤ 𝐴) → (cos‘𝐴) = 0)
42	7	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ( -π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
43		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ( -π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 0 ≤ 𝐴) → 0 ≤ 𝐴)
44	6	simp3d 1162	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ( -π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → 𝐴 ≤ π)
45	44	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ( -π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ≤ π)
46	8, 1	elicc2i 13556	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]π) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ π))
47	42, 43, 45, 46	syl3anbrc 1362	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ( -π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ (0[,]π))
48		coseq00topi 26846	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]π) → ((cos‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = (π / 2)))
49	47, 48	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ( -π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 0 ≤ 𝐴) → ((cos‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = (π / 2)))
50	41, 49	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ( -π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 = (π / 2))
51		prid1g 4721	. . . . 5 ⊢ ((π / 2) ∈ ℝ → (π / 2) ∈ {(π / 2), -(π / 2)})
52		eleq1a 2859	. . . . 5 ⊢ ((π / 2) ∈ {(π / 2), -(π / 2)} → (𝐴 = (π / 2) → 𝐴 ∈ {(π / 2), -(π / 2)}))
53	35, 51, 52	mp2b 10	. . . 4 ⊢ (𝐴 = (π / 2) → 𝐴 ∈ {(π / 2), -(π / 2)})
54	50, 53	syl 18	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ( -π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ {(π / 2), -(π / 2)})
55	7, 9, 40, 54	lecasei 11429	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ( -π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → 𝐴 ∈ {(π / 2), -(π / 2)})
56		elpri 4608	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ {(π / 2), -(π / 2)} → (𝐴 = (π / 2) ∨ 𝐴 = -(π / 2)))
57		fveq2 6896	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = (π / 2) → (cos‘𝐴) = (cos‘(π / 2)))
58		coshalfpi 26813	. . . . . 6 ⊢ (cos‘(π / 2)) = 0
59	57, 58	eqtrdi 2814	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = (π / 2) → (cos‘𝐴) = 0)
60		fveq2 6896	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = -(π / 2) → (cos‘𝐴) = (cos‘ -(π / 2)))
61		cosneghalfpi 26814	. . . . . 6 ⊢ (cos‘ -(π / 2)) = 0
62	60, 61	eqtrdi 2814	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = -(π / 2) → (cos‘𝐴) = 0)
63	59, 62	jaoi 871	. . . 4 ⊢ ((𝐴 = (π / 2) ∨ 𝐴 = -(π / 2)) → (cos‘𝐴) = 0)
64	56, 63	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ {(π / 2), -(π / 2)} → (cos‘𝐴) = 0)
65	64	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ( -π(,]π) ∧ 𝐴 ∈ {(π / 2), -(π / 2)}) → (cos‘𝐴) = 0)
66	55, 65	impbida 813	1 ⊢ (𝐴 ∈ ( -π(,]π) → ((cos‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 ∈ {(π / 2), -(π / 2)}))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  {cpr 4590   class class class wbr 5106  ‘cfv 6547  (class class class)co 7430  ℂcc 11211  ℝcr 11212  0cc0 11213  ℝ^*cxr 11355   < clt 11356   ≤ cle 11357   -cneg 11555   / cdiv 11986  2c2 12410  (,]cioc 13490  [,]cicc 13492  cosccos 16245  πcpi 16247

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-inf2 9655  ax-cnex 11269  ax-resscn 11270  ax-1cn 11271  ax-icn 11272  ax-addcl 11273  ax-addrcl 11274  ax-mulcl 11275  ax-mulrcl 11276  ax-mulcom 11277  ax-addass 11278  ax-mulass 11279  ax-distr 11280  ax-i2m1 11281  ax-1ne0 11282  ax-1rid 11283  ax-rnegex 11284  ax-rrecex 11285  ax-cnre 11286  ax-pre-lttri 11287  ax-pre-lttrn 11288  ax-pre-ltadd 11289  ax-pre-mulgt0 11290  ax-pre-sup 11291  ax-addf 11292

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6311  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-isom 6556  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7703  df-om 7888  df-1st 8011  df-2nd 8012  df-supp 8191  df-frecs 8313  df-wrecs 8344  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8490  df-2o 8491  df-er 8731  df-map 8863  df-pm 8864  df-ixp 8940  df-en 8988  df-dom 8989  df-sdom 8990  df-fin 8991  df-fsupp 9368  df-fi 9416  df-sup 9447  df-inf 9448  df-oi 9517  df-card 10033  df-pnf 11358  df-mnf 11359  df-xr 11360  df-ltxr 11361  df-le 11362  df-sub 11556  df-neg 11557  df-div 11987  df-nn 12349  df-2 12418  df-3 12419  df-4 12420  df-5 12421  df-6 12422  df-7 12423  df-8 12424  df-9 12425  df-n0 12620  df-z 12707  df-dec 12828  df-uz 12979  df-q 13089  df-rp 13134  df-xneg 13254  df-xadd 13255  df-xmul 13256  df-ioo 13493  df-ioc 13494  df-ico 13495  df-icc 13496  df-fz 13653  df-fzo 13802  df-fl 13945  df-seq 14158  df-exp 14218  df-fac 14431  df-bc 14460  df-hash 14488  df-shft 15235  df-cj 15281  df-re 15282  df-im 15283  df-sqrt 15417  df-abs 15418  df-limsup 15653  df-clim 15670  df-rlim 15671  df-sum 15869  df-ef 16248  df-sin 16250  df-cos 16251  df-pi 16253  df-struct 17340  df-sets 17357  df-slot 17375  df-ndx 17387  df-base 17403  df-ress 17424  df-plusg 17456  df-mulr 17457  df-starv 17458  df-sca 17459  df-vsca 17460  df-ip 17461  df-tset 17462  df-ple 17463  df-ds 17465  df-unif 17466  df-hom 17467  df-cco 17468  df-rest 17608  df-topn 17609  df-0g 17627  df-gsum 17628  df-topgen 17629  df-pt 17630  df-prds 17633  df-xrs 17689  df-qtop 17694  df-imas 17695  df-xps 17697  df-mre 17771  df-mrc 17772  df-acs 17774  df-mgm 18831  df-sgrp 18923  df-mnd 18939  df-submnd 18994  df-mulg 19293  df-cntz 19546  df-cmn 20011  df-psmet 21685  df-xmet 21686  df-met 21687  df-bl 21688  df-mopn 21689  df-fbas 21690  df-fg 21691  df-cnfld 21694  df-top 23227  df-topon 23244  df-topsp 23266  df-bases 23279  df-cld 23352  df-ntr 23353  df-cls 23354  df-nei 23431  df-lp 23469  df-perf 23470  df-cn 23560  df-cnp 23561  df-haus 23648  df-tx 23896  df-hmeo 24089  df-fil 24180  df-fm 24272  df-flim 24273  df-flf 24274  df-xms 24654  df-ms 24655  df-tms 24656  df-cncf 25214  df-limc 26201  df-dv 26202

This theorem is used by:  angrteqvd  27149  chordthmlem  27175