MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coseq0negpitopi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coseq0negpitopi 26560
Description: Location of the zeroes of cosine in (-π(,]π). (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)
Assertion
Ref Expression
coseq0negpitopi (𝐴 ∈ (-π(,]π) → ((cos‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 ∈ {(π / 2), -(π / 2)}))

Proof of Theorem coseq0negpitopi
StepHypRef Expression
1 simpl 482 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → 𝐴 ∈ (-π(,]π))
2 pire 26515 . . . . . . . 8 π ∈ ℝ
32renegcli 11568 . . . . . . 7 -π ∈ ℝ
43rexri 11317 . . . . . 6 -π ∈ ℝ*
5 elioc2 13447 . . . . . 6 ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ (-π(,]π) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -π < 𝐴𝐴 ≤ π)))
64, 2, 5mp2an 692 . . . . 5 (𝐴 ∈ (-π(,]π) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -π < 𝐴𝐴 ≤ π))
71, 6sylib 218 . . . 4 ((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ -π < 𝐴𝐴 ≤ π))
87simp1d 1141 . . 3 ((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
9 0re 11261 . . . 4 0 ∈ ℝ
109a1i 11 . . 3 ((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → 0 ∈ ℝ)
118adantr 480 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
1211recnd 11287 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
138recnd 11287 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
1413adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
15 cosneg 16180 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘-𝐴) = (cos‘𝐴))
1614, 15syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → (cos‘-𝐴) = (cos‘𝐴))
17 simplr 769 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → (cos‘𝐴) = 0)
1816, 17eqtrd 2775 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → (cos‘-𝐴) = 0)
198renegcld 11688 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → -𝐴 ∈ ℝ)
2019adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → -𝐴 ∈ ℝ)
21 simpr 484 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → 𝐴 ≤ 0)
2211le0neg1d 11832 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → (𝐴 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝐴))
2321, 22mpbid 232 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → 0 ≤ -𝐴)
242a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → π ∈ ℝ)
257simp2d 1142 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → -π < 𝐴)
2624, 8, 25ltnegcon1d 11841 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → -𝐴 < π)
2719, 24, 26ltled 11407 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → -𝐴 ≤ π)
2827adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → -𝐴 ≤ π)
299, 2elicc2i 13450 . . . . . . . . 9 (-𝐴 ∈ (0[,]π) ↔ (-𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ -𝐴 ∧ -𝐴 ≤ π))
3020, 23, 28, 29syl3anbrc 1342 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → -𝐴 ∈ (0[,]π))
31 coseq00topi 26559 . . . . . . . 8 (-𝐴 ∈ (0[,]π) → ((cos‘-𝐴) = 0 ↔ -𝐴 = (π / 2)))
3230, 31syl 17 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → ((cos‘-𝐴) = 0 ↔ -𝐴 = (π / 2)))
3318, 32mpbid 232 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → -𝐴 = (π / 2))
3412, 33negcon1ad 11613 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → -(π / 2) = 𝐴)
3534eqcomd 2741 . . . 4 (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → 𝐴 = -(π / 2))
36 halfpire 26521 . . . . . 6 (π / 2) ∈ ℝ
3736renegcli 11568 . . . . 5 -(π / 2) ∈ ℝ
38 prid2g 4766 . . . . 5 (-(π / 2) ∈ ℝ → -(π / 2) ∈ {(π / 2), -(π / 2)})
39 eleq1a 2834 . . . . 5 (-(π / 2) ∈ {(π / 2), -(π / 2)} → (𝐴 = -(π / 2) → 𝐴 ∈ {(π / 2), -(π / 2)}))
4037, 38, 39mp2b 10 . . . 4 (𝐴 = -(π / 2) → 𝐴 ∈ {(π / 2), -(π / 2)})
4135, 40syl 17 . . 3 (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → 𝐴 ∈ {(π / 2), -(π / 2)})
42 simplr 769 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 0 ≤ 𝐴) → (cos‘𝐴) = 0)
438adantr 480 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
44 simpr 484 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 0 ≤ 𝐴) → 0 ≤ 𝐴)
457simp3d 1143 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → 𝐴 ≤ π)
4645adantr 480 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ≤ π)
479, 2elicc2i 13450 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0[,]π) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ π))
4843, 44, 46, 47syl3anbrc 1342 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ (0[,]π))
49 coseq00topi 26559 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0[,]π) → ((cos‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = (π / 2)))
5048, 49syl 17 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 0 ≤ 𝐴) → ((cos‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = (π / 2)))
5142, 50mpbid 232 . . . 4 (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 = (π / 2))
52 prid1g 4765 . . . . 5 ((π / 2) ∈ ℝ → (π / 2) ∈ {(π / 2), -(π / 2)})
53 eleq1a 2834 . . . . 5 ((π / 2) ∈ {(π / 2), -(π / 2)} → (𝐴 = (π / 2) → 𝐴 ∈ {(π / 2), -(π / 2)}))
5436, 52, 53mp2b 10 . . . 4 (𝐴 = (π / 2) → 𝐴 ∈ {(π / 2), -(π / 2)})
5551, 54syl 17 . . 3 (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ {(π / 2), -(π / 2)})
568, 10, 41, 55lecasei 11365 . 2 ((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → 𝐴 ∈ {(π / 2), -(π / 2)})
57 elpri 4654 . . . 4 (𝐴 ∈ {(π / 2), -(π / 2)} → (𝐴 = (π / 2) ∨ 𝐴 = -(π / 2)))
58 fveq2 6907 . . . . . 6 (𝐴 = (π / 2) → (cos‘𝐴) = (cos‘(π / 2)))
59 coshalfpi 26526 . . . . . 6 (cos‘(π / 2)) = 0
6058, 59eqtrdi 2791 . . . . 5 (𝐴 = (π / 2) → (cos‘𝐴) = 0)
61 fveq2 6907 . . . . . 6 (𝐴 = -(π / 2) → (cos‘𝐴) = (cos‘-(π / 2)))
62 cosneghalfpi 26527 . . . . . 6 (cos‘-(π / 2)) = 0
6361, 62eqtrdi 2791 . . . . 5 (𝐴 = -(π / 2) → (cos‘𝐴) = 0)
6460, 63jaoi 857 . . . 4 ((𝐴 = (π / 2) ∨ 𝐴 = -(π / 2)) → (cos‘𝐴) = 0)
6557, 64syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ {(π / 2), -(π / 2)} → (cos‘𝐴) = 0)
6665adantl 481 . 2 ((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ 𝐴 ∈ {(π / 2), -(π / 2)}) → (cos‘𝐴) = 0)
6756, 66impbida 801 1 (𝐴 ∈ (-π(,]π) → ((cos‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 ∈ {(π / 2), -(π / 2)}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  {cpr 4633   class class class wbr 5148  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  cr 11152  0cc0 11153  *cxr 11292   < clt 11293  cle 11294  -cneg 11491   / cdiv 11918  2c2 12319  (,]cioc 13385  [,]cicc 13387  cosccos 16097  πcpi 16099
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ioo 13388  df-ioc 13389  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-seq 14040  df-exp 14100  df-fac 14310  df-bc 14339  df-hash 14367  df-shft 15103  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-limsup 15504  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-sum 15720  df-ef 16100  df-sin 16102  df-cos 16103  df-pi 16105  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17469  df-topn 17470  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-topgen 17490  df-pt 17491  df-prds 17494  df-xrs 17549  df-qtop 17554  df-imas 17555  df-xps 17557  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-mulg 19099  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-fbas 21379  df-fg 21380  df-cnfld 21383  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cld 23043  df-ntr 23044  df-cls 23045  df-nei 23122  df-lp 23160  df-perf 23161  df-cn 23251  df-cnp 23252  df-haus 23339  df-tx 23586  df-hmeo 23779  df-fil 23870  df-fm 23962  df-flim 23963  df-flf 23964  df-xms 24346  df-ms 24347  df-tms 24348  df-cncf 24918  df-limc 25916  df-dv 25917
This theorem is referenced by:  angrteqvd  26864  chordthmlem  26890
  Copyright terms: Public domain W3C validator