MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coseq0negpitopi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coseq0negpitopi 25248
Description: Location of the zeroes of cosine in (-π(,]π). (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)
Assertion
Ref Expression
coseq0negpitopi (𝐴 ∈ (-π(,]π) → ((cos‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 ∈ {(π / 2), -(π / 2)}))

Proof of Theorem coseq0negpitopi
StepHypRef Expression
1 simpl 486 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → 𝐴 ∈ (-π(,]π))
2 pire 25203 . . . . . . . 8 π ∈ ℝ
32renegcli 11025 . . . . . . 7 -π ∈ ℝ
43rexri 10777 . . . . . 6 -π ∈ ℝ*
5 elioc2 12884 . . . . . 6 ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ (-π(,]π) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -π < 𝐴𝐴 ≤ π)))
64, 2, 5mp2an 692 . . . . 5 (𝐴 ∈ (-π(,]π) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -π < 𝐴𝐴 ≤ π))
71, 6sylib 221 . . . 4 ((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ -π < 𝐴𝐴 ≤ π))
87simp1d 1143 . . 3 ((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
9 0re 10721 . . . 4 0 ∈ ℝ
109a1i 11 . . 3 ((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → 0 ∈ ℝ)
118adantr 484 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
1211recnd 10747 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
138recnd 10747 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
1413adantr 484 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
15 cosneg 15592 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘-𝐴) = (cos‘𝐴))
1614, 15syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → (cos‘-𝐴) = (cos‘𝐴))
17 simplr 769 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → (cos‘𝐴) = 0)
1816, 17eqtrd 2773 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → (cos‘-𝐴) = 0)
198renegcld 11145 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → -𝐴 ∈ ℝ)
2019adantr 484 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → -𝐴 ∈ ℝ)
21 simpr 488 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → 𝐴 ≤ 0)
2211le0neg1d 11289 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → (𝐴 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝐴))
2321, 22mpbid 235 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → 0 ≤ -𝐴)
242a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → π ∈ ℝ)
257simp2d 1144 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → -π < 𝐴)
2624, 8, 25ltnegcon1d 11298 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → -𝐴 < π)
2719, 24, 26ltled 10866 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → -𝐴 ≤ π)
2827adantr 484 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → -𝐴 ≤ π)
299, 2elicc2i 12887 . . . . . . . . 9 (-𝐴 ∈ (0[,]π) ↔ (-𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ -𝐴 ∧ -𝐴 ≤ π))
3020, 23, 28, 29syl3anbrc 1344 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → -𝐴 ∈ (0[,]π))
31 coseq00topi 25247 . . . . . . . 8 (-𝐴 ∈ (0[,]π) → ((cos‘-𝐴) = 0 ↔ -𝐴 = (π / 2)))
3230, 31syl 17 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → ((cos‘-𝐴) = 0 ↔ -𝐴 = (π / 2)))
3318, 32mpbid 235 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → -𝐴 = (π / 2))
3412, 33negcon1ad 11070 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → -(π / 2) = 𝐴)
3534eqcomd 2744 . . . 4 (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → 𝐴 = -(π / 2))
36 halfpire 25209 . . . . . 6 (π / 2) ∈ ℝ
3736renegcli 11025 . . . . 5 -(π / 2) ∈ ℝ
38 prid2g 4652 . . . . 5 (-(π / 2) ∈ ℝ → -(π / 2) ∈ {(π / 2), -(π / 2)})
39 eleq1a 2828 . . . . 5 (-(π / 2) ∈ {(π / 2), -(π / 2)} → (𝐴 = -(π / 2) → 𝐴 ∈ {(π / 2), -(π / 2)}))
4037, 38, 39mp2b 10 . . . 4 (𝐴 = -(π / 2) → 𝐴 ∈ {(π / 2), -(π / 2)})
4135, 40syl 17 . . 3 (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → 𝐴 ∈ {(π / 2), -(π / 2)})
42 simplr 769 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 0 ≤ 𝐴) → (cos‘𝐴) = 0)
438adantr 484 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
44 simpr 488 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 0 ≤ 𝐴) → 0 ≤ 𝐴)
457simp3d 1145 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → 𝐴 ≤ π)
4645adantr 484 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ≤ π)
479, 2elicc2i 12887 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0[,]π) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ π))
4843, 44, 46, 47syl3anbrc 1344 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ (0[,]π))
49 coseq00topi 25247 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0[,]π) → ((cos‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = (π / 2)))
5048, 49syl 17 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 0 ≤ 𝐴) → ((cos‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = (π / 2)))
5142, 50mpbid 235 . . . 4 (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 = (π / 2))
52 prid1g 4651 . . . . 5 ((π / 2) ∈ ℝ → (π / 2) ∈ {(π / 2), -(π / 2)})
53 eleq1a 2828 . . . . 5 ((π / 2) ∈ {(π / 2), -(π / 2)} → (𝐴 = (π / 2) → 𝐴 ∈ {(π / 2), -(π / 2)}))
5436, 52, 53mp2b 10 . . . 4 (𝐴 = (π / 2) → 𝐴 ∈ {(π / 2), -(π / 2)})
5551, 54syl 17 . . 3 (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ {(π / 2), -(π / 2)})
568, 10, 41, 55lecasei 10824 . 2 ((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → 𝐴 ∈ {(π / 2), -(π / 2)})
57 elpri 4538 . . . 4 (𝐴 ∈ {(π / 2), -(π / 2)} → (𝐴 = (π / 2) ∨ 𝐴 = -(π / 2)))
58 fveq2 6674 . . . . . 6 (𝐴 = (π / 2) → (cos‘𝐴) = (cos‘(π / 2)))
59 coshalfpi 25214 . . . . . 6 (cos‘(π / 2)) = 0
6058, 59eqtrdi 2789 . . . . 5 (𝐴 = (π / 2) → (cos‘𝐴) = 0)
61 fveq2 6674 . . . . . 6 (𝐴 = -(π / 2) → (cos‘𝐴) = (cos‘-(π / 2)))
62 cosneghalfpi 25215 . . . . . 6 (cos‘-(π / 2)) = 0
6361, 62eqtrdi 2789 . . . . 5 (𝐴 = -(π / 2) → (cos‘𝐴) = 0)
6460, 63jaoi 856 . . . 4 ((𝐴 = (π / 2) ∨ 𝐴 = -(π / 2)) → (cos‘𝐴) = 0)
6557, 64syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ {(π / 2), -(π / 2)} → (cos‘𝐴) = 0)
6665adantl 485 . 2 ((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ 𝐴 ∈ {(π / 2), -(π / 2)}) → (cos‘𝐴) = 0)
6756, 66impbida 801 1 (𝐴 ∈ (-π(,]π) → ((cos‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 ∈ {(π / 2), -(π / 2)}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  wo 846  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2114  {cpr 4518   class class class wbr 5030  cfv 6339  (class class class)co 7170  cc 10613  cr 10614  0cc0 10615  *cxr 10752   < clt 10753  cle 10754  -cneg 10949   / cdiv 11375  2c2 11771  (,]cioc 12822  [,]cicc 12824  cosccos 15510  πcpi 15512
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-inf2 9177  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692  ax-pre-sup 10693  ax-addf 10694  ax-mulf 10695
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-int 4837  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-se 5484  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-isom 6348  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-of 7425  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-supp 7857  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-1o 8131  df-2o 8132  df-er 8320  df-map 8439  df-pm 8440  df-ixp 8508  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-fin 8559  df-fsupp 8907  df-fi 8948  df-sup 8979  df-inf 8980  df-oi 9047  df-card 9441  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-div 11376  df-nn 11717  df-2 11779  df-3 11780  df-4 11781  df-5 11782  df-6 11783  df-7 11784  df-8 11785  df-9 11786  df-n0 11977  df-z 12063  df-dec 12180  df-uz 12325  df-q 12431  df-rp 12473  df-xneg 12590  df-xadd 12591  df-xmul 12592  df-ioo 12825  df-ioc 12826  df-ico 12827  df-icc 12828  df-fz 12982  df-fzo 13125  df-fl 13253  df-seq 13461  df-exp 13522  df-fac 13726  df-bc 13755  df-hash 13783  df-shft 14516  df-cj 14548  df-re 14549  df-im 14550  df-sqrt 14684  df-abs 14685  df-limsup 14918  df-clim 14935  df-rlim 14936  df-sum 15136  df-ef 15513  df-sin 15515  df-cos 15516  df-pi 15518  df-struct 16588  df-ndx 16589  df-slot 16590  df-base 16592  df-sets 16593  df-ress 16594  df-plusg 16681  df-mulr 16682  df-starv 16683  df-sca 16684  df-vsca 16685  df-ip 16686  df-tset 16687  df-ple 16688  df-ds 16690  df-unif 16691  df-hom 16692  df-cco 16693  df-rest 16799  df-topn 16800  df-0g 16818  df-gsum 16819  df-topgen 16820  df-pt 16821  df-prds 16824  df-xrs 16878  df-qtop 16883  df-imas 16884  df-xps 16886  df-mre 16960  df-mrc 16961  df-acs 16963  df-mgm 17968  df-sgrp 18017  df-mnd 18028  df-submnd 18073  df-mulg 18343  df-cntz 18565  df-cmn 19026  df-psmet 20209  df-xmet 20210  df-met 20211  df-bl 20212  df-mopn 20213  df-fbas 20214  df-fg 20215  df-cnfld 20218  df-top 21645  df-topon 21662  df-topsp 21684  df-bases 21697  df-cld 21770  df-ntr 21771  df-cls 21772  df-nei 21849  df-lp 21887  df-perf 21888  df-cn 21978  df-cnp 21979  df-haus 22066  df-tx 22313  df-hmeo 22506  df-fil 22597  df-fm 22689  df-flim 22690  df-flf 22691  df-xms 23073  df-ms 23074  df-tms 23075  df-cncf 23630  df-limc 24618  df-dv 24619
This theorem is referenced by:  angrteqvd  25544  chordthmlem  25570
  Copyright terms: Public domain W3C validator