MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coseq0negpitopi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coseq0negpitopi 25075
Description: Location of the zeroes of cosine in (-π(,]π). (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)
Assertion
Ref Expression
coseq0negpitopi (𝐴 ∈ (-π(,]π) → ((cos‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 ∈ {(π / 2), -(π / 2)}))

Proof of Theorem coseq0negpitopi
StepHypRef Expression
1 simpl 486 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → 𝐴 ∈ (-π(,]π))
2 pire 25030 . . . . . . . 8 π ∈ ℝ
32renegcli 10924 . . . . . . 7 -π ∈ ℝ
43rexri 10676 . . . . . 6 -π ∈ ℝ*
5 elioc2 12778 . . . . . 6 ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ (-π(,]π) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -π < 𝐴𝐴 ≤ π)))
64, 2, 5mp2an 691 . . . . 5 (𝐴 ∈ (-π(,]π) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -π < 𝐴𝐴 ≤ π))
71, 6sylib 221 . . . 4 ((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ -π < 𝐴𝐴 ≤ π))
87simp1d 1139 . . 3 ((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
9 0re 10620 . . . 4 0 ∈ ℝ
109a1i 11 . . 3 ((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → 0 ∈ ℝ)
118adantr 484 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
1211recnd 10646 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
138recnd 10646 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
1413adantr 484 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
15 cosneg 15479 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘-𝐴) = (cos‘𝐴))
1614, 15syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → (cos‘-𝐴) = (cos‘𝐴))
17 simplr 768 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → (cos‘𝐴) = 0)
1816, 17eqtrd 2856 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → (cos‘-𝐴) = 0)
198renegcld 11044 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → -𝐴 ∈ ℝ)
2019adantr 484 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → -𝐴 ∈ ℝ)
21 simpr 488 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → 𝐴 ≤ 0)
2211le0neg1d 11188 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → (𝐴 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝐴))
2321, 22mpbid 235 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → 0 ≤ -𝐴)
242a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → π ∈ ℝ)
257simp2d 1140 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → -π < 𝐴)
2624, 8, 25ltnegcon1d 11197 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → -𝐴 < π)
2719, 24, 26ltled 10765 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → -𝐴 ≤ π)
2827adantr 484 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → -𝐴 ≤ π)
299, 2elicc2i 12781 . . . . . . . . 9 (-𝐴 ∈ (0[,]π) ↔ (-𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ -𝐴 ∧ -𝐴 ≤ π))
3020, 23, 28, 29syl3anbrc 1340 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → -𝐴 ∈ (0[,]π))
31 coseq00topi 25074 . . . . . . . 8 (-𝐴 ∈ (0[,]π) → ((cos‘-𝐴) = 0 ↔ -𝐴 = (π / 2)))
3230, 31syl 17 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → ((cos‘-𝐴) = 0 ↔ -𝐴 = (π / 2)))
3318, 32mpbid 235 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → -𝐴 = (π / 2))
3412, 33negcon1ad 10969 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → -(π / 2) = 𝐴)
3534eqcomd 2827 . . . 4 (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → 𝐴 = -(π / 2))
36 halfpire 25036 . . . . . 6 (π / 2) ∈ ℝ
3736renegcli 10924 . . . . 5 -(π / 2) ∈ ℝ
38 prid2g 4670 . . . . 5 (-(π / 2) ∈ ℝ → -(π / 2) ∈ {(π / 2), -(π / 2)})
39 eleq1a 2907 . . . . 5 (-(π / 2) ∈ {(π / 2), -(π / 2)} → (𝐴 = -(π / 2) → 𝐴 ∈ {(π / 2), -(π / 2)}))
4037, 38, 39mp2b 10 . . . 4 (𝐴 = -(π / 2) → 𝐴 ∈ {(π / 2), -(π / 2)})
4135, 40syl 17 . . 3 (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → 𝐴 ∈ {(π / 2), -(π / 2)})
42 simplr 768 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 0 ≤ 𝐴) → (cos‘𝐴) = 0)
438adantr 484 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
44 simpr 488 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 0 ≤ 𝐴) → 0 ≤ 𝐴)
457simp3d 1141 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → 𝐴 ≤ π)
4645adantr 484 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ≤ π)
479, 2elicc2i 12781 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0[,]π) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ π))
4843, 44, 46, 47syl3anbrc 1340 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ (0[,]π))
49 coseq00topi 25074 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0[,]π) → ((cos‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = (π / 2)))
5048, 49syl 17 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 0 ≤ 𝐴) → ((cos‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = (π / 2)))
5142, 50mpbid 235 . . . 4 (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 = (π / 2))
52 prid1g 4669 . . . . 5 ((π / 2) ∈ ℝ → (π / 2) ∈ {(π / 2), -(π / 2)})
53 eleq1a 2907 . . . . 5 ((π / 2) ∈ {(π / 2), -(π / 2)} → (𝐴 = (π / 2) → 𝐴 ∈ {(π / 2), -(π / 2)}))
5436, 52, 53mp2b 10 . . . 4 (𝐴 = (π / 2) → 𝐴 ∈ {(π / 2), -(π / 2)})
5551, 54syl 17 . . 3 (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ {(π / 2), -(π / 2)})
568, 10, 41, 55lecasei 10723 . 2 ((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → 𝐴 ∈ {(π / 2), -(π / 2)})
57 elpri 4562 . . . 4 (𝐴 ∈ {(π / 2), -(π / 2)} → (𝐴 = (π / 2) ∨ 𝐴 = -(π / 2)))
58 fveq2 6643 . . . . . 6 (𝐴 = (π / 2) → (cos‘𝐴) = (cos‘(π / 2)))
59 coshalfpi 25041 . . . . . 6 (cos‘(π / 2)) = 0
6058, 59syl6eq 2872 . . . . 5 (𝐴 = (π / 2) → (cos‘𝐴) = 0)
61 fveq2 6643 . . . . . 6 (𝐴 = -(π / 2) → (cos‘𝐴) = (cos‘-(π / 2)))
62 cosneghalfpi 25042 . . . . . 6 (cos‘-(π / 2)) = 0
6361, 62syl6eq 2872 . . . . 5 (𝐴 = -(π / 2) → (cos‘𝐴) = 0)
6460, 63jaoi 854 . . . 4 ((𝐴 = (π / 2) ∨ 𝐴 = -(π / 2)) → (cos‘𝐴) = 0)
6557, 64syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ {(π / 2), -(π / 2)} → (cos‘𝐴) = 0)
6665adantl 485 . 2 ((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ 𝐴 ∈ {(π / 2), -(π / 2)}) → (cos‘𝐴) = 0)
6756, 66impbida 800 1 (𝐴 ∈ (-π(,]π) → ((cos‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 ∈ {(π / 2), -(π / 2)}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  wo 844  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115  {cpr 4542   class class class wbr 5039  cfv 6328  (class class class)co 7130  cc 10512  cr 10513  0cc0 10514  *cxr 10651   < clt 10652  cle 10653  -cneg 10848   / cdiv 11274  2c2 11670  (,]cioc 12717  [,]cicc 12719  cosccos 15397  πcpi 15399
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-rep 5163  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-inf2 9080  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591  ax-pre-sup 10592  ax-addf 10593  ax-mulf 10594
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rmo 3134  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-int 4850  df-iun 4894  df-iin 4895  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-se 5488  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-of 7384  df-om 7556  df-1st 7664  df-2nd 7665  df-supp 7806  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-1o 8077  df-2o 8078  df-oadd 8081  df-er 8264  df-map 8383  df-pm 8384  df-ixp 8437  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-fin 8488  df-fsupp 8810  df-fi 8851  df-sup 8882  df-inf 8883  df-oi 8950  df-card 9344  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-div 11275  df-nn 11616  df-2 11678  df-3 11679  df-4 11680  df-5 11681  df-6 11682  df-7 11683  df-8 11684  df-9 11685  df-n0 11876  df-z 11960  df-dec 12077  df-uz 12222  df-q 12327  df-rp 12368  df-xneg 12485  df-xadd 12486  df-xmul 12487  df-ioo 12720  df-ioc 12721  df-ico 12722  df-icc 12723  df-fz 12876  df-fzo 13017  df-fl 13145  df-seq 13353  df-exp 13414  df-fac 13618  df-bc 13647  df-hash 13675  df-shft 14405  df-cj 14437  df-re 14438  df-im 14439  df-sqrt 14573  df-abs 14574  df-limsup 14807  df-clim 14824  df-rlim 14825  df-sum 15022  df-ef 15400  df-sin 15402  df-cos 15403  df-pi 15405  df-struct 16464  df-ndx 16465  df-slot 16466  df-base 16468  df-sets 16469  df-ress 16470  df-plusg 16557  df-mulr 16558  df-starv 16559  df-sca 16560  df-vsca 16561  df-ip 16562  df-tset 16563  df-ple 16564  df-ds 16566  df-unif 16567  df-hom 16568  df-cco 16569  df-rest 16675  df-topn 16676  df-0g 16694  df-gsum 16695  df-topgen 16696  df-pt 16697  df-prds 16700  df-xrs 16754  df-qtop 16759  df-imas 16760  df-xps 16762  df-mre 16836  df-mrc 16837  df-acs 16839  df-mgm 17831  df-sgrp 17880  df-mnd 17891  df-submnd 17936  df-mulg 18204  df-cntz 18426  df-cmn 18887  df-psmet 20513  df-xmet 20514  df-met 20515  df-bl 20516  df-mopn 20517  df-fbas 20518  df-fg 20519  df-cnfld 20522  df-top 21478  df-topon 21495  df-topsp 21517  df-bases 21530  df-cld 21603  df-ntr 21604  df-cls 21605  df-nei 21682  df-lp 21720  df-perf 21721  df-cn 21811  df-cnp 21812  df-haus 21899  df-tx 22146  df-hmeo 22339  df-fil 22430  df-fm 22522  df-flim 22523  df-flf 22524  df-xms 22906  df-ms 22907  df-tms 22908  df-cncf 23462  df-limc 24448  df-dv 24449
This theorem is referenced by:  angrteqvd  25371  chordthmlem  25397
  Copyright terms: Public domain W3C validator