Theorem coseq0negpitopi 26832

Description: Location of the zeroes of cosine in ( -π(,]π). (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)

Assertion

Ref	Expression
coseq0negpitopi	⊢ (𝐴 ∈ ( -π(,]π) → ((cos‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 ∈ {(π / 2), -(π / 2)}))

Proof of Theorem coseq0negpitopi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pire 26783	. . . . . . . 8 ⊢ π ∈ ℝ
2	1	renegcli 11619	. . . . . . 7 ⊢ -π ∈ ℝ
3	2	rexri 11367	. . . . . 6 ⊢ -π ∈ ℝ*
4		elioc2 13540	. . . . . 6 ⊢ (( -π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ ( -π(,]π) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -π < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ π)))
5	3, 1, 4	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ( -π(,]π) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -π < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ π))
6	5	birani 509	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ( -π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ -π < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ π))
7	6	simp1d 1160	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ( -π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
8		0re 11310	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
9	8	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ( -π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → 0 ∈ ℝ)
10	7	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ( -π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
11	10	recnd 11337	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ( -π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
12	7	recnd 11337	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ( -π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
13	12	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ( -π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
14		cosneg 16315	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘ -𝐴) = (cos‘𝐴))
15	13, 14	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ( -π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → (cos‘ -𝐴) = (cos‘𝐴))
16		simplr 781	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ( -π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → (cos‘𝐴) = 0)
17	15, 16	eqtrd 2796	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ( -π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → (cos‘ -𝐴) = 0)
18	7	renegcld 11743	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ( -π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → -𝐴 ∈ ℝ)
19	18	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ( -π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → -𝐴 ∈ ℝ)
20		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ( -π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → 𝐴 ≤ 0)
21	10	le0neg1d 11887	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ( -π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → (𝐴 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝐴))
22	20, 21	mpbid 235	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ( -π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → 0 ≤ -𝐴)
23	1	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ( -π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → π ∈ ℝ)
24	6	simp2d 1161	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ( -π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → -π < 𝐴)
25	23, 7, 24	ltnegcon1d 11896	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ( -π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → -𝐴 < π)
26	18, 23, 25	ltled 11458	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ( -π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → -𝐴 ≤ π)
27	26	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ( -π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → -𝐴 ≤ π)
28	8, 1	elicc2i 13543	. . . . . . . . 9 ⊢ ( -𝐴 ∈ (0[,]π) ↔ ( -𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ -𝐴 ∧ -𝐴 ≤ π))
29	19, 22, 27, 28	syl3anbrc 1362	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ( -π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → -𝐴 ∈ (0[,]π))
30		coseq00topi 26831	. . . . . . . 8 ⊢ ( -𝐴 ∈ (0[,]π) → ((cos‘ -𝐴) = 0 ↔ -𝐴 = (π / 2)))
31	29, 30	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ( -π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → ((cos‘ -𝐴) = 0 ↔ -𝐴 = (π / 2)))
32	17, 31	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ( -π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → -𝐴 = (π / 2))
33	11, 32	negcon1ad 11664	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ( -π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → -(π / 2) = 𝐴)
34	33	eqcomd 2767	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ( -π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → 𝐴 = -(π / 2))
35		halfpire 26793	. . . . . 6 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ
36	35	renegcli 11619	. . . . 5 ⊢ -(π / 2) ∈ ℝ
37		prid2g 4722	. . . . 5 ⊢ ( -(π / 2) ∈ ℝ → -(π / 2) ∈ {(π / 2), -(π / 2)})
38		eleq1a 2856	. . . . 5 ⊢ ( -(π / 2) ∈ {(π / 2), -(π / 2)} → (𝐴 = -(π / 2) → 𝐴 ∈ {(π / 2), -(π / 2)}))
39	36, 37, 38	mp2b 10	. . . 4 ⊢ (𝐴 = -(π / 2) → 𝐴 ∈ {(π / 2), -(π / 2)})
40	34, 39	syl 18	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ( -π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → 𝐴 ∈ {(π / 2), -(π / 2)})
41		simplr 781	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ( -π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 0 ≤ 𝐴) → (cos‘𝐴) = 0)
42	7	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ( -π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
43		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ( -π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 0 ≤ 𝐴) → 0 ≤ 𝐴)
44	6	simp3d 1162	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ( -π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → 𝐴 ≤ π)
45	44	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ( -π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ≤ π)
46	8, 1	elicc2i 13543	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]π) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ π))
47	42, 43, 45, 46	syl3anbrc 1362	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ( -π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ (0[,]π))
48		coseq00topi 26831	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]π) → ((cos‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = (π / 2)))
49	47, 48	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ( -π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 0 ≤ 𝐴) → ((cos‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = (π / 2)))
50	41, 49	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ( -π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 = (π / 2))
51		prid1g 4721	. . . . 5 ⊢ ((π / 2) ∈ ℝ → (π / 2) ∈ {(π / 2), -(π / 2)})
52		eleq1a 2856	. . . . 5 ⊢ ((π / 2) ∈ {(π / 2), -(π / 2)} → (𝐴 = (π / 2) → 𝐴 ∈ {(π / 2), -(π / 2)}))
53	35, 51, 52	mp2b 10	. . . 4 ⊢ (𝐴 = (π / 2) → 𝐴 ∈ {(π / 2), -(π / 2)})
54	50, 53	syl 18	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ( -π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ {(π / 2), -(π / 2)})
55	7, 9, 40, 54	lecasei 11416	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ( -π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → 𝐴 ∈ {(π / 2), -(π / 2)})
56		elpri 4608	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ {(π / 2), -(π / 2)} → (𝐴 = (π / 2) ∨ 𝐴 = -(π / 2)))
57		fveq2 6885	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = (π / 2) → (cos‘𝐴) = (cos‘(π / 2)))
58		coshalfpi 26798	. . . . . 6 ⊢ (cos‘(π / 2)) = 0
59	57, 58	eqtrdi 2812	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = (π / 2) → (cos‘𝐴) = 0)
60		fveq2 6885	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = -(π / 2) → (cos‘𝐴) = (cos‘ -(π / 2)))
61		cosneghalfpi 26799	. . . . . 6 ⊢ (cos‘ -(π / 2)) = 0
62	60, 61	eqtrdi 2812	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = -(π / 2) → (cos‘𝐴) = 0)
63	59, 62	jaoi 871	. . . 4 ⊢ ((𝐴 = (π / 2) ∨ 𝐴 = -(π / 2)) → (cos‘𝐴) = 0)
64	56, 63	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ {(π / 2), -(π / 2)} → (cos‘𝐴) = 0)
65	64	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ( -π(,]π) ∧ 𝐴 ∈ {(π / 2), -(π / 2)}) → (cos‘𝐴) = 0)
66	55, 65	impbida 813	1 ⊢ (𝐴 ∈ ( -π(,]π) → ((cos‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 ∈ {(π / 2), -(π / 2)}))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {cpr 4586   class class class wbr 5103  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℂcc 11198  ℝcr 11199  0cc0 11200  ℝ^*cxr 11342   < clt 11343   ≤ cle 11344   -cneg 11542   / cdiv 11973  2c2 12397  (,]cioc 13477  [,]cicc 13479  cosccos 16230  πcpi 16232

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-inf2 9642  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278  ax-addf 11279

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-er 8717  df-map 8849  df-pm 8850  df-ixp 8926  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-fsupp 9354  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9504  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-q 13076  df-rp 13121  df-xneg 13241  df-xadd 13242  df-xmul 13243  df-ioo 13480  df-ioc 13481  df-ico 13482  df-icc 13483  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-fl 13932  df-seq 14145  df-exp 14205  df-fac 14418  df-bc 14447  df-hash 14475  df-shft 15220  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-limsup 15638  df-clim 15655  df-rlim 15656  df-sum 15854  df-ef 16233  df-sin 16235  df-cos 16236  df-pi 16238  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-starv 17443  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-ip 17446  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-unif 17451  df-hom 17452  df-cco 17453  df-rest 17593  df-topn 17594  df-0g 17612  df-gsum 17613  df-topgen 17614  df-pt 17615  df-prds 17618  df-xrs 17674  df-qtop 17679  df-imas 17680  df-xps 17682  df-mre 17756  df-mrc 17757  df-acs 17759  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-submnd 18979  df-mulg 19278  df-cntz 19531  df-cmn 19996  df-psmet 21670  df-xmet 21671  df-met 21672  df-bl 21673  df-mopn 21674  df-fbas 21675  df-fg 21676  df-cnfld 21679  df-top 23212  df-topon 23229  df-topsp 23251  df-bases 23264  df-cld 23337  df-ntr 23338  df-cls 23339  df-nei 23416  df-lp 23454  df-perf 23455  df-cn 23545  df-cnp 23546  df-haus 23633  df-tx 23881  df-hmeo 24074  df-fil 24165  df-fm 24257  df-flim 24258  df-flf 24259  df-xms 24639  df-ms 24640  df-tms 24641  df-cncf 25199  df-limc 26186  df-dv 26187

This theorem is used by:  angrteqvd  27134  chordthmlem  27160