Theorem coseq0negpitopi 26668

Description: Location of the zeroes of cosine in (-π(,]π). (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)

Assertion

Ref	Expression
coseq0negpitopi	⊢ (𝐴 ∈ (-π(,]π) → ((cos‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 ∈ {(π / 2), -(π / 2)}))

Proof of Theorem coseq0negpitopi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pire 26619	. . . . . . . 8 ⊢ π ∈ ℝ
2	1	renegcli 11514	. . . . . . 7 ⊢ -π ∈ ℝ
3	2	rexri 11262	. . . . . 6 ⊢ -π ∈ ℝ*
4		elioc2 13431	. . . . . 6 ⊢ ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ (-π(,]π) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -π < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ π)))
5	3, 1, 4	mp2an 704	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (-π(,]π) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -π < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ π))
6	5	birani 508	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ -π < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ π))
7	6	simp1d 1160	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
8		0re 11205	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
9	8	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → 0 ∈ ℝ)
10	7	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
11	10	recnd 11232	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
12	7	recnd 11232	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
13	12	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
14		cosneg 16198	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘-𝐴) = (cos‘𝐴))
15	13, 14	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → (cos‘-𝐴) = (cos‘𝐴))
16		simplr 780	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → (cos‘𝐴) = 0)
17	15, 16	eqtrd 2798	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → (cos‘-𝐴) = 0)
18	7	renegcld 11636	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → -𝐴 ∈ ℝ)
19	18	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → -𝐴 ∈ ℝ)
20		simpr 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → 𝐴 ≤ 0)
21	10	le0neg1d 11780	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → (𝐴 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝐴))
22	20, 21	mpbid 235	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → 0 ≤ -𝐴)
23	1	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → π ∈ ℝ)
24	6	simp2d 1161	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → -π < 𝐴)
25	23, 7, 24	ltnegcon1d 11789	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → -𝐴 < π)
26	18, 23, 25	ltled 11353	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → -𝐴 ≤ π)
27	26	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → -𝐴 ≤ π)
28	8, 1	elicc2i 13434	. . . . . . . . 9 ⊢ (-𝐴 ∈ (0[,]π) ↔ (-𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ -𝐴 ∧ -𝐴 ≤ π))
29	19, 22, 27, 28	syl3anbrc 1362	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → -𝐴 ∈ (0[,]π))
30		coseq00topi 26667	. . . . . . . 8 ⊢ (-𝐴 ∈ (0[,]π) → ((cos‘-𝐴) = 0 ↔ -𝐴 = (π / 2)))
31	29, 30	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → ((cos‘-𝐴) = 0 ↔ -𝐴 = (π / 2)))
32	17, 31	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → -𝐴 = (π / 2))
33	11, 32	negcon1ad 11559	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → -(π / 2) = 𝐴)
34	33	eqcomd 2769	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → 𝐴 = -(π / 2))
35		halfpire 26629	. . . . . 6 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ
36	35	renegcli 11514	. . . . 5 ⊢ -(π / 2) ∈ ℝ
37		prid2g 4727	. . . . 5 ⊢ (-(π / 2) ∈ ℝ → -(π / 2) ∈ {(π / 2), -(π / 2)})
38		eleq1a 2858	. . . . 5 ⊢ (-(π / 2) ∈ {(π / 2), -(π / 2)} → (𝐴 = -(π / 2) → 𝐴 ∈ {(π / 2), -(π / 2)}))
39	36, 37, 38	mp2b 10	. . . 4 ⊢ (𝐴 = -(π / 2) → 𝐴 ∈ {(π / 2), -(π / 2)})
40	34, 39	syl 18	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → 𝐴 ∈ {(π / 2), -(π / 2)})
41		simplr 780	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 0 ≤ 𝐴) → (cos‘𝐴) = 0)
42	7	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
43		simpr 489	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 0 ≤ 𝐴) → 0 ≤ 𝐴)
44	6	simp3d 1162	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → 𝐴 ≤ π)
45	44	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ≤ π)
46	8, 1	elicc2i 13434	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]π) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ π))
47	42, 43, 45, 46	syl3anbrc 1362	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ (0[,]π))
48		coseq00topi 26667	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]π) → ((cos‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = (π / 2)))
49	47, 48	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 0 ≤ 𝐴) → ((cos‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = (π / 2)))
50	41, 49	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 = (π / 2))
51		prid1g 4726	. . . . 5 ⊢ ((π / 2) ∈ ℝ → (π / 2) ∈ {(π / 2), -(π / 2)})
52		eleq1a 2858	. . . . 5 ⊢ ((π / 2) ∈ {(π / 2), -(π / 2)} → (𝐴 = (π / 2) → 𝐴 ∈ {(π / 2), -(π / 2)}))
53	35, 51, 52	mp2b 10	. . . 4 ⊢ (𝐴 = (π / 2) → 𝐴 ∈ {(π / 2), -(π / 2)})
54	50, 53	syl 18	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ {(π / 2), -(π / 2)})
55	7, 9, 40, 54	lecasei 11311	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → 𝐴 ∈ {(π / 2), -(π / 2)})
56		elpri 4613	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ {(π / 2), -(π / 2)} → (𝐴 = (π / 2) ∨ 𝐴 = -(π / 2)))
57		fveq2 6881	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = (π / 2) → (cos‘𝐴) = (cos‘(π / 2)))
58		coshalfpi 26634	. . . . . 6 ⊢ (cos‘(π / 2)) = 0
59	57, 58	eqtrdi 2814	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = (π / 2) → (cos‘𝐴) = 0)
60		fveq2 6881	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = -(π / 2) → (cos‘𝐴) = (cos‘-(π / 2)))
61		cosneghalfpi 26635	. . . . . 6 ⊢ (cos‘-(π / 2)) = 0
62	60, 61	eqtrdi 2814	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = -(π / 2) → (cos‘𝐴) = 0)
63	59, 62	jaoi 870	. . . 4 ⊢ ((𝐴 = (π / 2) ∨ 𝐴 = -(π / 2)) → (cos‘𝐴) = 0)
64	56, 63	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ {(π / 2), -(π / 2)} → (cos‘𝐴) = 0)
65	64	adantl 486	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ 𝐴 ∈ {(π / 2), -(π / 2)}) → (cos‘𝐴) = 0)
66	55, 65	impbida 812	1 ⊢ (𝐴 ∈ (-π(,]π) → ((cos‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 ∈ {(π / 2), -(π / 2)}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  {cpr 4591   class class class wbr 5109  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℂcc 11093  ℝcr 11094  0cc0 11095  ℝ^*cxr 11237   < clt 11238   ≤ cle 11239  -cneg 11437   / cdiv 11866  2c2 12290  (,]cioc 13368  [,]cicc 13370  cosccos 16113  πcpi 16115

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-inf2 9606  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-pre-sup 11173  ax-addf 11174

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-er 8690  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9318  df-fi 9367  df-sup 9398  df-inf 9399  df-oi 9468  df-card 9921  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-8 12304  df-9 12305  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12858  df-q 12968  df-rp 13012  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134  df-ioo 13371  df-ioc 13372  df-ico 13373  df-icc 13374  df-fz 13531  df-fzo 13679  df-fl 13821  df-seq 14034  df-exp 14094  df-fac 14306  df-bc 14335  df-hash 14363  df-shft 15100  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-limsup 15518  df-clim 15535  df-rlim 15536  df-sum 15734  df-ef 16116  df-sin 16118  df-cos 16119  df-pi 16121  df-struct 17202  df-sets 17219  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-ress 17286  df-plusg 17318  df-mulr 17319  df-starv 17320  df-sca 17321  df-vsca 17322  df-ip 17323  df-tset 17324  df-ple 17325  df-ds 17327  df-unif 17328  df-hom 17329  df-cco 17330  df-rest 17470  df-topn 17471  df-0g 17489  df-gsum 17490  df-topgen 17491  df-pt 17492  df-prds 17495  df-xrs 17551  df-qtop 17556  df-imas 17557  df-xps 17559  df-mre 17633  df-mrc 17634  df-acs 17636  df-mgm 18693  df-sgrp 18772  df-mnd 18788  df-submnd 18837  df-mulg 19129  df-cntz 19382  df-cmn 19847  df-psmet 21514  df-xmet 21515  df-met 21516  df-bl 21517  df-mopn 21518  df-fbas 21519  df-fg 21520  df-cnfld 21523  df-top 23051  df-topon 23068  df-topsp 23090  df-bases 23103  df-cld 23176  df-ntr 23177  df-cls 23178  df-nei 23255  df-lp 23293  df-perf 23294  df-cn 23384  df-cnp 23385  df-haus 23472  df-tx 23719  df-hmeo 23912  df-fil 24003  df-fm 24095  df-flim 24096  df-flf 24097  df-xms 24477  df-ms 24478  df-tms 24479  df-cncf 25037  df-limc 26025  df-dv 26026

This theorem is referenced by:  angrteqvd  26971  chordthmlem  26997