MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  atanlogaddlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem atanlogaddlem 26418
Description: Lemma for atanlogadd 26419. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
atanlogaddlem ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ ((logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด))) + (logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด)))) โˆˆ ran log)

Proof of Theorem atanlogaddlem
StepHypRef Expression
1 0re 11216 . . . 4 0 โˆˆ โ„
2 atandm2 26382 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ dom arctan โ†” (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (1 โˆ’ (i ยท ๐ด)) โ‰  0 โˆง (1 + (i ยท ๐ด)) โ‰  0))
32simp1bi 1146 . . . . 5 (๐ด โˆˆ dom arctan โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
43recld 15141 . . . 4 (๐ด โˆˆ dom arctan โ†’ (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
5 leloe 11300 . . . 4 ((0 โˆˆ โ„ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โ†’ (0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด) โ†” (0 < (โ„œโ€˜๐ด) โˆจ 0 = (โ„œโ€˜๐ด))))
61, 4, 5sylancr 588 . . 3 (๐ด โˆˆ dom arctan โ†’ (0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด) โ†” (0 < (โ„œโ€˜๐ด) โˆจ 0 = (โ„œโ€˜๐ด))))
76biimpa 478 . 2 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (0 < (โ„œโ€˜๐ด) โˆจ 0 = (โ„œโ€˜๐ด)))
8 ax-1cn 11168 . . . . . . . 8 1 โˆˆ โ„‚
9 ax-icn 11169 . . . . . . . . 9 i โˆˆ โ„‚
10 mulcl 11194 . . . . . . . . 9 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
119, 3, 10sylancr 588 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ dom arctan โ†’ (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
12 addcl 11192 . . . . . . . 8 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 + (i ยท ๐ด)) โˆˆ โ„‚)
138, 11, 12sylancr 588 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ dom arctan โ†’ (1 + (i ยท ๐ด)) โˆˆ โ„‚)
142simp3bi 1148 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ dom arctan โ†’ (1 + (i ยท ๐ด)) โ‰  0)
1513, 14logcld 26079 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ dom arctan โ†’ (logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด))) โˆˆ โ„‚)
16 subcl 11459 . . . . . . . 8 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 โˆ’ (i ยท ๐ด)) โˆˆ โ„‚)
178, 11, 16sylancr 588 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ dom arctan โ†’ (1 โˆ’ (i ยท ๐ด)) โˆˆ โ„‚)
182simp2bi 1147 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ dom arctan โ†’ (1 โˆ’ (i ยท ๐ด)) โ‰  0)
1917, 18logcld 26079 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ dom arctan โ†’ (logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด))) โˆˆ โ„‚)
2015, 19addcld 11233 . . . . 5 (๐ด โˆˆ dom arctan โ†’ ((logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด))) + (logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด)))) โˆˆ โ„‚)
2120adantr 482 . . . 4 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ ((logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด))) + (logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด)))) โˆˆ โ„‚)
22 pire 25968 . . . . . . . 8 ฯ€ โˆˆ โ„
2322renegcli 11521 . . . . . . 7 -ฯ€ โˆˆ โ„
2423a1i 11 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ -ฯ€ โˆˆ โ„)
2519adantr 482 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด))) โˆˆ โ„‚)
2625imcld 15142 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด)))) โˆˆ โ„)
2715adantr 482 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด))) โˆˆ โ„‚)
2827imcld 15142 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด)))) โˆˆ โ„)
2928, 26readdcld 11243 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ ((โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด)))) + (โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด))))) โˆˆ โ„)
3017adantr 482 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (1 โˆ’ (i ยท ๐ด)) โˆˆ โ„‚)
31 im1 15102 . . . . . . . . . . . . 13 (โ„‘โ€˜1) = 0
3231oveq1i 7419 . . . . . . . . . . . 12 ((โ„‘โ€˜1) โˆ’ (โ„‘โ€˜(i ยท ๐ด))) = (0 โˆ’ (โ„‘โ€˜(i ยท ๐ด)))
33 df-neg 11447 . . . . . . . . . . . 12 -(โ„‘โ€˜(i ยท ๐ด)) = (0 โˆ’ (โ„‘โ€˜(i ยท ๐ด)))
3432, 33eqtr4i 2764 . . . . . . . . . . 11 ((โ„‘โ€˜1) โˆ’ (โ„‘โ€˜(i ยท ๐ด))) = -(โ„‘โ€˜(i ยท ๐ด))
3511adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
36 imsub 15082 . . . . . . . . . . . 12 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚) โ†’ (โ„‘โ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด))) = ((โ„‘โ€˜1) โˆ’ (โ„‘โ€˜(i ยท ๐ด))))
378, 35, 36sylancr 588 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (โ„‘โ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด))) = ((โ„‘โ€˜1) โˆ’ (โ„‘โ€˜(i ยท ๐ด))))
383adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
39 reim 15056 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„œโ€˜๐ด) = (โ„‘โ€˜(i ยท ๐ด)))
4038, 39syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (โ„œโ€˜๐ด) = (โ„‘โ€˜(i ยท ๐ด)))
4140negeqd 11454 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ -(โ„œโ€˜๐ด) = -(โ„‘โ€˜(i ยท ๐ด)))
4234, 37, 413eqtr4a 2799 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (โ„‘โ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด))) = -(โ„œโ€˜๐ด))
434lt0neg2d 11784 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ dom arctan โ†’ (0 < (โ„œโ€˜๐ด) โ†” -(โ„œโ€˜๐ด) < 0))
4443biimpa 478 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ -(โ„œโ€˜๐ด) < 0)
4542, 44eqbrtrd 5171 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (โ„‘โ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด))) < 0)
46 argimlt0 26121 . . . . . . . . 9 (((1 โˆ’ (i ยท ๐ด)) โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„‘โ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด))) < 0) โ†’ (โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด)))) โˆˆ (-ฯ€(,)0))
4730, 45, 46syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด)))) โˆˆ (-ฯ€(,)0))
48 eliooord 13383 . . . . . . . 8 ((โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด)))) โˆˆ (-ฯ€(,)0) โ†’ (-ฯ€ < (โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด)))) โˆง (โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด)))) < 0))
4947, 48syl 17 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (-ฯ€ < (โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด)))) โˆง (โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด)))) < 0))
5049simpld 496 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ -ฯ€ < (โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด)))))
5113adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (1 + (i ยท ๐ด)) โˆˆ โ„‚)
52 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ 0 < (โ„œโ€˜๐ด))
53 imadd 15081 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚) โ†’ (โ„‘โ€˜(1 + (i ยท ๐ด))) = ((โ„‘โ€˜1) + (โ„‘โ€˜(i ยท ๐ด))))
548, 35, 53sylancr 588 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (โ„‘โ€˜(1 + (i ยท ๐ด))) = ((โ„‘โ€˜1) + (โ„‘โ€˜(i ยท ๐ด))))
5540oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ ((โ„‘โ€˜1) + (โ„œโ€˜๐ด)) = ((โ„‘โ€˜1) + (โ„‘โ€˜(i ยท ๐ด))))
5631oveq1i 7419 . . . . . . . . . . . . 13 ((โ„‘โ€˜1) + (โ„œโ€˜๐ด)) = (0 + (โ„œโ€˜๐ด))
5738recld 15141 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
5857recnd 11242 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
5958addlidd 11415 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (0 + (โ„œโ€˜๐ด)) = (โ„œโ€˜๐ด))
6056, 59eqtrid 2785 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ ((โ„‘โ€˜1) + (โ„œโ€˜๐ด)) = (โ„œโ€˜๐ด))
6154, 55, 603eqtr2d 2779 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (โ„‘โ€˜(1 + (i ยท ๐ด))) = (โ„œโ€˜๐ด))
6252, 61breqtrrd 5177 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ 0 < (โ„‘โ€˜(1 + (i ยท ๐ด))))
63 argimgt0 26120 . . . . . . . . . 10 (((1 + (i ยท ๐ด)) โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„‘โ€˜(1 + (i ยท ๐ด)))) โ†’ (โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด)))) โˆˆ (0(,)ฯ€))
6451, 62, 63syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด)))) โˆˆ (0(,)ฯ€))
65 eliooord 13383 . . . . . . . . 9 ((โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด)))) โˆˆ (0(,)ฯ€) โ†’ (0 < (โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด)))) โˆง (โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด)))) < ฯ€))
6664, 65syl 17 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (0 < (โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด)))) โˆง (โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด)))) < ฯ€))
6766simpld 496 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ 0 < (โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด)))))
6828, 26ltaddpos2d 11799 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (0 < (โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด)))) โ†” (โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด)))) < ((โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด)))) + (โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด)))))))
6967, 68mpbid 231 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด)))) < ((โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด)))) + (โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด))))))
7024, 26, 29, 50, 69lttrd 11375 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ -ฯ€ < ((โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด)))) + (โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด))))))
7127, 25imaddd 15162 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (โ„‘โ€˜((logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด))) + (logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด))))) = ((โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด)))) + (โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด))))))
7270, 71breqtrrd 5177 . . . 4 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ -ฯ€ < (โ„‘โ€˜((logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด))) + (logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด))))))
7322a1i 11 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ ฯ€ โˆˆ โ„)
74 0red 11217 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ 0 โˆˆ โ„)
7549simprd 497 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด)))) < 0)
7626, 74, 28, 75ltadd2dd 11373 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ ((โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด)))) + (โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด))))) < ((โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด)))) + 0))
7728recnd 11242 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด)))) โˆˆ โ„‚)
7877addridd 11414 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ ((โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด)))) + 0) = (โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด)))))
7976, 78breqtrd 5175 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ ((โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด)))) + (โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด))))) < (โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด)))))
8066simprd 497 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด)))) < ฯ€)
8129, 28, 73, 79, 80lttrd 11375 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ ((โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด)))) + (โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด))))) < ฯ€)
8229, 73, 81ltled 11362 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ ((โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด)))) + (โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด))))) โ‰ค ฯ€)
8371, 82eqbrtrd 5171 . . . 4 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (โ„‘โ€˜((logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด))) + (logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด))))) โ‰ค ฯ€)
84 ellogrn 26068 . . . 4 (((logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด))) + (logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด)))) โˆˆ ran log โ†” (((logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด))) + (logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด)))) โˆˆ โ„‚ โˆง -ฯ€ < (โ„‘โ€˜((logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด))) + (logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด))))) โˆง (โ„‘โ€˜((logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด))) + (logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด))))) โ‰ค ฯ€))
8521, 72, 83, 84syl3anbrc 1344 . . 3 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ ((logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด))) + (logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด)))) โˆˆ ran log)
86 0red 11217 . . . 4 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 = (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ 0 โˆˆ โ„)
8711adantr 482 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 = (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
88 simpr 486 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 = (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ 0 = (โ„œโ€˜๐ด))
893adantr 482 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 = (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
9089, 39syl 17 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 = (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (โ„œโ€˜๐ด) = (โ„‘โ€˜(i ยท ๐ด)))
9188, 90eqtr2d 2774 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 = (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (โ„‘โ€˜(i ยท ๐ด)) = 0)
9287, 91reim0bd 15147 . . . 4 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 = (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„)
9315, 19addcomd 11416 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ dom arctan โ†’ ((logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด))) + (logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด)))) = ((logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด))) + (logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด)))))
9493ad2antrr 725 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 = (โ„œโ€˜๐ด)) โˆง 0 โ‰ค (i ยท ๐ด)) โ†’ ((logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด))) + (logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด)))) = ((logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด))) + (logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด)))))
95 logrncl 26076 . . . . . . . 8 (((1 โˆ’ (i ยท ๐ด)) โˆˆ โ„‚ โˆง (1 โˆ’ (i ยท ๐ด)) โ‰  0) โ†’ (logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด))) โˆˆ ran log)
9617, 18, 95syl2anc 585 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ dom arctan โ†’ (logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด))) โˆˆ ran log)
9796ad2antrr 725 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 = (โ„œโ€˜๐ด)) โˆง 0 โ‰ค (i ยท ๐ด)) โ†’ (logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด))) โˆˆ ran log)
98 1re 11214 . . . . . . . . 9 1 โˆˆ โ„
9992adantr 482 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 = (โ„œโ€˜๐ด)) โˆง 0 โ‰ค (i ยท ๐ด)) โ†’ (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„)
100 readdcl 11193 . . . . . . . . 9 ((1 โˆˆ โ„ โˆง (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„) โ†’ (1 + (i ยท ๐ด)) โˆˆ โ„)
10198, 99, 100sylancr 588 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 = (โ„œโ€˜๐ด)) โˆง 0 โ‰ค (i ยท ๐ด)) โ†’ (1 + (i ยท ๐ด)) โˆˆ โ„)
102 0red 11217 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 = (โ„œโ€˜๐ด)) โˆง 0 โ‰ค (i ยท ๐ด)) โ†’ 0 โˆˆ โ„)
103 1red 11215 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 = (โ„œโ€˜๐ด)) โˆง 0 โ‰ค (i ยท ๐ด)) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
104 0lt1 11736 . . . . . . . . . 10 0 < 1
105104a1i 11 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 = (โ„œโ€˜๐ด)) โˆง 0 โ‰ค (i ยท ๐ด)) โ†’ 0 < 1)
106 addge01 11724 . . . . . . . . . . 11 ((1 โˆˆ โ„ โˆง (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„) โ†’ (0 โ‰ค (i ยท ๐ด) โ†” 1 โ‰ค (1 + (i ยท ๐ด))))
10798, 92, 106sylancr 588 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 = (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (0 โ‰ค (i ยท ๐ด) โ†” 1 โ‰ค (1 + (i ยท ๐ด))))
108107biimpa 478 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 = (โ„œโ€˜๐ด)) โˆง 0 โ‰ค (i ยท ๐ด)) โ†’ 1 โ‰ค (1 + (i ยท ๐ด)))
109102, 103, 101, 105, 108ltletrd 11374 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 = (โ„œโ€˜๐ด)) โˆง 0 โ‰ค (i ยท ๐ด)) โ†’ 0 < (1 + (i ยท ๐ด)))
110101, 109elrpd 13013 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 = (โ„œโ€˜๐ด)) โˆง 0 โ‰ค (i ยท ๐ด)) โ†’ (1 + (i ยท ๐ด)) โˆˆ โ„+)
111110relogcld 26131 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 = (โ„œโ€˜๐ด)) โˆง 0 โ‰ค (i ยท ๐ด)) โ†’ (logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด))) โˆˆ โ„)
112 logrnaddcl 26083 . . . . . 6 (((logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด))) โˆˆ ran log โˆง (logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด))) โˆˆ โ„) โ†’ ((logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด))) + (logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด)))) โˆˆ ran log)
11397, 111, 112syl2anc 585 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 = (โ„œโ€˜๐ด)) โˆง 0 โ‰ค (i ยท ๐ด)) โ†’ ((logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด))) + (logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด)))) โˆˆ ran log)
11494, 113eqeltrd 2834 . . . 4 (((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 = (โ„œโ€˜๐ด)) โˆง 0 โ‰ค (i ยท ๐ด)) โ†’ ((logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด))) + (logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด)))) โˆˆ ran log)
115 logrncl 26076 . . . . . . 7 (((1 + (i ยท ๐ด)) โˆˆ โ„‚ โˆง (1 + (i ยท ๐ด)) โ‰  0) โ†’ (logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด))) โˆˆ ran log)
11613, 14, 115syl2anc 585 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ dom arctan โ†’ (logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด))) โˆˆ ran log)
117116ad2antrr 725 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 = (โ„œโ€˜๐ด)) โˆง (i ยท ๐ด) โ‰ค 0) โ†’ (logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด))) โˆˆ ran log)
11892adantr 482 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 = (โ„œโ€˜๐ด)) โˆง (i ยท ๐ด) โ‰ค 0) โ†’ (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„)
119 resubcl 11524 . . . . . . . 8 ((1 โˆˆ โ„ โˆง (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„) โ†’ (1 โˆ’ (i ยท ๐ด)) โˆˆ โ„)
12098, 118, 119sylancr 588 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 = (โ„œโ€˜๐ด)) โˆง (i ยท ๐ด) โ‰ค 0) โ†’ (1 โˆ’ (i ยท ๐ด)) โˆˆ โ„)
121 0red 11217 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 = (โ„œโ€˜๐ด)) โˆง (i ยท ๐ด) โ‰ค 0) โ†’ 0 โˆˆ โ„)
122 1red 11215 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 = (โ„œโ€˜๐ด)) โˆง (i ยท ๐ด) โ‰ค 0) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
123104a1i 11 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 = (โ„œโ€˜๐ด)) โˆง (i ยท ๐ด) โ‰ค 0) โ†’ 0 < 1)
124 1m0e1 12333 . . . . . . . . 9 (1 โˆ’ 0) = 1
125 1red 11215 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 = (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
12692, 86, 125lesub2d 11822 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 = (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ ((i ยท ๐ด) โ‰ค 0 โ†” (1 โˆ’ 0) โ‰ค (1 โˆ’ (i ยท ๐ด))))
127126biimpa 478 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 = (โ„œโ€˜๐ด)) โˆง (i ยท ๐ด) โ‰ค 0) โ†’ (1 โˆ’ 0) โ‰ค (1 โˆ’ (i ยท ๐ด)))
128124, 127eqbrtrrid 5185 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 = (โ„œโ€˜๐ด)) โˆง (i ยท ๐ด) โ‰ค 0) โ†’ 1 โ‰ค (1 โˆ’ (i ยท ๐ด)))
129121, 122, 120, 123, 128ltletrd 11374 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 = (โ„œโ€˜๐ด)) โˆง (i ยท ๐ด) โ‰ค 0) โ†’ 0 < (1 โˆ’ (i ยท ๐ด)))
130120, 129elrpd 13013 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 = (โ„œโ€˜๐ด)) โˆง (i ยท ๐ด) โ‰ค 0) โ†’ (1 โˆ’ (i ยท ๐ด)) โˆˆ โ„+)
131130relogcld 26131 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 = (โ„œโ€˜๐ด)) โˆง (i ยท ๐ด) โ‰ค 0) โ†’ (logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด))) โˆˆ โ„)
132 logrnaddcl 26083 . . . . 5 (((logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด))) โˆˆ ran log โˆง (logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด))) โˆˆ โ„) โ†’ ((logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด))) + (logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด)))) โˆˆ ran log)
133117, 131, 132syl2anc 585 . . . 4 (((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 = (โ„œโ€˜๐ด)) โˆง (i ยท ๐ด) โ‰ค 0) โ†’ ((logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด))) + (logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด)))) โˆˆ ran log)
13486, 92, 114, 133lecasei 11320 . . 3 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 = (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ ((logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด))) + (logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด)))) โˆˆ ran log)
13585, 134jaodan 957 . 2 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง (0 < (โ„œโ€˜๐ด) โˆจ 0 = (โ„œโ€˜๐ด))) โ†’ ((logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด))) + (logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด)))) โˆˆ ran log)
1367, 135syldan 592 1 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ ((logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด))) + (logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด)))) โˆˆ ran log)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2941   class class class wbr 5149  dom cdm 5677  ran crn 5678  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  โ„‚cc 11108  โ„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111  ici 11112   + caddc 11113   ยท cmul 11115   < clt 11248   โ‰ค cle 11249   โˆ’ cmin 11444  -cneg 11445  (,)cioo 13324  โ„œcre 15044  โ„‘cim 15045  ฯ€cpi 16010  logclog 26063  arctancatan 26369
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ioc 13329  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-shft 15014  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-limsup 15415  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-ef 16011  df-sin 16013  df-cos 16014  df-pi 16016  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-lp 22640  df-perf 22641  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-haus 22819  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-cncf 24394  df-limc 25383  df-dv 25384  df-log 26065  df-atan 26372
This theorem is referenced by:  atanlogadd  26419
  Copyright terms: Public domain W3C validator