Theorem atanlogaddlem 26875

Description: Lemma for atanlogadd 26876. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
atanlogaddlem	⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴)) → ((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))) ∈ ran log)

Proof of Theorem atanlogaddlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11237	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		atandm2 26839	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ≠ 0 ∧ (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0))
3	2	simp1bi 1145	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → 𝐴 ∈ ℂ)
4	3	recld 15213	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
5		leloe 11321	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ) → (0 ≤ (ℜ‘𝐴) ↔ (0 < (ℜ‘𝐴) ∨ 0 = (ℜ‘𝐴))))
6	1, 4, 5	sylancr 587	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (0 ≤ (ℜ‘𝐴) ↔ (0 < (ℜ‘𝐴) ∨ 0 = (ℜ‘𝐴))))
7	6	biimpa 476	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴)) → (0 < (ℜ‘𝐴) ∨ 0 = (ℜ‘𝐴)))
8		ax-1cn 11187	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
9		ax-icn 11188	. . . . . . . . 9 ⊢ i ∈ ℂ
10		mulcl 11213	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
11	9, 3, 10	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
12		addcl 11211	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
13	8, 11, 12	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
14	2	simp3bi 1147	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0)
15	13, 14	logcld 26531	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (log‘(1 + (i · 𝐴))) ∈ ℂ)
16		subcl 11481	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (1 − (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
17	8, 11, 16	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (1 − (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
18	2	simp2bi 1146	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (1 − (i · 𝐴)) ≠ 0)
19	17, 18	logcld 26531	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (log‘(1 − (i · 𝐴))) ∈ ℂ)
20	15, 19	addcld 11254	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))) ∈ ℂ)
21	20	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))) ∈ ℂ)
22		pire 26418	. . . . . . . 8 ⊢ π ∈ ℝ
23	22	renegcli 11544	. . . . . . 7 ⊢ -π ∈ ℝ
24	23	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → -π ∈ ℝ)
25	19	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (log‘(1 − (i · 𝐴))) ∈ ℂ)
26	25	imcld 15214	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘(1 − (i · 𝐴)))) ∈ ℝ)
27	15	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (log‘(1 + (i · 𝐴))) ∈ ℂ)
28	27	imcld 15214	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) ∈ ℝ)
29	28, 26	readdcld 11264	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((ℑ‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) + (ℑ‘(log‘(1 − (i · 𝐴))))) ∈ ℝ)
30	17	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (1 − (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
31		im1 15174	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℑ‘1) = 0
32	31	oveq1i 7415	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((ℑ‘1) − (ℑ‘(i · 𝐴))) = (0 − (ℑ‘(i · 𝐴)))
33		df-neg 11469	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -(ℑ‘(i · 𝐴)) = (0 − (ℑ‘(i · 𝐴)))
34	32, 33	eqtr4i 2761	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((ℑ‘1) − (ℑ‘(i · 𝐴))) = -(ℑ‘(i · 𝐴))
35	11	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
36		imsub 15154	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (ℑ‘(1 − (i · 𝐴))) = ((ℑ‘1) − (ℑ‘(i · 𝐴))))
37	8, 35, 36	sylancr 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(1 − (i · 𝐴))) = ((ℑ‘1) − (ℑ‘(i · 𝐴))))
38	3	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → 𝐴 ∈ ℂ)
39		reim 15128	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) = (ℑ‘(i · 𝐴)))
40	38, 39	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℜ‘𝐴) = (ℑ‘(i · 𝐴)))
41	40	negeqd 11476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → -(ℜ‘𝐴) = -(ℑ‘(i · 𝐴)))
42	34, 37, 41	3eqtr4a 2796	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(1 − (i · 𝐴))) = -(ℜ‘𝐴))
43	4	lt0neg2d 11807	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (0 < (ℜ‘𝐴) ↔ -(ℜ‘𝐴) < 0))
44	43	biimpa 476	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → -(ℜ‘𝐴) < 0)
45	42, 44	eqbrtrd 5141	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(1 − (i · 𝐴))) < 0)
46		argimlt0 26574	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1 − (i · 𝐴)) ∈ ℂ ∧ (ℑ‘(1 − (i · 𝐴))) < 0) → (ℑ‘(log‘(1 − (i · 𝐴)))) ∈ (-π(,)0))
47	30, 45, 46	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘(1 − (i · 𝐴)))) ∈ (-π(,)0))
48		eliooord 13422	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℑ‘(log‘(1 − (i · 𝐴)))) ∈ (-π(,)0) → (-π < (ℑ‘(log‘(1 − (i · 𝐴)))) ∧ (ℑ‘(log‘(1 − (i · 𝐴)))) < 0))
49	47, 48	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (-π < (ℑ‘(log‘(1 − (i · 𝐴)))) ∧ (ℑ‘(log‘(1 − (i · 𝐴)))) < 0))
50	49	simpld 494	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → -π < (ℑ‘(log‘(1 − (i · 𝐴)))))
51	13	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
52		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → 0 < (ℜ‘𝐴))
53		imadd 15153	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (ℑ‘(1 + (i · 𝐴))) = ((ℑ‘1) + (ℑ‘(i · 𝐴))))
54	8, 35, 53	sylancr 587	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(1 + (i · 𝐴))) = ((ℑ‘1) + (ℑ‘(i · 𝐴))))
55	40	oveq2d 7421	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((ℑ‘1) + (ℜ‘𝐴)) = ((ℑ‘1) + (ℑ‘(i · 𝐴))))
56	31	oveq1i 7415	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((ℑ‘1) + (ℜ‘𝐴)) = (0 + (ℜ‘𝐴))
57	38	recld 15213	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
58	57	recnd 11263	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ)
59	58	addlidd 11436	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (0 + (ℜ‘𝐴)) = (ℜ‘𝐴))
60	56, 59	eqtrid 2782	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((ℑ‘1) + (ℜ‘𝐴)) = (ℜ‘𝐴))
61	54, 55, 60	3eqtr2d 2776	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(1 + (i · 𝐴))) = (ℜ‘𝐴))
62	52, 61	breqtrrd 5147	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → 0 < (ℑ‘(1 + (i · 𝐴))))
63		argimgt0 26573	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘(1 + (i · 𝐴)))) → (ℑ‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) ∈ (0(,)π))
64	51, 62, 63	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) ∈ (0(,)π))
65		eliooord 13422	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℑ‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) ∈ (0(,)π) → (0 < (ℑ‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) ∧ (ℑ‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) < π))
66	64, 65	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (0 < (ℑ‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) ∧ (ℑ‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) < π))
67	66	simpld 494	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → 0 < (ℑ‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))))
68	28, 26	ltaddpos2d 11822	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (0 < (ℑ‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) ↔ (ℑ‘(log‘(1 − (i · 𝐴)))) < ((ℑ‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) + (ℑ‘(log‘(1 − (i · 𝐴)))))))
69	67, 68	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘(1 − (i · 𝐴)))) < ((ℑ‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) + (ℑ‘(log‘(1 − (i · 𝐴))))))
70	24, 26, 29, 50, 69	lttrd 11396	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → -π < ((ℑ‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) + (ℑ‘(log‘(1 − (i · 𝐴))))))
71	27, 25	imaddd 15234	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴))))) = ((ℑ‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) + (ℑ‘(log‘(1 − (i · 𝐴))))))
72	70, 71	breqtrrd 5147	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → -π < (ℑ‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴))))))
73	22	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → π ∈ ℝ)
74		0red 11238	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → 0 ∈ ℝ)
75	49	simprd 495	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘(1 − (i · 𝐴)))) < 0)
76	26, 74, 28, 75	ltadd2dd 11394	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((ℑ‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) + (ℑ‘(log‘(1 − (i · 𝐴))))) < ((ℑ‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) + 0))
77	28	recnd 11263	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) ∈ ℂ)
78	77	addridd 11435	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((ℑ‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) + 0) = (ℑ‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))))
79	76, 78	breqtrd 5145	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((ℑ‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) + (ℑ‘(log‘(1 − (i · 𝐴))))) < (ℑ‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))))
80	66	simprd 495	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) < π)
81	29, 28, 73, 79, 80	lttrd 11396	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((ℑ‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) + (ℑ‘(log‘(1 − (i · 𝐴))))) < π)
82	29, 73, 81	ltled 11383	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((ℑ‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) + (ℑ‘(log‘(1 − (i · 𝐴))))) ≤ π)
83	71, 82	eqbrtrd 5141	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴))))) ≤ π)
84		ellogrn 26520	. . . 4 ⊢ (((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))) ∈ ran log ↔ (((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))) ∈ ℂ ∧ -π < (ℑ‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴))))) ∧ (ℑ‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴))))) ≤ π))
85	21, 72, 83, 84	syl3anbrc 1344	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))) ∈ ran log)
86		0red 11238	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) → 0 ∈ ℝ)
87	11	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
88		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) → 0 = (ℜ‘𝐴))
89	3	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) → 𝐴 ∈ ℂ)
90	89, 39	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) → (ℜ‘𝐴) = (ℑ‘(i · 𝐴)))
91	88, 90	eqtr2d 2771	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(i · 𝐴)) = 0)
92	87, 91	reim0bd 15219	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) → (i · 𝐴) ∈ ℝ)
93	15, 19	addcomd 11437	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))) = ((log‘(1 − (i · 𝐴))) + (log‘(1 + (i · 𝐴)))))
94	93	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) ∧ 0 ≤ (i · 𝐴)) → ((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))) = ((log‘(1 − (i · 𝐴))) + (log‘(1 + (i · 𝐴)))))
95		logrncl 26528	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 − (i · 𝐴)) ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ≠ 0) → (log‘(1 − (i · 𝐴))) ∈ ran log)
96	17, 18, 95	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (log‘(1 − (i · 𝐴))) ∈ ran log)
97	96	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) ∧ 0 ≤ (i · 𝐴)) → (log‘(1 − (i · 𝐴))) ∈ ran log)
98		1re 11235	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
99	92	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) ∧ 0 ≤ (i · 𝐴)) → (i · 𝐴) ∈ ℝ)
100		readdcl 11212	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℝ) → (1 + (i · 𝐴)) ∈ ℝ)
101	98, 99, 100	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) ∧ 0 ≤ (i · 𝐴)) → (1 + (i · 𝐴)) ∈ ℝ)
102		0red 11238	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) ∧ 0 ≤ (i · 𝐴)) → 0 ∈ ℝ)
103		1red 11236	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) ∧ 0 ≤ (i · 𝐴)) → 1 ∈ ℝ)
104		0lt1 11759	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 1
105	104	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) ∧ 0 ≤ (i · 𝐴)) → 0 < 1)
106		addge01 11747	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℝ) → (0 ≤ (i · 𝐴) ↔ 1 ≤ (1 + (i · 𝐴))))
107	98, 92, 106	sylancr 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) → (0 ≤ (i · 𝐴) ↔ 1 ≤ (1 + (i · 𝐴))))
108	107	biimpa 476	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) ∧ 0 ≤ (i · 𝐴)) → 1 ≤ (1 + (i · 𝐴)))
109	102, 103, 101, 105, 108	ltletrd 11395	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) ∧ 0 ≤ (i · 𝐴)) → 0 < (1 + (i · 𝐴)))
110	101, 109	elrpd 13048	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) ∧ 0 ≤ (i · 𝐴)) → (1 + (i · 𝐴)) ∈ ℝ+)
111	110	relogcld 26584	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) ∧ 0 ≤ (i · 𝐴)) → (log‘(1 + (i · 𝐴))) ∈ ℝ)
112		logrnaddcl 26535	. . . . . 6 ⊢ (((log‘(1 − (i · 𝐴))) ∈ ran log ∧ (log‘(1 + (i · 𝐴))) ∈ ℝ) → ((log‘(1 − (i · 𝐴))) + (log‘(1 + (i · 𝐴)))) ∈ ran log)
113	97, 111, 112	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) ∧ 0 ≤ (i · 𝐴)) → ((log‘(1 − (i · 𝐴))) + (log‘(1 + (i · 𝐴)))) ∈ ran log)
114	94, 113	eqeltrd 2834	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) ∧ 0 ≤ (i · 𝐴)) → ((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))) ∈ ran log)
115		logrncl 26528	. . . . . . 7 ⊢ (((1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ ∧ (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0) → (log‘(1 + (i · 𝐴))) ∈ ran log)
116	13, 14, 115	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (log‘(1 + (i · 𝐴))) ∈ ran log)
117	116	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) ∧ (i · 𝐴) ≤ 0) → (log‘(1 + (i · 𝐴))) ∈ ran log)
118	92	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) ∧ (i · 𝐴) ≤ 0) → (i · 𝐴) ∈ ℝ)
119		resubcl 11547	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℝ) → (1 − (i · 𝐴)) ∈ ℝ)
120	98, 118, 119	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) ∧ (i · 𝐴) ≤ 0) → (1 − (i · 𝐴)) ∈ ℝ)
121		0red 11238	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) ∧ (i · 𝐴) ≤ 0) → 0 ∈ ℝ)
122		1red 11236	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) ∧ (i · 𝐴) ≤ 0) → 1 ∈ ℝ)
123	104	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) ∧ (i · 𝐴) ≤ 0) → 0 < 1)
124		1m0e1 12361	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 − 0) = 1
125		1red 11236	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) → 1 ∈ ℝ)
126	92, 86, 125	lesub2d 11845	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) → ((i · 𝐴) ≤ 0 ↔ (1 − 0) ≤ (1 − (i · 𝐴))))
127	126	biimpa 476	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) ∧ (i · 𝐴) ≤ 0) → (1 − 0) ≤ (1 − (i · 𝐴)))
128	124, 127	eqbrtrrid 5155	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) ∧ (i · 𝐴) ≤ 0) → 1 ≤ (1 − (i · 𝐴)))
129	121, 122, 120, 123, 128	ltletrd 11395	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) ∧ (i · 𝐴) ≤ 0) → 0 < (1 − (i · 𝐴)))
130	120, 129	elrpd 13048	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) ∧ (i · 𝐴) ≤ 0) → (1 − (i · 𝐴)) ∈ ℝ+)
131	130	relogcld 26584	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) ∧ (i · 𝐴) ≤ 0) → (log‘(1 − (i · 𝐴))) ∈ ℝ)
132		logrnaddcl 26535	. . . . 5 ⊢ (((log‘(1 + (i · 𝐴))) ∈ ran log ∧ (log‘(1 − (i · 𝐴))) ∈ ℝ) → ((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))) ∈ ran log)
133	117, 131, 132	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) ∧ (i · 𝐴) ≤ 0) → ((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))) ∈ ran log)
134	86, 92, 114, 133	lecasei 11341	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) → ((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))) ∈ ran log)
135	85, 134	jaodan 959	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ (0 < (ℜ‘𝐴) ∨ 0 = (ℜ‘𝐴))) → ((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))) ∈ ran log)
136	7, 135	syldan 591	1 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴)) → ((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))) ∈ ran log)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932   class class class wbr 5119  dom cdm 5654  ran crn 5655  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  ℂcc 11127  ℝcr 11128  0cc0 11129  1c1 11130  ici 11131   + caddc 11132   · cmul 11134   < clt 11269   ≤ cle 11270   − cmin 11466  -cneg 11467  (,)cioo 13362  ℜcre 15116  ℑcim 15117  πcpi 16082  logclog 26515  arctancatan 26826

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-inf2 9655  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-pre-sup 11207  ax-addf 11208

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-iin 4970  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7671  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8719  df-map 8842  df-pm 8843  df-ixp 8912  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-fsupp 9374  df-fi 9423  df-sup 9454  df-inf 9455  df-oi 9524  df-card 9953  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12502  df-z 12589  df-dec 12709  df-uz 12853  df-q 12965  df-rp 13009  df-xneg 13128  df-xadd 13129  df-xmul 13130  df-ioo 13366  df-ioc 13367  df-ico 13368  df-icc 13369  df-fz 13525  df-fzo 13672  df-fl 13809  df-mod 13887  df-seq 14020  df-exp 14080  df-fac 14292  df-bc 14321  df-hash 14349  df-shft 15086  df-cj 15118  df-re 15119  df-im 15120  df-sqrt 15254  df-abs 15255  df-limsup 15487  df-clim 15504  df-rlim 15505  df-sum 15703  df-ef 16083  df-sin 16085  df-cos 16086  df-pi 16088  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17252  df-plusg 17284  df-mulr 17285  df-starv 17286  df-sca 17287  df-vsca 17288  df-ip 17289  df-tset 17290  df-ple 17291  df-ds 17293  df-unif 17294  df-hom 17295  df-cco 17296  df-rest 17436  df-topn 17437  df-0g 17455  df-gsum 17456  df-topgen 17457  df-pt 17458  df-prds 17461  df-xrs 17516  df-qtop 17521  df-imas 17522  df-xps 17524  df-mre 17598  df-mrc 17599  df-acs 17601  df-mgm 18618  df-sgrp 18697  df-mnd 18713  df-submnd 18762  df-mulg 19051  df-cntz 19300  df-cmn 19763  df-psmet 21307  df-xmet 21308  df-met 21309  df-bl 21310  df-mopn 21311  df-fbas 21312  df-fg 21313  df-cnfld 21316  df-top 22832  df-topon 22849  df-topsp 22871  df-bases 22884  df-cld 22957  df-ntr 22958  df-cls 22959  df-nei 23036  df-lp 23074  df-perf 23075  df-cn 23165  df-cnp 23166  df-haus 23253  df-tx 23500  df-hmeo 23693  df-fil 23784  df-fm 23876  df-flim 23877  df-flf 23878  df-xms 24259  df-ms 24260  df-tms 24261  df-cncf 24822  df-limc 25819  df-dv 25820  df-log 26517  df-atan 26829

This theorem is referenced by:  atanlogadd  26876