MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  atanlogaddlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem atanlogaddlem 26655
Description: Lemma for atanlogadd 26656. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
atanlogaddlem ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ ((logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด))) + (logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด)))) โˆˆ ran log)

Proof of Theorem atanlogaddlem
StepHypRef Expression
1 0re 11221 . . . 4 0 โˆˆ โ„
2 atandm2 26619 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ dom arctan โ†” (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (1 โˆ’ (i ยท ๐ด)) โ‰  0 โˆง (1 + (i ยท ๐ด)) โ‰  0))
32simp1bi 1144 . . . . 5 (๐ด โˆˆ dom arctan โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
43recld 15146 . . . 4 (๐ด โˆˆ dom arctan โ†’ (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
5 leloe 11305 . . . 4 ((0 โˆˆ โ„ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โ†’ (0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด) โ†” (0 < (โ„œโ€˜๐ด) โˆจ 0 = (โ„œโ€˜๐ด))))
61, 4, 5sylancr 586 . . 3 (๐ด โˆˆ dom arctan โ†’ (0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด) โ†” (0 < (โ„œโ€˜๐ด) โˆจ 0 = (โ„œโ€˜๐ด))))
76biimpa 476 . 2 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (0 < (โ„œโ€˜๐ด) โˆจ 0 = (โ„œโ€˜๐ด)))
8 ax-1cn 11172 . . . . . . . 8 1 โˆˆ โ„‚
9 ax-icn 11173 . . . . . . . . 9 i โˆˆ โ„‚
10 mulcl 11198 . . . . . . . . 9 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
119, 3, 10sylancr 586 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ dom arctan โ†’ (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
12 addcl 11196 . . . . . . . 8 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 + (i ยท ๐ด)) โˆˆ โ„‚)
138, 11, 12sylancr 586 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ dom arctan โ†’ (1 + (i ยท ๐ด)) โˆˆ โ„‚)
142simp3bi 1146 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ dom arctan โ†’ (1 + (i ยท ๐ด)) โ‰  0)
1513, 14logcld 26316 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ dom arctan โ†’ (logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด))) โˆˆ โ„‚)
16 subcl 11464 . . . . . . . 8 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 โˆ’ (i ยท ๐ด)) โˆˆ โ„‚)
178, 11, 16sylancr 586 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ dom arctan โ†’ (1 โˆ’ (i ยท ๐ด)) โˆˆ โ„‚)
182simp2bi 1145 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ dom arctan โ†’ (1 โˆ’ (i ยท ๐ด)) โ‰  0)
1917, 18logcld 26316 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ dom arctan โ†’ (logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด))) โˆˆ โ„‚)
2015, 19addcld 11238 . . . . 5 (๐ด โˆˆ dom arctan โ†’ ((logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด))) + (logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด)))) โˆˆ โ„‚)
2120adantr 480 . . . 4 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ ((logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด))) + (logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด)))) โˆˆ โ„‚)
22 pire 26205 . . . . . . . 8 ฯ€ โˆˆ โ„
2322renegcli 11526 . . . . . . 7 -ฯ€ โˆˆ โ„
2423a1i 11 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ -ฯ€ โˆˆ โ„)
2519adantr 480 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด))) โˆˆ โ„‚)
2625imcld 15147 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด)))) โˆˆ โ„)
2715adantr 480 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด))) โˆˆ โ„‚)
2827imcld 15147 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด)))) โˆˆ โ„)
2928, 26readdcld 11248 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ ((โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด)))) + (โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด))))) โˆˆ โ„)
3017adantr 480 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (1 โˆ’ (i ยท ๐ด)) โˆˆ โ„‚)
31 im1 15107 . . . . . . . . . . . . 13 (โ„‘โ€˜1) = 0
3231oveq1i 7422 . . . . . . . . . . . 12 ((โ„‘โ€˜1) โˆ’ (โ„‘โ€˜(i ยท ๐ด))) = (0 โˆ’ (โ„‘โ€˜(i ยท ๐ด)))
33 df-neg 11452 . . . . . . . . . . . 12 -(โ„‘โ€˜(i ยท ๐ด)) = (0 โˆ’ (โ„‘โ€˜(i ยท ๐ด)))
3432, 33eqtr4i 2762 . . . . . . . . . . 11 ((โ„‘โ€˜1) โˆ’ (โ„‘โ€˜(i ยท ๐ด))) = -(โ„‘โ€˜(i ยท ๐ด))
3511adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
36 imsub 15087 . . . . . . . . . . . 12 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚) โ†’ (โ„‘โ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด))) = ((โ„‘โ€˜1) โˆ’ (โ„‘โ€˜(i ยท ๐ด))))
378, 35, 36sylancr 586 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (โ„‘โ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด))) = ((โ„‘โ€˜1) โˆ’ (โ„‘โ€˜(i ยท ๐ด))))
383adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
39 reim 15061 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„œโ€˜๐ด) = (โ„‘โ€˜(i ยท ๐ด)))
4038, 39syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (โ„œโ€˜๐ด) = (โ„‘โ€˜(i ยท ๐ด)))
4140negeqd 11459 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ -(โ„œโ€˜๐ด) = -(โ„‘โ€˜(i ยท ๐ด)))
4234, 37, 413eqtr4a 2797 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (โ„‘โ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด))) = -(โ„œโ€˜๐ด))
434lt0neg2d 11789 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ dom arctan โ†’ (0 < (โ„œโ€˜๐ด) โ†” -(โ„œโ€˜๐ด) < 0))
4443biimpa 476 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ -(โ„œโ€˜๐ด) < 0)
4542, 44eqbrtrd 5170 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (โ„‘โ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด))) < 0)
46 argimlt0 26358 . . . . . . . . 9 (((1 โˆ’ (i ยท ๐ด)) โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„‘โ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด))) < 0) โ†’ (โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด)))) โˆˆ (-ฯ€(,)0))
4730, 45, 46syl2anc 583 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด)))) โˆˆ (-ฯ€(,)0))
48 eliooord 13388 . . . . . . . 8 ((โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด)))) โˆˆ (-ฯ€(,)0) โ†’ (-ฯ€ < (โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด)))) โˆง (โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด)))) < 0))
4947, 48syl 17 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (-ฯ€ < (โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด)))) โˆง (โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด)))) < 0))
5049simpld 494 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ -ฯ€ < (โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด)))))
5113adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (1 + (i ยท ๐ด)) โˆˆ โ„‚)
52 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ 0 < (โ„œโ€˜๐ด))
53 imadd 15086 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚) โ†’ (โ„‘โ€˜(1 + (i ยท ๐ด))) = ((โ„‘โ€˜1) + (โ„‘โ€˜(i ยท ๐ด))))
548, 35, 53sylancr 586 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (โ„‘โ€˜(1 + (i ยท ๐ด))) = ((โ„‘โ€˜1) + (โ„‘โ€˜(i ยท ๐ด))))
5540oveq2d 7428 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ ((โ„‘โ€˜1) + (โ„œโ€˜๐ด)) = ((โ„‘โ€˜1) + (โ„‘โ€˜(i ยท ๐ด))))
5631oveq1i 7422 . . . . . . . . . . . . 13 ((โ„‘โ€˜1) + (โ„œโ€˜๐ด)) = (0 + (โ„œโ€˜๐ด))
5738recld 15146 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
5857recnd 11247 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
5958addlidd 11420 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (0 + (โ„œโ€˜๐ด)) = (โ„œโ€˜๐ด))
6056, 59eqtrid 2783 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ ((โ„‘โ€˜1) + (โ„œโ€˜๐ด)) = (โ„œโ€˜๐ด))
6154, 55, 603eqtr2d 2777 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (โ„‘โ€˜(1 + (i ยท ๐ด))) = (โ„œโ€˜๐ด))
6252, 61breqtrrd 5176 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ 0 < (โ„‘โ€˜(1 + (i ยท ๐ด))))
63 argimgt0 26357 . . . . . . . . . 10 (((1 + (i ยท ๐ด)) โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„‘โ€˜(1 + (i ยท ๐ด)))) โ†’ (โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด)))) โˆˆ (0(,)ฯ€))
6451, 62, 63syl2anc 583 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด)))) โˆˆ (0(,)ฯ€))
65 eliooord 13388 . . . . . . . . 9 ((โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด)))) โˆˆ (0(,)ฯ€) โ†’ (0 < (โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด)))) โˆง (โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด)))) < ฯ€))
6664, 65syl 17 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (0 < (โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด)))) โˆง (โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด)))) < ฯ€))
6766simpld 494 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ 0 < (โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด)))))
6828, 26ltaddpos2d 11804 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (0 < (โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด)))) โ†” (โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด)))) < ((โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด)))) + (โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด)))))))
6967, 68mpbid 231 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด)))) < ((โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด)))) + (โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด))))))
7024, 26, 29, 50, 69lttrd 11380 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ -ฯ€ < ((โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด)))) + (โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด))))))
7127, 25imaddd 15167 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (โ„‘โ€˜((logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด))) + (logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด))))) = ((โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด)))) + (โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด))))))
7270, 71breqtrrd 5176 . . . 4 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ -ฯ€ < (โ„‘โ€˜((logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด))) + (logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด))))))
7322a1i 11 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ ฯ€ โˆˆ โ„)
74 0red 11222 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ 0 โˆˆ โ„)
7549simprd 495 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด)))) < 0)
7626, 74, 28, 75ltadd2dd 11378 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ ((โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด)))) + (โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด))))) < ((โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด)))) + 0))
7728recnd 11247 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด)))) โˆˆ โ„‚)
7877addridd 11419 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ ((โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด)))) + 0) = (โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด)))))
7976, 78breqtrd 5174 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ ((โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด)))) + (โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด))))) < (โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด)))))
8066simprd 495 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด)))) < ฯ€)
8129, 28, 73, 79, 80lttrd 11380 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ ((โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด)))) + (โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด))))) < ฯ€)
8229, 73, 81ltled 11367 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ ((โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด)))) + (โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด))))) โ‰ค ฯ€)
8371, 82eqbrtrd 5170 . . . 4 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (โ„‘โ€˜((logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด))) + (logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด))))) โ‰ค ฯ€)
84 ellogrn 26305 . . . 4 (((logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด))) + (logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด)))) โˆˆ ran log โ†” (((logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด))) + (logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด)))) โˆˆ โ„‚ โˆง -ฯ€ < (โ„‘โ€˜((logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด))) + (logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด))))) โˆง (โ„‘โ€˜((logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด))) + (logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด))))) โ‰ค ฯ€))
8521, 72, 83, 84syl3anbrc 1342 . . 3 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ ((logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด))) + (logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด)))) โˆˆ ran log)
86 0red 11222 . . . 4 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 = (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ 0 โˆˆ โ„)
8711adantr 480 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 = (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
88 simpr 484 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 = (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ 0 = (โ„œโ€˜๐ด))
893adantr 480 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 = (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
9089, 39syl 17 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 = (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (โ„œโ€˜๐ด) = (โ„‘โ€˜(i ยท ๐ด)))
9188, 90eqtr2d 2772 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 = (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (โ„‘โ€˜(i ยท ๐ด)) = 0)
9287, 91reim0bd 15152 . . . 4 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 = (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„)
9315, 19addcomd 11421 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ dom arctan โ†’ ((logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด))) + (logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด)))) = ((logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด))) + (logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด)))))
9493ad2antrr 723 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 = (โ„œโ€˜๐ด)) โˆง 0 โ‰ค (i ยท ๐ด)) โ†’ ((logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด))) + (logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด)))) = ((logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด))) + (logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด)))))
95 logrncl 26313 . . . . . . . 8 (((1 โˆ’ (i ยท ๐ด)) โˆˆ โ„‚ โˆง (1 โˆ’ (i ยท ๐ด)) โ‰  0) โ†’ (logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด))) โˆˆ ran log)
9617, 18, 95syl2anc 583 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ dom arctan โ†’ (logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด))) โˆˆ ran log)
9796ad2antrr 723 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 = (โ„œโ€˜๐ด)) โˆง 0 โ‰ค (i ยท ๐ด)) โ†’ (logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด))) โˆˆ ran log)
98 1re 11219 . . . . . . . . 9 1 โˆˆ โ„
9992adantr 480 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 = (โ„œโ€˜๐ด)) โˆง 0 โ‰ค (i ยท ๐ด)) โ†’ (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„)
100 readdcl 11197 . . . . . . . . 9 ((1 โˆˆ โ„ โˆง (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„) โ†’ (1 + (i ยท ๐ด)) โˆˆ โ„)
10198, 99, 100sylancr 586 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 = (โ„œโ€˜๐ด)) โˆง 0 โ‰ค (i ยท ๐ด)) โ†’ (1 + (i ยท ๐ด)) โˆˆ โ„)
102 0red 11222 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 = (โ„œโ€˜๐ด)) โˆง 0 โ‰ค (i ยท ๐ด)) โ†’ 0 โˆˆ โ„)
103 1red 11220 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 = (โ„œโ€˜๐ด)) โˆง 0 โ‰ค (i ยท ๐ด)) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
104 0lt1 11741 . . . . . . . . . 10 0 < 1
105104a1i 11 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 = (โ„œโ€˜๐ด)) โˆง 0 โ‰ค (i ยท ๐ด)) โ†’ 0 < 1)
106 addge01 11729 . . . . . . . . . . 11 ((1 โˆˆ โ„ โˆง (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„) โ†’ (0 โ‰ค (i ยท ๐ด) โ†” 1 โ‰ค (1 + (i ยท ๐ด))))
10798, 92, 106sylancr 586 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 = (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (0 โ‰ค (i ยท ๐ด) โ†” 1 โ‰ค (1 + (i ยท ๐ด))))
108107biimpa 476 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 = (โ„œโ€˜๐ด)) โˆง 0 โ‰ค (i ยท ๐ด)) โ†’ 1 โ‰ค (1 + (i ยท ๐ด)))
109102, 103, 101, 105, 108ltletrd 11379 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 = (โ„œโ€˜๐ด)) โˆง 0 โ‰ค (i ยท ๐ด)) โ†’ 0 < (1 + (i ยท ๐ด)))
110101, 109elrpd 13018 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 = (โ„œโ€˜๐ด)) โˆง 0 โ‰ค (i ยท ๐ด)) โ†’ (1 + (i ยท ๐ด)) โˆˆ โ„+)
111110relogcld 26368 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 = (โ„œโ€˜๐ด)) โˆง 0 โ‰ค (i ยท ๐ด)) โ†’ (logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด))) โˆˆ โ„)
112 logrnaddcl 26320 . . . . . 6 (((logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด))) โˆˆ ran log โˆง (logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด))) โˆˆ โ„) โ†’ ((logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด))) + (logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด)))) โˆˆ ran log)
11397, 111, 112syl2anc 583 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 = (โ„œโ€˜๐ด)) โˆง 0 โ‰ค (i ยท ๐ด)) โ†’ ((logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด))) + (logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด)))) โˆˆ ran log)
11494, 113eqeltrd 2832 . . . 4 (((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 = (โ„œโ€˜๐ด)) โˆง 0 โ‰ค (i ยท ๐ด)) โ†’ ((logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด))) + (logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด)))) โˆˆ ran log)
115 logrncl 26313 . . . . . . 7 (((1 + (i ยท ๐ด)) โˆˆ โ„‚ โˆง (1 + (i ยท ๐ด)) โ‰  0) โ†’ (logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด))) โˆˆ ran log)
11613, 14, 115syl2anc 583 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ dom arctan โ†’ (logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด))) โˆˆ ran log)
117116ad2antrr 723 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 = (โ„œโ€˜๐ด)) โˆง (i ยท ๐ด) โ‰ค 0) โ†’ (logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด))) โˆˆ ran log)
11892adantr 480 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 = (โ„œโ€˜๐ด)) โˆง (i ยท ๐ด) โ‰ค 0) โ†’ (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„)
119 resubcl 11529 . . . . . . . 8 ((1 โˆˆ โ„ โˆง (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„) โ†’ (1 โˆ’ (i ยท ๐ด)) โˆˆ โ„)
12098, 118, 119sylancr 586 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 = (โ„œโ€˜๐ด)) โˆง (i ยท ๐ด) โ‰ค 0) โ†’ (1 โˆ’ (i ยท ๐ด)) โˆˆ โ„)
121 0red 11222 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 = (โ„œโ€˜๐ด)) โˆง (i ยท ๐ด) โ‰ค 0) โ†’ 0 โˆˆ โ„)
122 1red 11220 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 = (โ„œโ€˜๐ด)) โˆง (i ยท ๐ด) โ‰ค 0) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
123104a1i 11 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 = (โ„œโ€˜๐ด)) โˆง (i ยท ๐ด) โ‰ค 0) โ†’ 0 < 1)
124 1m0e1 12338 . . . . . . . . 9 (1 โˆ’ 0) = 1
125 1red 11220 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 = (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
12692, 86, 125lesub2d 11827 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 = (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ ((i ยท ๐ด) โ‰ค 0 โ†” (1 โˆ’ 0) โ‰ค (1 โˆ’ (i ยท ๐ด))))
127126biimpa 476 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 = (โ„œโ€˜๐ด)) โˆง (i ยท ๐ด) โ‰ค 0) โ†’ (1 โˆ’ 0) โ‰ค (1 โˆ’ (i ยท ๐ด)))
128124, 127eqbrtrrid 5184 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 = (โ„œโ€˜๐ด)) โˆง (i ยท ๐ด) โ‰ค 0) โ†’ 1 โ‰ค (1 โˆ’ (i ยท ๐ด)))
129121, 122, 120, 123, 128ltletrd 11379 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 = (โ„œโ€˜๐ด)) โˆง (i ยท ๐ด) โ‰ค 0) โ†’ 0 < (1 โˆ’ (i ยท ๐ด)))
130120, 129elrpd 13018 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 = (โ„œโ€˜๐ด)) โˆง (i ยท ๐ด) โ‰ค 0) โ†’ (1 โˆ’ (i ยท ๐ด)) โˆˆ โ„+)
131130relogcld 26368 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 = (โ„œโ€˜๐ด)) โˆง (i ยท ๐ด) โ‰ค 0) โ†’ (logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด))) โˆˆ โ„)
132 logrnaddcl 26320 . . . . 5 (((logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด))) โˆˆ ran log โˆง (logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด))) โˆˆ โ„) โ†’ ((logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด))) + (logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด)))) โˆˆ ran log)
133117, 131, 132syl2anc 583 . . . 4 (((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 = (โ„œโ€˜๐ด)) โˆง (i ยท ๐ด) โ‰ค 0) โ†’ ((logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด))) + (logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด)))) โˆˆ ran log)
13486, 92, 114, 133lecasei 11325 . . 3 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 = (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ ((logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด))) + (logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด)))) โˆˆ ran log)
13585, 134jaodan 955 . 2 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง (0 < (โ„œโ€˜๐ด) โˆจ 0 = (โ„œโ€˜๐ด))) โ†’ ((logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด))) + (logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด)))) โˆˆ ran log)
1367, 135syldan 590 1 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ ((logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด))) + (logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด)))) โˆˆ ran log)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆจ wo 844   = wceq 1540   โˆˆ wcel 2105   โ‰  wne 2939   class class class wbr 5148  dom cdm 5676  ran crn 5677  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  โ„‚cc 11112  โ„cr 11113  0cc0 11114  1c1 11115  ici 11116   + caddc 11117   ยท cmul 11119   < clt 11253   โ‰ค cle 11254   โˆ’ cmin 11449  -cneg 11450  (,)cioo 13329  โ„œcre 15049  โ„‘cim 15050  ฯ€cpi 16015  logclog 26300  arctancatan 26606
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9640  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192  ax-addf 11193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8151  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-2o 8471  df-er 8707  df-map 8826  df-pm 8827  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9366  df-fi 9410  df-sup 9441  df-inf 9442  df-oi 9509  df-card 9938  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-xneg 13097  df-xadd 13098  df-xmul 13099  df-ioo 13333  df-ioc 13334  df-ico 13335  df-icc 13336  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-fl 13762  df-mod 13840  df-seq 13972  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15019  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-limsup 15420  df-clim 15437  df-rlim 15438  df-sum 15638  df-ef 16016  df-sin 16018  df-cos 16019  df-pi 16021  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-hom 17226  df-cco 17227  df-rest 17373  df-topn 17374  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-topgen 17394  df-pt 17395  df-prds 17398  df-xrs 17453  df-qtop 17458  df-imas 17459  df-xps 17461  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-submnd 18707  df-mulg 18988  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-psmet 21137  df-xmet 21138  df-met 21139  df-bl 21140  df-mopn 21141  df-fbas 21142  df-fg 21143  df-cnfld 21146  df-top 22617  df-topon 22634  df-topsp 22656  df-bases 22670  df-cld 22744  df-ntr 22745  df-cls 22746  df-nei 22823  df-lp 22861  df-perf 22862  df-cn 22952  df-cnp 22953  df-haus 23040  df-tx 23287  df-hmeo 23480  df-fil 23571  df-fm 23663  df-flim 23664  df-flf 23665  df-xms 24047  df-ms 24048  df-tms 24049  df-cncf 24619  df-limc 25616  df-dv 25617  df-log 26302  df-atan 26609
This theorem is referenced by:  atanlogadd  26656
  Copyright terms: Public domain W3C validator