Theorem atanlogaddlem 26063

Description: Lemma for atanlogadd 26064. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
atanlogaddlem	⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴)) → ((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))) ∈ ran log)

Proof of Theorem atanlogaddlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 10977	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		atandm2 26027	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ≠ 0 ∧ (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0))
3	2	simp1bi 1144	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → 𝐴 ∈ ℂ)
4	3	recld 14905	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
5		leloe 11061	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ) → (0 ≤ (ℜ‘𝐴) ↔ (0 < (ℜ‘𝐴) ∨ 0 = (ℜ‘𝐴))))
6	1, 4, 5	sylancr 587	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (0 ≤ (ℜ‘𝐴) ↔ (0 < (ℜ‘𝐴) ∨ 0 = (ℜ‘𝐴))))
7	6	biimpa 477	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴)) → (0 < (ℜ‘𝐴) ∨ 0 = (ℜ‘𝐴)))
8		ax-1cn 10929	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
9		ax-icn 10930	. . . . . . . . 9 ⊢ i ∈ ℂ
10		mulcl 10955	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
11	9, 3, 10	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
12		addcl 10953	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
13	8, 11, 12	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
14	2	simp3bi 1146	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0)
15	13, 14	logcld 25726	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (log‘(1 + (i · 𝐴))) ∈ ℂ)
16		subcl 11220	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (1 − (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
17	8, 11, 16	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (1 − (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
18	2	simp2bi 1145	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (1 − (i · 𝐴)) ≠ 0)
19	17, 18	logcld 25726	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (log‘(1 − (i · 𝐴))) ∈ ℂ)
20	15, 19	addcld 10994	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))) ∈ ℂ)
21	20	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))) ∈ ℂ)
22		pire 25615	. . . . . . . 8 ⊢ π ∈ ℝ
23	22	renegcli 11282	. . . . . . 7 ⊢ -π ∈ ℝ
24	23	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → -π ∈ ℝ)
25	19	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (log‘(1 − (i · 𝐴))) ∈ ℂ)
26	25	imcld 14906	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘(1 − (i · 𝐴)))) ∈ ℝ)
27	15	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (log‘(1 + (i · 𝐴))) ∈ ℂ)
28	27	imcld 14906	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) ∈ ℝ)
29	28, 26	readdcld 11004	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((ℑ‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) + (ℑ‘(log‘(1 − (i · 𝐴))))) ∈ ℝ)
30	17	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (1 − (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
31		im1 14866	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℑ‘1) = 0
32	31	oveq1i 7285	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((ℑ‘1) − (ℑ‘(i · 𝐴))) = (0 − (ℑ‘(i · 𝐴)))
33		df-neg 11208	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -(ℑ‘(i · 𝐴)) = (0 − (ℑ‘(i · 𝐴)))
34	32, 33	eqtr4i 2769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((ℑ‘1) − (ℑ‘(i · 𝐴))) = -(ℑ‘(i · 𝐴))
35	11	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
36		imsub 14846	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (ℑ‘(1 − (i · 𝐴))) = ((ℑ‘1) − (ℑ‘(i · 𝐴))))
37	8, 35, 36	sylancr 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(1 − (i · 𝐴))) = ((ℑ‘1) − (ℑ‘(i · 𝐴))))
38	3	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → 𝐴 ∈ ℂ)
39		reim 14820	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) = (ℑ‘(i · 𝐴)))
40	38, 39	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℜ‘𝐴) = (ℑ‘(i · 𝐴)))
41	40	negeqd 11215	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → -(ℜ‘𝐴) = -(ℑ‘(i · 𝐴)))
42	34, 37, 41	3eqtr4a 2804	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(1 − (i · 𝐴))) = -(ℜ‘𝐴))
43	4	lt0neg2d 11545	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (0 < (ℜ‘𝐴) ↔ -(ℜ‘𝐴) < 0))
44	43	biimpa 477	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → -(ℜ‘𝐴) < 0)
45	42, 44	eqbrtrd 5096	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(1 − (i · 𝐴))) < 0)
46		argimlt0 25768	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1 − (i · 𝐴)) ∈ ℂ ∧ (ℑ‘(1 − (i · 𝐴))) < 0) → (ℑ‘(log‘(1 − (i · 𝐴)))) ∈ (-π(,)0))
47	30, 45, 46	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘(1 − (i · 𝐴)))) ∈ (-π(,)0))
48		eliooord 13138	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℑ‘(log‘(1 − (i · 𝐴)))) ∈ (-π(,)0) → (-π < (ℑ‘(log‘(1 − (i · 𝐴)))) ∧ (ℑ‘(log‘(1 − (i · 𝐴)))) < 0))
49	47, 48	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (-π < (ℑ‘(log‘(1 − (i · 𝐴)))) ∧ (ℑ‘(log‘(1 − (i · 𝐴)))) < 0))
50	49	simpld 495	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → -π < (ℑ‘(log‘(1 − (i · 𝐴)))))
51	13	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
52		simpr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → 0 < (ℜ‘𝐴))
53		imadd 14845	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (ℑ‘(1 + (i · 𝐴))) = ((ℑ‘1) + (ℑ‘(i · 𝐴))))
54	8, 35, 53	sylancr 587	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(1 + (i · 𝐴))) = ((ℑ‘1) + (ℑ‘(i · 𝐴))))
55	40	oveq2d 7291	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((ℑ‘1) + (ℜ‘𝐴)) = ((ℑ‘1) + (ℑ‘(i · 𝐴))))
56	31	oveq1i 7285	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((ℑ‘1) + (ℜ‘𝐴)) = (0 + (ℜ‘𝐴))
57	38	recld 14905	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
58	57	recnd 11003	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ)
59	58	addid2d 11176	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (0 + (ℜ‘𝐴)) = (ℜ‘𝐴))
60	56, 59	eqtrid 2790	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((ℑ‘1) + (ℜ‘𝐴)) = (ℜ‘𝐴))
61	54, 55, 60	3eqtr2d 2784	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(1 + (i · 𝐴))) = (ℜ‘𝐴))
62	52, 61	breqtrrd 5102	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → 0 < (ℑ‘(1 + (i · 𝐴))))
63		argimgt0 25767	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘(1 + (i · 𝐴)))) → (ℑ‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) ∈ (0(,)π))
64	51, 62, 63	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) ∈ (0(,)π))
65		eliooord 13138	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℑ‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) ∈ (0(,)π) → (0 < (ℑ‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) ∧ (ℑ‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) < π))
66	64, 65	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (0 < (ℑ‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) ∧ (ℑ‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) < π))
67	66	simpld 495	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → 0 < (ℑ‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))))
68	28, 26	ltaddpos2d 11560	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (0 < (ℑ‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) ↔ (ℑ‘(log‘(1 − (i · 𝐴)))) < ((ℑ‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) + (ℑ‘(log‘(1 − (i · 𝐴)))))))
69	67, 68	mpbid 231	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘(1 − (i · 𝐴)))) < ((ℑ‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) + (ℑ‘(log‘(1 − (i · 𝐴))))))
70	24, 26, 29, 50, 69	lttrd 11136	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → -π < ((ℑ‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) + (ℑ‘(log‘(1 − (i · 𝐴))))))
71	27, 25	imaddd 14926	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴))))) = ((ℑ‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) + (ℑ‘(log‘(1 − (i · 𝐴))))))
72	70, 71	breqtrrd 5102	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → -π < (ℑ‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴))))))
73	22	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → π ∈ ℝ)
74		0red 10978	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → 0 ∈ ℝ)
75	49	simprd 496	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘(1 − (i · 𝐴)))) < 0)
76	26, 74, 28, 75	ltadd2dd 11134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((ℑ‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) + (ℑ‘(log‘(1 − (i · 𝐴))))) < ((ℑ‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) + 0))
77	28	recnd 11003	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) ∈ ℂ)
78	77	addid1d 11175	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((ℑ‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) + 0) = (ℑ‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))))
79	76, 78	breqtrd 5100	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((ℑ‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) + (ℑ‘(log‘(1 − (i · 𝐴))))) < (ℑ‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))))
80	66	simprd 496	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) < π)
81	29, 28, 73, 79, 80	lttrd 11136	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((ℑ‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) + (ℑ‘(log‘(1 − (i · 𝐴))))) < π)
82	29, 73, 81	ltled 11123	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((ℑ‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) + (ℑ‘(log‘(1 − (i · 𝐴))))) ≤ π)
83	71, 82	eqbrtrd 5096	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴))))) ≤ π)
84		ellogrn 25715	. . . 4 ⊢ (((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))) ∈ ran log ↔ (((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))) ∈ ℂ ∧ -π < (ℑ‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴))))) ∧ (ℑ‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴))))) ≤ π))
85	21, 72, 83, 84	syl3anbrc 1342	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))) ∈ ran log)
86		0red 10978	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) → 0 ∈ ℝ)
87	11	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
88		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) → 0 = (ℜ‘𝐴))
89	3	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) → 𝐴 ∈ ℂ)
90	89, 39	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) → (ℜ‘𝐴) = (ℑ‘(i · 𝐴)))
91	88, 90	eqtr2d 2779	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(i · 𝐴)) = 0)
92	87, 91	reim0bd 14911	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) → (i · 𝐴) ∈ ℝ)
93	15, 19	addcomd 11177	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))) = ((log‘(1 − (i · 𝐴))) + (log‘(1 + (i · 𝐴)))))
94	93	ad2antrr 723	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) ∧ 0 ≤ (i · 𝐴)) → ((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))) = ((log‘(1 − (i · 𝐴))) + (log‘(1 + (i · 𝐴)))))
95		logrncl 25723	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 − (i · 𝐴)) ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ≠ 0) → (log‘(1 − (i · 𝐴))) ∈ ran log)
96	17, 18, 95	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (log‘(1 − (i · 𝐴))) ∈ ran log)
97	96	ad2antrr 723	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) ∧ 0 ≤ (i · 𝐴)) → (log‘(1 − (i · 𝐴))) ∈ ran log)
98		1re 10975	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
99	92	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) ∧ 0 ≤ (i · 𝐴)) → (i · 𝐴) ∈ ℝ)
100		readdcl 10954	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℝ) → (1 + (i · 𝐴)) ∈ ℝ)
101	98, 99, 100	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) ∧ 0 ≤ (i · 𝐴)) → (1 + (i · 𝐴)) ∈ ℝ)
102		0red 10978	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) ∧ 0 ≤ (i · 𝐴)) → 0 ∈ ℝ)
103		1red 10976	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) ∧ 0 ≤ (i · 𝐴)) → 1 ∈ ℝ)
104		0lt1 11497	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 1
105	104	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) ∧ 0 ≤ (i · 𝐴)) → 0 < 1)
106		addge01 11485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℝ) → (0 ≤ (i · 𝐴) ↔ 1 ≤ (1 + (i · 𝐴))))
107	98, 92, 106	sylancr 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) → (0 ≤ (i · 𝐴) ↔ 1 ≤ (1 + (i · 𝐴))))
108	107	biimpa 477	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) ∧ 0 ≤ (i · 𝐴)) → 1 ≤ (1 + (i · 𝐴)))
109	102, 103, 101, 105, 108	ltletrd 11135	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) ∧ 0 ≤ (i · 𝐴)) → 0 < (1 + (i · 𝐴)))
110	101, 109	elrpd 12769	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) ∧ 0 ≤ (i · 𝐴)) → (1 + (i · 𝐴)) ∈ ℝ+)
111	110	relogcld 25778	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) ∧ 0 ≤ (i · 𝐴)) → (log‘(1 + (i · 𝐴))) ∈ ℝ)
112		logrnaddcl 25730	. . . . . 6 ⊢ (((log‘(1 − (i · 𝐴))) ∈ ran log ∧ (log‘(1 + (i · 𝐴))) ∈ ℝ) → ((log‘(1 − (i · 𝐴))) + (log‘(1 + (i · 𝐴)))) ∈ ran log)
113	97, 111, 112	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) ∧ 0 ≤ (i · 𝐴)) → ((log‘(1 − (i · 𝐴))) + (log‘(1 + (i · 𝐴)))) ∈ ran log)
114	94, 113	eqeltrd 2839	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) ∧ 0 ≤ (i · 𝐴)) → ((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))) ∈ ran log)
115		logrncl 25723	. . . . . . 7 ⊢ (((1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ ∧ (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0) → (log‘(1 + (i · 𝐴))) ∈ ran log)
116	13, 14, 115	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (log‘(1 + (i · 𝐴))) ∈ ran log)
117	116	ad2antrr 723	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) ∧ (i · 𝐴) ≤ 0) → (log‘(1 + (i · 𝐴))) ∈ ran log)
118	92	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) ∧ (i · 𝐴) ≤ 0) → (i · 𝐴) ∈ ℝ)
119		resubcl 11285	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℝ) → (1 − (i · 𝐴)) ∈ ℝ)
120	98, 118, 119	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) ∧ (i · 𝐴) ≤ 0) → (1 − (i · 𝐴)) ∈ ℝ)
121		0red 10978	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) ∧ (i · 𝐴) ≤ 0) → 0 ∈ ℝ)
122		1red 10976	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) ∧ (i · 𝐴) ≤ 0) → 1 ∈ ℝ)
123	104	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) ∧ (i · 𝐴) ≤ 0) → 0 < 1)
124		1m0e1 12094	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 − 0) = 1
125		1red 10976	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) → 1 ∈ ℝ)
126	92, 86, 125	lesub2d 11583	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) → ((i · 𝐴) ≤ 0 ↔ (1 − 0) ≤ (1 − (i · 𝐴))))
127	126	biimpa 477	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) ∧ (i · 𝐴) ≤ 0) → (1 − 0) ≤ (1 − (i · 𝐴)))
128	124, 127	eqbrtrrid 5110	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) ∧ (i · 𝐴) ≤ 0) → 1 ≤ (1 − (i · 𝐴)))
129	121, 122, 120, 123, 128	ltletrd 11135	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) ∧ (i · 𝐴) ≤ 0) → 0 < (1 − (i · 𝐴)))
130	120, 129	elrpd 12769	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) ∧ (i · 𝐴) ≤ 0) → (1 − (i · 𝐴)) ∈ ℝ+)
131	130	relogcld 25778	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) ∧ (i · 𝐴) ≤ 0) → (log‘(1 − (i · 𝐴))) ∈ ℝ)
132		logrnaddcl 25730	. . . . 5 ⊢ (((log‘(1 + (i · 𝐴))) ∈ ran log ∧ (log‘(1 − (i · 𝐴))) ∈ ℝ) → ((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))) ∈ ran log)
133	117, 131, 132	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) ∧ (i · 𝐴) ≤ 0) → ((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))) ∈ ran log)
134	86, 92, 114, 133	lecasei 11081	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) → ((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))) ∈ ran log)
135	85, 134	jaodan 955	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ (0 < (ℜ‘𝐴) ∨ 0 = (ℜ‘𝐴))) → ((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))) ∈ ran log)
136	7, 135	syldan 591	1 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴)) → ((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))) ∈ ran log)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 844   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943   class class class wbr 5074  dom cdm 5589  ran crn 5590  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℂcc 10869  ℝcr 10870  0cc0 10871  1c1 10872  ici 10873   + caddc 10874   · cmul 10876   < clt 11009   ≤ cle 11010   − cmin 11205  -cneg 11206  (,)cioo 13079  ℜcre 14808  ℑcim 14809  πcpi 15776  logclog 25710  arctancatan 26014

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949  ax-addf 10950  ax-mulf 10951

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-fi 9170  df-sup 9201  df-inf 9202  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-xneg 12848  df-xadd 12849  df-xmul 12850  df-ioo 13083  df-ioc 13084  df-ico 13085  df-icc 13086  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-fl 13512  df-mod 13590  df-seq 13722  df-exp 13783  df-fac 13988  df-bc 14017  df-hash 14045  df-shft 14778  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-limsup 15180  df-clim 15197  df-rlim 15198  df-sum 15398  df-ef 15777  df-sin 15779  df-cos 15780  df-pi 15782  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-starv 16977  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-unif 16985  df-hom 16986  df-cco 16987  df-rest 17133  df-topn 17134  df-0g 17152  df-gsum 17153  df-topgen 17154  df-pt 17155  df-prds 17158  df-xrs 17213  df-qtop 17218  df-imas 17219  df-xps 17221  df-mre 17295  df-mrc 17296  df-acs 17298  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-submnd 18431  df-mulg 18701  df-cntz 18923  df-cmn 19388  df-psmet 20589  df-xmet 20590  df-met 20591  df-bl 20592  df-mopn 20593  df-fbas 20594  df-fg 20595  df-cnfld 20598  df-top 22043  df-topon 22060  df-topsp 22082  df-bases 22096  df-cld 22170  df-ntr 22171  df-cls 22172  df-nei 22249  df-lp 22287  df-perf 22288  df-cn 22378  df-cnp 22379  df-haus 22466  df-tx 22713  df-hmeo 22906  df-fil 22997  df-fm 23089  df-flim 23090  df-flf 23091  df-xms 23473  df-ms 23474  df-tms 23475  df-cncf 24041  df-limc 25030  df-dv 25031  df-log 25712  df-atan 26017

This theorem is referenced by:  atanlogadd  26064