Theorem atanlogaddlem 25968

Description: Lemma for atanlogadd 25969. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
atanlogaddlem	⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴)) → ((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))) ∈ ran log)

Proof of Theorem atanlogaddlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 10908	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		atandm2 25932	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ≠ 0 ∧ (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0))
3	2	simp1bi 1143	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → 𝐴 ∈ ℂ)
4	3	recld 14833	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
5		leloe 10992	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ) → (0 ≤ (ℜ‘𝐴) ↔ (0 < (ℜ‘𝐴) ∨ 0 = (ℜ‘𝐴))))
6	1, 4, 5	sylancr 586	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (0 ≤ (ℜ‘𝐴) ↔ (0 < (ℜ‘𝐴) ∨ 0 = (ℜ‘𝐴))))
7	6	biimpa 476	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴)) → (0 < (ℜ‘𝐴) ∨ 0 = (ℜ‘𝐴)))
8		ax-1cn 10860	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
9		ax-icn 10861	. . . . . . . . 9 ⊢ i ∈ ℂ
10		mulcl 10886	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
11	9, 3, 10	sylancr 586	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
12		addcl 10884	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
13	8, 11, 12	sylancr 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
14	2	simp3bi 1145	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0)
15	13, 14	logcld 25631	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (log‘(1 + (i · 𝐴))) ∈ ℂ)
16		subcl 11150	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (1 − (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
17	8, 11, 16	sylancr 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (1 − (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
18	2	simp2bi 1144	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (1 − (i · 𝐴)) ≠ 0)
19	17, 18	logcld 25631	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (log‘(1 − (i · 𝐴))) ∈ ℂ)
20	15, 19	addcld 10925	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))) ∈ ℂ)
21	20	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))) ∈ ℂ)
22		pire 25520	. . . . . . . 8 ⊢ π ∈ ℝ
23	22	renegcli 11212	. . . . . . 7 ⊢ -π ∈ ℝ
24	23	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → -π ∈ ℝ)
25	19	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (log‘(1 − (i · 𝐴))) ∈ ℂ)
26	25	imcld 14834	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘(1 − (i · 𝐴)))) ∈ ℝ)
27	15	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (log‘(1 + (i · 𝐴))) ∈ ℂ)
28	27	imcld 14834	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) ∈ ℝ)
29	28, 26	readdcld 10935	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((ℑ‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) + (ℑ‘(log‘(1 − (i · 𝐴))))) ∈ ℝ)
30	17	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (1 − (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
31		im1 14794	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℑ‘1) = 0
32	31	oveq1i 7265	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((ℑ‘1) − (ℑ‘(i · 𝐴))) = (0 − (ℑ‘(i · 𝐴)))
33		df-neg 11138	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -(ℑ‘(i · 𝐴)) = (0 − (ℑ‘(i · 𝐴)))
34	32, 33	eqtr4i 2769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((ℑ‘1) − (ℑ‘(i · 𝐴))) = -(ℑ‘(i · 𝐴))
35	11	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
36		imsub 14774	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (ℑ‘(1 − (i · 𝐴))) = ((ℑ‘1) − (ℑ‘(i · 𝐴))))
37	8, 35, 36	sylancr 586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(1 − (i · 𝐴))) = ((ℑ‘1) − (ℑ‘(i · 𝐴))))
38	3	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → 𝐴 ∈ ℂ)
39		reim 14748	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) = (ℑ‘(i · 𝐴)))
40	38, 39	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℜ‘𝐴) = (ℑ‘(i · 𝐴)))
41	40	negeqd 11145	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → -(ℜ‘𝐴) = -(ℑ‘(i · 𝐴)))
42	34, 37, 41	3eqtr4a 2805	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(1 − (i · 𝐴))) = -(ℜ‘𝐴))
43	4	lt0neg2d 11475	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (0 < (ℜ‘𝐴) ↔ -(ℜ‘𝐴) < 0))
44	43	biimpa 476	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → -(ℜ‘𝐴) < 0)
45	42, 44	eqbrtrd 5092	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(1 − (i · 𝐴))) < 0)
46		argimlt0 25673	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1 − (i · 𝐴)) ∈ ℂ ∧ (ℑ‘(1 − (i · 𝐴))) < 0) → (ℑ‘(log‘(1 − (i · 𝐴)))) ∈ (-π(,)0))
47	30, 45, 46	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘(1 − (i · 𝐴)))) ∈ (-π(,)0))
48		eliooord 13067	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℑ‘(log‘(1 − (i · 𝐴)))) ∈ (-π(,)0) → (-π < (ℑ‘(log‘(1 − (i · 𝐴)))) ∧ (ℑ‘(log‘(1 − (i · 𝐴)))) < 0))
49	47, 48	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (-π < (ℑ‘(log‘(1 − (i · 𝐴)))) ∧ (ℑ‘(log‘(1 − (i · 𝐴)))) < 0))
50	49	simpld 494	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → -π < (ℑ‘(log‘(1 − (i · 𝐴)))))
51	13	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
52		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → 0 < (ℜ‘𝐴))
53		imadd 14773	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (ℑ‘(1 + (i · 𝐴))) = ((ℑ‘1) + (ℑ‘(i · 𝐴))))
54	8, 35, 53	sylancr 586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(1 + (i · 𝐴))) = ((ℑ‘1) + (ℑ‘(i · 𝐴))))
55	40	oveq2d 7271	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((ℑ‘1) + (ℜ‘𝐴)) = ((ℑ‘1) + (ℑ‘(i · 𝐴))))
56	31	oveq1i 7265	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((ℑ‘1) + (ℜ‘𝐴)) = (0 + (ℜ‘𝐴))
57	38	recld 14833	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
58	57	recnd 10934	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ)
59	58	addid2d 11106	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (0 + (ℜ‘𝐴)) = (ℜ‘𝐴))
60	56, 59	syl5eq 2791	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((ℑ‘1) + (ℜ‘𝐴)) = (ℜ‘𝐴))
61	54, 55, 60	3eqtr2d 2784	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(1 + (i · 𝐴))) = (ℜ‘𝐴))
62	52, 61	breqtrrd 5098	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → 0 < (ℑ‘(1 + (i · 𝐴))))
63		argimgt0 25672	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘(1 + (i · 𝐴)))) → (ℑ‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) ∈ (0(,)π))
64	51, 62, 63	syl2anc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) ∈ (0(,)π))
65		eliooord 13067	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℑ‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) ∈ (0(,)π) → (0 < (ℑ‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) ∧ (ℑ‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) < π))
66	64, 65	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (0 < (ℑ‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) ∧ (ℑ‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) < π))
67	66	simpld 494	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → 0 < (ℑ‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))))
68	28, 26	ltaddpos2d 11490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (0 < (ℑ‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) ↔ (ℑ‘(log‘(1 − (i · 𝐴)))) < ((ℑ‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) + (ℑ‘(log‘(1 − (i · 𝐴)))))))
69	67, 68	mpbid 231	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘(1 − (i · 𝐴)))) < ((ℑ‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) + (ℑ‘(log‘(1 − (i · 𝐴))))))
70	24, 26, 29, 50, 69	lttrd 11066	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → -π < ((ℑ‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) + (ℑ‘(log‘(1 − (i · 𝐴))))))
71	27, 25	imaddd 14854	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴))))) = ((ℑ‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) + (ℑ‘(log‘(1 − (i · 𝐴))))))
72	70, 71	breqtrrd 5098	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → -π < (ℑ‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴))))))
73	22	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → π ∈ ℝ)
74		0red 10909	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → 0 ∈ ℝ)
75	49	simprd 495	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘(1 − (i · 𝐴)))) < 0)
76	26, 74, 28, 75	ltadd2dd 11064	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((ℑ‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) + (ℑ‘(log‘(1 − (i · 𝐴))))) < ((ℑ‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) + 0))
77	28	recnd 10934	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) ∈ ℂ)
78	77	addid1d 11105	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((ℑ‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) + 0) = (ℑ‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))))
79	76, 78	breqtrd 5096	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((ℑ‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) + (ℑ‘(log‘(1 − (i · 𝐴))))) < (ℑ‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))))
80	66	simprd 495	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) < π)
81	29, 28, 73, 79, 80	lttrd 11066	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((ℑ‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) + (ℑ‘(log‘(1 − (i · 𝐴))))) < π)
82	29, 73, 81	ltled 11053	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((ℑ‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) + (ℑ‘(log‘(1 − (i · 𝐴))))) ≤ π)
83	71, 82	eqbrtrd 5092	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴))))) ≤ π)
84		ellogrn 25620	. . . 4 ⊢ (((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))) ∈ ran log ↔ (((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))) ∈ ℂ ∧ -π < (ℑ‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴))))) ∧ (ℑ‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴))))) ≤ π))
85	21, 72, 83, 84	syl3anbrc 1341	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))) ∈ ran log)
86		0red 10909	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) → 0 ∈ ℝ)
87	11	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
88		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) → 0 = (ℜ‘𝐴))
89	3	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) → 𝐴 ∈ ℂ)
90	89, 39	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) → (ℜ‘𝐴) = (ℑ‘(i · 𝐴)))
91	88, 90	eqtr2d 2779	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(i · 𝐴)) = 0)
92	87, 91	reim0bd 14839	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) → (i · 𝐴) ∈ ℝ)
93	15, 19	addcomd 11107	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))) = ((log‘(1 − (i · 𝐴))) + (log‘(1 + (i · 𝐴)))))
94	93	ad2antrr 722	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) ∧ 0 ≤ (i · 𝐴)) → ((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))) = ((log‘(1 − (i · 𝐴))) + (log‘(1 + (i · 𝐴)))))
95		logrncl 25628	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 − (i · 𝐴)) ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ≠ 0) → (log‘(1 − (i · 𝐴))) ∈ ran log)
96	17, 18, 95	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (log‘(1 − (i · 𝐴))) ∈ ran log)
97	96	ad2antrr 722	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) ∧ 0 ≤ (i · 𝐴)) → (log‘(1 − (i · 𝐴))) ∈ ran log)
98		1re 10906	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
99	92	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) ∧ 0 ≤ (i · 𝐴)) → (i · 𝐴) ∈ ℝ)
100		readdcl 10885	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℝ) → (1 + (i · 𝐴)) ∈ ℝ)
101	98, 99, 100	sylancr 586	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) ∧ 0 ≤ (i · 𝐴)) → (1 + (i · 𝐴)) ∈ ℝ)
102		0red 10909	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) ∧ 0 ≤ (i · 𝐴)) → 0 ∈ ℝ)
103		1red 10907	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) ∧ 0 ≤ (i · 𝐴)) → 1 ∈ ℝ)
104		0lt1 11427	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 1
105	104	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) ∧ 0 ≤ (i · 𝐴)) → 0 < 1)
106		addge01 11415	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℝ) → (0 ≤ (i · 𝐴) ↔ 1 ≤ (1 + (i · 𝐴))))
107	98, 92, 106	sylancr 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) → (0 ≤ (i · 𝐴) ↔ 1 ≤ (1 + (i · 𝐴))))
108	107	biimpa 476	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) ∧ 0 ≤ (i · 𝐴)) → 1 ≤ (1 + (i · 𝐴)))
109	102, 103, 101, 105, 108	ltletrd 11065	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) ∧ 0 ≤ (i · 𝐴)) → 0 < (1 + (i · 𝐴)))
110	101, 109	elrpd 12698	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) ∧ 0 ≤ (i · 𝐴)) → (1 + (i · 𝐴)) ∈ ℝ+)
111	110	relogcld 25683	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) ∧ 0 ≤ (i · 𝐴)) → (log‘(1 + (i · 𝐴))) ∈ ℝ)
112		logrnaddcl 25635	. . . . . 6 ⊢ (((log‘(1 − (i · 𝐴))) ∈ ran log ∧ (log‘(1 + (i · 𝐴))) ∈ ℝ) → ((log‘(1 − (i · 𝐴))) + (log‘(1 + (i · 𝐴)))) ∈ ran log)
113	97, 111, 112	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) ∧ 0 ≤ (i · 𝐴)) → ((log‘(1 − (i · 𝐴))) + (log‘(1 + (i · 𝐴)))) ∈ ran log)
114	94, 113	eqeltrd 2839	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) ∧ 0 ≤ (i · 𝐴)) → ((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))) ∈ ran log)
115		logrncl 25628	. . . . . . 7 ⊢ (((1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ ∧ (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0) → (log‘(1 + (i · 𝐴))) ∈ ran log)
116	13, 14, 115	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (log‘(1 + (i · 𝐴))) ∈ ran log)
117	116	ad2antrr 722	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) ∧ (i · 𝐴) ≤ 0) → (log‘(1 + (i · 𝐴))) ∈ ran log)
118	92	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) ∧ (i · 𝐴) ≤ 0) → (i · 𝐴) ∈ ℝ)
119		resubcl 11215	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℝ) → (1 − (i · 𝐴)) ∈ ℝ)
120	98, 118, 119	sylancr 586	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) ∧ (i · 𝐴) ≤ 0) → (1 − (i · 𝐴)) ∈ ℝ)
121		0red 10909	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) ∧ (i · 𝐴) ≤ 0) → 0 ∈ ℝ)
122		1red 10907	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) ∧ (i · 𝐴) ≤ 0) → 1 ∈ ℝ)
123	104	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) ∧ (i · 𝐴) ≤ 0) → 0 < 1)
124		1m0e1 12024	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 − 0) = 1
125		1red 10907	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) → 1 ∈ ℝ)
126	92, 86, 125	lesub2d 11513	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) → ((i · 𝐴) ≤ 0 ↔ (1 − 0) ≤ (1 − (i · 𝐴))))
127	126	biimpa 476	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) ∧ (i · 𝐴) ≤ 0) → (1 − 0) ≤ (1 − (i · 𝐴)))
128	124, 127	eqbrtrrid 5106	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) ∧ (i · 𝐴) ≤ 0) → 1 ≤ (1 − (i · 𝐴)))
129	121, 122, 120, 123, 128	ltletrd 11065	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) ∧ (i · 𝐴) ≤ 0) → 0 < (1 − (i · 𝐴)))
130	120, 129	elrpd 12698	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) ∧ (i · 𝐴) ≤ 0) → (1 − (i · 𝐴)) ∈ ℝ+)
131	130	relogcld 25683	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) ∧ (i · 𝐴) ≤ 0) → (log‘(1 − (i · 𝐴))) ∈ ℝ)
132		logrnaddcl 25635	. . . . 5 ⊢ (((log‘(1 + (i · 𝐴))) ∈ ran log ∧ (log‘(1 − (i · 𝐴))) ∈ ℝ) → ((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))) ∈ ran log)
133	117, 131, 132	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) ∧ (i · 𝐴) ≤ 0) → ((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))) ∈ ran log)
134	86, 92, 114, 133	lecasei 11011	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) → ((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))) ∈ ran log)
135	85, 134	jaodan 954	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ (0 < (ℜ‘𝐴) ∨ 0 = (ℜ‘𝐴))) → ((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))) ∈ ran log)
136	7, 135	syldan 590	1 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴)) → ((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))) ∈ ran log)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 843   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942   class class class wbr 5070  dom cdm 5580  ran crn 5581  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  ℝcr 10801  0cc0 10802  1c1 10803  ici 10804   + caddc 10805   · cmul 10807   < clt 10940   ≤ cle 10941   − cmin 11135  -cneg 11136  (,)cioo 13008  ℜcre 14736  ℑcim 14737  πcpi 15704  logclog 25615  arctancatan 25919

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880  ax-addf 10881  ax-mulf 10882

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-fi 9100  df-sup 9131  df-inf 9132  df-oi 9199  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-xneg 12777  df-xadd 12778  df-xmul 12779  df-ioo 13012  df-ioc 13013  df-ico 13014  df-icc 13015  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-fl 13440  df-mod 13518  df-seq 13650  df-exp 13711  df-fac 13916  df-bc 13945  df-hash 13973  df-shft 14706  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-limsup 15108  df-clim 15125  df-rlim 15126  df-sum 15326  df-ef 15705  df-sin 15707  df-cos 15708  df-pi 15710  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-starv 16903  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-ip 16906  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-unif 16911  df-hom 16912  df-cco 16913  df-rest 17050  df-topn 17051  df-0g 17069  df-gsum 17070  df-topgen 17071  df-pt 17072  df-prds 17075  df-xrs 17130  df-qtop 17135  df-imas 17136  df-xps 17138  df-mre 17212  df-mrc 17213  df-acs 17215  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-submnd 18346  df-mulg 18616  df-cntz 18838  df-cmn 19303  df-psmet 20502  df-xmet 20503  df-met 20504  df-bl 20505  df-mopn 20506  df-fbas 20507  df-fg 20508  df-cnfld 20511  df-top 21951  df-topon 21968  df-topsp 21990  df-bases 22004  df-cld 22078  df-ntr 22079  df-cls 22080  df-nei 22157  df-lp 22195  df-perf 22196  df-cn 22286  df-cnp 22287  df-haus 22374  df-tx 22621  df-hmeo 22814  df-fil 22905  df-fm 22997  df-flim 22998  df-flf 22999  df-xms 23381  df-ms 23382  df-tms 23383  df-cncf 23947  df-limc 24935  df-dv 24936  df-log 25617  df-atan 25922

This theorem is referenced by:  atanlogadd  25969