MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  atanlogaddlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem atanlogaddlem 26425
Description: Lemma for atanlogadd 26426. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
atanlogaddlem ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ ((logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด))) + (logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด)))) โˆˆ ran log)

Proof of Theorem atanlogaddlem
StepHypRef Expression
1 0re 11218 . . . 4 0 โˆˆ โ„
2 atandm2 26389 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ dom arctan โ†” (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (1 โˆ’ (i ยท ๐ด)) โ‰  0 โˆง (1 + (i ยท ๐ด)) โ‰  0))
32simp1bi 1145 . . . . 5 (๐ด โˆˆ dom arctan โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
43recld 15143 . . . 4 (๐ด โˆˆ dom arctan โ†’ (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
5 leloe 11302 . . . 4 ((0 โˆˆ โ„ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โ†’ (0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด) โ†” (0 < (โ„œโ€˜๐ด) โˆจ 0 = (โ„œโ€˜๐ด))))
61, 4, 5sylancr 587 . . 3 (๐ด โˆˆ dom arctan โ†’ (0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด) โ†” (0 < (โ„œโ€˜๐ด) โˆจ 0 = (โ„œโ€˜๐ด))))
76biimpa 477 . 2 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (0 < (โ„œโ€˜๐ด) โˆจ 0 = (โ„œโ€˜๐ด)))
8 ax-1cn 11170 . . . . . . . 8 1 โˆˆ โ„‚
9 ax-icn 11171 . . . . . . . . 9 i โˆˆ โ„‚
10 mulcl 11196 . . . . . . . . 9 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
119, 3, 10sylancr 587 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ dom arctan โ†’ (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
12 addcl 11194 . . . . . . . 8 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 + (i ยท ๐ด)) โˆˆ โ„‚)
138, 11, 12sylancr 587 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ dom arctan โ†’ (1 + (i ยท ๐ด)) โˆˆ โ„‚)
142simp3bi 1147 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ dom arctan โ†’ (1 + (i ยท ๐ด)) โ‰  0)
1513, 14logcld 26086 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ dom arctan โ†’ (logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด))) โˆˆ โ„‚)
16 subcl 11461 . . . . . . . 8 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 โˆ’ (i ยท ๐ด)) โˆˆ โ„‚)
178, 11, 16sylancr 587 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ dom arctan โ†’ (1 โˆ’ (i ยท ๐ด)) โˆˆ โ„‚)
182simp2bi 1146 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ dom arctan โ†’ (1 โˆ’ (i ยท ๐ด)) โ‰  0)
1917, 18logcld 26086 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ dom arctan โ†’ (logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด))) โˆˆ โ„‚)
2015, 19addcld 11235 . . . . 5 (๐ด โˆˆ dom arctan โ†’ ((logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด))) + (logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด)))) โˆˆ โ„‚)
2120adantr 481 . . . 4 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ ((logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด))) + (logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด)))) โˆˆ โ„‚)
22 pire 25975 . . . . . . . 8 ฯ€ โˆˆ โ„
2322renegcli 11523 . . . . . . 7 -ฯ€ โˆˆ โ„
2423a1i 11 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ -ฯ€ โˆˆ โ„)
2519adantr 481 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด))) โˆˆ โ„‚)
2625imcld 15144 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด)))) โˆˆ โ„)
2715adantr 481 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด))) โˆˆ โ„‚)
2827imcld 15144 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด)))) โˆˆ โ„)
2928, 26readdcld 11245 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ ((โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด)))) + (โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด))))) โˆˆ โ„)
3017adantr 481 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (1 โˆ’ (i ยท ๐ด)) โˆˆ โ„‚)
31 im1 15104 . . . . . . . . . . . . 13 (โ„‘โ€˜1) = 0
3231oveq1i 7421 . . . . . . . . . . . 12 ((โ„‘โ€˜1) โˆ’ (โ„‘โ€˜(i ยท ๐ด))) = (0 โˆ’ (โ„‘โ€˜(i ยท ๐ด)))
33 df-neg 11449 . . . . . . . . . . . 12 -(โ„‘โ€˜(i ยท ๐ด)) = (0 โˆ’ (โ„‘โ€˜(i ยท ๐ด)))
3432, 33eqtr4i 2763 . . . . . . . . . . 11 ((โ„‘โ€˜1) โˆ’ (โ„‘โ€˜(i ยท ๐ด))) = -(โ„‘โ€˜(i ยท ๐ด))
3511adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
36 imsub 15084 . . . . . . . . . . . 12 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚) โ†’ (โ„‘โ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด))) = ((โ„‘โ€˜1) โˆ’ (โ„‘โ€˜(i ยท ๐ด))))
378, 35, 36sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (โ„‘โ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด))) = ((โ„‘โ€˜1) โˆ’ (โ„‘โ€˜(i ยท ๐ด))))
383adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
39 reim 15058 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„œโ€˜๐ด) = (โ„‘โ€˜(i ยท ๐ด)))
4038, 39syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (โ„œโ€˜๐ด) = (โ„‘โ€˜(i ยท ๐ด)))
4140negeqd 11456 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ -(โ„œโ€˜๐ด) = -(โ„‘โ€˜(i ยท ๐ด)))
4234, 37, 413eqtr4a 2798 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (โ„‘โ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด))) = -(โ„œโ€˜๐ด))
434lt0neg2d 11786 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ dom arctan โ†’ (0 < (โ„œโ€˜๐ด) โ†” -(โ„œโ€˜๐ด) < 0))
4443biimpa 477 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ -(โ„œโ€˜๐ด) < 0)
4542, 44eqbrtrd 5170 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (โ„‘โ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด))) < 0)
46 argimlt0 26128 . . . . . . . . 9 (((1 โˆ’ (i ยท ๐ด)) โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„‘โ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด))) < 0) โ†’ (โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด)))) โˆˆ (-ฯ€(,)0))
4730, 45, 46syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด)))) โˆˆ (-ฯ€(,)0))
48 eliooord 13385 . . . . . . . 8 ((โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด)))) โˆˆ (-ฯ€(,)0) โ†’ (-ฯ€ < (โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด)))) โˆง (โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด)))) < 0))
4947, 48syl 17 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (-ฯ€ < (โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด)))) โˆง (โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด)))) < 0))
5049simpld 495 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ -ฯ€ < (โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด)))))
5113adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (1 + (i ยท ๐ด)) โˆˆ โ„‚)
52 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ 0 < (โ„œโ€˜๐ด))
53 imadd 15083 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚) โ†’ (โ„‘โ€˜(1 + (i ยท ๐ด))) = ((โ„‘โ€˜1) + (โ„‘โ€˜(i ยท ๐ด))))
548, 35, 53sylancr 587 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (โ„‘โ€˜(1 + (i ยท ๐ด))) = ((โ„‘โ€˜1) + (โ„‘โ€˜(i ยท ๐ด))))
5540oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ ((โ„‘โ€˜1) + (โ„œโ€˜๐ด)) = ((โ„‘โ€˜1) + (โ„‘โ€˜(i ยท ๐ด))))
5631oveq1i 7421 . . . . . . . . . . . . 13 ((โ„‘โ€˜1) + (โ„œโ€˜๐ด)) = (0 + (โ„œโ€˜๐ด))
5738recld 15143 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
5857recnd 11244 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
5958addlidd 11417 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (0 + (โ„œโ€˜๐ด)) = (โ„œโ€˜๐ด))
6056, 59eqtrid 2784 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ ((โ„‘โ€˜1) + (โ„œโ€˜๐ด)) = (โ„œโ€˜๐ด))
6154, 55, 603eqtr2d 2778 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (โ„‘โ€˜(1 + (i ยท ๐ด))) = (โ„œโ€˜๐ด))
6252, 61breqtrrd 5176 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ 0 < (โ„‘โ€˜(1 + (i ยท ๐ด))))
63 argimgt0 26127 . . . . . . . . . 10 (((1 + (i ยท ๐ด)) โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„‘โ€˜(1 + (i ยท ๐ด)))) โ†’ (โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด)))) โˆˆ (0(,)ฯ€))
6451, 62, 63syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด)))) โˆˆ (0(,)ฯ€))
65 eliooord 13385 . . . . . . . . 9 ((โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด)))) โˆˆ (0(,)ฯ€) โ†’ (0 < (โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด)))) โˆง (โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด)))) < ฯ€))
6664, 65syl 17 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (0 < (โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด)))) โˆง (โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด)))) < ฯ€))
6766simpld 495 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ 0 < (โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด)))))
6828, 26ltaddpos2d 11801 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (0 < (โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด)))) โ†” (โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด)))) < ((โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด)))) + (โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด)))))))
6967, 68mpbid 231 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด)))) < ((โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด)))) + (โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด))))))
7024, 26, 29, 50, 69lttrd 11377 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ -ฯ€ < ((โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด)))) + (โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด))))))
7127, 25imaddd 15164 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (โ„‘โ€˜((logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด))) + (logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด))))) = ((โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด)))) + (โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด))))))
7270, 71breqtrrd 5176 . . . 4 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ -ฯ€ < (โ„‘โ€˜((logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด))) + (logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด))))))
7322a1i 11 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ ฯ€ โˆˆ โ„)
74 0red 11219 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ 0 โˆˆ โ„)
7549simprd 496 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด)))) < 0)
7626, 74, 28, 75ltadd2dd 11375 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ ((โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด)))) + (โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด))))) < ((โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด)))) + 0))
7728recnd 11244 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด)))) โˆˆ โ„‚)
7877addridd 11416 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ ((โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด)))) + 0) = (โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด)))))
7976, 78breqtrd 5174 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ ((โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด)))) + (โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด))))) < (โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด)))))
8066simprd 496 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด)))) < ฯ€)
8129, 28, 73, 79, 80lttrd 11377 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ ((โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด)))) + (โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด))))) < ฯ€)
8229, 73, 81ltled 11364 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ ((โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด)))) + (โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด))))) โ‰ค ฯ€)
8371, 82eqbrtrd 5170 . . . 4 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (โ„‘โ€˜((logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด))) + (logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด))))) โ‰ค ฯ€)
84 ellogrn 26075 . . . 4 (((logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด))) + (logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด)))) โˆˆ ran log โ†” (((logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด))) + (logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด)))) โˆˆ โ„‚ โˆง -ฯ€ < (โ„‘โ€˜((logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด))) + (logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด))))) โˆง (โ„‘โ€˜((logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด))) + (logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด))))) โ‰ค ฯ€))
8521, 72, 83, 84syl3anbrc 1343 . . 3 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ ((logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด))) + (logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด)))) โˆˆ ran log)
86 0red 11219 . . . 4 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 = (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ 0 โˆˆ โ„)
8711adantr 481 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 = (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
88 simpr 485 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 = (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ 0 = (โ„œโ€˜๐ด))
893adantr 481 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 = (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
9089, 39syl 17 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 = (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (โ„œโ€˜๐ด) = (โ„‘โ€˜(i ยท ๐ด)))
9188, 90eqtr2d 2773 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 = (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (โ„‘โ€˜(i ยท ๐ด)) = 0)
9287, 91reim0bd 15149 . . . 4 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 = (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„)
9315, 19addcomd 11418 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ dom arctan โ†’ ((logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด))) + (logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด)))) = ((logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด))) + (logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด)))))
9493ad2antrr 724 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 = (โ„œโ€˜๐ด)) โˆง 0 โ‰ค (i ยท ๐ด)) โ†’ ((logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด))) + (logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด)))) = ((logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด))) + (logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด)))))
95 logrncl 26083 . . . . . . . 8 (((1 โˆ’ (i ยท ๐ด)) โˆˆ โ„‚ โˆง (1 โˆ’ (i ยท ๐ด)) โ‰  0) โ†’ (logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด))) โˆˆ ran log)
9617, 18, 95syl2anc 584 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ dom arctan โ†’ (logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด))) โˆˆ ran log)
9796ad2antrr 724 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 = (โ„œโ€˜๐ด)) โˆง 0 โ‰ค (i ยท ๐ด)) โ†’ (logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด))) โˆˆ ran log)
98 1re 11216 . . . . . . . . 9 1 โˆˆ โ„
9992adantr 481 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 = (โ„œโ€˜๐ด)) โˆง 0 โ‰ค (i ยท ๐ด)) โ†’ (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„)
100 readdcl 11195 . . . . . . . . 9 ((1 โˆˆ โ„ โˆง (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„) โ†’ (1 + (i ยท ๐ด)) โˆˆ โ„)
10198, 99, 100sylancr 587 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 = (โ„œโ€˜๐ด)) โˆง 0 โ‰ค (i ยท ๐ด)) โ†’ (1 + (i ยท ๐ด)) โˆˆ โ„)
102 0red 11219 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 = (โ„œโ€˜๐ด)) โˆง 0 โ‰ค (i ยท ๐ด)) โ†’ 0 โˆˆ โ„)
103 1red 11217 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 = (โ„œโ€˜๐ด)) โˆง 0 โ‰ค (i ยท ๐ด)) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
104 0lt1 11738 . . . . . . . . . 10 0 < 1
105104a1i 11 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 = (โ„œโ€˜๐ด)) โˆง 0 โ‰ค (i ยท ๐ด)) โ†’ 0 < 1)
106 addge01 11726 . . . . . . . . . . 11 ((1 โˆˆ โ„ โˆง (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„) โ†’ (0 โ‰ค (i ยท ๐ด) โ†” 1 โ‰ค (1 + (i ยท ๐ด))))
10798, 92, 106sylancr 587 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 = (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (0 โ‰ค (i ยท ๐ด) โ†” 1 โ‰ค (1 + (i ยท ๐ด))))
108107biimpa 477 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 = (โ„œโ€˜๐ด)) โˆง 0 โ‰ค (i ยท ๐ด)) โ†’ 1 โ‰ค (1 + (i ยท ๐ด)))
109102, 103, 101, 105, 108ltletrd 11376 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 = (โ„œโ€˜๐ด)) โˆง 0 โ‰ค (i ยท ๐ด)) โ†’ 0 < (1 + (i ยท ๐ด)))
110101, 109elrpd 13015 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 = (โ„œโ€˜๐ด)) โˆง 0 โ‰ค (i ยท ๐ด)) โ†’ (1 + (i ยท ๐ด)) โˆˆ โ„+)
111110relogcld 26138 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 = (โ„œโ€˜๐ด)) โˆง 0 โ‰ค (i ยท ๐ด)) โ†’ (logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด))) โˆˆ โ„)
112 logrnaddcl 26090 . . . . . 6 (((logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด))) โˆˆ ran log โˆง (logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด))) โˆˆ โ„) โ†’ ((logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด))) + (logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด)))) โˆˆ ran log)
11397, 111, 112syl2anc 584 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 = (โ„œโ€˜๐ด)) โˆง 0 โ‰ค (i ยท ๐ด)) โ†’ ((logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด))) + (logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด)))) โˆˆ ran log)
11494, 113eqeltrd 2833 . . . 4 (((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 = (โ„œโ€˜๐ด)) โˆง 0 โ‰ค (i ยท ๐ด)) โ†’ ((logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด))) + (logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด)))) โˆˆ ran log)
115 logrncl 26083 . . . . . . 7 (((1 + (i ยท ๐ด)) โˆˆ โ„‚ โˆง (1 + (i ยท ๐ด)) โ‰  0) โ†’ (logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด))) โˆˆ ran log)
11613, 14, 115syl2anc 584 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ dom arctan โ†’ (logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด))) โˆˆ ran log)
117116ad2antrr 724 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 = (โ„œโ€˜๐ด)) โˆง (i ยท ๐ด) โ‰ค 0) โ†’ (logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด))) โˆˆ ran log)
11892adantr 481 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 = (โ„œโ€˜๐ด)) โˆง (i ยท ๐ด) โ‰ค 0) โ†’ (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„)
119 resubcl 11526 . . . . . . . 8 ((1 โˆˆ โ„ โˆง (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„) โ†’ (1 โˆ’ (i ยท ๐ด)) โˆˆ โ„)
12098, 118, 119sylancr 587 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 = (โ„œโ€˜๐ด)) โˆง (i ยท ๐ด) โ‰ค 0) โ†’ (1 โˆ’ (i ยท ๐ด)) โˆˆ โ„)
121 0red 11219 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 = (โ„œโ€˜๐ด)) โˆง (i ยท ๐ด) โ‰ค 0) โ†’ 0 โˆˆ โ„)
122 1red 11217 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 = (โ„œโ€˜๐ด)) โˆง (i ยท ๐ด) โ‰ค 0) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
123104a1i 11 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 = (โ„œโ€˜๐ด)) โˆง (i ยท ๐ด) โ‰ค 0) โ†’ 0 < 1)
124 1m0e1 12335 . . . . . . . . 9 (1 โˆ’ 0) = 1
125 1red 11217 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 = (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
12692, 86, 125lesub2d 11824 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 = (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ ((i ยท ๐ด) โ‰ค 0 โ†” (1 โˆ’ 0) โ‰ค (1 โˆ’ (i ยท ๐ด))))
127126biimpa 477 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 = (โ„œโ€˜๐ด)) โˆง (i ยท ๐ด) โ‰ค 0) โ†’ (1 โˆ’ 0) โ‰ค (1 โˆ’ (i ยท ๐ด)))
128124, 127eqbrtrrid 5184 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 = (โ„œโ€˜๐ด)) โˆง (i ยท ๐ด) โ‰ค 0) โ†’ 1 โ‰ค (1 โˆ’ (i ยท ๐ด)))
129121, 122, 120, 123, 128ltletrd 11376 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 = (โ„œโ€˜๐ด)) โˆง (i ยท ๐ด) โ‰ค 0) โ†’ 0 < (1 โˆ’ (i ยท ๐ด)))
130120, 129elrpd 13015 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 = (โ„œโ€˜๐ด)) โˆง (i ยท ๐ด) โ‰ค 0) โ†’ (1 โˆ’ (i ยท ๐ด)) โˆˆ โ„+)
131130relogcld 26138 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 = (โ„œโ€˜๐ด)) โˆง (i ยท ๐ด) โ‰ค 0) โ†’ (logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด))) โˆˆ โ„)
132 logrnaddcl 26090 . . . . 5 (((logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด))) โˆˆ ran log โˆง (logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด))) โˆˆ โ„) โ†’ ((logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด))) + (logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด)))) โˆˆ ran log)
133117, 131, 132syl2anc 584 . . . 4 (((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 = (โ„œโ€˜๐ด)) โˆง (i ยท ๐ด) โ‰ค 0) โ†’ ((logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด))) + (logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด)))) โˆˆ ran log)
13486, 92, 114, 133lecasei 11322 . . 3 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 = (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ ((logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด))) + (logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด)))) โˆˆ ran log)
13585, 134jaodan 956 . 2 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง (0 < (โ„œโ€˜๐ด) โˆจ 0 = (โ„œโ€˜๐ด))) โ†’ ((logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด))) + (logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด)))) โˆˆ ran log)
1367, 135syldan 591 1 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ ((logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด))) + (logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด)))) โˆˆ ran log)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   โˆจ wo 845   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โ‰  wne 2940   class class class wbr 5148  dom cdm 5676  ran crn 5677  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  โ„‚cc 11110  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113  ici 11114   + caddc 11115   ยท cmul 11117   < clt 11250   โ‰ค cle 11251   โˆ’ cmin 11446  -cneg 11447  (,)cioo 13326  โ„œcre 15046  โ„‘cim 15047  ฯ€cpi 16012  logclog 26070  arctancatan 26376
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12475  df-z 12561  df-dec 12680  df-uz 12825  df-q 12935  df-rp 12977  df-xneg 13094  df-xadd 13095  df-xmul 13096  df-ioo 13330  df-ioc 13331  df-ico 13332  df-icc 13333  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-fl 13759  df-mod 13837  df-seq 13969  df-exp 14030  df-fac 14236  df-bc 14265  df-hash 14293  df-shft 15016  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-limsup 15417  df-clim 15434  df-rlim 15435  df-sum 15635  df-ef 16013  df-sin 16015  df-cos 16016  df-pi 16018  df-struct 17082  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-mulr 17213  df-starv 17214  df-sca 17215  df-vsca 17216  df-ip 17217  df-tset 17218  df-ple 17219  df-ds 17221  df-unif 17222  df-hom 17223  df-cco 17224  df-rest 17370  df-topn 17371  df-0g 17389  df-gsum 17390  df-topgen 17391  df-pt 17392  df-prds 17395  df-xrs 17450  df-qtop 17455  df-imas 17456  df-xps 17458  df-mre 17532  df-mrc 17533  df-acs 17535  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-submnd 18674  df-mulg 18953  df-cntz 19183  df-cmn 19652  df-psmet 20942  df-xmet 20943  df-met 20944  df-bl 20945  df-mopn 20946  df-fbas 20947  df-fg 20948  df-cnfld 20951  df-top 22403  df-topon 22420  df-topsp 22442  df-bases 22456  df-cld 22530  df-ntr 22531  df-cls 22532  df-nei 22609  df-lp 22647  df-perf 22648  df-cn 22738  df-cnp 22739  df-haus 22826  df-tx 23073  df-hmeo 23266  df-fil 23357  df-fm 23449  df-flim 23450  df-flf 23451  df-xms 23833  df-ms 23834  df-tms 23835  df-cncf 24401  df-limc 25390  df-dv 25391  df-log 26072  df-atan 26379
This theorem is referenced by:  atanlogadd  26426
  Copyright terms: Public domain W3C validator