Theorem atanlogaddlem 26877

Description: Lemma for atanlogadd 26878. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
atanlogaddlem	⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴)) → ((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))) ∈ ran log)

Proof of Theorem atanlogaddlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11146	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		atandm2 26841	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ≠ 0 ∧ (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0))
3	2	simp1bi 1146	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → 𝐴 ∈ ℂ)
4	3	recld 15156	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
5		leloe 11232	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ) → (0 ≤ (ℜ‘𝐴) ↔ (0 < (ℜ‘𝐴) ∨ 0 = (ℜ‘𝐴))))
6	1, 4, 5	sylancr 588	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (0 ≤ (ℜ‘𝐴) ↔ (0 < (ℜ‘𝐴) ∨ 0 = (ℜ‘𝐴))))
7	6	biimpa 476	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴)) → (0 < (ℜ‘𝐴) ∨ 0 = (ℜ‘𝐴)))
8		ax-1cn 11096	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
9		ax-icn 11097	. . . . . . . . 9 ⊢ i ∈ ℂ
10		mulcl 11122	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
11	9, 3, 10	sylancr 588	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
12		addcl 11120	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
13	8, 11, 12	sylancr 588	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
14	2	simp3bi 1148	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0)
15	13, 14	logcld 26534	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (log‘(1 + (i · 𝐴))) ∈ ℂ)
16		subcl 11392	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (1 − (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
17	8, 11, 16	sylancr 588	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (1 − (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
18	2	simp2bi 1147	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (1 − (i · 𝐴)) ≠ 0)
19	17, 18	logcld 26534	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (log‘(1 − (i · 𝐴))) ∈ ℂ)
20	15, 19	addcld 11164	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))) ∈ ℂ)
21	20	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))) ∈ ℂ)
22		pire 26421	. . . . . . . 8 ⊢ π ∈ ℝ
23	22	renegcli 11455	. . . . . . 7 ⊢ -π ∈ ℝ
24	23	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → -π ∈ ℝ)
25	19	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (log‘(1 − (i · 𝐴))) ∈ ℂ)
26	25	imcld 15157	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘(1 − (i · 𝐴)))) ∈ ℝ)
27	15	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (log‘(1 + (i · 𝐴))) ∈ ℂ)
28	27	imcld 15157	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) ∈ ℝ)
29	28, 26	readdcld 11174	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((ℑ‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) + (ℑ‘(log‘(1 − (i · 𝐴))))) ∈ ℝ)
30	17	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (1 − (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
31		im1 15117	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℑ‘1) = 0
32	31	oveq1i 7377	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((ℑ‘1) − (ℑ‘(i · 𝐴))) = (0 − (ℑ‘(i · 𝐴)))
33		df-neg 11380	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -(ℑ‘(i · 𝐴)) = (0 − (ℑ‘(i · 𝐴)))
34	32, 33	eqtr4i 2762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((ℑ‘1) − (ℑ‘(i · 𝐴))) = -(ℑ‘(i · 𝐴))
35	11	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
36		imsub 15097	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (ℑ‘(1 − (i · 𝐴))) = ((ℑ‘1) − (ℑ‘(i · 𝐴))))
37	8, 35, 36	sylancr 588	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(1 − (i · 𝐴))) = ((ℑ‘1) − (ℑ‘(i · 𝐴))))
38	3	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → 𝐴 ∈ ℂ)
39		reim 15071	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) = (ℑ‘(i · 𝐴)))
40	38, 39	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℜ‘𝐴) = (ℑ‘(i · 𝐴)))
41	40	negeqd 11387	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → -(ℜ‘𝐴) = -(ℑ‘(i · 𝐴)))
42	34, 37, 41	3eqtr4a 2797	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(1 − (i · 𝐴))) = -(ℜ‘𝐴))
43	4	lt0neg2d 11720	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (0 < (ℜ‘𝐴) ↔ -(ℜ‘𝐴) < 0))
44	43	biimpa 476	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → -(ℜ‘𝐴) < 0)
45	42, 44	eqbrtrd 5107	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(1 − (i · 𝐴))) < 0)
46		argimlt0 26577	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1 − (i · 𝐴)) ∈ ℂ ∧ (ℑ‘(1 − (i · 𝐴))) < 0) → (ℑ‘(log‘(1 − (i · 𝐴)))) ∈ (-π(,)0))
47	30, 45, 46	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘(1 − (i · 𝐴)))) ∈ (-π(,)0))
48		eliooord 13358	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℑ‘(log‘(1 − (i · 𝐴)))) ∈ (-π(,)0) → (-π < (ℑ‘(log‘(1 − (i · 𝐴)))) ∧ (ℑ‘(log‘(1 − (i · 𝐴)))) < 0))
49	47, 48	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (-π < (ℑ‘(log‘(1 − (i · 𝐴)))) ∧ (ℑ‘(log‘(1 − (i · 𝐴)))) < 0))
50	49	simpld 494	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → -π < (ℑ‘(log‘(1 − (i · 𝐴)))))
51	13	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
52		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → 0 < (ℜ‘𝐴))
53		imadd 15096	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (ℑ‘(1 + (i · 𝐴))) = ((ℑ‘1) + (ℑ‘(i · 𝐴))))
54	8, 35, 53	sylancr 588	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(1 + (i · 𝐴))) = ((ℑ‘1) + (ℑ‘(i · 𝐴))))
55	40	oveq2d 7383	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((ℑ‘1) + (ℜ‘𝐴)) = ((ℑ‘1) + (ℑ‘(i · 𝐴))))
56	31	oveq1i 7377	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((ℑ‘1) + (ℜ‘𝐴)) = (0 + (ℜ‘𝐴))
57	38	recld 15156	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
58	57	recnd 11173	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ)
59	58	addlidd 11347	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (0 + (ℜ‘𝐴)) = (ℜ‘𝐴))
60	56, 59	eqtrid 2783	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((ℑ‘1) + (ℜ‘𝐴)) = (ℜ‘𝐴))
61	54, 55, 60	3eqtr2d 2777	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(1 + (i · 𝐴))) = (ℜ‘𝐴))
62	52, 61	breqtrrd 5113	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → 0 < (ℑ‘(1 + (i · 𝐴))))
63		argimgt0 26576	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘(1 + (i · 𝐴)))) → (ℑ‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) ∈ (0(,)π))
64	51, 62, 63	syl2anc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) ∈ (0(,)π))
65		eliooord 13358	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℑ‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) ∈ (0(,)π) → (0 < (ℑ‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) ∧ (ℑ‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) < π))
66	64, 65	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (0 < (ℑ‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) ∧ (ℑ‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) < π))
67	66	simpld 494	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → 0 < (ℑ‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))))
68	28, 26	ltaddpos2d 11735	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (0 < (ℑ‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) ↔ (ℑ‘(log‘(1 − (i · 𝐴)))) < ((ℑ‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) + (ℑ‘(log‘(1 − (i · 𝐴)))))))
69	67, 68	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘(1 − (i · 𝐴)))) < ((ℑ‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) + (ℑ‘(log‘(1 − (i · 𝐴))))))
70	24, 26, 29, 50, 69	lttrd 11307	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → -π < ((ℑ‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) + (ℑ‘(log‘(1 − (i · 𝐴))))))
71	27, 25	imaddd 15177	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴))))) = ((ℑ‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) + (ℑ‘(log‘(1 − (i · 𝐴))))))
72	70, 71	breqtrrd 5113	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → -π < (ℑ‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴))))))
73	22	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → π ∈ ℝ)
74		0red 11147	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → 0 ∈ ℝ)
75	49	simprd 495	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘(1 − (i · 𝐴)))) < 0)
76	26, 74, 28, 75	ltadd2dd 11305	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((ℑ‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) + (ℑ‘(log‘(1 − (i · 𝐴))))) < ((ℑ‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) + 0))
77	28	recnd 11173	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) ∈ ℂ)
78	77	addridd 11346	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((ℑ‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) + 0) = (ℑ‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))))
79	76, 78	breqtrd 5111	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((ℑ‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) + (ℑ‘(log‘(1 − (i · 𝐴))))) < (ℑ‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))))
80	66	simprd 495	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) < π)
81	29, 28, 73, 79, 80	lttrd 11307	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((ℑ‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) + (ℑ‘(log‘(1 − (i · 𝐴))))) < π)
82	29, 73, 81	ltled 11294	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((ℑ‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) + (ℑ‘(log‘(1 − (i · 𝐴))))) ≤ π)
83	71, 82	eqbrtrd 5107	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴))))) ≤ π)
84		ellogrn 26523	. . . 4 ⊢ (((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))) ∈ ran log ↔ (((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))) ∈ ℂ ∧ -π < (ℑ‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴))))) ∧ (ℑ‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴))))) ≤ π))
85	21, 72, 83, 84	syl3anbrc 1345	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))) ∈ ran log)
86		0red 11147	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) → 0 ∈ ℝ)
87	11	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
88		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) → 0 = (ℜ‘𝐴))
89	3	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) → 𝐴 ∈ ℂ)
90	89, 39	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) → (ℜ‘𝐴) = (ℑ‘(i · 𝐴)))
91	88, 90	eqtr2d 2772	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(i · 𝐴)) = 0)
92	87, 91	reim0bd 15162	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) → (i · 𝐴) ∈ ℝ)
93	15, 19	addcomd 11348	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))) = ((log‘(1 − (i · 𝐴))) + (log‘(1 + (i · 𝐴)))))
94	93	ad2antrr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) ∧ 0 ≤ (i · 𝐴)) → ((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))) = ((log‘(1 − (i · 𝐴))) + (log‘(1 + (i · 𝐴)))))
95		logrncl 26531	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 − (i · 𝐴)) ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ≠ 0) → (log‘(1 − (i · 𝐴))) ∈ ran log)
96	17, 18, 95	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (log‘(1 − (i · 𝐴))) ∈ ran log)
97	96	ad2antrr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) ∧ 0 ≤ (i · 𝐴)) → (log‘(1 − (i · 𝐴))) ∈ ran log)
98		1re 11144	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
99	92	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) ∧ 0 ≤ (i · 𝐴)) → (i · 𝐴) ∈ ℝ)
100		readdcl 11121	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℝ) → (1 + (i · 𝐴)) ∈ ℝ)
101	98, 99, 100	sylancr 588	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) ∧ 0 ≤ (i · 𝐴)) → (1 + (i · 𝐴)) ∈ ℝ)
102		0red 11147	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) ∧ 0 ≤ (i · 𝐴)) → 0 ∈ ℝ)
103		1red 11145	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) ∧ 0 ≤ (i · 𝐴)) → 1 ∈ ℝ)
104		0lt1 11672	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 1
105	104	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) ∧ 0 ≤ (i · 𝐴)) → 0 < 1)
106		addge01 11660	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℝ) → (0 ≤ (i · 𝐴) ↔ 1 ≤ (1 + (i · 𝐴))))
107	98, 92, 106	sylancr 588	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) → (0 ≤ (i · 𝐴) ↔ 1 ≤ (1 + (i · 𝐴))))
108	107	biimpa 476	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) ∧ 0 ≤ (i · 𝐴)) → 1 ≤ (1 + (i · 𝐴)))
109	102, 103, 101, 105, 108	ltletrd 11306	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) ∧ 0 ≤ (i · 𝐴)) → 0 < (1 + (i · 𝐴)))
110	101, 109	elrpd 12983	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) ∧ 0 ≤ (i · 𝐴)) → (1 + (i · 𝐴)) ∈ ℝ+)
111	110	relogcld 26587	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) ∧ 0 ≤ (i · 𝐴)) → (log‘(1 + (i · 𝐴))) ∈ ℝ)
112		logrnaddcl 26538	. . . . . 6 ⊢ (((log‘(1 − (i · 𝐴))) ∈ ran log ∧ (log‘(1 + (i · 𝐴))) ∈ ℝ) → ((log‘(1 − (i · 𝐴))) + (log‘(1 + (i · 𝐴)))) ∈ ran log)
113	97, 111, 112	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) ∧ 0 ≤ (i · 𝐴)) → ((log‘(1 − (i · 𝐴))) + (log‘(1 + (i · 𝐴)))) ∈ ran log)
114	94, 113	eqeltrd 2836	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) ∧ 0 ≤ (i · 𝐴)) → ((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))) ∈ ran log)
115		logrncl 26531	. . . . . . 7 ⊢ (((1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ ∧ (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0) → (log‘(1 + (i · 𝐴))) ∈ ran log)
116	13, 14, 115	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (log‘(1 + (i · 𝐴))) ∈ ran log)
117	116	ad2antrr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) ∧ (i · 𝐴) ≤ 0) → (log‘(1 + (i · 𝐴))) ∈ ran log)
118	92	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) ∧ (i · 𝐴) ≤ 0) → (i · 𝐴) ∈ ℝ)
119		resubcl 11458	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℝ) → (1 − (i · 𝐴)) ∈ ℝ)
120	98, 118, 119	sylancr 588	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) ∧ (i · 𝐴) ≤ 0) → (1 − (i · 𝐴)) ∈ ℝ)
121		0red 11147	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) ∧ (i · 𝐴) ≤ 0) → 0 ∈ ℝ)
122		1red 11145	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) ∧ (i · 𝐴) ≤ 0) → 1 ∈ ℝ)
123	104	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) ∧ (i · 𝐴) ≤ 0) → 0 < 1)
124		1m0e1 12297	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 − 0) = 1
125		1red 11145	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) → 1 ∈ ℝ)
126	92, 86, 125	lesub2d 11758	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) → ((i · 𝐴) ≤ 0 ↔ (1 − 0) ≤ (1 − (i · 𝐴))))
127	126	biimpa 476	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) ∧ (i · 𝐴) ≤ 0) → (1 − 0) ≤ (1 − (i · 𝐴)))
128	124, 127	eqbrtrrid 5121	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) ∧ (i · 𝐴) ≤ 0) → 1 ≤ (1 − (i · 𝐴)))
129	121, 122, 120, 123, 128	ltletrd 11306	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) ∧ (i · 𝐴) ≤ 0) → 0 < (1 − (i · 𝐴)))
130	120, 129	elrpd 12983	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) ∧ (i · 𝐴) ≤ 0) → (1 − (i · 𝐴)) ∈ ℝ+)
131	130	relogcld 26587	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) ∧ (i · 𝐴) ≤ 0) → (log‘(1 − (i · 𝐴))) ∈ ℝ)
132		logrnaddcl 26538	. . . . 5 ⊢ (((log‘(1 + (i · 𝐴))) ∈ ran log ∧ (log‘(1 − (i · 𝐴))) ∈ ℝ) → ((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))) ∈ ran log)
133	117, 131, 132	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) ∧ (i · 𝐴) ≤ 0) → ((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))) ∈ ran log)
134	86, 92, 114, 133	lecasei 11252	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) → ((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))) ∈ ran log)
135	85, 134	jaodan 960	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ (0 < (ℜ‘𝐴) ∨ 0 = (ℜ‘𝐴))) → ((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))) ∈ ran log)
136	7, 135	syldan 592	1 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴)) → ((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))) ∈ ran log)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932   class class class wbr 5085  dom cdm 5631  ran crn 5632  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  ℂcc 11036  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039  ici 11040   + caddc 11041   · cmul 11043   < clt 11179   ≤ cle 11180   − cmin 11377  -cneg 11378  (,)cioo 13298  ℜcre 15059  ℑcim 15060  πcpi 16031  logclog 26518  arctancatan 26828

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116  ax-addf 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-iin 4936  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-of 7631  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-supp 8111  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-er 8643  df-map 8775  df-pm 8776  df-ixp 8846  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-fsupp 9275  df-fi 9324  df-sup 9355  df-inf 9356  df-oi 9425  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-q 12899  df-rp 12943  df-xneg 13063  df-xadd 13064  df-xmul 13065  df-ioo 13302  df-ioc 13303  df-ico 13304  df-icc 13305  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-fl 13751  df-mod 13829  df-seq 13964  df-exp 14024  df-fac 14236  df-bc 14265  df-hash 14293  df-shft 15029  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-limsup 15433  df-clim 15450  df-rlim 15451  df-sum 15649  df-ef 16032  df-sin 16034  df-cos 16035  df-pi 16037  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-hom 17244  df-cco 17245  df-rest 17385  df-topn 17386  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-topgen 17406  df-pt 17407  df-prds 17410  df-xrs 17466  df-qtop 17471  df-imas 17472  df-xps 17474  df-mre 17548  df-mrc 17549  df-acs 17551  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-submnd 18752  df-mulg 19044  df-cntz 19292  df-cmn 19757  df-psmet 21344  df-xmet 21345  df-met 21346  df-bl 21347  df-mopn 21348  df-fbas 21349  df-fg 21350  df-cnfld 21353  df-top 22859  df-topon 22876  df-topsp 22898  df-bases 22911  df-cld 22984  df-ntr 22985  df-cls 22986  df-nei 23063  df-lp 23101  df-perf 23102  df-cn 23192  df-cnp 23193  df-haus 23280  df-tx 23527  df-hmeo 23720  df-fil 23811  df-fm 23903  df-flim 23904  df-flf 23905  df-xms 24285  df-ms 24286  df-tms 24287  df-cncf 24845  df-limc 25833  df-dv 25834  df-log 26520  df-atan 26831

This theorem is referenced by:  atanlogadd  26878