Theorem atanlogaddlem 26398

Description: Lemma for atanlogadd 26399. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
atanlogaddlem	⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴)) → ((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))) ∈ ran log)

Proof of Theorem atanlogaddlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11212	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		atandm2 26362	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ≠ 0 ∧ (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0))
3	2	simp1bi 1146	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → 𝐴 ∈ ℂ)
4	3	recld 15137	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
5		leloe 11296	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ) → (0 ≤ (ℜ‘𝐴) ↔ (0 < (ℜ‘𝐴) ∨ 0 = (ℜ‘𝐴))))
6	1, 4, 5	sylancr 588	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (0 ≤ (ℜ‘𝐴) ↔ (0 < (ℜ‘𝐴) ∨ 0 = (ℜ‘𝐴))))
7	6	biimpa 478	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴)) → (0 < (ℜ‘𝐴) ∨ 0 = (ℜ‘𝐴)))
8		ax-1cn 11164	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
9		ax-icn 11165	. . . . . . . . 9 ⊢ i ∈ ℂ
10		mulcl 11190	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
11	9, 3, 10	sylancr 588	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
12		addcl 11188	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
13	8, 11, 12	sylancr 588	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
14	2	simp3bi 1148	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0)
15	13, 14	logcld 26061	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (log‘(1 + (i · 𝐴))) ∈ ℂ)
16		subcl 11455	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (1 − (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
17	8, 11, 16	sylancr 588	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (1 − (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
18	2	simp2bi 1147	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (1 − (i · 𝐴)) ≠ 0)
19	17, 18	logcld 26061	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (log‘(1 − (i · 𝐴))) ∈ ℂ)
20	15, 19	addcld 11229	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))) ∈ ℂ)
21	20	adantr 482	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))) ∈ ℂ)
22		pire 25950	. . . . . . . 8 ⊢ π ∈ ℝ
23	22	renegcli 11517	. . . . . . 7 ⊢ -π ∈ ℝ
24	23	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → -π ∈ ℝ)
25	19	adantr 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (log‘(1 − (i · 𝐴))) ∈ ℂ)
26	25	imcld 15138	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘(1 − (i · 𝐴)))) ∈ ℝ)
27	15	adantr 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (log‘(1 + (i · 𝐴))) ∈ ℂ)
28	27	imcld 15138	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) ∈ ℝ)
29	28, 26	readdcld 11239	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((ℑ‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) + (ℑ‘(log‘(1 − (i · 𝐴))))) ∈ ℝ)
30	17	adantr 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (1 − (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
31		im1 15098	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℑ‘1) = 0
32	31	oveq1i 7414	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((ℑ‘1) − (ℑ‘(i · 𝐴))) = (0 − (ℑ‘(i · 𝐴)))
33		df-neg 11443	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -(ℑ‘(i · 𝐴)) = (0 − (ℑ‘(i · 𝐴)))
34	32, 33	eqtr4i 2764	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((ℑ‘1) − (ℑ‘(i · 𝐴))) = -(ℑ‘(i · 𝐴))
35	11	adantr 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
36		imsub 15078	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (ℑ‘(1 − (i · 𝐴))) = ((ℑ‘1) − (ℑ‘(i · 𝐴))))
37	8, 35, 36	sylancr 588	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(1 − (i · 𝐴))) = ((ℑ‘1) − (ℑ‘(i · 𝐴))))
38	3	adantr 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → 𝐴 ∈ ℂ)
39		reim 15052	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) = (ℑ‘(i · 𝐴)))
40	38, 39	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℜ‘𝐴) = (ℑ‘(i · 𝐴)))
41	40	negeqd 11450	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → -(ℜ‘𝐴) = -(ℑ‘(i · 𝐴)))
42	34, 37, 41	3eqtr4a 2799	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(1 − (i · 𝐴))) = -(ℜ‘𝐴))
43	4	lt0neg2d 11780	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (0 < (ℜ‘𝐴) ↔ -(ℜ‘𝐴) < 0))
44	43	biimpa 478	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → -(ℜ‘𝐴) < 0)
45	42, 44	eqbrtrd 5169	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(1 − (i · 𝐴))) < 0)
46		argimlt0 26103	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1 − (i · 𝐴)) ∈ ℂ ∧ (ℑ‘(1 − (i · 𝐴))) < 0) → (ℑ‘(log‘(1 − (i · 𝐴)))) ∈ (-π(,)0))
47	30, 45, 46	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘(1 − (i · 𝐴)))) ∈ (-π(,)0))
48		eliooord 13379	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℑ‘(log‘(1 − (i · 𝐴)))) ∈ (-π(,)0) → (-π < (ℑ‘(log‘(1 − (i · 𝐴)))) ∧ (ℑ‘(log‘(1 − (i · 𝐴)))) < 0))
49	47, 48	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (-π < (ℑ‘(log‘(1 − (i · 𝐴)))) ∧ (ℑ‘(log‘(1 − (i · 𝐴)))) < 0))
50	49	simpld 496	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → -π < (ℑ‘(log‘(1 − (i · 𝐴)))))
51	13	adantr 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
52		simpr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → 0 < (ℜ‘𝐴))
53		imadd 15077	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (ℑ‘(1 + (i · 𝐴))) = ((ℑ‘1) + (ℑ‘(i · 𝐴))))
54	8, 35, 53	sylancr 588	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(1 + (i · 𝐴))) = ((ℑ‘1) + (ℑ‘(i · 𝐴))))
55	40	oveq2d 7420	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((ℑ‘1) + (ℜ‘𝐴)) = ((ℑ‘1) + (ℑ‘(i · 𝐴))))
56	31	oveq1i 7414	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((ℑ‘1) + (ℜ‘𝐴)) = (0 + (ℜ‘𝐴))
57	38	recld 15137	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
58	57	recnd 11238	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ)
59	58	addlidd 11411	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (0 + (ℜ‘𝐴)) = (ℜ‘𝐴))
60	56, 59	eqtrid 2785	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((ℑ‘1) + (ℜ‘𝐴)) = (ℜ‘𝐴))
61	54, 55, 60	3eqtr2d 2779	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(1 + (i · 𝐴))) = (ℜ‘𝐴))
62	52, 61	breqtrrd 5175	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → 0 < (ℑ‘(1 + (i · 𝐴))))
63		argimgt0 26102	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘(1 + (i · 𝐴)))) → (ℑ‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) ∈ (0(,)π))
64	51, 62, 63	syl2anc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) ∈ (0(,)π))
65		eliooord 13379	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℑ‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) ∈ (0(,)π) → (0 < (ℑ‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) ∧ (ℑ‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) < π))
66	64, 65	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (0 < (ℑ‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) ∧ (ℑ‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) < π))
67	66	simpld 496	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → 0 < (ℑ‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))))
68	28, 26	ltaddpos2d 11795	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (0 < (ℑ‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) ↔ (ℑ‘(log‘(1 − (i · 𝐴)))) < ((ℑ‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) + (ℑ‘(log‘(1 − (i · 𝐴)))))))
69	67, 68	mpbid 231	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘(1 − (i · 𝐴)))) < ((ℑ‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) + (ℑ‘(log‘(1 − (i · 𝐴))))))
70	24, 26, 29, 50, 69	lttrd 11371	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → -π < ((ℑ‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) + (ℑ‘(log‘(1 − (i · 𝐴))))))
71	27, 25	imaddd 15158	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴))))) = ((ℑ‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) + (ℑ‘(log‘(1 − (i · 𝐴))))))
72	70, 71	breqtrrd 5175	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → -π < (ℑ‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴))))))
73	22	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → π ∈ ℝ)
74		0red 11213	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → 0 ∈ ℝ)
75	49	simprd 497	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘(1 − (i · 𝐴)))) < 0)
76	26, 74, 28, 75	ltadd2dd 11369	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((ℑ‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) + (ℑ‘(log‘(1 − (i · 𝐴))))) < ((ℑ‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) + 0))
77	28	recnd 11238	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) ∈ ℂ)
78	77	addridd 11410	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((ℑ‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) + 0) = (ℑ‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))))
79	76, 78	breqtrd 5173	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((ℑ‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) + (ℑ‘(log‘(1 − (i · 𝐴))))) < (ℑ‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))))
80	66	simprd 497	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) < π)
81	29, 28, 73, 79, 80	lttrd 11371	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((ℑ‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) + (ℑ‘(log‘(1 − (i · 𝐴))))) < π)
82	29, 73, 81	ltled 11358	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((ℑ‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) + (ℑ‘(log‘(1 − (i · 𝐴))))) ≤ π)
83	71, 82	eqbrtrd 5169	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴))))) ≤ π)
84		ellogrn 26050	. . . 4 ⊢ (((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))) ∈ ran log ↔ (((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))) ∈ ℂ ∧ -π < (ℑ‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴))))) ∧ (ℑ‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴))))) ≤ π))
85	21, 72, 83, 84	syl3anbrc 1344	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))) ∈ ran log)
86		0red 11213	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) → 0 ∈ ℝ)
87	11	adantr 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
88		simpr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) → 0 = (ℜ‘𝐴))
89	3	adantr 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) → 𝐴 ∈ ℂ)
90	89, 39	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) → (ℜ‘𝐴) = (ℑ‘(i · 𝐴)))
91	88, 90	eqtr2d 2774	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(i · 𝐴)) = 0)
92	87, 91	reim0bd 15143	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) → (i · 𝐴) ∈ ℝ)
93	15, 19	addcomd 11412	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))) = ((log‘(1 − (i · 𝐴))) + (log‘(1 + (i · 𝐴)))))
94	93	ad2antrr 725	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) ∧ 0 ≤ (i · 𝐴)) → ((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))) = ((log‘(1 − (i · 𝐴))) + (log‘(1 + (i · 𝐴)))))
95		logrncl 26058	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 − (i · 𝐴)) ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ≠ 0) → (log‘(1 − (i · 𝐴))) ∈ ran log)
96	17, 18, 95	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (log‘(1 − (i · 𝐴))) ∈ ran log)
97	96	ad2antrr 725	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) ∧ 0 ≤ (i · 𝐴)) → (log‘(1 − (i · 𝐴))) ∈ ran log)
98		1re 11210	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
99	92	adantr 482	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) ∧ 0 ≤ (i · 𝐴)) → (i · 𝐴) ∈ ℝ)
100		readdcl 11189	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℝ) → (1 + (i · 𝐴)) ∈ ℝ)
101	98, 99, 100	sylancr 588	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) ∧ 0 ≤ (i · 𝐴)) → (1 + (i · 𝐴)) ∈ ℝ)
102		0red 11213	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) ∧ 0 ≤ (i · 𝐴)) → 0 ∈ ℝ)
103		1red 11211	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) ∧ 0 ≤ (i · 𝐴)) → 1 ∈ ℝ)
104		0lt1 11732	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 1
105	104	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) ∧ 0 ≤ (i · 𝐴)) → 0 < 1)
106		addge01 11720	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℝ) → (0 ≤ (i · 𝐴) ↔ 1 ≤ (1 + (i · 𝐴))))
107	98, 92, 106	sylancr 588	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) → (0 ≤ (i · 𝐴) ↔ 1 ≤ (1 + (i · 𝐴))))
108	107	biimpa 478	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) ∧ 0 ≤ (i · 𝐴)) → 1 ≤ (1 + (i · 𝐴)))
109	102, 103, 101, 105, 108	ltletrd 11370	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) ∧ 0 ≤ (i · 𝐴)) → 0 < (1 + (i · 𝐴)))
110	101, 109	elrpd 13009	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) ∧ 0 ≤ (i · 𝐴)) → (1 + (i · 𝐴)) ∈ ℝ+)
111	110	relogcld 26113	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) ∧ 0 ≤ (i · 𝐴)) → (log‘(1 + (i · 𝐴))) ∈ ℝ)
112		logrnaddcl 26065	. . . . . 6 ⊢ (((log‘(1 − (i · 𝐴))) ∈ ran log ∧ (log‘(1 + (i · 𝐴))) ∈ ℝ) → ((log‘(1 − (i · 𝐴))) + (log‘(1 + (i · 𝐴)))) ∈ ran log)
113	97, 111, 112	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) ∧ 0 ≤ (i · 𝐴)) → ((log‘(1 − (i · 𝐴))) + (log‘(1 + (i · 𝐴)))) ∈ ran log)
114	94, 113	eqeltrd 2834	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) ∧ 0 ≤ (i · 𝐴)) → ((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))) ∈ ran log)
115		logrncl 26058	. . . . . . 7 ⊢ (((1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ ∧ (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0) → (log‘(1 + (i · 𝐴))) ∈ ran log)
116	13, 14, 115	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (log‘(1 + (i · 𝐴))) ∈ ran log)
117	116	ad2antrr 725	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) ∧ (i · 𝐴) ≤ 0) → (log‘(1 + (i · 𝐴))) ∈ ran log)
118	92	adantr 482	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) ∧ (i · 𝐴) ≤ 0) → (i · 𝐴) ∈ ℝ)
119		resubcl 11520	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℝ) → (1 − (i · 𝐴)) ∈ ℝ)
120	98, 118, 119	sylancr 588	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) ∧ (i · 𝐴) ≤ 0) → (1 − (i · 𝐴)) ∈ ℝ)
121		0red 11213	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) ∧ (i · 𝐴) ≤ 0) → 0 ∈ ℝ)
122		1red 11211	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) ∧ (i · 𝐴) ≤ 0) → 1 ∈ ℝ)
123	104	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) ∧ (i · 𝐴) ≤ 0) → 0 < 1)
124		1m0e1 12329	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 − 0) = 1
125		1red 11211	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) → 1 ∈ ℝ)
126	92, 86, 125	lesub2d 11818	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) → ((i · 𝐴) ≤ 0 ↔ (1 − 0) ≤ (1 − (i · 𝐴))))
127	126	biimpa 478	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) ∧ (i · 𝐴) ≤ 0) → (1 − 0) ≤ (1 − (i · 𝐴)))
128	124, 127	eqbrtrrid 5183	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) ∧ (i · 𝐴) ≤ 0) → 1 ≤ (1 − (i · 𝐴)))
129	121, 122, 120, 123, 128	ltletrd 11370	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) ∧ (i · 𝐴) ≤ 0) → 0 < (1 − (i · 𝐴)))
130	120, 129	elrpd 13009	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) ∧ (i · 𝐴) ≤ 0) → (1 − (i · 𝐴)) ∈ ℝ+)
131	130	relogcld 26113	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) ∧ (i · 𝐴) ≤ 0) → (log‘(1 − (i · 𝐴))) ∈ ℝ)
132		logrnaddcl 26065	. . . . 5 ⊢ (((log‘(1 + (i · 𝐴))) ∈ ran log ∧ (log‘(1 − (i · 𝐴))) ∈ ℝ) → ((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))) ∈ ran log)
133	117, 131, 132	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) ∧ (i · 𝐴) ≤ 0) → ((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))) ∈ ran log)
134	86, 92, 114, 133	lecasei 11316	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 = (ℜ‘𝐴)) → ((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))) ∈ ran log)
135	85, 134	jaodan 957	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ (0 < (ℜ‘𝐴) ∨ 0 = (ℜ‘𝐴))) → ((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))) ∈ ran log)
136	7, 135	syldan 592	1 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴)) → ((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))) ∈ ran log)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941   class class class wbr 5147  dom cdm 5675  ran crn 5676  ‘cfv 6540  (class class class)co 7404  ℂcc 11104  ℝcr 11105  0cc0 11106  1c1 11107  ici 11108   + caddc 11109   · cmul 11111   < clt 11244   ≤ cle 11245   − cmin 11440  -cneg 11441  (,)cioo 13320  ℜcre 15040  ℑcim 15041  πcpi 16006  logclog 26045  arctancatan 26349

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7665  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-supp 8142  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-2o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-ioc 13325  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-mod 13831  df-seq 13963  df-exp 14024  df-fac 14230  df-bc 14259  df-hash 14287  df-shft 15010  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-limsup 15411  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629  df-ef 16007  df-sin 16009  df-cos 16010  df-pi 16012  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-rest 17364  df-topn 17365  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-topgen 17385  df-pt 17386  df-prds 17389  df-xrs 17444  df-qtop 17449  df-imas 17450  df-xps 17452  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-mulg 18945  df-cntz 19175  df-cmn 19643  df-psmet 20921  df-xmet 20922  df-met 20923  df-bl 20924  df-mopn 20925  df-fbas 20926  df-fg 20927  df-cnfld 20930  df-top 22378  df-topon 22395  df-topsp 22417  df-bases 22431  df-cld 22505  df-ntr 22506  df-cls 22507  df-nei 22584  df-lp 22622  df-perf 22623  df-cn 22713  df-cnp 22714  df-haus 22801  df-tx 23048  df-hmeo 23241  df-fil 23332  df-fm 23424  df-flim 23425  df-flf 23426  df-xms 23808  df-ms 23809  df-tms 23810  df-cncf 24376  df-limc 25365  df-dv 25366  df-log 26047  df-atan 26352

This theorem is referenced by:  atanlogadd  26399