Proof of Theorem ntrivcvgmul
| Step | Hyp | Ref | Expression | 
|---|
| 1 |  | ntrivcvgmul.3 | . . 3
⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦)) | 
| 2 |  | ntrivcvgmul.5 | . . 3
⊢ (𝜑 → ∃𝑚 ∈ 𝑍 ∃𝑧(𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧)) | 
| 3 |  | exdistrv 1955 | . . . . 5
⊢
(∃𝑦∃𝑧((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧)) ↔ (∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ ∃𝑧(𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) | 
| 4 | 3 | 2rexbii 3129 | . . . 4
⊢
(∃𝑛 ∈
𝑍 ∃𝑚 ∈ 𝑍 ∃𝑦∃𝑧((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧)) ↔ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑚 ∈ 𝑍 (∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ ∃𝑧(𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) | 
| 5 |  | reeanv 3229 | . . . 4
⊢
(∃𝑛 ∈
𝑍 ∃𝑚 ∈ 𝑍 (∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ ∃𝑧(𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧)) ↔ (∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ ∃𝑚 ∈ 𝑍 ∃𝑧(𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) | 
| 6 | 4, 5 | bitri 275 | . . 3
⊢
(∃𝑛 ∈
𝑍 ∃𝑚 ∈ 𝑍 ∃𝑦∃𝑧((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧)) ↔ (∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ ∃𝑚 ∈ 𝑍 ∃𝑧(𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) | 
| 7 | 1, 2, 6 | sylanbrc 583 | . 2
⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑚 ∈ 𝑍 ∃𝑦∃𝑧((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) | 
| 8 |  | ntrivcvgmul.1 | . . . . . . . . 9
⊢ 𝑍 =
(ℤ≥‘𝑀) | 
| 9 |  | uzssz 12899 | . . . . . . . . 9
⊢
(ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ | 
| 10 | 8, 9 | eqsstri 4030 | . . . . . . . 8
⊢ 𝑍 ⊆
ℤ | 
| 11 |  | simp2l 1200 | . . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) → 𝑛 ∈ 𝑍) | 
| 12 | 10, 11 | sselid 3981 | . . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) → 𝑛 ∈ ℤ) | 
| 13 | 12 | zred 12722 | . . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) → 𝑛 ∈ ℝ) | 
| 14 |  | simp2r 1201 | . . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) → 𝑚 ∈ 𝑍) | 
| 15 | 10, 14 | sselid 3981 | . . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) → 𝑚 ∈ ℤ) | 
| 16 | 15 | zred 12722 | . . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) → 𝑚 ∈ ℝ) | 
| 17 |  | simpl2l 1227 | . . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) ∧ 𝑛 ≤ 𝑚) → 𝑛 ∈ 𝑍) | 
| 18 |  | simpl2r 1228 | . . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) ∧ 𝑛 ≤ 𝑚) → 𝑚 ∈ 𝑍) | 
| 19 |  | simp3ll 1245 | . . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) → 𝑦 ≠ 0) | 
| 20 | 19 | adantr 480 | . . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) ∧ 𝑛 ≤ 𝑚) → 𝑦 ≠ 0) | 
| 21 |  | simp3rl 1247 | . . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) → 𝑧 ≠ 0) | 
| 22 | 21 | adantr 480 | . . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) ∧ 𝑛 ≤ 𝑚) → 𝑧 ≠ 0) | 
| 23 |  | simp3lr 1246 | . . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) → seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) | 
| 24 | 23 | adantr 480 | . . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) ∧ 𝑛 ≤ 𝑚) → seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) | 
| 25 |  | simp3rr 1248 | . . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) → seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧) | 
| 26 | 25 | adantr 480 | . . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) ∧ 𝑛 ≤ 𝑚) → seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧) | 
| 27 |  | simpl1 1192 | . . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) ∧ 𝑛 ≤ 𝑚) → 𝜑) | 
| 28 |  | ntrivcvgmul.4 | . . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) | 
| 29 | 27, 28 | sylan 580 | . . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) ∧ 𝑛 ≤ 𝑚) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) | 
| 30 |  | ntrivcvgmul.6 | . . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ) | 
| 31 | 27, 30 | sylan 580 | . . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) ∧ 𝑛 ≤ 𝑚) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ) | 
| 32 |  | simpr 484 | . . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) ∧ 𝑛 ≤ 𝑚) → 𝑛 ≤ 𝑚) | 
| 33 |  | ntrivcvgmul.7 | . . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐻‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘𝑘))) | 
| 34 | 27, 33 | sylan 580 | . . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) ∧ 𝑛 ≤ 𝑚) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐻‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘𝑘))) | 
| 35 | 8, 17, 18, 20, 22, 24, 26, 29, 31, 32, 34 | ntrivcvgmullem 15937 | . . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) ∧ 𝑛 ≤ 𝑚) → ∃𝑝 ∈ 𝑍 ∃𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑝( · , 𝐻) ⇝ 𝑤)) | 
| 36 |  | simpl2r 1228 | . . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) ∧ 𝑚 ≤ 𝑛) → 𝑚 ∈ 𝑍) | 
| 37 |  | simpl2l 1227 | . . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) ∧ 𝑚 ≤ 𝑛) → 𝑛 ∈ 𝑍) | 
| 38 | 21 | adantr 480 | . . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) ∧ 𝑚 ≤ 𝑛) → 𝑧 ≠ 0) | 
| 39 | 19 | adantr 480 | . . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) ∧ 𝑚 ≤ 𝑛) → 𝑦 ≠ 0) | 
| 40 | 25 | adantr 480 | . . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) ∧ 𝑚 ≤ 𝑛) → seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧) | 
| 41 | 23 | adantr 480 | . . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) ∧ 𝑚 ≤ 𝑛) → seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) | 
| 42 |  | simpl1 1192 | . . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) ∧ 𝑚 ≤ 𝑛) → 𝜑) | 
| 43 | 42, 30 | sylan 580 | . . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) ∧ 𝑚 ≤ 𝑛) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ) | 
| 44 | 42, 28 | sylan 580 | . . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) ∧ 𝑚 ≤ 𝑛) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) | 
| 45 |  | simpr 484 | . . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) ∧ 𝑚 ≤ 𝑛) → 𝑚 ≤ 𝑛) | 
| 46 | 28, 30 | mulcomd 11282 | . . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘𝑘)) = ((𝐺‘𝑘) · (𝐹‘𝑘))) | 
| 47 | 33, 46 | eqtrd 2777 | . . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐻‘𝑘) = ((𝐺‘𝑘) · (𝐹‘𝑘))) | 
| 48 | 42, 47 | sylan 580 | . . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) ∧ 𝑚 ≤ 𝑛) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐻‘𝑘) = ((𝐺‘𝑘) · (𝐹‘𝑘))) | 
| 49 | 8, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 43, 44, 45, 48 | ntrivcvgmullem 15937 | . . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) ∧ 𝑚 ≤ 𝑛) → ∃𝑝 ∈ 𝑍 ∃𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑝( · , 𝐻) ⇝ 𝑤)) | 
| 50 | 13, 16, 35, 49 | lecasei 11367 | . . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) → ∃𝑝 ∈ 𝑍 ∃𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑝( · , 𝐻) ⇝ 𝑤)) | 
| 51 | 50 | 3expia 1122 | . . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍)) → (((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧)) → ∃𝑝 ∈ 𝑍 ∃𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑝( · , 𝐻) ⇝ 𝑤))) | 
| 52 | 51 | exlimdvv 1934 | . . 3
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍)) → (∃𝑦∃𝑧((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧)) → ∃𝑝 ∈ 𝑍 ∃𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑝( · , 𝐻) ⇝ 𝑤))) | 
| 53 | 52 | rexlimdvva 3213 | . 2
⊢ (𝜑 → (∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑚 ∈ 𝑍 ∃𝑦∃𝑧((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧)) → ∃𝑝 ∈ 𝑍 ∃𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑝( · , 𝐻) ⇝ 𝑤))) | 
| 54 | 7, 53 | mpd 15 | 1
⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ 𝑍 ∃𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑝( · , 𝐻) ⇝ 𝑤)) |