Theorem ntrivcvgmul 15250

Description: The product of two non-trivially converging products converges non-trivially. (Contributed by Scott Fenton, 18-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
ntrivcvgmul.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
ntrivcvgmul.3	⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦))
ntrivcvgmul.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
ntrivcvgmul.5	⊢ (𝜑 → ∃𝑚 ∈ 𝑍 ∃𝑧(𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))
ntrivcvgmul.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
ntrivcvgmul.7	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐻‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘𝑘)))

Assertion

Ref	Expression
ntrivcvgmul	⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ 𝑍 ∃𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑝( · , 𝐻) ⇝ 𝑤))

Distinct variable groups:   𝑚,𝐹,𝑧   𝑛,𝐺,𝑦   𝑚,𝐻,𝑛,𝑦,𝑧,𝑝   𝜑,𝑚   𝑤,𝑚,𝑦,𝑧   𝑛,𝑝   𝜑,𝑛   𝑤,𝑛,𝑦,𝑧,𝑝   𝜑,𝑦,𝑧   𝑦,𝑤,𝑧   𝑚,𝑍,𝑛,𝑦,𝑧   𝑤,𝐹   𝑤,𝐺   𝐻,𝑝,𝑤   𝑍,𝑝   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝐻,𝑚,𝑛   𝜑,𝑘,𝑦,𝑧   𝑘,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑤,𝑝)   𝐹(𝑦,𝑛,𝑝)   𝐺(𝑧,𝑚,𝑝)   𝑀(𝑦,𝑧,𝑤,𝑘,𝑚,𝑛,𝑝)   𝑍(𝑤)

Proof of Theorem ntrivcvgmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ntrivcvgmul.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦))
2		ntrivcvgmul.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑚 ∈ 𝑍 ∃𝑧(𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))
3		exdistrv 1956	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦∃𝑧((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧)) ↔ (∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ ∃𝑧(𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧)))
4	3	2rexbii 3211	. . . 4 ⊢ (∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑚 ∈ 𝑍 ∃𝑦∃𝑧((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧)) ↔ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑚 ∈ 𝑍 (∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ ∃𝑧(𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧)))
5		reeanv 3320	. . . 4 ⊢ (∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑚 ∈ 𝑍 (∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ ∃𝑧(𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧)) ↔ (∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ ∃𝑚 ∈ 𝑍 ∃𝑧(𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧)))
6	4, 5	bitri 278	. . 3 ⊢ (∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑚 ∈ 𝑍 ∃𝑦∃𝑧((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧)) ↔ (∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ ∃𝑚 ∈ 𝑍 ∃𝑧(𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧)))
7	1, 2, 6	sylanbrc 586	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑚 ∈ 𝑍 ∃𝑦∃𝑧((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧)))
8		ntrivcvgmul.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
9		uzssz 12252	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ
10	8, 9	eqsstri 3949	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑍 ⊆ ℤ
11		simp2l 1196	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) → 𝑛 ∈ 𝑍)
12	10, 11	sseldi 3913	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) → 𝑛 ∈ ℤ)
13	12	zred 12075	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) → 𝑛 ∈ ℝ)
14		simp2r 1197	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) → 𝑚 ∈ 𝑍)
15	10, 14	sseldi 3913	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) → 𝑚 ∈ ℤ)
16	15	zred 12075	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) → 𝑚 ∈ ℝ)
17		simpl2l 1223	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) ∧ 𝑛 ≤ 𝑚) → 𝑛 ∈ 𝑍)
18		simpl2r 1224	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) ∧ 𝑛 ≤ 𝑚) → 𝑚 ∈ 𝑍)
19		simp3ll 1241	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) → 𝑦 ≠ 0)
20	19	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) ∧ 𝑛 ≤ 𝑚) → 𝑦 ≠ 0)
21		simp3rl 1243	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) → 𝑧 ≠ 0)
22	21	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) ∧ 𝑛 ≤ 𝑚) → 𝑧 ≠ 0)
23		simp3lr 1242	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) → seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦)
24	23	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) ∧ 𝑛 ≤ 𝑚) → seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦)
25		simp3rr 1244	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) → seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧)
26	25	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) ∧ 𝑛 ≤ 𝑚) → seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧)
27		simpl1 1188	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) ∧ 𝑛 ≤ 𝑚) → 𝜑)
28		ntrivcvgmul.4	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
29	27, 28	sylan 583	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) ∧ 𝑛 ≤ 𝑚) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
30		ntrivcvgmul.6	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
31	27, 30	sylan 583	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) ∧ 𝑛 ≤ 𝑚) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
32		simpr 488	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) ∧ 𝑛 ≤ 𝑚) → 𝑛 ≤ 𝑚)
33		ntrivcvgmul.7	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐻‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘𝑘)))
34	27, 33	sylan 583	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) ∧ 𝑛 ≤ 𝑚) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐻‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘𝑘)))
35	8, 17, 18, 20, 22, 24, 26, 29, 31, 32, 34	ntrivcvgmullem 15249	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) ∧ 𝑛 ≤ 𝑚) → ∃𝑝 ∈ 𝑍 ∃𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑝( · , 𝐻) ⇝ 𝑤))
36		simpl2r 1224	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) ∧ 𝑚 ≤ 𝑛) → 𝑚 ∈ 𝑍)
37		simpl2l 1223	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) ∧ 𝑚 ≤ 𝑛) → 𝑛 ∈ 𝑍)
38	21	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) ∧ 𝑚 ≤ 𝑛) → 𝑧 ≠ 0)
39	19	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) ∧ 𝑚 ≤ 𝑛) → 𝑦 ≠ 0)
40	25	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) ∧ 𝑚 ≤ 𝑛) → seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧)
41	23	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) ∧ 𝑚 ≤ 𝑛) → seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦)
42		simpl1 1188	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) ∧ 𝑚 ≤ 𝑛) → 𝜑)
43	42, 30	sylan 583	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) ∧ 𝑚 ≤ 𝑛) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
44	42, 28	sylan 583	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) ∧ 𝑚 ≤ 𝑛) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
45		simpr 488	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) ∧ 𝑚 ≤ 𝑛) → 𝑚 ≤ 𝑛)
46	28, 30	mulcomd 10651	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘𝑘)) = ((𝐺‘𝑘) · (𝐹‘𝑘)))
47	33, 46	eqtrd 2833	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐻‘𝑘) = ((𝐺‘𝑘) · (𝐹‘𝑘)))
48	42, 47	sylan 583	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) ∧ 𝑚 ≤ 𝑛) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐻‘𝑘) = ((𝐺‘𝑘) · (𝐹‘𝑘)))
49	8, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 43, 44, 45, 48	ntrivcvgmullem 15249	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) ∧ 𝑚 ≤ 𝑛) → ∃𝑝 ∈ 𝑍 ∃𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑝( · , 𝐻) ⇝ 𝑤))
50	13, 16, 35, 49	lecasei 10735	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) → ∃𝑝 ∈ 𝑍 ∃𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑝( · , 𝐻) ⇝ 𝑤))
51	50	3expia 1118	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍)) → (((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧)) → ∃𝑝 ∈ 𝑍 ∃𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑝( · , 𝐻) ⇝ 𝑤)))
52	51	exlimdvv 1935	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍)) → (∃𝑦∃𝑧((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧)) → ∃𝑝 ∈ 𝑍 ∃𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑝( · , 𝐻) ⇝ 𝑤)))
53	52	rexlimdvva 3253	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑚 ∈ 𝑍 ∃𝑦∃𝑧((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧)) → ∃𝑝 ∈ 𝑍 ∃𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑝( · , 𝐻) ⇝ 𝑤)))
54	7, 53	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ 𝑍 ∃𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑝( · , 𝐻) ⇝ 𝑤))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538  ∃wex 1781   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  ∃wrex 3107   class class class wbr 5030  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  ℂcc 10524  0cc0 10526   · cmul 10531   ≤ cle 10665  ℤcz 11969  ℤ_≥cuz 12231  seqcseq 13364   ⇝ cli 14833

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-inf2 9088  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-sup 8890  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-seq 13365  df-exp 13426  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-clim 14837

This theorem is referenced by:  iprodmul  15349