Theorem ntrivcvgmul 15595

Description: The product of two non-trivially converging products converges non-trivially. (Contributed by Scott Fenton, 18-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
ntrivcvgmul.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
ntrivcvgmul.3	⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦))
ntrivcvgmul.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
ntrivcvgmul.5	⊢ (𝜑 → ∃𝑚 ∈ 𝑍 ∃𝑧(𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))
ntrivcvgmul.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
ntrivcvgmul.7	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐻‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘𝑘)))

Assertion

Ref	Expression
ntrivcvgmul	⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ 𝑍 ∃𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑝( · , 𝐻) ⇝ 𝑤))

Distinct variable groups:   𝑚,𝐹,𝑧   𝑛,𝐺,𝑦   𝑚,𝐻,𝑛,𝑦,𝑧,𝑝   𝜑,𝑚   𝑤,𝑚,𝑦,𝑧   𝑛,𝑝   𝜑,𝑛   𝑤,𝑛,𝑦,𝑧,𝑝   𝜑,𝑦,𝑧   𝑦,𝑤,𝑧   𝑚,𝑍,𝑛,𝑦,𝑧   𝑤,𝐹   𝑤,𝐺   𝐻,𝑝,𝑤   𝑍,𝑝   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝐻,𝑚,𝑛   𝜑,𝑘,𝑦,𝑧   𝑘,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑤,𝑝)   𝐹(𝑦,𝑛,𝑝)   𝐺(𝑧,𝑚,𝑝)   𝑀(𝑦,𝑧,𝑤,𝑘,𝑚,𝑛,𝑝)   𝑍(𝑤)

Proof of Theorem ntrivcvgmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ntrivcvgmul.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦))
2		ntrivcvgmul.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑚 ∈ 𝑍 ∃𝑧(𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))
3		exdistrv 1962	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦∃𝑧((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧)) ↔ (∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ ∃𝑧(𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧)))
4	3	2rexbii 3180	. . . 4 ⊢ (∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑚 ∈ 𝑍 ∃𝑦∃𝑧((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧)) ↔ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑚 ∈ 𝑍 (∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ ∃𝑧(𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧)))
5		reeanv 3294	. . . 4 ⊢ (∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑚 ∈ 𝑍 (∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ ∃𝑧(𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧)) ↔ (∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ ∃𝑚 ∈ 𝑍 ∃𝑧(𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧)))
6	4, 5	bitri 274	. . 3 ⊢ (∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑚 ∈ 𝑍 ∃𝑦∃𝑧((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧)) ↔ (∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ ∃𝑚 ∈ 𝑍 ∃𝑧(𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧)))
7	1, 2, 6	sylanbrc 582	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑚 ∈ 𝑍 ∃𝑦∃𝑧((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧)))
8		ntrivcvgmul.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
9		uzssz 12585	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ
10	8, 9	eqsstri 3959	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑍 ⊆ ℤ
11		simp2l 1197	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) → 𝑛 ∈ 𝑍)
12	10, 11	sselid 3923	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) → 𝑛 ∈ ℤ)
13	12	zred 12408	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) → 𝑛 ∈ ℝ)
14		simp2r 1198	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) → 𝑚 ∈ 𝑍)
15	10, 14	sselid 3923	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) → 𝑚 ∈ ℤ)
16	15	zred 12408	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) → 𝑚 ∈ ℝ)
17		simpl2l 1224	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) ∧ 𝑛 ≤ 𝑚) → 𝑛 ∈ 𝑍)
18		simpl2r 1225	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) ∧ 𝑛 ≤ 𝑚) → 𝑚 ∈ 𝑍)
19		simp3ll 1242	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) → 𝑦 ≠ 0)
20	19	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) ∧ 𝑛 ≤ 𝑚) → 𝑦 ≠ 0)
21		simp3rl 1244	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) → 𝑧 ≠ 0)
22	21	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) ∧ 𝑛 ≤ 𝑚) → 𝑧 ≠ 0)
23		simp3lr 1243	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) → seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦)
24	23	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) ∧ 𝑛 ≤ 𝑚) → seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦)
25		simp3rr 1245	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) → seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧)
26	25	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) ∧ 𝑛 ≤ 𝑚) → seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧)
27		simpl1 1189	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) ∧ 𝑛 ≤ 𝑚) → 𝜑)
28		ntrivcvgmul.4	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
29	27, 28	sylan 579	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) ∧ 𝑛 ≤ 𝑚) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
30		ntrivcvgmul.6	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
31	27, 30	sylan 579	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) ∧ 𝑛 ≤ 𝑚) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
32		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) ∧ 𝑛 ≤ 𝑚) → 𝑛 ≤ 𝑚)
33		ntrivcvgmul.7	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐻‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘𝑘)))
34	27, 33	sylan 579	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) ∧ 𝑛 ≤ 𝑚) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐻‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘𝑘)))
35	8, 17, 18, 20, 22, 24, 26, 29, 31, 32, 34	ntrivcvgmullem 15594	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) ∧ 𝑛 ≤ 𝑚) → ∃𝑝 ∈ 𝑍 ∃𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑝( · , 𝐻) ⇝ 𝑤))
36		simpl2r 1225	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) ∧ 𝑚 ≤ 𝑛) → 𝑚 ∈ 𝑍)
37		simpl2l 1224	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) ∧ 𝑚 ≤ 𝑛) → 𝑛 ∈ 𝑍)
38	21	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) ∧ 𝑚 ≤ 𝑛) → 𝑧 ≠ 0)
39	19	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) ∧ 𝑚 ≤ 𝑛) → 𝑦 ≠ 0)
40	25	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) ∧ 𝑚 ≤ 𝑛) → seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧)
41	23	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) ∧ 𝑚 ≤ 𝑛) → seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦)
42		simpl1 1189	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) ∧ 𝑚 ≤ 𝑛) → 𝜑)
43	42, 30	sylan 579	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) ∧ 𝑚 ≤ 𝑛) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
44	42, 28	sylan 579	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) ∧ 𝑚 ≤ 𝑛) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
45		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) ∧ 𝑚 ≤ 𝑛) → 𝑚 ≤ 𝑛)
46	28, 30	mulcomd 10980	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘𝑘)) = ((𝐺‘𝑘) · (𝐹‘𝑘)))
47	33, 46	eqtrd 2779	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐻‘𝑘) = ((𝐺‘𝑘) · (𝐹‘𝑘)))
48	42, 47	sylan 579	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) ∧ 𝑚 ≤ 𝑛) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐻‘𝑘) = ((𝐺‘𝑘) · (𝐹‘𝑘)))
49	8, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 43, 44, 45, 48	ntrivcvgmullem 15594	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) ∧ 𝑚 ≤ 𝑛) → ∃𝑝 ∈ 𝑍 ∃𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑝( · , 𝐻) ⇝ 𝑤))
50	13, 16, 35, 49	lecasei 11064	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) → ∃𝑝 ∈ 𝑍 ∃𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑝( · , 𝐻) ⇝ 𝑤))
51	50	3expia 1119	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍)) → (((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧)) → ∃𝑝 ∈ 𝑍 ∃𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑝( · , 𝐻) ⇝ 𝑤)))
52	51	exlimdvv 1940	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍)) → (∃𝑦∃𝑧((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧)) → ∃𝑝 ∈ 𝑍 ∃𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑝( · , 𝐻) ⇝ 𝑤)))
53	52	rexlimdvva 3224	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑚 ∈ 𝑍 ∃𝑦∃𝑧((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧)) → ∃𝑝 ∈ 𝑍 ∃𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑝( · , 𝐻) ⇝ 𝑤)))
54	7, 53	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ 𝑍 ∃𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑝( · , 𝐻) ⇝ 𝑤))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1541  ∃wex 1785   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2944  ∃wrex 3066   class class class wbr 5078  ‘cfv 6430  (class class class)co 7268  ℂcc 10853  0cc0 10855   · cmul 10860   ≤ cle 10994  ℤcz 12302  ℤ_≥cuz 12564  seqcseq 13702   ⇝ cli 15174

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-rep 5213  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-inf2 9360  ax-cnex 10911  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931  ax-pre-mulgt0 10932  ax-pre-sup 10933

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rmo 3073  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4845  df-iun 4931  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-pred 6199  df-ord 6266  df-on 6267  df-lim 6268  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-om 7701  df-1st 7817  df-2nd 7818  df-frecs 8081  df-wrecs 8112  df-recs 8186  df-rdg 8225  df-er 8472  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-sup 9162  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-sub 11190  df-neg 11191  df-div 11616  df-nn 11957  df-2 12019  df-3 12020  df-n0 12217  df-z 12303  df-uz 12565  df-rp 12713  df-fz 13222  df-fzo 13365  df-seq 13703  df-exp 13764  df-cj 14791  df-re 14792  df-im 14793  df-sqrt 14927  df-abs 14928  df-clim 15178

This theorem is referenced by:  iprodmul  15694