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Theorem ntrivcvgmul 15938
Description: The product of two non-trivially converging products converges non-trivially. (Contributed by Scott Fenton, 18-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ntrivcvgmul.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
ntrivcvgmul.3 (𝜑 → ∃𝑛𝑍𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦))
ntrivcvgmul.4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
ntrivcvgmul.5 (𝜑 → ∃𝑚𝑍𝑧(𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))
ntrivcvgmul.6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
ntrivcvgmul.7 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐻𝑘) = ((𝐹𝑘) · (𝐺𝑘)))
Assertion
Ref Expression
ntrivcvgmul (𝜑 → ∃𝑝𝑍𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑝( · , 𝐻) ⇝ 𝑤))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹,𝑚   𝑚,𝑍,𝑛,𝑝,𝑦,𝑧   𝑘,𝑛,𝜑,𝑦,𝑧,𝑚   𝑛,𝐺,𝑤,𝑦   𝑚,𝐻,𝑛,𝑝,𝑤,𝑦   𝑘,𝑍   𝑤,𝐹,𝑧   𝑘,𝐺   𝑘,𝐻,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑤,𝑝)   𝐹(𝑦,𝑛,𝑝)   𝐺(𝑧,𝑚,𝑝)   𝑀(𝑦,𝑧,𝑤,𝑘,𝑚,𝑛,𝑝)   𝑍(𝑤)

Proof of Theorem ntrivcvgmul
StepHypRef Expression
1 ntrivcvgmul.3 . . 3 (𝜑 → ∃𝑛𝑍𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦))
2 ntrivcvgmul.5 . . 3 (𝜑 → ∃𝑚𝑍𝑧(𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))
3 exdistrv 1955 . . . . 5 (∃𝑦𝑧((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧)) ↔ (∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ ∃𝑧(𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧)))
432rexbii 3129 . . . 4 (∃𝑛𝑍𝑚𝑍𝑦𝑧((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧)) ↔ ∃𝑛𝑍𝑚𝑍 (∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ ∃𝑧(𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧)))
5 reeanv 3229 . . . 4 (∃𝑛𝑍𝑚𝑍 (∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ ∃𝑧(𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧)) ↔ (∃𝑛𝑍𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ ∃𝑚𝑍𝑧(𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧)))
64, 5bitri 275 . . 3 (∃𝑛𝑍𝑚𝑍𝑦𝑧((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧)) ↔ (∃𝑛𝑍𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ ∃𝑚𝑍𝑧(𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧)))
71, 2, 6sylanbrc 583 . 2 (𝜑 → ∃𝑛𝑍𝑚𝑍𝑦𝑧((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧)))
8 ntrivcvgmul.1 . . . . . . . . 9 𝑍 = (ℤ𝑀)
9 uzssz 12899 . . . . . . . . 9 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
108, 9eqsstri 4030 . . . . . . . 8 𝑍 ⊆ ℤ
11 simp2l 1200 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑛𝑍𝑚𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) → 𝑛𝑍)
1210, 11sselid 3981 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑛𝑍𝑚𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) → 𝑛 ∈ ℤ)
1312zred 12722 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑛𝑍𝑚𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) → 𝑛 ∈ ℝ)
14 simp2r 1201 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑛𝑍𝑚𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) → 𝑚𝑍)
1510, 14sselid 3981 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑛𝑍𝑚𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) → 𝑚 ∈ ℤ)
1615zred 12722 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑛𝑍𝑚𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) → 𝑚 ∈ ℝ)
17 simpl2l 1227 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑛𝑍𝑚𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) ∧ 𝑛𝑚) → 𝑛𝑍)
18 simpl2r 1228 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑛𝑍𝑚𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) ∧ 𝑛𝑚) → 𝑚𝑍)
19 simp3ll 1245 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑛𝑍𝑚𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) → 𝑦 ≠ 0)
2019adantr 480 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑛𝑍𝑚𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) ∧ 𝑛𝑚) → 𝑦 ≠ 0)
21 simp3rl 1247 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑛𝑍𝑚𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) → 𝑧 ≠ 0)
2221adantr 480 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑛𝑍𝑚𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) ∧ 𝑛𝑚) → 𝑧 ≠ 0)
23 simp3lr 1246 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑛𝑍𝑚𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) → seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦)
2423adantr 480 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑛𝑍𝑚𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) ∧ 𝑛𝑚) → seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦)
25 simp3rr 1248 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑛𝑍𝑚𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) → seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧)
2625adantr 480 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑛𝑍𝑚𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) ∧ 𝑛𝑚) → seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧)
27 simpl1 1192 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑛𝑍𝑚𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) ∧ 𝑛𝑚) → 𝜑)
28 ntrivcvgmul.4 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
2927, 28sylan 580 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑛𝑍𝑚𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) ∧ 𝑛𝑚) ∧ 𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
30 ntrivcvgmul.6 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
3127, 30sylan 580 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑛𝑍𝑚𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) ∧ 𝑛𝑚) ∧ 𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
32 simpr 484 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑛𝑍𝑚𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) ∧ 𝑛𝑚) → 𝑛𝑚)
33 ntrivcvgmul.7 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐻𝑘) = ((𝐹𝑘) · (𝐺𝑘)))
3427, 33sylan 580 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑛𝑍𝑚𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) ∧ 𝑛𝑚) ∧ 𝑘𝑍) → (𝐻𝑘) = ((𝐹𝑘) · (𝐺𝑘)))
358, 17, 18, 20, 22, 24, 26, 29, 31, 32, 34ntrivcvgmullem 15937 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑛𝑍𝑚𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) ∧ 𝑛𝑚) → ∃𝑝𝑍𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑝( · , 𝐻) ⇝ 𝑤))
36 simpl2r 1228 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑛𝑍𝑚𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) ∧ 𝑚𝑛) → 𝑚𝑍)
37 simpl2l 1227 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑛𝑍𝑚𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) ∧ 𝑚𝑛) → 𝑛𝑍)
3821adantr 480 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑛𝑍𝑚𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) ∧ 𝑚𝑛) → 𝑧 ≠ 0)
3919adantr 480 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑛𝑍𝑚𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) ∧ 𝑚𝑛) → 𝑦 ≠ 0)
4025adantr 480 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑛𝑍𝑚𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) ∧ 𝑚𝑛) → seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧)
4123adantr 480 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑛𝑍𝑚𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) ∧ 𝑚𝑛) → seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦)
42 simpl1 1192 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑛𝑍𝑚𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) ∧ 𝑚𝑛) → 𝜑)
4342, 30sylan 580 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑛𝑍𝑚𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) ∧ 𝑚𝑛) ∧ 𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
4442, 28sylan 580 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑛𝑍𝑚𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) ∧ 𝑚𝑛) ∧ 𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
45 simpr 484 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑛𝑍𝑚𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) ∧ 𝑚𝑛) → 𝑚𝑛)
4628, 30mulcomd 11282 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝐹𝑘) · (𝐺𝑘)) = ((𝐺𝑘) · (𝐹𝑘)))
4733, 46eqtrd 2777 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐻𝑘) = ((𝐺𝑘) · (𝐹𝑘)))
4842, 47sylan 580 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑛𝑍𝑚𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) ∧ 𝑚𝑛) ∧ 𝑘𝑍) → (𝐻𝑘) = ((𝐺𝑘) · (𝐹𝑘)))
498, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 43, 44, 45, 48ntrivcvgmullem 15937 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑛𝑍𝑚𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) ∧ 𝑚𝑛) → ∃𝑝𝑍𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑝( · , 𝐻) ⇝ 𝑤))
5013, 16, 35, 49lecasei 11367 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑛𝑍𝑚𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) → ∃𝑝𝑍𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑝( · , 𝐻) ⇝ 𝑤))
51503expia 1122 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑛𝑍𝑚𝑍)) → (((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧)) → ∃𝑝𝑍𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑝( · , 𝐻) ⇝ 𝑤)))
5251exlimdvv 1934 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑛𝑍𝑚𝑍)) → (∃𝑦𝑧((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧)) → ∃𝑝𝑍𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑝( · , 𝐻) ⇝ 𝑤)))
5352rexlimdvva 3213 . 2 (𝜑 → (∃𝑛𝑍𝑚𝑍𝑦𝑧((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧)) → ∃𝑝𝑍𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑝( · , 𝐻) ⇝ 𝑤)))
547, 53mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑝𝑍𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑝( · , 𝐻) ⇝ 𝑤))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wex 1779  wcel 2108  wne 2940  wrex 3070   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  0cc0 11155   · cmul 11160  cle 11296  cz 12613  cuz 12878  seqcseq 14042  cli 15520
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524
This theorem is referenced by:  iprodmul  16039
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