Theorem ntrivcvgmul 15350

Description: The product of two non-trivially converging products converges non-trivially. (Contributed by Scott Fenton, 18-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
ntrivcvgmul.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
ntrivcvgmul.3	⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦))
ntrivcvgmul.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
ntrivcvgmul.5	⊢ (𝜑 → ∃𝑚 ∈ 𝑍 ∃𝑧(𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))
ntrivcvgmul.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
ntrivcvgmul.7	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐻‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘𝑘)))

Assertion

Ref	Expression
ntrivcvgmul	⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ 𝑍 ∃𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑝( · , 𝐻) ⇝ 𝑤))

Distinct variable groups:   𝑚,𝐹,𝑧   𝑛,𝐺,𝑦   𝑚,𝐻,𝑛,𝑦,𝑧,𝑝   𝜑,𝑚   𝑤,𝑚,𝑦,𝑧   𝑛,𝑝   𝜑,𝑛   𝑤,𝑛,𝑦,𝑧,𝑝   𝜑,𝑦,𝑧   𝑦,𝑤,𝑧   𝑚,𝑍,𝑛,𝑦,𝑧   𝑤,𝐹   𝑤,𝐺   𝐻,𝑝,𝑤   𝑍,𝑝   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝐻,𝑚,𝑛   𝜑,𝑘,𝑦,𝑧   𝑘,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑤,𝑝)   𝐹(𝑦,𝑛,𝑝)   𝐺(𝑧,𝑚,𝑝)   𝑀(𝑦,𝑧,𝑤,𝑘,𝑚,𝑛,𝑝)   𝑍(𝑤)

Proof of Theorem ntrivcvgmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ntrivcvgmul.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦))
2		ntrivcvgmul.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑚 ∈ 𝑍 ∃𝑧(𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))
3		exdistrv 1963	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦∃𝑧((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧)) ↔ (∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ ∃𝑧(𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧)))
4	3	2rexbii 3162	. . . 4 ⊢ (∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑚 ∈ 𝑍 ∃𝑦∃𝑧((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧)) ↔ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑚 ∈ 𝑍 (∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ ∃𝑧(𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧)))
5		reeanv 3270	. . . 4 ⊢ (∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑚 ∈ 𝑍 (∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ ∃𝑧(𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧)) ↔ (∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ ∃𝑚 ∈ 𝑍 ∃𝑧(𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧)))
6	4, 5	bitri 278	. . 3 ⊢ (∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑚 ∈ 𝑍 ∃𝑦∃𝑧((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧)) ↔ (∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ ∃𝑚 ∈ 𝑍 ∃𝑧(𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧)))
7	1, 2, 6	sylanbrc 586	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑚 ∈ 𝑍 ∃𝑦∃𝑧((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧)))
8		ntrivcvgmul.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
9		uzssz 12345	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ
10	8, 9	eqsstri 3911	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑍 ⊆ ℤ
11		simp2l 1200	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) → 𝑛 ∈ 𝑍)
12	10, 11	sseldi 3875	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) → 𝑛 ∈ ℤ)
13	12	zred 12168	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) → 𝑛 ∈ ℝ)
14		simp2r 1201	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) → 𝑚 ∈ 𝑍)
15	10, 14	sseldi 3875	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) → 𝑚 ∈ ℤ)
16	15	zred 12168	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) → 𝑚 ∈ ℝ)
17		simpl2l 1227	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) ∧ 𝑛 ≤ 𝑚) → 𝑛 ∈ 𝑍)
18		simpl2r 1228	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) ∧ 𝑛 ≤ 𝑚) → 𝑚 ∈ 𝑍)
19		simp3ll 1245	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) → 𝑦 ≠ 0)
20	19	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) ∧ 𝑛 ≤ 𝑚) → 𝑦 ≠ 0)
21		simp3rl 1247	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) → 𝑧 ≠ 0)
22	21	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) ∧ 𝑛 ≤ 𝑚) → 𝑧 ≠ 0)
23		simp3lr 1246	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) → seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦)
24	23	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) ∧ 𝑛 ≤ 𝑚) → seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦)
25		simp3rr 1248	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) → seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧)
26	25	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) ∧ 𝑛 ≤ 𝑚) → seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧)
27		simpl1 1192	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) ∧ 𝑛 ≤ 𝑚) → 𝜑)
28		ntrivcvgmul.4	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
29	27, 28	sylan 583	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) ∧ 𝑛 ≤ 𝑚) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
30		ntrivcvgmul.6	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
31	27, 30	sylan 583	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) ∧ 𝑛 ≤ 𝑚) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
32		simpr 488	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) ∧ 𝑛 ≤ 𝑚) → 𝑛 ≤ 𝑚)
33		ntrivcvgmul.7	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐻‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘𝑘)))
34	27, 33	sylan 583	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) ∧ 𝑛 ≤ 𝑚) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐻‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘𝑘)))
35	8, 17, 18, 20, 22, 24, 26, 29, 31, 32, 34	ntrivcvgmullem 15349	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) ∧ 𝑛 ≤ 𝑚) → ∃𝑝 ∈ 𝑍 ∃𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑝( · , 𝐻) ⇝ 𝑤))
36		simpl2r 1228	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) ∧ 𝑚 ≤ 𝑛) → 𝑚 ∈ 𝑍)
37		simpl2l 1227	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) ∧ 𝑚 ≤ 𝑛) → 𝑛 ∈ 𝑍)
38	21	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) ∧ 𝑚 ≤ 𝑛) → 𝑧 ≠ 0)
39	19	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) ∧ 𝑚 ≤ 𝑛) → 𝑦 ≠ 0)
40	25	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) ∧ 𝑚 ≤ 𝑛) → seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧)
41	23	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) ∧ 𝑚 ≤ 𝑛) → seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦)
42		simpl1 1192	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) ∧ 𝑚 ≤ 𝑛) → 𝜑)
43	42, 30	sylan 583	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) ∧ 𝑚 ≤ 𝑛) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
44	42, 28	sylan 583	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) ∧ 𝑚 ≤ 𝑛) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
45		simpr 488	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) ∧ 𝑚 ≤ 𝑛) → 𝑚 ≤ 𝑛)
46	28, 30	mulcomd 10740	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘𝑘)) = ((𝐺‘𝑘) · (𝐹‘𝑘)))
47	33, 46	eqtrd 2773	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐻‘𝑘) = ((𝐺‘𝑘) · (𝐹‘𝑘)))
48	42, 47	sylan 583	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) ∧ 𝑚 ≤ 𝑛) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐻‘𝑘) = ((𝐺‘𝑘) · (𝐹‘𝑘)))
49	8, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 43, 44, 45, 48	ntrivcvgmullem 15349	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) ∧ 𝑚 ≤ 𝑛) → ∃𝑝 ∈ 𝑍 ∃𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑝( · , 𝐻) ⇝ 𝑤))
50	13, 16, 35, 49	lecasei 10824	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) → ∃𝑝 ∈ 𝑍 ∃𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑝( · , 𝐻) ⇝ 𝑤))
51	50	3expia 1122	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍)) → (((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧)) → ∃𝑝 ∈ 𝑍 ∃𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑝( · , 𝐻) ⇝ 𝑤)))
52	51	exlimdvv 1941	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍)) → (∃𝑦∃𝑧((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧)) → ∃𝑝 ∈ 𝑍 ∃𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑝( · , 𝐻) ⇝ 𝑤)))
53	52	rexlimdvva 3204	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑚 ∈ 𝑍 ∃𝑦∃𝑧((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧)) → ∃𝑝 ∈ 𝑍 ∃𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑝( · , 𝐻) ⇝ 𝑤)))
54	7, 53	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ 𝑍 ∃𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑝( · , 𝐻) ⇝ 𝑤))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1088   = wceq 1542  ∃wex 1786   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2934  ∃wrex 3054   class class class wbr 5030  ‘cfv 6339  (class class class)co 7170  ℂcc 10613  0cc0 10615   · cmul 10620   ≤ cle 10754  ℤcz 12062  ℤ_≥cuz 12324  seqcseq 13460   ⇝ cli 14931

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-inf2 9177  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692  ax-pre-sup 10693

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-er 8320  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-sup 8979  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-div 11376  df-nn 11717  df-2 11779  df-3 11780  df-n0 11977  df-z 12063  df-uz 12325  df-rp 12473  df-fz 12982  df-fzo 13125  df-seq 13461  df-exp 13522  df-cj 14548  df-re 14549  df-im 14550  df-sqrt 14684  df-abs 14685  df-clim 14935

This theorem is referenced by:  iprodmul  15449