Theorem ntrivcvgmul 15825

Description: The product of two non-trivially converging products converges non-trivially. (Contributed by Scott Fenton, 18-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
ntrivcvgmul.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
ntrivcvgmul.3	⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦))
ntrivcvgmul.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
ntrivcvgmul.5	⊢ (𝜑 → ∃𝑚 ∈ 𝑍 ∃𝑧(𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))
ntrivcvgmul.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
ntrivcvgmul.7	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐻‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘𝑘)))

Assertion

Ref	Expression
ntrivcvgmul	⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ 𝑍 ∃𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑝( · , 𝐻) ⇝ 𝑤))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹,𝑚   𝑚,𝑍,𝑛,𝑝,𝑦,𝑧   𝑘,𝑛,𝜑,𝑦,𝑧,𝑚   𝑛,𝐺,𝑤,𝑦   𝑚,𝐻,𝑛,𝑝,𝑤,𝑦   𝑘,𝑍   𝑤,𝐹,𝑧   𝑘,𝐺   𝑘,𝐻,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑤,𝑝)   𝐹(𝑦,𝑛,𝑝)   𝐺(𝑧,𝑚,𝑝)   𝑀(𝑦,𝑧,𝑤,𝑘,𝑚,𝑛,𝑝)   𝑍(𝑤)

Proof of Theorem ntrivcvgmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ntrivcvgmul.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦))
2		ntrivcvgmul.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑚 ∈ 𝑍 ∃𝑧(𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))
3		exdistrv 1956	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦∃𝑧((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧)) ↔ (∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ ∃𝑧(𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧)))
4	3	2rexbii 3112	. . . 4 ⊢ (∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑚 ∈ 𝑍 ∃𝑦∃𝑧((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧)) ↔ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑚 ∈ 𝑍 (∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ ∃𝑧(𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧)))
5		reeanv 3208	. . . 4 ⊢ (∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑚 ∈ 𝑍 (∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ ∃𝑧(𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧)) ↔ (∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ ∃𝑚 ∈ 𝑍 ∃𝑧(𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧)))
6	4, 5	bitri 275	. . 3 ⊢ (∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑚 ∈ 𝑍 ∃𝑦∃𝑧((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧)) ↔ (∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ ∃𝑚 ∈ 𝑍 ∃𝑧(𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧)))
7	1, 2, 6	sylanbrc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑚 ∈ 𝑍 ∃𝑦∃𝑧((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧)))
8		ntrivcvgmul.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
9		uzssz 12772	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ
10	8, 9	eqsstri 3980	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑍 ⊆ ℤ
11		simp2l 1200	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) → 𝑛 ∈ 𝑍)
12	10, 11	sselid 3931	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) → 𝑛 ∈ ℤ)
13	12	zred 12596	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) → 𝑛 ∈ ℝ)
14		simp2r 1201	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) → 𝑚 ∈ 𝑍)
15	10, 14	sselid 3931	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) → 𝑚 ∈ ℤ)
16	15	zred 12596	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) → 𝑚 ∈ ℝ)
17		simpl2l 1227	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) ∧ 𝑛 ≤ 𝑚) → 𝑛 ∈ 𝑍)
18		simpl2r 1228	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) ∧ 𝑛 ≤ 𝑚) → 𝑚 ∈ 𝑍)
19		simp3ll 1245	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) → 𝑦 ≠ 0)
20	19	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) ∧ 𝑛 ≤ 𝑚) → 𝑦 ≠ 0)
21		simp3rl 1247	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) → 𝑧 ≠ 0)
22	21	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) ∧ 𝑛 ≤ 𝑚) → 𝑧 ≠ 0)
23		simp3lr 1246	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) → seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦)
24	23	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) ∧ 𝑛 ≤ 𝑚) → seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦)
25		simp3rr 1248	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) → seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧)
26	25	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) ∧ 𝑛 ≤ 𝑚) → seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧)
27		simpl1 1192	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) ∧ 𝑛 ≤ 𝑚) → 𝜑)
28		ntrivcvgmul.4	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
29	27, 28	sylan 580	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) ∧ 𝑛 ≤ 𝑚) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
30		ntrivcvgmul.6	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
31	27, 30	sylan 580	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) ∧ 𝑛 ≤ 𝑚) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
32		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) ∧ 𝑛 ≤ 𝑚) → 𝑛 ≤ 𝑚)
33		ntrivcvgmul.7	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐻‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘𝑘)))
34	27, 33	sylan 580	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) ∧ 𝑛 ≤ 𝑚) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐻‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘𝑘)))
35	8, 17, 18, 20, 22, 24, 26, 29, 31, 32, 34	ntrivcvgmullem 15824	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) ∧ 𝑛 ≤ 𝑚) → ∃𝑝 ∈ 𝑍 ∃𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑝( · , 𝐻) ⇝ 𝑤))
36		simpl2r 1228	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) ∧ 𝑚 ≤ 𝑛) → 𝑚 ∈ 𝑍)
37		simpl2l 1227	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) ∧ 𝑚 ≤ 𝑛) → 𝑛 ∈ 𝑍)
38	21	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) ∧ 𝑚 ≤ 𝑛) → 𝑧 ≠ 0)
39	19	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) ∧ 𝑚 ≤ 𝑛) → 𝑦 ≠ 0)
40	25	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) ∧ 𝑚 ≤ 𝑛) → seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧)
41	23	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) ∧ 𝑚 ≤ 𝑛) → seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦)
42		simpl1 1192	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) ∧ 𝑚 ≤ 𝑛) → 𝜑)
43	42, 30	sylan 580	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) ∧ 𝑚 ≤ 𝑛) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
44	42, 28	sylan 580	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) ∧ 𝑚 ≤ 𝑛) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
45		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) ∧ 𝑚 ≤ 𝑛) → 𝑚 ≤ 𝑛)
46	28, 30	mulcomd 11153	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘𝑘)) = ((𝐺‘𝑘) · (𝐹‘𝑘)))
47	33, 46	eqtrd 2771	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐻‘𝑘) = ((𝐺‘𝑘) · (𝐹‘𝑘)))
48	42, 47	sylan 580	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) ∧ 𝑚 ≤ 𝑛) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐻‘𝑘) = ((𝐺‘𝑘) · (𝐹‘𝑘)))
49	8, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 43, 44, 45, 48	ntrivcvgmullem 15824	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) ∧ 𝑚 ≤ 𝑛) → ∃𝑝 ∈ 𝑍 ∃𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑝( · , 𝐻) ⇝ 𝑤))
50	13, 16, 35, 49	lecasei 11239	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))) → ∃𝑝 ∈ 𝑍 ∃𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑝( · , 𝐻) ⇝ 𝑤))
51	50	3expia 1121	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍)) → (((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧)) → ∃𝑝 ∈ 𝑍 ∃𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑝( · , 𝐻) ⇝ 𝑤)))
52	51	exlimdvv 1935	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍)) → (∃𝑦∃𝑧((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧)) → ∃𝑝 ∈ 𝑍 ∃𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑝( · , 𝐻) ⇝ 𝑤)))
53	52	rexlimdvva 3193	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑚 ∈ 𝑍 ∃𝑦∃𝑧((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧)) → ∃𝑝 ∈ 𝑍 ∃𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑝( · , 𝐻) ⇝ 𝑤)))
54	7, 53	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ 𝑍 ∃𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑝( · , 𝐻) ⇝ 𝑤))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541  ∃wex 1780   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  ∃wrex 3060   class class class wbr 5098  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℂcc 11024  0cc0 11026   · cmul 11031   ≤ cle 11167  ℤcz 12488  ℤ_≥cuz 12751  seqcseq 13924   ⇝ cli 15407

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-inf2 9550  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9345  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-rp 12906  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-seq 13925  df-exp 13985  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159  df-clim 15411

This theorem is referenced by:  iprodmul  15926