MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ditgswap Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ditgswap 25223
Description: Reverse a directed integral. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ditgcl.x (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
ditgcl.y (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
ditgcl.a (𝜑𝐴 ∈ (𝑋[,]𝑌))
ditgcl.b (𝜑𝐵 ∈ (𝑋[,]𝑌))
ditgcl.c ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝐶𝑉)
ditgcl.i (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1)
Assertion
Ref Expression
ditgswap (𝜑 → ⨜[𝐵𝐴]𝐶 d𝑥 = -⨜[𝐴𝐵]𝐶 d𝑥)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌
Allowed substitution hint:   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem ditgswap
StepHypRef Expression
1 ditgcl.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ (𝑋[,]𝑌))
2 ditgcl.x . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
3 ditgcl.y . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
4 elicc2 13329 . . . . 5 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝐴𝐴𝑌)))
52, 3, 4syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝐴𝐴𝑌)))
61, 5mpbid 231 . . 3 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝐴𝐴𝑌))
76simp1d 1142 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
8 ditgcl.b . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ (𝑋[,]𝑌))
9 elicc2 13329 . . . . 5 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝐵 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝐵𝐵𝑌)))
102, 3, 9syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝐵𝐵𝑌)))
118, 10mpbid 231 . . 3 (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝐵𝐵𝑌))
1211simp1d 1142 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
13 simpr 485 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
147adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
1512adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
1613, 14, 15ditgneg 25221 . . 3 ((𝜑𝐴𝐵) → ⨜[𝐵𝐴]𝐶 d𝑥 = -∫(𝐴(,)𝐵)𝐶 d𝑥)
1713ditgpos 25220 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐵) → ⨜[𝐴𝐵]𝐶 d𝑥 = ∫(𝐴(,)𝐵)𝐶 d𝑥)
1817negeqd 11395 . . 3 ((𝜑𝐴𝐵) → -⨜[𝐴𝐵]𝐶 d𝑥 = -∫(𝐴(,)𝐵)𝐶 d𝑥)
1916, 18eqtr4d 2779 . 2 ((𝜑𝐴𝐵) → ⨜[𝐵𝐴]𝐶 d𝑥 = -⨜[𝐴𝐵]𝐶 d𝑥)
202rexrd 11205 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ∈ ℝ*)
2111simp2d 1143 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋𝐵)
22 iooss1 13299 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ ℝ*𝑋𝐵) → (𝐵(,)𝐴) ⊆ (𝑋(,)𝐴))
2320, 21, 22syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵(,)𝐴) ⊆ (𝑋(,)𝐴))
243rexrd 11205 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑌 ∈ ℝ*)
256simp3d 1144 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴𝑌)
26 iooss2 13300 . . . . . . . . . 10 ((𝑌 ∈ ℝ*𝐴𝑌) → (𝑋(,)𝐴) ⊆ (𝑋(,)𝑌))
2724, 25, 26syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑋(,)𝐴) ⊆ (𝑋(,)𝑌))
2823, 27sstrd 3954 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵(,)𝐴) ⊆ (𝑋(,)𝑌))
2928sselda 3944 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐴)) → 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌))
30 ditgcl.i . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1)
31 iblmbf 25132 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐶) ∈ MblFn)
3230, 31syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐶) ∈ MblFn)
33 ditgcl.c . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝐶𝑉)
3432, 33mbfmptcl 25000 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝐶 ∈ ℂ)
3529, 34syldan 591 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐴)) → 𝐶 ∈ ℂ)
36 ioombl 24929 . . . . . . . 8 (𝐵(,)𝐴) ∈ dom vol
3736a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵(,)𝐴) ∈ dom vol)
3828, 37, 33, 30iblss 25169 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐴) ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1)
3935, 38itgcl 25148 . . . . 5 (𝜑 → ∫(𝐵(,)𝐴)𝐶 d𝑥 ∈ ℂ)
4039adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝐵𝐴) → ∫(𝐵(,)𝐴)𝐶 d𝑥 ∈ ℂ)
4140negnegd 11503 . . 3 ((𝜑𝐵𝐴) → --∫(𝐵(,)𝐴)𝐶 d𝑥 = ∫(𝐵(,)𝐴)𝐶 d𝑥)
42 simpr 485 . . . . 5 ((𝜑𝐵𝐴) → 𝐵𝐴)
4312adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
447adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝐵𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
4542, 43, 44ditgneg 25221 . . . 4 ((𝜑𝐵𝐴) → ⨜[𝐴𝐵]𝐶 d𝑥 = -∫(𝐵(,)𝐴)𝐶 d𝑥)
4645negeqd 11395 . . 3 ((𝜑𝐵𝐴) → -⨜[𝐴𝐵]𝐶 d𝑥 = --∫(𝐵(,)𝐴)𝐶 d𝑥)
4742ditgpos 25220 . . 3 ((𝜑𝐵𝐴) → ⨜[𝐵𝐴]𝐶 d𝑥 = ∫(𝐵(,)𝐴)𝐶 d𝑥)
4841, 46, 473eqtr4rd 2787 . 2 ((𝜑𝐵𝐴) → ⨜[𝐵𝐴]𝐶 d𝑥 = -⨜[𝐴𝐵]𝐶 d𝑥)
497, 12, 19, 48lecasei 11261 1 (𝜑 → ⨜[𝐵𝐴]𝐶 d𝑥 = -⨜[𝐴𝐵]𝐶 d𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wss 3910   class class class wbr 5105  cmpt 5188  dom cdm 5633  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050  *cxr 11188  cle 11190  -cneg 11386  (,)cioo 13264  [,]cicc 13267  volcvol 24827  MblFncmbf 24978  𝐿1cibl 24981  citg 24982  cdit 25210
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-disj 5071  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-ofr 7618  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-dju 9837  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xadd 13034  df-ioo 13268  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-xmet 20789  df-met 20790  df-ovol 24828  df-vol 24829  df-mbf 24983  df-itg1 24984  df-itg2 24985  df-ibl 24986  df-itg 24987  df-0p 25034  df-ditg 25211
This theorem is referenced by:  ditgsplit  25225  ftc2ditg  25410
  Copyright terms: Public domain W3C validator