MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ditgswap Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ditgswap 24021
Description: Reverse a directed integral. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ditgcl.x (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
ditgcl.y (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
ditgcl.a (𝜑𝐴 ∈ (𝑋[,]𝑌))
ditgcl.b (𝜑𝐵 ∈ (𝑋[,]𝑌))
ditgcl.c ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝐶𝑉)
ditgcl.i (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1)
Assertion
Ref Expression
ditgswap (𝜑 → ⨜[𝐵𝐴]𝐶 d𝑥 = -⨜[𝐴𝐵]𝐶 d𝑥)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌
Allowed substitution hint:   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem ditgswap
StepHypRef Expression
1 ditgcl.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ (𝑋[,]𝑌))
2 ditgcl.x . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
3 ditgcl.y . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
4 elicc2 12525 . . . . 5 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝐴𝐴𝑌)))
52, 3, 4syl2anc 581 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝐴𝐴𝑌)))
61, 5mpbid 224 . . 3 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝐴𝐴𝑌))
76simp1d 1178 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
8 ditgcl.b . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ (𝑋[,]𝑌))
9 elicc2 12525 . . . . 5 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝐵 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝐵𝐵𝑌)))
102, 3, 9syl2anc 581 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝐵𝐵𝑌)))
118, 10mpbid 224 . . 3 (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝐵𝐵𝑌))
1211simp1d 1178 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
13 simpr 479 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
147adantr 474 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
1512adantr 474 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
1613, 14, 15ditgneg 24019 . . 3 ((𝜑𝐴𝐵) → ⨜[𝐵𝐴]𝐶 d𝑥 = -∫(𝐴(,)𝐵)𝐶 d𝑥)
1713ditgpos 24018 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐵) → ⨜[𝐴𝐵]𝐶 d𝑥 = ∫(𝐴(,)𝐵)𝐶 d𝑥)
1817negeqd 10594 . . 3 ((𝜑𝐴𝐵) → -⨜[𝐴𝐵]𝐶 d𝑥 = -∫(𝐴(,)𝐵)𝐶 d𝑥)
1916, 18eqtr4d 2863 . 2 ((𝜑𝐴𝐵) → ⨜[𝐵𝐴]𝐶 d𝑥 = -⨜[𝐴𝐵]𝐶 d𝑥)
202rexrd 10405 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ∈ ℝ*)
2111simp2d 1179 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋𝐵)
22 iooss1 12497 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ ℝ*𝑋𝐵) → (𝐵(,)𝐴) ⊆ (𝑋(,)𝐴))
2320, 21, 22syl2anc 581 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵(,)𝐴) ⊆ (𝑋(,)𝐴))
243rexrd 10405 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑌 ∈ ℝ*)
256simp3d 1180 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴𝑌)
26 iooss2 12498 . . . . . . . . . 10 ((𝑌 ∈ ℝ*𝐴𝑌) → (𝑋(,)𝐴) ⊆ (𝑋(,)𝑌))
2724, 25, 26syl2anc 581 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑋(,)𝐴) ⊆ (𝑋(,)𝑌))
2823, 27sstrd 3836 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵(,)𝐴) ⊆ (𝑋(,)𝑌))
2928sselda 3826 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐴)) → 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌))
30 ditgcl.i . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1)
31 iblmbf 23932 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐶) ∈ MblFn)
3230, 31syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐶) ∈ MblFn)
33 ditgcl.c . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝐶𝑉)
3432, 33mbfmptcl 23801 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝐶 ∈ ℂ)
3529, 34syldan 587 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐴)) → 𝐶 ∈ ℂ)
36 ioombl 23730 . . . . . . . 8 (𝐵(,)𝐴) ∈ dom vol
3736a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵(,)𝐴) ∈ dom vol)
3828, 37, 33, 30iblss 23969 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐴) ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1)
3935, 38itgcl 23948 . . . . 5 (𝜑 → ∫(𝐵(,)𝐴)𝐶 d𝑥 ∈ ℂ)
4039adantr 474 . . . 4 ((𝜑𝐵𝐴) → ∫(𝐵(,)𝐴)𝐶 d𝑥 ∈ ℂ)
4140negnegd 10703 . . 3 ((𝜑𝐵𝐴) → --∫(𝐵(,)𝐴)𝐶 d𝑥 = ∫(𝐵(,)𝐴)𝐶 d𝑥)
42 simpr 479 . . . . 5 ((𝜑𝐵𝐴) → 𝐵𝐴)
4312adantr 474 . . . . 5 ((𝜑𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
447adantr 474 . . . . 5 ((𝜑𝐵𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
4542, 43, 44ditgneg 24019 . . . 4 ((𝜑𝐵𝐴) → ⨜[𝐴𝐵]𝐶 d𝑥 = -∫(𝐵(,)𝐴)𝐶 d𝑥)
4645negeqd 10594 . . 3 ((𝜑𝐵𝐴) → -⨜[𝐴𝐵]𝐶 d𝑥 = --∫(𝐵(,)𝐴)𝐶 d𝑥)
4742ditgpos 24018 . . 3 ((𝜑𝐵𝐴) → ⨜[𝐵𝐴]𝐶 d𝑥 = ∫(𝐵(,)𝐴)𝐶 d𝑥)
4841, 46, 473eqtr4rd 2871 . 2 ((𝜑𝐵𝐴) → ⨜[𝐵𝐴]𝐶 d𝑥 = -⨜[𝐴𝐵]𝐶 d𝑥)
497, 12, 19, 48lecasei 10461 1 (𝜑 → ⨜[𝐵𝐴]𝐶 d𝑥 = -⨜[𝐴𝐵]𝐶 d𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386  w3a 1113   = wceq 1658  wcel 2166  wss 3797   class class class wbr 4872  cmpt 4951  dom cdm 5341  (class class class)co 6904  cc 10249  cr 10250  *cxr 10389  cle 10391  -cneg 10585  (,)cioo 12462  [,]cicc 12465  volcvol 23628  MblFncmbf 23779  𝐿1cibl 23782  citg 23783  cdit 24008
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2390  ax-ext 2802  ax-rep 4993  ax-sep 5004  ax-nul 5012  ax-pow 5064  ax-pr 5126  ax-un 7208  ax-inf2 8814  ax-cnex 10307  ax-resscn 10308  ax-1cn 10309  ax-icn 10310  ax-addcl 10311  ax-addrcl 10312  ax-mulcl 10313  ax-mulrcl 10314  ax-mulcom 10315  ax-addass 10316  ax-mulass 10317  ax-distr 10318  ax-i2m1 10319  ax-1ne0 10320  ax-1rid 10321  ax-rnegex 10322  ax-rrecex 10323  ax-cnre 10324  ax-pre-lttri 10325  ax-pre-lttrn 10326  ax-pre-ltadd 10327  ax-pre-mulgt0 10328  ax-pre-sup 10329  ax-addf 10330
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-fal 1672  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2604  df-eu 2639  df-clab 2811  df-cleq 2817  df-clel 2820  df-nfc 2957  df-ne 2999  df-nel 3102  df-ral 3121  df-rex 3122  df-reu 3123  df-rmo 3124  df-rab 3125  df-v 3415  df-sbc 3662  df-csb 3757  df-dif 3800  df-un 3802  df-in 3804  df-ss 3811  df-pss 3813  df-nul 4144  df-if 4306  df-pw 4379  df-sn 4397  df-pr 4399  df-tp 4401  df-op 4403  df-uni 4658  df-int 4697  df-iun 4741  df-disj 4841  df-br 4873  df-opab 4935  df-mpt 4952  df-tr 4975  df-id 5249  df-eprel 5254  df-po 5262  df-so 5263  df-fr 5300  df-se 5301  df-we 5302  df-xp 5347  df-rel 5348  df-cnv 5349  df-co 5350  df-dm 5351  df-rn 5352  df-res 5353  df-ima 5354  df-pred 5919  df-ord 5965  df-on 5966  df-lim 5967  df-suc 5968  df-iota 6085  df-fun 6124  df-fn 6125  df-f 6126  df-f1 6127  df-fo 6128  df-f1o 6129  df-fv 6130  df-isom 6131  df-riota 6865  df-ov 6907  df-oprab 6908  df-mpt2 6909  df-of 7156  df-ofr 7157  df-om 7326  df-1st 7427  df-2nd 7428  df-wrecs 7671  df-recs 7733  df-rdg 7771  df-1o 7825  df-2o 7826  df-oadd 7829  df-er 8008  df-map 8123  df-pm 8124  df-en 8222  df-dom 8223  df-sdom 8224  df-fin 8225  df-sup 8616  df-inf 8617  df-oi 8683  df-card 9077  df-cda 9304  df-pnf 10392  df-mnf 10393  df-xr 10394  df-ltxr 10395  df-le 10396  df-sub 10586  df-neg 10587  df-div 11009  df-nn 11350  df-2 11413  df-3 11414  df-4 11415  df-n0 11618  df-z 11704  df-uz 11968  df-q 12071  df-rp 12112  df-xadd 12232  df-ioo 12466  df-ico 12468  df-icc 12469  df-fz 12619  df-fzo 12760  df-fl 12887  df-mod 12963  df-seq 13095  df-exp 13154  df-hash 13410  df-cj 14215  df-re 14216  df-im 14217  df-sqrt 14351  df-abs 14352  df-clim 14595  df-rlim 14596  df-sum 14793  df-xmet 20098  df-met 20099  df-ovol 23629  df-vol 23630  df-mbf 23784  df-itg1 23785  df-itg2 23786  df-ibl 23787  df-itg 23788  df-0p 23835  df-ditg 24009
This theorem is referenced by:  ditgsplit  24023  ftc2ditg  24207
  Copyright terms: Public domain W3C validator