MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ditgcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ditgcl 24457
Description: Closure of a directed integral. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ditgcl.x (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
ditgcl.y (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
ditgcl.a (𝜑𝐴 ∈ (𝑋[,]𝑌))
ditgcl.b (𝜑𝐵 ∈ (𝑋[,]𝑌))
ditgcl.c ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝐶𝑉)
ditgcl.i (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1)
Assertion
Ref Expression
ditgcl (𝜑 → ⨜[𝐴𝐵]𝐶 d𝑥 ∈ ℂ)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌
Allowed substitution hint:   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem ditgcl
StepHypRef Expression
1 ditgcl.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ (𝑋[,]𝑌))
2 ditgcl.x . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
3 ditgcl.y . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
4 elicc2 12795 . . . . 5 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝐴𝐴𝑌)))
52, 3, 4syl2anc 587 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝐴𝐴𝑌)))
61, 5mpbid 235 . . 3 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝐴𝐴𝑌))
76simp1d 1139 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
8 ditgcl.b . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ (𝑋[,]𝑌))
9 elicc2 12795 . . . . 5 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝐵 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝐵𝐵𝑌)))
102, 3, 9syl2anc 587 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝐵𝐵𝑌)))
118, 10mpbid 235 . . 3 (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝐵𝐵𝑌))
1211simp1d 1139 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
13 simpr 488 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
1413ditgpos 24455 . . 3 ((𝜑𝐴𝐵) → ⨜[𝐴𝐵]𝐶 d𝑥 = ∫(𝐴(,)𝐵)𝐶 d𝑥)
152rexrd 10683 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 ∈ ℝ*)
166simp2d 1140 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋𝐴)
17 iooss1 12766 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ ℝ*𝑋𝐴) → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝑋(,)𝐵))
1815, 16, 17syl2anc 587 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝑋(,)𝐵))
193rexrd 10683 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌 ∈ ℝ*)
2011simp3d 1141 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵𝑌)
21 iooss2 12767 . . . . . . . . 9 ((𝑌 ∈ ℝ*𝐵𝑌) → (𝑋(,)𝐵) ⊆ (𝑋(,)𝑌))
2219, 20, 21syl2anc 587 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋(,)𝐵) ⊆ (𝑋(,)𝑌))
2318, 22sstrd 3962 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝑋(,)𝑌))
2423sselda 3952 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌))
25 ditgcl.c . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝐶𝑉)
2624, 25syldan 594 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐶𝑉)
27 ioombl 24165 . . . . . . 7 (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol
2827a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol)
29 ditgcl.i . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1)
3023, 28, 25, 29iblss 24404 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1)
3126, 30itgcl 24383 . . . 4 (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)𝐶 d𝑥 ∈ ℂ)
3231adantr 484 . . 3 ((𝜑𝐴𝐵) → ∫(𝐴(,)𝐵)𝐶 d𝑥 ∈ ℂ)
3314, 32eqeltrd 2916 . 2 ((𝜑𝐴𝐵) → ⨜[𝐴𝐵]𝐶 d𝑥 ∈ ℂ)
34 simpr 488 . . . 4 ((𝜑𝐵𝐴) → 𝐵𝐴)
3512adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
367adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝐵𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
3734, 35, 36ditgneg 24456 . . 3 ((𝜑𝐵𝐴) → ⨜[𝐴𝐵]𝐶 d𝑥 = -∫(𝐵(,)𝐴)𝐶 d𝑥)
3811simp2d 1140 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋𝐵)
39 iooss1 12766 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ ℝ*𝑋𝐵) → (𝐵(,)𝐴) ⊆ (𝑋(,)𝐴))
4015, 38, 39syl2anc 587 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵(,)𝐴) ⊆ (𝑋(,)𝐴))
416simp3d 1141 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴𝑌)
42 iooss2 12767 . . . . . . . . . 10 ((𝑌 ∈ ℝ*𝐴𝑌) → (𝑋(,)𝐴) ⊆ (𝑋(,)𝑌))
4319, 41, 42syl2anc 587 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑋(,)𝐴) ⊆ (𝑋(,)𝑌))
4440, 43sstrd 3962 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵(,)𝐴) ⊆ (𝑋(,)𝑌))
4544sselda 3952 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐴)) → 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌))
4645, 25syldan 594 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐴)) → 𝐶𝑉)
47 ioombl 24165 . . . . . . . 8 (𝐵(,)𝐴) ∈ dom vol
4847a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵(,)𝐴) ∈ dom vol)
4944, 48, 25, 29iblss 24404 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐴) ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1)
5046, 49itgcl 24383 . . . . 5 (𝜑 → ∫(𝐵(,)𝐴)𝐶 d𝑥 ∈ ℂ)
5150negcld 10976 . . . 4 (𝜑 → -∫(𝐵(,)𝐴)𝐶 d𝑥 ∈ ℂ)
5251adantr 484 . . 3 ((𝜑𝐵𝐴) → -∫(𝐵(,)𝐴)𝐶 d𝑥 ∈ ℂ)
5337, 52eqeltrd 2916 . 2 ((𝜑𝐵𝐴) → ⨜[𝐴𝐵]𝐶 d𝑥 ∈ ℂ)
547, 12, 33, 53lecasei 10738 1 (𝜑 → ⨜[𝐴𝐵]𝐶 d𝑥 ∈ ℂ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084  wcel 2115  wss 3919   class class class wbr 5052  cmpt 5132  dom cdm 5542  (class class class)co 7145  cc 10527  cr 10528  *cxr 10666  cle 10668  -cneg 10863  (,)cioo 12731  [,]cicc 12734  volcvol 24063  𝐿1cibl 24217  citg 24218  cdit 24445
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7451  ax-inf2 9095  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607  ax-addf 10608
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4276  df-if 4450  df-pw 4523  df-sn 4550  df-pr 4552  df-tp 4554  df-op 4556  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-disj 5018  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-se 5502  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-isom 6352  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7399  df-ofr 7400  df-om 7571  df-1st 7679  df-2nd 7680  df-wrecs 7937  df-recs 7998  df-rdg 8036  df-1o 8092  df-2o 8093  df-oadd 8096  df-er 8279  df-map 8398  df-pm 8399  df-en 8500  df-dom 8501  df-sdom 8502  df-fin 8503  df-sup 8897  df-inf 8898  df-oi 8965  df-dju 9321  df-card 9359  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11693  df-3 11694  df-4 11695  df-n0 11891  df-z 11975  df-uz 12237  df-q 12342  df-rp 12383  df-xadd 12501  df-ioo 12735  df-ico 12737  df-icc 12738  df-fz 12891  df-fzo 13034  df-fl 13162  df-mod 13238  df-seq 13370  df-exp 13431  df-hash 13692  df-cj 14454  df-re 14455  df-im 14456  df-sqrt 14590  df-abs 14591  df-clim 14841  df-rlim 14842  df-sum 15039  df-xmet 20531  df-met 20532  df-ovol 24064  df-vol 24065  df-mbf 24219  df-itg1 24220  df-itg2 24221  df-ibl 24222  df-itg 24223  df-0p 24270  df-ditg 24446
This theorem is referenced by:  ditgsplit  24460  itgsubstlem  24647
  Copyright terms: Public domain W3C validator