MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ditgcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ditgcl 25875
Description: Closure of a directed integral. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ditgcl.x (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
ditgcl.y (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
ditgcl.a (𝜑𝐴 ∈ (𝑋[,]𝑌))
ditgcl.b (𝜑𝐵 ∈ (𝑋[,]𝑌))
ditgcl.c ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝐶𝑉)
ditgcl.i (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1)
Assertion
Ref Expression
ditgcl (𝜑 → ⨜[𝐴𝐵]𝐶 d𝑥 ∈ ℂ)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌
Allowed substitution hint:   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem ditgcl
StepHypRef Expression
1 ditgcl.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ (𝑋[,]𝑌))
2 ditgcl.x . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
3 ditgcl.y . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
4 elicc2 13437 . . . . 5 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝐴𝐴𝑌)))
52, 3, 4syl2anc 582 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝐴𝐴𝑌)))
61, 5mpbid 231 . . 3 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝐴𝐴𝑌))
76simp1d 1139 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
8 ditgcl.b . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ (𝑋[,]𝑌))
9 elicc2 13437 . . . . 5 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝐵 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝐵𝐵𝑌)))
102, 3, 9syl2anc 582 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝐵𝐵𝑌)))
118, 10mpbid 231 . . 3 (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝐵𝐵𝑌))
1211simp1d 1139 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
13 simpr 483 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
1413ditgpos 25873 . . 3 ((𝜑𝐴𝐵) → ⨜[𝐴𝐵]𝐶 d𝑥 = ∫(𝐴(,)𝐵)𝐶 d𝑥)
152rexrd 11305 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 ∈ ℝ*)
166simp2d 1140 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋𝐴)
17 iooss1 13407 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ ℝ*𝑋𝐴) → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝑋(,)𝐵))
1815, 16, 17syl2anc 582 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝑋(,)𝐵))
193rexrd 11305 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌 ∈ ℝ*)
2011simp3d 1141 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵𝑌)
21 iooss2 13408 . . . . . . . . 9 ((𝑌 ∈ ℝ*𝐵𝑌) → (𝑋(,)𝐵) ⊆ (𝑋(,)𝑌))
2219, 20, 21syl2anc 582 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋(,)𝐵) ⊆ (𝑋(,)𝑌))
2318, 22sstrd 3989 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝑋(,)𝑌))
2423sselda 3978 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌))
25 ditgcl.c . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝐶𝑉)
2624, 25syldan 589 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐶𝑉)
27 ioombl 25582 . . . . . . 7 (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol
2827a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol)
29 ditgcl.i . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1)
3023, 28, 25, 29iblss 25822 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1)
3126, 30itgcl 25801 . . . 4 (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)𝐶 d𝑥 ∈ ℂ)
3231adantr 479 . . 3 ((𝜑𝐴𝐵) → ∫(𝐴(,)𝐵)𝐶 d𝑥 ∈ ℂ)
3314, 32eqeltrd 2826 . 2 ((𝜑𝐴𝐵) → ⨜[𝐴𝐵]𝐶 d𝑥 ∈ ℂ)
34 simpr 483 . . . 4 ((𝜑𝐵𝐴) → 𝐵𝐴)
3512adantr 479 . . . 4 ((𝜑𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
367adantr 479 . . . 4 ((𝜑𝐵𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
3734, 35, 36ditgneg 25874 . . 3 ((𝜑𝐵𝐴) → ⨜[𝐴𝐵]𝐶 d𝑥 = -∫(𝐵(,)𝐴)𝐶 d𝑥)
3811simp2d 1140 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋𝐵)
39 iooss1 13407 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ ℝ*𝑋𝐵) → (𝐵(,)𝐴) ⊆ (𝑋(,)𝐴))
4015, 38, 39syl2anc 582 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵(,)𝐴) ⊆ (𝑋(,)𝐴))
416simp3d 1141 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴𝑌)
42 iooss2 13408 . . . . . . . . . 10 ((𝑌 ∈ ℝ*𝐴𝑌) → (𝑋(,)𝐴) ⊆ (𝑋(,)𝑌))
4319, 41, 42syl2anc 582 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑋(,)𝐴) ⊆ (𝑋(,)𝑌))
4440, 43sstrd 3989 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵(,)𝐴) ⊆ (𝑋(,)𝑌))
4544sselda 3978 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐴)) → 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌))
4645, 25syldan 589 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐴)) → 𝐶𝑉)
47 ioombl 25582 . . . . . . . 8 (𝐵(,)𝐴) ∈ dom vol
4847a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵(,)𝐴) ∈ dom vol)
4944, 48, 25, 29iblss 25822 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐴) ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1)
5046, 49itgcl 25801 . . . . 5 (𝜑 → ∫(𝐵(,)𝐴)𝐶 d𝑥 ∈ ℂ)
5150negcld 11599 . . . 4 (𝜑 → -∫(𝐵(,)𝐴)𝐶 d𝑥 ∈ ℂ)
5251adantr 479 . . 3 ((𝜑𝐵𝐴) → -∫(𝐵(,)𝐴)𝐶 d𝑥 ∈ ℂ)
5337, 52eqeltrd 2826 . 2 ((𝜑𝐵𝐴) → ⨜[𝐴𝐵]𝐶 d𝑥 ∈ ℂ)
547, 12, 33, 53lecasei 11361 1 (𝜑 → ⨜[𝐴𝐵]𝐶 d𝑥 ∈ ℂ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084  wcel 2099  wss 3946   class class class wbr 5145  cmpt 5228  dom cdm 5674  (class class class)co 7416  cc 11147  cr 11148  *cxr 11288  cle 11290  -cneg 11486  (,)cioo 13372  [,]cicc 13375  volcvol 25480  𝐿1cibl 25634  citg 25635  cdit 25863
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5282  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7738  ax-inf2 9677  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226  ax-pre-sup 11227  ax-addf 11228
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-int 4947  df-iun 4995  df-disj 5111  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-tr 5263  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-se 5630  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6304  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-isom 6555  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7682  df-ofr 7683  df-om 7869  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8488  df-2o 8489  df-er 8726  df-map 8849  df-pm 8850  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-sup 9478  df-inf 9479  df-oi 9546  df-dju 9937  df-card 9975  df-pnf 11291  df-mnf 11292  df-xr 11293  df-ltxr 11294  df-le 11295  df-sub 11487  df-neg 11488  df-div 11913  df-nn 12259  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-n0 12519  df-z 12605  df-uz 12869  df-q 12979  df-rp 13023  df-xadd 13141  df-ioo 13376  df-ico 13378  df-icc 13379  df-fz 13533  df-fzo 13676  df-fl 13806  df-mod 13884  df-seq 14016  df-exp 14076  df-hash 14343  df-cj 15099  df-re 15100  df-im 15101  df-sqrt 15235  df-abs 15236  df-clim 15485  df-rlim 15486  df-sum 15686  df-xmet 21332  df-met 21333  df-ovol 25481  df-vol 25482  df-mbf 25636  df-itg1 25637  df-itg2 25638  df-ibl 25639  df-itg 25640  df-0p 25687  df-ditg 25864
This theorem is referenced by:  ditgsplit  25878  itgsubstlem  26071
  Copyright terms: Public domain W3C validator