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Theorem ditgsplit 25784

Description: This theorem is the raison d'être for the directed integral, because unlike itgspliticc 25760, there is no constraint on the ordering of the points 𝐴, 𝐵, 𝐶 in the domain. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
ditgsplit.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
ditgsplit.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
ditgsplit.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝑋[,]𝑌))
ditgsplit.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝑋[,]𝑌))
ditgsplit.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝑋[,]𝑌))
ditgsplit.d	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝐷 ∈ 𝑉)
ditgsplit.i	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿¹)

**Assertion**
Ref	Expression
ditgsplit	⊢ (𝜑 → ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥))

Distinct variable groups: 𝑥,𝐴 𝑥,𝐵 𝑥,𝐶 𝜑,𝑥 𝑥,𝑉 𝑥,𝑋 𝑥,𝑌 Allowed substitution hint: 𝐷(𝑥)

**Proof of Theorem ditgsplit**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		ditgsplit.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝑋[,]𝑌))
2		ditgsplit.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
3		ditgsplit.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
4		elicc2 13306	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑌)))
5	2, 3, 4	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑌)))
6	1, 5	mpbid 232	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑌))
7	6	simp1d 1142	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
8		ditgsplit.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝑋[,]𝑌))
9		elicc2 13306	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝐵 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝑌)))
10	2, 3, 9	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝑌)))
11	8, 10	mpbid 232	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝑌))
12	11	simp1d 1142	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
13	7	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
14		ditgsplit.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝑋[,]𝑌))
15		elicc2 13306	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝑌)))
16	2, 3, 15	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝑌)))
17	14, 16	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝑌))
18	17	simp1d 1142	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
19	18	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ)
20	12	ad2antrr 726	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐴 ≤ 𝐶) → 𝐵 ∈ ℝ)
21	18	ad2antrr 726	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐴 ≤ 𝐶) → 𝐶 ∈ ℝ)
22		ditgsplit.d	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝐷 ∈ 𝑉)
23		ditgsplit.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿¹)
24		biid 261	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))
25	2, 3, 1, 8, 14, 22, 23, 24	ditgsplitlem 25783	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥))
26	25	adantlr 715	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐴 ≤ 𝐶) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥))
27		biid 261	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) ↔ (𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵))
28	2, 3, 1, 14, 8, 22, 23, 27	ditgsplitlem 25783	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐶) ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) → ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥))
29	28	oveq1d 7356	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐶) ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) → (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥) = ((⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥))
30	2, 3, 1, 14, 22, 23	ditgcl 25781	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 ∈ ℂ)
31	2, 3, 14, 8, 22, 23	ditgcl 25781	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥 ∈ ℂ)
32	2, 3, 8, 14, 22, 23	ditgcl 25781	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥 ∈ ℂ)
33	30, 31, 32	addassd 11129	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥) = (⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥)))
34	2, 3, 14, 8, 22, 23	ditgswap 25782	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥 = -⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥)
35	34	oveq2d 7357	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥) = (⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + -⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥))
36	31	negidd 11457	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + -⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥) = 0)
37	35, 36	eqtrd 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥) = 0)
38	37	oveq2d 7357	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥)) = (⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + 0))
39	30	addridd 11308	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + 0) = ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥)
40	33, 38, 39	3eqtrd 2770	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥) = ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥)
41	40	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐶) ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) → ((⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥) = ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥)
42	29, 41	eqtr2d 2767	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐶) ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) → ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥))
43	42	adantllr 719	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐴 ≤ 𝐶) ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) → ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥))
44	20, 21, 26, 43	lecasei 11214	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐴 ≤ 𝐶) → ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥))
45	40	ad2antrr 726	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ≤ 𝐴) → ((⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥) = ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥)
46		ancom 460	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐶 ≤ 𝐴) ↔ (𝐶 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵))
47	2, 3, 14, 1, 8, 22, 23, 46	ditgsplitlem 25783	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ≤ 𝐴) → ⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥))
48	47	oveq2d 7357	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ≤ 𝐴) → (⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥) = (⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥)))
49	2, 3, 1, 14, 22, 23	ditgswap 25782	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥 = -⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥)
50	49	oveq2d 7357	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥) = (⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + -⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥))
51	30	negidd 11457	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + -⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥) = 0)
52	50, 51	eqtrd 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥) = 0)
53	52	oveq1d 7356	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥) = (0 + ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥))
54	2, 3, 14, 1, 22, 23	ditgcl 25781	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥 ∈ ℂ)
55	2, 3, 1, 8, 22, 23	ditgcl 25781	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 ∈ ℂ)
56	30, 54, 55	addassd 11129	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥) = (⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥)))
57	55	addlidd 11309	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0 + ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥) = ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥)
58	53, 56, 57	3eqtr3d 2774	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥)) = ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥)
59	58	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ≤ 𝐴) → (⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥)) = ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥)
60	48, 59	eqtrd 2766	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ≤ 𝐴) → (⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥) = ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥)
61	60	oveq1d 7356	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ≤ 𝐴) → ((⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥) = (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥))
62	45, 61	eqtr3d 2768	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ≤ 𝐴) → ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥))
63	13, 19, 44, 62	lecasei 11214	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥))
64	7	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
65	18	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
66		biid 261	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐶) ↔ (𝐵 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐶))
67	2, 3, 8, 1, 14, 22, 23, 66	ditgsplitlem 25783	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 ≤ 𝐶) → ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐵 → 𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥))
68	67	oveq2d 7357	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 ≤ 𝐶) → (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥) = (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐵 → 𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥)))
69	2, 3, 1, 8, 22, 23	ditgswap 25782	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ⨜[𝐵 → 𝐴]𝐷 d𝑥 = -⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥)
70	69	oveq2d 7357	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐴]𝐷 d𝑥) = (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + -⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥))
71	55	negidd 11457	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + -⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥) = 0)
72	70, 71	eqtrd 2766	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐴]𝐷 d𝑥) = 0)
73	72	oveq1d 7356	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐴]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥) = (0 + ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥))
74	2, 3, 8, 1, 22, 23	ditgcl 25781	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ⨜[𝐵 → 𝐴]𝐷 d𝑥 ∈ ℂ)
75	55, 74, 30	addassd 11129	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐴]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥) = (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐵 → 𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥)))
76	30	addlidd 11309	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0 + ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥) = ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥)
77	73, 75, 76	3eqtr3d 2774	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐵 → 𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥)) = ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥)
78	77	ad2antrr 726	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 ≤ 𝐶) → (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐵 → 𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥)) = ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥)
79	68, 78	eqtr2d 2767	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 ≤ 𝐶) → ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥))
80	12	ad2antrr 726	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐶 ≤ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
81	18	ad2antrr 726	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐶 ≤ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
82		ancom 460	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) ↔ (𝐵 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐴))
83	2, 3, 8, 14, 1, 22, 23, 82	ditgsplitlem 25783	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → ⨜[𝐵 → 𝐴]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥))
84	83	oveq1d 7356	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → (⨜[𝐵 → 𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥) = ((⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥))
85	32, 54, 30	addassd 11129	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥) = (⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥)))
86	2, 3, 14, 1, 22, 23	ditgswap 25782	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 = -⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥)
87	86	oveq2d 7357	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥) = (⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥 + -⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥))
88	54	negidd 11457	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥 + -⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥) = 0)
89	87, 88	eqtrd 2766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥) = 0)
90	89	oveq2d 7357	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥)) = (⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + 0))
91	32	addridd 11308	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + 0) = ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥)
92	85, 90, 91	3eqtrd 2770	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥) = ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥)
93	92	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → ((⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥) = ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥)
94	84, 93	eqtr2d 2767	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐵 → 𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥))
95	94	oveq2d 7357	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥) = (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐵 → 𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥)))
96	77	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐵 → 𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥)) = ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥)
97	95, 96	eqtr2d 2767	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥))
98	97	adantllr 719	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐶 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥))
99		ancom 460	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ≤ 𝐴 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) ↔ (𝐶 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴))
100	2, 3, 14, 8, 1, 22, 23, 99	ditgsplitlem 25783	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) → ⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐴]𝐷 d𝑥))
101	100	oveq1d 7356	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) → (⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥) = ((⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐴]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥))
102	31, 74, 55	addassd 11129	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐴]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥) = (⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐵 → 𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥)))
103	2, 3, 8, 1, 22, 23	ditgswap 25782	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 = -⨜[𝐵 → 𝐴]𝐷 d𝑥)
104	103	oveq2d 7357	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (⨜[𝐵 → 𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥) = (⨜[𝐵 → 𝐴]𝐷 d𝑥 + -⨜[𝐵 → 𝐴]𝐷 d𝑥))
105	74	negidd 11457	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (⨜[𝐵 → 𝐴]𝐷 d𝑥 + -⨜[𝐵 → 𝐴]𝐷 d𝑥) = 0)
106	104, 105	eqtrd 2766	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (⨜[𝐵 → 𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥) = 0)
107	106	oveq2d 7357	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐵 → 𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥)) = (⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + 0))
108	31	addridd 11308	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + 0) = ⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥)
109	102, 107, 108	3eqtrd 2770	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐴]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥) = ⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥)
110	109	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) → ((⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐴]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥) = ⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥)
111	101, 110	eqtr2d 2767	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) → ⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥))
112	111	oveq2d 7357	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) → (⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥) = (⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥)))
113	58	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) → (⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥)) = ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥)
114	112, 113	eqtr2d 2767	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) → ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥))
115	114	oveq1d 7356	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) → (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥) = ((⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥))
116	40	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) → ((⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥) = ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥)
117	115, 116	eqtr2d 2767	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) → ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥))
118	117	adantlr 715	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐶 ≤ 𝐴) ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) → ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥))
119	80, 81, 98, 118	lecasei 11214	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐶 ≤ 𝐴) → ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥))
120	64, 65, 79, 119	lecasei 11214	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥))
121	7, 12, 63, 120	lecasei 11214	1 ⊢ (𝜑 → ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 ∧ w3a 1086 = wceq 1541 ∈ wcel 2111 class class class wbr 5086 ↦ cmpt 5167 (class class class)co 7341 ℝcr 11000 0cc0 11001 + caddc 11004 ≤ cle 11142 -cneg 11340 (,)cioo 13240 [,]cicc 13243 𝐿¹cibl 25540 ⨜cdit 25769

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1796 ax-4 1810 ax-5 1911 ax-6 1968 ax-7 2009 ax-8 2113 ax-9 2121 ax-10 2144 ax-11 2160 ax-12 2180 ax-ext 2703 ax-rep 5212 ax-sep 5229 ax-nul 5239 ax-pow 5298 ax-pr 5365 ax-un 7663 ax-inf2 9526 ax-cnex 11057 ax-resscn 11058 ax-1cn 11059 ax-icn 11060 ax-addcl 11061 ax-addrcl 11062 ax-mulcl 11063 ax-mulrcl 11064 ax-mulcom 11065 ax-addass 11066 ax-mulass 11067 ax-distr 11068 ax-i2m1 11069 ax-1ne0 11070 ax-1rid 11071 ax-rnegex 11072 ax-rrecex 11073 ax-cnre 11074 ax-pre-lttri 11075 ax-pre-lttrn 11076 ax-pre-ltadd 11077 ax-pre-mulgt0 11078 ax-pre-sup 11079 ax-addf 11080

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1781 df-nf 1785 df-sb 2068 df-mo 2535 df-eu 2564 df-clab 2710 df-cleq 2723 df-clel 2806 df-nfc 2881 df-ne 2929 df-nel 3033 df-ral 3048 df-rex 3057 df-rmo 3346 df-reu 3347 df-rab 3396 df-v 3438 df-sbc 3737 df-csb 3846 df-dif 3900 df-un 3902 df-in 3904 df-ss 3914 df-pss 3917 df-symdif 4198 df-nul 4279 df-if 4471 df-pw 4547 df-sn 4572 df-pr 4574 df-op 4578 df-uni 4855 df-int 4893 df-iun 4938 df-disj 5054 df-br 5087 df-opab 5149 df-mpt 5168 df-tr 5194 df-id 5506 df-eprel 5511 df-po 5519 df-so 5520 df-fr 5564 df-se 5565 df-we 5566 df-xp 5617 df-rel 5618 df-cnv 5619 df-co 5620 df-dm 5621 df-rn 5622 df-res 5623 df-ima 5624 df-pred 6243 df-ord 6304 df-on 6305 df-lim 6306 df-suc 6307 df-iota 6432 df-fun 6478 df-fn 6479 df-f 6480 df-f1 6481 df-fo 6482 df-f1o 6483 df-fv 6484 df-isom 6485 df-riota 7298 df-ov 7344 df-oprab 7345 df-mpo 7346 df-of 7605 df-ofr 7606 df-om 7792 df-1st 7916 df-2nd 7917 df-frecs 8206 df-wrecs 8237 df-recs 8286 df-rdg 8324 df-1o 8380 df-2o 8381 df-er 8617 df-map 8747 df-pm 8748 df-en 8865 df-dom 8866 df-sdom 8867 df-fin 8868 df-fi 9290 df-sup 9321 df-inf 9322 df-oi 9391 df-dju 9789 df-card 9827 df-pnf 11143 df-mnf 11144 df-xr 11145 df-ltxr 11146 df-le 11147 df-sub 11341 df-neg 11342 df-div 11770 df-nn 12121 df-2 12183 df-3 12184 df-4 12185 df-n0 12377 df-z 12464 df-uz 12728 df-q 12842 df-rp 12886 df-xneg 13006 df-xadd 13007 df-xmul 13008 df-ioo 13244 df-ico 13246 df-icc 13247 df-fz 13403 df-fzo 13550 df-fl 13691 df-mod 13769 df-seq 13904 df-exp 13964 df-hash 14233 df-cj 15001 df-re 15002 df-im 15003 df-sqrt 15137 df-abs 15138 df-clim 15390 df-rlim 15391 df-sum 15589 df-rest 17321 df-topgen 17342 df-psmet 21278 df-xmet 21279 df-met 21280 df-bl 21281 df-mopn 21282 df-top 22804 df-topon 22821 df-bases 22856 df-cmp 23297 df-ovol 25387 df-vol 25388 df-mbf 25542 df-itg1 25543 df-itg2 25544 df-ibl 25545 df-itg 25546 df-0p 25593 df-ditg 25770

This theorem is referenced by: itgsubstlem 25977

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