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Theorem ditgsplit 25025

Description: This theorem is the raison d'être for the directed integral, because unlike itgspliticc 25001, there is no constraint on the ordering of the points 𝐴, 𝐵, 𝐶 in the domain. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
ditgsplit.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
ditgsplit.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
ditgsplit.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝑋[,]𝑌))
ditgsplit.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝑋[,]𝑌))
ditgsplit.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝑋[,]𝑌))
ditgsplit.d	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝐷 ∈ 𝑉)
ditgsplit.i	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿¹)

**Assertion**
Ref	Expression
ditgsplit	⊢ (𝜑 → ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥))

Distinct variable groups: 𝑥,𝐴 𝑥,𝐵 𝑥,𝐶 𝜑,𝑥 𝑥,𝑉 𝑥,𝑋 𝑥,𝑌 Allowed substitution hint: 𝐷(𝑥)

**Proof of Theorem ditgsplit**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		ditgsplit.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝑋[,]𝑌))
2		ditgsplit.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
3		ditgsplit.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
4		elicc2 13144	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑌)))
5	2, 3, 4	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑌)))
6	1, 5	mpbid 231	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑌))
7	6	simp1d 1141	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
8		ditgsplit.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝑋[,]𝑌))
9		elicc2 13144	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝐵 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝑌)))
10	2, 3, 9	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝑌)))
11	8, 10	mpbid 231	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝑌))
12	11	simp1d 1141	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
13	7	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
14		ditgsplit.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝑋[,]𝑌))
15		elicc2 13144	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝑌)))
16	2, 3, 15	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝑌)))
17	14, 16	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝑌))
18	17	simp1d 1141	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
19	18	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ)
20	12	ad2antrr 723	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐴 ≤ 𝐶) → 𝐵 ∈ ℝ)
21	18	ad2antrr 723	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐴 ≤ 𝐶) → 𝐶 ∈ ℝ)
22		ditgsplit.d	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝐷 ∈ 𝑉)
23		ditgsplit.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿¹)
24		biid 260	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))
25	2, 3, 1, 8, 14, 22, 23, 24	ditgsplitlem 25024	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥))
26	25	adantlr 712	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐴 ≤ 𝐶) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥))
27		biid 260	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) ↔ (𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵))
28	2, 3, 1, 14, 8, 22, 23, 27	ditgsplitlem 25024	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐶) ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) → ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥))
29	28	oveq1d 7290	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐶) ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) → (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥) = ((⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥))
30	2, 3, 1, 14, 22, 23	ditgcl 25022	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 ∈ ℂ)
31	2, 3, 14, 8, 22, 23	ditgcl 25022	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥 ∈ ℂ)
32	2, 3, 8, 14, 22, 23	ditgcl 25022	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥 ∈ ℂ)
33	30, 31, 32	addassd 10997	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥) = (⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥)))
34	2, 3, 14, 8, 22, 23	ditgswap 25023	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥 = -⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥)
35	34	oveq2d 7291	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥) = (⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + -⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥))
36	31	negidd 11322	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + -⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥) = 0)
37	35, 36	eqtrd 2778	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥) = 0)
38	37	oveq2d 7291	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥)) = (⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + 0))
39	30	addid1d 11175	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + 0) = ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥)
40	33, 38, 39	3eqtrd 2782	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥) = ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥)
41	40	ad2antrr 723	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐶) ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) → ((⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥) = ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥)
42	29, 41	eqtr2d 2779	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐶) ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) → ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥))
43	42	adantllr 716	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐴 ≤ 𝐶) ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) → ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥))
44	20, 21, 26, 43	lecasei 11081	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐴 ≤ 𝐶) → ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥))
45	40	ad2antrr 723	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ≤ 𝐴) → ((⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥) = ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥)
46		ancom 461	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐶 ≤ 𝐴) ↔ (𝐶 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵))
47	2, 3, 14, 1, 8, 22, 23, 46	ditgsplitlem 25024	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ≤ 𝐴) → ⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥))
48	47	oveq2d 7291	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ≤ 𝐴) → (⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥) = (⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥)))
49	2, 3, 1, 14, 22, 23	ditgswap 25023	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥 = -⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥)
50	49	oveq2d 7291	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥) = (⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + -⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥))
51	30	negidd 11322	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + -⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥) = 0)
52	50, 51	eqtrd 2778	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥) = 0)
53	52	oveq1d 7290	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥) = (0 + ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥))
54	2, 3, 14, 1, 22, 23	ditgcl 25022	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥 ∈ ℂ)
55	2, 3, 1, 8, 22, 23	ditgcl 25022	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 ∈ ℂ)
56	30, 54, 55	addassd 10997	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥) = (⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥)))
57	55	addid2d 11176	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0 + ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥) = ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥)
58	53, 56, 57	3eqtr3d 2786	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥)) = ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥)
59	58	ad2antrr 723	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ≤ 𝐴) → (⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥)) = ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥)
60	48, 59	eqtrd 2778	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ≤ 𝐴) → (⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥) = ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥)
61	60	oveq1d 7290	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ≤ 𝐴) → ((⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥) = (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥))
62	45, 61	eqtr3d 2780	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ≤ 𝐴) → ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥))
63	13, 19, 44, 62	lecasei 11081	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥))
64	7	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
65	18	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
66		biid 260	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐶) ↔ (𝐵 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐶))
67	2, 3, 8, 1, 14, 22, 23, 66	ditgsplitlem 25024	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 ≤ 𝐶) → ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐵 → 𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥))
68	67	oveq2d 7291	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 ≤ 𝐶) → (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥) = (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐵 → 𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥)))
69	2, 3, 1, 8, 22, 23	ditgswap 25023	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ⨜[𝐵 → 𝐴]𝐷 d𝑥 = -⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥)
70	69	oveq2d 7291	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐴]𝐷 d𝑥) = (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + -⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥))
71	55	negidd 11322	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + -⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥) = 0)
72	70, 71	eqtrd 2778	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐴]𝐷 d𝑥) = 0)
73	72	oveq1d 7290	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐴]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥) = (0 + ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥))
74	2, 3, 8, 1, 22, 23	ditgcl 25022	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ⨜[𝐵 → 𝐴]𝐷 d𝑥 ∈ ℂ)
75	55, 74, 30	addassd 10997	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐴]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥) = (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐵 → 𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥)))
76	30	addid2d 11176	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0 + ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥) = ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥)
77	73, 75, 76	3eqtr3d 2786	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐵 → 𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥)) = ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥)
78	77	ad2antrr 723	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 ≤ 𝐶) → (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐵 → 𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥)) = ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥)
79	68, 78	eqtr2d 2779	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 ≤ 𝐶) → ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥))
80	12	ad2antrr 723	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐶 ≤ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
81	18	ad2antrr 723	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐶 ≤ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
82		ancom 461	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) ↔ (𝐵 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐴))
83	2, 3, 8, 14, 1, 22, 23, 82	ditgsplitlem 25024	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → ⨜[𝐵 → 𝐴]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥))
84	83	oveq1d 7290	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → (⨜[𝐵 → 𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥) = ((⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥))
85	32, 54, 30	addassd 10997	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥) = (⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥)))
86	2, 3, 14, 1, 22, 23	ditgswap 25023	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 = -⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥)
87	86	oveq2d 7291	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥) = (⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥 + -⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥))
88	54	negidd 11322	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥 + -⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥) = 0)
89	87, 88	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥) = 0)
90	89	oveq2d 7291	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥)) = (⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + 0))
91	32	addid1d 11175	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + 0) = ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥)
92	85, 90, 91	3eqtrd 2782	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥) = ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥)
93	92	ad2antrr 723	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → ((⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥) = ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥)
94	84, 93	eqtr2d 2779	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐵 → 𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥))
95	94	oveq2d 7291	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥) = (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐵 → 𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥)))
96	77	ad2antrr 723	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐵 → 𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥)) = ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥)
97	95, 96	eqtr2d 2779	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥))
98	97	adantllr 716	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐶 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥))
99		ancom 461	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ≤ 𝐴 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) ↔ (𝐶 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴))
100	2, 3, 14, 8, 1, 22, 23, 99	ditgsplitlem 25024	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) → ⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐴]𝐷 d𝑥))
101	100	oveq1d 7290	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) → (⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥) = ((⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐴]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥))
102	31, 74, 55	addassd 10997	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐴]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥) = (⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐵 → 𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥)))
103	2, 3, 8, 1, 22, 23	ditgswap 25023	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 = -⨜[𝐵 → 𝐴]𝐷 d𝑥)
104	103	oveq2d 7291	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (⨜[𝐵 → 𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥) = (⨜[𝐵 → 𝐴]𝐷 d𝑥 + -⨜[𝐵 → 𝐴]𝐷 d𝑥))
105	74	negidd 11322	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (⨜[𝐵 → 𝐴]𝐷 d𝑥 + -⨜[𝐵 → 𝐴]𝐷 d𝑥) = 0)
106	104, 105	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (⨜[𝐵 → 𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥) = 0)
107	106	oveq2d 7291	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐵 → 𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥)) = (⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + 0))
108	31	addid1d 11175	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + 0) = ⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥)
109	102, 107, 108	3eqtrd 2782	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐴]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥) = ⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥)
110	109	ad2antrr 723	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) → ((⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐴]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥) = ⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥)
111	101, 110	eqtr2d 2779	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) → ⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥))
112	111	oveq2d 7291	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) → (⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥) = (⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥)))
113	58	ad2antrr 723	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) → (⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥)) = ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥)
114	112, 113	eqtr2d 2779	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) → ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥))
115	114	oveq1d 7290	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) → (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥) = ((⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥))
116	40	ad2antrr 723	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) → ((⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥) = ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥)
117	115, 116	eqtr2d 2779	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) → ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥))
118	117	adantlr 712	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐶 ≤ 𝐴) ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) → ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥))
119	80, 81, 98, 118	lecasei 11081	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐶 ≤ 𝐴) → ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥))
120	64, 65, 79, 119	lecasei 11081	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥))
121	7, 12, 63, 120	lecasei 11081	1 ⊢ (𝜑 → ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 396 ∧ w3a 1086 = wceq 1539 ∈ wcel 2106 class class class wbr 5074 ↦ cmpt 5157 (class class class)co 7275 ℝcr 10870 0cc0 10871 + caddc 10874 ≤ cle 11010 -cneg 11206 (,)cioo 13079 [,]cicc 13082 𝐿¹cibl 24781 ⨜cdit 25010

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1913 ax-6 1971 ax-7 2011 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2137 ax-11 2154 ax-12 2171 ax-ext 2709 ax-rep 5209 ax-sep 5223 ax-nul 5230 ax-pow 5288 ax-pr 5352 ax-un 7588 ax-inf2 9399 ax-cnex 10927 ax-resscn 10928 ax-1cn 10929 ax-icn 10930 ax-addcl 10931 ax-addrcl 10932 ax-mulcl 10933 ax-mulrcl 10934 ax-mulcom 10935 ax-addass 10936 ax-mulass 10937 ax-distr 10938 ax-i2m1 10939 ax-1ne0 10940 ax-1rid 10941 ax-rnegex 10942 ax-rrecex 10943 ax-cnre 10944 ax-pre-lttri 10945 ax-pre-lttrn 10946 ax-pre-ltadd 10947 ax-pre-mulgt0 10948 ax-pre-sup 10949 ax-addf 10950

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 845 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1542 df-fal 1552 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2068 df-mo 2540 df-eu 2569 df-clab 2716 df-cleq 2730 df-clel 2816 df-nfc 2889 df-ne 2944 df-nel 3050 df-ral 3069 df-rex 3070 df-rmo 3071 df-reu 3072 df-rab 3073 df-v 3434 df-sbc 3717 df-csb 3833 df-dif 3890 df-un 3892 df-in 3894 df-ss 3904 df-pss 3906 df-symdif 4176 df-nul 4257 df-if 4460 df-pw 4535 df-sn 4562 df-pr 4564 df-op 4568 df-uni 4840 df-int 4880 df-iun 4926 df-disj 5040 df-br 5075 df-opab 5137 df-mpt 5158 df-tr 5192 df-id 5489 df-eprel 5495 df-po 5503 df-so 5504 df-fr 5544 df-se 5545 df-we 5546 df-xp 5595 df-rel 5596 df-cnv 5597 df-co 5598 df-dm 5599 df-rn 5600 df-res 5601 df-ima 5602 df-pred 6202 df-ord 6269 df-on 6270 df-lim 6271 df-suc 6272 df-iota 6391 df-fun 6435 df-fn 6436 df-f 6437 df-f1 6438 df-fo 6439 df-f1o 6440 df-fv 6441 df-isom 6442 df-riota 7232 df-ov 7278 df-oprab 7279 df-mpo 7280 df-of 7533 df-ofr 7534 df-om 7713 df-1st 7831 df-2nd 7832 df-frecs 8097 df-wrecs 8128 df-recs 8202 df-rdg 8241 df-1o 8297 df-2o 8298 df-er 8498 df-map 8617 df-pm 8618 df-en 8734 df-dom 8735 df-sdom 8736 df-fin 8737 df-fi 9170 df-sup 9201 df-inf 9202 df-oi 9269 df-dju 9659 df-card 9697 df-pnf 11011 df-mnf 11012 df-xr 11013 df-ltxr 11014 df-le 11015 df-sub 11207 df-neg 11208 df-div 11633 df-nn 11974 df-2 12036 df-3 12037 df-4 12038 df-n0 12234 df-z 12320 df-uz 12583 df-q 12689 df-rp 12731 df-xneg 12848 df-xadd 12849 df-xmul 12850 df-ioo 13083 df-ico 13085 df-icc 13086 df-fz 13240 df-fzo 13383 df-fl 13512 df-mod 13590 df-seq 13722 df-exp 13783 df-hash 14045 df-cj 14810 df-re 14811 df-im 14812 df-sqrt 14946 df-abs 14947 df-clim 15197 df-rlim 15198 df-sum 15398 df-rest 17133 df-topgen 17154 df-psmet 20589 df-xmet 20590 df-met 20591 df-bl 20592 df-mopn 20593 df-top 22043 df-topon 22060 df-bases 22096 df-cmp 22538 df-ovol 24628 df-vol 24629 df-mbf 24783 df-itg1 24784 df-itg2 24785 df-ibl 24786 df-itg 24787 df-0p 24834 df-ditg 25011

This theorem is referenced by: itgsubstlem 25212

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