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Theorem ditgsplit 25873
Description: This theorem is the raison d'être for the directed integral, because unlike itgspliticc 25849, there is no constraint on the ordering of the points 𝐴, 𝐵, 𝐶 in the domain. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ditgsplit.x (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
ditgsplit.y (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
ditgsplit.a (𝜑𝐴 ∈ (𝑋[,]𝑌))
ditgsplit.b (𝜑𝐵 ∈ (𝑋[,]𝑌))
ditgsplit.c (𝜑𝐶 ∈ (𝑋[,]𝑌))
ditgsplit.d ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝐷𝑉)
ditgsplit.i (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1)
Assertion
Ref Expression
ditgsplit (𝜑 → ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌
Allowed substitution hint:   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem ditgsplit
StepHypRef Expression
1 ditgsplit.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ (𝑋[,]𝑌))
2 ditgsplit.x . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
3 ditgsplit.y . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
4 elicc2 13438 . . . . 5 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝐴𝐴𝑌)))
52, 3, 4syl2anc 582 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝐴𝐴𝑌)))
61, 5mpbid 231 . . 3 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝐴𝐴𝑌))
76simp1d 1139 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
8 ditgsplit.b . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ (𝑋[,]𝑌))
9 elicc2 13438 . . . . 5 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝐵 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝐵𝐵𝑌)))
102, 3, 9syl2anc 582 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝐵𝐵𝑌)))
118, 10mpbid 231 . . 3 (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝐵𝐵𝑌))
1211simp1d 1139 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
137adantr 479 . . 3 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
14 ditgsplit.c . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ (𝑋[,]𝑌))
15 elicc2 13438 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝐶𝐶𝑌)))
162, 3, 15syl2anc 582 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝐶𝐶𝑌)))
1714, 16mpbid 231 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝐶𝐶𝑌))
1817simp1d 1139 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
1918adantr 479 . . 3 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ)
2012ad2antrr 724 . . . 4 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝐴𝐶) → 𝐵 ∈ ℝ)
2118ad2antrr 724 . . . 4 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝐴𝐶) → 𝐶 ∈ ℝ)
22 ditgsplit.d . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝐷𝑉)
23 ditgsplit.i . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1)
24 biid 260 . . . . . 6 ((𝐴𝐵𝐵𝐶) ↔ (𝐴𝐵𝐵𝐶))
252, 3, 1, 8, 14, 22, 23, 24ditgsplitlem 25872 . . . . 5 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝐵𝐶) → ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥))
2625adantlr 713 . . . 4 ((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝐵𝐶) → ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥))
27 biid 260 . . . . . . . 8 ((𝐴𝐶𝐶𝐵) ↔ (𝐴𝐶𝐶𝐵))
282, 3, 1, 14, 8, 22, 23, 27ditgsplitlem 25872 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴𝐶) ∧ 𝐶𝐵) → ⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥))
2928oveq1d 7438 . . . . . 6 (((𝜑𝐴𝐶) ∧ 𝐶𝐵) → (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥) = ((⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥))
302, 3, 1, 14, 22, 23ditgcl 25870 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 ∈ ℂ)
312, 3, 14, 8, 22, 23ditgcl 25870 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥 ∈ ℂ)
322, 3, 8, 14, 22, 23ditgcl 25870 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥 ∈ ℂ)
3330, 31, 32addassd 11282 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥) = (⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥)))
342, 3, 14, 8, 22, 23ditgswap 25871 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥 = -⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥)
3534oveq2d 7439 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥) = (⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥 + -⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥))
3631negidd 11607 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥 + -⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥) = 0)
3735, 36eqtrd 2765 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥) = 0)
3837oveq2d 7439 . . . . . . . 8 (𝜑 → (⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥)) = (⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 + 0))
3930addridd 11460 . . . . . . . 8 (𝜑 → (⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 + 0) = ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥)
4033, 38, 393eqtrd 2769 . . . . . . 7 (𝜑 → ((⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥) = ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥)
4140ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝜑𝐴𝐶) ∧ 𝐶𝐵) → ((⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥) = ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥)
4229, 41eqtr2d 2766 . . . . 5 (((𝜑𝐴𝐶) ∧ 𝐶𝐵) → ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥))
4342adantllr 717 . . . 4 ((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝐶𝐵) → ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥))
4420, 21, 26, 43lecasei 11366 . . 3 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝐴𝐶) → ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥))
4540ad2antrr 724 . . . 4 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝐶𝐴) → ((⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥) = ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥)
46 ancom 459 . . . . . . . 8 ((𝐴𝐵𝐶𝐴) ↔ (𝐶𝐴𝐴𝐵))
472, 3, 14, 1, 8, 22, 23, 46ditgsplitlem 25872 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝐶𝐴) → ⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐶𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥))
4847oveq2d 7439 . . . . . 6 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝐶𝐴) → (⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥) = (⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐶𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥)))
492, 3, 1, 14, 22, 23ditgswap 25871 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ⨜[𝐶𝐴]𝐷 d𝑥 = -⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥)
5049oveq2d 7439 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶𝐴]𝐷 d𝑥) = (⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 + -⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥))
5130negidd 11607 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 + -⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥) = 0)
5250, 51eqtrd 2765 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶𝐴]𝐷 d𝑥) = 0)
5352oveq1d 7438 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶𝐴]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥) = (0 + ⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥))
542, 3, 14, 1, 22, 23ditgcl 25870 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ⨜[𝐶𝐴]𝐷 d𝑥 ∈ ℂ)
552, 3, 1, 8, 22, 23ditgcl 25870 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 ∈ ℂ)
5630, 54, 55addassd 11282 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶𝐴]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥) = (⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐶𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥)))
5755addlidd 11461 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0 + ⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥) = ⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥)
5853, 56, 573eqtr3d 2773 . . . . . . 7 (𝜑 → (⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐶𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥)) = ⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥)
5958ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝐶𝐴) → (⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐶𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥)) = ⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥)
6048, 59eqtrd 2765 . . . . 5 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝐶𝐴) → (⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥) = ⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥)
6160oveq1d 7438 . . . 4 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝐶𝐴) → ((⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥) = (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥))
6245, 61eqtr3d 2767 . . 3 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝐶𝐴) → ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥))
6313, 19, 44, 62lecasei 11366 . 2 ((𝜑𝐴𝐵) → ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥))
647adantr 479 . . 3 ((𝜑𝐵𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
6518adantr 479 . . 3 ((𝜑𝐵𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
66 biid 260 . . . . . 6 ((𝐵𝐴𝐴𝐶) ↔ (𝐵𝐴𝐴𝐶))
672, 3, 8, 1, 14, 22, 23, 66ditgsplitlem 25872 . . . . 5 (((𝜑𝐵𝐴) ∧ 𝐴𝐶) → ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐵𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥))
6867oveq2d 7439 . . . 4 (((𝜑𝐵𝐴) ∧ 𝐴𝐶) → (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥) = (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐵𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥)))
692, 3, 1, 8, 22, 23ditgswap 25871 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ⨜[𝐵𝐴]𝐷 d𝑥 = -⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥)
7069oveq2d 7439 . . . . . . . 8 (𝜑 → (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐴]𝐷 d𝑥) = (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + -⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥))
7155negidd 11607 . . . . . . . 8 (𝜑 → (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + -⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥) = 0)
7270, 71eqtrd 2765 . . . . . . 7 (𝜑 → (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐴]𝐷 d𝑥) = 0)
7372oveq1d 7438 . . . . . 6 (𝜑 → ((⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐴]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥) = (0 + ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥))
742, 3, 8, 1, 22, 23ditgcl 25870 . . . . . . 7 (𝜑 → ⨜[𝐵𝐴]𝐷 d𝑥 ∈ ℂ)
7555, 74, 30addassd 11282 . . . . . 6 (𝜑 → ((⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐴]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥) = (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐵𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥)))
7630addlidd 11461 . . . . . 6 (𝜑 → (0 + ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥) = ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥)
7773, 75, 763eqtr3d 2773 . . . . 5 (𝜑 → (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐵𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥)) = ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥)
7877ad2antrr 724 . . . 4 (((𝜑𝐵𝐴) ∧ 𝐴𝐶) → (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐵𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥)) = ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥)
7968, 78eqtr2d 2766 . . 3 (((𝜑𝐵𝐴) ∧ 𝐴𝐶) → ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥))
8012ad2antrr 724 . . . 4 (((𝜑𝐵𝐴) ∧ 𝐶𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
8118ad2antrr 724 . . . 4 (((𝜑𝐵𝐴) ∧ 𝐶𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
82 ancom 459 . . . . . . . . . 10 ((𝐶𝐴𝐵𝐶) ↔ (𝐵𝐶𝐶𝐴))
832, 3, 8, 14, 1, 22, 23, 82ditgsplitlem 25872 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐶𝐴) ∧ 𝐵𝐶) → ⨜[𝐵𝐴]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶𝐴]𝐷 d𝑥))
8483oveq1d 7438 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐶𝐴) ∧ 𝐵𝐶) → (⨜[𝐵𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥) = ((⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶𝐴]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥))
8532, 54, 30addassd 11282 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶𝐴]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥) = (⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐶𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥)))
862, 3, 14, 1, 22, 23ditgswap 25871 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 = -⨜[𝐶𝐴]𝐷 d𝑥)
8786oveq2d 7439 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (⨜[𝐶𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥) = (⨜[𝐶𝐴]𝐷 d𝑥 + -⨜[𝐶𝐴]𝐷 d𝑥))
8854negidd 11607 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (⨜[𝐶𝐴]𝐷 d𝑥 + -⨜[𝐶𝐴]𝐷 d𝑥) = 0)
8987, 88eqtrd 2765 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (⨜[𝐶𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥) = 0)
9089oveq2d 7439 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐶𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥)) = (⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥 + 0))
9132addridd 11460 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥 + 0) = ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥)
9285, 90, 913eqtrd 2769 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶𝐴]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥) = ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥)
9392ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐶𝐴) ∧ 𝐵𝐶) → ((⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶𝐴]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥) = ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥)
9484, 93eqtr2d 2766 . . . . . . 7 (((𝜑𝐶𝐴) ∧ 𝐵𝐶) → ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐵𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥))
9594oveq2d 7439 . . . . . 6 (((𝜑𝐶𝐴) ∧ 𝐵𝐶) → (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥) = (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐵𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥)))
9677ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝜑𝐶𝐴) ∧ 𝐵𝐶) → (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐵𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥)) = ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥)
9795, 96eqtr2d 2766 . . . . 5 (((𝜑𝐶𝐴) ∧ 𝐵𝐶) → ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥))
9897adantllr 717 . . . 4 ((((𝜑𝐵𝐴) ∧ 𝐶𝐴) ∧ 𝐵𝐶) → ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥))
99 ancom 459 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵𝐴𝐶𝐵) ↔ (𝐶𝐵𝐵𝐴))
1002, 3, 14, 8, 1, 22, 23, 99ditgsplitlem 25872 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐵𝐴) ∧ 𝐶𝐵) → ⨜[𝐶𝐴]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐴]𝐷 d𝑥))
101100oveq1d 7438 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐵𝐴) ∧ 𝐶𝐵) → (⨜[𝐶𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥) = ((⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐴]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥))
10231, 74, 55addassd 11282 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐴]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥) = (⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐵𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥)))
1032, 3, 8, 1, 22, 23ditgswap 25871 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 = -⨜[𝐵𝐴]𝐷 d𝑥)
104103oveq2d 7439 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (⨜[𝐵𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥) = (⨜[𝐵𝐴]𝐷 d𝑥 + -⨜[𝐵𝐴]𝐷 d𝑥))
10574negidd 11607 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (⨜[𝐵𝐴]𝐷 d𝑥 + -⨜[𝐵𝐴]𝐷 d𝑥) = 0)
106104, 105eqtrd 2765 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (⨜[𝐵𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥) = 0)
107106oveq2d 7439 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐵𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥)) = (⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥 + 0))
10831addridd 11460 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥 + 0) = ⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥)
109102, 107, 1083eqtrd 2769 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐴]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥) = ⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥)
110109ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐵𝐴) ∧ 𝐶𝐵) → ((⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐴]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥) = ⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥)
111101, 110eqtr2d 2766 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐵𝐴) ∧ 𝐶𝐵) → ⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐶𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥))
112111oveq2d 7439 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐵𝐴) ∧ 𝐶𝐵) → (⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥) = (⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐶𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥)))
11358ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐵𝐴) ∧ 𝐶𝐵) → (⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐶𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥)) = ⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥)
114112, 113eqtr2d 2766 . . . . . . 7 (((𝜑𝐵𝐴) ∧ 𝐶𝐵) → ⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥))
115114oveq1d 7438 . . . . . 6 (((𝜑𝐵𝐴) ∧ 𝐶𝐵) → (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥) = ((⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥))
11640ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝜑𝐵𝐴) ∧ 𝐶𝐵) → ((⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥) = ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥)
117115, 116eqtr2d 2766 . . . . 5 (((𝜑𝐵𝐴) ∧ 𝐶𝐵) → ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥))
118117adantlr 713 . . . 4 ((((𝜑𝐵𝐴) ∧ 𝐶𝐴) ∧ 𝐶𝐵) → ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥))
11980, 81, 98, 118lecasei 11366 . . 3 (((𝜑𝐵𝐴) ∧ 𝐶𝐴) → ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥))
12064, 65, 79, 119lecasei 11366 . 2 ((𝜑𝐵𝐴) → ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥))
1217, 12, 63, 120lecasei 11366 1 (𝜑 → ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098   class class class wbr 5152  cmpt 5235  (class class class)co 7423  cr 11153  0cc0 11154   + caddc 11157  cle 11295  -cneg 11491  (,)cioo 13373  [,]cicc 13376  𝐿1cibl 25629  cdit 25858
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5368  ax-pr 5432  ax-un 7745  ax-inf2 9680  ax-cnex 11210  ax-resscn 11211  ax-1cn 11212  ax-icn 11213  ax-addcl 11214  ax-addrcl 11215  ax-mulcl 11216  ax-mulrcl 11217  ax-mulcom 11218  ax-addass 11219  ax-mulass 11220  ax-distr 11221  ax-i2m1 11222  ax-1ne0 11223  ax-1rid 11224  ax-rnegex 11225  ax-rrecex 11226  ax-cnre 11227  ax-pre-lttri 11228  ax-pre-lttrn 11229  ax-pre-ltadd 11230  ax-pre-mulgt0 11231  ax-pre-sup 11232  ax-addf 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-symdif 4243  df-nul 4325  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-disj 5118  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5579  df-eprel 5585  df-po 5593  df-so 5594  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5687  df-rel 5688  df-cnv 5689  df-co 5690  df-dm 5691  df-rn 5692  df-res 5693  df-ima 5694  df-pred 6311  df-ord 6378  df-on 6379  df-lim 6380  df-suc 6381  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7379  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-of 7689  df-ofr 7690  df-om 7876  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-2o 8496  df-er 8733  df-map 8856  df-pm 8857  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-fi 9450  df-sup 9481  df-inf 9482  df-oi 9549  df-dju 9940  df-card 9978  df-pnf 11296  df-mnf 11297  df-xr 11298  df-ltxr 11299  df-le 11300  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11918  df-nn 12260  df-2 12322  df-3 12323  df-4 12324  df-n0 12520  df-z 12606  df-uz 12870  df-q 12980  df-rp 13024  df-xneg 13141  df-xadd 13142  df-xmul 13143  df-ioo 13377  df-ico 13379  df-icc 13380  df-fz 13534  df-fzo 13677  df-fl 13807  df-mod 13885  df-seq 14017  df-exp 14077  df-hash 14343  df-cj 15099  df-re 15100  df-im 15101  df-sqrt 15235  df-abs 15236  df-clim 15485  df-rlim 15486  df-sum 15686  df-rest 17432  df-topgen 17453  df-psmet 21327  df-xmet 21328  df-met 21329  df-bl 21330  df-mopn 21331  df-top 22879  df-topon 22896  df-bases 22932  df-cmp 23374  df-ovol 25476  df-vol 25477  df-mbf 25631  df-itg1 25632  df-itg2 25633  df-ibl 25634  df-itg 25635  df-0p 25682  df-ditg 25859
This theorem is referenced by:  itgsubstlem  26066
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