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Theorem ditgsplit 24377
Description: This theorem is the raison d'être for the directed integral, because unlike itgspliticc 24355, there is no constraint on the ordering of the points 𝐴, 𝐵, 𝐶 in the domain. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ditgsplit.x (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
ditgsplit.y (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
ditgsplit.a (𝜑𝐴 ∈ (𝑋[,]𝑌))
ditgsplit.b (𝜑𝐵 ∈ (𝑋[,]𝑌))
ditgsplit.c (𝜑𝐶 ∈ (𝑋[,]𝑌))
ditgsplit.d ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝐷𝑉)
ditgsplit.i (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1)
Assertion
Ref Expression
ditgsplit (𝜑 → ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌
Allowed substitution hint:   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem ditgsplit
StepHypRef Expression
1 ditgsplit.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ (𝑋[,]𝑌))
2 ditgsplit.x . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
3 ditgsplit.y . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
4 elicc2 12791 . . . . 5 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝐴𝐴𝑌)))
52, 3, 4syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝐴𝐴𝑌)))
61, 5mpbid 233 . . 3 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝐴𝐴𝑌))
76simp1d 1136 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
8 ditgsplit.b . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ (𝑋[,]𝑌))
9 elicc2 12791 . . . . 5 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝐵 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝐵𝐵𝑌)))
102, 3, 9syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝐵𝐵𝑌)))
118, 10mpbid 233 . . 3 (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝐵𝐵𝑌))
1211simp1d 1136 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
137adantr 481 . . 3 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
14 ditgsplit.c . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ (𝑋[,]𝑌))
15 elicc2 12791 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝐶𝐶𝑌)))
162, 3, 15syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝐶𝐶𝑌)))
1714, 16mpbid 233 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝐶𝐶𝑌))
1817simp1d 1136 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
1918adantr 481 . . 3 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ)
2012ad2antrr 722 . . . 4 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝐴𝐶) → 𝐵 ∈ ℝ)
2118ad2antrr 722 . . . 4 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝐴𝐶) → 𝐶 ∈ ℝ)
22 ditgsplit.d . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝐷𝑉)
23 ditgsplit.i . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1)
24 biid 262 . . . . . 6 ((𝐴𝐵𝐵𝐶) ↔ (𝐴𝐵𝐵𝐶))
252, 3, 1, 8, 14, 22, 23, 24ditgsplitlem 24376 . . . . 5 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝐵𝐶) → ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥))
2625adantlr 711 . . . 4 ((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝐵𝐶) → ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥))
27 biid 262 . . . . . . . 8 ((𝐴𝐶𝐶𝐵) ↔ (𝐴𝐶𝐶𝐵))
282, 3, 1, 14, 8, 22, 23, 27ditgsplitlem 24376 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴𝐶) ∧ 𝐶𝐵) → ⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥))
2928oveq1d 7163 . . . . . 6 (((𝜑𝐴𝐶) ∧ 𝐶𝐵) → (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥) = ((⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥))
302, 3, 1, 14, 22, 23ditgcl 24374 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 ∈ ℂ)
312, 3, 14, 8, 22, 23ditgcl 24374 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥 ∈ ℂ)
322, 3, 8, 14, 22, 23ditgcl 24374 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥 ∈ ℂ)
3330, 31, 32addassd 10652 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥) = (⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥)))
342, 3, 14, 8, 22, 23ditgswap 24375 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥 = -⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥)
3534oveq2d 7164 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥) = (⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥 + -⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥))
3631negidd 10976 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥 + -⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥) = 0)
3735, 36eqtrd 2861 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥) = 0)
3837oveq2d 7164 . . . . . . . 8 (𝜑 → (⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥)) = (⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 + 0))
3930addid1d 10829 . . . . . . . 8 (𝜑 → (⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 + 0) = ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥)
4033, 38, 393eqtrd 2865 . . . . . . 7 (𝜑 → ((⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥) = ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥)
4140ad2antrr 722 . . . . . 6 (((𝜑𝐴𝐶) ∧ 𝐶𝐵) → ((⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥) = ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥)
4229, 41eqtr2d 2862 . . . . 5 (((𝜑𝐴𝐶) ∧ 𝐶𝐵) → ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥))
4342adantllr 715 . . . 4 ((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝐶𝐵) → ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥))
4420, 21, 26, 43lecasei 10735 . . 3 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝐴𝐶) → ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥))
4540ad2antrr 722 . . . 4 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝐶𝐴) → ((⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥) = ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥)
46 ancom 461 . . . . . . . 8 ((𝐴𝐵𝐶𝐴) ↔ (𝐶𝐴𝐴𝐵))
472, 3, 14, 1, 8, 22, 23, 46ditgsplitlem 24376 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝐶𝐴) → ⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐶𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥))
4847oveq2d 7164 . . . . . 6 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝐶𝐴) → (⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥) = (⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐶𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥)))
492, 3, 1, 14, 22, 23ditgswap 24375 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ⨜[𝐶𝐴]𝐷 d𝑥 = -⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥)
5049oveq2d 7164 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶𝐴]𝐷 d𝑥) = (⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 + -⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥))
5130negidd 10976 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 + -⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥) = 0)
5250, 51eqtrd 2861 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶𝐴]𝐷 d𝑥) = 0)
5352oveq1d 7163 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶𝐴]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥) = (0 + ⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥))
542, 3, 14, 1, 22, 23ditgcl 24374 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ⨜[𝐶𝐴]𝐷 d𝑥 ∈ ℂ)
552, 3, 1, 8, 22, 23ditgcl 24374 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 ∈ ℂ)
5630, 54, 55addassd 10652 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶𝐴]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥) = (⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐶𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥)))
5755addid2d 10830 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0 + ⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥) = ⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥)
5853, 56, 573eqtr3d 2869 . . . . . . 7 (𝜑 → (⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐶𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥)) = ⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥)
5958ad2antrr 722 . . . . . 6 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝐶𝐴) → (⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐶𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥)) = ⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥)
6048, 59eqtrd 2861 . . . . 5 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝐶𝐴) → (⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥) = ⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥)
6160oveq1d 7163 . . . 4 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝐶𝐴) → ((⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥) = (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥))
6245, 61eqtr3d 2863 . . 3 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝐶𝐴) → ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥))
6313, 19, 44, 62lecasei 10735 . 2 ((𝜑𝐴𝐵) → ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥))
647adantr 481 . . 3 ((𝜑𝐵𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
6518adantr 481 . . 3 ((𝜑𝐵𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
66 biid 262 . . . . . 6 ((𝐵𝐴𝐴𝐶) ↔ (𝐵𝐴𝐴𝐶))
672, 3, 8, 1, 14, 22, 23, 66ditgsplitlem 24376 . . . . 5 (((𝜑𝐵𝐴) ∧ 𝐴𝐶) → ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐵𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥))
6867oveq2d 7164 . . . 4 (((𝜑𝐵𝐴) ∧ 𝐴𝐶) → (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥) = (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐵𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥)))
692, 3, 1, 8, 22, 23ditgswap 24375 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ⨜[𝐵𝐴]𝐷 d𝑥 = -⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥)
7069oveq2d 7164 . . . . . . . 8 (𝜑 → (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐴]𝐷 d𝑥) = (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + -⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥))
7155negidd 10976 . . . . . . . 8 (𝜑 → (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + -⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥) = 0)
7270, 71eqtrd 2861 . . . . . . 7 (𝜑 → (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐴]𝐷 d𝑥) = 0)
7372oveq1d 7163 . . . . . 6 (𝜑 → ((⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐴]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥) = (0 + ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥))
742, 3, 8, 1, 22, 23ditgcl 24374 . . . . . . 7 (𝜑 → ⨜[𝐵𝐴]𝐷 d𝑥 ∈ ℂ)
7555, 74, 30addassd 10652 . . . . . 6 (𝜑 → ((⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐴]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥) = (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐵𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥)))
7630addid2d 10830 . . . . . 6 (𝜑 → (0 + ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥) = ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥)
7773, 75, 763eqtr3d 2869 . . . . 5 (𝜑 → (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐵𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥)) = ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥)
7877ad2antrr 722 . . . 4 (((𝜑𝐵𝐴) ∧ 𝐴𝐶) → (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐵𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥)) = ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥)
7968, 78eqtr2d 2862 . . 3 (((𝜑𝐵𝐴) ∧ 𝐴𝐶) → ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥))
8012ad2antrr 722 . . . 4 (((𝜑𝐵𝐴) ∧ 𝐶𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
8118ad2antrr 722 . . . 4 (((𝜑𝐵𝐴) ∧ 𝐶𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
82 ancom 461 . . . . . . . . . 10 ((𝐶𝐴𝐵𝐶) ↔ (𝐵𝐶𝐶𝐴))
832, 3, 8, 14, 1, 22, 23, 82ditgsplitlem 24376 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐶𝐴) ∧ 𝐵𝐶) → ⨜[𝐵𝐴]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶𝐴]𝐷 d𝑥))
8483oveq1d 7163 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐶𝐴) ∧ 𝐵𝐶) → (⨜[𝐵𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥) = ((⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶𝐴]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥))
8532, 54, 30addassd 10652 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶𝐴]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥) = (⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐶𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥)))
862, 3, 14, 1, 22, 23ditgswap 24375 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 = -⨜[𝐶𝐴]𝐷 d𝑥)
8786oveq2d 7164 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (⨜[𝐶𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥) = (⨜[𝐶𝐴]𝐷 d𝑥 + -⨜[𝐶𝐴]𝐷 d𝑥))
8854negidd 10976 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (⨜[𝐶𝐴]𝐷 d𝑥 + -⨜[𝐶𝐴]𝐷 d𝑥) = 0)
8987, 88eqtrd 2861 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (⨜[𝐶𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥) = 0)
9089oveq2d 7164 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐶𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥)) = (⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥 + 0))
9132addid1d 10829 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥 + 0) = ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥)
9285, 90, 913eqtrd 2865 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶𝐴]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥) = ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥)
9392ad2antrr 722 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐶𝐴) ∧ 𝐵𝐶) → ((⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶𝐴]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥) = ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥)
9484, 93eqtr2d 2862 . . . . . . 7 (((𝜑𝐶𝐴) ∧ 𝐵𝐶) → ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐵𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥))
9594oveq2d 7164 . . . . . 6 (((𝜑𝐶𝐴) ∧ 𝐵𝐶) → (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥) = (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐵𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥)))
9677ad2antrr 722 . . . . . 6 (((𝜑𝐶𝐴) ∧ 𝐵𝐶) → (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐵𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥)) = ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥)
9795, 96eqtr2d 2862 . . . . 5 (((𝜑𝐶𝐴) ∧ 𝐵𝐶) → ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥))
9897adantllr 715 . . . 4 ((((𝜑𝐵𝐴) ∧ 𝐶𝐴) ∧ 𝐵𝐶) → ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥))
99 ancom 461 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵𝐴𝐶𝐵) ↔ (𝐶𝐵𝐵𝐴))
1002, 3, 14, 8, 1, 22, 23, 99ditgsplitlem 24376 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐵𝐴) ∧ 𝐶𝐵) → ⨜[𝐶𝐴]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐴]𝐷 d𝑥))
101100oveq1d 7163 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐵𝐴) ∧ 𝐶𝐵) → (⨜[𝐶𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥) = ((⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐴]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥))
10231, 74, 55addassd 10652 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐴]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥) = (⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐵𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥)))
1032, 3, 8, 1, 22, 23ditgswap 24375 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 = -⨜[𝐵𝐴]𝐷 d𝑥)
104103oveq2d 7164 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (⨜[𝐵𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥) = (⨜[𝐵𝐴]𝐷 d𝑥 + -⨜[𝐵𝐴]𝐷 d𝑥))
10574negidd 10976 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (⨜[𝐵𝐴]𝐷 d𝑥 + -⨜[𝐵𝐴]𝐷 d𝑥) = 0)
106104, 105eqtrd 2861 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (⨜[𝐵𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥) = 0)
107106oveq2d 7164 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐵𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥)) = (⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥 + 0))
10831addid1d 10829 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥 + 0) = ⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥)
109102, 107, 1083eqtrd 2865 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐴]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥) = ⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥)
110109ad2antrr 722 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐵𝐴) ∧ 𝐶𝐵) → ((⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐴]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥) = ⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥)
111101, 110eqtr2d 2862 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐵𝐴) ∧ 𝐶𝐵) → ⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐶𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥))
112111oveq2d 7164 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐵𝐴) ∧ 𝐶𝐵) → (⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥) = (⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐶𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥)))
11358ad2antrr 722 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐵𝐴) ∧ 𝐶𝐵) → (⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐶𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥)) = ⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥)
114112, 113eqtr2d 2862 . . . . . . 7 (((𝜑𝐵𝐴) ∧ 𝐶𝐵) → ⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥))
115114oveq1d 7163 . . . . . 6 (((𝜑𝐵𝐴) ∧ 𝐶𝐵) → (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥) = ((⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥))
11640ad2antrr 722 . . . . . 6 (((𝜑𝐵𝐴) ∧ 𝐶𝐵) → ((⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥) = ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥)
117115, 116eqtr2d 2862 . . . . 5 (((𝜑𝐵𝐴) ∧ 𝐶𝐵) → ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥))
118117adantlr 711 . . . 4 ((((𝜑𝐵𝐴) ∧ 𝐶𝐴) ∧ 𝐶𝐵) → ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥))
11980, 81, 98, 118lecasei 10735 . . 3 (((𝜑𝐵𝐴) ∧ 𝐶𝐴) → ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥))
12064, 65, 79, 119lecasei 10735 . 2 ((𝜑𝐵𝐴) → ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥))
1217, 12, 63, 120lecasei 10735 1 (𝜑 → ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107   class class class wbr 5063  cmpt 5143  (class class class)co 7148  cr 10525  0cc0 10526   + caddc 10529  cle 10665  -cneg 10860  (,)cioo 12728  [,]cicc 12731  𝐿1cibl 24136  cdit 24362
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-inf2 9093  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-symdif 4223  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-disj 5029  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6146  df-ord 6192  df-on 6193  df-lim 6194  df-suc 6195  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-isom 6361  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-of 7399  df-ofr 7400  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-1o 8093  df-2o 8094  df-oadd 8097  df-er 8279  df-map 8398  df-pm 8399  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-fin 8502  df-fi 8864  df-sup 8895  df-inf 8896  df-oi 8963  df-dju 9319  df-card 9357  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11628  df-2 11689  df-3 11690  df-4 11691  df-n0 11887  df-z 11971  df-uz 12233  df-q 12338  df-rp 12380  df-xneg 12497  df-xadd 12498  df-xmul 12499  df-ioo 12732  df-ico 12734  df-icc 12735  df-fz 12883  df-fzo 13024  df-fl 13152  df-mod 13228  df-seq 13360  df-exp 13420  df-hash 13681  df-cj 14448  df-re 14449  df-im 14450  df-sqrt 14584  df-abs 14585  df-clim 14835  df-rlim 14836  df-sum 15033  df-rest 16686  df-topgen 16707  df-psmet 20456  df-xmet 20457  df-met 20458  df-bl 20459  df-mopn 20460  df-top 21421  df-topon 21438  df-bases 21473  df-cmp 21914  df-ovol 23983  df-vol 23984  df-mbf 24138  df-itg1 24139  df-itg2 24140  df-ibl 24141  df-itg 24142  df-0p 24189  df-ditg 24363
This theorem is referenced by:  itgsubstlem  24563
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