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Theorem ditgsplit 23966
Description: This theorem is the raison d'être for the directed integral, because unlike itgspliticc 23944, there is no constraint on the ordering of the points 𝐴, 𝐵, 𝐶 in the domain. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ditgsplit.x (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
ditgsplit.y (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
ditgsplit.a (𝜑𝐴 ∈ (𝑋[,]𝑌))
ditgsplit.b (𝜑𝐵 ∈ (𝑋[,]𝑌))
ditgsplit.c (𝜑𝐶 ∈ (𝑋[,]𝑌))
ditgsplit.d ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝐷𝑉)
ditgsplit.i (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1)
Assertion
Ref Expression
ditgsplit (𝜑 → ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌
Allowed substitution hint:   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem ditgsplit
StepHypRef Expression
1 ditgsplit.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ (𝑋[,]𝑌))
2 ditgsplit.x . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
3 ditgsplit.y . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
4 elicc2 12487 . . . . 5 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝐴𝐴𝑌)))
52, 3, 4syl2anc 580 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝐴𝐴𝑌)))
61, 5mpbid 224 . . 3 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝐴𝐴𝑌))
76simp1d 1173 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
8 ditgsplit.b . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ (𝑋[,]𝑌))
9 elicc2 12487 . . . . 5 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝐵 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝐵𝐵𝑌)))
102, 3, 9syl2anc 580 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝐵𝐵𝑌)))
118, 10mpbid 224 . . 3 (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝐵𝐵𝑌))
1211simp1d 1173 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
137adantr 473 . . 3 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
14 ditgsplit.c . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ (𝑋[,]𝑌))
15 elicc2 12487 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝐶𝐶𝑌)))
162, 3, 15syl2anc 580 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝐶𝐶𝑌)))
1714, 16mpbid 224 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝐶𝐶𝑌))
1817simp1d 1173 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
1918adantr 473 . . 3 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ)
2012ad2antrr 718 . . . 4 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝐴𝐶) → 𝐵 ∈ ℝ)
2118ad2antrr 718 . . . 4 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝐴𝐶) → 𝐶 ∈ ℝ)
22 ditgsplit.d . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝐷𝑉)
23 ditgsplit.i . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1)
24 biid 253 . . . . . 6 ((𝐴𝐵𝐵𝐶) ↔ (𝐴𝐵𝐵𝐶))
252, 3, 1, 8, 14, 22, 23, 24ditgsplitlem 23965 . . . . 5 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝐵𝐶) → ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥))
2625adantlr 707 . . . 4 ((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝐵𝐶) → ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥))
27 biid 253 . . . . . . . 8 ((𝐴𝐶𝐶𝐵) ↔ (𝐴𝐶𝐶𝐵))
282, 3, 1, 14, 8, 22, 23, 27ditgsplitlem 23965 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴𝐶) ∧ 𝐶𝐵) → ⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥))
2928oveq1d 6893 . . . . . 6 (((𝜑𝐴𝐶) ∧ 𝐶𝐵) → (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥) = ((⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥))
302, 3, 1, 14, 22, 23ditgcl 23963 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 ∈ ℂ)
312, 3, 14, 8, 22, 23ditgcl 23963 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥 ∈ ℂ)
322, 3, 8, 14, 22, 23ditgcl 23963 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥 ∈ ℂ)
3330, 31, 32addassd 10351 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥) = (⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥)))
342, 3, 14, 8, 22, 23ditgswap 23964 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥 = -⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥)
3534oveq2d 6894 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥) = (⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥 + -⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥))
3631negidd 10674 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥 + -⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥) = 0)
3735, 36eqtrd 2833 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥) = 0)
3837oveq2d 6894 . . . . . . . 8 (𝜑 → (⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥)) = (⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 + 0))
3930addid1d 10526 . . . . . . . 8 (𝜑 → (⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 + 0) = ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥)
4033, 38, 393eqtrd 2837 . . . . . . 7 (𝜑 → ((⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥) = ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥)
4140ad2antrr 718 . . . . . 6 (((𝜑𝐴𝐶) ∧ 𝐶𝐵) → ((⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥) = ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥)
4229, 41eqtr2d 2834 . . . . 5 (((𝜑𝐴𝐶) ∧ 𝐶𝐵) → ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥))
4342adantllr 711 . . . 4 ((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝐶𝐵) → ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥))
4420, 21, 26, 43lecasei 10433 . . 3 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝐴𝐶) → ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥))
4540ad2antrr 718 . . . 4 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝐶𝐴) → ((⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥) = ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥)
46 ancom 453 . . . . . . . 8 ((𝐴𝐵𝐶𝐴) ↔ (𝐶𝐴𝐴𝐵))
472, 3, 14, 1, 8, 22, 23, 46ditgsplitlem 23965 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝐶𝐴) → ⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐶𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥))
4847oveq2d 6894 . . . . . 6 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝐶𝐴) → (⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥) = (⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐶𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥)))
492, 3, 1, 14, 22, 23ditgswap 23964 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ⨜[𝐶𝐴]𝐷 d𝑥 = -⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥)
5049oveq2d 6894 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶𝐴]𝐷 d𝑥) = (⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 + -⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥))
5130negidd 10674 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 + -⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥) = 0)
5250, 51eqtrd 2833 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶𝐴]𝐷 d𝑥) = 0)
5352oveq1d 6893 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶𝐴]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥) = (0 + ⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥))
542, 3, 14, 1, 22, 23ditgcl 23963 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ⨜[𝐶𝐴]𝐷 d𝑥 ∈ ℂ)
552, 3, 1, 8, 22, 23ditgcl 23963 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 ∈ ℂ)
5630, 54, 55addassd 10351 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶𝐴]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥) = (⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐶𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥)))
5755addid2d 10527 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0 + ⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥) = ⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥)
5853, 56, 573eqtr3d 2841 . . . . . . 7 (𝜑 → (⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐶𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥)) = ⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥)
5958ad2antrr 718 . . . . . 6 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝐶𝐴) → (⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐶𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥)) = ⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥)
6048, 59eqtrd 2833 . . . . 5 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝐶𝐴) → (⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥) = ⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥)
6160oveq1d 6893 . . . 4 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝐶𝐴) → ((⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥) = (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥))
6245, 61eqtr3d 2835 . . 3 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝐶𝐴) → ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥))
6313, 19, 44, 62lecasei 10433 . 2 ((𝜑𝐴𝐵) → ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥))
647adantr 473 . . 3 ((𝜑𝐵𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
6518adantr 473 . . 3 ((𝜑𝐵𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
66 biid 253 . . . . . 6 ((𝐵𝐴𝐴𝐶) ↔ (𝐵𝐴𝐴𝐶))
672, 3, 8, 1, 14, 22, 23, 66ditgsplitlem 23965 . . . . 5 (((𝜑𝐵𝐴) ∧ 𝐴𝐶) → ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐵𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥))
6867oveq2d 6894 . . . 4 (((𝜑𝐵𝐴) ∧ 𝐴𝐶) → (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥) = (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐵𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥)))
692, 3, 1, 8, 22, 23ditgswap 23964 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ⨜[𝐵𝐴]𝐷 d𝑥 = -⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥)
7069oveq2d 6894 . . . . . . . 8 (𝜑 → (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐴]𝐷 d𝑥) = (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + -⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥))
7155negidd 10674 . . . . . . . 8 (𝜑 → (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + -⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥) = 0)
7270, 71eqtrd 2833 . . . . . . 7 (𝜑 → (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐴]𝐷 d𝑥) = 0)
7372oveq1d 6893 . . . . . 6 (𝜑 → ((⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐴]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥) = (0 + ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥))
742, 3, 8, 1, 22, 23ditgcl 23963 . . . . . . 7 (𝜑 → ⨜[𝐵𝐴]𝐷 d𝑥 ∈ ℂ)
7555, 74, 30addassd 10351 . . . . . 6 (𝜑 → ((⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐴]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥) = (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐵𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥)))
7630addid2d 10527 . . . . . 6 (𝜑 → (0 + ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥) = ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥)
7773, 75, 763eqtr3d 2841 . . . . 5 (𝜑 → (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐵𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥)) = ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥)
7877ad2antrr 718 . . . 4 (((𝜑𝐵𝐴) ∧ 𝐴𝐶) → (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐵𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥)) = ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥)
7968, 78eqtr2d 2834 . . 3 (((𝜑𝐵𝐴) ∧ 𝐴𝐶) → ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥))
8012ad2antrr 718 . . . 4 (((𝜑𝐵𝐴) ∧ 𝐶𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
8118ad2antrr 718 . . . 4 (((𝜑𝐵𝐴) ∧ 𝐶𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
82 ancom 453 . . . . . . . . . 10 ((𝐶𝐴𝐵𝐶) ↔ (𝐵𝐶𝐶𝐴))
832, 3, 8, 14, 1, 22, 23, 82ditgsplitlem 23965 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐶𝐴) ∧ 𝐵𝐶) → ⨜[𝐵𝐴]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶𝐴]𝐷 d𝑥))
8483oveq1d 6893 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐶𝐴) ∧ 𝐵𝐶) → (⨜[𝐵𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥) = ((⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶𝐴]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥))
8532, 54, 30addassd 10351 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶𝐴]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥) = (⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐶𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥)))
862, 3, 14, 1, 22, 23ditgswap 23964 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 = -⨜[𝐶𝐴]𝐷 d𝑥)
8786oveq2d 6894 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (⨜[𝐶𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥) = (⨜[𝐶𝐴]𝐷 d𝑥 + -⨜[𝐶𝐴]𝐷 d𝑥))
8854negidd 10674 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (⨜[𝐶𝐴]𝐷 d𝑥 + -⨜[𝐶𝐴]𝐷 d𝑥) = 0)
8987, 88eqtrd 2833 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (⨜[𝐶𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥) = 0)
9089oveq2d 6894 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐶𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥)) = (⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥 + 0))
9132addid1d 10526 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥 + 0) = ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥)
9285, 90, 913eqtrd 2837 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶𝐴]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥) = ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥)
9392ad2antrr 718 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐶𝐴) ∧ 𝐵𝐶) → ((⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶𝐴]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥) = ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥)
9484, 93eqtr2d 2834 . . . . . . 7 (((𝜑𝐶𝐴) ∧ 𝐵𝐶) → ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐵𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥))
9594oveq2d 6894 . . . . . 6 (((𝜑𝐶𝐴) ∧ 𝐵𝐶) → (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥) = (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐵𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥)))
9677ad2antrr 718 . . . . . 6 (((𝜑𝐶𝐴) ∧ 𝐵𝐶) → (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐵𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥)) = ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥)
9795, 96eqtr2d 2834 . . . . 5 (((𝜑𝐶𝐴) ∧ 𝐵𝐶) → ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥))
9897adantllr 711 . . . 4 ((((𝜑𝐵𝐴) ∧ 𝐶𝐴) ∧ 𝐵𝐶) → ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥))
99 ancom 453 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵𝐴𝐶𝐵) ↔ (𝐶𝐵𝐵𝐴))
1002, 3, 14, 8, 1, 22, 23, 99ditgsplitlem 23965 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐵𝐴) ∧ 𝐶𝐵) → ⨜[𝐶𝐴]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐴]𝐷 d𝑥))
101100oveq1d 6893 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐵𝐴) ∧ 𝐶𝐵) → (⨜[𝐶𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥) = ((⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐴]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥))
10231, 74, 55addassd 10351 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐴]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥) = (⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐵𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥)))
1032, 3, 8, 1, 22, 23ditgswap 23964 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 = -⨜[𝐵𝐴]𝐷 d𝑥)
104103oveq2d 6894 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (⨜[𝐵𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥) = (⨜[𝐵𝐴]𝐷 d𝑥 + -⨜[𝐵𝐴]𝐷 d𝑥))
10574negidd 10674 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (⨜[𝐵𝐴]𝐷 d𝑥 + -⨜[𝐵𝐴]𝐷 d𝑥) = 0)
106104, 105eqtrd 2833 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (⨜[𝐵𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥) = 0)
107106oveq2d 6894 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐵𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥)) = (⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥 + 0))
10831addid1d 10526 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥 + 0) = ⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥)
109102, 107, 1083eqtrd 2837 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐴]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥) = ⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥)
110109ad2antrr 718 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐵𝐴) ∧ 𝐶𝐵) → ((⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐴]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥) = ⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥)
111101, 110eqtr2d 2834 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐵𝐴) ∧ 𝐶𝐵) → ⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐶𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥))
112111oveq2d 6894 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐵𝐴) ∧ 𝐶𝐵) → (⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥) = (⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐶𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥)))
11358ad2antrr 718 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐵𝐴) ∧ 𝐶𝐵) → (⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐶𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥)) = ⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥)
114112, 113eqtr2d 2834 . . . . . . 7 (((𝜑𝐵𝐴) ∧ 𝐶𝐵) → ⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥))
115114oveq1d 6893 . . . . . 6 (((𝜑𝐵𝐴) ∧ 𝐶𝐵) → (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥) = ((⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥))
11640ad2antrr 718 . . . . . 6 (((𝜑𝐵𝐴) ∧ 𝐶𝐵) → ((⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥) = ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥)
117115, 116eqtr2d 2834 . . . . 5 (((𝜑𝐵𝐴) ∧ 𝐶𝐵) → ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥))
118117adantlr 707 . . . 4 ((((𝜑𝐵𝐴) ∧ 𝐶𝐴) ∧ 𝐶𝐵) → ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥))
11980, 81, 98, 118lecasei 10433 . . 3 (((𝜑𝐵𝐴) ∧ 𝐶𝐴) → ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥))
12064, 65, 79, 119lecasei 10433 . 2 ((𝜑𝐵𝐴) → ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥))
1217, 12, 63, 120lecasei 10433 1 (𝜑 → ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 385  w3a 1108   = wceq 1653  wcel 2157   class class class wbr 4843  cmpt 4922  (class class class)co 6878  cr 10223  0cc0 10224   + caddc 10227  cle 10364  -cneg 10557  (,)cioo 12424  [,]cicc 12427  𝐿1cibl 23725  cdit 23951
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-inf2 8788  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301  ax-pre-sup 10302  ax-addf 10303
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-fal 1667  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-symdif 4041  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-disj 4812  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-se 5272  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-isom 6110  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-of 7131  df-ofr 7132  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-2o 7800  df-oadd 7803  df-er 7982  df-map 8097  df-pm 8098  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-fi 8559  df-sup 8590  df-inf 8591  df-oi 8657  df-card 9051  df-cda 9278  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-div 10977  df-nn 11313  df-2 11376  df-3 11377  df-4 11378  df-n0 11581  df-z 11667  df-uz 11931  df-q 12034  df-rp 12075  df-xneg 12193  df-xadd 12194  df-xmul 12195  df-ioo 12428  df-ico 12430  df-icc 12431  df-fz 12581  df-fzo 12721  df-fl 12848  df-mod 12924  df-seq 13056  df-exp 13115  df-hash 13371  df-cj 14180  df-re 14181  df-im 14182  df-sqrt 14316  df-abs 14317  df-clim 14560  df-rlim 14561  df-sum 14758  df-rest 16398  df-topgen 16419  df-psmet 20060  df-xmet 20061  df-met 20062  df-bl 20063  df-mopn 20064  df-top 21027  df-topon 21044  df-bases 21079  df-cmp 21519  df-ovol 23572  df-vol 23573  df-mbf 23727  df-itg1 23728  df-itg2 23729  df-ibl 23730  df-itg 23731  df-0p 23778  df-ditg 23952
This theorem is referenced by:  itgsubstlem  24152
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