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Theorem ditgsplit 25838

Description: This theorem is the raison d'être for the directed integral, because unlike itgspliticc 25814, there is no constraint on the ordering of the points 𝐴, 𝐵, 𝐶 in the domain. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
ditgsplit.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
ditgsplit.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
ditgsplit.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝑋[,]𝑌))
ditgsplit.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝑋[,]𝑌))
ditgsplit.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝑋[,]𝑌))
ditgsplit.d	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝐷 ∈ 𝑉)
ditgsplit.i	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿¹)

**Assertion**
Ref	Expression
ditgsplit	⊢ (𝜑 → ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥))

Distinct variable groups: 𝑥,𝐴 𝑥,𝐵 𝑥,𝐶 𝜑,𝑥 𝑥,𝑉 𝑥,𝑋 𝑥,𝑌 Allowed substitution hint: 𝐷(𝑥)

**Proof of Theorem ditgsplit**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		ditgsplit.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝑋[,]𝑌))
2		ditgsplit.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
3		ditgsplit.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
4		elicc2 13355	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑌)))
5	2, 3, 4	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑌)))
6	1, 5	mpbid 232	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑌))
7	6	simp1d 1143	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
8		ditgsplit.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝑋[,]𝑌))
9		elicc2 13355	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝐵 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝑌)))
10	2, 3, 9	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝑌)))
11	8, 10	mpbid 232	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝑌))
12	11	simp1d 1143	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
13	7	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
14		ditgsplit.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝑋[,]𝑌))
15		elicc2 13355	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝑌)))
16	2, 3, 15	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝑌)))
17	14, 16	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝑌))
18	17	simp1d 1143	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
19	18	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ)
20	12	ad2antrr 727	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐴 ≤ 𝐶) → 𝐵 ∈ ℝ)
21	18	ad2antrr 727	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐴 ≤ 𝐶) → 𝐶 ∈ ℝ)
22		ditgsplit.d	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝐷 ∈ 𝑉)
23		ditgsplit.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿¹)
24		biid 261	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))
25	2, 3, 1, 8, 14, 22, 23, 24	ditgsplitlem 25837	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥))
26	25	adantlr 716	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐴 ≤ 𝐶) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥))
27		biid 261	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) ↔ (𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵))
28	2, 3, 1, 14, 8, 22, 23, 27	ditgsplitlem 25837	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐶) ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) → ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥))
29	28	oveq1d 7375	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐶) ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) → (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥) = ((⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥))
30	2, 3, 1, 14, 22, 23	ditgcl 25835	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 ∈ ℂ)
31	2, 3, 14, 8, 22, 23	ditgcl 25835	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥 ∈ ℂ)
32	2, 3, 8, 14, 22, 23	ditgcl 25835	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥 ∈ ℂ)
33	30, 31, 32	addassd 11158	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥) = (⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥)))
34	2, 3, 14, 8, 22, 23	ditgswap 25836	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥 = -⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥)
35	34	oveq2d 7376	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥) = (⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + -⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥))
36	31	negidd 11486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + -⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥) = 0)
37	35, 36	eqtrd 2772	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥) = 0)
38	37	oveq2d 7376	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥)) = (⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + 0))
39	30	addridd 11337	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + 0) = ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥)
40	33, 38, 39	3eqtrd 2776	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥) = ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥)
41	40	ad2antrr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐶) ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) → ((⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥) = ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥)
42	29, 41	eqtr2d 2773	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐶) ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) → ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥))
43	42	adantllr 720	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐴 ≤ 𝐶) ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) → ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥))
44	20, 21, 26, 43	lecasei 11243	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐴 ≤ 𝐶) → ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥))
45	40	ad2antrr 727	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ≤ 𝐴) → ((⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥) = ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥)
46		ancom 460	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐶 ≤ 𝐴) ↔ (𝐶 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵))
47	2, 3, 14, 1, 8, 22, 23, 46	ditgsplitlem 25837	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ≤ 𝐴) → ⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥))
48	47	oveq2d 7376	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ≤ 𝐴) → (⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥) = (⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥)))
49	2, 3, 1, 14, 22, 23	ditgswap 25836	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥 = -⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥)
50	49	oveq2d 7376	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥) = (⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + -⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥))
51	30	negidd 11486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + -⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥) = 0)
52	50, 51	eqtrd 2772	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥) = 0)
53	52	oveq1d 7375	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥) = (0 + ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥))
54	2, 3, 14, 1, 22, 23	ditgcl 25835	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥 ∈ ℂ)
55	2, 3, 1, 8, 22, 23	ditgcl 25835	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 ∈ ℂ)
56	30, 54, 55	addassd 11158	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥) = (⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥)))
57	55	addlidd 11338	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0 + ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥) = ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥)
58	53, 56, 57	3eqtr3d 2780	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥)) = ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥)
59	58	ad2antrr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ≤ 𝐴) → (⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥)) = ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥)
60	48, 59	eqtrd 2772	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ≤ 𝐴) → (⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥) = ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥)
61	60	oveq1d 7375	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ≤ 𝐴) → ((⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥) = (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥))
62	45, 61	eqtr3d 2774	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ≤ 𝐴) → ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥))
63	13, 19, 44, 62	lecasei 11243	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥))
64	7	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
65	18	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
66		biid 261	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐶) ↔ (𝐵 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐶))
67	2, 3, 8, 1, 14, 22, 23, 66	ditgsplitlem 25837	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 ≤ 𝐶) → ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐵 → 𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥))
68	67	oveq2d 7376	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 ≤ 𝐶) → (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥) = (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐵 → 𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥)))
69	2, 3, 1, 8, 22, 23	ditgswap 25836	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ⨜[𝐵 → 𝐴]𝐷 d𝑥 = -⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥)
70	69	oveq2d 7376	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐴]𝐷 d𝑥) = (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + -⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥))
71	55	negidd 11486	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + -⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥) = 0)
72	70, 71	eqtrd 2772	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐴]𝐷 d𝑥) = 0)
73	72	oveq1d 7375	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐴]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥) = (0 + ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥))
74	2, 3, 8, 1, 22, 23	ditgcl 25835	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ⨜[𝐵 → 𝐴]𝐷 d𝑥 ∈ ℂ)
75	55, 74, 30	addassd 11158	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐴]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥) = (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐵 → 𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥)))
76	30	addlidd 11338	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0 + ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥) = ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥)
77	73, 75, 76	3eqtr3d 2780	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐵 → 𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥)) = ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥)
78	77	ad2antrr 727	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 ≤ 𝐶) → (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐵 → 𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥)) = ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥)
79	68, 78	eqtr2d 2773	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 ≤ 𝐶) → ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥))
80	12	ad2antrr 727	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐶 ≤ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
81	18	ad2antrr 727	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐶 ≤ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
82		ancom 460	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) ↔ (𝐵 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐴))
83	2, 3, 8, 14, 1, 22, 23, 82	ditgsplitlem 25837	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → ⨜[𝐵 → 𝐴]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥))
84	83	oveq1d 7375	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → (⨜[𝐵 → 𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥) = ((⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥))
85	32, 54, 30	addassd 11158	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥) = (⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥)))
86	2, 3, 14, 1, 22, 23	ditgswap 25836	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 = -⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥)
87	86	oveq2d 7376	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥) = (⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥 + -⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥))
88	54	negidd 11486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥 + -⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥) = 0)
89	87, 88	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥) = 0)
90	89	oveq2d 7376	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥)) = (⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + 0))
91	32	addridd 11337	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + 0) = ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥)
92	85, 90, 91	3eqtrd 2776	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥) = ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥)
93	92	ad2antrr 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → ((⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥) = ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥)
94	84, 93	eqtr2d 2773	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐵 → 𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥))
95	94	oveq2d 7376	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥) = (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐵 → 𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥)))
96	77	ad2antrr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐵 → 𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥)) = ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥)
97	95, 96	eqtr2d 2773	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥))
98	97	adantllr 720	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐶 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥))
99		ancom 460	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ≤ 𝐴 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) ↔ (𝐶 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴))
100	2, 3, 14, 8, 1, 22, 23, 99	ditgsplitlem 25837	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) → ⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐴]𝐷 d𝑥))
101	100	oveq1d 7375	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) → (⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥) = ((⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐴]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥))
102	31, 74, 55	addassd 11158	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐴]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥) = (⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐵 → 𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥)))
103	2, 3, 8, 1, 22, 23	ditgswap 25836	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 = -⨜[𝐵 → 𝐴]𝐷 d𝑥)
104	103	oveq2d 7376	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (⨜[𝐵 → 𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥) = (⨜[𝐵 → 𝐴]𝐷 d𝑥 + -⨜[𝐵 → 𝐴]𝐷 d𝑥))
105	74	negidd 11486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (⨜[𝐵 → 𝐴]𝐷 d𝑥 + -⨜[𝐵 → 𝐴]𝐷 d𝑥) = 0)
106	104, 105	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (⨜[𝐵 → 𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥) = 0)
107	106	oveq2d 7376	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐵 → 𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥)) = (⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + 0))
108	31	addridd 11337	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + 0) = ⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥)
109	102, 107, 108	3eqtrd 2776	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐴]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥) = ⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥)
110	109	ad2antrr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) → ((⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐴]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥) = ⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥)
111	101, 110	eqtr2d 2773	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) → ⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥))
112	111	oveq2d 7376	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) → (⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥) = (⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥)))
113	58	ad2antrr 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) → (⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥)) = ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥)
114	112, 113	eqtr2d 2773	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) → ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥))
115	114	oveq1d 7375	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) → (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥) = ((⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥))
116	40	ad2antrr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) → ((⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥) = ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥)
117	115, 116	eqtr2d 2773	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) → ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥))
118	117	adantlr 716	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐶 ≤ 𝐴) ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) → ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥))
119	80, 81, 98, 118	lecasei 11243	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐶 ≤ 𝐴) → ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥))
120	64, 65, 79, 119	lecasei 11243	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥))
121	7, 12, 63, 120	lecasei 11243	1 ⊢ (𝜑 → ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 ∧ w3a 1087 = wceq 1542 ∈ wcel 2114 class class class wbr 5086 ↦ cmpt 5167 (class class class)co 7360 ℝcr 11028 0cc0 11029 + caddc 11032 ≤ cle 11171 -cneg 11369 (,)cioo 13289 [,]cicc 13292 𝐿¹cibl 25594 ⨜cdit 25823

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1912 ax-6 1969 ax-7 2010 ax-8 2116 ax-9 2124 ax-10 2147 ax-11 2163 ax-12 2185 ax-ext 2709 ax-rep 5212 ax-sep 5231 ax-nul 5241 ax-pow 5302 ax-pr 5370 ax-un 7682 ax-inf2 9553 ax-cnex 11085 ax-resscn 11086 ax-1cn 11087 ax-icn 11088 ax-addcl 11089 ax-addrcl 11090 ax-mulcl 11091 ax-mulrcl 11092 ax-mulcom 11093 ax-addass 11094 ax-mulass 11095 ax-distr 11096 ax-i2m1 11097 ax-1ne0 11098 ax-1rid 11099 ax-rnegex 11100 ax-rrecex 11101 ax-cnre 11102 ax-pre-lttri 11103 ax-pre-lttrn 11104 ax-pre-ltadd 11105 ax-pre-mulgt0 11106 ax-pre-sup 11107 ax-addf 11108

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 849 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2069 df-mo 2540 df-eu 2570 df-clab 2716 df-cleq 2729 df-clel 2812 df-nfc 2886 df-ne 2934 df-nel 3038 df-ral 3053 df-rex 3063 df-rmo 3343 df-reu 3344 df-rab 3391 df-v 3432 df-sbc 3730 df-csb 3839 df-dif 3893 df-un 3895 df-in 3897 df-ss 3907 df-pss 3910 df-symdif 4194 df-nul 4275 df-if 4468 df-pw 4544 df-sn 4569 df-pr 4571 df-op 4575 df-uni 4852 df-int 4891 df-iun 4936 df-disj 5054 df-br 5087 df-opab 5149 df-mpt 5168 df-tr 5194 df-id 5519 df-eprel 5524 df-po 5532 df-so 5533 df-fr 5577 df-se 5578 df-we 5579 df-xp 5630 df-rel 5631 df-cnv 5632 df-co 5633 df-dm 5634 df-rn 5635 df-res 5636 df-ima 5637 df-pred 6259 df-ord 6320 df-on 6321 df-lim 6322 df-suc 6323 df-iota 6448 df-fun 6494 df-fn 6495 df-f 6496 df-f1 6497 df-fo 6498 df-f1o 6499 df-fv 6500 df-isom 6501 df-riota 7317 df-ov 7363 df-oprab 7364 df-mpo 7365 df-of 7624 df-ofr 7625 df-om 7811 df-1st 7935 df-2nd 7936 df-frecs 8224 df-wrecs 8255 df-recs 8304 df-rdg 8342 df-1o 8398 df-2o 8399 df-er 8636 df-map 8768 df-pm 8769 df-en 8887 df-dom 8888 df-sdom 8889 df-fin 8890 df-fi 9317 df-sup 9348 df-inf 9349 df-oi 9418 df-dju 9816 df-card 9854 df-pnf 11172 df-mnf 11173 df-xr 11174 df-ltxr 11175 df-le 11176 df-sub 11370 df-neg 11371 df-div 11799 df-nn 12166 df-2 12235 df-3 12236 df-4 12237 df-n0 12429 df-z 12516 df-uz 12780 df-q 12890 df-rp 12934 df-xneg 13054 df-xadd 13055 df-xmul 13056 df-ioo 13293 df-ico 13295 df-icc 13296 df-fz 13453 df-fzo 13600 df-fl 13742 df-mod 13820 df-seq 13955 df-exp 14015 df-hash 14284 df-cj 15052 df-re 15053 df-im 15054 df-sqrt 15188 df-abs 15189 df-clim 15441 df-rlim 15442 df-sum 15640 df-rest 17376 df-topgen 17397 df-psmet 21336 df-xmet 21337 df-met 21338 df-bl 21339 df-mopn 21340 df-top 22869 df-topon 22886 df-bases 22921 df-cmp 23362 df-ovol 25441 df-vol 25442 df-mbf 25596 df-itg1 25597 df-itg2 25598 df-ibl 25599 df-itg 25600 df-0p 25647 df-ditg 25824

This theorem is referenced by: itgsubstlem 26025

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