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Theorem ditgsplit 25611
Description: This theorem is the raison d'Γͺtre for the directed integral, because unlike itgspliticc 25587, there is no constraint on the ordering of the points 𝐴, 𝐡, 𝐢 in the domain. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ditgsplit.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
ditgsplit.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ ℝ)
ditgsplit.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (𝑋[,]π‘Œ))
ditgsplit.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (𝑋[,]π‘Œ))
ditgsplit.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (𝑋[,]π‘Œ))
ditgsplit.d ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ)) β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
ditgsplit.i (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1)
Assertion
Ref Expression
ditgsplit (πœ‘ β†’ ⨜[𝐴 β†’ 𝐢]𝐷 dπ‘₯ = (⨜[𝐴 β†’ 𝐡]𝐷 dπ‘₯ + ⨜[𝐡 β†’ 𝐢]𝐷 dπ‘₯))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝐢   πœ‘,π‘₯   π‘₯,𝑉   π‘₯,𝑋   π‘₯,π‘Œ
Allowed substitution hint:   𝐷(π‘₯)
Proof of Theorem ditgsplit
StepHypRef Expression
1 ditgsplit.a . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (𝑋[,]π‘Œ))
2 ditgsplit.x . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
3 ditgsplit.y . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ ℝ)
4 elicc2 13394 . . . . 5 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ π‘Œ ∈ ℝ) β†’ (𝐴 ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ π‘Œ)))
52, 3, 4syl2anc 583 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ π‘Œ)))
61, 5mpbid 231 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ π‘Œ))
76simp1d 1141 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
8 ditgsplit.b . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (𝑋[,]π‘Œ))
9 elicc2 13394 . . . . 5 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ π‘Œ ∈ ℝ) β†’ (𝐡 ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↔ (𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≀ 𝐡 ∧ 𝐡 ≀ π‘Œ)))
102, 3, 9syl2anc 583 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐡 ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↔ (𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≀ 𝐡 ∧ 𝐡 ≀ π‘Œ)))
118, 10mpbid 231 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≀ 𝐡 ∧ 𝐡 ≀ π‘Œ))
1211simp1d 1141 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
137adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
14 ditgsplit.c . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (𝑋[,]π‘Œ))
15 elicc2 13394 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ π‘Œ ∈ ℝ) β†’ (𝐢 ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↔ (𝐢 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≀ 𝐢 ∧ 𝐢 ≀ π‘Œ)))
162, 3, 15syl2anc 583 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↔ (𝐢 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≀ 𝐢 ∧ 𝐢 ≀ π‘Œ)))
1714, 16mpbid 231 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≀ 𝐢 ∧ 𝐢 ≀ π‘Œ))
1817simp1d 1141 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
1918adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
2012ad2antrr 723 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) ∧ 𝐴 ≀ 𝐢) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
2118ad2antrr 723 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) ∧ 𝐴 ≀ 𝐢) β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
22 ditgsplit.d . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ)) β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
23 ditgsplit.i . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1)
24 biid 261 . . . . . 6 ((𝐴 ≀ 𝐡 ∧ 𝐡 ≀ 𝐢) ↔ (𝐴 ≀ 𝐡 ∧ 𝐡 ≀ 𝐢))
252, 3, 1, 8, 14, 22, 23, 24ditgsplitlem 25610 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) ∧ 𝐡 ≀ 𝐢) β†’ ⨜[𝐴 β†’ 𝐢]𝐷 dπ‘₯ = (⨜[𝐴 β†’ 𝐡]𝐷 dπ‘₯ + ⨜[𝐡 β†’ 𝐢]𝐷 dπ‘₯))
2625adantlr 712 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) ∧ 𝐴 ≀ 𝐢) ∧ 𝐡 ≀ 𝐢) β†’ ⨜[𝐴 β†’ 𝐢]𝐷 dπ‘₯ = (⨜[𝐴 β†’ 𝐡]𝐷 dπ‘₯ + ⨜[𝐡 β†’ 𝐢]𝐷 dπ‘₯))
27 biid 261 . . . . . . . 8 ((𝐴 ≀ 𝐢 ∧ 𝐢 ≀ 𝐡) ↔ (𝐴 ≀ 𝐢 ∧ 𝐢 ≀ 𝐡))
282, 3, 1, 14, 8, 22, 23, 27ditgsplitlem 25610 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ≀ 𝐢) ∧ 𝐢 ≀ 𝐡) β†’ ⨜[𝐴 β†’ 𝐡]𝐷 dπ‘₯ = (⨜[𝐴 β†’ 𝐢]𝐷 dπ‘₯ + ⨜[𝐢 β†’ 𝐡]𝐷 dπ‘₯))
2928oveq1d 7427 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ≀ 𝐢) ∧ 𝐢 ≀ 𝐡) β†’ (⨜[𝐴 β†’ 𝐡]𝐷 dπ‘₯ + ⨜[𝐡 β†’ 𝐢]𝐷 dπ‘₯) = ((⨜[𝐴 β†’ 𝐢]𝐷 dπ‘₯ + ⨜[𝐢 β†’ 𝐡]𝐷 dπ‘₯) + ⨜[𝐡 β†’ 𝐢]𝐷 dπ‘₯))
302, 3, 1, 14, 22, 23ditgcl 25608 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ⨜[𝐴 β†’ 𝐢]𝐷 dπ‘₯ ∈ β„‚)
312, 3, 14, 8, 22, 23ditgcl 25608 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ⨜[𝐢 β†’ 𝐡]𝐷 dπ‘₯ ∈ β„‚)
322, 3, 8, 14, 22, 23ditgcl 25608 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ⨜[𝐡 β†’ 𝐢]𝐷 dπ‘₯ ∈ β„‚)
3330, 31, 32addassd 11241 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((⨜[𝐴 β†’ 𝐢]𝐷 dπ‘₯ + ⨜[𝐢 β†’ 𝐡]𝐷 dπ‘₯) + ⨜[𝐡 β†’ 𝐢]𝐷 dπ‘₯) = (⨜[𝐴 β†’ 𝐢]𝐷 dπ‘₯ + (⨜[𝐢 β†’ 𝐡]𝐷 dπ‘₯ + ⨜[𝐡 β†’ 𝐢]𝐷 dπ‘₯)))
342, 3, 14, 8, 22, 23ditgswap 25609 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ⨜[𝐡 β†’ 𝐢]𝐷 dπ‘₯ = -⨜[𝐢 β†’ 𝐡]𝐷 dπ‘₯)
3534oveq2d 7428 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (⨜[𝐢 β†’ 𝐡]𝐷 dπ‘₯ + ⨜[𝐡 β†’ 𝐢]𝐷 dπ‘₯) = (⨜[𝐢 β†’ 𝐡]𝐷 dπ‘₯ + -⨜[𝐢 β†’ 𝐡]𝐷 dπ‘₯))
3631negidd 11566 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (⨜[𝐢 β†’ 𝐡]𝐷 dπ‘₯ + -⨜[𝐢 β†’ 𝐡]𝐷 dπ‘₯) = 0)
3735, 36eqtrd 2771 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (⨜[𝐢 β†’ 𝐡]𝐷 dπ‘₯ + ⨜[𝐡 β†’ 𝐢]𝐷 dπ‘₯) = 0)
3837oveq2d 7428 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (⨜[𝐴 β†’ 𝐢]𝐷 dπ‘₯ + (⨜[𝐢 β†’ 𝐡]𝐷 dπ‘₯ + ⨜[𝐡 β†’ 𝐢]𝐷 dπ‘₯)) = (⨜[𝐴 β†’ 𝐢]𝐷 dπ‘₯ + 0))
3930addridd 11419 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (⨜[𝐴 β†’ 𝐢]𝐷 dπ‘₯ + 0) = ⨜[𝐴 β†’ 𝐢]𝐷 dπ‘₯)
4033, 38, 393eqtrd 2775 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((⨜[𝐴 β†’ 𝐢]𝐷 dπ‘₯ + ⨜[𝐢 β†’ 𝐡]𝐷 dπ‘₯) + ⨜[𝐡 β†’ 𝐢]𝐷 dπ‘₯) = ⨜[𝐴 β†’ 𝐢]𝐷 dπ‘₯)
4140ad2antrr 723 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ≀ 𝐢) ∧ 𝐢 ≀ 𝐡) β†’ ((⨜[𝐴 β†’ 𝐢]𝐷 dπ‘₯ + ⨜[𝐢 β†’ 𝐡]𝐷 dπ‘₯) + ⨜[𝐡 β†’ 𝐢]𝐷 dπ‘₯) = ⨜[𝐴 β†’ 𝐢]𝐷 dπ‘₯)
4229, 41eqtr2d 2772 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ≀ 𝐢) ∧ 𝐢 ≀ 𝐡) β†’ ⨜[𝐴 β†’ 𝐢]𝐷 dπ‘₯ = (⨜[𝐴 β†’ 𝐡]𝐷 dπ‘₯ + ⨜[𝐡 β†’ 𝐢]𝐷 dπ‘₯))
4342adantllr 716 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) ∧ 𝐴 ≀ 𝐢) ∧ 𝐢 ≀ 𝐡) β†’ ⨜[𝐴 β†’ 𝐢]𝐷 dπ‘₯ = (⨜[𝐴 β†’ 𝐡]𝐷 dπ‘₯ + ⨜[𝐡 β†’ 𝐢]𝐷 dπ‘₯))
4420, 21, 26, 43lecasei 11325 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) ∧ 𝐴 ≀ 𝐢) β†’ ⨜[𝐴 β†’ 𝐢]𝐷 dπ‘₯ = (⨜[𝐴 β†’ 𝐡]𝐷 dπ‘₯ + ⨜[𝐡 β†’ 𝐢]𝐷 dπ‘₯))
4540ad2antrr 723 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) ∧ 𝐢 ≀ 𝐴) β†’ ((⨜[𝐴 β†’ 𝐢]𝐷 dπ‘₯ + ⨜[𝐢 β†’ 𝐡]𝐷 dπ‘₯) + ⨜[𝐡 β†’ 𝐢]𝐷 dπ‘₯) = ⨜[𝐴 β†’ 𝐢]𝐷 dπ‘₯)
46 ancom 460 . . . . . . . 8 ((𝐴 ≀ 𝐡 ∧ 𝐢 ≀ 𝐴) ↔ (𝐢 ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ 𝐡))
472, 3, 14, 1, 8, 22, 23, 46ditgsplitlem 25610 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) ∧ 𝐢 ≀ 𝐴) β†’ ⨜[𝐢 β†’ 𝐡]𝐷 dπ‘₯ = (⨜[𝐢 β†’ 𝐴]𝐷 dπ‘₯ + ⨜[𝐴 β†’ 𝐡]𝐷 dπ‘₯))
4847oveq2d 7428 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) ∧ 𝐢 ≀ 𝐴) β†’ (⨜[𝐴 β†’ 𝐢]𝐷 dπ‘₯ + ⨜[𝐢 β†’ 𝐡]𝐷 dπ‘₯) = (⨜[𝐴 β†’ 𝐢]𝐷 dπ‘₯ + (⨜[𝐢 β†’ 𝐴]𝐷 dπ‘₯ + ⨜[𝐴 β†’ 𝐡]𝐷 dπ‘₯)))
492, 3, 1, 14, 22, 23ditgswap 25609 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ⨜[𝐢 β†’ 𝐴]𝐷 dπ‘₯ = -⨜[𝐴 β†’ 𝐢]𝐷 dπ‘₯)
5049oveq2d 7428 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (⨜[𝐴 β†’ 𝐢]𝐷 dπ‘₯ + ⨜[𝐢 β†’ 𝐴]𝐷 dπ‘₯) = (⨜[𝐴 β†’ 𝐢]𝐷 dπ‘₯ + -⨜[𝐴 β†’ 𝐢]𝐷 dπ‘₯))
5130negidd 11566 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (⨜[𝐴 β†’ 𝐢]𝐷 dπ‘₯ + -⨜[𝐴 β†’ 𝐢]𝐷 dπ‘₯) = 0)
5250, 51eqtrd 2771 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (⨜[𝐴 β†’ 𝐢]𝐷 dπ‘₯ + ⨜[𝐢 β†’ 𝐴]𝐷 dπ‘₯) = 0)
5352oveq1d 7427 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((⨜[𝐴 β†’ 𝐢]𝐷 dπ‘₯ + ⨜[𝐢 β†’ 𝐴]𝐷 dπ‘₯) + ⨜[𝐴 β†’ 𝐡]𝐷 dπ‘₯) = (0 + ⨜[𝐴 β†’ 𝐡]𝐷 dπ‘₯))
542, 3, 14, 1, 22, 23ditgcl 25608 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ⨜[𝐢 β†’ 𝐴]𝐷 dπ‘₯ ∈ β„‚)
552, 3, 1, 8, 22, 23ditgcl 25608 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ⨜[𝐴 β†’ 𝐡]𝐷 dπ‘₯ ∈ β„‚)
5630, 54, 55addassd 11241 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((⨜[𝐴 β†’ 𝐢]𝐷 dπ‘₯ + ⨜[𝐢 β†’ 𝐴]𝐷 dπ‘₯) + ⨜[𝐴 β†’ 𝐡]𝐷 dπ‘₯) = (⨜[𝐴 β†’ 𝐢]𝐷 dπ‘₯ + (⨜[𝐢 β†’ 𝐴]𝐷 dπ‘₯ + ⨜[𝐴 β†’ 𝐡]𝐷 dπ‘₯)))
5755addlidd 11420 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (0 + ⨜[𝐴 β†’ 𝐡]𝐷 dπ‘₯) = ⨜[𝐴 β†’ 𝐡]𝐷 dπ‘₯)
5853, 56, 573eqtr3d 2779 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (⨜[𝐴 β†’ 𝐢]𝐷 dπ‘₯ + (⨜[𝐢 β†’ 𝐴]𝐷 dπ‘₯ + ⨜[𝐴 β†’ 𝐡]𝐷 dπ‘₯)) = ⨜[𝐴 β†’ 𝐡]𝐷 dπ‘₯)
5958ad2antrr 723 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) ∧ 𝐢 ≀ 𝐴) β†’ (⨜[𝐴 β†’ 𝐢]𝐷 dπ‘₯ + (⨜[𝐢 β†’ 𝐴]𝐷 dπ‘₯ + ⨜[𝐴 β†’ 𝐡]𝐷 dπ‘₯)) = ⨜[𝐴 β†’ 𝐡]𝐷 dπ‘₯)
6048, 59eqtrd 2771 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) ∧ 𝐢 ≀ 𝐴) β†’ (⨜[𝐴 β†’ 𝐢]𝐷 dπ‘₯ + ⨜[𝐢 β†’ 𝐡]𝐷 dπ‘₯) = ⨜[𝐴 β†’ 𝐡]𝐷 dπ‘₯)
6160oveq1d 7427 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) ∧ 𝐢 ≀ 𝐴) β†’ ((⨜[𝐴 β†’ 𝐢]𝐷 dπ‘₯ + ⨜[𝐢 β†’ 𝐡]𝐷 dπ‘₯) + ⨜[𝐡 β†’ 𝐢]𝐷 dπ‘₯) = (⨜[𝐴 β†’ 𝐡]𝐷 dπ‘₯ + ⨜[𝐡 β†’ 𝐢]𝐷 dπ‘₯))
6245, 61eqtr3d 2773 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) ∧ 𝐢 ≀ 𝐴) β†’ ⨜[𝐴 β†’ 𝐢]𝐷 dπ‘₯ = (⨜[𝐴 β†’ 𝐡]𝐷 dπ‘₯ + ⨜[𝐡 β†’ 𝐢]𝐷 dπ‘₯))
6313, 19, 44, 62lecasei 11325 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ ⨜[𝐴 β†’ 𝐢]𝐷 dπ‘₯ = (⨜[𝐴 β†’ 𝐡]𝐷 dπ‘₯ + ⨜[𝐡 β†’ 𝐢]𝐷 dπ‘₯))
647adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ≀ 𝐴) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
6518adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ≀ 𝐴) β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
66 biid 261 . . . . . 6 ((𝐡 ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ 𝐢) ↔ (𝐡 ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ 𝐢))
672, 3, 8, 1, 14, 22, 23, 66ditgsplitlem 25610 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐡 ≀ 𝐴) ∧ 𝐴 ≀ 𝐢) β†’ ⨜[𝐡 β†’ 𝐢]𝐷 dπ‘₯ = (⨜[𝐡 β†’ 𝐴]𝐷 dπ‘₯ + ⨜[𝐴 β†’ 𝐢]𝐷 dπ‘₯))
6867oveq2d 7428 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝐡 ≀ 𝐴) ∧ 𝐴 ≀ 𝐢) β†’ (⨜[𝐴 β†’ 𝐡]𝐷 dπ‘₯ + ⨜[𝐡 β†’ 𝐢]𝐷 dπ‘₯) = (⨜[𝐴 β†’ 𝐡]𝐷 dπ‘₯ + (⨜[𝐡 β†’ 𝐴]𝐷 dπ‘₯ + ⨜[𝐴 β†’ 𝐢]𝐷 dπ‘₯)))
692, 3, 1, 8, 22, 23ditgswap 25609 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ⨜[𝐡 β†’ 𝐴]𝐷 dπ‘₯ = -⨜[𝐴 β†’ 𝐡]𝐷 dπ‘₯)
7069oveq2d 7428 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (⨜[𝐴 β†’ 𝐡]𝐷 dπ‘₯ + ⨜[𝐡 β†’ 𝐴]𝐷 dπ‘₯) = (⨜[𝐴 β†’ 𝐡]𝐷 dπ‘₯ + -⨜[𝐴 β†’ 𝐡]𝐷 dπ‘₯))
7155negidd 11566 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (⨜[𝐴 β†’ 𝐡]𝐷 dπ‘₯ + -⨜[𝐴 β†’ 𝐡]𝐷 dπ‘₯) = 0)
7270, 71eqtrd 2771 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (⨜[𝐴 β†’ 𝐡]𝐷 dπ‘₯ + ⨜[𝐡 β†’ 𝐴]𝐷 dπ‘₯) = 0)
7372oveq1d 7427 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((⨜[𝐴 β†’ 𝐡]𝐷 dπ‘₯ + ⨜[𝐡 β†’ 𝐴]𝐷 dπ‘₯) + ⨜[𝐴 β†’ 𝐢]𝐷 dπ‘₯) = (0 + ⨜[𝐴 β†’ 𝐢]𝐷 dπ‘₯))
742, 3, 8, 1, 22, 23ditgcl 25608 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ⨜[𝐡 β†’ 𝐴]𝐷 dπ‘₯ ∈ β„‚)
7555, 74, 30addassd 11241 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((⨜[𝐴 β†’ 𝐡]𝐷 dπ‘₯ + ⨜[𝐡 β†’ 𝐴]𝐷 dπ‘₯) + ⨜[𝐴 β†’ 𝐢]𝐷 dπ‘₯) = (⨜[𝐴 β†’ 𝐡]𝐷 dπ‘₯ + (⨜[𝐡 β†’ 𝐴]𝐷 dπ‘₯ + ⨜[𝐴 β†’ 𝐢]𝐷 dπ‘₯)))
7630addlidd 11420 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (0 + ⨜[𝐴 β†’ 𝐢]𝐷 dπ‘₯) = ⨜[𝐴 β†’ 𝐢]𝐷 dπ‘₯)
7773, 75, 763eqtr3d 2779 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (⨜[𝐴 β†’ 𝐡]𝐷 dπ‘₯ + (⨜[𝐡 β†’ 𝐴]𝐷 dπ‘₯ + ⨜[𝐴 β†’ 𝐢]𝐷 dπ‘₯)) = ⨜[𝐴 β†’ 𝐢]𝐷 dπ‘₯)
7877ad2antrr 723 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝐡 ≀ 𝐴) ∧ 𝐴 ≀ 𝐢) β†’ (⨜[𝐴 β†’ 𝐡]𝐷 dπ‘₯ + (⨜[𝐡 β†’ 𝐴]𝐷 dπ‘₯ + ⨜[𝐴 β†’ 𝐢]𝐷 dπ‘₯)) = ⨜[𝐴 β†’ 𝐢]𝐷 dπ‘₯)
7968, 78eqtr2d 2772 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝐡 ≀ 𝐴) ∧ 𝐴 ≀ 𝐢) β†’ ⨜[𝐴 β†’ 𝐢]𝐷 dπ‘₯ = (⨜[𝐴 β†’ 𝐡]𝐷 dπ‘₯ + ⨜[𝐡 β†’ 𝐢]𝐷 dπ‘₯))
8012ad2antrr 723 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝐡 ≀ 𝐴) ∧ 𝐢 ≀ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
8118ad2antrr 723 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝐡 ≀ 𝐴) ∧ 𝐢 ≀ 𝐴) β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
82 ancom 460 . . . . . . . . . 10 ((𝐢 ≀ 𝐴 ∧ 𝐡 ≀ 𝐢) ↔ (𝐡 ≀ 𝐢 ∧ 𝐢 ≀ 𝐴))
832, 3, 8, 14, 1, 22, 23, 82ditgsplitlem 25610 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ≀ 𝐴) ∧ 𝐡 ≀ 𝐢) β†’ ⨜[𝐡 β†’ 𝐴]𝐷 dπ‘₯ = (⨜[𝐡 β†’ 𝐢]𝐷 dπ‘₯ + ⨜[𝐢 β†’ 𝐴]𝐷 dπ‘₯))
8483oveq1d 7427 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ≀ 𝐴) ∧ 𝐡 ≀ 𝐢) β†’ (⨜[𝐡 β†’ 𝐴]𝐷 dπ‘₯ + ⨜[𝐴 β†’ 𝐢]𝐷 dπ‘₯) = ((⨜[𝐡 β†’ 𝐢]𝐷 dπ‘₯ + ⨜[𝐢 β†’ 𝐴]𝐷 dπ‘₯) + ⨜[𝐴 β†’ 𝐢]𝐷 dπ‘₯))
8532, 54, 30addassd 11241 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((⨜[𝐡 β†’ 𝐢]𝐷 dπ‘₯ + ⨜[𝐢 β†’ 𝐴]𝐷 dπ‘₯) + ⨜[𝐴 β†’ 𝐢]𝐷 dπ‘₯) = (⨜[𝐡 β†’ 𝐢]𝐷 dπ‘₯ + (⨜[𝐢 β†’ 𝐴]𝐷 dπ‘₯ + ⨜[𝐴 β†’ 𝐢]𝐷 dπ‘₯)))
862, 3, 14, 1, 22, 23ditgswap 25609 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ⨜[𝐴 β†’ 𝐢]𝐷 dπ‘₯ = -⨜[𝐢 β†’ 𝐴]𝐷 dπ‘₯)
8786oveq2d 7428 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (⨜[𝐢 β†’ 𝐴]𝐷 dπ‘₯ + ⨜[𝐴 β†’ 𝐢]𝐷 dπ‘₯) = (⨜[𝐢 β†’ 𝐴]𝐷 dπ‘₯ + -⨜[𝐢 β†’ 𝐴]𝐷 dπ‘₯))
8854negidd 11566 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (⨜[𝐢 β†’ 𝐴]𝐷 dπ‘₯ + -⨜[𝐢 β†’ 𝐴]𝐷 dπ‘₯) = 0)
8987, 88eqtrd 2771 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (⨜[𝐢 β†’ 𝐴]𝐷 dπ‘₯ + ⨜[𝐴 β†’ 𝐢]𝐷 dπ‘₯) = 0)
9089oveq2d 7428 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (⨜[𝐡 β†’ 𝐢]𝐷 dπ‘₯ + (⨜[𝐢 β†’ 𝐴]𝐷 dπ‘₯ + ⨜[𝐴 β†’ 𝐢]𝐷 dπ‘₯)) = (⨜[𝐡 β†’ 𝐢]𝐷 dπ‘₯ + 0))
9132addridd 11419 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (⨜[𝐡 β†’ 𝐢]𝐷 dπ‘₯ + 0) = ⨜[𝐡 β†’ 𝐢]𝐷 dπ‘₯)
9285, 90, 913eqtrd 2775 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((⨜[𝐡 β†’ 𝐢]𝐷 dπ‘₯ + ⨜[𝐢 β†’ 𝐴]𝐷 dπ‘₯) + ⨜[𝐴 β†’ 𝐢]𝐷 dπ‘₯) = ⨜[𝐡 β†’ 𝐢]𝐷 dπ‘₯)
9392ad2antrr 723 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ≀ 𝐴) ∧ 𝐡 ≀ 𝐢) β†’ ((⨜[𝐡 β†’ 𝐢]𝐷 dπ‘₯ + ⨜[𝐢 β†’ 𝐴]𝐷 dπ‘₯) + ⨜[𝐴 β†’ 𝐢]𝐷 dπ‘₯) = ⨜[𝐡 β†’ 𝐢]𝐷 dπ‘₯)
9484, 93eqtr2d 2772 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ≀ 𝐴) ∧ 𝐡 ≀ 𝐢) β†’ ⨜[𝐡 β†’ 𝐢]𝐷 dπ‘₯ = (⨜[𝐡 β†’ 𝐴]𝐷 dπ‘₯ + ⨜[𝐴 β†’ 𝐢]𝐷 dπ‘₯))
9594oveq2d 7428 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ≀ 𝐴) ∧ 𝐡 ≀ 𝐢) β†’ (⨜[𝐴 β†’ 𝐡]𝐷 dπ‘₯ + ⨜[𝐡 β†’ 𝐢]𝐷 dπ‘₯) = (⨜[𝐴 β†’ 𝐡]𝐷 dπ‘₯ + (⨜[𝐡 β†’ 𝐴]𝐷 dπ‘₯ + ⨜[𝐴 β†’ 𝐢]𝐷 dπ‘₯)))
9677ad2antrr 723 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ≀ 𝐴) ∧ 𝐡 ≀ 𝐢) β†’ (⨜[𝐴 β†’ 𝐡]𝐷 dπ‘₯ + (⨜[𝐡 β†’ 𝐴]𝐷 dπ‘₯ + ⨜[𝐴 β†’ 𝐢]𝐷 dπ‘₯)) = ⨜[𝐴 β†’ 𝐢]𝐷 dπ‘₯)
9795, 96eqtr2d 2772 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ≀ 𝐴) ∧ 𝐡 ≀ 𝐢) β†’ ⨜[𝐴 β†’ 𝐢]𝐷 dπ‘₯ = (⨜[𝐴 β†’ 𝐡]𝐷 dπ‘₯ + ⨜[𝐡 β†’ 𝐢]𝐷 dπ‘₯))
9897adantllr 716 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ 𝐡 ≀ 𝐴) ∧ 𝐢 ≀ 𝐴) ∧ 𝐡 ≀ 𝐢) β†’ ⨜[𝐴 β†’ 𝐢]𝐷 dπ‘₯ = (⨜[𝐴 β†’ 𝐡]𝐷 dπ‘₯ + ⨜[𝐡 β†’ 𝐢]𝐷 dπ‘₯))
99 ancom 460 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐡 ≀ 𝐴 ∧ 𝐢 ≀ 𝐡) ↔ (𝐢 ≀ 𝐡 ∧ 𝐡 ≀ 𝐴))
1002, 3, 14, 8, 1, 22, 23, 99ditgsplitlem 25610 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝐡 ≀ 𝐴) ∧ 𝐢 ≀ 𝐡) β†’ ⨜[𝐢 β†’ 𝐴]𝐷 dπ‘₯ = (⨜[𝐢 β†’ 𝐡]𝐷 dπ‘₯ + ⨜[𝐡 β†’ 𝐴]𝐷 dπ‘₯))
101100oveq1d 7427 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝐡 ≀ 𝐴) ∧ 𝐢 ≀ 𝐡) β†’ (⨜[𝐢 β†’ 𝐴]𝐷 dπ‘₯ + ⨜[𝐴 β†’ 𝐡]𝐷 dπ‘₯) = ((⨜[𝐢 β†’ 𝐡]𝐷 dπ‘₯ + ⨜[𝐡 β†’ 𝐴]𝐷 dπ‘₯) + ⨜[𝐴 β†’ 𝐡]𝐷 dπ‘₯))
10231, 74, 55addassd 11241 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((⨜[𝐢 β†’ 𝐡]𝐷 dπ‘₯ + ⨜[𝐡 β†’ 𝐴]𝐷 dπ‘₯) + ⨜[𝐴 β†’ 𝐡]𝐷 dπ‘₯) = (⨜[𝐢 β†’ 𝐡]𝐷 dπ‘₯ + (⨜[𝐡 β†’ 𝐴]𝐷 dπ‘₯ + ⨜[𝐴 β†’ 𝐡]𝐷 dπ‘₯)))
1032, 3, 8, 1, 22, 23ditgswap 25609 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ ⨜[𝐴 β†’ 𝐡]𝐷 dπ‘₯ = -⨜[𝐡 β†’ 𝐴]𝐷 dπ‘₯)
104103oveq2d 7428 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (⨜[𝐡 β†’ 𝐴]𝐷 dπ‘₯ + ⨜[𝐴 β†’ 𝐡]𝐷 dπ‘₯) = (⨜[𝐡 β†’ 𝐴]𝐷 dπ‘₯ + -⨜[𝐡 β†’ 𝐴]𝐷 dπ‘₯))
10574negidd 11566 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (⨜[𝐡 β†’ 𝐴]𝐷 dπ‘₯ + -⨜[𝐡 β†’ 𝐴]𝐷 dπ‘₯) = 0)
106104, 105eqtrd 2771 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (⨜[𝐡 β†’ 𝐴]𝐷 dπ‘₯ + ⨜[𝐴 β†’ 𝐡]𝐷 dπ‘₯) = 0)
107106oveq2d 7428 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (⨜[𝐢 β†’ 𝐡]𝐷 dπ‘₯ + (⨜[𝐡 β†’ 𝐴]𝐷 dπ‘₯ + ⨜[𝐴 β†’ 𝐡]𝐷 dπ‘₯)) = (⨜[𝐢 β†’ 𝐡]𝐷 dπ‘₯ + 0))
10831addridd 11419 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (⨜[𝐢 β†’ 𝐡]𝐷 dπ‘₯ + 0) = ⨜[𝐢 β†’ 𝐡]𝐷 dπ‘₯)
109102, 107, 1083eqtrd 2775 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((⨜[𝐢 β†’ 𝐡]𝐷 dπ‘₯ + ⨜[𝐡 β†’ 𝐴]𝐷 dπ‘₯) + ⨜[𝐴 β†’ 𝐡]𝐷 dπ‘₯) = ⨜[𝐢 β†’ 𝐡]𝐷 dπ‘₯)
110109ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝐡 ≀ 𝐴) ∧ 𝐢 ≀ 𝐡) β†’ ((⨜[𝐢 β†’ 𝐡]𝐷 dπ‘₯ + ⨜[𝐡 β†’ 𝐴]𝐷 dπ‘₯) + ⨜[𝐴 β†’ 𝐡]𝐷 dπ‘₯) = ⨜[𝐢 β†’ 𝐡]𝐷 dπ‘₯)
111101, 110eqtr2d 2772 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝐡 ≀ 𝐴) ∧ 𝐢 ≀ 𝐡) β†’ ⨜[𝐢 β†’ 𝐡]𝐷 dπ‘₯ = (⨜[𝐢 β†’ 𝐴]𝐷 dπ‘₯ + ⨜[𝐴 β†’ 𝐡]𝐷 dπ‘₯))
112111oveq2d 7428 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐡 ≀ 𝐴) ∧ 𝐢 ≀ 𝐡) β†’ (⨜[𝐴 β†’ 𝐢]𝐷 dπ‘₯ + ⨜[𝐢 β†’ 𝐡]𝐷 dπ‘₯) = (⨜[𝐴 β†’ 𝐢]𝐷 dπ‘₯ + (⨜[𝐢 β†’ 𝐴]𝐷 dπ‘₯ + ⨜[𝐴 β†’ 𝐡]𝐷 dπ‘₯)))
11358ad2antrr 723 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐡 ≀ 𝐴) ∧ 𝐢 ≀ 𝐡) β†’ (⨜[𝐴 β†’ 𝐢]𝐷 dπ‘₯ + (⨜[𝐢 β†’ 𝐴]𝐷 dπ‘₯ + ⨜[𝐴 β†’ 𝐡]𝐷 dπ‘₯)) = ⨜[𝐴 β†’ 𝐡]𝐷 dπ‘₯)
114112, 113eqtr2d 2772 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐡 ≀ 𝐴) ∧ 𝐢 ≀ 𝐡) β†’ ⨜[𝐴 β†’ 𝐡]𝐷 dπ‘₯ = (⨜[𝐴 β†’ 𝐢]𝐷 dπ‘₯ + ⨜[𝐢 β†’ 𝐡]𝐷 dπ‘₯))
115114oveq1d 7427 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐡 ≀ 𝐴) ∧ 𝐢 ≀ 𝐡) β†’ (⨜[𝐴 β†’ 𝐡]𝐷 dπ‘₯ + ⨜[𝐡 β†’ 𝐢]𝐷 dπ‘₯) = ((⨜[𝐴 β†’ 𝐢]𝐷 dπ‘₯ + ⨜[𝐢 β†’ 𝐡]𝐷 dπ‘₯) + ⨜[𝐡 β†’ 𝐢]𝐷 dπ‘₯))
11640ad2antrr 723 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐡 ≀ 𝐴) ∧ 𝐢 ≀ 𝐡) β†’ ((⨜[𝐴 β†’ 𝐢]𝐷 dπ‘₯ + ⨜[𝐢 β†’ 𝐡]𝐷 dπ‘₯) + ⨜[𝐡 β†’ 𝐢]𝐷 dπ‘₯) = ⨜[𝐴 β†’ 𝐢]𝐷 dπ‘₯)
117115, 116eqtr2d 2772 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐡 ≀ 𝐴) ∧ 𝐢 ≀ 𝐡) β†’ ⨜[𝐴 β†’ 𝐢]𝐷 dπ‘₯ = (⨜[𝐴 β†’ 𝐡]𝐷 dπ‘₯ + ⨜[𝐡 β†’ 𝐢]𝐷 dπ‘₯))
118117adantlr 712 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ 𝐡 ≀ 𝐴) ∧ 𝐢 ≀ 𝐴) ∧ 𝐢 ≀ 𝐡) β†’ ⨜[𝐴 β†’ 𝐢]𝐷 dπ‘₯ = (⨜[𝐴 β†’ 𝐡]𝐷 dπ‘₯ + ⨜[𝐡 β†’ 𝐢]𝐷 dπ‘₯))
11980, 81, 98, 118lecasei 11325 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝐡 ≀ 𝐴) ∧ 𝐢 ≀ 𝐴) β†’ ⨜[𝐴 β†’ 𝐢]𝐷 dπ‘₯ = (⨜[𝐴 β†’ 𝐡]𝐷 dπ‘₯ + ⨜[𝐡 β†’ 𝐢]𝐷 dπ‘₯))
12064, 65, 79, 119lecasei 11325 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ≀ 𝐴) β†’ ⨜[𝐴 β†’ 𝐢]𝐷 dπ‘₯ = (⨜[𝐴 β†’ 𝐡]𝐷 dπ‘₯ + ⨜[𝐡 β†’ 𝐢]𝐷 dπ‘₯))
1217, 12, 63, 120lecasei 11325 1 (πœ‘ β†’ ⨜[𝐴 β†’ 𝐢]𝐷 dπ‘₯ = (⨜[𝐴 β†’ 𝐡]𝐷 dπ‘₯ + ⨜[𝐡 β†’ 𝐢]𝐷 dπ‘₯))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  (class class class)co 7412  β„cr 11113  0cc0 11114   + caddc 11117   ≀ cle 11254  -cneg 11450  (,)cioo 13329  [,]cicc 13332  πΏ1cibl 25367  β¨œcdit 25596
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9640  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192  ax-addf 11193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-symdif 4242  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-ofr 7675  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-2o 8471  df-er 8707  df-map 8826  df-pm 8827  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fi 9410  df-sup 9441  df-inf 9442  df-oi 9509  df-dju 9900  df-card 9938  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-xneg 13097  df-xadd 13098  df-xmul 13099  df-ioo 13333  df-ico 13335  df-icc 13336  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-fl 13762  df-mod 13840  df-seq 13972  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-clim 15437  df-rlim 15438  df-sum 15638  df-rest 17373  df-topgen 17394  df-psmet 21137  df-xmet 21138  df-met 21139  df-bl 21140  df-mopn 21141  df-top 22617  df-topon 22634  df-bases 22670  df-cmp 23112  df-ovol 25214  df-vol 25215  df-mbf 25369  df-itg1 25370  df-itg2 25371  df-ibl 25372  df-itg 25373  df-0p 25420  df-ditg 25597
This theorem is referenced by:  itgsubstlem  25801
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