ditgsplit - Metamath Proof Explorer

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Theorem ditgsplit 25916

Description: This theorem is the raison d'être for the directed integral, because unlike itgspliticc 25892, there is no constraint on the ordering of the points 𝐴, 𝐵, 𝐶 in the domain. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
ditgsplit.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
ditgsplit.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
ditgsplit.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝑋[,]𝑌))
ditgsplit.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝑋[,]𝑌))
ditgsplit.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝑋[,]𝑌))
ditgsplit.d	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝐷 ∈ 𝑉)
ditgsplit.i	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿¹)

**Assertion**
Ref	Expression
ditgsplit	⊢ (𝜑 → ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥))

Distinct variable groups: 𝑥,𝐴 𝑥,𝐵 𝑥,𝐶 𝜑,𝑥 𝑥,𝑉 𝑥,𝑋 𝑥,𝑌 Allowed substitution hint: 𝐷(𝑥)

**Proof of Theorem ditgsplit**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		ditgsplit.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝑋[,]𝑌))
2		ditgsplit.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
3		ditgsplit.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
4		elicc2 13472	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑌)))
5	2, 3, 4	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑌)))
6	1, 5	mpbid 232	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑌))
7	6	simp1d 1142	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
8		ditgsplit.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝑋[,]𝑌))
9		elicc2 13472	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝐵 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝑌)))
10	2, 3, 9	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝑌)))
11	8, 10	mpbid 232	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝑌))
12	11	simp1d 1142	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
13	7	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
14		ditgsplit.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝑋[,]𝑌))
15		elicc2 13472	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝑌)))
16	2, 3, 15	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝑌)))
17	14, 16	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝑌))
18	17	simp1d 1142	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
19	18	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ)
20	12	ad2antrr 725	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐴 ≤ 𝐶) → 𝐵 ∈ ℝ)
21	18	ad2antrr 725	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐴 ≤ 𝐶) → 𝐶 ∈ ℝ)
22		ditgsplit.d	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝐷 ∈ 𝑉)
23		ditgsplit.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿¹)
24		biid 261	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))
25	2, 3, 1, 8, 14, 22, 23, 24	ditgsplitlem 25915	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥))
26	25	adantlr 714	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐴 ≤ 𝐶) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥))
27		biid 261	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) ↔ (𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵))
28	2, 3, 1, 14, 8, 22, 23, 27	ditgsplitlem 25915	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐶) ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) → ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥))
29	28	oveq1d 7463	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐶) ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) → (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥) = ((⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥))
30	2, 3, 1, 14, 22, 23	ditgcl 25913	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 ∈ ℂ)
31	2, 3, 14, 8, 22, 23	ditgcl 25913	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥 ∈ ℂ)
32	2, 3, 8, 14, 22, 23	ditgcl 25913	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥 ∈ ℂ)
33	30, 31, 32	addassd 11312	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥) = (⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥)))
34	2, 3, 14, 8, 22, 23	ditgswap 25914	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥 = -⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥)
35	34	oveq2d 7464	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥) = (⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + -⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥))
36	31	negidd 11637	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + -⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥) = 0)
37	35, 36	eqtrd 2780	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥) = 0)
38	37	oveq2d 7464	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥)) = (⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + 0))
39	30	addridd 11490	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + 0) = ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥)
40	33, 38, 39	3eqtrd 2784	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥) = ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥)
41	40	ad2antrr 725	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐶) ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) → ((⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥) = ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥)
42	29, 41	eqtr2d 2781	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐶) ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) → ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥))
43	42	adantllr 718	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐴 ≤ 𝐶) ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) → ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥))
44	20, 21, 26, 43	lecasei 11396	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐴 ≤ 𝐶) → ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥))
45	40	ad2antrr 725	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ≤ 𝐴) → ((⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥) = ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥)
46		ancom 460	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐶 ≤ 𝐴) ↔ (𝐶 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵))
47	2, 3, 14, 1, 8, 22, 23, 46	ditgsplitlem 25915	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ≤ 𝐴) → ⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥))
48	47	oveq2d 7464	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ≤ 𝐴) → (⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥) = (⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥)))
49	2, 3, 1, 14, 22, 23	ditgswap 25914	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥 = -⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥)
50	49	oveq2d 7464	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥) = (⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + -⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥))
51	30	negidd 11637	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + -⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥) = 0)
52	50, 51	eqtrd 2780	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥) = 0)
53	52	oveq1d 7463	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥) = (0 + ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥))
54	2, 3, 14, 1, 22, 23	ditgcl 25913	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥 ∈ ℂ)
55	2, 3, 1, 8, 22, 23	ditgcl 25913	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 ∈ ℂ)
56	30, 54, 55	addassd 11312	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥) = (⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥)))
57	55	addlidd 11491	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0 + ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥) = ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥)
58	53, 56, 57	3eqtr3d 2788	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥)) = ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥)
59	58	ad2antrr 725	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ≤ 𝐴) → (⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥)) = ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥)
60	48, 59	eqtrd 2780	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ≤ 𝐴) → (⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥) = ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥)
61	60	oveq1d 7463	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ≤ 𝐴) → ((⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥) = (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥))
62	45, 61	eqtr3d 2782	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ≤ 𝐴) → ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥))
63	13, 19, 44, 62	lecasei 11396	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥))
64	7	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
65	18	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
66		biid 261	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐶) ↔ (𝐵 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐶))
67	2, 3, 8, 1, 14, 22, 23, 66	ditgsplitlem 25915	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 ≤ 𝐶) → ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐵 → 𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥))
68	67	oveq2d 7464	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 ≤ 𝐶) → (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥) = (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐵 → 𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥)))
69	2, 3, 1, 8, 22, 23	ditgswap 25914	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ⨜[𝐵 → 𝐴]𝐷 d𝑥 = -⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥)
70	69	oveq2d 7464	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐴]𝐷 d𝑥) = (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + -⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥))
71	55	negidd 11637	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + -⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥) = 0)
72	70, 71	eqtrd 2780	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐴]𝐷 d𝑥) = 0)
73	72	oveq1d 7463	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐴]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥) = (0 + ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥))
74	2, 3, 8, 1, 22, 23	ditgcl 25913	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ⨜[𝐵 → 𝐴]𝐷 d𝑥 ∈ ℂ)
75	55, 74, 30	addassd 11312	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐴]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥) = (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐵 → 𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥)))
76	30	addlidd 11491	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0 + ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥) = ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥)
77	73, 75, 76	3eqtr3d 2788	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐵 → 𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥)) = ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥)
78	77	ad2antrr 725	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 ≤ 𝐶) → (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐵 → 𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥)) = ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥)
79	68, 78	eqtr2d 2781	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 ≤ 𝐶) → ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥))
80	12	ad2antrr 725	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐶 ≤ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
81	18	ad2antrr 725	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐶 ≤ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
82		ancom 460	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) ↔ (𝐵 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐴))
83	2, 3, 8, 14, 1, 22, 23, 82	ditgsplitlem 25915	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → ⨜[𝐵 → 𝐴]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥))
84	83	oveq1d 7463	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → (⨜[𝐵 → 𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥) = ((⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥))
85	32, 54, 30	addassd 11312	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥) = (⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥)))
86	2, 3, 14, 1, 22, 23	ditgswap 25914	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 = -⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥)
87	86	oveq2d 7464	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥) = (⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥 + -⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥))
88	54	negidd 11637	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥 + -⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥) = 0)
89	87, 88	eqtrd 2780	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥) = 0)
90	89	oveq2d 7464	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥)) = (⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + 0))
91	32	addridd 11490	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + 0) = ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥)
92	85, 90, 91	3eqtrd 2784	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥) = ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥)
93	92	ad2antrr 725	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → ((⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥) = ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥)
94	84, 93	eqtr2d 2781	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐵 → 𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥))
95	94	oveq2d 7464	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥) = (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐵 → 𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥)))
96	77	ad2antrr 725	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐵 → 𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥)) = ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥)
97	95, 96	eqtr2d 2781	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥))
98	97	adantllr 718	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐶 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥))
99		ancom 460	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ≤ 𝐴 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) ↔ (𝐶 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴))
100	2, 3, 14, 8, 1, 22, 23, 99	ditgsplitlem 25915	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) → ⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐴]𝐷 d𝑥))
101	100	oveq1d 7463	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) → (⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥) = ((⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐴]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥))
102	31, 74, 55	addassd 11312	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐴]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥) = (⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐵 → 𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥)))
103	2, 3, 8, 1, 22, 23	ditgswap 25914	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 = -⨜[𝐵 → 𝐴]𝐷 d𝑥)
104	103	oveq2d 7464	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (⨜[𝐵 → 𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥) = (⨜[𝐵 → 𝐴]𝐷 d𝑥 + -⨜[𝐵 → 𝐴]𝐷 d𝑥))
105	74	negidd 11637	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (⨜[𝐵 → 𝐴]𝐷 d𝑥 + -⨜[𝐵 → 𝐴]𝐷 d𝑥) = 0)
106	104, 105	eqtrd 2780	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (⨜[𝐵 → 𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥) = 0)
107	106	oveq2d 7464	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐵 → 𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥)) = (⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + 0))
108	31	addridd 11490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + 0) = ⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥)
109	102, 107, 108	3eqtrd 2784	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐴]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥) = ⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥)
110	109	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) → ((⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐴]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥) = ⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥)
111	101, 110	eqtr2d 2781	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) → ⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥))
112	111	oveq2d 7464	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) → (⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥) = (⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥)))
113	58	ad2antrr 725	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) → (⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥)) = ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥)
114	112, 113	eqtr2d 2781	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) → ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥))
115	114	oveq1d 7463	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) → (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥) = ((⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥))
116	40	ad2antrr 725	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) → ((⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥) = ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥)
117	115, 116	eqtr2d 2781	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) → ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥))
118	117	adantlr 714	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐶 ≤ 𝐴) ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) → ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥))
119	80, 81, 98, 118	lecasei 11396	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐶 ≤ 𝐴) → ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥))
120	64, 65, 79, 119	lecasei 11396	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥))
121	7, 12, 63, 120	lecasei 11396	1 ⊢ (𝜑 → ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 ∧ w3a 1087 = wceq 1537 ∈ wcel 2108 class class class wbr 5166 ↦ cmpt 5249 (class class class)co 7448 ℝcr 11183 0cc0 11184 + caddc 11187 ≤ cle 11325 -cneg 11521 (,)cioo 13407 [,]cicc 13410 𝐿¹cibl 25671 ⨜cdit 25901

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1793 ax-4 1807 ax-5 1909 ax-6 1967 ax-7 2007 ax-8 2110 ax-9 2118 ax-10 2141 ax-11 2158 ax-12 2178 ax-ext 2711 ax-rep 5303 ax-sep 5317 ax-nul 5324 ax-pow 5383 ax-pr 5447 ax-un 7770 ax-inf2 9710 ax-cnex 11240 ax-resscn 11241 ax-1cn 11242 ax-icn 11243 ax-addcl 11244 ax-addrcl 11245 ax-mulcl 11246 ax-mulrcl 11247 ax-mulcom 11248 ax-addass 11249 ax-mulass 11250 ax-distr 11251 ax-i2m1 11252 ax-1ne0 11253 ax-1rid 11254 ax-rnegex 11255 ax-rrecex 11256 ax-cnre 11257 ax-pre-lttri 11258 ax-pre-lttrn 11259 ax-pre-ltadd 11260 ax-pre-mulgt0 11261 ax-pre-sup 11262 ax-addf 11263

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 847 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1540 df-fal 1550 df-ex 1778 df-nf 1782 df-sb 2065 df-mo 2543 df-eu 2572 df-clab 2718 df-cleq 2732 df-clel 2819 df-nfc 2895 df-ne 2947 df-nel 3053 df-ral 3068 df-rex 3077 df-rmo 3388 df-reu 3389 df-rab 3444 df-v 3490 df-sbc 3805 df-csb 3922 df-dif 3979 df-un 3981 df-in 3983 df-ss 3993 df-pss 3996 df-symdif 4272 df-nul 4353 df-if 4549 df-pw 4624 df-sn 4649 df-pr 4651 df-op 4655 df-uni 4932 df-int 4971 df-iun 5017 df-disj 5134 df-br 5167 df-opab 5229 df-mpt 5250 df-tr 5284 df-id 5593 df-eprel 5599 df-po 5607 df-so 5608 df-fr 5652 df-se 5653 df-we 5654 df-xp 5706 df-rel 5707 df-cnv 5708 df-co 5709 df-dm 5710 df-rn 5711 df-res 5712 df-ima 5713 df-pred 6332 df-ord 6398 df-on 6399 df-lim 6400 df-suc 6401 df-iota 6525 df-fun 6575 df-fn 6576 df-f 6577 df-f1 6578 df-fo 6579 df-f1o 6580 df-fv 6581 df-isom 6582 df-riota 7404 df-ov 7451 df-oprab 7452 df-mpo 7453 df-of 7714 df-ofr 7715 df-om 7904 df-1st 8030 df-2nd 8031 df-frecs 8322 df-wrecs 8353 df-recs 8427 df-rdg 8466 df-1o 8522 df-2o 8523 df-er 8763 df-map 8886 df-pm 8887 df-en 9004 df-dom 9005 df-sdom 9006 df-fin 9007 df-fi 9480 df-sup 9511 df-inf 9512 df-oi 9579 df-dju 9970 df-card 10008 df-pnf 11326 df-mnf 11327 df-xr 11328 df-ltxr 11329 df-le 11330 df-sub 11522 df-neg 11523 df-div 11948 df-nn 12294 df-2 12356 df-3 12357 df-4 12358 df-n0 12554 df-z 12640 df-uz 12904 df-q 13014 df-rp 13058 df-xneg 13175 df-xadd 13176 df-xmul 13177 df-ioo 13411 df-ico 13413 df-icc 13414 df-fz 13568 df-fzo 13712 df-fl 13843 df-mod 13921 df-seq 14053 df-exp 14113 df-hash 14380 df-cj 15148 df-re 15149 df-im 15150 df-sqrt 15284 df-abs 15285 df-clim 15534 df-rlim 15535 df-sum 15735 df-rest 17482 df-topgen 17503 df-psmet 21379 df-xmet 21380 df-met 21381 df-bl 21382 df-mopn 21383 df-top 22921 df-topon 22938 df-bases 22974 df-cmp 23416 df-ovol 25518 df-vol 25519 df-mbf 25673 df-itg1 25674 df-itg2 25675 df-ibl 25676 df-itg 25677 df-0p 25724 df-ditg 25902

This theorem is referenced by: itgsubstlem 26109

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