Theorem atanlogadd 26880

Description: The rule √(𝑧𝑤) = (√𝑧)(√𝑤) is not always true on the complex numbers, but it is true when the arguments of 𝑧 and 𝑤 sum to within the interval (-π, π], so there are some cases such as this one with 𝑧 = 1 + i𝐴 and 𝑤 = 1 − i𝐴 which are true unconditionally. This result can also be stated as "√(1 + 𝑧) + √(1 − 𝑧) is analytic". (Contributed by Mario Carneiro, 3-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
atanlogadd	⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))) ∈ ran log)

Proof of Theorem atanlogadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0red 11135	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → 0 ∈ ℝ)
2		atandm2 26843	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ≠ 0 ∧ (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0))
3	2	simp1bi 1145	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → 𝐴 ∈ ℂ)
4	3	recld 15117	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
5		atanlogaddlem 26879	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴)) → ((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))) ∈ ran log)
6		ax-1cn 11084	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
7		ax-icn 11085	. . . . . . . . 9 ⊢ i ∈ ℂ
8		mulcl 11110	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
9	7, 3, 8	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
10		addcl 11108	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
11	6, 9, 10	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
12	2	simp3bi 1147	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0)
13	11, 12	logcld 26535	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (log‘(1 + (i · 𝐴))) ∈ ℂ)
14		subcl 11379	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (1 − (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
15	6, 9, 14	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (1 − (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
16	2	simp2bi 1146	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (1 − (i · 𝐴)) ≠ 0)
17	15, 16	logcld 26535	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (log‘(1 − (i · 𝐴))) ∈ ℂ)
18	13, 17	addcomd 11335	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))) = ((log‘(1 − (i · 𝐴))) + (log‘(1 + (i · 𝐴)))))
19		mulneg2 11574	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · -𝐴) = -(i · 𝐴))
20	7, 3, 19	sylancr 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (i · -𝐴) = -(i · 𝐴))
21	20	oveq2d 7374	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (1 + (i · -𝐴)) = (1 + -(i · 𝐴)))
22		negsub 11429	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (1 + -(i · 𝐴)) = (1 − (i · 𝐴)))
23	6, 9, 22	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (1 + -(i · 𝐴)) = (1 − (i · 𝐴)))
24	21, 23	eqtrd 2771	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (1 + (i · -𝐴)) = (1 − (i · 𝐴)))
25	24	fveq2d 6838	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (log‘(1 + (i · -𝐴))) = (log‘(1 − (i · 𝐴))))
26	20	oveq2d 7374	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (1 − (i · -𝐴)) = (1 − -(i · 𝐴)))
27		subneg 11430	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (1 − -(i · 𝐴)) = (1 + (i · 𝐴)))
28	6, 9, 27	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (1 − -(i · 𝐴)) = (1 + (i · 𝐴)))
29	26, 28	eqtrd 2771	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (1 − (i · -𝐴)) = (1 + (i · 𝐴)))
30	29	fveq2d 6838	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (log‘(1 − (i · -𝐴))) = (log‘(1 + (i · 𝐴))))
31	25, 30	oveq12d 7376	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((log‘(1 + (i · -𝐴))) + (log‘(1 − (i · -𝐴)))) = ((log‘(1 − (i · 𝐴))) + (log‘(1 + (i · 𝐴)))))
32	18, 31	eqtr4d 2774	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))) = ((log‘(1 + (i · -𝐴))) + (log‘(1 − (i · -𝐴)))))
33	32	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ (ℜ‘𝐴) ≤ 0) → ((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))) = ((log‘(1 + (i · -𝐴))) + (log‘(1 − (i · -𝐴)))))
34		atandmneg 26872	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → -𝐴 ∈ dom arctan)
35	4	le0neg1d 11708	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((ℜ‘𝐴) ≤ 0 ↔ 0 ≤ -(ℜ‘𝐴)))
36	35	biimpa 476	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ (ℜ‘𝐴) ≤ 0) → 0 ≤ -(ℜ‘𝐴))
37	3	renegd 15132	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (ℜ‘-𝐴) = -(ℜ‘𝐴))
38	37	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ (ℜ‘𝐴) ≤ 0) → (ℜ‘-𝐴) = -(ℜ‘𝐴))
39	36, 38	breqtrrd 5126	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ (ℜ‘𝐴) ≤ 0) → 0 ≤ (ℜ‘-𝐴))
40		atanlogaddlem 26879	. . . 4 ⊢ ((-𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 ≤ (ℜ‘-𝐴)) → ((log‘(1 + (i · -𝐴))) + (log‘(1 − (i · -𝐴)))) ∈ ran log)
41	34, 39, 40	syl2an2r 685	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ (ℜ‘𝐴) ≤ 0) → ((log‘(1 + (i · -𝐴))) + (log‘(1 − (i · -𝐴)))) ∈ ran log)
42	33, 41	eqeltrd 2836	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ (ℜ‘𝐴) ≤ 0) → ((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))) ∈ ran log)
43	1, 4, 5, 42	lecasei 11239	1 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))) ∈ ran log)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932   class class class wbr 5098  dom cdm 5624  ran crn 5625  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℂcc 11024  0cc0 11026  1c1 11027  ici 11028   + caddc 11029   · cmul 11031   ≤ cle 11167   − cmin 11364  -cneg 11365  ℜcre 15020  logclog 26519  arctancatan 26830

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-inf2 9550  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104  ax-addf 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-er 8635  df-map 8765  df-pm 8766  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-fi 9314  df-sup 9345  df-inf 9346  df-oi 9415  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-z 12489  df-dec 12608  df-uz 12752  df-q 12862  df-rp 12906  df-xneg 13026  df-xadd 13027  df-xmul 13028  df-ioo 13265  df-ioc 13266  df-ico 13267  df-icc 13268  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-fl 13712  df-mod 13790  df-seq 13925  df-exp 13985  df-fac 14197  df-bc 14226  df-hash 14254  df-shft 14990  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159  df-limsup 15394  df-clim 15411  df-rlim 15412  df-sum 15610  df-ef 15990  df-sin 15992  df-cos 15993  df-pi 15995  df-struct 17074  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-starv 17192  df-sca 17193  df-vsca 17194  df-ip 17195  df-tset 17196  df-ple 17197  df-ds 17199  df-unif 17200  df-hom 17201  df-cco 17202  df-rest 17342  df-topn 17343  df-0g 17361  df-gsum 17362  df-topgen 17363  df-pt 17364  df-prds 17367  df-xrs 17423  df-qtop 17428  df-imas 17429  df-xps 17431  df-mre 17505  df-mrc 17506  df-acs 17508  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18709  df-mulg 18998  df-cntz 19246  df-cmn 19711  df-psmet 21301  df-xmet 21302  df-met 21303  df-bl 21304  df-mopn 21305  df-fbas 21306  df-fg 21307  df-cnfld 21310  df-top 22838  df-topon 22855  df-topsp 22877  df-bases 22890  df-cld 22963  df-ntr 22964  df-cls 22965  df-nei 23042  df-lp 23080  df-perf 23081  df-cn 23171  df-cnp 23172  df-haus 23259  df-tx 23506  df-hmeo 23699  df-fil 23790  df-fm 23882  df-flim 23883  df-flf 23884  df-xms 24264  df-ms 24265  df-tms 24266  df-cncf 24827  df-limc 25823  df-dv 25824  df-log 26521  df-atan 26833

This theorem is referenced by:  efiatan2  26883