Theorem atanlogadd 27275

Description: The rule √(𝑧𝑤) = (√𝑧)(√𝑤) is not always true on the complex numbers, but it is true when the arguments of 𝑧 and 𝑤 sum to within the interval ( -π, π], so there are some cases such as this one with 𝑧 = 1 + i𝐴 and 𝑤 = 1 − i𝐴 which are true unconditionally. This result can also be stated as "√(1 + 𝑧) + √(1 − 𝑧) is analytic". (Contributed by Mario Carneiro, 3-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
atanlogadd	⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))) ∈ ran log)

Proof of Theorem atanlogadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0red 11341	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → 0 ∈ ℝ)
2		atandm2 27238	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ≠ 0 ∧ (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0))
3	2	simp1bi 1163	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → 𝐴 ∈ ℂ)
4	3	recld 15393	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
5		atanlogaddlem 27274	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴)) → ((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))) ∈ ran log)
6		ax-1cn 11288	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
7		ax-icn 11289	. . . . . . . . 9 ⊢ i ∈ ℂ
8		mulcl 11314	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
9	7, 3, 8	sylancr 599	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
10		addcl 11312	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
11	6, 9, 10	sylancr 599	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
12	2	simp3bi 1165	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0)
13	11, 12	logcld 26931	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (log‘(1 + (i · 𝐴))) ∈ ℂ)
14		subcl 11586	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (1 − (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
15	6, 9, 14	sylancr 599	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (1 − (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
16	2	simp2bi 1164	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (1 − (i · 𝐴)) ≠ 0)
17	15, 16	logcld 26931	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (log‘(1 − (i · 𝐴))) ∈ ℂ)
18	13, 17	addcomd 11542	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))) = ((log‘(1 − (i · 𝐴))) + (log‘(1 + (i · 𝐴)))))
19		mulneg2 11783	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · -𝐴) = -(i · 𝐴))
20	7, 3, 19	sylancr 599	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (i · -𝐴) = -(i · 𝐴))
21	20	oveq2d 7462	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (1 + (i · -𝐴)) = (1 + -(i · 𝐴)))
22		negsub 11636	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (1 + -(i · 𝐴)) = (1 − (i · 𝐴)))
23	6, 9, 22	sylancr 599	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (1 + -(i · 𝐴)) = (1 − (i · 𝐴)))
24	21, 23	eqtrd 2798	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (1 + (i · -𝐴)) = (1 − (i · 𝐴)))
25	24	fveq2d 6915	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (log‘(1 + (i · -𝐴))) = (log‘(1 − (i · 𝐴))))
26	20	oveq2d 7462	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (1 − (i · -𝐴)) = (1 − -(i · 𝐴)))
27		subneg 11637	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (1 − -(i · 𝐴)) = (1 + (i · 𝐴)))
28	6, 9, 27	sylancr 599	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (1 − -(i · 𝐴)) = (1 + (i · 𝐴)))
29	26, 28	eqtrd 2798	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (1 − (i · -𝐴)) = (1 + (i · 𝐴)))
30	29	fveq2d 6915	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (log‘(1 − (i · -𝐴))) = (log‘(1 + (i · 𝐴))))
31	25, 30	oveq12d 7464	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((log‘(1 + (i · -𝐴))) + (log‘(1 − (i · -𝐴)))) = ((log‘(1 − (i · 𝐴))) + (log‘(1 + (i · 𝐴)))))
32	18, 31	eqtr4d 2801	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))) = ((log‘(1 + (i · -𝐴))) + (log‘(1 − (i · -𝐴)))))
33	32	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ (ℜ‘𝐴) ≤ 0) → ((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))) = ((log‘(1 + (i · -𝐴))) + (log‘(1 − (i · -𝐴)))))
34		atandmneg 27267	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → -𝐴 ∈ dom arctan)
35	4	le0neg1d 11917	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((ℜ‘𝐴) ≤ 0 ↔ 0 ≤ -(ℜ‘𝐴)))
36	35	biimpa 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ (ℜ‘𝐴) ≤ 0) → 0 ≤ -(ℜ‘𝐴))
37	3	renegd 15408	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (ℜ‘ -𝐴) = -(ℜ‘𝐴))
38	37	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ (ℜ‘𝐴) ≤ 0) → (ℜ‘ -𝐴) = -(ℜ‘𝐴))
39	36, 38	breqtrrd 5137	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ (ℜ‘𝐴) ≤ 0) → 0 ≤ (ℜ‘ -𝐴))
40		atanlogaddlem 27274	. . . 4 ⊢ (( -𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 ≤ (ℜ‘ -𝐴)) → ((log‘(1 + (i · -𝐴))) + (log‘(1 − (i · -𝐴)))) ∈ ran log)
41	34, 39, 40	syl2an2r 698	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ (ℜ‘𝐴) ≤ 0) → ((log‘(1 + (i · -𝐴))) + (log‘(1 − (i · -𝐴)))) ∈ ran log)
42	33, 41	eqeltrd 2864	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ (ℜ‘𝐴) ≤ 0) → ((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))) ∈ ran log)
43	1, 4, 5, 42	lecasei 11446	1 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))) ∈ ran log)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959   class class class wbr 5106  dom cdm 5656  ran crn 5657  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446  ℂcc 11228  0cc0 11230  1c1 11231  ici 11232   + caddc 11233   · cmul 11235   ≤ cle 11374   − cmin 11571   -cneg 11572  ℜcre 15296  logclog 26915  arctancatan 27225

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-inf2 9672  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307  ax-pre-sup 11308  ax-addf 11309

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-se 5610  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-of 7720  df-om 7905  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-supp 8208  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8507  df-2o 8508  df-er 8748  df-map 8880  df-pm 8881  df-ixp 8957  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-fin 9008  df-fsupp 9385  df-fi 9433  df-sup 9464  df-inf 9465  df-oi 9534  df-card 10050  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-div 12004  df-nn 12366  df-2 12435  df-3 12436  df-4 12437  df-5 12438  df-6 12439  df-7 12440  df-8 12441  df-9 12442  df-n0 12637  df-z 12724  df-dec 12845  df-uz 12996  df-q 13106  df-rp 13151  df-xneg 13271  df-xadd 13272  df-xmul 13273  df-ioo 13510  df-ioc 13511  df-ico 13512  df-icc 13513  df-fz 13670  df-fzo 13819  df-fl 13962  df-mod 14040  df-seq 14175  df-exp 14235  df-fac 14448  df-bc 14477  df-hash 14505  df-shft 15252  df-cj 15298  df-re 15299  df-im 15300  df-sqrt 15434  df-abs 15435  df-limsup 15670  df-clim 15687  df-rlim 15688  df-sum 15886  df-ef 16265  df-sin 16267  df-cos 16268  df-pi 16270  df-struct 17357  df-sets 17374  df-slot 17392  df-ndx 17404  df-base 17420  df-ress 17441  df-plusg 17473  df-mulr 17474  df-starv 17475  df-sca 17476  df-vsca 17477  df-ip 17478  df-tset 17479  df-ple 17480  df-ds 17482  df-unif 17483  df-hom 17484  df-cco 17485  df-rest 17625  df-topn 17626  df-0g 17644  df-gsum 17645  df-topgen 17646  df-pt 17647  df-prds 17650  df-xrs 17706  df-qtop 17711  df-imas 17712  df-xps 17714  df-mre 17788  df-mrc 17789  df-acs 17791  df-mgm 18848  df-sgrp 18940  df-mnd 18956  df-submnd 19011  df-mulg 19310  df-cntz 19564  df-cmn 20029  df-psmet 21703  df-xmet 21704  df-met 21705  df-bl 21706  df-mopn 21707  df-fbas 21708  df-fg 21709  df-cnfld 21712  df-top 23245  df-topon 23262  df-topsp 23284  df-bases 23297  df-cld 23370  df-ntr 23371  df-cls 23372  df-nei 23449  df-lp 23487  df-perf 23488  df-cn 23578  df-cnp 23579  df-haus 23666  df-tx 23914  df-hmeo 24107  df-fil 24198  df-fm 24290  df-flim 24291  df-flf 24292  df-xms 24672  df-ms 24673  df-tms 24674  df-cncf 25232  df-limc 26219  df-dv 26220  df-log 26917  df-atan 27228

This theorem is used by:  efiatan2  27278