MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  asinlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem asinlem3 26237
Description: The argument to the logarithm in df-asin 26231 has nonnegative real part. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
asinlem3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ 0 โ‰ค (โ„œโ€˜((i ยท ๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2))))))

Proof of Theorem asinlem3
StepHypRef Expression
1 0red 11165 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ 0 โˆˆ โ„)
2 imcl 15003 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
3 ax-icn 11117 . . . . . . . . 9 i โˆˆ โ„‚
4 negcl 11408 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ -๐ด โˆˆ โ„‚)
54adantr 482 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ -๐ด โˆˆ โ„‚)
6 mulcl 11142 . . . . . . . . 9 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง -๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท -๐ด) โˆˆ โ„‚)
73, 5, 6sylancr 588 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ (i ยท -๐ด) โˆˆ โ„‚)
8 ax-1cn 11116 . . . . . . . . . 10 1 โˆˆ โ„‚
95sqcld 14056 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ (-๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
10 subcl 11407 . . . . . . . . . 10 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง (-๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
118, 9, 10sylancr 588 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ (1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
1211sqrtcld 15329 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2))) โˆˆ โ„‚)
137, 12addcld 11181 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ ((i ยท -๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2)))) โˆˆ โ„‚)
14 asinlem 26234 . . . . . . . 8 (-๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((i ยท -๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2)))) โ‰  0)
155, 14syl 17 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ ((i ยท -๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2)))) โ‰  0)
1613, 15absrpcld 15340 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ (absโ€˜((i ยท -๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2))))) โˆˆ โ„+)
17 2z 12542 . . . . . 6 2 โˆˆ โ„ค
18 rpexpcl 13993 . . . . . 6 (((absโ€˜((i ยท -๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2))))) โˆˆ โ„+ โˆง 2 โˆˆ โ„ค) โ†’ ((absโ€˜((i ยท -๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2)))))โ†‘2) โˆˆ โ„+)
1916, 17, 18sylancl 587 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ ((absโ€˜((i ยท -๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2)))))โ†‘2) โˆˆ โ„+)
2019rprecred 12975 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ (1 / ((absโ€˜((i ยท -๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2)))))โ†‘2)) โˆˆ โ„)
2113cjcld 15088 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ (โˆ—โ€˜((i ยท -๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2))))) โˆˆ โ„‚)
2221recld 15086 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ (โ„œโ€˜(โˆ—โ€˜((i ยท -๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2)))))) โˆˆ โ„)
2319rpreccld 12974 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ (1 / ((absโ€˜((i ยท -๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2)))))โ†‘2)) โˆˆ โ„+)
2423rpge0d 12968 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ 0 โ‰ค (1 / ((absโ€˜((i ยท -๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2)))))โ†‘2)))
25 imneg 15025 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„‘โ€˜-๐ด) = -(โ„‘โ€˜๐ด))
2625adantr 482 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ (โ„‘โ€˜-๐ด) = -(โ„‘โ€˜๐ด))
272le0neg2d 11734 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ด) โ†” -(โ„‘โ€˜๐ด) โ‰ค 0))
2827biimpa 478 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ -(โ„‘โ€˜๐ด) โ‰ค 0)
2926, 28eqbrtrd 5132 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ (โ„‘โ€˜-๐ด) โ‰ค 0)
30 asinlem3a 26236 . . . . . 6 ((-๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„‘โ€˜-๐ด) โ‰ค 0) โ†’ 0 โ‰ค (โ„œโ€˜((i ยท -๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2))))))
315, 29, 30syl2anc 585 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ 0 โ‰ค (โ„œโ€˜((i ยท -๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2))))))
3213recjd 15096 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ (โ„œโ€˜(โˆ—โ€˜((i ยท -๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2)))))) = (โ„œโ€˜((i ยท -๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2))))))
3331, 32breqtrrd 5138 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(โˆ—โ€˜((i ยท -๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2)))))))
3420, 22, 24, 33mulge0d 11739 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ 0 โ‰ค ((1 / ((absโ€˜((i ยท -๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2)))))โ†‘2)) ยท (โ„œโ€˜(โˆ—โ€˜((i ยท -๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2))))))))
35 recval 15214 . . . . . . 7 ((((i ยท -๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2)))) โˆˆ โ„‚ โˆง ((i ยท -๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2)))) โ‰  0) โ†’ (1 / ((i ยท -๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2))))) = ((โˆ—โ€˜((i ยท -๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2))))) / ((absโ€˜((i ยท -๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2)))))โ†‘2)))
3613, 15, 35syl2anc 585 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ (1 / ((i ยท -๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2))))) = ((โˆ—โ€˜((i ยท -๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2))))) / ((absโ€˜((i ยท -๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2)))))โ†‘2)))
37 asinlem2 26235 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (((i ยท ๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2)))) ยท ((i ยท -๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2))))) = 1)
3837adantr 482 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ (((i ยท ๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2)))) ยท ((i ยท -๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2))))) = 1)
3938eqcomd 2743 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ 1 = (((i ยท ๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2)))) ยท ((i ยท -๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2))))))
40 1cnd 11157 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
41 simpl 484 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
42 mulcl 11142 . . . . . . . . . 10 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
433, 41, 42sylancr 588 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
44 sqcl 14030 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
4544adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
46 subcl 11407 . . . . . . . . . . 11 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 โˆ’ (๐ดโ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
478, 45, 46sylancr 588 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ (1 โˆ’ (๐ดโ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
4847sqrtcld 15329 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2))) โˆˆ โ„‚)
4943, 48addcld 11181 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ ((i ยท ๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2)))) โˆˆ โ„‚)
5040, 49, 13, 15divmul3d 11972 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ ((1 / ((i ยท -๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2))))) = ((i ยท ๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2)))) โ†” 1 = (((i ยท ๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2)))) ยท ((i ยท -๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2)))))))
5139, 50mpbird 257 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ (1 / ((i ยท -๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2))))) = ((i ยท ๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2)))))
5219rpcnd 12966 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ ((absโ€˜((i ยท -๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2)))))โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
5319rpne0d 12969 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ ((absโ€˜((i ยท -๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2)))))โ†‘2) โ‰  0)
5421, 52, 53divrec2d 11942 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ ((โˆ—โ€˜((i ยท -๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2))))) / ((absโ€˜((i ยท -๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2)))))โ†‘2)) = ((1 / ((absโ€˜((i ยท -๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2)))))โ†‘2)) ยท (โˆ—โ€˜((i ยท -๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2)))))))
5536, 51, 543eqtr3d 2785 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ ((i ยท ๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2)))) = ((1 / ((absโ€˜((i ยท -๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2)))))โ†‘2)) ยท (โˆ—โ€˜((i ยท -๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2)))))))
5655fveq2d 6851 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ (โ„œโ€˜((i ยท ๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2))))) = (โ„œโ€˜((1 / ((absโ€˜((i ยท -๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2)))))โ†‘2)) ยท (โˆ—โ€˜((i ยท -๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2))))))))
5720, 21remul2d 15119 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ (โ„œโ€˜((1 / ((absโ€˜((i ยท -๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2)))))โ†‘2)) ยท (โˆ—โ€˜((i ยท -๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2))))))) = ((1 / ((absโ€˜((i ยท -๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2)))))โ†‘2)) ยท (โ„œโ€˜(โˆ—โ€˜((i ยท -๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2))))))))
5856, 57eqtrd 2777 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ (โ„œโ€˜((i ยท ๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2))))) = ((1 / ((absโ€˜((i ยท -๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2)))))โ†‘2)) ยท (โ„œโ€˜(โˆ—โ€˜((i ยท -๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2))))))))
5934, 58breqtrrd 5138 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ 0 โ‰ค (โ„œโ€˜((i ยท ๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2))))))
60 asinlem3a 26236 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„‘โ€˜๐ด) โ‰ค 0) โ†’ 0 โ‰ค (โ„œโ€˜((i ยท ๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2))))))
611, 2, 59, 60lecasei 11268 1 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ 0 โ‰ค (โ„œโ€˜((i ยท ๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2944   class class class wbr 5110  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  โ„‚cc 11056  0cc0 11058  1c1 11059  ici 11060   + caddc 11061   ยท cmul 11063   โ‰ค cle 11197   โˆ’ cmin 11392  -cneg 11393   / cdiv 11819  2c2 12215  โ„คcz 12506  โ„+crp 12922  โ†‘cexp 13974  โˆ—ccj 14988  โ„œcre 14989  โ„‘cim 14990  โˆšcsqrt 15125  abscabs 15126
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-sup 9385  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923  df-seq 13914  df-exp 13975  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128
This theorem is referenced by:  asinneg  26252  asinbnd  26265  dvasin  36191
  Copyright terms: Public domain W3C validator