Theorem asinlem3 26853

Description: The argument to the logarithm in df-asin 26847 has nonnegative real part. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
asinlem3	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (ℜ‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))))

Proof of Theorem asinlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0red 11138	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ∈ ℝ)
2		imcl 15064	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
3		ax-icn 11088	. . . . . . . . 9 ⊢ i ∈ ℂ
4		negcl 11384	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
5	4	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → -𝐴 ∈ ℂ)
6		mulcl 11113	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ -𝐴 ∈ ℂ) → (i · -𝐴) ∈ ℂ)
7	3, 5, 6	sylancr 593	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → (i · -𝐴) ∈ ℂ)
8		ax-1cn 11087	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
9	5	sqcld 14097	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → (-𝐴↑2) ∈ ℂ)
10		subcl 11383	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (-𝐴↑2) ∈ ℂ) → (1 − (-𝐴↑2)) ∈ ℂ)
11	8, 9, 10	sylancr 593	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → (1 − (-𝐴↑2)) ∈ ℂ)
12	11	sqrtcld 15393	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → (√‘(1 − (-𝐴↑2))) ∈ ℂ)
13	7, 12	addcld 11155	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → ((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))) ∈ ℂ)
14		asinlem 26850	. . . . . . . 8 ⊢ (-𝐴 ∈ ℂ → ((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))) ≠ 0)
15	5, 14	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → ((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))) ≠ 0)
16	13, 15	absrpcld 15404	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → (abs‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2))))) ∈ ℝ+)
17		2z 12550	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
18		rpexpcl 14033	. . . . . 6 ⊢ (((abs‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2))))) ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((abs‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))))↑2) ∈ ℝ+)
19	16, 17, 18	sylancl 592	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → ((abs‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))))↑2) ∈ ℝ+)
20	19	rprecred 12988	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → (1 / ((abs‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))))↑2)) ∈ ℝ)
21	13	cjcld 15149	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → (∗‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2))))) ∈ ℂ)
22	21	recld 15147	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → (ℜ‘(∗‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))))) ∈ ℝ)
23	19	rpreccld 12987	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → (1 / ((abs‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))))↑2)) ∈ ℝ+)
24	23	rpge0d 12981	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → 0 ≤ (1 / ((abs‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))))↑2)))
25		imneg 15086	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘-𝐴) = -(ℑ‘𝐴))
26	25	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘-𝐴) = -(ℑ‘𝐴))
27	2	le0neg2d 11713	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 ≤ (ℑ‘𝐴) ↔ -(ℑ‘𝐴) ≤ 0))
28	27	biimpa 477	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → -(ℑ‘𝐴) ≤ 0)
29	26, 28	eqbrtrd 5094	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘-𝐴) ≤ 0)
30		asinlem3a 26852	. . . . . 6 ⊢ ((-𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘-𝐴) ≤ 0) → 0 ≤ (ℜ‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2))))))
31	5, 29, 30	syl2anc 590	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → 0 ≤ (ℜ‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2))))))
32	13	recjd 15157	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → (ℜ‘(∗‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))))) = (ℜ‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2))))))
33	31, 32	breqtrrd 5100	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → 0 ≤ (ℜ‘(∗‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))))))
34	20, 22, 24, 33	mulge0d 11718	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → 0 ≤ ((1 / ((abs‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))))↑2)) · (ℜ‘(∗‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2))))))))
35		recval 15276	. . . . . . 7 ⊢ ((((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))) ∈ ℂ ∧ ((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))) ≠ 0) → (1 / ((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2))))) = ((∗‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2))))) / ((abs‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))))↑2)))
36	13, 15, 35	syl2anc 590	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → (1 / ((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2))))) = ((∗‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2))))) / ((abs‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))))↑2)))
37		asinlem2 26851	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) · ((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2))))) = 1)
38	37	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → (((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) · ((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2))))) = 1)
39	38	eqcomd 2745	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → 1 = (((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) · ((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2))))))
40		1cnd 11130	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → 1 ∈ ℂ)
41		simpl 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → 𝐴 ∈ ℂ)
42		mulcl 11113	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
43	3, 41, 42	sylancr 593	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
44		sqcl 14071	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
45	44	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
46		subcl 11383	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℂ) → (1 − (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
47	8, 45, 46	sylancr 593	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → (1 − (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
48	47	sqrtcld 15393	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → (√‘(1 − (𝐴↑2))) ∈ ℂ)
49	43, 48	addcld 11155	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → ((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) ∈ ℂ)
50	40, 49, 13, 15	divmul3d 11956	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → ((1 / ((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2))))) = ((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) ↔ 1 = (((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) · ((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))))))
51	39, 50	mpbird 258	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → (1 / ((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2))))) = ((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))
52	19	rpcnd 12979	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → ((abs‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))))↑2) ∈ ℂ)
53	19	rpne0d 12982	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → ((abs‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))))↑2) ≠ 0)
54	21, 52, 53	divrec2d 11926	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → ((∗‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2))))) / ((abs‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))))↑2)) = ((1 / ((abs‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))))↑2)) · (∗‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))))))
55	36, 51, 54	3eqtr3d 2782	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → ((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) = ((1 / ((abs‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))))↑2)) · (∗‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))))))
56	55	fveq2d 6831	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → (ℜ‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) = (ℜ‘((1 / ((abs‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))))↑2)) · (∗‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2))))))))
57	20, 21	remul2d 15180	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → (ℜ‘((1 / ((abs‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))))↑2)) · (∗‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2))))))) = ((1 / ((abs‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))))↑2)) · (ℜ‘(∗‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2))))))))
58	56, 57	eqtrd 2774	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → (ℜ‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) = ((1 / ((abs‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))))↑2)) · (ℜ‘(∗‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2))))))))
59	34, 58	breqtrrd 5100	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → 0 ≤ (ℜ‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))))
60		asinlem3a 26852	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≤ 0) → 0 ≤ (ℜ‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))))
61	1, 2, 59, 60	lecasei 11243	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (ℜ‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934   class class class wbr 5072  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  ℂcc 11027  0cc0 11029  1c1 11030  ici 11031   + caddc 11032   · cmul 11034   ≤ cle 11171   − cmin 11368  -cneg 11369   / cdiv 11798  2c2 12227  ℤcz 12515  ℝ⁺crp 12933  ↑cexp 14014  ∗ccj 15049  ℜcre 15050  ℑcim 15051  √csqrt 15186  abscabs 15187

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9345  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-rp 12934  df-seq 13955  df-exp 14015  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189

This theorem is referenced by:  asinneg  26868  asinbnd  26881  dvasin  38071