MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  asinlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem asinlem3 26612
Description: The argument to the logarithm in df-asin 26606 has nonnegative real part. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
asinlem3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ 0 โ‰ค (โ„œโ€˜((i ยท ๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2))))))

Proof of Theorem asinlem3
StepHypRef Expression
1 0red 11221 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ 0 โˆˆ โ„)
2 imcl 15062 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
3 ax-icn 11171 . . . . . . . . 9 i โˆˆ โ„‚
4 negcl 11464 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ -๐ด โˆˆ โ„‚)
54adantr 479 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ -๐ด โˆˆ โ„‚)
6 mulcl 11196 . . . . . . . . 9 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง -๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท -๐ด) โˆˆ โ„‚)
73, 5, 6sylancr 585 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ (i ยท -๐ด) โˆˆ โ„‚)
8 ax-1cn 11170 . . . . . . . . . 10 1 โˆˆ โ„‚
95sqcld 14113 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ (-๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
10 subcl 11463 . . . . . . . . . 10 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง (-๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
118, 9, 10sylancr 585 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ (1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
1211sqrtcld 15388 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2))) โˆˆ โ„‚)
137, 12addcld 11237 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ ((i ยท -๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2)))) โˆˆ โ„‚)
14 asinlem 26609 . . . . . . . 8 (-๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((i ยท -๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2)))) โ‰  0)
155, 14syl 17 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ ((i ยท -๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2)))) โ‰  0)
1613, 15absrpcld 15399 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ (absโ€˜((i ยท -๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2))))) โˆˆ โ„+)
17 2z 12598 . . . . . 6 2 โˆˆ โ„ค
18 rpexpcl 14050 . . . . . 6 (((absโ€˜((i ยท -๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2))))) โˆˆ โ„+ โˆง 2 โˆˆ โ„ค) โ†’ ((absโ€˜((i ยท -๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2)))))โ†‘2) โˆˆ โ„+)
1916, 17, 18sylancl 584 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ ((absโ€˜((i ยท -๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2)))))โ†‘2) โˆˆ โ„+)
2019rprecred 13031 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ (1 / ((absโ€˜((i ยท -๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2)))))โ†‘2)) โˆˆ โ„)
2113cjcld 15147 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ (โˆ—โ€˜((i ยท -๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2))))) โˆˆ โ„‚)
2221recld 15145 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ (โ„œโ€˜(โˆ—โ€˜((i ยท -๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2)))))) โˆˆ โ„)
2319rpreccld 13030 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ (1 / ((absโ€˜((i ยท -๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2)))))โ†‘2)) โˆˆ โ„+)
2423rpge0d 13024 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ 0 โ‰ค (1 / ((absโ€˜((i ยท -๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2)))))โ†‘2)))
25 imneg 15084 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„‘โ€˜-๐ด) = -(โ„‘โ€˜๐ด))
2625adantr 479 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ (โ„‘โ€˜-๐ด) = -(โ„‘โ€˜๐ด))
272le0neg2d 11790 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ด) โ†” -(โ„‘โ€˜๐ด) โ‰ค 0))
2827biimpa 475 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ -(โ„‘โ€˜๐ด) โ‰ค 0)
2926, 28eqbrtrd 5169 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ (โ„‘โ€˜-๐ด) โ‰ค 0)
30 asinlem3a 26611 . . . . . 6 ((-๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„‘โ€˜-๐ด) โ‰ค 0) โ†’ 0 โ‰ค (โ„œโ€˜((i ยท -๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2))))))
315, 29, 30syl2anc 582 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ 0 โ‰ค (โ„œโ€˜((i ยท -๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2))))))
3213recjd 15155 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ (โ„œโ€˜(โˆ—โ€˜((i ยท -๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2)))))) = (โ„œโ€˜((i ยท -๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2))))))
3331, 32breqtrrd 5175 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(โˆ—โ€˜((i ยท -๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2)))))))
3420, 22, 24, 33mulge0d 11795 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ 0 โ‰ค ((1 / ((absโ€˜((i ยท -๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2)))))โ†‘2)) ยท (โ„œโ€˜(โˆ—โ€˜((i ยท -๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2))))))))
35 recval 15273 . . . . . . 7 ((((i ยท -๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2)))) โˆˆ โ„‚ โˆง ((i ยท -๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2)))) โ‰  0) โ†’ (1 / ((i ยท -๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2))))) = ((โˆ—โ€˜((i ยท -๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2))))) / ((absโ€˜((i ยท -๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2)))))โ†‘2)))
3613, 15, 35syl2anc 582 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ (1 / ((i ยท -๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2))))) = ((โˆ—โ€˜((i ยท -๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2))))) / ((absโ€˜((i ยท -๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2)))))โ†‘2)))
37 asinlem2 26610 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (((i ยท ๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2)))) ยท ((i ยท -๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2))))) = 1)
3837adantr 479 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ (((i ยท ๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2)))) ยท ((i ยท -๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2))))) = 1)
3938eqcomd 2736 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ 1 = (((i ยท ๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2)))) ยท ((i ยท -๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2))))))
40 1cnd 11213 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
41 simpl 481 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
42 mulcl 11196 . . . . . . . . . 10 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
433, 41, 42sylancr 585 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
44 sqcl 14087 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
4544adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
46 subcl 11463 . . . . . . . . . . 11 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 โˆ’ (๐ดโ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
478, 45, 46sylancr 585 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ (1 โˆ’ (๐ดโ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
4847sqrtcld 15388 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2))) โˆˆ โ„‚)
4943, 48addcld 11237 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ ((i ยท ๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2)))) โˆˆ โ„‚)
5040, 49, 13, 15divmul3d 12028 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ ((1 / ((i ยท -๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2))))) = ((i ยท ๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2)))) โ†” 1 = (((i ยท ๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2)))) ยท ((i ยท -๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2)))))))
5139, 50mpbird 256 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ (1 / ((i ยท -๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2))))) = ((i ยท ๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2)))))
5219rpcnd 13022 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ ((absโ€˜((i ยท -๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2)))))โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
5319rpne0d 13025 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ ((absโ€˜((i ยท -๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2)))))โ†‘2) โ‰  0)
5421, 52, 53divrec2d 11998 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ ((โˆ—โ€˜((i ยท -๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2))))) / ((absโ€˜((i ยท -๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2)))))โ†‘2)) = ((1 / ((absโ€˜((i ยท -๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2)))))โ†‘2)) ยท (โˆ—โ€˜((i ยท -๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2)))))))
5536, 51, 543eqtr3d 2778 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ ((i ยท ๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2)))) = ((1 / ((absโ€˜((i ยท -๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2)))))โ†‘2)) ยท (โˆ—โ€˜((i ยท -๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2)))))))
5655fveq2d 6894 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ (โ„œโ€˜((i ยท ๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2))))) = (โ„œโ€˜((1 / ((absโ€˜((i ยท -๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2)))))โ†‘2)) ยท (โˆ—โ€˜((i ยท -๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2))))))))
5720, 21remul2d 15178 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ (โ„œโ€˜((1 / ((absโ€˜((i ยท -๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2)))))โ†‘2)) ยท (โˆ—โ€˜((i ยท -๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2))))))) = ((1 / ((absโ€˜((i ยท -๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2)))))โ†‘2)) ยท (โ„œโ€˜(โˆ—โ€˜((i ยท -๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2))))))))
5856, 57eqtrd 2770 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ (โ„œโ€˜((i ยท ๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2))))) = ((1 / ((absโ€˜((i ยท -๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2)))))โ†‘2)) ยท (โ„œโ€˜(โˆ—โ€˜((i ยท -๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2))))))))
5934, 58breqtrrd 5175 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ 0 โ‰ค (โ„œโ€˜((i ยท ๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2))))))
60 asinlem3a 26611 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„‘โ€˜๐ด) โ‰ค 0) โ†’ 0 โ‰ค (โ„œโ€˜((i ยท ๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2))))))
611, 2, 59, 60lecasei 11324 1 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ 0 โ‰ค (โ„œโ€˜((i ยท ๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104   โ‰  wne 2938   class class class wbr 5147  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  โ„‚cc 11110  0cc0 11112  1c1 11113  ici 11114   + caddc 11115   ยท cmul 11117   โ‰ค cle 11253   โˆ’ cmin 11448  -cneg 11449   / cdiv 11875  2c2 12271  โ„คcz 12562  โ„+crp 12978  โ†‘cexp 14031  โˆ—ccj 15047  โ„œcre 15048  โ„‘cim 15049  โˆšcsqrt 15184  abscabs 15185
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-seq 13971  df-exp 14032  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187
This theorem is referenced by:  asinneg  26627  asinbnd  26640  dvasin  36875
  Copyright terms: Public domain W3C validator