Theorem asinlem3 27089

Description: The argument to the logarithm in df-asin 27083 has nonnegative real part. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
asinlem3	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (ℜ‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))))

Proof of Theorem asinlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0red 11228	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ∈ ℝ)
2		imcl 15188	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
3		ax-icn 11176	. . . . . . . . 9 ⊢ i ∈ ℂ
4		negcl 11474	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
5	4	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → -𝐴 ∈ ℂ)
6		mulcl 11201	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ -𝐴 ∈ ℂ) → (i · -𝐴) ∈ ℂ)
7	3, 5, 6	sylancr 599	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → (i · -𝐴) ∈ ℂ)
8		ax-1cn 11175	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
9	5	sqcld 14200	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → (-𝐴↑2) ∈ ℂ)
10		subcl 11473	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (-𝐴↑2) ∈ ℂ) → (1 − (-𝐴↑2)) ∈ ℂ)
11	8, 9, 10	sylancr 599	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → (1 − (-𝐴↑2)) ∈ ℂ)
12	11	sqrtcld 15517	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → (√‘(1 − (-𝐴↑2))) ∈ ℂ)
13	7, 12	addcld 11245	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → ((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))) ∈ ℂ)
14		asinlem 27086	. . . . . . . 8 ⊢ (-𝐴 ∈ ℂ → ((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))) ≠ 0)
15	5, 14	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → ((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))) ≠ 0)
16	13, 15	absrpcld 15528	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → (abs‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2))))) ∈ ℝ+)
17		2z 12643	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
18		rpexpcl 14136	. . . . . 6 ⊢ (((abs‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2))))) ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((abs‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))))↑2) ∈ ℝ+)
19	16, 17, 18	sylancl 598	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → ((abs‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))))↑2) ∈ ℝ+)
20	19	rprecred 13089	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → (1 / ((abs‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))))↑2)) ∈ ℝ)
21	13	cjcld 15273	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → (∗‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2))))) ∈ ℂ)
22	21	recld 15271	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → (ℜ‘(∗‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))))) ∈ ℝ)
23	19	rpreccld 13088	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → (1 / ((abs‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))))↑2)) ∈ ℝ+)
24	23	rpge0d 13082	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → 0 ≤ (1 / ((abs‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))))↑2)))
25		imneg 15210	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘-𝐴) = -(ℑ‘𝐴))
26	25	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘-𝐴) = -(ℑ‘𝐴))
27	2	le0neg2d 11803	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 ≤ (ℑ‘𝐴) ↔ -(ℑ‘𝐴) ≤ 0))
28	27	biimpa 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → -(ℑ‘𝐴) ≤ 0)
29	26, 28	eqbrtrd 5135	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘-𝐴) ≤ 0)
30		asinlem3a 27088	. . . . . 6 ⊢ ((-𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘-𝐴) ≤ 0) → 0 ≤ (ℜ‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2))))))
31	5, 29, 30	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → 0 ≤ (ℜ‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2))))))
32	13	recjd 15281	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → (ℜ‘(∗‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))))) = (ℜ‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2))))))
33	31, 32	breqtrrd 5141	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → 0 ≤ (ℜ‘(∗‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))))))
34	20, 22, 24, 33	mulge0d 11808	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → 0 ≤ ((1 / ((abs‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))))↑2)) · (ℜ‘(∗‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2))))))))
35		recval 15400	. . . . . . 7 ⊢ ((((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))) ∈ ℂ ∧ ((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))) ≠ 0) → (1 / ((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2))))) = ((∗‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2))))) / ((abs‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))))↑2)))
36	13, 15, 35	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → (1 / ((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2))))) = ((∗‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2))))) / ((abs‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))))↑2)))
37		asinlem2 27087	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) · ((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2))))) = 1)
38	37	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → (((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) · ((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2))))) = 1)
39	38	eqcomd 2771	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → 1 = (((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) · ((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2))))))
40		1cnd 11219	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → 1 ∈ ℂ)
41		simpl 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → 𝐴 ∈ ℂ)
42		mulcl 11201	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
43	3, 41, 42	sylancr 599	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
44		sqcl 14174	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
45	44	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
46		subcl 11473	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℂ) → (1 − (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
47	8, 45, 46	sylancr 599	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → (1 − (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
48	47	sqrtcld 15517	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → (√‘(1 − (𝐴↑2))) ∈ ℂ)
49	43, 48	addcld 11245	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → ((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) ∈ ℂ)
50	40, 49, 13, 15	divmul3d 12042	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → ((1 / ((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2))))) = ((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) ↔ 1 = (((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) · ((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))))))
51	39, 50	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → (1 / ((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2))))) = ((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))
52	19	rpcnd 13080	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → ((abs‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))))↑2) ∈ ℂ)
53	19	rpne0d 13083	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → ((abs‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))))↑2) ≠ 0)
54	21, 52, 53	divrec2d 12012	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → ((∗‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2))))) / ((abs‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))))↑2)) = ((1 / ((abs‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))))↑2)) · (∗‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))))))
55	36, 51, 54	3eqtr3d 2808	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → ((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) = ((1 / ((abs‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))))↑2)) · (∗‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))))))
56	55	fveq2d 6889	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → (ℜ‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) = (ℜ‘((1 / ((abs‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))))↑2)) · (∗‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2))))))))
57	20, 21	remul2d 15304	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → (ℜ‘((1 / ((abs‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))))↑2)) · (∗‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2))))))) = ((1 / ((abs‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))))↑2)) · (ℜ‘(∗‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2))))))))
58	56, 57	eqtrd 2800	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → (ℜ‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) = ((1 / ((abs‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))))↑2)) · (ℜ‘(∗‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2))))))))
59	34, 58	breqtrrd 5141	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → 0 ≤ (ℜ‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))))
60		asinlem3a 27088	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≤ 0) → 0 ≤ (ℜ‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))))
61	1, 2, 59, 60	lecasei 11333	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (ℜ‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960   class class class wbr 5111  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  ℂcc 11115  0cc0 11117  1c1 11118  ici 11119   + caddc 11120   · cmul 11122   ≤ cle 11261   − cmin 11458  -cneg 11459   / cdiv 11888  2c2 12312  ℤcz 12608  ℝ⁺crp 13034  ↑cexp 14117  ∗ccj 15173  ℜcre 15174  ℑcim 15175  √csqrt 15310  abscabs 15311

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194  ax-pre-sup 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-sup 9409  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-div 11889  df-nn 12251  df-2 12320  df-3 12321  df-n0 12522  df-z 12609  df-uz 12881  df-rp 13035  df-seq 14058  df-exp 14118  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313

This theorem is used by:  asinneg  27104  asinbnd  27117  dvasin  38414