Theorem asinlem3 26788

Description: The argument to the logarithm in df-asin 26782 has nonnegative real part. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
asinlem3	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (ℜ‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))))

Proof of Theorem asinlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0red 11184	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ∈ ℝ)
2		imcl 15084	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
3		ax-icn 11134	. . . . . . . . 9 ⊢ i ∈ ℂ
4		negcl 11428	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
5	4	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → -𝐴 ∈ ℂ)
6		mulcl 11159	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ -𝐴 ∈ ℂ) → (i · -𝐴) ∈ ℂ)
7	3, 5, 6	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → (i · -𝐴) ∈ ℂ)
8		ax-1cn 11133	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
9	5	sqcld 14116	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → (-𝐴↑2) ∈ ℂ)
10		subcl 11427	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (-𝐴↑2) ∈ ℂ) → (1 − (-𝐴↑2)) ∈ ℂ)
11	8, 9, 10	sylancr 587	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → (1 − (-𝐴↑2)) ∈ ℂ)
12	11	sqrtcld 15413	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → (√‘(1 − (-𝐴↑2))) ∈ ℂ)
13	7, 12	addcld 11200	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → ((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))) ∈ ℂ)
14		asinlem 26785	. . . . . . . 8 ⊢ (-𝐴 ∈ ℂ → ((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))) ≠ 0)
15	5, 14	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → ((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))) ≠ 0)
16	13, 15	absrpcld 15424	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → (abs‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2))))) ∈ ℝ+)
17		2z 12572	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
18		rpexpcl 14052	. . . . . 6 ⊢ (((abs‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2))))) ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((abs‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))))↑2) ∈ ℝ+)
19	16, 17, 18	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → ((abs‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))))↑2) ∈ ℝ+)
20	19	rprecred 13013	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → (1 / ((abs‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))))↑2)) ∈ ℝ)
21	13	cjcld 15169	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → (∗‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2))))) ∈ ℂ)
22	21	recld 15167	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → (ℜ‘(∗‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))))) ∈ ℝ)
23	19	rpreccld 13012	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → (1 / ((abs‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))))↑2)) ∈ ℝ+)
24	23	rpge0d 13006	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → 0 ≤ (1 / ((abs‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))))↑2)))
25		imneg 15106	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘-𝐴) = -(ℑ‘𝐴))
26	25	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘-𝐴) = -(ℑ‘𝐴))
27	2	le0neg2d 11757	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 ≤ (ℑ‘𝐴) ↔ -(ℑ‘𝐴) ≤ 0))
28	27	biimpa 476	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → -(ℑ‘𝐴) ≤ 0)
29	26, 28	eqbrtrd 5132	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘-𝐴) ≤ 0)
30		asinlem3a 26787	. . . . . 6 ⊢ ((-𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘-𝐴) ≤ 0) → 0 ≤ (ℜ‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2))))))
31	5, 29, 30	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → 0 ≤ (ℜ‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2))))))
32	13	recjd 15177	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → (ℜ‘(∗‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))))) = (ℜ‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2))))))
33	31, 32	breqtrrd 5138	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → 0 ≤ (ℜ‘(∗‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))))))
34	20, 22, 24, 33	mulge0d 11762	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → 0 ≤ ((1 / ((abs‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))))↑2)) · (ℜ‘(∗‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2))))))))
35		recval 15296	. . . . . . 7 ⊢ ((((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))) ∈ ℂ ∧ ((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))) ≠ 0) → (1 / ((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2))))) = ((∗‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2))))) / ((abs‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))))↑2)))
36	13, 15, 35	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → (1 / ((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2))))) = ((∗‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2))))) / ((abs‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))))↑2)))
37		asinlem2 26786	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) · ((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2))))) = 1)
38	37	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → (((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) · ((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2))))) = 1)
39	38	eqcomd 2736	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → 1 = (((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) · ((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2))))))
40		1cnd 11176	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → 1 ∈ ℂ)
41		simpl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → 𝐴 ∈ ℂ)
42		mulcl 11159	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
43	3, 41, 42	sylancr 587	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
44		sqcl 14090	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
45	44	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
46		subcl 11427	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℂ) → (1 − (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
47	8, 45, 46	sylancr 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → (1 − (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
48	47	sqrtcld 15413	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → (√‘(1 − (𝐴↑2))) ∈ ℂ)
49	43, 48	addcld 11200	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → ((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) ∈ ℂ)
50	40, 49, 13, 15	divmul3d 11999	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → ((1 / ((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2))))) = ((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) ↔ 1 = (((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) · ((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))))))
51	39, 50	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → (1 / ((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2))))) = ((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))
52	19	rpcnd 13004	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → ((abs‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))))↑2) ∈ ℂ)
53	19	rpne0d 13007	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → ((abs‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))))↑2) ≠ 0)
54	21, 52, 53	divrec2d 11969	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → ((∗‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2))))) / ((abs‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))))↑2)) = ((1 / ((abs‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))))↑2)) · (∗‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))))))
55	36, 51, 54	3eqtr3d 2773	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → ((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) = ((1 / ((abs‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))))↑2)) · (∗‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))))))
56	55	fveq2d 6865	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → (ℜ‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) = (ℜ‘((1 / ((abs‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))))↑2)) · (∗‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2))))))))
57	20, 21	remul2d 15200	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → (ℜ‘((1 / ((abs‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))))↑2)) · (∗‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2))))))) = ((1 / ((abs‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))))↑2)) · (ℜ‘(∗‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2))))))))
58	56, 57	eqtrd 2765	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → (ℜ‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) = ((1 / ((abs‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))))↑2)) · (ℜ‘(∗‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2))))))))
59	34, 58	breqtrrd 5138	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → 0 ≤ (ℜ‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))))
60		asinlem3a 26787	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≤ 0) → 0 ≤ (ℜ‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))))
61	1, 2, 59, 60	lecasei 11287	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (ℜ‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926   class class class wbr 5110  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ℂcc 11073  0cc0 11075  1c1 11076  ici 11077   + caddc 11078   · cmul 11080   ≤ cle 11216   − cmin 11412  -cneg 11413   / cdiv 11842  2c2 12248  ℤcz 12536  ℝ⁺crp 12958  ↑cexp 14033  ∗ccj 15069  ℜcre 15070  ℑcim 15071  √csqrt 15206  abscabs 15207

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-sup 9400  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-rp 12959  df-seq 13974  df-exp 14034  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209

This theorem is referenced by:  asinneg  26803  asinbnd  26816  dvasin  37705