Theorem asinlem3 26808

Description: The argument to the logarithm in df-asin 26802 has nonnegative real part. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
asinlem3	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (ℜ‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))))

Proof of Theorem asinlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0red 11115	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ∈ ℝ)
2		imcl 15018	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
3		ax-icn 11065	. . . . . . . . 9 ⊢ i ∈ ℂ
4		negcl 11360	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
5	4	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → -𝐴 ∈ ℂ)
6		mulcl 11090	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ -𝐴 ∈ ℂ) → (i · -𝐴) ∈ ℂ)
7	3, 5, 6	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → (i · -𝐴) ∈ ℂ)
8		ax-1cn 11064	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
9	5	sqcld 14051	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → (-𝐴↑2) ∈ ℂ)
10		subcl 11359	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (-𝐴↑2) ∈ ℂ) → (1 − (-𝐴↑2)) ∈ ℂ)
11	8, 9, 10	sylancr 587	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → (1 − (-𝐴↑2)) ∈ ℂ)
12	11	sqrtcld 15347	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → (√‘(1 − (-𝐴↑2))) ∈ ℂ)
13	7, 12	addcld 11131	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → ((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))) ∈ ℂ)
14		asinlem 26805	. . . . . . . 8 ⊢ (-𝐴 ∈ ℂ → ((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))) ≠ 0)
15	5, 14	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → ((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))) ≠ 0)
16	13, 15	absrpcld 15358	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → (abs‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2))))) ∈ ℝ+)
17		2z 12504	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
18		rpexpcl 13987	. . . . . 6 ⊢ (((abs‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2))))) ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((abs‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))))↑2) ∈ ℝ+)
19	16, 17, 18	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → ((abs‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))))↑2) ∈ ℝ+)
20	19	rprecred 12945	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → (1 / ((abs‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))))↑2)) ∈ ℝ)
21	13	cjcld 15103	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → (∗‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2))))) ∈ ℂ)
22	21	recld 15101	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → (ℜ‘(∗‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))))) ∈ ℝ)
23	19	rpreccld 12944	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → (1 / ((abs‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))))↑2)) ∈ ℝ+)
24	23	rpge0d 12938	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → 0 ≤ (1 / ((abs‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))))↑2)))
25		imneg 15040	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘-𝐴) = -(ℑ‘𝐴))
26	25	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘-𝐴) = -(ℑ‘𝐴))
27	2	le0neg2d 11689	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 ≤ (ℑ‘𝐴) ↔ -(ℑ‘𝐴) ≤ 0))
28	27	biimpa 476	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → -(ℑ‘𝐴) ≤ 0)
29	26, 28	eqbrtrd 5111	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘-𝐴) ≤ 0)
30		asinlem3a 26807	. . . . . 6 ⊢ ((-𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘-𝐴) ≤ 0) → 0 ≤ (ℜ‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2))))))
31	5, 29, 30	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → 0 ≤ (ℜ‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2))))))
32	13	recjd 15111	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → (ℜ‘(∗‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))))) = (ℜ‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2))))))
33	31, 32	breqtrrd 5117	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → 0 ≤ (ℜ‘(∗‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))))))
34	20, 22, 24, 33	mulge0d 11694	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → 0 ≤ ((1 / ((abs‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))))↑2)) · (ℜ‘(∗‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2))))))))
35		recval 15230	. . . . . . 7 ⊢ ((((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))) ∈ ℂ ∧ ((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))) ≠ 0) → (1 / ((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2))))) = ((∗‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2))))) / ((abs‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))))↑2)))
36	13, 15, 35	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → (1 / ((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2))))) = ((∗‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2))))) / ((abs‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))))↑2)))
37		asinlem2 26806	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) · ((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2))))) = 1)
38	37	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → (((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) · ((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2))))) = 1)
39	38	eqcomd 2737	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → 1 = (((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) · ((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2))))))
40		1cnd 11107	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → 1 ∈ ℂ)
41		simpl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → 𝐴 ∈ ℂ)
42		mulcl 11090	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
43	3, 41, 42	sylancr 587	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
44		sqcl 14025	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
45	44	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
46		subcl 11359	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℂ) → (1 − (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
47	8, 45, 46	sylancr 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → (1 − (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
48	47	sqrtcld 15347	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → (√‘(1 − (𝐴↑2))) ∈ ℂ)
49	43, 48	addcld 11131	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → ((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) ∈ ℂ)
50	40, 49, 13, 15	divmul3d 11931	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → ((1 / ((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2))))) = ((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) ↔ 1 = (((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) · ((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))))))
51	39, 50	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → (1 / ((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2))))) = ((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))
52	19	rpcnd 12936	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → ((abs‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))))↑2) ∈ ℂ)
53	19	rpne0d 12939	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → ((abs‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))))↑2) ≠ 0)
54	21, 52, 53	divrec2d 11901	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → ((∗‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2))))) / ((abs‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))))↑2)) = ((1 / ((abs‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))))↑2)) · (∗‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))))))
55	36, 51, 54	3eqtr3d 2774	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → ((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) = ((1 / ((abs‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))))↑2)) · (∗‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))))))
56	55	fveq2d 6826	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → (ℜ‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) = (ℜ‘((1 / ((abs‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))))↑2)) · (∗‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2))))))))
57	20, 21	remul2d 15134	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → (ℜ‘((1 / ((abs‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))))↑2)) · (∗‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2))))))) = ((1 / ((abs‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))))↑2)) · (ℜ‘(∗‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2))))))))
58	56, 57	eqtrd 2766	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → (ℜ‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) = ((1 / ((abs‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))))↑2)) · (ℜ‘(∗‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2))))))))
59	34, 58	breqtrrd 5117	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → 0 ≤ (ℜ‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))))
60		asinlem3a 26807	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≤ 0) → 0 ≤ (ℜ‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))))
61	1, 2, 59, 60	lecasei 11219	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (ℜ‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928   class class class wbr 5089  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ℂcc 11004  0cc0 11006  1c1 11007  ici 11008   + caddc 11009   · cmul 11011   ≤ cle 11147   − cmin 11344  -cneg 11345   / cdiv 11774  2c2 12180  ℤcz 12468  ℝ⁺crp 12890  ↑cexp 13968  ∗ccj 15003  ℜcre 15004  ℑcim 15005  √csqrt 15140  abscabs 15141

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-sup 9326  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-rp 12891  df-seq 13909  df-exp 13969  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143

This theorem is referenced by:  asinneg  26823  asinbnd  26836  dvasin  37754