MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  asinlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem asinlem3 26613
Description: The argument to the logarithm in df-asin 26607 has nonnegative real part. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
asinlem3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ 0 โ‰ค (โ„œโ€˜((i ยท ๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2))))))

Proof of Theorem asinlem3
StepHypRef Expression
1 0red 11222 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ 0 โˆˆ โ„)
2 imcl 15063 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
3 ax-icn 11173 . . . . . . . . 9 i โˆˆ โ„‚
4 negcl 11465 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ -๐ด โˆˆ โ„‚)
54adantr 480 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ -๐ด โˆˆ โ„‚)
6 mulcl 11198 . . . . . . . . 9 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง -๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท -๐ด) โˆˆ โ„‚)
73, 5, 6sylancr 586 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ (i ยท -๐ด) โˆˆ โ„‚)
8 ax-1cn 11172 . . . . . . . . . 10 1 โˆˆ โ„‚
95sqcld 14114 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ (-๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
10 subcl 11464 . . . . . . . . . 10 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง (-๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
118, 9, 10sylancr 586 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ (1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
1211sqrtcld 15389 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2))) โˆˆ โ„‚)
137, 12addcld 11238 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ ((i ยท -๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2)))) โˆˆ โ„‚)
14 asinlem 26610 . . . . . . . 8 (-๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((i ยท -๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2)))) โ‰  0)
155, 14syl 17 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ ((i ยท -๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2)))) โ‰  0)
1613, 15absrpcld 15400 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ (absโ€˜((i ยท -๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2))))) โˆˆ โ„+)
17 2z 12599 . . . . . 6 2 โˆˆ โ„ค
18 rpexpcl 14051 . . . . . 6 (((absโ€˜((i ยท -๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2))))) โˆˆ โ„+ โˆง 2 โˆˆ โ„ค) โ†’ ((absโ€˜((i ยท -๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2)))))โ†‘2) โˆˆ โ„+)
1916, 17, 18sylancl 585 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ ((absโ€˜((i ยท -๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2)))))โ†‘2) โˆˆ โ„+)
2019rprecred 13032 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ (1 / ((absโ€˜((i ยท -๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2)))))โ†‘2)) โˆˆ โ„)
2113cjcld 15148 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ (โˆ—โ€˜((i ยท -๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2))))) โˆˆ โ„‚)
2221recld 15146 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ (โ„œโ€˜(โˆ—โ€˜((i ยท -๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2)))))) โˆˆ โ„)
2319rpreccld 13031 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ (1 / ((absโ€˜((i ยท -๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2)))))โ†‘2)) โˆˆ โ„+)
2423rpge0d 13025 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ 0 โ‰ค (1 / ((absโ€˜((i ยท -๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2)))))โ†‘2)))
25 imneg 15085 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„‘โ€˜-๐ด) = -(โ„‘โ€˜๐ด))
2625adantr 480 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ (โ„‘โ€˜-๐ด) = -(โ„‘โ€˜๐ด))
272le0neg2d 11791 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ด) โ†” -(โ„‘โ€˜๐ด) โ‰ค 0))
2827biimpa 476 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ -(โ„‘โ€˜๐ด) โ‰ค 0)
2926, 28eqbrtrd 5170 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ (โ„‘โ€˜-๐ด) โ‰ค 0)
30 asinlem3a 26612 . . . . . 6 ((-๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„‘โ€˜-๐ด) โ‰ค 0) โ†’ 0 โ‰ค (โ„œโ€˜((i ยท -๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2))))))
315, 29, 30syl2anc 583 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ 0 โ‰ค (โ„œโ€˜((i ยท -๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2))))))
3213recjd 15156 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ (โ„œโ€˜(โˆ—โ€˜((i ยท -๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2)))))) = (โ„œโ€˜((i ยท -๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2))))))
3331, 32breqtrrd 5176 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(โˆ—โ€˜((i ยท -๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2)))))))
3420, 22, 24, 33mulge0d 11796 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ 0 โ‰ค ((1 / ((absโ€˜((i ยท -๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2)))))โ†‘2)) ยท (โ„œโ€˜(โˆ—โ€˜((i ยท -๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2))))))))
35 recval 15274 . . . . . . 7 ((((i ยท -๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2)))) โˆˆ โ„‚ โˆง ((i ยท -๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2)))) โ‰  0) โ†’ (1 / ((i ยท -๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2))))) = ((โˆ—โ€˜((i ยท -๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2))))) / ((absโ€˜((i ยท -๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2)))))โ†‘2)))
3613, 15, 35syl2anc 583 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ (1 / ((i ยท -๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2))))) = ((โˆ—โ€˜((i ยท -๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2))))) / ((absโ€˜((i ยท -๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2)))))โ†‘2)))
37 asinlem2 26611 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (((i ยท ๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2)))) ยท ((i ยท -๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2))))) = 1)
3837adantr 480 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ (((i ยท ๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2)))) ยท ((i ยท -๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2))))) = 1)
3938eqcomd 2737 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ 1 = (((i ยท ๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2)))) ยท ((i ยท -๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2))))))
40 1cnd 11214 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
41 simpl 482 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
42 mulcl 11198 . . . . . . . . . 10 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
433, 41, 42sylancr 586 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
44 sqcl 14088 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
4544adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
46 subcl 11464 . . . . . . . . . . 11 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 โˆ’ (๐ดโ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
478, 45, 46sylancr 586 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ (1 โˆ’ (๐ดโ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
4847sqrtcld 15389 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2))) โˆˆ โ„‚)
4943, 48addcld 11238 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ ((i ยท ๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2)))) โˆˆ โ„‚)
5040, 49, 13, 15divmul3d 12029 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ ((1 / ((i ยท -๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2))))) = ((i ยท ๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2)))) โ†” 1 = (((i ยท ๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2)))) ยท ((i ยท -๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2)))))))
5139, 50mpbird 257 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ (1 / ((i ยท -๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2))))) = ((i ยท ๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2)))))
5219rpcnd 13023 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ ((absโ€˜((i ยท -๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2)))))โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
5319rpne0d 13026 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ ((absโ€˜((i ยท -๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2)))))โ†‘2) โ‰  0)
5421, 52, 53divrec2d 11999 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ ((โˆ—โ€˜((i ยท -๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2))))) / ((absโ€˜((i ยท -๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2)))))โ†‘2)) = ((1 / ((absโ€˜((i ยท -๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2)))))โ†‘2)) ยท (โˆ—โ€˜((i ยท -๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2)))))))
5536, 51, 543eqtr3d 2779 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ ((i ยท ๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2)))) = ((1 / ((absโ€˜((i ยท -๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2)))))โ†‘2)) ยท (โˆ—โ€˜((i ยท -๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2)))))))
5655fveq2d 6895 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ (โ„œโ€˜((i ยท ๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2))))) = (โ„œโ€˜((1 / ((absโ€˜((i ยท -๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2)))))โ†‘2)) ยท (โˆ—โ€˜((i ยท -๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2))))))))
5720, 21remul2d 15179 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ (โ„œโ€˜((1 / ((absโ€˜((i ยท -๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2)))))โ†‘2)) ยท (โˆ—โ€˜((i ยท -๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2))))))) = ((1 / ((absโ€˜((i ยท -๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2)))))โ†‘2)) ยท (โ„œโ€˜(โˆ—โ€˜((i ยท -๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2))))))))
5856, 57eqtrd 2771 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ (โ„œโ€˜((i ยท ๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2))))) = ((1 / ((absโ€˜((i ยท -๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2)))))โ†‘2)) ยท (โ„œโ€˜(โˆ—โ€˜((i ยท -๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2))))))))
5934, 58breqtrrd 5176 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ 0 โ‰ค (โ„œโ€˜((i ยท ๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2))))))
60 asinlem3a 26612 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„‘โ€˜๐ด) โ‰ค 0) โ†’ 0 โ‰ค (โ„œโ€˜((i ยท ๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2))))))
611, 2, 59, 60lecasei 11325 1 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ 0 โ‰ค (โ„œโ€˜((i ยท ๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1540   โˆˆ wcel 2105   โ‰  wne 2939   class class class wbr 5148  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  โ„‚cc 11112  0cc0 11114  1c1 11115  ici 11116   + caddc 11117   ยท cmul 11119   โ‰ค cle 11254   โˆ’ cmin 11449  -cneg 11450   / cdiv 11876  2c2 12272  โ„คcz 12563  โ„+crp 12979  โ†‘cexp 14032  โˆ—ccj 15048  โ„œcre 15049  โ„‘cim 15050  โˆšcsqrt 15185  abscabs 15186
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-sup 9441  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-rp 12980  df-seq 13972  df-exp 14033  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188
This theorem is referenced by:  asinneg  26628  asinbnd  26641  dvasin  36876
  Copyright terms: Public domain W3C validator