MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  padicabv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem padicabv 25539
Description: The p-adic absolute value (with arbitrary base) is an absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
qrng.q 𝑄 = (ℂflds ℚ)
qabsabv.a 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
padic.f 𝐹 = (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑁↑(𝑃 pCnt 𝑥))))
Assertion
Ref Expression
padicabv ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (0(,)1)) → 𝐹𝐴)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑁   𝑥,𝑄   𝑥,𝑃
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem padicabv
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qabsabv.a . . 3 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
21a1i 11 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (0(,)1)) → 𝐴 = (AbsVal‘𝑄))
3 qrng.q . . . 4 𝑄 = (ℂflds ℚ)
43qrngbas 25528 . . 3 ℚ = (Base‘𝑄)
54a1i 11 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (0(,)1)) → ℚ = (Base‘𝑄))
6 qex 12007 . . 3 ℚ ∈ V
7 cnfldadd 19965 . . . 4 + = (+g‘ℂfld)
83, 7ressplusg 16200 . . 3 (ℚ ∈ V → + = (+g𝑄))
96, 8mp1i 13 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (0(,)1)) → + = (+g𝑄))
10 cnfldmul 19966 . . . 4 · = (.r‘ℂfld)
113, 10ressmulr 16213 . . 3 (ℚ ∈ V → · = (.r𝑄))
126, 11mp1i 13 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (0(,)1)) → · = (.r𝑄))
133qrng0 25530 . . 3 0 = (0g𝑄)
1413a1i 11 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (0(,)1)) → 0 = (0g𝑄))
153qdrng 25529 . . 3 𝑄 ∈ DivRing
16 drngring 18963 . . 3 (𝑄 ∈ DivRing → 𝑄 ∈ Ring)
1715, 16mp1i 13 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (0(,)1)) → 𝑄 ∈ Ring)
18 0red 10246 . . . 4 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) ∧ 𝑥 = 0) → 0 ∈ ℝ)
19 ioossre 12439 . . . . . . 7 (0(,)1) ⊆ ℝ
20 simpr 471 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (0(,)1)) → 𝑁 ∈ (0(,)1))
2119, 20sseldi 3750 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (0(,)1)) → 𝑁 ∈ ℝ)
2221ad2antrr 705 . . . . 5 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) ∧ ¬ 𝑥 = 0) → 𝑁 ∈ ℝ)
23 eliooord 12437 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (0(,)1) → (0 < 𝑁𝑁 < 1))
2423adantl 467 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (0(,)1)) → (0 < 𝑁𝑁 < 1))
2524simpld 482 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (0(,)1)) → 0 < 𝑁)
2621, 25elrpd 12071 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (0(,)1)) → 𝑁 ∈ ℝ+)
2726rpne0d 12079 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (0(,)1)) → 𝑁 ≠ 0)
2827ad2antrr 705 . . . . 5 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) ∧ ¬ 𝑥 = 0) → 𝑁 ≠ 0)
29 df-ne 2944 . . . . . 6 (𝑥 ≠ 0 ↔ ¬ 𝑥 = 0)
30 pcqcl 15767 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑥 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 𝑥) ∈ ℤ)
3130adantlr 694 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑥 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 𝑥) ∈ ℤ)
3231anassrs 453 . . . . . 6 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) ∧ 𝑥 ≠ 0) → (𝑃 pCnt 𝑥) ∈ ℤ)
3329, 32sylan2br 582 . . . . 5 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) ∧ ¬ 𝑥 = 0) → (𝑃 pCnt 𝑥) ∈ ℤ)
3422, 28, 33reexpclzd 13240 . . . 4 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) ∧ ¬ 𝑥 = 0) → (𝑁↑(𝑃 pCnt 𝑥)) ∈ ℝ)
3518, 34ifclda 4260 . . 3 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) → if(𝑥 = 0, 0, (𝑁↑(𝑃 pCnt 𝑥))) ∈ ℝ)
36 padic.f . . 3 𝐹 = (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑁↑(𝑃 pCnt 𝑥))))
3735, 36fmptd 6529 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (0(,)1)) → 𝐹:ℚ⟶ℝ)
38 0z 11594 . . . 4 0 ∈ ℤ
39 zq 12001 . . . 4 (0 ∈ ℤ → 0 ∈ ℚ)
4038, 39ax-mp 5 . . 3 0 ∈ ℚ
41 iftrue 4232 . . . 4 (𝑥 = 0 → if(𝑥 = 0, 0, (𝑁↑(𝑃 pCnt 𝑥))) = 0)
42 c0ex 10239 . . . 4 0 ∈ V
4341, 36, 42fvmpt 6426 . . 3 (0 ∈ ℚ → (𝐹‘0) = 0)
4440, 43mp1i 13 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (0(,)1)) → (𝐹‘0) = 0)
45213ad2ant1 1127 . . . 4 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℝ)
46 pcqcl 15767 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 𝑦) ∈ ℤ)
4746adantlr 694 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 𝑦) ∈ ℤ)
48473impb 1107 . . . 4 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0) → (𝑃 pCnt 𝑦) ∈ ℤ)
49253ad2ant1 1127 . . . 4 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0) → 0 < 𝑁)
50 expgt0 13099 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑃 pCnt 𝑦) ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁) → 0 < (𝑁↑(𝑃 pCnt 𝑦)))
5145, 48, 49, 50syl3anc 1476 . . 3 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0) → 0 < (𝑁↑(𝑃 pCnt 𝑦)))
52 eqeq1 2775 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 = 0 ↔ 𝑦 = 0))
53 oveq2 6803 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (𝑃 pCnt 𝑥) = (𝑃 pCnt 𝑦))
5453oveq2d 6811 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (𝑁↑(𝑃 pCnt 𝑥)) = (𝑁↑(𝑃 pCnt 𝑦)))
5552, 54ifbieq2d 4251 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → if(𝑥 = 0, 0, (𝑁↑(𝑃 pCnt 𝑥))) = if(𝑦 = 0, 0, (𝑁↑(𝑃 pCnt 𝑦))))
56 ovex 6826 . . . . . . 7 (𝑁↑(𝑃 pCnt 𝑦)) ∈ V
5742, 56ifex 4296 . . . . . 6 if(𝑦 = 0, 0, (𝑁↑(𝑃 pCnt 𝑦))) ∈ V
5855, 36, 57fvmpt 6426 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℚ → (𝐹𝑦) = if(𝑦 = 0, 0, (𝑁↑(𝑃 pCnt 𝑦))))
59583ad2ant2 1128 . . . 4 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0) → (𝐹𝑦) = if(𝑦 = 0, 0, (𝑁↑(𝑃 pCnt 𝑦))))
60 simp3 1132 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0) → 𝑦 ≠ 0)
6160neneqd 2948 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0) → ¬ 𝑦 = 0)
6261iffalsed 4237 . . . 4 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0) → if(𝑦 = 0, 0, (𝑁↑(𝑃 pCnt 𝑦))) = (𝑁↑(𝑃 pCnt 𝑦)))
6359, 62eqtrd 2805 . . 3 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0) → (𝐹𝑦) = (𝑁↑(𝑃 pCnt 𝑦)))
6451, 63breqtrrd 4815 . 2 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0) → 0 < (𝐹𝑦))
65 pcqmul 15764 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ (𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt (𝑦 · 𝑧)) = ((𝑃 pCnt 𝑦) + (𝑃 pCnt 𝑧)))
66653adant1r 1187 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ (𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt (𝑦 · 𝑧)) = ((𝑃 pCnt 𝑦) + (𝑃 pCnt 𝑧)))
6766oveq2d 6811 . . . 4 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ (𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0)) → (𝑁↑(𝑃 pCnt (𝑦 · 𝑧))) = (𝑁↑((𝑃 pCnt 𝑦) + (𝑃 pCnt 𝑧))))
6821recnd 10273 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (0(,)1)) → 𝑁 ∈ ℂ)
69683ad2ant1 1127 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ (𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0)) → 𝑁 ∈ ℂ)
70273ad2ant1 1127 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ (𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0)) → 𝑁 ≠ 0)
71473adant3 1126 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ (𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 𝑦) ∈ ℤ)
72 simp1l 1239 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ (𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0)) → 𝑃 ∈ ℙ)
73 simp3l 1243 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ (𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0)) → 𝑧 ∈ ℚ)
74 simp3r 1244 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ (𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0)) → 𝑧 ≠ 0)
75 pcqcl 15767 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 𝑧) ∈ ℤ)
7672, 73, 74, 75syl12anc 1474 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ (𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 𝑧) ∈ ℤ)
77 expaddz 13110 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ ((𝑃 pCnt 𝑦) ∈ ℤ ∧ (𝑃 pCnt 𝑧) ∈ ℤ)) → (𝑁↑((𝑃 pCnt 𝑦) + (𝑃 pCnt 𝑧))) = ((𝑁↑(𝑃 pCnt 𝑦)) · (𝑁↑(𝑃 pCnt 𝑧))))
7869, 70, 71, 76, 77syl22anc 1477 . . . 4 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ (𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0)) → (𝑁↑((𝑃 pCnt 𝑦) + (𝑃 pCnt 𝑧))) = ((𝑁↑(𝑃 pCnt 𝑦)) · (𝑁↑(𝑃 pCnt 𝑧))))
7967, 78eqtrd 2805 . . 3 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ (𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0)) → (𝑁↑(𝑃 pCnt (𝑦 · 𝑧))) = ((𝑁↑(𝑃 pCnt 𝑦)) · (𝑁↑(𝑃 pCnt 𝑧))))
80 simp2l 1241 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ (𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0)) → 𝑦 ∈ ℚ)
81 qmulcl 12013 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ∈ ℚ) → (𝑦 · 𝑧) ∈ ℚ)
8280, 73, 81syl2anc 573 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ (𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0)) → (𝑦 · 𝑧) ∈ ℚ)
83 eqeq1 2775 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑦 · 𝑧) → (𝑥 = 0 ↔ (𝑦 · 𝑧) = 0))
84 oveq2 6803 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑦 · 𝑧) → (𝑃 pCnt 𝑥) = (𝑃 pCnt (𝑦 · 𝑧)))
8584oveq2d 6811 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑦 · 𝑧) → (𝑁↑(𝑃 pCnt 𝑥)) = (𝑁↑(𝑃 pCnt (𝑦 · 𝑧))))
8683, 85ifbieq2d 4251 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦 · 𝑧) → if(𝑥 = 0, 0, (𝑁↑(𝑃 pCnt 𝑥))) = if((𝑦 · 𝑧) = 0, 0, (𝑁↑(𝑃 pCnt (𝑦 · 𝑧)))))
87 ovex 6826 . . . . . . 7 (𝑁↑(𝑃 pCnt (𝑦 · 𝑧))) ∈ V
8842, 87ifex 4296 . . . . . 6 if((𝑦 · 𝑧) = 0, 0, (𝑁↑(𝑃 pCnt (𝑦 · 𝑧)))) ∈ V
8986, 36, 88fvmpt 6426 . . . . 5 ((𝑦 · 𝑧) ∈ ℚ → (𝐹‘(𝑦 · 𝑧)) = if((𝑦 · 𝑧) = 0, 0, (𝑁↑(𝑃 pCnt (𝑦 · 𝑧)))))
9082, 89syl 17 . . . 4 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ (𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0)) → (𝐹‘(𝑦 · 𝑧)) = if((𝑦 · 𝑧) = 0, 0, (𝑁↑(𝑃 pCnt (𝑦 · 𝑧)))))
91 qcn 12009 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℚ → 𝑦 ∈ ℂ)
9280, 91syl 17 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ (𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0)) → 𝑦 ∈ ℂ)
93 qcn 12009 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ℚ → 𝑧 ∈ ℂ)
9473, 93syl 17 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ (𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0)) → 𝑧 ∈ ℂ)
95 simp2r 1242 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ (𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0)) → 𝑦 ≠ 0)
9692, 94, 95, 74mulne0d 10884 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ (𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0)) → (𝑦 · 𝑧) ≠ 0)
9796neneqd 2948 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ (𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0)) → ¬ (𝑦 · 𝑧) = 0)
9897iffalsed 4237 . . . 4 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ (𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0)) → if((𝑦 · 𝑧) = 0, 0, (𝑁↑(𝑃 pCnt (𝑦 · 𝑧)))) = (𝑁↑(𝑃 pCnt (𝑦 · 𝑧))))
9990, 98eqtrd 2805 . . 3 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ (𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0)) → (𝐹‘(𝑦 · 𝑧)) = (𝑁↑(𝑃 pCnt (𝑦 · 𝑧))))
100633expb 1113 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (𝐹𝑦) = (𝑁↑(𝑃 pCnt 𝑦)))
1011003adant3 1126 . . . 4 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ (𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0)) → (𝐹𝑦) = (𝑁↑(𝑃 pCnt 𝑦)))
102 eqeq1 2775 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 = 0 ↔ 𝑧 = 0))
103 oveq2 6803 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑧 → (𝑃 pCnt 𝑥) = (𝑃 pCnt 𝑧))
104103oveq2d 6811 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑧 → (𝑁↑(𝑃 pCnt 𝑥)) = (𝑁↑(𝑃 pCnt 𝑧)))
105102, 104ifbieq2d 4251 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑧 → if(𝑥 = 0, 0, (𝑁↑(𝑃 pCnt 𝑥))) = if(𝑧 = 0, 0, (𝑁↑(𝑃 pCnt 𝑧))))
106 ovex 6826 . . . . . . . 8 (𝑁↑(𝑃 pCnt 𝑧)) ∈ V
10742, 106ifex 4296 . . . . . . 7 if(𝑧 = 0, 0, (𝑁↑(𝑃 pCnt 𝑧))) ∈ V
108105, 36, 107fvmpt 6426 . . . . . 6 (𝑧 ∈ ℚ → (𝐹𝑧) = if(𝑧 = 0, 0, (𝑁↑(𝑃 pCnt 𝑧))))
10973, 108syl 17 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ (𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0)) → (𝐹𝑧) = if(𝑧 = 0, 0, (𝑁↑(𝑃 pCnt 𝑧))))
11074neneqd 2948 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ (𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0)) → ¬ 𝑧 = 0)
111110iffalsed 4237 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ (𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0)) → if(𝑧 = 0, 0, (𝑁↑(𝑃 pCnt 𝑧))) = (𝑁↑(𝑃 pCnt 𝑧)))
112109, 111eqtrd 2805 . . . 4 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ (𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0)) → (𝐹𝑧) = (𝑁↑(𝑃 pCnt 𝑧)))
113101, 112oveq12d 6813 . . 3 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ (𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0)) → ((𝐹𝑦) · (𝐹𝑧)) = ((𝑁↑(𝑃 pCnt 𝑦)) · (𝑁↑(𝑃 pCnt 𝑧))))
11479, 99, 1133eqtr4d 2815 . 2 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ (𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0)) → (𝐹‘(𝑦 · 𝑧)) = ((𝐹𝑦) · (𝐹𝑧)))
115 iftrue 4232 . . . . 5 ((𝑦 + 𝑧) = 0 → if((𝑦 + 𝑧) = 0, 0, (𝑁↑(𝑃 pCnt (𝑦 + 𝑧)))) = 0)
116115breq1d 4797 . . . 4 ((𝑦 + 𝑧) = 0 → (if((𝑦 + 𝑧) = 0, 0, (𝑁↑(𝑃 pCnt (𝑦 + 𝑧)))) ≤ ((𝑁↑(𝑃 pCnt 𝑦)) + (𝑁↑(𝑃 pCnt 𝑧))) ↔ 0 ≤ ((𝑁↑(𝑃 pCnt 𝑦)) + (𝑁↑(𝑃 pCnt 𝑧)))))
117 ifnefalse 4238 . . . . . 6 ((𝑦 + 𝑧) ≠ 0 → if((𝑦 + 𝑧) = 0, 0, (𝑁↑(𝑃 pCnt (𝑦 + 𝑧)))) = (𝑁↑(𝑃 pCnt (𝑦 + 𝑧))))
118117adantl 467 . . . . 5 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ (𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0)) ∧ (𝑦 + 𝑧) ≠ 0) → if((𝑦 + 𝑧) = 0, 0, (𝑁↑(𝑃 pCnt (𝑦 + 𝑧)))) = (𝑁↑(𝑃 pCnt (𝑦 + 𝑧))))
11971adantr 466 . . . . . . 7 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ (𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0)) ∧ (𝑦 + 𝑧) ≠ 0) → (𝑃 pCnt 𝑦) ∈ ℤ)
120119zred 11688 . . . . . 6 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ (𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0)) ∧ (𝑦 + 𝑧) ≠ 0) → (𝑃 pCnt 𝑦) ∈ ℝ)
12176adantr 466 . . . . . . 7 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ (𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0)) ∧ (𝑦 + 𝑧) ≠ 0) → (𝑃 pCnt 𝑧) ∈ ℤ)
122121zred 11688 . . . . . 6 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ (𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0)) ∧ (𝑦 + 𝑧) ≠ 0) → (𝑃 pCnt 𝑧) ∈ ℝ)
123213ad2ant1 1127 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ (𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0)) → 𝑁 ∈ ℝ)
124123ad2antrr 705 . . . . . . . 8 (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ (𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0)) ∧ (𝑦 + 𝑧) ≠ 0) ∧ (𝑃 pCnt 𝑦) ≤ (𝑃 pCnt 𝑧)) → 𝑁 ∈ ℝ)
12570ad2antrr 705 . . . . . . . 8 (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ (𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0)) ∧ (𝑦 + 𝑧) ≠ 0) ∧ (𝑃 pCnt 𝑦) ≤ (𝑃 pCnt 𝑧)) → 𝑁 ≠ 0)
12672adantr 466 . . . . . . . . . 10 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ (𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0)) ∧ (𝑦 + 𝑧) ≠ 0) → 𝑃 ∈ ℙ)
127 qaddcl 12011 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ∈ ℚ) → (𝑦 + 𝑧) ∈ ℚ)
12880, 73, 127syl2anc 573 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ (𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0)) → (𝑦 + 𝑧) ∈ ℚ)
129128adantr 466 . . . . . . . . . 10 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ (𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0)) ∧ (𝑦 + 𝑧) ≠ 0) → (𝑦 + 𝑧) ∈ ℚ)
130 simpr 471 . . . . . . . . . 10 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ (𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0)) ∧ (𝑦 + 𝑧) ≠ 0) → (𝑦 + 𝑧) ≠ 0)
131 pcqcl 15767 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ((𝑦 + 𝑧) ∈ ℚ ∧ (𝑦 + 𝑧) ≠ 0)) → (𝑃 pCnt (𝑦 + 𝑧)) ∈ ℤ)
132126, 129, 130, 131syl12anc 1474 . . . . . . . . 9 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ (𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0)) ∧ (𝑦 + 𝑧) ≠ 0) → (𝑃 pCnt (𝑦 + 𝑧)) ∈ ℤ)
133132adantr 466 . . . . . . . 8 (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ (𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0)) ∧ (𝑦 + 𝑧) ≠ 0) ∧ (𝑃 pCnt 𝑦) ≤ (𝑃 pCnt 𝑧)) → (𝑃 pCnt (𝑦 + 𝑧)) ∈ ℤ)
134124, 125, 133reexpclzd 13240 . . . . . . 7 (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ (𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0)) ∧ (𝑦 + 𝑧) ≠ 0) ∧ (𝑃 pCnt 𝑦) ≤ (𝑃 pCnt 𝑧)) → (𝑁↑(𝑃 pCnt (𝑦 + 𝑧))) ∈ ℝ)
135119adantr 466 . . . . . . . 8 (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ (𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0)) ∧ (𝑦 + 𝑧) ≠ 0) ∧ (𝑃 pCnt 𝑦) ≤ (𝑃 pCnt 𝑧)) → (𝑃 pCnt 𝑦) ∈ ℤ)
136124, 125, 135reexpclzd 13240 . . . . . . 7 (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ (𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0)) ∧ (𝑦 + 𝑧) ≠ 0) ∧ (𝑃 pCnt 𝑦) ≤ (𝑃 pCnt 𝑧)) → (𝑁↑(𝑃 pCnt 𝑦)) ∈ ℝ)
137 simpl1 1227 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ (𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0)) ∧ (𝑦 + 𝑧) ≠ 0) → (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (0(,)1)))
138137, 21syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ (𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0)) ∧ (𝑦 + 𝑧) ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℝ)
139137, 27syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ (𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0)) ∧ (𝑦 + 𝑧) ≠ 0) → 𝑁 ≠ 0)
140138, 139, 119reexpclzd 13240 . . . . . . . . 9 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ (𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0)) ∧ (𝑦 + 𝑧) ≠ 0) → (𝑁↑(𝑃 pCnt 𝑦)) ∈ ℝ)
141138, 139, 121reexpclzd 13240 . . . . . . . . 9 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ (𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0)) ∧ (𝑦 + 𝑧) ≠ 0) → (𝑁↑(𝑃 pCnt 𝑧)) ∈ ℝ)
142140, 141readdcld 10274 . . . . . . . 8 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ (𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0)) ∧ (𝑦 + 𝑧) ≠ 0) → ((𝑁↑(𝑃 pCnt 𝑦)) + (𝑁↑(𝑃 pCnt 𝑧))) ∈ ℝ)
143142adantr 466 . . . . . . 7 (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ (𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0)) ∧ (𝑦 + 𝑧) ≠ 0) ∧ (𝑃 pCnt 𝑦) ≤ (𝑃 pCnt 𝑧)) → ((𝑁↑(𝑃 pCnt 𝑦)) + (𝑁↑(𝑃 pCnt 𝑧))) ∈ ℝ)
144126adantr 466 . . . . . . . . 9 (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ (𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0)) ∧ (𝑦 + 𝑧) ≠ 0) ∧ (𝑃 pCnt 𝑦) ≤ (𝑃 pCnt 𝑧)) → 𝑃 ∈ ℙ)
14580ad2antrr 705 . . . . . . . . 9 (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ (𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0)) ∧ (𝑦 + 𝑧) ≠ 0) ∧ (𝑃 pCnt 𝑦) ≤ (𝑃 pCnt 𝑧)) → 𝑦 ∈ ℚ)
14673ad2antrr 705 . . . . . . . . 9 (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ (𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0)) ∧ (𝑦 + 𝑧) ≠ 0) ∧ (𝑃 pCnt 𝑦) ≤ (𝑃 pCnt 𝑧)) → 𝑧 ∈ ℚ)
147 simpr 471 . . . . . . . . 9 (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ (𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0)) ∧ (𝑦 + 𝑧) ≠ 0) ∧ (𝑃 pCnt 𝑦) ≤ (𝑃 pCnt 𝑧)) → (𝑃 pCnt 𝑦) ≤ (𝑃 pCnt 𝑧))
148144, 145, 146, 147pcadd 15799 . . . . . . . 8 (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ (𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0)) ∧ (𝑦 + 𝑧) ≠ 0) ∧ (𝑃 pCnt 𝑦) ≤ (𝑃 pCnt 𝑧)) → (𝑃 pCnt 𝑦) ≤ (𝑃 pCnt (𝑦 + 𝑧)))
149137, 26syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ (𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0)) ∧ (𝑦 + 𝑧) ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℝ+)
15024simprd 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (0(,)1)) → 𝑁 < 1)
151137, 150syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ (𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0)) ∧ (𝑦 + 𝑧) ≠ 0) → 𝑁 < 1)
152149, 119, 132, 151ltexp2rd 13239 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ (𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0)) ∧ (𝑦 + 𝑧) ≠ 0) → ((𝑃 pCnt (𝑦 + 𝑧)) < (𝑃 pCnt 𝑦) ↔ (𝑁↑(𝑃 pCnt 𝑦)) < (𝑁↑(𝑃 pCnt (𝑦 + 𝑧)))))
153152notbid 307 . . . . . . . . . 10 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ (𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0)) ∧ (𝑦 + 𝑧) ≠ 0) → (¬ (𝑃 pCnt (𝑦 + 𝑧)) < (𝑃 pCnt 𝑦) ↔ ¬ (𝑁↑(𝑃 pCnt 𝑦)) < (𝑁↑(𝑃 pCnt (𝑦 + 𝑧)))))
154132zred 11688 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ (𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0)) ∧ (𝑦 + 𝑧) ≠ 0) → (𝑃 pCnt (𝑦 + 𝑧)) ∈ ℝ)
155120, 154lenltd 10388 . . . . . . . . . 10 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ (𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0)) ∧ (𝑦 + 𝑧) ≠ 0) → ((𝑃 pCnt 𝑦) ≤ (𝑃 pCnt (𝑦 + 𝑧)) ↔ ¬ (𝑃 pCnt (𝑦 + 𝑧)) < (𝑃 pCnt 𝑦)))
156138, 139, 132reexpclzd 13240 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ (𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0)) ∧ (𝑦 + 𝑧) ≠ 0) → (𝑁↑(𝑃 pCnt (𝑦 + 𝑧))) ∈ ℝ)
157156, 140lenltd 10388 . . . . . . . . . 10 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ (𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0)) ∧ (𝑦 + 𝑧) ≠ 0) → ((𝑁↑(𝑃 pCnt (𝑦 + 𝑧))) ≤ (𝑁↑(𝑃 pCnt 𝑦)) ↔ ¬ (𝑁↑(𝑃 pCnt 𝑦)) < (𝑁↑(𝑃 pCnt (𝑦 + 𝑧)))))
158153, 155, 1573bitr4d 300 . . . . . . . . 9 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ (𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0)) ∧ (𝑦 + 𝑧) ≠ 0) → ((𝑃 pCnt 𝑦) ≤ (𝑃 pCnt (𝑦 + 𝑧)) ↔ (𝑁↑(𝑃 pCnt (𝑦 + 𝑧))) ≤ (𝑁↑(𝑃 pCnt 𝑦))))
159158biimpa 462 . . . . . . . 8 (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ (𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0)) ∧ (𝑦 + 𝑧) ≠ 0) ∧ (𝑃 pCnt 𝑦) ≤ (𝑃 pCnt (𝑦 + 𝑧))) → (𝑁↑(𝑃 pCnt (𝑦 + 𝑧))) ≤ (𝑁↑(𝑃 pCnt 𝑦)))
160148, 159syldan 579 . . . . . . 7 (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ (𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0)) ∧ (𝑦 + 𝑧) ≠ 0) ∧ (𝑃 pCnt 𝑦) ≤ (𝑃 pCnt 𝑧)) → (𝑁↑(𝑃 pCnt (𝑦 + 𝑧))) ≤ (𝑁↑(𝑃 pCnt 𝑦)))
161263ad2ant1 1127 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ (𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0)) → 𝑁 ∈ ℝ+)
162161, 76rpexpcld 13238 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ (𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0)) → (𝑁↑(𝑃 pCnt 𝑧)) ∈ ℝ+)
163162adantr 466 . . . . . . . . . 10 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ (𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0)) ∧ (𝑦 + 𝑧) ≠ 0) → (𝑁↑(𝑃 pCnt 𝑧)) ∈ ℝ+)
164163rpge0d 12078 . . . . . . . . 9 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ (𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0)) ∧ (𝑦 + 𝑧) ≠ 0) → 0 ≤ (𝑁↑(𝑃 pCnt 𝑧)))
165140, 141addge01d 10820 . . . . . . . . 9 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ (𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0)) ∧ (𝑦 + 𝑧) ≠ 0) → (0 ≤ (𝑁↑(𝑃 pCnt 𝑧)) ↔ (𝑁↑(𝑃 pCnt 𝑦)) ≤ ((𝑁↑(𝑃 pCnt 𝑦)) + (𝑁↑(𝑃 pCnt 𝑧)))))
166164, 165mpbid 222 . . . . . . . 8 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ (𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0)) ∧ (𝑦 + 𝑧) ≠ 0) → (𝑁↑(𝑃 pCnt 𝑦)) ≤ ((𝑁↑(𝑃 pCnt 𝑦)) + (𝑁↑(𝑃 pCnt 𝑧))))
167166adantr 466 . . . . . . 7 (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ (𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0)) ∧ (𝑦 + 𝑧) ≠ 0) ∧ (𝑃 pCnt 𝑦) ≤ (𝑃 pCnt 𝑧)) → (𝑁↑(𝑃 pCnt 𝑦)) ≤ ((𝑁↑(𝑃 pCnt 𝑦)) + (𝑁↑(𝑃 pCnt 𝑧))))
168134, 136, 143, 160, 167letrd 10399 . . . . . 6 (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ (𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0)) ∧ (𝑦 + 𝑧) ≠ 0) ∧ (𝑃 pCnt 𝑦) ≤ (𝑃 pCnt 𝑧)) → (𝑁↑(𝑃 pCnt (𝑦 + 𝑧))) ≤ ((𝑁↑(𝑃 pCnt 𝑦)) + (𝑁↑(𝑃 pCnt 𝑧))))
169156adantr 466 . . . . . . 7 (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ (𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0)) ∧ (𝑦 + 𝑧) ≠ 0) ∧ (𝑃 pCnt 𝑧) ≤ (𝑃 pCnt 𝑦)) → (𝑁↑(𝑃 pCnt (𝑦 + 𝑧))) ∈ ℝ)
170141adantr 466 . . . . . . 7 (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ (𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0)) ∧ (𝑦 + 𝑧) ≠ 0) ∧ (𝑃 pCnt 𝑧) ≤ (𝑃 pCnt 𝑦)) → (𝑁↑(𝑃 pCnt 𝑧)) ∈ ℝ)
171142adantr 466 . . . . . . 7 (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ (𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0)) ∧ (𝑦 + 𝑧) ≠ 0) ∧ (𝑃 pCnt 𝑧) ≤ (𝑃 pCnt 𝑦)) → ((𝑁↑(𝑃 pCnt 𝑦)) + (𝑁↑(𝑃 pCnt 𝑧))) ∈ ℝ)
172126adantr 466 . . . . . . . . . 10 (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ (𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0)) ∧ (𝑦 + 𝑧) ≠ 0) ∧ (𝑃 pCnt 𝑧) ≤ (𝑃 pCnt 𝑦)) → 𝑃 ∈ ℙ)
17373ad2antrr 705 . . . . . . . . . 10 (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ (𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0)) ∧ (𝑦 + 𝑧) ≠ 0) ∧ (𝑃 pCnt 𝑧) ≤ (𝑃 pCnt 𝑦)) → 𝑧 ∈ ℚ)
17480ad2antrr 705 . . . . . . . . . 10 (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ (𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0)) ∧ (𝑦 + 𝑧) ≠ 0) ∧ (𝑃 pCnt 𝑧) ≤ (𝑃 pCnt 𝑦)) → 𝑦 ∈ ℚ)
175 simpr 471 . . . . . . . . . 10 (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ (𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0)) ∧ (𝑦 + 𝑧) ≠ 0) ∧ (𝑃 pCnt 𝑧) ≤ (𝑃 pCnt 𝑦)) → (𝑃 pCnt 𝑧) ≤ (𝑃 pCnt 𝑦))
176172, 173, 174, 175pcadd 15799 . . . . . . . . 9 (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ (𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0)) ∧ (𝑦 + 𝑧) ≠ 0) ∧ (𝑃 pCnt 𝑧) ≤ (𝑃 pCnt 𝑦)) → (𝑃 pCnt 𝑧) ≤ (𝑃 pCnt (𝑧 + 𝑦)))
17792, 94addcomd 10443 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ (𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0)) → (𝑦 + 𝑧) = (𝑧 + 𝑦))
178177oveq2d 6811 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ (𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt (𝑦 + 𝑧)) = (𝑃 pCnt (𝑧 + 𝑦)))
179178ad2antrr 705 . . . . . . . . 9 (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ (𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0)) ∧ (𝑦 + 𝑧) ≠ 0) ∧ (𝑃 pCnt 𝑧) ≤ (𝑃 pCnt 𝑦)) → (𝑃 pCnt (𝑦 + 𝑧)) = (𝑃 pCnt (𝑧 + 𝑦)))
180176, 179breqtrrd 4815 . . . . . . . 8 (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ (𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0)) ∧ (𝑦 + 𝑧) ≠ 0) ∧ (𝑃 pCnt 𝑧) ≤ (𝑃 pCnt 𝑦)) → (𝑃 pCnt 𝑧) ≤ (𝑃 pCnt (𝑦 + 𝑧)))
181149, 121, 132, 151ltexp2rd 13239 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ (𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0)) ∧ (𝑦 + 𝑧) ≠ 0) → ((𝑃 pCnt (𝑦 + 𝑧)) < (𝑃 pCnt 𝑧) ↔ (𝑁↑(𝑃 pCnt 𝑧)) < (𝑁↑(𝑃 pCnt (𝑦 + 𝑧)))))
182181notbid 307 . . . . . . . . . 10 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ (𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0)) ∧ (𝑦 + 𝑧) ≠ 0) → (¬ (𝑃 pCnt (𝑦 + 𝑧)) < (𝑃 pCnt 𝑧) ↔ ¬ (𝑁↑(𝑃 pCnt 𝑧)) < (𝑁↑(𝑃 pCnt (𝑦 + 𝑧)))))
183122, 154lenltd 10388 . . . . . . . . . 10 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ (𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0)) ∧ (𝑦 + 𝑧) ≠ 0) → ((𝑃 pCnt 𝑧) ≤ (𝑃 pCnt (𝑦 + 𝑧)) ↔ ¬ (𝑃 pCnt (𝑦 + 𝑧)) < (𝑃 pCnt 𝑧)))
184156, 141lenltd 10388 . . . . . . . . . 10 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ (𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0)) ∧ (𝑦 + 𝑧) ≠ 0) → ((𝑁↑(𝑃 pCnt (𝑦 + 𝑧))) ≤ (𝑁↑(𝑃 pCnt 𝑧)) ↔ ¬ (𝑁↑(𝑃 pCnt 𝑧)) < (𝑁↑(𝑃 pCnt (𝑦 + 𝑧)))))
185182, 183, 1843bitr4d 300 . . . . . . . . 9 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ (𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0)) ∧ (𝑦 + 𝑧) ≠ 0) → ((𝑃 pCnt 𝑧) ≤ (𝑃 pCnt (𝑦 + 𝑧)) ↔ (𝑁↑(𝑃 pCnt (𝑦 + 𝑧))) ≤ (𝑁↑(𝑃 pCnt 𝑧))))
186185biimpa 462 . . . . . . . 8 (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ (𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0)) ∧ (𝑦 + 𝑧) ≠ 0) ∧ (𝑃 pCnt 𝑧) ≤ (𝑃 pCnt (𝑦 + 𝑧))) → (𝑁↑(𝑃 pCnt (𝑦 + 𝑧))) ≤ (𝑁↑(𝑃 pCnt 𝑧)))
187180, 186syldan 579 . . . . . . 7 (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ (𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0)) ∧ (𝑦 + 𝑧) ≠ 0) ∧ (𝑃 pCnt 𝑧) ≤ (𝑃 pCnt 𝑦)) → (𝑁↑(𝑃 pCnt (𝑦 + 𝑧))) ≤ (𝑁↑(𝑃 pCnt 𝑧)))
188161, 71rpexpcld 13238 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ (𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0)) → (𝑁↑(𝑃 pCnt 𝑦)) ∈ ℝ+)
189188adantr 466 . . . . . . . . . 10 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ (𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0)) ∧ (𝑦 + 𝑧) ≠ 0) → (𝑁↑(𝑃 pCnt 𝑦)) ∈ ℝ+)
190189rpge0d 12078 . . . . . . . . 9 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ (𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0)) ∧ (𝑦 + 𝑧) ≠ 0) → 0 ≤ (𝑁↑(𝑃 pCnt 𝑦)))
191141, 140addge02d 10821 . . . . . . . . 9 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ (𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0)) ∧ (𝑦 + 𝑧) ≠ 0) → (0 ≤ (𝑁↑(𝑃 pCnt 𝑦)) ↔ (𝑁↑(𝑃 pCnt 𝑧)) ≤ ((𝑁↑(𝑃 pCnt 𝑦)) + (𝑁↑(𝑃 pCnt 𝑧)))))
192190, 191mpbid 222 . . . . . . . 8 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ (𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0)) ∧ (𝑦 + 𝑧) ≠ 0) → (𝑁↑(𝑃 pCnt 𝑧)) ≤ ((𝑁↑(𝑃 pCnt 𝑦)) + (𝑁↑(𝑃 pCnt 𝑧))))
193192adantr 466 . . . . . . 7 (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ (𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0)) ∧ (𝑦 + 𝑧) ≠ 0) ∧ (𝑃 pCnt 𝑧) ≤ (𝑃 pCnt 𝑦)) → (𝑁↑(𝑃 pCnt 𝑧)) ≤ ((𝑁↑(𝑃 pCnt 𝑦)) + (𝑁↑(𝑃 pCnt 𝑧))))
194169, 170, 171, 187, 193letrd 10399 . . . . . 6 (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ (𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0)) ∧ (𝑦 + 𝑧) ≠ 0) ∧ (𝑃 pCnt 𝑧) ≤ (𝑃 pCnt 𝑦)) → (𝑁↑(𝑃 pCnt (𝑦 + 𝑧))) ≤ ((𝑁↑(𝑃 pCnt 𝑦)) + (𝑁↑(𝑃 pCnt 𝑧))))
195120, 122, 168, 194lecasei 10348 . . . . 5 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ (𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0)) ∧ (𝑦 + 𝑧) ≠ 0) → (𝑁↑(𝑃 pCnt (𝑦 + 𝑧))) ≤ ((𝑁↑(𝑃 pCnt 𝑦)) + (𝑁↑(𝑃 pCnt 𝑧))))
196118, 195eqbrtrd 4809 . . . 4 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ (𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0)) ∧ (𝑦 + 𝑧) ≠ 0) → if((𝑦 + 𝑧) = 0, 0, (𝑁↑(𝑃 pCnt (𝑦 + 𝑧)))) ≤ ((𝑁↑(𝑃 pCnt 𝑦)) + (𝑁↑(𝑃 pCnt 𝑧))))
197188, 162rpaddcld 12089 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ (𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0)) → ((𝑁↑(𝑃 pCnt 𝑦)) + (𝑁↑(𝑃 pCnt 𝑧))) ∈ ℝ+)
198197rpge0d 12078 . . . 4 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ (𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0)) → 0 ≤ ((𝑁↑(𝑃 pCnt 𝑦)) + (𝑁↑(𝑃 pCnt 𝑧))))
199116, 196, 198pm2.61ne 3028 . . 3 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ (𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0)) → if((𝑦 + 𝑧) = 0, 0, (𝑁↑(𝑃 pCnt (𝑦 + 𝑧)))) ≤ ((𝑁↑(𝑃 pCnt 𝑦)) + (𝑁↑(𝑃 pCnt 𝑧))))
200 eqeq1 2775 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦 + 𝑧) → (𝑥 = 0 ↔ (𝑦 + 𝑧) = 0))
201 oveq2 6803 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑦 + 𝑧) → (𝑃 pCnt 𝑥) = (𝑃 pCnt (𝑦 + 𝑧)))
202201oveq2d 6811 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦 + 𝑧) → (𝑁↑(𝑃 pCnt 𝑥)) = (𝑁↑(𝑃 pCnt (𝑦 + 𝑧))))
203200, 202ifbieq2d 4251 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦 + 𝑧) → if(𝑥 = 0, 0, (𝑁↑(𝑃 pCnt 𝑥))) = if((𝑦 + 𝑧) = 0, 0, (𝑁↑(𝑃 pCnt (𝑦 + 𝑧)))))
204 ovex 6826 . . . . . 6 (𝑁↑(𝑃 pCnt (𝑦 + 𝑧))) ∈ V
20542, 204ifex 4296 . . . . 5 if((𝑦 + 𝑧) = 0, 0, (𝑁↑(𝑃 pCnt (𝑦 + 𝑧)))) ∈ V
206203, 36, 205fvmpt 6426 . . . 4 ((𝑦 + 𝑧) ∈ ℚ → (𝐹‘(𝑦 + 𝑧)) = if((𝑦 + 𝑧) = 0, 0, (𝑁↑(𝑃 pCnt (𝑦 + 𝑧)))))
207128, 206syl 17 . . 3 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ (𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0)) → (𝐹‘(𝑦 + 𝑧)) = if((𝑦 + 𝑧) = 0, 0, (𝑁↑(𝑃 pCnt (𝑦 + 𝑧)))))
208101, 112oveq12d 6813 . . 3 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ (𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0)) → ((𝐹𝑦) + (𝐹𝑧)) = ((𝑁↑(𝑃 pCnt 𝑦)) + (𝑁↑(𝑃 pCnt 𝑧))))
209199, 207, 2083brtr4d 4819 . 2 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ (𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0)) → (𝐹‘(𝑦 + 𝑧)) ≤ ((𝐹𝑦) + (𝐹𝑧)))
2102, 5, 9, 12, 14, 17, 37, 44, 64, 114, 209isabvd 19029 1 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (0(,)1)) → 𝐹𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  Vcvv 3351  ifcif 4226   class class class wbr 4787  cmpt 4864  cfv 6030  (class class class)co 6795  cc 10139  cr 10140  0cc0 10141  1c1 10142   + caddc 10144   · cmul 10146   < clt 10279  cle 10280  cz 11583  cq 11995  +crp 12034  (,)cioo 12379  cexp 13066  cprime 15591   pCnt cpc 15747  Basecbs 16063  s cress 16064  +gcplusg 16148  .rcmulr 16149  0gc0g 16307  Ringcrg 18754  DivRingcdr 18956  AbsValcabv 19025  fldccnfld 19960
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7099  ax-cnex 10197  ax-resscn 10198  ax-1cn 10199  ax-icn 10200  ax-addcl 10201  ax-addrcl 10202  ax-mulcl 10203  ax-mulrcl 10204  ax-mulcom 10205  ax-addass 10206  ax-mulass 10207  ax-distr 10208  ax-i2m1 10209  ax-1ne0 10210  ax-1rid 10211  ax-rnegex 10212  ax-rrecex 10213  ax-cnre 10214  ax-pre-lttri 10215  ax-pre-lttrn 10216  ax-pre-ltadd 10217  ax-pre-mulgt0 10218  ax-pre-sup 10219  ax-addf 10220  ax-mulf 10221
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6756  df-ov 6798  df-oprab 6799  df-mpt2 6800  df-om 7216  df-1st 7318  df-2nd 7319  df-tpos 7507  df-wrecs 7562  df-recs 7624  df-rdg 7662  df-1o 7716  df-2o 7717  df-oadd 7720  df-er 7899  df-map 8014  df-en 8113  df-dom 8114  df-sdom 8115  df-fin 8116  df-sup 8507  df-inf 8508  df-pnf 10281  df-mnf 10282  df-xr 10283  df-ltxr 10284  df-le 10285  df-sub 10473  df-neg 10474  df-div 10890  df-nn 11226  df-2 11284  df-3 11285  df-4 11286  df-5 11287  df-6 11288  df-7 11289  df-8 11290  df-9 11291  df-n0 11499  df-z 11584  df-dec 11700  df-uz 11893  df-q 11996  df-rp 12035  df-ioo 12383  df-ico 12385  df-fz 12533  df-fl 12800  df-mod 12876  df-seq 13008  df-exp 13067  df-cj 14046  df-re 14047  df-im 14048  df-sqrt 14182  df-abs 14183  df-dvds 15189  df-gcd 15424  df-prm 15592  df-pc 15748  df-struct 16065  df-ndx 16066  df-slot 16067  df-base 16069  df-sets 16070  df-ress 16071  df-plusg 16161  df-mulr 16162  df-starv 16163  df-tset 16167  df-ple 16168  df-ds 16171  df-unif 16172  df-0g 16309  df-mgm 17449  df-sgrp 17491  df-mnd 17502  df-grp 17632  df-minusg 17633  df-subg 17798  df-cmn 18401  df-mgp 18697  df-ur 18709  df-ring 18756  df-cring 18757  df-oppr 18830  df-dvdsr 18848  df-unit 18849  df-invr 18879  df-dvr 18890  df-drng 18958  df-subrg 18987  df-abv 19026  df-cnfld 19961
This theorem is referenced by:  padicabvf  25540  padicabvcxp  25541
  Copyright terms: Public domain W3C validator