Theorem lediv12ad 13075

Description: Comparison of ratio of two nonnegative numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltmul1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltmul1d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltmul1d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
lediv12ad.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
lediv12ad.5	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
lediv12ad.6	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
lediv12ad.7	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≤ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
lediv12ad	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐷) ≤ (𝐵 / 𝐶))

Proof of Theorem lediv12ad

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltmul1d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltmul1d.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3	1, 2	jca 513	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
4		lediv12ad.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
5		lediv12ad.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
6	4, 5	jca 513	. 2 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵))
7		ltmul1d.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
8	7	rpred 13016	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
9		lediv12ad.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
10	8, 9	jca 513	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ))
11	7	rpgt0d 13019	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐶)
12		lediv12ad.7	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≤ 𝐷)
13	11, 12	jca 513	. 2 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷))
14		lediv12a 12107	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷))) → (𝐴 / 𝐷) ≤ (𝐵 / 𝐶))
15	3, 6, 10, 13, 14	syl22anc 838	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐷) ≤ (𝐵 / 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5149  (class class class)co 7409  ℝcr 11109  0cc0 11110   < clt 11248   ≤ cle 11249   / cdiv 11871  ℝ⁺crp 12974

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-rp 12975

This theorem is referenced by:  lgamgulmlem5  26537  chpo1ubb  26984  selbergb  27052  selberg2b  27055  dvdivbd  44639