Theorem lediv12ad 13030

Description: Comparison of ratio of two nonnegative numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltmul1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltmul1d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltmul1d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
lediv12ad.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
lediv12ad.5	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
lediv12ad.6	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
lediv12ad.7	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≤ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
lediv12ad	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐷) ≤ (𝐵 / 𝐶))

Proof of Theorem lediv12ad

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltmul1d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltmul1d.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3	1, 2	jca 511	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
4		lediv12ad.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
5		lediv12ad.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
6	4, 5	jca 511	. 2 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵))
7		ltmul1d.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
8	7	rpred 12971	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
9		lediv12ad.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
10	8, 9	jca 511	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ))
11	7	rpgt0d 12974	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐶)
12		lediv12ad.7	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≤ 𝐷)
13	11, 12	jca 511	. 2 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷))
14		lediv12a 12052	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷))) → (𝐴 / 𝐷) ≤ (𝐵 / 𝐶))
15	3, 6, 10, 13, 14	syl22anc 838	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐷) ≤ (𝐵 / 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5102  (class class class)co 7369  ℝcr 11043  0cc0 11044   < clt 11184   ≤ cle 11185   / cdiv 11811  ℝ⁺crp 12927

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-rp 12928

This theorem is referenced by:  lgamgulmlem5  26919  chpo1ubb  27368  selbergb  27436  selberg2b  27439  dvdivbd  45894