Theorem lediv12ad 13110

Description: Comparison of ratio of two nonnegative numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltmul1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltmul1d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltmul1d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
lediv12ad.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
lediv12ad.5	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
lediv12ad.6	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
lediv12ad.7	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≤ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
lediv12ad	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐷) ≤ (𝐵 / 𝐶))

Proof of Theorem lediv12ad

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltmul1d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltmul1d.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3	1, 2	jca 510	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
4		lediv12ad.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
5		lediv12ad.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
6	4, 5	jca 510	. 2 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵))
7		ltmul1d.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
8	7	rpred 13051	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
9		lediv12ad.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
10	8, 9	jca 510	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ))
11	7	rpgt0d 13054	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐶)
12		lediv12ad.7	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≤ 𝐷)
13	11, 12	jca 510	. 2 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷))
14		lediv12a 12140	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷))) → (𝐴 / 𝐷) ≤ (𝐵 / 𝐶))
15	3, 6, 10, 13, 14	syl22anc 837	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐷) ≤ (𝐵 / 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5149  (class class class)co 7419  ℝcr 11139  0cc0 11140   < clt 11280   ≤ cle 11281   / cdiv 11903  ℝ⁺crp 13009

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5576  df-po 5590  df-so 5591  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-rp 13010

This theorem is referenced by:  lgamgulmlem5  27010  chpo1ubb  27459  selbergb  27527  selberg2b  27530  dvdivbd  45449