MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lediv12ad Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lediv12ad 13017
Description: Comparison of ratio of two nonnegative numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ltmul1d.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ltmul1d.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
ltmul1d.3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
lediv12ad.4 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
lediv12ad.5 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
lediv12ad.6 (𝜑𝐴𝐵)
lediv12ad.7 (𝜑𝐶𝐷)
Assertion
Ref Expression
lediv12ad (𝜑 → (𝐴 / 𝐷) ≤ (𝐵 / 𝐶))

Proof of Theorem lediv12ad
StepHypRef Expression
1 ltmul1d.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 ltmul1d.2 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
31, 2jca 513 . 2 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
4 lediv12ad.5 . . 3 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
5 lediv12ad.6 . . 3 (𝜑𝐴𝐵)
64, 5jca 513 . 2 (𝜑 → (0 ≤ 𝐴𝐴𝐵))
7 ltmul1d.3 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
87rpred 12958 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
9 lediv12ad.4 . . 3 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
108, 9jca 513 . 2 (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ))
117rpgt0d 12961 . . 3 (𝜑 → 0 < 𝐶)
12 lediv12ad.7 . . 3 (𝜑𝐶𝐷)
1311, 12jca 513 . 2 (𝜑 → (0 < 𝐶𝐶𝐷))
14 lediv12a 12049 . 2 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴𝐵)) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐶𝐶𝐷))) → (𝐴 / 𝐷) ≤ (𝐵 / 𝐶))
153, 6, 10, 13, 14syl22anc 838 1 (𝜑 → (𝐴 / 𝐷) ≤ (𝐵 / 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  wcel 2107   class class class wbr 5106  (class class class)co 7358  cr 11051  0cc0 11052   < clt 11190  cle 11191   / cdiv 11813  +crp 12916
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-rp 12917
This theorem is referenced by:  lgamgulmlem5  26385  chpo1ubb  26832  selbergb  26900  selberg2b  26903  dvdivbd  44171
  Copyright terms: Public domain W3C validator