Theorem lediv1dd 12492

Description: Division of both sides of a less than or equal to relation by a positive number. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltmul1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltmul1d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltmul1d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
lediv1dd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
lediv1dd	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐶) ≤ (𝐵 / 𝐶))

Proof of Theorem lediv1dd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lediv1dd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		ltmul1d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltmul1d.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		ltmul1d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
5	2, 3, 4	lediv1d 12480	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 / 𝐶) ≤ (𝐵 / 𝐶)))
6	1, 5	mpbid 234	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐶) ≤ (𝐵 / 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5068  (class class class)co 7158  ℝcr 10538   ≤ cle 10678   / cdiv 11299  ℝ⁺crp 12392

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4841  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-id 5462  df-po 5476  df-so 5477  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-div 11300  df-rp 12393

This theorem is referenced by:  aalioulem5  24927  aalioulem6  24928  cxp2lim  25556  cxploglim2  25558  fsumharmonic  25591  lgamgulmlem2  25609  lgamgulmlem5  25612  chpchtlim  26057  dchrmusum2  26072  dchrvmasumlem3  26077  dchrisum0fno1  26089  dchrisum0lem1  26094  dchrisum0lem2a  26095  mulogsumlem  26109  vmalogdivsum2  26116  2vmadivsumlem  26118  selberglem2  26124  selbergb  26127  selberg2b  26130  chpdifbndlem1  26131  logdivbnd  26134  selberg3lem1  26135  selberg4lem1  26138  pntrlog2bndlem1  26155  pntrlog2bndlem2  26156  pntrlog2bndlem3  26157  pntrlog2bndlem5  26159  pntrlog2bnd  26162  pntpbnd1a  26163  pntpbnd2  26165  pntibndlem2  26169  dya2icoseg  31537  sxbrsigalem2  31546  knoppndvlem14  33866  knoppndvlem17  33869  hashnzfzclim  40661  oddfl  41550  lefldiveq  41566  sumnnodd  41918  wallispilem5  42361  dirkertrigeqlem3  42392  fourierdlem6  42405  fourierdlem7  42406  fourierdlem10  42409  fourierdlem30  42429  fourierdlem39  42438  fourierdlem47  42445  fourierdlem65  42463  fourierdlem79  42477  etransclem23  42549  flnn0div2ge  44600  dignn0flhalflem2  44683