Theorem lediv1dd 13157

Description: Division of both sides of a less than or equal to relation by a positive number. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltmul1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltmul1d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltmul1d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
lediv1dd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
lediv1dd	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐶) ≤ (𝐵 / 𝐶))

Proof of Theorem lediv1dd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lediv1dd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		ltmul1d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltmul1d.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		ltmul1d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
5	2, 3, 4	lediv1d 13145	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 / 𝐶) ≤ (𝐵 / 𝐶)))
6	1, 5	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐶) ≤ (𝐵 / 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5166  (class class class)co 7448  ℝcr 11183   ≤ cle 11325   / cdiv 11947  ℝ⁺crp 13057

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-rp 13058

This theorem is referenced by:  aalioulem5  26396  aalioulem6  26397  cxp2lim  27038  cxploglim2  27040  fsumharmonic  27073  lgamgulmlem2  27091  lgamgulmlem5  27094  chpchtlim  27541  dchrmusum2  27556  dchrvmasumlem3  27561  dchrisum0fno1  27573  dchrisum0lem1  27578  dchrisum0lem2a  27579  mulogsumlem  27593  vmalogdivsum2  27600  2vmadivsumlem  27602  selberglem2  27608  selbergb  27611  selberg2b  27614  chpdifbndlem1  27615  logdivbnd  27618  selberg3lem1  27619  selberg4lem1  27622  pntrlog2bndlem1  27639  pntrlog2bndlem2  27640  pntrlog2bndlem3  27641  pntrlog2bndlem5  27643  pntrlog2bnd  27646  pntpbnd1a  27647  pntpbnd2  27649  pntibndlem2  27653  dya2icoseg  34242  sxbrsigalem2  34251  knoppndvlem14  36491  knoppndvlem17  36494  lcmineqlem23  42008  aks4d1p1p2  42027  bcled  42135  hashnzfzclim  44291  oddfl  45192  lefldiveq  45207  sumnnodd  45551  wallispilem5  45990  dirkertrigeqlem3  46021  fourierdlem6  46034  fourierdlem7  46035  fourierdlem10  46038  fourierdlem30  46058  fourierdlem39  46067  fourierdlem47  46074  fourierdlem65  46092  fourierdlem79  46106  etransclem23  46178  flnn0div2ge  48267  dignn0flhalflem2  48350