Theorem lediv1dd 13039

Description: Division of both sides of a less than or equal to relation by a positive number. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltmul1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltmul1d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltmul1d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
lediv1dd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
lediv1dd	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐶) ≤ (𝐵 / 𝐶))

Proof of Theorem lediv1dd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lediv1dd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		ltmul1d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltmul1d.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		ltmul1d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
5	2, 3, 4	lediv1d 13027	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 / 𝐶) ≤ (𝐵 / 𝐶)))
6	1, 5	mpbid 234	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐶) ≤ (𝐵 / 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2121   class class class wbr 5075  (class class class)co 7360  ℝcr 11032   ≤ cle 11175   / cdiv 11802  ℝ⁺crp 12937

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-id 5516  df-po 5529  df-so 5530  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-div 11803  df-rp 12938

This theorem is referenced by:  aalioulem5  26324  aalioulem6  26325  cxp2lim  26962  cxploglim2  26964  fsumharmonic  26997  lgamgulmlem2  27015  lgamgulmlem5  27018  chpchtlim  27464  dchrmusum2  27479  dchrvmasumlem3  27484  dchrisum0fno1  27496  dchrisum0lem1  27501  dchrisum0lem2a  27502  mulogsumlem  27516  vmalogdivsum2  27523  2vmadivsumlem  27525  selberglem2  27531  selbergb  27534  selberg2b  27537  chpdifbndlem1  27538  logdivbnd  27541  selberg3lem1  27542  selberg4lem1  27545  pntrlog2bndlem1  27562  pntrlog2bndlem2  27563  pntrlog2bndlem3  27564  pntrlog2bndlem5  27566  pntrlog2bnd  27569  pntpbnd1a  27570  pntpbnd2  27572  pntibndlem2  27576  dya2icoseg  34473  sxbrsigalem2  34482  knoppndvlem14  36846  knoppndvlem17  36849  lcmineqlem23  42551  aks4d1p1p2  42570  bcled  42678  hashnzfzclim  44781  oddfl  45740  lefldiveq  45754  sumnnodd  46089  wallispilem5  46526  dirkertrigeqlem3  46557  fourierdlem6  46570  fourierdlem7  46571  fourierdlem10  46574  fourierdlem30  46594  fourierdlem39  46603  fourierdlem47  46610  fourierdlem65  46628  fourierdlem79  46642  etransclem23  46714  flnn0div2ge  49038  dignn0flhalflem2  49121