Theorem lediv1dd 12830

Description: Division of both sides of a less than or equal to relation by a positive number. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltmul1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltmul1d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltmul1d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
lediv1dd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
lediv1dd	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐶) ≤ (𝐵 / 𝐶))

Proof of Theorem lediv1dd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lediv1dd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		ltmul1d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltmul1d.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		ltmul1d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
5	2, 3, 4	lediv1d 12818	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 / 𝐶) ≤ (𝐵 / 𝐶)))
6	1, 5	mpbid 231	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐶) ≤ (𝐵 / 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5074  (class class class)co 7275  ℝcr 10870   ≤ cle 11010   / cdiv 11632  ℝ⁺crp 12730

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-po 5503  df-so 5504  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-rp 12731

This theorem is referenced by:  aalioulem5  25496  aalioulem6  25497  cxp2lim  26126  cxploglim2  26128  fsumharmonic  26161  lgamgulmlem2  26179  lgamgulmlem5  26182  chpchtlim  26627  dchrmusum2  26642  dchrvmasumlem3  26647  dchrisum0fno1  26659  dchrisum0lem1  26664  dchrisum0lem2a  26665  mulogsumlem  26679  vmalogdivsum2  26686  2vmadivsumlem  26688  selberglem2  26694  selbergb  26697  selberg2b  26700  chpdifbndlem1  26701  logdivbnd  26704  selberg3lem1  26705  selberg4lem1  26708  pntrlog2bndlem1  26725  pntrlog2bndlem2  26726  pntrlog2bndlem3  26727  pntrlog2bndlem5  26729  pntrlog2bnd  26732  pntpbnd1a  26733  pntpbnd2  26735  pntibndlem2  26739  dya2icoseg  32244  sxbrsigalem2  32253  knoppndvlem14  34705  knoppndvlem17  34708  lcmineqlem23  40059  aks4d1p1p2  40078  hashnzfzclim  41940  oddfl  42816  lefldiveq  42831  sumnnodd  43171  wallispilem5  43610  dirkertrigeqlem3  43641  fourierdlem6  43654  fourierdlem7  43655  fourierdlem10  43658  fourierdlem30  43678  fourierdlem39  43687  fourierdlem47  43694  fourierdlem65  43712  fourierdlem79  43726  etransclem23  43798  flnn0div2ge  45879  dignn0flhalflem2  45962