Theorem lediv1dd 13177

Description: Division of both sides of a less than or equal to relation by a positive number. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltmul1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltmul1d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltmul1d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
lediv1dd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
lediv1dd	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐶) ≤ (𝐵 / 𝐶))

Proof of Theorem lediv1dd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lediv1dd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		ltmul1d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltmul1d.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		ltmul1d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
5	2, 3, 4	lediv1d 13165	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 / 𝐶) ≤ (𝐵 / 𝐶)))
6	1, 5	mpbid 235	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐶) ≤ (𝐵 / 𝐶))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  (class class class)co 7409  ℝcr 11156   ≤ cle 11301   / cdiv 11928  ℝ⁺crp 13075

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735  ax-resscn 11214  ax-1cn 11215  ax-icn 11216  ax-addcl 11217  ax-addrcl 11218  ax-mulcl 11219  ax-mulrcl 11220  ax-mulcom 11221  ax-addass 11222  ax-mulass 11223  ax-distr 11224  ax-i2m1 11225  ax-1ne0 11226  ax-1rid 11227  ax-rnegex 11228  ax-rrecex 11229  ax-cnre 11230  ax-pre-lttri 11231  ax-pre-lttrn 11232  ax-pre-ltadd 11233  ax-pre-mulgt0 11234

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5543  df-po 5556  df-so 5557  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-riota 7366  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11500  df-neg 11501  df-div 11929  df-rp 13076

This theorem is used by:  aalioulem5  26612  aalioulem6  26613  cxp2lim  27253  cxploglim2  27255  fsumharmonic  27288  lgamgulmlem2  27306  lgamgulmlem5  27309  chpchtlim  27755  dchrmusum2  27770  dchrvmasumlem3  27775  dchrisum0fno1  27787  dchrisum0lem1  27792  dchrisum0lem2a  27793  mulogsumlem  27807  vmalogdivsum2  27814  2vmadivsumlem  27816  selberglem2  27822  selbergb  27825  selberg2b  27828  chpdifbndlem1  27829  logdivbnd  27832  selberg3lem1  27833  selberg4lem1  27836  pntrlog2bndlem1  27853  pntrlog2bndlem2  27854  pntrlog2bndlem3  27855  pntrlog2bndlem5  27857  pntrlog2bnd  27860  pntpbnd1a  27861  pntpbnd2  27863  pntibndlem2  27867  dya2icoseg  34829  sxbrsigalem2  34838  knoppndvlem14  37307  knoppndvlem17  37310  lcmineqlem23  43015  aks4d1p1p2  43034  bcled  43142  hashnzfzclim  45244  oddfl  46209  lefldiveq  46223  sumnnodd  46558  wallispilem5  46995  dirkertrigeqlem3  47026  fourierdlem6  47039  fourierdlem7  47040  fourierdlem10  47043  fourierdlem30  47063  fourierdlem39  47072  fourierdlem47  47079  fourierdlem65  47097  fourierdlem79  47111  etransclem23  47183  flnn0div2ge  49561  dignn0flhalflem2  49644