Theorem lediv1dd 13124

Description: Division of both sides of a less than or equal to relation by a positive number. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltmul1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltmul1d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltmul1d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
lediv1dd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
lediv1dd	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐶) ≤ (𝐵 / 𝐶))

Proof of Theorem lediv1dd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lediv1dd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		ltmul1d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltmul1d.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		ltmul1d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
5	2, 3, 4	lediv1d 13112	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 / 𝐶) ≤ (𝐵 / 𝐶)))
6	1, 5	mpbid 235	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐶) ≤ (𝐵 / 𝐶))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2142   class class class wbr 5108  (class class class)co 7412  ℝcr 11105   ≤ cle 11250   / cdiv 11877  ℝ⁺crp 13022

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5555  df-po 5568  df-so 5569  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-div 11878  df-rp 13023

This theorem is used by:  aalioulem5  26510  aalioulem6  26511  cxp2lim  27152  cxploglim2  27154  fsumharmonic  27187  lgamgulmlem2  27205  lgamgulmlem5  27208  chpchtlim  27654  dchrmusum2  27669  dchrvmasumlem3  27674  dchrisum0fno1  27686  dchrisum0lem1  27691  dchrisum0lem2a  27692  mulogsumlem  27706  vmalogdivsum2  27713  2vmadivsumlem  27715  selberglem2  27721  selbergb  27724  selberg2b  27727  chpdifbndlem1  27728  logdivbnd  27731  selberg3lem1  27732  selberg4lem1  27735  pntrlog2bndlem1  27752  pntrlog2bndlem2  27753  pntrlog2bndlem3  27754  pntrlog2bndlem5  27756  pntrlog2bnd  27759  pntpbnd1a  27760  pntpbnd2  27762  pntibndlem2  27766  dya2icoseg  34676  sxbrsigalem2  34685  knoppndvlem14  37142  knoppndvlem17  37145  lcmineqlem23  42846  aks4d1p1p2  42865  bcled  42973  hashnzfzclim  45060  oddfl  46025  lefldiveq  46039  sumnnodd  46374  wallispilem5  46811  dirkertrigeqlem3  46842  fourierdlem6  46855  fourierdlem7  46856  fourierdlem10  46859  fourierdlem30  46879  fourierdlem39  46888  fourierdlem47  46895  fourierdlem65  46913  fourierdlem79  46927  etransclem23  46999  flnn0div2ge  49341  dignn0flhalflem2  49424