MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lediv1dd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lediv1dd 13016
Description: Division of both sides of a less than or equal to relation by a positive number. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ltmul1d.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ltmul1d.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
ltmul1d.3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
lediv1dd.4 (𝜑𝐴𝐵)
Assertion
Ref Expression
lediv1dd (𝜑 → (𝐴 / 𝐶) ≤ (𝐵 / 𝐶))

Proof of Theorem lediv1dd
StepHypRef Expression
1 lediv1dd.4 . 2 (𝜑𝐴𝐵)
2 ltmul1d.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
3 ltmul1d.2 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
4 ltmul1d.3 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
52, 3, 4lediv1d 13004 . 2 (𝜑 → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴 / 𝐶) ≤ (𝐵 / 𝐶)))
61, 5mpbid 231 1 (𝜑 → (𝐴 / 𝐶) ≤ (𝐵 / 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2107   class class class wbr 5106  (class class class)co 7358  cr 11051  cle 11191   / cdiv 11813  +crp 12916
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-rp 12917
This theorem is referenced by:  aalioulem5  25699  aalioulem6  25700  cxp2lim  26329  cxploglim2  26331  fsumharmonic  26364  lgamgulmlem2  26382  lgamgulmlem5  26385  chpchtlim  26830  dchrmusum2  26845  dchrvmasumlem3  26850  dchrisum0fno1  26862  dchrisum0lem1  26867  dchrisum0lem2a  26868  mulogsumlem  26882  vmalogdivsum2  26889  2vmadivsumlem  26891  selberglem2  26897  selbergb  26900  selberg2b  26903  chpdifbndlem1  26904  logdivbnd  26907  selberg3lem1  26908  selberg4lem1  26911  pntrlog2bndlem1  26928  pntrlog2bndlem2  26929  pntrlog2bndlem3  26930  pntrlog2bndlem5  26932  pntrlog2bnd  26935  pntpbnd1a  26936  pntpbnd2  26938  pntibndlem2  26942  dya2icoseg  32880  sxbrsigalem2  32889  knoppndvlem14  34991  knoppndvlem17  34994  lcmineqlem23  40511  aks4d1p1p2  40530  hashnzfzclim  42609  oddfl  43518  lefldiveq  43533  sumnnodd  43878  wallispilem5  44317  dirkertrigeqlem3  44348  fourierdlem6  44361  fourierdlem7  44362  fourierdlem10  44365  fourierdlem30  44385  fourierdlem39  44394  fourierdlem47  44401  fourierdlem65  44419  fourierdlem79  44433  etransclem23  44505  flnn0div2ge  46626  dignn0flhalflem2  46709
  Copyright terms: Public domain W3C validator