Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvdivbd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvdivbd 45879
Description: A sufficient condition for the derivative to be bounded, for the quotient of two functions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dvdivbd.s (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvdivbd.a ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
dvdivbd.adv (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋𝐴)) = (𝑥𝑋𝐶))
dvdivbd.c ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐶 ∈ ℂ)
dvdivbd.b ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐵 ∈ ℂ)
dvdivbd.u (𝜑𝑈 ∈ ℝ)
dvdivbd.r (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
dvdivbd.t (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
dvdivbd.q (𝜑𝑄 ∈ ℝ)
dvdivbd.cbd ((𝜑𝑥𝑋) → (abs‘𝐶) ≤ 𝑈)
dvdivbd.bbd ((𝜑𝑥𝑋) → (abs‘𝐵) ≤ 𝑅)
dvdivbd.dbd ((𝜑𝑥𝑋) → (abs‘𝐷) ≤ 𝑇)
dvdivbd.abd ((𝜑𝑥𝑋) → (abs‘𝐴) ≤ 𝑄)
dvdivbd.bdv (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋𝐵)) = (𝑥𝑋𝐷))
dvdivbd.d ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐷 ∈ ℂ)
dvdivbd.e (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
dvdivbd.ele (𝜑 → ∀𝑥𝑋 𝐸 ≤ (abs‘𝐵))
dvdivbd.f 𝐹 = (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ (𝐴 / 𝐵)))
Assertion
Ref Expression
dvdivbd (𝜑 → ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑥𝑋 (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑏)
Distinct variable groups:   𝐸,𝑏,𝑥   𝐹,𝑏   𝑄,𝑏,𝑥   𝑅,𝑏,𝑥   𝑥,𝑆   𝑇,𝑏,𝑥   𝑈,𝑏,𝑥   𝑋,𝑏,𝑥   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑏)   𝐴(𝑥,𝑏)   𝐵(𝑥,𝑏)   𝐶(𝑥,𝑏)   𝐷(𝑥,𝑏)   𝑆(𝑏)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem dvdivbd
StepHypRef Expression
1 dvdivbd.u . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ ℝ)
2 dvdivbd.r . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
31, 2remulcld 11289 . . . 4 (𝜑 → (𝑈 · 𝑅) ∈ ℝ)
4 dvdivbd.t . . . . 5 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
5 dvdivbd.q . . . . 5 (𝜑𝑄 ∈ ℝ)
64, 5remulcld 11289 . . . 4 (𝜑 → (𝑇 · 𝑄) ∈ ℝ)
73, 6readdcld 11288 . . 3 (𝜑 → ((𝑈 · 𝑅) + (𝑇 · 𝑄)) ∈ ℝ)
8 dvdivbd.e . . . . 5 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
98rpred 13075 . . . 4 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
109resqcld 14162 . . 3 (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℝ)
118rpcnd 13077 . . . 4 (𝜑𝐸 ∈ ℂ)
128rpgt0d 13078 . . . . 5 (𝜑 → 0 < 𝐸)
1312gt0ne0d 11825 . . . 4 (𝜑𝐸 ≠ 0)
14 2z 12647 . . . . 5 2 ∈ ℤ
1514a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
1611, 13, 15expne0d 14189 . . 3 (𝜑 → (𝐸↑2) ≠ 0)
177, 10, 16redivcld 12093 . 2 (𝜑 → (((𝑈 · 𝑅) + (𝑇 · 𝑄)) / (𝐸↑2)) ∈ ℝ)
18 dvdivbd.f . . . . . . 7 𝐹 = (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ (𝐴 / 𝐵)))
19 dvdivbd.s . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
20 dvdivbd.a . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
21 dvdivbd.c . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐶 ∈ ℂ)
22 dvdivbd.adv . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋𝐴)) = (𝑥𝑋𝐶))
23 dvdivbd.b . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐵 ∈ ℂ)
24 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝐵 = 0) → 𝐵 = 0)
2524abs00bd 15327 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝐵 = 0) → (abs‘𝐵) = 0)
26 0red 11262 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝑋) → 0 ∈ ℝ)
279adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐸 ∈ ℝ)
2823abscld 15472 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝑋) → (abs‘𝐵) ∈ ℝ)
2912adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝑋) → 0 < 𝐸)
30 dvdivbd.ele . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ∀𝑥𝑋 𝐸 ≤ (abs‘𝐵))
3130r19.21bi 3249 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐸 ≤ (abs‘𝐵))
3226, 27, 28, 29, 31ltletrd 11419 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝑋) → 0 < (abs‘𝐵))
3332gt0ne0d 11825 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝑋) → (abs‘𝐵) ≠ 0)
3433adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝐵 = 0) → (abs‘𝐵) ≠ 0)
3534neneqd 2943 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝐵 = 0) → ¬ (abs‘𝐵) = 0)
3625, 35pm2.65da 817 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑋) → ¬ 𝐵 = 0)
3736neqned 2945 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐵 ≠ 0)
38 eldifsn 4791 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
3923, 37, 38sylanbrc 583 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0}))
40 dvdivbd.d . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐷 ∈ ℂ)
41 dvdivbd.bdv . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋𝐵)) = (𝑥𝑋𝐷))
4219, 20, 21, 22, 39, 40, 41dvmptdiv 26027 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ (𝐴 / 𝐵))) = (𝑥𝑋 ↦ (((𝐶 · 𝐵) − (𝐷 · 𝐴)) / (𝐵↑2))))
4318, 42eqtrid 2787 . . . . . 6 (𝜑𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ (((𝐶 · 𝐵) − (𝐷 · 𝐴)) / (𝐵↑2))))
4421, 23mulcld 11279 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℂ)
4540, 20mulcld 11279 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐷 · 𝐴) ∈ ℂ)
4644, 45subcld 11618 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝐶 · 𝐵) − (𝐷 · 𝐴)) ∈ ℂ)
4723sqcld 14181 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
48 sqne0 14160 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℂ → ((𝐵↑2) ≠ 0 ↔ 𝐵 ≠ 0))
4923, 48syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝐵↑2) ≠ 0 ↔ 𝐵 ≠ 0))
5037, 49mpbird 257 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐵↑2) ≠ 0)
5146, 47, 50divcld 12041 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → (((𝐶 · 𝐵) − (𝐷 · 𝐴)) / (𝐵↑2)) ∈ ℂ)
5243, 51fvmpt2d 7029 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐹𝑥) = (((𝐶 · 𝐵) − (𝐷 · 𝐴)) / (𝐵↑2)))
5352fveq2d 6911 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → (abs‘(𝐹𝑥)) = (abs‘(((𝐶 · 𝐵) − (𝐷 · 𝐴)) / (𝐵↑2))))
5446, 47, 50absdivd 15491 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → (abs‘(((𝐶 · 𝐵) − (𝐷 · 𝐴)) / (𝐵↑2))) = ((abs‘((𝐶 · 𝐵) − (𝐷 · 𝐴))) / (abs‘(𝐵↑2))))
5546abscld 15472 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → (abs‘((𝐶 · 𝐵) − (𝐷 · 𝐴))) ∈ ℝ)
567adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝑈 · 𝑅) + (𝑇 · 𝑄)) ∈ ℝ)
578adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐸 ∈ ℝ+)
5814a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → 2 ∈ ℤ)
5957, 58rpexpcld 14283 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐸↑2) ∈ ℝ+)
6047abscld 15472 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → (abs‘(𝐵↑2)) ∈ ℝ)
6146absge0d 15480 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → 0 ≤ (abs‘((𝐶 · 𝐵) − (𝐷 · 𝐴))))
6244abscld 15472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑋) → (abs‘(𝐶 · 𝐵)) ∈ ℝ)
6345abscld 15472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑋) → (abs‘(𝐷 · 𝐴)) ∈ ℝ)
6462, 63readdcld 11288 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → ((abs‘(𝐶 · 𝐵)) + (abs‘(𝐷 · 𝐴))) ∈ ℝ)
6544, 45abs2dif2d 15494 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → (abs‘((𝐶 · 𝐵) − (𝐷 · 𝐴))) ≤ ((abs‘(𝐶 · 𝐵)) + (abs‘(𝐷 · 𝐴))))
663adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝑈 · 𝑅) ∈ ℝ)
676adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝑇 · 𝑄) ∈ ℝ)
6821, 23absmuld 15490 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑋) → (abs‘(𝐶 · 𝐵)) = ((abs‘𝐶) · (abs‘𝐵)))
6921abscld 15472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑋) → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
701adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑈 ∈ ℝ)
712adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑅 ∈ ℝ)
7221absge0d 15480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑋) → 0 ≤ (abs‘𝐶))
7323absge0d 15480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑋) → 0 ≤ (abs‘𝐵))
74 dvdivbd.cbd . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑋) → (abs‘𝐶) ≤ 𝑈)
75 dvdivbd.bbd . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑋) → (abs‘𝐵) ≤ 𝑅)
7669, 70, 28, 71, 72, 73, 74, 75lemul12ad 12208 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑋) → ((abs‘𝐶) · (abs‘𝐵)) ≤ (𝑈 · 𝑅))
7768, 76eqbrtrd 5170 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑋) → (abs‘(𝐶 · 𝐵)) ≤ (𝑈 · 𝑅))
7840, 20absmuld 15490 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑋) → (abs‘(𝐷 · 𝐴)) = ((abs‘𝐷) · (abs‘𝐴)))
7940abscld 15472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑋) → (abs‘𝐷) ∈ ℝ)
804adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑇 ∈ ℝ)
8120abscld 15472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑋) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
825adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑄 ∈ ℝ)
8340absge0d 15480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑋) → 0 ≤ (abs‘𝐷))
8420absge0d 15480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑋) → 0 ≤ (abs‘𝐴))
85 dvdivbd.dbd . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑋) → (abs‘𝐷) ≤ 𝑇)
86 dvdivbd.abd . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑋) → (abs‘𝐴) ≤ 𝑄)
8779, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86lemul12ad 12208 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑋) → ((abs‘𝐷) · (abs‘𝐴)) ≤ (𝑇 · 𝑄))
8878, 87eqbrtrd 5170 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑋) → (abs‘(𝐷 · 𝐴)) ≤ (𝑇 · 𝑄))
8962, 63, 66, 67, 77, 88le2addd 11880 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → ((abs‘(𝐶 · 𝐵)) + (abs‘(𝐷 · 𝐴))) ≤ ((𝑈 · 𝑅) + (𝑇 · 𝑄)))
9055, 64, 56, 65, 89letrd 11416 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → (abs‘((𝐶 · 𝐵) − (𝐷 · 𝐴))) ≤ ((𝑈 · 𝑅) + (𝑇 · 𝑄)))
91 2nn0 12541 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℕ0
9291a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑋) → 2 ∈ ℕ0)
9326, 27, 29ltled 11407 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑋) → 0 ≤ 𝐸)
94 leexp1a 14212 . . . . . . . 8 (((𝐸 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐵) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℕ0) ∧ (0 ≤ 𝐸𝐸 ≤ (abs‘𝐵))) → (𝐸↑2) ≤ ((abs‘𝐵)↑2))
9527, 28, 92, 93, 31, 94syl32anc 1377 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐸↑2) ≤ ((abs‘𝐵)↑2))
9623, 92absexpd 15488 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → (abs‘(𝐵↑2)) = ((abs‘𝐵)↑2))
9795, 96breqtrrd 5176 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐸↑2) ≤ (abs‘(𝐵↑2)))
9855, 56, 59, 60, 61, 90, 97lediv12ad 13134 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → ((abs‘((𝐶 · 𝐵) − (𝐷 · 𝐴))) / (abs‘(𝐵↑2))) ≤ (((𝑈 · 𝑅) + (𝑇 · 𝑄)) / (𝐸↑2)))
9954, 98eqbrtrd 5170 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → (abs‘(((𝐶 · 𝐵) − (𝐷 · 𝐴)) / (𝐵↑2))) ≤ (((𝑈 · 𝑅) + (𝑇 · 𝑄)) / (𝐸↑2)))
10053, 99eqbrtrd 5170 . . 3 ((𝜑𝑥𝑋) → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ (((𝑈 · 𝑅) + (𝑇 · 𝑄)) / (𝐸↑2)))
101100ralrimiva 3144 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝑋 (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ (((𝑈 · 𝑅) + (𝑇 · 𝑄)) / (𝐸↑2)))
102 brralrspcev 5208 . 2 (((((𝑈 · 𝑅) + (𝑇 · 𝑄)) / (𝐸↑2)) ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝑋 (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ (((𝑈 · 𝑅) + (𝑇 · 𝑄)) / (𝐸↑2))) → ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑥𝑋 (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑏)
10317, 101, 102syl2anc 584 1 (𝜑 → ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑥𝑋 (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑏)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wral 3059  wrex 3068  cdif 3960  {csn 4631  {cpr 4633   class class class wbr 5148  cmpt 5231  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  cr 11152  0cc0 11153   + caddc 11156   · cmul 11158   < clt 11293  cle 11294  cmin 11490   / cdiv 11918  2c2 12319  0cn0 12524  cz 12611  +crp 13032  cexp 14099  abscabs 15270   D cdv 25913
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17469  df-topn 17470  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-topgen 17490  df-pt 17491  df-prds 17494  df-xrs 17549  df-qtop 17554  df-imas 17555  df-xps 17557  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-mulg 19099  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-fbas 21379  df-fg 21380  df-cnfld 21383  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cld 23043  df-ntr 23044  df-cls 23045  df-nei 23122  df-lp 23160  df-perf 23161  df-cn 23251  df-cnp 23252  df-t1 23338  df-haus 23339  df-tx 23586  df-hmeo 23779  df-fil 23870  df-fm 23962  df-flim 23963  df-flf 23964  df-xms 24346  df-ms 24347  df-tms 24348  df-cncf 24918  df-limc 25916  df-dv 25917
This theorem is referenced by:  fourierdlem68  46130
  Copyright terms: Public domain W3C validator