Proof of Theorem dvdivbd
| Step | Hyp | Ref
| Expression |
| 1 | | dvdivbd.u |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ) |
| 2 | | dvdivbd.r |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ) |
| 3 | 1, 2 | remulcld 11291 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (𝑈 · 𝑅) ∈ ℝ) |
| 4 | | dvdivbd.t |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ) |
| 5 | | dvdivbd.q |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℝ) |
| 6 | 4, 5 | remulcld 11291 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (𝑇 · 𝑄) ∈ ℝ) |
| 7 | 3, 6 | readdcld 11290 |
. . 3
⊢ (𝜑 → ((𝑈 · 𝑅) + (𝑇 · 𝑄)) ∈ ℝ) |
| 8 | | dvdivbd.e |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈
ℝ+) |
| 9 | 8 | rpred 13077 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ) |
| 10 | 9 | resqcld 14165 |
. . 3
⊢ (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℝ) |
| 11 | 8 | rpcnd 13079 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ) |
| 12 | 8 | rpgt0d 13080 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → 0 < 𝐸) |
| 13 | 12 | gt0ne0d 11827 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → 𝐸 ≠ 0) |
| 14 | | 2z 12649 |
. . . . 5
⊢ 2 ∈
ℤ |
| 15 | 14 | a1i 11 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → 2 ∈
ℤ) |
| 16 | 11, 13, 15 | expne0d 14192 |
. . 3
⊢ (𝜑 → (𝐸↑2) ≠ 0) |
| 17 | 7, 10, 16 | redivcld 12095 |
. 2
⊢ (𝜑 → (((𝑈 · 𝑅) + (𝑇 · 𝑄)) / (𝐸↑2)) ∈ ℝ) |
| 18 | | dvdivbd.f |
. . . . . . 7
⊢ 𝐹 = (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 / 𝐵))) |
| 19 | | dvdivbd.s |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ}) |
| 20 | | dvdivbd.a |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ) |
| 21 | | dvdivbd.c |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐶 ∈ ℂ) |
| 22 | | dvdivbd.adv |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐶)) |
| 23 | | dvdivbd.b |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ ℂ) |
| 24 | | simpr 484 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝐵 = 0) → 𝐵 = 0) |
| 25 | 24 | abs00bd 15330 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝐵 = 0) → (abs‘𝐵) = 0) |
| 26 | | 0red 11264 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 0 ∈ ℝ) |
| 27 | 9 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐸 ∈ ℝ) |
| 28 | 23 | abscld 15475 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (abs‘𝐵) ∈ ℝ) |
| 29 | 12 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 0 < 𝐸) |
| 30 | | dvdivbd.ele |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 𝐸 ≤ (abs‘𝐵)) |
| 31 | 30 | r19.21bi 3251 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐸 ≤ (abs‘𝐵)) |
| 32 | 26, 27, 28, 29, 31 | ltletrd 11421 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 0 < (abs‘𝐵)) |
| 33 | 32 | gt0ne0d 11827 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (abs‘𝐵) ≠ 0) |
| 34 | 33 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝐵 = 0) → (abs‘𝐵) ≠ 0) |
| 35 | 34 | neneqd 2945 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝐵 = 0) → ¬ (abs‘𝐵) = 0) |
| 36 | 25, 35 | pm2.65da 817 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ¬ 𝐵 = 0) |
| 37 | 36 | neqned 2947 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐵 ≠ 0) |
| 38 | | eldifsn 4786 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0})
↔ (𝐵 ∈ ℂ
∧ 𝐵 ≠
0)) |
| 39 | 23, 37, 38 | sylanbrc 583 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ (ℂ ∖
{0})) |
| 40 | | dvdivbd.d |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐷 ∈ ℂ) |
| 41 | | dvdivbd.bdv |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐷)) |
| 42 | 19, 20, 21, 22, 39, 40, 41 | dvmptdiv 26012 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 / 𝐵))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (((𝐶 · 𝐵) − (𝐷 · 𝐴)) / (𝐵↑2)))) |
| 43 | 18, 42 | eqtrid 2789 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (((𝐶 · 𝐵) − (𝐷 · 𝐴)) / (𝐵↑2)))) |
| 44 | 21, 23 | mulcld 11281 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℂ) |
| 45 | 40, 20 | mulcld 11281 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐷 · 𝐴) ∈ ℂ) |
| 46 | 44, 45 | subcld 11620 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐶 · 𝐵) − (𝐷 · 𝐴)) ∈ ℂ) |
| 47 | 23 | sqcld 14184 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐵↑2) ∈ ℂ) |
| 48 | | sqne0 14163 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝐵 ∈ ℂ → ((𝐵↑2) ≠ 0 ↔ 𝐵 ≠ 0)) |
| 49 | 23, 48 | syl 17 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐵↑2) ≠ 0 ↔ 𝐵 ≠ 0)) |
| 50 | 37, 49 | mpbird 257 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐵↑2) ≠ 0) |
| 51 | 46, 47, 50 | divcld 12043 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((𝐶 · 𝐵) − (𝐷 · 𝐴)) / (𝐵↑2)) ∈ ℂ) |
| 52 | 43, 51 | fvmpt2d 7029 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑥) = (((𝐶 · 𝐵) − (𝐷 · 𝐴)) / (𝐵↑2))) |
| 53 | 52 | fveq2d 6910 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (abs‘(𝐹‘𝑥)) = (abs‘(((𝐶 · 𝐵) − (𝐷 · 𝐴)) / (𝐵↑2)))) |
| 54 | 46, 47, 50 | absdivd 15494 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (abs‘(((𝐶 · 𝐵) − (𝐷 · 𝐴)) / (𝐵↑2))) = ((abs‘((𝐶 · 𝐵) − (𝐷 · 𝐴))) / (abs‘(𝐵↑2)))) |
| 55 | 46 | abscld 15475 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (abs‘((𝐶 · 𝐵) − (𝐷 · 𝐴))) ∈ ℝ) |
| 56 | 7 | adantr 480 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑈 · 𝑅) + (𝑇 · 𝑄)) ∈ ℝ) |
| 57 | 8 | adantr 480 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐸 ∈
ℝ+) |
| 58 | 14 | a1i 11 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 2 ∈ ℤ) |
| 59 | 57, 58 | rpexpcld 14286 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐸↑2) ∈
ℝ+) |
| 60 | 47 | abscld 15475 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (abs‘(𝐵↑2)) ∈ ℝ) |
| 61 | 46 | absge0d 15483 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (abs‘((𝐶 · 𝐵) − (𝐷 · 𝐴)))) |
| 62 | 44 | abscld 15475 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (abs‘(𝐶 · 𝐵)) ∈ ℝ) |
| 63 | 45 | abscld 15475 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (abs‘(𝐷 · 𝐴)) ∈ ℝ) |
| 64 | 62, 63 | readdcld 11290 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((abs‘(𝐶 · 𝐵)) + (abs‘(𝐷 · 𝐴))) ∈ ℝ) |
| 65 | 44, 45 | abs2dif2d 15497 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (abs‘((𝐶 · 𝐵) − (𝐷 · 𝐴))) ≤ ((abs‘(𝐶 · 𝐵)) + (abs‘(𝐷 · 𝐴)))) |
| 66 | 3 | adantr 480 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑈 · 𝑅) ∈ ℝ) |
| 67 | 6 | adantr 480 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑇 · 𝑄) ∈ ℝ) |
| 68 | 21, 23 | absmuld 15493 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (abs‘(𝐶 · 𝐵)) = ((abs‘𝐶) · (abs‘𝐵))) |
| 69 | 21 | abscld 15475 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (abs‘𝐶) ∈ ℝ) |
| 70 | 1 | adantr 480 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑈 ∈ ℝ) |
| 71 | 2 | adantr 480 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑅 ∈ ℝ) |
| 72 | 21 | absge0d 15483 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (abs‘𝐶)) |
| 73 | 23 | absge0d 15483 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (abs‘𝐵)) |
| 74 | | dvdivbd.cbd |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (abs‘𝐶) ≤ 𝑈) |
| 75 | | dvdivbd.bbd |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (abs‘𝐵) ≤ 𝑅) |
| 76 | 69, 70, 28, 71, 72, 73, 74, 75 | lemul12ad 12210 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((abs‘𝐶) · (abs‘𝐵)) ≤ (𝑈 · 𝑅)) |
| 77 | 68, 76 | eqbrtrd 5165 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (abs‘(𝐶 · 𝐵)) ≤ (𝑈 · 𝑅)) |
| 78 | 40, 20 | absmuld 15493 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (abs‘(𝐷 · 𝐴)) = ((abs‘𝐷) · (abs‘𝐴))) |
| 79 | 40 | abscld 15475 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (abs‘𝐷) ∈ ℝ) |
| 80 | 4 | adantr 480 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑇 ∈ ℝ) |
| 81 | 20 | abscld 15475 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ) |
| 82 | 5 | adantr 480 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑄 ∈ ℝ) |
| 83 | 40 | absge0d 15483 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (abs‘𝐷)) |
| 84 | 20 | absge0d 15483 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (abs‘𝐴)) |
| 85 | | dvdivbd.dbd |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (abs‘𝐷) ≤ 𝑇) |
| 86 | | dvdivbd.abd |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (abs‘𝐴) ≤ 𝑄) |
| 87 | 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86 | lemul12ad 12210 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((abs‘𝐷) · (abs‘𝐴)) ≤ (𝑇 · 𝑄)) |
| 88 | 78, 87 | eqbrtrd 5165 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (abs‘(𝐷 · 𝐴)) ≤ (𝑇 · 𝑄)) |
| 89 | 62, 63, 66, 67, 77, 88 | le2addd 11882 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((abs‘(𝐶 · 𝐵)) + (abs‘(𝐷 · 𝐴))) ≤ ((𝑈 · 𝑅) + (𝑇 · 𝑄))) |
| 90 | 55, 64, 56, 65, 89 | letrd 11418 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (abs‘((𝐶 · 𝐵) − (𝐷 · 𝐴))) ≤ ((𝑈 · 𝑅) + (𝑇 · 𝑄))) |
| 91 | | 2nn0 12543 |
. . . . . . . . 9
⊢ 2 ∈
ℕ0 |
| 92 | 91 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 2 ∈
ℕ0) |
| 93 | 26, 27, 29 | ltled 11409 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 0 ≤ 𝐸) |
| 94 | | leexp1a 14215 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝐸 ∈ ℝ ∧
(abs‘𝐵) ∈
ℝ ∧ 2 ∈ ℕ0) ∧ (0 ≤ 𝐸 ∧ 𝐸 ≤ (abs‘𝐵))) → (𝐸↑2) ≤ ((abs‘𝐵)↑2)) |
| 95 | 27, 28, 92, 93, 31, 94 | syl32anc 1380 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐸↑2) ≤ ((abs‘𝐵)↑2)) |
| 96 | 23, 92 | absexpd 15491 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (abs‘(𝐵↑2)) = ((abs‘𝐵)↑2)) |
| 97 | 95, 96 | breqtrrd 5171 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐸↑2) ≤ (abs‘(𝐵↑2))) |
| 98 | 55, 56, 59, 60, 61, 90, 97 | lediv12ad 13136 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((abs‘((𝐶 · 𝐵) − (𝐷 · 𝐴))) / (abs‘(𝐵↑2))) ≤ (((𝑈 · 𝑅) + (𝑇 · 𝑄)) / (𝐸↑2))) |
| 99 | 54, 98 | eqbrtrd 5165 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (abs‘(((𝐶 · 𝐵) − (𝐷 · 𝐴)) / (𝐵↑2))) ≤ (((𝑈 · 𝑅) + (𝑇 · 𝑄)) / (𝐸↑2))) |
| 100 | 53, 99 | eqbrtrd 5165 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ (((𝑈 · 𝑅) + (𝑇 · 𝑄)) / (𝐸↑2))) |
| 101 | 100 | ralrimiva 3146 |
. 2
⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 (abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ (((𝑈 · 𝑅) + (𝑇 · 𝑄)) / (𝐸↑2))) |
| 102 | | brralrspcev 5203 |
. 2
⊢
(((((𝑈 ·
𝑅) + (𝑇 · 𝑄)) / (𝐸↑2)) ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ (((𝑈 · 𝑅) + (𝑇 · 𝑄)) / (𝐸↑2))) → ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑏) |
| 103 | 17, 101, 102 | syl2anc 584 |
1
⊢ (𝜑 → ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑏) |