MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgamgulmlem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgamgulmlem5 26398
Description: Lemma for lgamgulm 26400. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
lgamgulm.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„•)
lgamgulm.u ๐‘ˆ = {๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆฃ ((absโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘… โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (1 / ๐‘…) โ‰ค (absโ€˜(๐‘ฅ + ๐‘˜)))}
lgamgulm.g ๐บ = (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ โ†ฆ ((๐‘ง ยท (logโ€˜((๐‘š + 1) / ๐‘š))) โˆ’ (logโ€˜((๐‘ง / ๐‘š) + 1)))))
lgamgulm.t ๐‘‡ = (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ if((2 ยท ๐‘…) โ‰ค ๐‘š, (๐‘… ยท ((2 ยท (๐‘… + 1)) / (๐‘šโ†‘2))), ((๐‘… ยท (logโ€˜((๐‘š + 1) / ๐‘š))) + ((logโ€˜((๐‘… + 1) ยท ๐‘š)) + ฯ€))))
Assertion
Ref Expression
lgamgulmlem5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ (absโ€˜((๐บโ€˜๐‘›)โ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘‡โ€˜๐‘›))
Distinct variable groups:   ๐‘ฆ,๐‘›,๐บ   ๐‘ฅ,๐‘ฆ   ๐‘˜,๐‘š,๐‘›,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘…   ๐‘ˆ,๐‘š,๐‘›,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐œ‘,๐‘š,๐‘›,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐‘‡,๐‘›,๐‘ฆ
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘˜)   ๐‘‡(๐‘ฅ,๐‘ง,๐‘˜,๐‘š)   ๐‘ˆ(๐‘ฅ,๐‘˜)   ๐บ(๐‘ฅ,๐‘ง,๐‘˜,๐‘š)

Proof of Theorem lgamgulmlem5
Dummy variable ๐‘ก is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 5114 . . 3 ((๐‘… ยท ((2 ยท (๐‘… + 1)) / (๐‘›โ†‘2))) = if((2 ยท ๐‘…) โ‰ค ๐‘›, (๐‘… ยท ((2 ยท (๐‘… + 1)) / (๐‘›โ†‘2))), ((๐‘… ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›))) + ((logโ€˜((๐‘… + 1) ยท ๐‘›)) + ฯ€))) โ†’ ((absโ€˜((๐‘ฆ ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›))) โˆ’ (logโ€˜((๐‘ฆ / ๐‘›) + 1)))) โ‰ค (๐‘… ยท ((2 ยท (๐‘… + 1)) / (๐‘›โ†‘2))) โ†” (absโ€˜((๐‘ฆ ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›))) โˆ’ (logโ€˜((๐‘ฆ / ๐‘›) + 1)))) โ‰ค if((2 ยท ๐‘…) โ‰ค ๐‘›, (๐‘… ยท ((2 ยท (๐‘… + 1)) / (๐‘›โ†‘2))), ((๐‘… ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›))) + ((logโ€˜((๐‘… + 1) ยท ๐‘›)) + ฯ€)))))
2 breq2 5114 . . 3 (((๐‘… ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›))) + ((logโ€˜((๐‘… + 1) ยท ๐‘›)) + ฯ€)) = if((2 ยท ๐‘…) โ‰ค ๐‘›, (๐‘… ยท ((2 ยท (๐‘… + 1)) / (๐‘›โ†‘2))), ((๐‘… ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›))) + ((logโ€˜((๐‘… + 1) ยท ๐‘›)) + ฯ€))) โ†’ ((absโ€˜((๐‘ฆ ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›))) โˆ’ (logโ€˜((๐‘ฆ / ๐‘›) + 1)))) โ‰ค ((๐‘… ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›))) + ((logโ€˜((๐‘… + 1) ยท ๐‘›)) + ฯ€)) โ†” (absโ€˜((๐‘ฆ ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›))) โˆ’ (logโ€˜((๐‘ฆ / ๐‘›) + 1)))) โ‰ค if((2 ยท ๐‘…) โ‰ค ๐‘›, (๐‘… ยท ((2 ยท (๐‘… + 1)) / (๐‘›โ†‘2))), ((๐‘… ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›))) + ((logโ€˜((๐‘… + 1) ยท ๐‘›)) + ฯ€)))))
3 lgamgulm.r . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„•)
43adantr 482 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„•)
54adantr 482 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โˆง (2 ยท ๐‘…) โ‰ค ๐‘›) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„•)
6 lgamgulm.u . . . . 5 ๐‘ˆ = {๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆฃ ((absโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘… โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (1 / ๐‘…) โ‰ค (absโ€˜(๐‘ฅ + ๐‘˜)))}
7 fveq2 6847 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐‘ก โ†’ (absโ€˜๐‘ฅ) = (absโ€˜๐‘ก))
87breq1d 5120 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘ก โ†’ ((absโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘… โ†” (absโ€˜๐‘ก) โ‰ค ๐‘…))
9 fvoveq1 7385 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = ๐‘ก โ†’ (absโ€˜(๐‘ฅ + ๐‘˜)) = (absโ€˜(๐‘ก + ๐‘˜)))
109breq2d 5122 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐‘ก โ†’ ((1 / ๐‘…) โ‰ค (absโ€˜(๐‘ฅ + ๐‘˜)) โ†” (1 / ๐‘…) โ‰ค (absโ€˜(๐‘ก + ๐‘˜))))
1110ralbidv 3175 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘ก โ†’ (โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (1 / ๐‘…) โ‰ค (absโ€˜(๐‘ฅ + ๐‘˜)) โ†” โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (1 / ๐‘…) โ‰ค (absโ€˜(๐‘ก + ๐‘˜))))
128, 11anbi12d 632 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘ก โ†’ (((absโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘… โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (1 / ๐‘…) โ‰ค (absโ€˜(๐‘ฅ + ๐‘˜))) โ†” ((absโ€˜๐‘ก) โ‰ค ๐‘… โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (1 / ๐‘…) โ‰ค (absโ€˜(๐‘ก + ๐‘˜)))))
1312cbvrabv 3420 . . . . 5 {๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆฃ ((absโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘… โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (1 / ๐‘…) โ‰ค (absโ€˜(๐‘ฅ + ๐‘˜)))} = {๐‘ก โˆˆ โ„‚ โˆฃ ((absโ€˜๐‘ก) โ‰ค ๐‘… โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (1 / ๐‘…) โ‰ค (absโ€˜(๐‘ก + ๐‘˜)))}
146, 13eqtri 2765 . . . 4 ๐‘ˆ = {๐‘ก โˆˆ โ„‚ โˆฃ ((absโ€˜๐‘ก) โ‰ค ๐‘… โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (1 / ๐‘…) โ‰ค (absโ€˜(๐‘ก + ๐‘˜)))}
15 simplrl 776 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โˆง (2 ยท ๐‘…) โ‰ค ๐‘›) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
16 simprr 772 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)
1716adantr 482 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โˆง (2 ยท ๐‘…) โ‰ค ๐‘›) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)
18 simpr 486 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โˆง (2 ยท ๐‘…) โ‰ค ๐‘›) โ†’ (2 ยท ๐‘…) โ‰ค ๐‘›)
195, 14, 15, 17, 18lgamgulmlem3 26396 . . 3 (((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โˆง (2 ยท ๐‘…) โ‰ค ๐‘›) โ†’ (absโ€˜((๐‘ฆ ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›))) โˆ’ (logโ€˜((๐‘ฆ / ๐‘›) + 1)))) โ‰ค (๐‘… ยท ((2 ยท (๐‘… + 1)) / (๐‘›โ†‘2))))
203, 6lgamgulmlem1 26394 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โŠ† (โ„‚ โˆ– (โ„ค โˆ– โ„•)))
2120adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ ๐‘ˆ โŠ† (โ„‚ โˆ– (โ„ค โˆ– โ„•)))
2221, 16sseldd 3950 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ (โ„‚ โˆ– (โ„ค โˆ– โ„•)))
2322eldifad 3927 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
24 simprl 770 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
2524peano2nnd 12177 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ (๐‘› + 1) โˆˆ โ„•)
2625nnrpd 12962 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ (๐‘› + 1) โˆˆ โ„+)
2724nnrpd 12962 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„+)
2826, 27rpdivcld 12981 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ ((๐‘› + 1) / ๐‘›) โˆˆ โ„+)
2928relogcld 25994 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›)) โˆˆ โ„)
3029recnd 11190 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›)) โˆˆ โ„‚)
3123, 30mulcld 11182 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ (๐‘ฆ ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›))) โˆˆ โ„‚)
3224nncnd 12176 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„‚)
3324nnne0d 12210 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ ๐‘› โ‰  0)
3423, 32, 33divcld 11938 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ (๐‘ฆ / ๐‘›) โˆˆ โ„‚)
35 1cnd 11157 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
3634, 35addcld 11181 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ ((๐‘ฆ / ๐‘›) + 1) โˆˆ โ„‚)
3722, 24dmgmdivn0 26393 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ ((๐‘ฆ / ๐‘›) + 1) โ‰  0)
3836, 37logcld 25942 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ (logโ€˜((๐‘ฆ / ๐‘›) + 1)) โˆˆ โ„‚)
3931, 38subcld 11519 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ ((๐‘ฆ ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›))) โˆ’ (logโ€˜((๐‘ฆ / ๐‘›) + 1))) โˆˆ โ„‚)
4039abscld 15328 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ (absโ€˜((๐‘ฆ ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›))) โˆ’ (logโ€˜((๐‘ฆ / ๐‘›) + 1)))) โˆˆ โ„)
4131abscld 15328 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ (absโ€˜(๐‘ฆ ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›)))) โˆˆ โ„)
4238abscld 15328 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ (absโ€˜(logโ€˜((๐‘ฆ / ๐‘›) + 1))) โˆˆ โ„)
4341, 42readdcld 11191 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ ((absโ€˜(๐‘ฆ ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›)))) + (absโ€˜(logโ€˜((๐‘ฆ / ๐‘›) + 1)))) โˆˆ โ„)
444nnred 12175 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„)
4544, 29remulcld 11192 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ (๐‘… ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›))) โˆˆ โ„)
464peano2nnd 12177 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ (๐‘… + 1) โˆˆ โ„•)
4746nnrpd 12962 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ (๐‘… + 1) โˆˆ โ„+)
4847, 27rpmulcld 12980 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ ((๐‘… + 1) ยท ๐‘›) โˆˆ โ„+)
4948relogcld 25994 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ (logโ€˜((๐‘… + 1) ยท ๐‘›)) โˆˆ โ„)
50 pire 25831 . . . . . . . 8 ฯ€ โˆˆ โ„
5150a1i 11 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ ฯ€ โˆˆ โ„)
5249, 51readdcld 11191 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ ((logโ€˜((๐‘… + 1) ยท ๐‘›)) + ฯ€) โˆˆ โ„)
5345, 52readdcld 11191 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ ((๐‘… ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›))) + ((logโ€˜((๐‘… + 1) ยท ๐‘›)) + ฯ€)) โˆˆ โ„)
5431, 38abs2dif2d 15350 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ (absโ€˜((๐‘ฆ ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›))) โˆ’ (logโ€˜((๐‘ฆ / ๐‘›) + 1)))) โ‰ค ((absโ€˜(๐‘ฆ ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›)))) + (absโ€˜(logโ€˜((๐‘ฆ / ๐‘›) + 1)))))
5523, 30absmuld 15346 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ (absโ€˜(๐‘ฆ ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›)))) = ((absโ€˜๐‘ฆ) ยท (absโ€˜(logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›)))))
5628rpred 12964 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ ((๐‘› + 1) / ๐‘›) โˆˆ โ„)
5732mulid2d 11180 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ (1 ยท ๐‘›) = ๐‘›)
5824nnred 12175 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„)
5958lep1d 12093 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ ๐‘› โ‰ค (๐‘› + 1))
6057, 59eqbrtrd 5132 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ (1 ยท ๐‘›) โ‰ค (๐‘› + 1))
61 1red 11163 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
6258, 61readdcld 11191 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ (๐‘› + 1) โˆˆ โ„)
6361, 62, 27lemuldivd 13013 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ ((1 ยท ๐‘›) โ‰ค (๐‘› + 1) โ†” 1 โ‰ค ((๐‘› + 1) / ๐‘›)))
6460, 63mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ 1 โ‰ค ((๐‘› + 1) / ๐‘›))
6556, 64logge0d 26001 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ 0 โ‰ค (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›)))
6629, 65absidd 15314 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ (absโ€˜(logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›))) = (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›)))
6766oveq2d 7378 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ ((absโ€˜๐‘ฆ) ยท (absโ€˜(logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›)))) = ((absโ€˜๐‘ฆ) ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›))))
6855, 67eqtrd 2777 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ (absโ€˜(๐‘ฆ ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›)))) = ((absโ€˜๐‘ฆ) ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›))))
6923abscld 15328 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ (absโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„)
70 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (absโ€˜๐‘ฅ) = (absโ€˜๐‘ฆ))
7170breq1d 5120 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ((absโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘… โ†” (absโ€˜๐‘ฆ) โ‰ค ๐‘…))
72 fvoveq1 7385 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (absโ€˜(๐‘ฅ + ๐‘˜)) = (absโ€˜(๐‘ฆ + ๐‘˜)))
7372breq2d 5122 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ((1 / ๐‘…) โ‰ค (absโ€˜(๐‘ฅ + ๐‘˜)) โ†” (1 / ๐‘…) โ‰ค (absโ€˜(๐‘ฆ + ๐‘˜))))
7473ralbidv 3175 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (1 / ๐‘…) โ‰ค (absโ€˜(๐‘ฅ + ๐‘˜)) โ†” โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (1 / ๐‘…) โ‰ค (absโ€˜(๐‘ฆ + ๐‘˜))))
7571, 74anbi12d 632 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (((absโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘… โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (1 / ๐‘…) โ‰ค (absโ€˜(๐‘ฅ + ๐‘˜))) โ†” ((absโ€˜๐‘ฆ) โ‰ค ๐‘… โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (1 / ๐‘…) โ‰ค (absโ€˜(๐‘ฆ + ๐‘˜)))))
7675, 6elrab2 3653 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ โ†” (๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ((absโ€˜๐‘ฆ) โ‰ค ๐‘… โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (1 / ๐‘…) โ‰ค (absโ€˜(๐‘ฆ + ๐‘˜)))))
7776simprbi 498 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ โ†’ ((absโ€˜๐‘ฆ) โ‰ค ๐‘… โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (1 / ๐‘…) โ‰ค (absโ€˜(๐‘ฆ + ๐‘˜))))
7877ad2antll 728 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ ((absโ€˜๐‘ฆ) โ‰ค ๐‘… โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (1 / ๐‘…) โ‰ค (absโ€˜(๐‘ฆ + ๐‘˜))))
7978simpld 496 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ (absโ€˜๐‘ฆ) โ‰ค ๐‘…)
8069, 44, 29, 65, 79lemul1ad 12101 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ ((absโ€˜๐‘ฆ) ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›))) โ‰ค (๐‘… ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›))))
8168, 80eqbrtrd 5132 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ (absโ€˜(๐‘ฆ ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›)))) โ‰ค (๐‘… ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›))))
8236, 37absrpcld 15340 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ (absโ€˜((๐‘ฆ / ๐‘›) + 1)) โˆˆ โ„+)
8382relogcld 25994 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ (logโ€˜(absโ€˜((๐‘ฆ / ๐‘›) + 1))) โˆˆ โ„)
8483recnd 11190 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ (logโ€˜(absโ€˜((๐‘ฆ / ๐‘›) + 1))) โˆˆ โ„‚)
8584abscld 15328 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ (absโ€˜(logโ€˜(absโ€˜((๐‘ฆ / ๐‘›) + 1)))) โˆˆ โ„)
8685, 51readdcld 11191 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ ((absโ€˜(logโ€˜(absโ€˜((๐‘ฆ / ๐‘›) + 1)))) + ฯ€) โˆˆ โ„)
87 abslogle 25989 . . . . . . . 8 ((((๐‘ฆ / ๐‘›) + 1) โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐‘ฆ / ๐‘›) + 1) โ‰  0) โ†’ (absโ€˜(logโ€˜((๐‘ฆ / ๐‘›) + 1))) โ‰ค ((absโ€˜(logโ€˜(absโ€˜((๐‘ฆ / ๐‘›) + 1)))) + ฯ€))
8836, 37, 87syl2anc 585 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ (absโ€˜(logโ€˜((๐‘ฆ / ๐‘›) + 1))) โ‰ค ((absโ€˜(logโ€˜(absโ€˜((๐‘ฆ / ๐‘›) + 1)))) + ฯ€))
89 1rp 12926 . . . . . . . . . . . 12 1 โˆˆ โ„+
90 relogdiv 25964 . . . . . . . . . . . 12 ((1 โˆˆ โ„+ โˆง ((๐‘… + 1) ยท ๐‘›) โˆˆ โ„+) โ†’ (logโ€˜(1 / ((๐‘… + 1) ยท ๐‘›))) = ((logโ€˜1) โˆ’ (logโ€˜((๐‘… + 1) ยท ๐‘›))))
9189, 48, 90sylancr 588 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ (logโ€˜(1 / ((๐‘… + 1) ยท ๐‘›))) = ((logโ€˜1) โˆ’ (logโ€˜((๐‘… + 1) ยท ๐‘›))))
92 log1 25957 . . . . . . . . . . . . 13 (logโ€˜1) = 0
9392oveq1i 7372 . . . . . . . . . . . 12 ((logโ€˜1) โˆ’ (logโ€˜((๐‘… + 1) ยท ๐‘›))) = (0 โˆ’ (logโ€˜((๐‘… + 1) ยท ๐‘›)))
94 df-neg 11395 . . . . . . . . . . . 12 -(logโ€˜((๐‘… + 1) ยท ๐‘›)) = (0 โˆ’ (logโ€˜((๐‘… + 1) ยท ๐‘›)))
9593, 94eqtr4i 2768 . . . . . . . . . . 11 ((logโ€˜1) โˆ’ (logโ€˜((๐‘… + 1) ยท ๐‘›))) = -(logโ€˜((๐‘… + 1) ยท ๐‘›))
9691, 95eqtr2di 2794 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ -(logโ€˜((๐‘… + 1) ยท ๐‘›)) = (logโ€˜(1 / ((๐‘… + 1) ยท ๐‘›))))
9746nnrecred 12211 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ (1 / (๐‘… + 1)) โˆˆ โ„)
9823, 32addcld 11181 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ (๐‘ฆ + ๐‘›) โˆˆ โ„‚)
9998abscld 15328 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ (absโ€˜(๐‘ฆ + ๐‘›)) โˆˆ โ„)
1004nnrecred 12211 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ (1 / ๐‘…) โˆˆ โ„)
1014nnrpd 12962 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„+)
102 0le1 11685 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 โ‰ค 1
103102a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ 0 โ‰ค 1)
10444lep1d 12093 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ ๐‘… โ‰ค (๐‘… + 1))
105101, 47, 61, 103, 104lediv2ad 12986 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ (1 / (๐‘… + 1)) โ‰ค (1 / ๐‘…))
106 oveq2 7370 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘˜ = ๐‘› โ†’ (๐‘ฆ + ๐‘˜) = (๐‘ฆ + ๐‘›))
107106fveq2d 6851 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘˜ = ๐‘› โ†’ (absโ€˜(๐‘ฆ + ๐‘˜)) = (absโ€˜(๐‘ฆ + ๐‘›)))
108107breq2d 5122 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘˜ = ๐‘› โ†’ ((1 / ๐‘…) โ‰ค (absโ€˜(๐‘ฆ + ๐‘˜)) โ†” (1 / ๐‘…) โ‰ค (absโ€˜(๐‘ฆ + ๐‘›))))
10978simprd 497 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (1 / ๐‘…) โ‰ค (absโ€˜(๐‘ฆ + ๐‘˜)))
11024nnnn0d 12480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•0)
111108, 109, 110rspcdva 3585 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ (1 / ๐‘…) โ‰ค (absโ€˜(๐‘ฆ + ๐‘›)))
11297, 100, 99, 105, 111letrd 11319 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ (1 / (๐‘… + 1)) โ‰ค (absโ€˜(๐‘ฆ + ๐‘›)))
11397, 99, 27, 112lediv1dd 13022 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ ((1 / (๐‘… + 1)) / ๐‘›) โ‰ค ((absโ€˜(๐‘ฆ + ๐‘›)) / ๐‘›))
11446nncnd 12176 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ (๐‘… + 1) โˆˆ โ„‚)
11546nnne0d 12210 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ (๐‘… + 1) โ‰  0)
116114, 32, 115, 33recdiv2d 11956 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ ((1 / (๐‘… + 1)) / ๐‘›) = (1 / ((๐‘… + 1) ยท ๐‘›)))
11723, 32, 32, 33divdird 11976 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ ((๐‘ฆ + ๐‘›) / ๐‘›) = ((๐‘ฆ / ๐‘›) + (๐‘› / ๐‘›)))
11832, 33dividd 11936 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ (๐‘› / ๐‘›) = 1)
119118oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ ((๐‘ฆ / ๐‘›) + (๐‘› / ๐‘›)) = ((๐‘ฆ / ๐‘›) + 1))
120117, 119eqtr2d 2778 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ ((๐‘ฆ / ๐‘›) + 1) = ((๐‘ฆ + ๐‘›) / ๐‘›))
121120fveq2d 6851 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ (absโ€˜((๐‘ฆ / ๐‘›) + 1)) = (absโ€˜((๐‘ฆ + ๐‘›) / ๐‘›)))
12298, 32, 33absdivd 15347 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ (absโ€˜((๐‘ฆ + ๐‘›) / ๐‘›)) = ((absโ€˜(๐‘ฆ + ๐‘›)) / (absโ€˜๐‘›)))
12327rpge0d 12968 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ 0 โ‰ค ๐‘›)
12458, 123absidd 15314 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ (absโ€˜๐‘›) = ๐‘›)
125124oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ ((absโ€˜(๐‘ฆ + ๐‘›)) / (absโ€˜๐‘›)) = ((absโ€˜(๐‘ฆ + ๐‘›)) / ๐‘›))
126121, 122, 1253eqtrrd 2782 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ ((absโ€˜(๐‘ฆ + ๐‘›)) / ๐‘›) = (absโ€˜((๐‘ฆ / ๐‘›) + 1)))
127113, 116, 1263brtr3d 5141 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ (1 / ((๐‘… + 1) ยท ๐‘›)) โ‰ค (absโ€˜((๐‘ฆ / ๐‘›) + 1)))
12848rpreccld 12974 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ (1 / ((๐‘… + 1) ยท ๐‘›)) โˆˆ โ„+)
129128, 82logled 25998 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ ((1 / ((๐‘… + 1) ยท ๐‘›)) โ‰ค (absโ€˜((๐‘ฆ / ๐‘›) + 1)) โ†” (logโ€˜(1 / ((๐‘… + 1) ยท ๐‘›))) โ‰ค (logโ€˜(absโ€˜((๐‘ฆ / ๐‘›) + 1)))))
130127, 129mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ (logโ€˜(1 / ((๐‘… + 1) ยท ๐‘›))) โ‰ค (logโ€˜(absโ€˜((๐‘ฆ / ๐‘›) + 1))))
13196, 130eqbrtrd 5132 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ -(logโ€˜((๐‘… + 1) ยท ๐‘›)) โ‰ค (logโ€˜(absโ€˜((๐‘ฆ / ๐‘›) + 1))))
13236abscld 15328 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ (absโ€˜((๐‘ฆ / ๐‘›) + 1)) โˆˆ โ„)
13344, 61readdcld 11191 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ (๐‘… + 1) โˆˆ โ„)
13448rpred 12964 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ ((๐‘… + 1) ยท ๐‘›) โˆˆ โ„)
13534abscld 15328 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ (absโ€˜(๐‘ฆ / ๐‘›)) โˆˆ โ„)
136135, 61readdcld 11191 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ ((absโ€˜(๐‘ฆ / ๐‘›)) + 1) โˆˆ โ„)
13734, 35abstrid 15348 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ (absโ€˜((๐‘ฆ / ๐‘›) + 1)) โ‰ค ((absโ€˜(๐‘ฆ / ๐‘›)) + (absโ€˜1)))
138 abs1 15189 . . . . . . . . . . . . . 14 (absโ€˜1) = 1
139138oveq2i 7373 . . . . . . . . . . . . 13 ((absโ€˜(๐‘ฆ / ๐‘›)) + (absโ€˜1)) = ((absโ€˜(๐‘ฆ / ๐‘›)) + 1)
140137, 139breqtrdi 5151 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ (absโ€˜((๐‘ฆ / ๐‘›) + 1)) โ‰ค ((absโ€˜(๐‘ฆ / ๐‘›)) + 1))
14189a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ 1 โˆˆ โ„+)
14223absge0d 15336 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ 0 โ‰ค (absโ€˜๐‘ฆ))
14324nnge1d 12208 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ 1 โ‰ค ๐‘›)
14469, 44, 141, 58, 142, 79, 143lediv12ad 13023 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ ((absโ€˜๐‘ฆ) / ๐‘›) โ‰ค (๐‘… / 1))
14523, 32, 33absdivd 15347 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ (absโ€˜(๐‘ฆ / ๐‘›)) = ((absโ€˜๐‘ฆ) / (absโ€˜๐‘›)))
146124oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ ((absโ€˜๐‘ฆ) / (absโ€˜๐‘›)) = ((absโ€˜๐‘ฆ) / ๐‘›))
147145, 146eqtr2d 2778 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ ((absโ€˜๐‘ฆ) / ๐‘›) = (absโ€˜(๐‘ฆ / ๐‘›)))
1484nncnd 12176 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„‚)
149148div1d 11930 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ (๐‘… / 1) = ๐‘…)
150144, 147, 1493brtr3d 5141 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ (absโ€˜(๐‘ฆ / ๐‘›)) โ‰ค ๐‘…)
151135, 44, 61, 150leadd1dd 11776 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ ((absโ€˜(๐‘ฆ / ๐‘›)) + 1) โ‰ค (๐‘… + 1))
152132, 136, 133, 140, 151letrd 11319 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ (absโ€˜((๐‘ฆ / ๐‘›) + 1)) โ‰ค (๐‘… + 1))
15347rpge0d 12968 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ 0 โ‰ค (๐‘… + 1))
154133, 58, 153, 143lemulge11d 12099 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ (๐‘… + 1) โ‰ค ((๐‘… + 1) ยท ๐‘›))
155132, 133, 134, 152, 154letrd 11319 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ (absโ€˜((๐‘ฆ / ๐‘›) + 1)) โ‰ค ((๐‘… + 1) ยท ๐‘›))
15682, 48logled 25998 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ ((absโ€˜((๐‘ฆ / ๐‘›) + 1)) โ‰ค ((๐‘… + 1) ยท ๐‘›) โ†” (logโ€˜(absโ€˜((๐‘ฆ / ๐‘›) + 1))) โ‰ค (logโ€˜((๐‘… + 1) ยท ๐‘›))))
157155, 156mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ (logโ€˜(absโ€˜((๐‘ฆ / ๐‘›) + 1))) โ‰ค (logโ€˜((๐‘… + 1) ยท ๐‘›)))
15883, 49absled 15322 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ ((absโ€˜(logโ€˜(absโ€˜((๐‘ฆ / ๐‘›) + 1)))) โ‰ค (logโ€˜((๐‘… + 1) ยท ๐‘›)) โ†” (-(logโ€˜((๐‘… + 1) ยท ๐‘›)) โ‰ค (logโ€˜(absโ€˜((๐‘ฆ / ๐‘›) + 1))) โˆง (logโ€˜(absโ€˜((๐‘ฆ / ๐‘›) + 1))) โ‰ค (logโ€˜((๐‘… + 1) ยท ๐‘›)))))
159131, 157, 158mpbir2and 712 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ (absโ€˜(logโ€˜(absโ€˜((๐‘ฆ / ๐‘›) + 1)))) โ‰ค (logโ€˜((๐‘… + 1) ยท ๐‘›)))
16085, 49, 51, 159leadd1dd 11776 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ ((absโ€˜(logโ€˜(absโ€˜((๐‘ฆ / ๐‘›) + 1)))) + ฯ€) โ‰ค ((logโ€˜((๐‘… + 1) ยท ๐‘›)) + ฯ€))
16142, 86, 52, 88, 160letrd 11319 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ (absโ€˜(logโ€˜((๐‘ฆ / ๐‘›) + 1))) โ‰ค ((logโ€˜((๐‘… + 1) ยท ๐‘›)) + ฯ€))
16241, 42, 45, 52, 81, 161le2addd 11781 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ ((absโ€˜(๐‘ฆ ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›)))) + (absโ€˜(logโ€˜((๐‘ฆ / ๐‘›) + 1)))) โ‰ค ((๐‘… ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›))) + ((logโ€˜((๐‘… + 1) ยท ๐‘›)) + ฯ€)))
16340, 43, 53, 54, 162letrd 11319 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ (absโ€˜((๐‘ฆ ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›))) โˆ’ (logโ€˜((๐‘ฆ / ๐‘›) + 1)))) โ‰ค ((๐‘… ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›))) + ((logโ€˜((๐‘… + 1) ยท ๐‘›)) + ฯ€)))
164163adantr 482 . . 3 (((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โˆง ยฌ (2 ยท ๐‘…) โ‰ค ๐‘›) โ†’ (absโ€˜((๐‘ฆ ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›))) โˆ’ (logโ€˜((๐‘ฆ / ๐‘›) + 1)))) โ‰ค ((๐‘… ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›))) + ((logโ€˜((๐‘… + 1) ยท ๐‘›)) + ฯ€)))
1651, 2, 19, 164ifbothda 4529 . 2 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ (absโ€˜((๐‘ฆ ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›))) โˆ’ (logโ€˜((๐‘ฆ / ๐‘›) + 1)))) โ‰ค if((2 ยท ๐‘…) โ‰ค ๐‘›, (๐‘… ยท ((2 ยท (๐‘… + 1)) / (๐‘›โ†‘2))), ((๐‘… ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›))) + ((logโ€˜((๐‘… + 1) ยท ๐‘›)) + ฯ€))))
166 oveq1 7369 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘š = ๐‘› โ†’ (๐‘š + 1) = (๐‘› + 1))
167 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘š = ๐‘› โ†’ ๐‘š = ๐‘›)
168166, 167oveq12d 7380 . . . . . . . . . . 11 (๐‘š = ๐‘› โ†’ ((๐‘š + 1) / ๐‘š) = ((๐‘› + 1) / ๐‘›))
169168fveq2d 6851 . . . . . . . . . 10 (๐‘š = ๐‘› โ†’ (logโ€˜((๐‘š + 1) / ๐‘š)) = (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›)))
170169oveq2d 7378 . . . . . . . . 9 (๐‘š = ๐‘› โ†’ (๐‘ง ยท (logโ€˜((๐‘š + 1) / ๐‘š))) = (๐‘ง ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›))))
171 oveq2 7370 . . . . . . . . . 10 (๐‘š = ๐‘› โ†’ (๐‘ง / ๐‘š) = (๐‘ง / ๐‘›))
172171fvoveq1d 7384 . . . . . . . . 9 (๐‘š = ๐‘› โ†’ (logโ€˜((๐‘ง / ๐‘š) + 1)) = (logโ€˜((๐‘ง / ๐‘›) + 1)))
173170, 172oveq12d 7380 . . . . . . . 8 (๐‘š = ๐‘› โ†’ ((๐‘ง ยท (logโ€˜((๐‘š + 1) / ๐‘š))) โˆ’ (logโ€˜((๐‘ง / ๐‘š) + 1))) = ((๐‘ง ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›))) โˆ’ (logโ€˜((๐‘ง / ๐‘›) + 1))))
174173mpteq2dv 5212 . . . . . . 7 (๐‘š = ๐‘› โ†’ (๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ โ†ฆ ((๐‘ง ยท (logโ€˜((๐‘š + 1) / ๐‘š))) โˆ’ (logโ€˜((๐‘ง / ๐‘š) + 1)))) = (๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ โ†ฆ ((๐‘ง ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›))) โˆ’ (logโ€˜((๐‘ง / ๐‘›) + 1)))))
175 lgamgulm.g . . . . . . 7 ๐บ = (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ โ†ฆ ((๐‘ง ยท (logโ€˜((๐‘š + 1) / ๐‘š))) โˆ’ (logโ€˜((๐‘ง / ๐‘š) + 1)))))
176 cnex 11139 . . . . . . . . 9 โ„‚ โˆˆ V
1776, 176rabex2 5296 . . . . . . . 8 ๐‘ˆ โˆˆ V
178177mptex 7178 . . . . . . 7 (๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ โ†ฆ ((๐‘ง ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›))) โˆ’ (logโ€˜((๐‘ง / ๐‘›) + 1)))) โˆˆ V
179174, 175, 178fvmpt 6953 . . . . . 6 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ (๐บโ€˜๐‘›) = (๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ โ†ฆ ((๐‘ง ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›))) โˆ’ (logโ€˜((๐‘ง / ๐‘›) + 1)))))
180179ad2antrl 727 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ (๐บโ€˜๐‘›) = (๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ โ†ฆ ((๐‘ง ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›))) โˆ’ (logโ€˜((๐‘ง / ๐‘›) + 1)))))
181180fveq1d 6849 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ ((๐บโ€˜๐‘›)โ€˜๐‘ฆ) = ((๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ โ†ฆ ((๐‘ง ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›))) โˆ’ (logโ€˜((๐‘ง / ๐‘›) + 1))))โ€˜๐‘ฆ))
182 oveq1 7369 . . . . . . 7 (๐‘ง = ๐‘ฆ โ†’ (๐‘ง ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›))) = (๐‘ฆ ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›))))
183 oveq1 7369 . . . . . . . 8 (๐‘ง = ๐‘ฆ โ†’ (๐‘ง / ๐‘›) = (๐‘ฆ / ๐‘›))
184183fvoveq1d 7384 . . . . . . 7 (๐‘ง = ๐‘ฆ โ†’ (logโ€˜((๐‘ง / ๐‘›) + 1)) = (logโ€˜((๐‘ฆ / ๐‘›) + 1)))
185182, 184oveq12d 7380 . . . . . 6 (๐‘ง = ๐‘ฆ โ†’ ((๐‘ง ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›))) โˆ’ (logโ€˜((๐‘ง / ๐‘›) + 1))) = ((๐‘ฆ ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›))) โˆ’ (logโ€˜((๐‘ฆ / ๐‘›) + 1))))
186 eqid 2737 . . . . . 6 (๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ โ†ฆ ((๐‘ง ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›))) โˆ’ (logโ€˜((๐‘ง / ๐‘›) + 1)))) = (๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ โ†ฆ ((๐‘ง ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›))) โˆ’ (logโ€˜((๐‘ง / ๐‘›) + 1))))
187 ovex 7395 . . . . . 6 ((๐‘ฆ ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›))) โˆ’ (logโ€˜((๐‘ฆ / ๐‘›) + 1))) โˆˆ V
188185, 186, 187fvmpt 6953 . . . . 5 (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ โ†’ ((๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ โ†ฆ ((๐‘ง ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›))) โˆ’ (logโ€˜((๐‘ง / ๐‘›) + 1))))โ€˜๐‘ฆ) = ((๐‘ฆ ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›))) โˆ’ (logโ€˜((๐‘ฆ / ๐‘›) + 1))))
189188ad2antll 728 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ ((๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ โ†ฆ ((๐‘ง ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›))) โˆ’ (logโ€˜((๐‘ง / ๐‘›) + 1))))โ€˜๐‘ฆ) = ((๐‘ฆ ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›))) โˆ’ (logโ€˜((๐‘ฆ / ๐‘›) + 1))))
190181, 189eqtrd 2777 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ ((๐บโ€˜๐‘›)โ€˜๐‘ฆ) = ((๐‘ฆ ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›))) โˆ’ (logโ€˜((๐‘ฆ / ๐‘›) + 1))))
191190fveq2d 6851 . 2 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ (absโ€˜((๐บโ€˜๐‘›)โ€˜๐‘ฆ)) = (absโ€˜((๐‘ฆ ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›))) โˆ’ (logโ€˜((๐‘ฆ / ๐‘›) + 1)))))
192 breq2 5114 . . . . 5 (๐‘š = ๐‘› โ†’ ((2 ยท ๐‘…) โ‰ค ๐‘š โ†” (2 ยท ๐‘…) โ‰ค ๐‘›))
193 oveq1 7369 . . . . . . 7 (๐‘š = ๐‘› โ†’ (๐‘šโ†‘2) = (๐‘›โ†‘2))
194193oveq2d 7378 . . . . . 6 (๐‘š = ๐‘› โ†’ ((2 ยท (๐‘… + 1)) / (๐‘šโ†‘2)) = ((2 ยท (๐‘… + 1)) / (๐‘›โ†‘2)))
195194oveq2d 7378 . . . . 5 (๐‘š = ๐‘› โ†’ (๐‘… ยท ((2 ยท (๐‘… + 1)) / (๐‘šโ†‘2))) = (๐‘… ยท ((2 ยท (๐‘… + 1)) / (๐‘›โ†‘2))))
196169oveq2d 7378 . . . . . 6 (๐‘š = ๐‘› โ†’ (๐‘… ยท (logโ€˜((๐‘š + 1) / ๐‘š))) = (๐‘… ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›))))
197 oveq2 7370 . . . . . . . 8 (๐‘š = ๐‘› โ†’ ((๐‘… + 1) ยท ๐‘š) = ((๐‘… + 1) ยท ๐‘›))
198197fveq2d 6851 . . . . . . 7 (๐‘š = ๐‘› โ†’ (logโ€˜((๐‘… + 1) ยท ๐‘š)) = (logโ€˜((๐‘… + 1) ยท ๐‘›)))
199198oveq1d 7377 . . . . . 6 (๐‘š = ๐‘› โ†’ ((logโ€˜((๐‘… + 1) ยท ๐‘š)) + ฯ€) = ((logโ€˜((๐‘… + 1) ยท ๐‘›)) + ฯ€))
200196, 199oveq12d 7380 . . . . 5 (๐‘š = ๐‘› โ†’ ((๐‘… ยท (logโ€˜((๐‘š + 1) / ๐‘š))) + ((logโ€˜((๐‘… + 1) ยท ๐‘š)) + ฯ€)) = ((๐‘… ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›))) + ((logโ€˜((๐‘… + 1) ยท ๐‘›)) + ฯ€)))
201192, 195, 200ifbieq12d 4519 . . . 4 (๐‘š = ๐‘› โ†’ if((2 ยท ๐‘…) โ‰ค ๐‘š, (๐‘… ยท ((2 ยท (๐‘… + 1)) / (๐‘šโ†‘2))), ((๐‘… ยท (logโ€˜((๐‘š + 1) / ๐‘š))) + ((logโ€˜((๐‘… + 1) ยท ๐‘š)) + ฯ€))) = if((2 ยท ๐‘…) โ‰ค ๐‘›, (๐‘… ยท ((2 ยท (๐‘… + 1)) / (๐‘›โ†‘2))), ((๐‘… ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›))) + ((logโ€˜((๐‘… + 1) ยท ๐‘›)) + ฯ€))))
202 lgamgulm.t . . . 4 ๐‘‡ = (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ if((2 ยท ๐‘…) โ‰ค ๐‘š, (๐‘… ยท ((2 ยท (๐‘… + 1)) / (๐‘šโ†‘2))), ((๐‘… ยท (logโ€˜((๐‘š + 1) / ๐‘š))) + ((logโ€˜((๐‘… + 1) ยท ๐‘š)) + ฯ€))))
203 ovex 7395 . . . . 5 (๐‘… ยท ((2 ยท (๐‘… + 1)) / (๐‘›โ†‘2))) โˆˆ V
204 ovex 7395 . . . . 5 ((๐‘… ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›))) + ((logโ€˜((๐‘… + 1) ยท ๐‘›)) + ฯ€)) โˆˆ V
205203, 204ifex 4541 . . . 4 if((2 ยท ๐‘…) โ‰ค ๐‘›, (๐‘… ยท ((2 ยท (๐‘… + 1)) / (๐‘›โ†‘2))), ((๐‘… ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›))) + ((logโ€˜((๐‘… + 1) ยท ๐‘›)) + ฯ€))) โˆˆ V
206201, 202, 205fvmpt 6953 . . 3 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘›) = if((2 ยท ๐‘…) โ‰ค ๐‘›, (๐‘… ยท ((2 ยท (๐‘… + 1)) / (๐‘›โ†‘2))), ((๐‘… ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›))) + ((logโ€˜((๐‘… + 1) ยท ๐‘›)) + ฯ€))))
207206ad2antrl 727 . 2 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘›) = if((2 ยท ๐‘…) โ‰ค ๐‘›, (๐‘… ยท ((2 ยท (๐‘… + 1)) / (๐‘›โ†‘2))), ((๐‘… ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›))) + ((logโ€˜((๐‘… + 1) ยท ๐‘›)) + ฯ€))))
208165, 191, 2073brtr4d 5142 1 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ (absโ€˜((๐บโ€˜๐‘›)โ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘‡โ€˜๐‘›))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2944  โˆ€wral 3065  {crab 3410   โˆ– cdif 3912   โŠ† wss 3915  ifcif 4491   class class class wbr 5110   โ†ฆ cmpt 5193  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  โ„‚cc 11056  โ„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   ยท cmul 11063   โ‰ค cle 11197   โˆ’ cmin 11392  -cneg 11393   / cdiv 11819  โ„•cn 12160  2c2 12215  โ„•0cn0 12420  โ„คcz 12506  โ„+crp 12922  โ†‘cexp 13974  abscabs 15126  ฯ€cpi 15956  logclog 25926
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137  ax-mulf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ioo 13275  df-ioc 13276  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-fac 14181  df-bc 14210  df-hash 14238  df-shft 14959  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-limsup 15360  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-sum 15578  df-ef 15957  df-sin 15959  df-cos 15960  df-tan 15961  df-pi 15962  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-hom 17164  df-cco 17165  df-rest 17311  df-topn 17312  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-topgen 17332  df-pt 17333  df-prds 17336  df-xrs 17391  df-qtop 17396  df-imas 17397  df-xps 17399  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-submnd 18609  df-mulg 18880  df-cntz 19104  df-cmn 19571  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-cmp 22754  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-limc 25246  df-dv 25247  df-log 25928
This theorem is referenced by:  lgamgulmlem6  26399
  Copyright terms: Public domain W3C validator