MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgamgulmlem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgamgulmlem5 26773
Description: Lemma for lgamgulm 26775. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
lgamgulm.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„•)
lgamgulm.u ๐‘ˆ = {๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆฃ ((absโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘… โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (1 / ๐‘…) โ‰ค (absโ€˜(๐‘ฅ + ๐‘˜)))}
lgamgulm.g ๐บ = (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ โ†ฆ ((๐‘ง ยท (logโ€˜((๐‘š + 1) / ๐‘š))) โˆ’ (logโ€˜((๐‘ง / ๐‘š) + 1)))))
lgamgulm.t ๐‘‡ = (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ if((2 ยท ๐‘…) โ‰ค ๐‘š, (๐‘… ยท ((2 ยท (๐‘… + 1)) / (๐‘šโ†‘2))), ((๐‘… ยท (logโ€˜((๐‘š + 1) / ๐‘š))) + ((logโ€˜((๐‘… + 1) ยท ๐‘š)) + ฯ€))))
Assertion
Ref Expression
lgamgulmlem5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ (absโ€˜((๐บโ€˜๐‘›)โ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘‡โ€˜๐‘›))
Distinct variable groups:   ๐‘ฆ,๐‘›,๐บ   ๐‘ฅ,๐‘ฆ   ๐‘˜,๐‘š,๐‘›,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘…   ๐‘ˆ,๐‘š,๐‘›,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐œ‘,๐‘š,๐‘›,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐‘‡,๐‘›,๐‘ฆ
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘˜)   ๐‘‡(๐‘ฅ,๐‘ง,๐‘˜,๐‘š)   ๐‘ˆ(๐‘ฅ,๐‘˜)   ๐บ(๐‘ฅ,๐‘ง,๐‘˜,๐‘š)

Proof of Theorem lgamgulmlem5
Dummy variable ๐‘ก is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 5151 . . 3 ((๐‘… ยท ((2 ยท (๐‘… + 1)) / (๐‘›โ†‘2))) = if((2 ยท ๐‘…) โ‰ค ๐‘›, (๐‘… ยท ((2 ยท (๐‘… + 1)) / (๐‘›โ†‘2))), ((๐‘… ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›))) + ((logโ€˜((๐‘… + 1) ยท ๐‘›)) + ฯ€))) โ†’ ((absโ€˜((๐‘ฆ ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›))) โˆ’ (logโ€˜((๐‘ฆ / ๐‘›) + 1)))) โ‰ค (๐‘… ยท ((2 ยท (๐‘… + 1)) / (๐‘›โ†‘2))) โ†” (absโ€˜((๐‘ฆ ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›))) โˆ’ (logโ€˜((๐‘ฆ / ๐‘›) + 1)))) โ‰ค if((2 ยท ๐‘…) โ‰ค ๐‘›, (๐‘… ยท ((2 ยท (๐‘… + 1)) / (๐‘›โ†‘2))), ((๐‘… ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›))) + ((logโ€˜((๐‘… + 1) ยท ๐‘›)) + ฯ€)))))
2 breq2 5151 . . 3 (((๐‘… ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›))) + ((logโ€˜((๐‘… + 1) ยท ๐‘›)) + ฯ€)) = if((2 ยท ๐‘…) โ‰ค ๐‘›, (๐‘… ยท ((2 ยท (๐‘… + 1)) / (๐‘›โ†‘2))), ((๐‘… ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›))) + ((logโ€˜((๐‘… + 1) ยท ๐‘›)) + ฯ€))) โ†’ ((absโ€˜((๐‘ฆ ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›))) โˆ’ (logโ€˜((๐‘ฆ / ๐‘›) + 1)))) โ‰ค ((๐‘… ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›))) + ((logโ€˜((๐‘… + 1) ยท ๐‘›)) + ฯ€)) โ†” (absโ€˜((๐‘ฆ ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›))) โˆ’ (logโ€˜((๐‘ฆ / ๐‘›) + 1)))) โ‰ค if((2 ยท ๐‘…) โ‰ค ๐‘›, (๐‘… ยท ((2 ยท (๐‘… + 1)) / (๐‘›โ†‘2))), ((๐‘… ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›))) + ((logโ€˜((๐‘… + 1) ยท ๐‘›)) + ฯ€)))))
3 lgamgulm.r . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„•)
43adantr 479 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„•)
54adantr 479 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โˆง (2 ยท ๐‘…) โ‰ค ๐‘›) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„•)
6 lgamgulm.u . . . . 5 ๐‘ˆ = {๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆฃ ((absโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘… โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (1 / ๐‘…) โ‰ค (absโ€˜(๐‘ฅ + ๐‘˜)))}
7 fveq2 6890 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐‘ก โ†’ (absโ€˜๐‘ฅ) = (absโ€˜๐‘ก))
87breq1d 5157 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘ก โ†’ ((absโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘… โ†” (absโ€˜๐‘ก) โ‰ค ๐‘…))
9 fvoveq1 7434 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = ๐‘ก โ†’ (absโ€˜(๐‘ฅ + ๐‘˜)) = (absโ€˜(๐‘ก + ๐‘˜)))
109breq2d 5159 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐‘ก โ†’ ((1 / ๐‘…) โ‰ค (absโ€˜(๐‘ฅ + ๐‘˜)) โ†” (1 / ๐‘…) โ‰ค (absโ€˜(๐‘ก + ๐‘˜))))
1110ralbidv 3175 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘ก โ†’ (โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (1 / ๐‘…) โ‰ค (absโ€˜(๐‘ฅ + ๐‘˜)) โ†” โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (1 / ๐‘…) โ‰ค (absโ€˜(๐‘ก + ๐‘˜))))
128, 11anbi12d 629 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘ก โ†’ (((absโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘… โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (1 / ๐‘…) โ‰ค (absโ€˜(๐‘ฅ + ๐‘˜))) โ†” ((absโ€˜๐‘ก) โ‰ค ๐‘… โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (1 / ๐‘…) โ‰ค (absโ€˜(๐‘ก + ๐‘˜)))))
1312cbvrabv 3440 . . . . 5 {๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆฃ ((absโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘… โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (1 / ๐‘…) โ‰ค (absโ€˜(๐‘ฅ + ๐‘˜)))} = {๐‘ก โˆˆ โ„‚ โˆฃ ((absโ€˜๐‘ก) โ‰ค ๐‘… โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (1 / ๐‘…) โ‰ค (absโ€˜(๐‘ก + ๐‘˜)))}
146, 13eqtri 2758 . . . 4 ๐‘ˆ = {๐‘ก โˆˆ โ„‚ โˆฃ ((absโ€˜๐‘ก) โ‰ค ๐‘… โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (1 / ๐‘…) โ‰ค (absโ€˜(๐‘ก + ๐‘˜)))}
15 simplrl 773 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โˆง (2 ยท ๐‘…) โ‰ค ๐‘›) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
16 simprr 769 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)
1716adantr 479 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โˆง (2 ยท ๐‘…) โ‰ค ๐‘›) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)
18 simpr 483 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โˆง (2 ยท ๐‘…) โ‰ค ๐‘›) โ†’ (2 ยท ๐‘…) โ‰ค ๐‘›)
195, 14, 15, 17, 18lgamgulmlem3 26771 . . 3 (((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โˆง (2 ยท ๐‘…) โ‰ค ๐‘›) โ†’ (absโ€˜((๐‘ฆ ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›))) โˆ’ (logโ€˜((๐‘ฆ / ๐‘›) + 1)))) โ‰ค (๐‘… ยท ((2 ยท (๐‘… + 1)) / (๐‘›โ†‘2))))
203, 6lgamgulmlem1 26769 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โІ (โ„‚ โˆ– (โ„ค โˆ– โ„•)))
2120adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ ๐‘ˆ โІ (โ„‚ โˆ– (โ„ค โˆ– โ„•)))
2221, 16sseldd 3982 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ (โ„‚ โˆ– (โ„ค โˆ– โ„•)))
2322eldifad 3959 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
24 simprl 767 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
2524peano2nnd 12233 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ (๐‘› + 1) โˆˆ โ„•)
2625nnrpd 13018 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ (๐‘› + 1) โˆˆ โ„+)
2724nnrpd 13018 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„+)
2826, 27rpdivcld 13037 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ ((๐‘› + 1) / ๐‘›) โˆˆ โ„+)
2928relogcld 26367 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›)) โˆˆ โ„)
3029recnd 11246 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›)) โˆˆ โ„‚)
3123, 30mulcld 11238 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ (๐‘ฆ ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›))) โˆˆ โ„‚)
3224nncnd 12232 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„‚)
3324nnne0d 12266 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ ๐‘› โ‰  0)
3423, 32, 33divcld 11994 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ (๐‘ฆ / ๐‘›) โˆˆ โ„‚)
35 1cnd 11213 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
3634, 35addcld 11237 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ ((๐‘ฆ / ๐‘›) + 1) โˆˆ โ„‚)
3722, 24dmgmdivn0 26768 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ ((๐‘ฆ / ๐‘›) + 1) โ‰  0)
3836, 37logcld 26315 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ (logโ€˜((๐‘ฆ / ๐‘›) + 1)) โˆˆ โ„‚)
3931, 38subcld 11575 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ ((๐‘ฆ ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›))) โˆ’ (logโ€˜((๐‘ฆ / ๐‘›) + 1))) โˆˆ โ„‚)
4039abscld 15387 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ (absโ€˜((๐‘ฆ ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›))) โˆ’ (logโ€˜((๐‘ฆ / ๐‘›) + 1)))) โˆˆ โ„)
4131abscld 15387 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ (absโ€˜(๐‘ฆ ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›)))) โˆˆ โ„)
4238abscld 15387 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ (absโ€˜(logโ€˜((๐‘ฆ / ๐‘›) + 1))) โˆˆ โ„)
4341, 42readdcld 11247 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ ((absโ€˜(๐‘ฆ ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›)))) + (absโ€˜(logโ€˜((๐‘ฆ / ๐‘›) + 1)))) โˆˆ โ„)
444nnred 12231 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„)
4544, 29remulcld 11248 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ (๐‘… ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›))) โˆˆ โ„)
464peano2nnd 12233 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ (๐‘… + 1) โˆˆ โ„•)
4746nnrpd 13018 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ (๐‘… + 1) โˆˆ โ„+)
4847, 27rpmulcld 13036 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ ((๐‘… + 1) ยท ๐‘›) โˆˆ โ„+)
4948relogcld 26367 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ (logโ€˜((๐‘… + 1) ยท ๐‘›)) โˆˆ โ„)
50 pire 26204 . . . . . . . 8 ฯ€ โˆˆ โ„
5150a1i 11 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ ฯ€ โˆˆ โ„)
5249, 51readdcld 11247 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ ((logโ€˜((๐‘… + 1) ยท ๐‘›)) + ฯ€) โˆˆ โ„)
5345, 52readdcld 11247 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ ((๐‘… ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›))) + ((logโ€˜((๐‘… + 1) ยท ๐‘›)) + ฯ€)) โˆˆ โ„)
5431, 38abs2dif2d 15409 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ (absโ€˜((๐‘ฆ ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›))) โˆ’ (logโ€˜((๐‘ฆ / ๐‘›) + 1)))) โ‰ค ((absโ€˜(๐‘ฆ ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›)))) + (absโ€˜(logโ€˜((๐‘ฆ / ๐‘›) + 1)))))
5523, 30absmuld 15405 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ (absโ€˜(๐‘ฆ ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›)))) = ((absโ€˜๐‘ฆ) ยท (absโ€˜(logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›)))))
5628rpred 13020 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ ((๐‘› + 1) / ๐‘›) โˆˆ โ„)
5732mullidd 11236 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ (1 ยท ๐‘›) = ๐‘›)
5824nnred 12231 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„)
5958lep1d 12149 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ ๐‘› โ‰ค (๐‘› + 1))
6057, 59eqbrtrd 5169 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ (1 ยท ๐‘›) โ‰ค (๐‘› + 1))
61 1red 11219 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
6258, 61readdcld 11247 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ (๐‘› + 1) โˆˆ โ„)
6361, 62, 27lemuldivd 13069 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ ((1 ยท ๐‘›) โ‰ค (๐‘› + 1) โ†” 1 โ‰ค ((๐‘› + 1) / ๐‘›)))
6460, 63mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ 1 โ‰ค ((๐‘› + 1) / ๐‘›))
6556, 64logge0d 26374 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ 0 โ‰ค (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›)))
6629, 65absidd 15373 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ (absโ€˜(logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›))) = (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›)))
6766oveq2d 7427 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ ((absโ€˜๐‘ฆ) ยท (absโ€˜(logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›)))) = ((absโ€˜๐‘ฆ) ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›))))
6855, 67eqtrd 2770 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ (absโ€˜(๐‘ฆ ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›)))) = ((absโ€˜๐‘ฆ) ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›))))
6923abscld 15387 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ (absโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„)
70 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (absโ€˜๐‘ฅ) = (absโ€˜๐‘ฆ))
7170breq1d 5157 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ((absโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘… โ†” (absโ€˜๐‘ฆ) โ‰ค ๐‘…))
72 fvoveq1 7434 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (absโ€˜(๐‘ฅ + ๐‘˜)) = (absโ€˜(๐‘ฆ + ๐‘˜)))
7372breq2d 5159 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ((1 / ๐‘…) โ‰ค (absโ€˜(๐‘ฅ + ๐‘˜)) โ†” (1 / ๐‘…) โ‰ค (absโ€˜(๐‘ฆ + ๐‘˜))))
7473ralbidv 3175 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (1 / ๐‘…) โ‰ค (absโ€˜(๐‘ฅ + ๐‘˜)) โ†” โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (1 / ๐‘…) โ‰ค (absโ€˜(๐‘ฆ + ๐‘˜))))
7571, 74anbi12d 629 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (((absโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘… โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (1 / ๐‘…) โ‰ค (absโ€˜(๐‘ฅ + ๐‘˜))) โ†” ((absโ€˜๐‘ฆ) โ‰ค ๐‘… โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (1 / ๐‘…) โ‰ค (absโ€˜(๐‘ฆ + ๐‘˜)))))
7675, 6elrab2 3685 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ โ†” (๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ((absโ€˜๐‘ฆ) โ‰ค ๐‘… โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (1 / ๐‘…) โ‰ค (absโ€˜(๐‘ฆ + ๐‘˜)))))
7776simprbi 495 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ โ†’ ((absโ€˜๐‘ฆ) โ‰ค ๐‘… โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (1 / ๐‘…) โ‰ค (absโ€˜(๐‘ฆ + ๐‘˜))))
7877ad2antll 725 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ ((absโ€˜๐‘ฆ) โ‰ค ๐‘… โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (1 / ๐‘…) โ‰ค (absโ€˜(๐‘ฆ + ๐‘˜))))
7978simpld 493 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ (absโ€˜๐‘ฆ) โ‰ค ๐‘…)
8069, 44, 29, 65, 79lemul1ad 12157 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ ((absโ€˜๐‘ฆ) ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›))) โ‰ค (๐‘… ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›))))
8168, 80eqbrtrd 5169 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ (absโ€˜(๐‘ฆ ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›)))) โ‰ค (๐‘… ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›))))
8236, 37absrpcld 15399 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ (absโ€˜((๐‘ฆ / ๐‘›) + 1)) โˆˆ โ„+)
8382relogcld 26367 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ (logโ€˜(absโ€˜((๐‘ฆ / ๐‘›) + 1))) โˆˆ โ„)
8483recnd 11246 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ (logโ€˜(absโ€˜((๐‘ฆ / ๐‘›) + 1))) โˆˆ โ„‚)
8584abscld 15387 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ (absโ€˜(logโ€˜(absโ€˜((๐‘ฆ / ๐‘›) + 1)))) โˆˆ โ„)
8685, 51readdcld 11247 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ ((absโ€˜(logโ€˜(absโ€˜((๐‘ฆ / ๐‘›) + 1)))) + ฯ€) โˆˆ โ„)
87 abslogle 26362 . . . . . . . 8 ((((๐‘ฆ / ๐‘›) + 1) โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐‘ฆ / ๐‘›) + 1) โ‰  0) โ†’ (absโ€˜(logโ€˜((๐‘ฆ / ๐‘›) + 1))) โ‰ค ((absโ€˜(logโ€˜(absโ€˜((๐‘ฆ / ๐‘›) + 1)))) + ฯ€))
8836, 37, 87syl2anc 582 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ (absโ€˜(logโ€˜((๐‘ฆ / ๐‘›) + 1))) โ‰ค ((absโ€˜(logโ€˜(absโ€˜((๐‘ฆ / ๐‘›) + 1)))) + ฯ€))
89 1rp 12982 . . . . . . . . . . . 12 1 โˆˆ โ„+
90 relogdiv 26337 . . . . . . . . . . . 12 ((1 โˆˆ โ„+ โˆง ((๐‘… + 1) ยท ๐‘›) โˆˆ โ„+) โ†’ (logโ€˜(1 / ((๐‘… + 1) ยท ๐‘›))) = ((logโ€˜1) โˆ’ (logโ€˜((๐‘… + 1) ยท ๐‘›))))
9189, 48, 90sylancr 585 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ (logโ€˜(1 / ((๐‘… + 1) ยท ๐‘›))) = ((logโ€˜1) โˆ’ (logโ€˜((๐‘… + 1) ยท ๐‘›))))
92 log1 26330 . . . . . . . . . . . . 13 (logโ€˜1) = 0
9392oveq1i 7421 . . . . . . . . . . . 12 ((logโ€˜1) โˆ’ (logโ€˜((๐‘… + 1) ยท ๐‘›))) = (0 โˆ’ (logโ€˜((๐‘… + 1) ยท ๐‘›)))
94 df-neg 11451 . . . . . . . . . . . 12 -(logโ€˜((๐‘… + 1) ยท ๐‘›)) = (0 โˆ’ (logโ€˜((๐‘… + 1) ยท ๐‘›)))
9593, 94eqtr4i 2761 . . . . . . . . . . 11 ((logโ€˜1) โˆ’ (logโ€˜((๐‘… + 1) ยท ๐‘›))) = -(logโ€˜((๐‘… + 1) ยท ๐‘›))
9691, 95eqtr2di 2787 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ -(logโ€˜((๐‘… + 1) ยท ๐‘›)) = (logโ€˜(1 / ((๐‘… + 1) ยท ๐‘›))))
9746nnrecred 12267 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ (1 / (๐‘… + 1)) โˆˆ โ„)
9823, 32addcld 11237 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ (๐‘ฆ + ๐‘›) โˆˆ โ„‚)
9998abscld 15387 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ (absโ€˜(๐‘ฆ + ๐‘›)) โˆˆ โ„)
1004nnrecred 12267 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ (1 / ๐‘…) โˆˆ โ„)
1014nnrpd 13018 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„+)
102 0le1 11741 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 โ‰ค 1
103102a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ 0 โ‰ค 1)
10444lep1d 12149 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ ๐‘… โ‰ค (๐‘… + 1))
105101, 47, 61, 103, 104lediv2ad 13042 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ (1 / (๐‘… + 1)) โ‰ค (1 / ๐‘…))
106 oveq2 7419 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘˜ = ๐‘› โ†’ (๐‘ฆ + ๐‘˜) = (๐‘ฆ + ๐‘›))
107106fveq2d 6894 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘˜ = ๐‘› โ†’ (absโ€˜(๐‘ฆ + ๐‘˜)) = (absโ€˜(๐‘ฆ + ๐‘›)))
108107breq2d 5159 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘˜ = ๐‘› โ†’ ((1 / ๐‘…) โ‰ค (absโ€˜(๐‘ฆ + ๐‘˜)) โ†” (1 / ๐‘…) โ‰ค (absโ€˜(๐‘ฆ + ๐‘›))))
10978simprd 494 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (1 / ๐‘…) โ‰ค (absโ€˜(๐‘ฆ + ๐‘˜)))
11024nnnn0d 12536 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•0)
111108, 109, 110rspcdva 3612 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ (1 / ๐‘…) โ‰ค (absโ€˜(๐‘ฆ + ๐‘›)))
11297, 100, 99, 105, 111letrd 11375 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ (1 / (๐‘… + 1)) โ‰ค (absโ€˜(๐‘ฆ + ๐‘›)))
11397, 99, 27, 112lediv1dd 13078 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ ((1 / (๐‘… + 1)) / ๐‘›) โ‰ค ((absโ€˜(๐‘ฆ + ๐‘›)) / ๐‘›))
11446nncnd 12232 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ (๐‘… + 1) โˆˆ โ„‚)
11546nnne0d 12266 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ (๐‘… + 1) โ‰  0)
116114, 32, 115, 33recdiv2d 12012 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ ((1 / (๐‘… + 1)) / ๐‘›) = (1 / ((๐‘… + 1) ยท ๐‘›)))
11723, 32, 32, 33divdird 12032 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ ((๐‘ฆ + ๐‘›) / ๐‘›) = ((๐‘ฆ / ๐‘›) + (๐‘› / ๐‘›)))
11832, 33dividd 11992 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ (๐‘› / ๐‘›) = 1)
119118oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ ((๐‘ฆ / ๐‘›) + (๐‘› / ๐‘›)) = ((๐‘ฆ / ๐‘›) + 1))
120117, 119eqtr2d 2771 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ ((๐‘ฆ / ๐‘›) + 1) = ((๐‘ฆ + ๐‘›) / ๐‘›))
121120fveq2d 6894 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ (absโ€˜((๐‘ฆ / ๐‘›) + 1)) = (absโ€˜((๐‘ฆ + ๐‘›) / ๐‘›)))
12298, 32, 33absdivd 15406 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ (absโ€˜((๐‘ฆ + ๐‘›) / ๐‘›)) = ((absโ€˜(๐‘ฆ + ๐‘›)) / (absโ€˜๐‘›)))
12327rpge0d 13024 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ 0 โ‰ค ๐‘›)
12458, 123absidd 15373 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ (absโ€˜๐‘›) = ๐‘›)
125124oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ ((absโ€˜(๐‘ฆ + ๐‘›)) / (absโ€˜๐‘›)) = ((absโ€˜(๐‘ฆ + ๐‘›)) / ๐‘›))
126121, 122, 1253eqtrrd 2775 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ ((absโ€˜(๐‘ฆ + ๐‘›)) / ๐‘›) = (absโ€˜((๐‘ฆ / ๐‘›) + 1)))
127113, 116, 1263brtr3d 5178 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ (1 / ((๐‘… + 1) ยท ๐‘›)) โ‰ค (absโ€˜((๐‘ฆ / ๐‘›) + 1)))
12848rpreccld 13030 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ (1 / ((๐‘… + 1) ยท ๐‘›)) โˆˆ โ„+)
129128, 82logled 26371 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ ((1 / ((๐‘… + 1) ยท ๐‘›)) โ‰ค (absโ€˜((๐‘ฆ / ๐‘›) + 1)) โ†” (logโ€˜(1 / ((๐‘… + 1) ยท ๐‘›))) โ‰ค (logโ€˜(absโ€˜((๐‘ฆ / ๐‘›) + 1)))))
130127, 129mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ (logโ€˜(1 / ((๐‘… + 1) ยท ๐‘›))) โ‰ค (logโ€˜(absโ€˜((๐‘ฆ / ๐‘›) + 1))))
13196, 130eqbrtrd 5169 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ -(logโ€˜((๐‘… + 1) ยท ๐‘›)) โ‰ค (logโ€˜(absโ€˜((๐‘ฆ / ๐‘›) + 1))))
13236abscld 15387 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ (absโ€˜((๐‘ฆ / ๐‘›) + 1)) โˆˆ โ„)
13344, 61readdcld 11247 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ (๐‘… + 1) โˆˆ โ„)
13448rpred 13020 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ ((๐‘… + 1) ยท ๐‘›) โˆˆ โ„)
13534abscld 15387 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ (absโ€˜(๐‘ฆ / ๐‘›)) โˆˆ โ„)
136135, 61readdcld 11247 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ ((absโ€˜(๐‘ฆ / ๐‘›)) + 1) โˆˆ โ„)
13734, 35abstrid 15407 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ (absโ€˜((๐‘ฆ / ๐‘›) + 1)) โ‰ค ((absโ€˜(๐‘ฆ / ๐‘›)) + (absโ€˜1)))
138 abs1 15248 . . . . . . . . . . . . . 14 (absโ€˜1) = 1
139138oveq2i 7422 . . . . . . . . . . . . 13 ((absโ€˜(๐‘ฆ / ๐‘›)) + (absโ€˜1)) = ((absโ€˜(๐‘ฆ / ๐‘›)) + 1)
140137, 139breqtrdi 5188 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ (absโ€˜((๐‘ฆ / ๐‘›) + 1)) โ‰ค ((absโ€˜(๐‘ฆ / ๐‘›)) + 1))
14189a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ 1 โˆˆ โ„+)
14223absge0d 15395 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ 0 โ‰ค (absโ€˜๐‘ฆ))
14324nnge1d 12264 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ 1 โ‰ค ๐‘›)
14469, 44, 141, 58, 142, 79, 143lediv12ad 13079 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ ((absโ€˜๐‘ฆ) / ๐‘›) โ‰ค (๐‘… / 1))
14523, 32, 33absdivd 15406 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ (absโ€˜(๐‘ฆ / ๐‘›)) = ((absโ€˜๐‘ฆ) / (absโ€˜๐‘›)))
146124oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ ((absโ€˜๐‘ฆ) / (absโ€˜๐‘›)) = ((absโ€˜๐‘ฆ) / ๐‘›))
147145, 146eqtr2d 2771 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ ((absโ€˜๐‘ฆ) / ๐‘›) = (absโ€˜(๐‘ฆ / ๐‘›)))
1484nncnd 12232 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„‚)
149148div1d 11986 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ (๐‘… / 1) = ๐‘…)
150144, 147, 1493brtr3d 5178 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ (absโ€˜(๐‘ฆ / ๐‘›)) โ‰ค ๐‘…)
151135, 44, 61, 150leadd1dd 11832 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ ((absโ€˜(๐‘ฆ / ๐‘›)) + 1) โ‰ค (๐‘… + 1))
152132, 136, 133, 140, 151letrd 11375 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ (absโ€˜((๐‘ฆ / ๐‘›) + 1)) โ‰ค (๐‘… + 1))
15347rpge0d 13024 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ 0 โ‰ค (๐‘… + 1))
154133, 58, 153, 143lemulge11d 12155 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ (๐‘… + 1) โ‰ค ((๐‘… + 1) ยท ๐‘›))
155132, 133, 134, 152, 154letrd 11375 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ (absโ€˜((๐‘ฆ / ๐‘›) + 1)) โ‰ค ((๐‘… + 1) ยท ๐‘›))
15682, 48logled 26371 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ ((absโ€˜((๐‘ฆ / ๐‘›) + 1)) โ‰ค ((๐‘… + 1) ยท ๐‘›) โ†” (logโ€˜(absโ€˜((๐‘ฆ / ๐‘›) + 1))) โ‰ค (logโ€˜((๐‘… + 1) ยท ๐‘›))))
157155, 156mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ (logโ€˜(absโ€˜((๐‘ฆ / ๐‘›) + 1))) โ‰ค (logโ€˜((๐‘… + 1) ยท ๐‘›)))
15883, 49absled 15381 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ ((absโ€˜(logโ€˜(absโ€˜((๐‘ฆ / ๐‘›) + 1)))) โ‰ค (logโ€˜((๐‘… + 1) ยท ๐‘›)) โ†” (-(logโ€˜((๐‘… + 1) ยท ๐‘›)) โ‰ค (logโ€˜(absโ€˜((๐‘ฆ / ๐‘›) + 1))) โˆง (logโ€˜(absโ€˜((๐‘ฆ / ๐‘›) + 1))) โ‰ค (logโ€˜((๐‘… + 1) ยท ๐‘›)))))
159131, 157, 158mpbir2and 709 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ (absโ€˜(logโ€˜(absโ€˜((๐‘ฆ / ๐‘›) + 1)))) โ‰ค (logโ€˜((๐‘… + 1) ยท ๐‘›)))
16085, 49, 51, 159leadd1dd 11832 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ ((absโ€˜(logโ€˜(absโ€˜((๐‘ฆ / ๐‘›) + 1)))) + ฯ€) โ‰ค ((logโ€˜((๐‘… + 1) ยท ๐‘›)) + ฯ€))
16142, 86, 52, 88, 160letrd 11375 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ (absโ€˜(logโ€˜((๐‘ฆ / ๐‘›) + 1))) โ‰ค ((logโ€˜((๐‘… + 1) ยท ๐‘›)) + ฯ€))
16241, 42, 45, 52, 81, 161le2addd 11837 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ ((absโ€˜(๐‘ฆ ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›)))) + (absโ€˜(logโ€˜((๐‘ฆ / ๐‘›) + 1)))) โ‰ค ((๐‘… ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›))) + ((logโ€˜((๐‘… + 1) ยท ๐‘›)) + ฯ€)))
16340, 43, 53, 54, 162letrd 11375 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ (absโ€˜((๐‘ฆ ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›))) โˆ’ (logโ€˜((๐‘ฆ / ๐‘›) + 1)))) โ‰ค ((๐‘… ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›))) + ((logโ€˜((๐‘… + 1) ยท ๐‘›)) + ฯ€)))
164163adantr 479 . . 3 (((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โˆง ยฌ (2 ยท ๐‘…) โ‰ค ๐‘›) โ†’ (absโ€˜((๐‘ฆ ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›))) โˆ’ (logโ€˜((๐‘ฆ / ๐‘›) + 1)))) โ‰ค ((๐‘… ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›))) + ((logโ€˜((๐‘… + 1) ยท ๐‘›)) + ฯ€)))
1651, 2, 19, 164ifbothda 4565 . 2 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ (absโ€˜((๐‘ฆ ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›))) โˆ’ (logโ€˜((๐‘ฆ / ๐‘›) + 1)))) โ‰ค if((2 ยท ๐‘…) โ‰ค ๐‘›, (๐‘… ยท ((2 ยท (๐‘… + 1)) / (๐‘›โ†‘2))), ((๐‘… ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›))) + ((logโ€˜((๐‘… + 1) ยท ๐‘›)) + ฯ€))))
166 oveq1 7418 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘š = ๐‘› โ†’ (๐‘š + 1) = (๐‘› + 1))
167 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘š = ๐‘› โ†’ ๐‘š = ๐‘›)
168166, 167oveq12d 7429 . . . . . . . . . . 11 (๐‘š = ๐‘› โ†’ ((๐‘š + 1) / ๐‘š) = ((๐‘› + 1) / ๐‘›))
169168fveq2d 6894 . . . . . . . . . 10 (๐‘š = ๐‘› โ†’ (logโ€˜((๐‘š + 1) / ๐‘š)) = (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›)))
170169oveq2d 7427 . . . . . . . . 9 (๐‘š = ๐‘› โ†’ (๐‘ง ยท (logโ€˜((๐‘š + 1) / ๐‘š))) = (๐‘ง ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›))))
171 oveq2 7419 . . . . . . . . . 10 (๐‘š = ๐‘› โ†’ (๐‘ง / ๐‘š) = (๐‘ง / ๐‘›))
172171fvoveq1d 7433 . . . . . . . . 9 (๐‘š = ๐‘› โ†’ (logโ€˜((๐‘ง / ๐‘š) + 1)) = (logโ€˜((๐‘ง / ๐‘›) + 1)))
173170, 172oveq12d 7429 . . . . . . . 8 (๐‘š = ๐‘› โ†’ ((๐‘ง ยท (logโ€˜((๐‘š + 1) / ๐‘š))) โˆ’ (logโ€˜((๐‘ง / ๐‘š) + 1))) = ((๐‘ง ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›))) โˆ’ (logโ€˜((๐‘ง / ๐‘›) + 1))))
174173mpteq2dv 5249 . . . . . . 7 (๐‘š = ๐‘› โ†’ (๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ โ†ฆ ((๐‘ง ยท (logโ€˜((๐‘š + 1) / ๐‘š))) โˆ’ (logโ€˜((๐‘ง / ๐‘š) + 1)))) = (๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ โ†ฆ ((๐‘ง ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›))) โˆ’ (logโ€˜((๐‘ง / ๐‘›) + 1)))))
175 lgamgulm.g . . . . . . 7 ๐บ = (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ โ†ฆ ((๐‘ง ยท (logโ€˜((๐‘š + 1) / ๐‘š))) โˆ’ (logโ€˜((๐‘ง / ๐‘š) + 1)))))
176 cnex 11193 . . . . . . . . 9 โ„‚ โˆˆ V
1776, 176rabex2 5333 . . . . . . . 8 ๐‘ˆ โˆˆ V
178177mptex 7226 . . . . . . 7 (๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ โ†ฆ ((๐‘ง ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›))) โˆ’ (logโ€˜((๐‘ง / ๐‘›) + 1)))) โˆˆ V
179174, 175, 178fvmpt 6997 . . . . . 6 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ (๐บโ€˜๐‘›) = (๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ โ†ฆ ((๐‘ง ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›))) โˆ’ (logโ€˜((๐‘ง / ๐‘›) + 1)))))
180179ad2antrl 724 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ (๐บโ€˜๐‘›) = (๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ โ†ฆ ((๐‘ง ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›))) โˆ’ (logโ€˜((๐‘ง / ๐‘›) + 1)))))
181180fveq1d 6892 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ ((๐บโ€˜๐‘›)โ€˜๐‘ฆ) = ((๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ โ†ฆ ((๐‘ง ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›))) โˆ’ (logโ€˜((๐‘ง / ๐‘›) + 1))))โ€˜๐‘ฆ))
182 oveq1 7418 . . . . . . 7 (๐‘ง = ๐‘ฆ โ†’ (๐‘ง ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›))) = (๐‘ฆ ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›))))
183 oveq1 7418 . . . . . . . 8 (๐‘ง = ๐‘ฆ โ†’ (๐‘ง / ๐‘›) = (๐‘ฆ / ๐‘›))
184183fvoveq1d 7433 . . . . . . 7 (๐‘ง = ๐‘ฆ โ†’ (logโ€˜((๐‘ง / ๐‘›) + 1)) = (logโ€˜((๐‘ฆ / ๐‘›) + 1)))
185182, 184oveq12d 7429 . . . . . 6 (๐‘ง = ๐‘ฆ โ†’ ((๐‘ง ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›))) โˆ’ (logโ€˜((๐‘ง / ๐‘›) + 1))) = ((๐‘ฆ ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›))) โˆ’ (logโ€˜((๐‘ฆ / ๐‘›) + 1))))
186 eqid 2730 . . . . . 6 (๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ โ†ฆ ((๐‘ง ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›))) โˆ’ (logโ€˜((๐‘ง / ๐‘›) + 1)))) = (๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ โ†ฆ ((๐‘ง ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›))) โˆ’ (logโ€˜((๐‘ง / ๐‘›) + 1))))
187 ovex 7444 . . . . . 6 ((๐‘ฆ ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›))) โˆ’ (logโ€˜((๐‘ฆ / ๐‘›) + 1))) โˆˆ V
188185, 186, 187fvmpt 6997 . . . . 5 (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ โ†’ ((๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ โ†ฆ ((๐‘ง ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›))) โˆ’ (logโ€˜((๐‘ง / ๐‘›) + 1))))โ€˜๐‘ฆ) = ((๐‘ฆ ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›))) โˆ’ (logโ€˜((๐‘ฆ / ๐‘›) + 1))))
189188ad2antll 725 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ ((๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ โ†ฆ ((๐‘ง ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›))) โˆ’ (logโ€˜((๐‘ง / ๐‘›) + 1))))โ€˜๐‘ฆ) = ((๐‘ฆ ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›))) โˆ’ (logโ€˜((๐‘ฆ / ๐‘›) + 1))))
190181, 189eqtrd 2770 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ ((๐บโ€˜๐‘›)โ€˜๐‘ฆ) = ((๐‘ฆ ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›))) โˆ’ (logโ€˜((๐‘ฆ / ๐‘›) + 1))))
191190fveq2d 6894 . 2 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ (absโ€˜((๐บโ€˜๐‘›)โ€˜๐‘ฆ)) = (absโ€˜((๐‘ฆ ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›))) โˆ’ (logโ€˜((๐‘ฆ / ๐‘›) + 1)))))
192 breq2 5151 . . . . 5 (๐‘š = ๐‘› โ†’ ((2 ยท ๐‘…) โ‰ค ๐‘š โ†” (2 ยท ๐‘…) โ‰ค ๐‘›))
193 oveq1 7418 . . . . . . 7 (๐‘š = ๐‘› โ†’ (๐‘šโ†‘2) = (๐‘›โ†‘2))
194193oveq2d 7427 . . . . . 6 (๐‘š = ๐‘› โ†’ ((2 ยท (๐‘… + 1)) / (๐‘šโ†‘2)) = ((2 ยท (๐‘… + 1)) / (๐‘›โ†‘2)))
195194oveq2d 7427 . . . . 5 (๐‘š = ๐‘› โ†’ (๐‘… ยท ((2 ยท (๐‘… + 1)) / (๐‘šโ†‘2))) = (๐‘… ยท ((2 ยท (๐‘… + 1)) / (๐‘›โ†‘2))))
196169oveq2d 7427 . . . . . 6 (๐‘š = ๐‘› โ†’ (๐‘… ยท (logโ€˜((๐‘š + 1) / ๐‘š))) = (๐‘… ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›))))
197 oveq2 7419 . . . . . . . 8 (๐‘š = ๐‘› โ†’ ((๐‘… + 1) ยท ๐‘š) = ((๐‘… + 1) ยท ๐‘›))
198197fveq2d 6894 . . . . . . 7 (๐‘š = ๐‘› โ†’ (logโ€˜((๐‘… + 1) ยท ๐‘š)) = (logโ€˜((๐‘… + 1) ยท ๐‘›)))
199198oveq1d 7426 . . . . . 6 (๐‘š = ๐‘› โ†’ ((logโ€˜((๐‘… + 1) ยท ๐‘š)) + ฯ€) = ((logโ€˜((๐‘… + 1) ยท ๐‘›)) + ฯ€))
200196, 199oveq12d 7429 . . . . 5 (๐‘š = ๐‘› โ†’ ((๐‘… ยท (logโ€˜((๐‘š + 1) / ๐‘š))) + ((logโ€˜((๐‘… + 1) ยท ๐‘š)) + ฯ€)) = ((๐‘… ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›))) + ((logโ€˜((๐‘… + 1) ยท ๐‘›)) + ฯ€)))
201192, 195, 200ifbieq12d 4555 . . . 4 (๐‘š = ๐‘› โ†’ if((2 ยท ๐‘…) โ‰ค ๐‘š, (๐‘… ยท ((2 ยท (๐‘… + 1)) / (๐‘šโ†‘2))), ((๐‘… ยท (logโ€˜((๐‘š + 1) / ๐‘š))) + ((logโ€˜((๐‘… + 1) ยท ๐‘š)) + ฯ€))) = if((2 ยท ๐‘…) โ‰ค ๐‘›, (๐‘… ยท ((2 ยท (๐‘… + 1)) / (๐‘›โ†‘2))), ((๐‘… ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›))) + ((logโ€˜((๐‘… + 1) ยท ๐‘›)) + ฯ€))))
202 lgamgulm.t . . . 4 ๐‘‡ = (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ if((2 ยท ๐‘…) โ‰ค ๐‘š, (๐‘… ยท ((2 ยท (๐‘… + 1)) / (๐‘šโ†‘2))), ((๐‘… ยท (logโ€˜((๐‘š + 1) / ๐‘š))) + ((logโ€˜((๐‘… + 1) ยท ๐‘š)) + ฯ€))))
203 ovex 7444 . . . . 5 (๐‘… ยท ((2 ยท (๐‘… + 1)) / (๐‘›โ†‘2))) โˆˆ V
204 ovex 7444 . . . . 5 ((๐‘… ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›))) + ((logโ€˜((๐‘… + 1) ยท ๐‘›)) + ฯ€)) โˆˆ V
205203, 204ifex 4577 . . . 4 if((2 ยท ๐‘…) โ‰ค ๐‘›, (๐‘… ยท ((2 ยท (๐‘… + 1)) / (๐‘›โ†‘2))), ((๐‘… ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›))) + ((logโ€˜((๐‘… + 1) ยท ๐‘›)) + ฯ€))) โˆˆ V
206201, 202, 205fvmpt 6997 . . 3 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘›) = if((2 ยท ๐‘…) โ‰ค ๐‘›, (๐‘… ยท ((2 ยท (๐‘… + 1)) / (๐‘›โ†‘2))), ((๐‘… ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›))) + ((logโ€˜((๐‘… + 1) ยท ๐‘›)) + ฯ€))))
207206ad2antrl 724 . 2 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘›) = if((2 ยท ๐‘…) โ‰ค ๐‘›, (๐‘… ยท ((2 ยท (๐‘… + 1)) / (๐‘›โ†‘2))), ((๐‘… ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›))) + ((logโ€˜((๐‘… + 1) ยท ๐‘›)) + ฯ€))))
208165, 191, 2073brtr4d 5179 1 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ (absโ€˜((๐บโ€˜๐‘›)โ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘‡โ€˜๐‘›))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104   โ‰  wne 2938  โˆ€wral 3059  {crab 3430   โˆ– cdif 3944   โІ wss 3947  ifcif 4527   class class class wbr 5147   โ†ฆ cmpt 5230  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  โ„‚cc 11110  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   โ‰ค cle 11253   โˆ’ cmin 11448  -cneg 11449   / cdiv 11875  โ„•cn 12216  2c2 12271  โ„•0cn0 12476  โ„คcz 12562  โ„+crp 12978  โ†‘cexp 14031  abscabs 15185  ฯ€cpi 16014  logclog 26299
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ioo 13332  df-ioc 13333  df-ico 13334  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13971  df-exp 14032  df-fac 14238  df-bc 14267  df-hash 14295  df-shft 15018  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-limsup 15419  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637  df-ef 16015  df-sin 16017  df-cos 16018  df-tan 16019  df-pi 16020  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-hom 17225  df-cco 17226  df-rest 17372  df-topn 17373  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-topgen 17393  df-pt 17394  df-prds 17397  df-xrs 17452  df-qtop 17457  df-imas 17458  df-xps 17460  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-mulg 18987  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-fbas 21141  df-fg 21142  df-cnfld 21145  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-bases 22669  df-cld 22743  df-ntr 22744  df-cls 22745  df-nei 22822  df-lp 22860  df-perf 22861  df-cn 22951  df-cnp 22952  df-haus 23039  df-cmp 23111  df-tx 23286  df-hmeo 23479  df-fil 23570  df-fm 23662  df-flim 23663  df-flf 23664  df-xms 24046  df-ms 24047  df-tms 24048  df-cncf 24618  df-limc 25615  df-dv 25616  df-log 26301
This theorem is referenced by:  lgamgulmlem6  26774
  Copyright terms: Public domain W3C validator