Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simp11l 1285 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π β π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β πΎ β HL) |
2 | 1 | hllatd 37855 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π β π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β πΎ β Lat) |
3 | | simp21l 1291 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π β π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β π β π΄) |
4 | | simp22l 1293 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π β π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β π β π΄) |
5 | | eqid 2737 |
. . . . . 6
β’
(BaseβπΎ) =
(BaseβπΎ) |
6 | | cdleme12.j |
. . . . . 6
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
7 | | cdleme12.a |
. . . . . 6
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
8 | 5, 6, 7 | hlatjcl 37858 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
9 | 1, 3, 4, 8 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π β π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
10 | | simp11 1204 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π β π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
11 | | simp12 1205 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π β π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
12 | | simp13 1206 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π β π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
13 | | simp21 1207 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π β π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
14 | | simp23l 1295 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π β π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β π β π) |
15 | | simp31 1210 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π β π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β Β¬ π β€ (π β¨ π)) |
16 | | cdleme12.l |
. . . . . . 7
β’ β€ =
(leβπΎ) |
17 | | cdleme12.m |
. . . . . . 7
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
18 | | cdleme12.h |
. . . . . . 7
β’ π» = (LHypβπΎ) |
19 | | cdleme12.u |
. . . . . . 7
β’ π = ((π β¨ π) β§ π) |
20 | | cdleme12.f |
. . . . . . 7
β’ πΉ = ((π β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π) β§ π))) |
21 | 16, 6, 17, 7, 18, 19, 20 | cdleme3fa 38728 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β πΉ β π΄) |
22 | 10, 11, 12, 13, 14, 15, 21 | syl132anc 1389 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π β π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β πΉ β π΄) |
23 | | simp22 1208 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π β π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
24 | | simp32 1211 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π β π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β Β¬ π β€ (π β¨ π)) |
25 | | cdleme12.g |
. . . . . . 7
β’ πΊ = ((π β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π) β§ π))) |
26 | 16, 6, 17, 7, 18, 19, 25 | cdleme3fa 38728 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β πΊ β π΄) |
27 | 10, 11, 12, 23, 14, 24, 26 | syl132anc 1389 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π β π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β πΊ β π΄) |
28 | 5, 6, 7 | hlatjcl 37858 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β HL β§ πΉ β π΄ β§ πΊ β π΄) β (πΉ β¨ πΊ) β (BaseβπΎ)) |
29 | 1, 22, 27, 28 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π β π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β (πΉ β¨ πΊ) β (BaseβπΎ)) |
30 | 5, 16, 17 | latmle2 18361 |
. . . 4
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ (πΉ β¨ πΊ) β (BaseβπΎ)) β ((π β¨ π) β§ (πΉ β¨ πΊ)) β€ (πΉ β¨ πΊ)) |
31 | 2, 9, 29, 30 | syl3anc 1372 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π β π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β ((π β¨ π) β§ (πΉ β¨ πΊ)) β€ (πΉ β¨ πΊ)) |
32 | 16, 6, 17, 7, 18, 19, 20, 25 | cdleme15 38770 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π β π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β ((π β¨ π) β§ (πΉ β¨ πΊ)) β€ π) |
33 | 5, 17 | latmcl 18336 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ (πΉ β¨ πΊ) β (BaseβπΎ)) β ((π β¨ π) β§ (πΉ β¨ πΊ)) β (BaseβπΎ)) |
34 | 2, 9, 29, 33 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π β π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β ((π β¨ π) β§ (πΉ β¨ πΊ)) β (BaseβπΎ)) |
35 | | simp11r 1286 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π β π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β π β π») |
36 | 5, 18 | lhpbase 38490 |
. . . . 5
β’ (π β π» β π β (BaseβπΎ)) |
37 | 35, 36 | syl 17 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π β π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β π β (BaseβπΎ)) |
38 | 5, 16, 17 | latlem12 18362 |
. . . 4
β’ ((πΎ β Lat β§ (((π β¨ π) β§ (πΉ β¨ πΊ)) β (BaseβπΎ) β§ (πΉ β¨ πΊ) β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ))) β ((((π β¨ π) β§ (πΉ β¨ πΊ)) β€ (πΉ β¨ πΊ) β§ ((π β¨ π) β§ (πΉ β¨ πΊ)) β€ π) β ((π β¨ π) β§ (πΉ β¨ πΊ)) β€ ((πΉ β¨ πΊ) β§ π))) |
39 | 2, 34, 29, 37, 38 | syl13anc 1373 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π β π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β ((((π β¨ π) β§ (πΉ β¨ πΊ)) β€ (πΉ β¨ πΊ) β§ ((π β¨ π) β§ (πΉ β¨ πΊ)) β€ π) β ((π β¨ π) β§ (πΉ β¨ πΊ)) β€ ((πΉ β¨ πΊ) β§ π))) |
40 | 31, 32, 39 | mpbi2and 711 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π β π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β ((π β¨ π) β§ (πΉ β¨ πΊ)) β€ ((πΉ β¨ πΊ) β§ π)) |
41 | | hlatl 37851 |
. . . 4
β’ (πΎ β HL β πΎ β AtLat) |
42 | 1, 41 | syl 17 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π β π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β πΎ β AtLat) |
43 | 16, 6, 17, 7, 18, 19, 20, 25 | cdleme16d 38773 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π β π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β ((π β¨ π) β§ (πΉ β¨ πΊ)) β π΄) |
44 | 16, 6, 17, 7, 18, 19, 20 | cdleme3 38729 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β Β¬ πΉ β€ π) |
45 | 10, 11, 12, 13, 14, 15, 44 | syl132anc 1389 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π β π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β Β¬ πΉ β€ π) |
46 | 16, 6, 17, 7, 18, 19, 20, 25 | cdleme16b 38771 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π β π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β πΉ β πΊ) |
47 | 16, 6, 17, 7, 18 | lhpat 38535 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π΄ β§ Β¬ πΉ β€ π) β§ (πΊ β π΄ β§ πΉ β πΊ)) β ((πΉ β¨ πΊ) β§ π) β π΄) |
48 | 10, 22, 45, 27, 46, 47 | syl122anc 1380 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π β π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β ((πΉ β¨ πΊ) β§ π) β π΄) |
49 | 16, 7 | atcmp 37802 |
. . 3
β’ ((πΎ β AtLat β§ ((π β¨ π) β§ (πΉ β¨ πΊ)) β π΄ β§ ((πΉ β¨ πΊ) β§ π) β π΄) β (((π β¨ π) β§ (πΉ β¨ πΊ)) β€ ((πΉ β¨ πΊ) β§ π) β ((π β¨ π) β§ (πΉ β¨ πΊ)) = ((πΉ β¨ πΊ) β§ π))) |
50 | 42, 43, 48, 49 | syl3anc 1372 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π β π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β (((π β¨ π) β§ (πΉ β¨ πΊ)) β€ ((πΉ β¨ πΊ) β§ π) β ((π β¨ π) β§ (πΉ β¨ πΊ)) = ((πΉ β¨ πΊ) β§ π))) |
51 | 40, 50 | mpbid 231 |
1
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π β π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β ((π β¨ π) β§ (πΉ β¨ πΊ)) = ((πΉ β¨ πΊ) β§ π)) |