MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  limsuplt Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem limsuplt 15455
Description: The defining property of the superior limit. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.) (Revised by AV, 12-Sep-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
limsupval.1 𝐺 = (π‘˜ ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
Assertion
Ref Expression
limsuplt ((𝐡 βŠ† ℝ ∧ 𝐹:π΅βŸΆβ„* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) β†’ ((lim supβ€˜πΉ) < 𝐴 ↔ βˆƒπ‘— ∈ ℝ (πΊβ€˜π‘—) < 𝐴))
Distinct variable groups:   π‘˜,𝐹   𝐴,𝑗   𝐡,𝑗   𝑗,π‘˜,𝐹   𝑗,𝐺
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘˜)   𝐡(π‘˜)   𝐺(π‘˜)
Proof of Theorem limsuplt
StepHypRef Expression
1 limsupval.1 . . . . 5 𝐺 = (π‘˜ ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
21limsuple 15454 . . . 4 ((𝐡 βŠ† ℝ ∧ 𝐹:π΅βŸΆβ„* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) β†’ (𝐴 ≀ (lim supβ€˜πΉ) ↔ βˆ€π‘— ∈ ℝ 𝐴 ≀ (πΊβ€˜π‘—)))
32notbid 318 . . 3 ((𝐡 βŠ† ℝ ∧ 𝐹:π΅βŸΆβ„* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) β†’ (Β¬ 𝐴 ≀ (lim supβ€˜πΉ) ↔ Β¬ βˆ€π‘— ∈ ℝ 𝐴 ≀ (πΊβ€˜π‘—)))
4 rexnal 3097 . . 3 (βˆƒπ‘— ∈ ℝ Β¬ 𝐴 ≀ (πΊβ€˜π‘—) ↔ Β¬ βˆ€π‘— ∈ ℝ 𝐴 ≀ (πΊβ€˜π‘—))
53, 4bitr4di 289 . 2 ((𝐡 βŠ† ℝ ∧ 𝐹:π΅βŸΆβ„* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) β†’ (Β¬ 𝐴 ≀ (lim supβ€˜πΉ) ↔ βˆƒπ‘— ∈ ℝ Β¬ 𝐴 ≀ (πΊβ€˜π‘—)))
6 simp2 1135 . . . . 5 ((𝐡 βŠ† ℝ ∧ 𝐹:π΅βŸΆβ„* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) β†’ 𝐹:π΅βŸΆβ„*)
7 reex 11229 . . . . . . 7 ℝ ∈ V
87ssex 5321 . . . . . 6 (𝐡 βŠ† ℝ β†’ 𝐡 ∈ V)
983ad2ant1 1131 . . . . 5 ((𝐡 βŠ† ℝ ∧ 𝐹:π΅βŸΆβ„* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) β†’ 𝐡 ∈ V)
10 xrex 13001 . . . . . 6 ℝ* ∈ V
1110a1i 11 . . . . 5 ((𝐡 βŠ† ℝ ∧ 𝐹:π΅βŸΆβ„* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) β†’ ℝ* ∈ V)
12 fex2 7941 . . . . 5 ((𝐹:π΅βŸΆβ„* ∧ 𝐡 ∈ V ∧ ℝ* ∈ V) β†’ 𝐹 ∈ V)
136, 9, 11, 12syl3anc 1369 . . . 4 ((𝐡 βŠ† ℝ ∧ 𝐹:π΅βŸΆβ„* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) β†’ 𝐹 ∈ V)
14 limsupcl 15449 . . . 4 (𝐹 ∈ V β†’ (lim supβ€˜πΉ) ∈ ℝ*)
1513, 14syl 17 . . 3 ((𝐡 βŠ† ℝ ∧ 𝐹:π΅βŸΆβ„* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) β†’ (lim supβ€˜πΉ) ∈ ℝ*)
16 simp3 1136 . . 3 ((𝐡 βŠ† ℝ ∧ 𝐹:π΅βŸΆβ„* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
17 xrltnle 11311 . . 3 (((lim supβ€˜πΉ) ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) β†’ ((lim supβ€˜πΉ) < 𝐴 ↔ Β¬ 𝐴 ≀ (lim supβ€˜πΉ)))
1815, 16, 17syl2anc 583 . 2 ((𝐡 βŠ† ℝ ∧ 𝐹:π΅βŸΆβ„* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) β†’ ((lim supβ€˜πΉ) < 𝐴 ↔ Β¬ 𝐴 ≀ (lim supβ€˜πΉ)))
191limsupgf 15451 . . . . 5 𝐺:β„βŸΆβ„*
2019ffvelcdmi 7093 . . . 4 (𝑗 ∈ ℝ β†’ (πΊβ€˜π‘—) ∈ ℝ*)
21 xrltnle 11311 . . . 4 (((πΊβ€˜π‘—) ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) β†’ ((πΊβ€˜π‘—) < 𝐴 ↔ Β¬ 𝐴 ≀ (πΊβ€˜π‘—)))
2220, 16, 21syl2anr 596 . . 3 (((𝐡 βŠ† ℝ ∧ 𝐹:π΅βŸΆβ„* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) β†’ ((πΊβ€˜π‘—) < 𝐴 ↔ Β¬ 𝐴 ≀ (πΊβ€˜π‘—)))
2322rexbidva 3173 . 2 ((𝐡 βŠ† ℝ ∧ 𝐹:π΅βŸΆβ„* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ ℝ (πΊβ€˜π‘—) < 𝐴 ↔ βˆƒπ‘— ∈ ℝ Β¬ 𝐴 ≀ (πΊβ€˜π‘—)))
245, 18, 233bitr4d 311 1 ((𝐡 βŠ† ℝ ∧ 𝐹:π΅βŸΆβ„* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) β†’ ((lim supβ€˜πΉ) < 𝐴 ↔ βˆƒπ‘— ∈ ℝ (πΊβ€˜π‘—) < 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  βˆ€wral 3058  βˆƒwrex 3067  Vcvv 3471   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   β€œ cima 5681  βŸΆwf 6544  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  supcsup 9463  β„cr 11137  +∞cpnf 11275  β„*cxr 11277   < clt 11278   ≀ cle 11279  [,)cico 13358  lim supclsp 15446
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-po 5590  df-so 5591  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-er 8724  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-sup 9465  df-inf 9466  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-limsup 15447
This theorem is referenced by:  limsupgre  15457  limsuplt2  45141
  Copyright terms: Public domain W3C validator