MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  limsuplt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limsuplt 15518
Description: The defining property of the superior limit. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.) (Revised by AV, 12-Sep-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
limsupval.1 𝐺 = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
Assertion
Ref Expression
limsuplt ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → ((lim sup‘𝐹) < 𝐴 ↔ ∃𝑗 ∈ ℝ (𝐺𝑗) < 𝐴))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝐴,𝑗   𝐵,𝑗   𝑗,𝑘,𝐹   𝑗,𝐺
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐺(𝑘)

Proof of Theorem limsuplt
StepHypRef Expression
1 limsupval.1 . . . . 5 𝐺 = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
21limsuple 15517 . . . 4 ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ (lim sup‘𝐹) ↔ ∀𝑗 ∈ ℝ 𝐴 ≤ (𝐺𝑗)))
32notbid 321 . . 3 ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (¬ 𝐴 ≤ (lim sup‘𝐹) ↔ ¬ ∀𝑗 ∈ ℝ 𝐴 ≤ (𝐺𝑗)))
4 rexnal 3117 . . 3 (∃𝑗 ∈ ℝ ¬ 𝐴 ≤ (𝐺𝑗) ↔ ¬ ∀𝑗 ∈ ℝ 𝐴 ≤ (𝐺𝑗))
53, 4bitr4di 292 . 2 ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (¬ 𝐴 ≤ (lim sup‘𝐹) ↔ ∃𝑗 ∈ ℝ ¬ 𝐴 ≤ (𝐺𝑗)))
6 simp2 1153 . . . . 5 ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → 𝐹:𝐵⟶ℝ*)
7 reex 11179 . . . . . . 7 ℝ ∈ V
87ssex 5281 . . . . . 6 (𝐵 ⊆ ℝ → 𝐵 ∈ V)
983ad2ant1 1149 . . . . 5 ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → 𝐵 ∈ V)
10 xrex 12999 . . . . . 6 * ∈ V
1110a1i 11 . . . . 5 ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → ℝ* ∈ V)
12 fex2 7921 . . . . 5 ((𝐹:𝐵⟶ℝ*𝐵 ∈ V ∧ ℝ* ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
136, 9, 11, 12syl3anc 1394 . . . 4 ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → 𝐹 ∈ V)
14 limsupcl 15512 . . . 4 (𝐹 ∈ V → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ*)
1513, 14syl 18 . . 3 ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ*)
16 simp3 1154 . . 3 ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → 𝐴 ∈ ℝ*)
17 xrltnle 11264 . . 3 (((lim sup‘𝐹) ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → ((lim sup‘𝐹) < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≤ (lim sup‘𝐹)))
1815, 16, 17syl2anc 595 . 2 ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → ((lim sup‘𝐹) < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≤ (lim sup‘𝐹)))
191limsupgf 15514 . . . . 5 𝐺:ℝ⟶ℝ*
2019ffvelcdmi 7068 . . . 4 (𝑗 ∈ ℝ → (𝐺𝑗) ∈ ℝ*)
21 xrltnle 11264 . . . 4 (((𝐺𝑗) ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → ((𝐺𝑗) < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≤ (𝐺𝑗)))
2220, 16, 21syl2anr 608 . . 3 (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → ((𝐺𝑗) < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≤ (𝐺𝑗)))
2322rexbidva 3187 . 2 ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (∃𝑗 ∈ ℝ (𝐺𝑗) < 𝐴 ↔ ∃𝑗 ∈ ℝ ¬ 𝐴 ≤ (𝐺𝑗)))
245, 18, 233bitr4d 314 1 ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → ((lim sup‘𝐹) < 𝐴 ↔ ∃𝑗 ∈ ℝ (𝐺𝑗) < 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  w3a 1101   = wceq 1563  wcel 2145  wral 3079  wrex 3089  Vcvv 3457  cin 3906  wss 3907   class class class wbr 5104  cmpt 5185  cima 5654  wf 6521  cfv 6525  (class class class)co 7400  supcsup 9388  cr 11087  +∞cpnf 11228  *cxr 11230   < clt 11231  cle 11232  [,)cico 13362  lim supclsp 15509
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-sup 9390  df-inf 9391  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-limsup 15510
This theorem is referenced by:  limsupgre  15520  limsuplt2  46326
  Copyright terms: Public domain W3C validator