MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  limsuplt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limsuplt 14816
Description: The defining property of the superior limit. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.) (Revised by AV, 12-Sep-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
limsupval.1 𝐺 = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
Assertion
Ref Expression
limsuplt ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → ((lim sup‘𝐹) < 𝐴 ↔ ∃𝑗 ∈ ℝ (𝐺𝑗) < 𝐴))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝐴,𝑗   𝐵,𝑗   𝑗,𝑘,𝐹   𝑗,𝐺
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐺(𝑘)

Proof of Theorem limsuplt
StepHypRef Expression
1 limsupval.1 . . . . 5 𝐺 = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
21limsuple 14815 . . . 4 ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ (lim sup‘𝐹) ↔ ∀𝑗 ∈ ℝ 𝐴 ≤ (𝐺𝑗)))
32notbid 320 . . 3 ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (¬ 𝐴 ≤ (lim sup‘𝐹) ↔ ¬ ∀𝑗 ∈ ℝ 𝐴 ≤ (𝐺𝑗)))
4 rexnal 3225 . . 3 (∃𝑗 ∈ ℝ ¬ 𝐴 ≤ (𝐺𝑗) ↔ ¬ ∀𝑗 ∈ ℝ 𝐴 ≤ (𝐺𝑗))
53, 4syl6bbr 291 . 2 ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (¬ 𝐴 ≤ (lim sup‘𝐹) ↔ ∃𝑗 ∈ ℝ ¬ 𝐴 ≤ (𝐺𝑗)))
6 simp2 1133 . . . . 5 ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → 𝐹:𝐵⟶ℝ*)
7 reex 10606 . . . . . . 7 ℝ ∈ V
87ssex 5201 . . . . . 6 (𝐵 ⊆ ℝ → 𝐵 ∈ V)
983ad2ant1 1129 . . . . 5 ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → 𝐵 ∈ V)
10 xrex 12365 . . . . . 6 * ∈ V
1110a1i 11 . . . . 5 ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → ℝ* ∈ V)
12 fex2 7616 . . . . 5 ((𝐹:𝐵⟶ℝ*𝐵 ∈ V ∧ ℝ* ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
136, 9, 11, 12syl3anc 1367 . . . 4 ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → 𝐹 ∈ V)
14 limsupcl 14810 . . . 4 (𝐹 ∈ V → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ*)
1513, 14syl 17 . . 3 ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ*)
16 simp3 1134 . . 3 ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → 𝐴 ∈ ℝ*)
17 xrltnle 10686 . . 3 (((lim sup‘𝐹) ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → ((lim sup‘𝐹) < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≤ (lim sup‘𝐹)))
1815, 16, 17syl2anc 586 . 2 ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → ((lim sup‘𝐹) < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≤ (lim sup‘𝐹)))
191limsupgf 14812 . . . . 5 𝐺:ℝ⟶ℝ*
2019ffvelrni 6826 . . . 4 (𝑗 ∈ ℝ → (𝐺𝑗) ∈ ℝ*)
21 xrltnle 10686 . . . 4 (((𝐺𝑗) ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → ((𝐺𝑗) < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≤ (𝐺𝑗)))
2220, 16, 21syl2anr 598 . . 3 (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → ((𝐺𝑗) < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≤ (𝐺𝑗)))
2322rexbidva 3283 . 2 ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (∃𝑗 ∈ ℝ (𝐺𝑗) < 𝐴 ↔ ∃𝑗 ∈ ℝ ¬ 𝐴 ≤ (𝐺𝑗)))
245, 18, 233bitr4d 313 1 ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → ((lim sup‘𝐹) < 𝐴 ↔ ∃𝑗 ∈ ℝ (𝐺𝑗) < 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 208  w3a 1083   = wceq 1537  wcel 2114  wral 3125  wrex 3126  Vcvv 3473  cin 3912  wss 3913   class class class wbr 5042  cmpt 5122  cima 5534  wf 6327  cfv 6331  (class class class)co 7133  supcsup 8882  cr 10514  +∞cpnf 10650  *cxr 10652   < clt 10653  cle 10654  [,)cico 12719  lim supclsp 14807
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7439  ax-cnex 10571  ax-resscn 10572  ax-1cn 10573  ax-icn 10574  ax-addcl 10575  ax-addrcl 10576  ax-mulcl 10577  ax-mulrcl 10578  ax-mulcom 10579  ax-addass 10580  ax-mulass 10581  ax-distr 10582  ax-i2m1 10583  ax-1ne0 10584  ax-1rid 10585  ax-rnegex 10586  ax-rrecex 10587  ax-cnre 10588  ax-pre-lttri 10589  ax-pre-lttrn 10590  ax-pre-ltadd 10591  ax-pre-mulgt0 10592  ax-pre-sup 10593
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rmo 3133  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3753  df-csb 3861  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4270  df-if 4444  df-pw 4517  df-sn 4544  df-pr 4546  df-op 4550  df-uni 4815  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-id 5436  df-po 5450  df-so 5451  df-xp 5537  df-rel 5538  df-cnv 5539  df-co 5540  df-dm 5541  df-rn 5542  df-res 5543  df-ima 5544  df-iota 6290  df-fun 6333  df-fn 6334  df-f 6335  df-f1 6336  df-fo 6337  df-f1o 6338  df-fv 6339  df-riota 7091  df-ov 7136  df-oprab 7137  df-mpo 7138  df-er 8267  df-en 8488  df-dom 8489  df-sdom 8490  df-sup 8884  df-inf 8885  df-pnf 10655  df-mnf 10656  df-xr 10657  df-ltxr 10658  df-le 10659  df-sub 10850  df-neg 10851  df-limsup 14808
This theorem is referenced by:  limsupgre  14818  limsuplt2  42186
  Copyright terms: Public domain W3C validator