MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  limsuplt Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem limsuplt 15423
Description: The defining property of the superior limit. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.) (Revised by AV, 12-Sep-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
limsupval.1 𝐺 = (π‘˜ ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
Assertion
Ref Expression
limsuplt ((𝐡 βŠ† ℝ ∧ 𝐹:π΅βŸΆβ„* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) β†’ ((lim supβ€˜πΉ) < 𝐴 ↔ βˆƒπ‘— ∈ ℝ (πΊβ€˜π‘—) < 𝐴))
Distinct variable groups:   π‘˜,𝐹   𝐴,𝑗   𝐡,𝑗   𝑗,π‘˜,𝐹   𝑗,𝐺
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘˜)   𝐡(π‘˜)   𝐺(π‘˜)
Proof of Theorem limsuplt
StepHypRef Expression
1 limsupval.1 . . . . 5 𝐺 = (π‘˜ ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
21limsuple 15422 . . . 4 ((𝐡 βŠ† ℝ ∧ 𝐹:π΅βŸΆβ„* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) β†’ (𝐴 ≀ (lim supβ€˜πΉ) ↔ βˆ€π‘— ∈ ℝ 𝐴 ≀ (πΊβ€˜π‘—)))
32notbid 318 . . 3 ((𝐡 βŠ† ℝ ∧ 𝐹:π΅βŸΆβ„* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) β†’ (Β¬ 𝐴 ≀ (lim supβ€˜πΉ) ↔ Β¬ βˆ€π‘— ∈ ℝ 𝐴 ≀ (πΊβ€˜π‘—)))
4 rexnal 3101 . . 3 (βˆƒπ‘— ∈ ℝ Β¬ 𝐴 ≀ (πΊβ€˜π‘—) ↔ Β¬ βˆ€π‘— ∈ ℝ 𝐴 ≀ (πΊβ€˜π‘—))
53, 4bitr4di 289 . 2 ((𝐡 βŠ† ℝ ∧ 𝐹:π΅βŸΆβ„* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) β†’ (Β¬ 𝐴 ≀ (lim supβ€˜πΉ) ↔ βˆƒπ‘— ∈ ℝ Β¬ 𝐴 ≀ (πΊβ€˜π‘—)))
6 simp2 1138 . . . . 5 ((𝐡 βŠ† ℝ ∧ 𝐹:π΅βŸΆβ„* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) β†’ 𝐹:π΅βŸΆβ„*)
7 reex 11201 . . . . . . 7 ℝ ∈ V
87ssex 5322 . . . . . 6 (𝐡 βŠ† ℝ β†’ 𝐡 ∈ V)
983ad2ant1 1134 . . . . 5 ((𝐡 βŠ† ℝ ∧ 𝐹:π΅βŸΆβ„* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) β†’ 𝐡 ∈ V)
10 xrex 12971 . . . . . 6 ℝ* ∈ V
1110a1i 11 . . . . 5 ((𝐡 βŠ† ℝ ∧ 𝐹:π΅βŸΆβ„* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) β†’ ℝ* ∈ V)
12 fex2 7924 . . . . 5 ((𝐹:π΅βŸΆβ„* ∧ 𝐡 ∈ V ∧ ℝ* ∈ V) β†’ 𝐹 ∈ V)
136, 9, 11, 12syl3anc 1372 . . . 4 ((𝐡 βŠ† ℝ ∧ 𝐹:π΅βŸΆβ„* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) β†’ 𝐹 ∈ V)
14 limsupcl 15417 . . . 4 (𝐹 ∈ V β†’ (lim supβ€˜πΉ) ∈ ℝ*)
1513, 14syl 17 . . 3 ((𝐡 βŠ† ℝ ∧ 𝐹:π΅βŸΆβ„* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) β†’ (lim supβ€˜πΉ) ∈ ℝ*)
16 simp3 1139 . . 3 ((𝐡 βŠ† ℝ ∧ 𝐹:π΅βŸΆβ„* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
17 xrltnle 11281 . . 3 (((lim supβ€˜πΉ) ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) β†’ ((lim supβ€˜πΉ) < 𝐴 ↔ Β¬ 𝐴 ≀ (lim supβ€˜πΉ)))
1815, 16, 17syl2anc 585 . 2 ((𝐡 βŠ† ℝ ∧ 𝐹:π΅βŸΆβ„* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) β†’ ((lim supβ€˜πΉ) < 𝐴 ↔ Β¬ 𝐴 ≀ (lim supβ€˜πΉ)))
191limsupgf 15419 . . . . 5 𝐺:β„βŸΆβ„*
2019ffvelcdmi 7086 . . . 4 (𝑗 ∈ ℝ β†’ (πΊβ€˜π‘—) ∈ ℝ*)
21 xrltnle 11281 . . . 4 (((πΊβ€˜π‘—) ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) β†’ ((πΊβ€˜π‘—) < 𝐴 ↔ Β¬ 𝐴 ≀ (πΊβ€˜π‘—)))
2220, 16, 21syl2anr 598 . . 3 (((𝐡 βŠ† ℝ ∧ 𝐹:π΅βŸΆβ„* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) β†’ ((πΊβ€˜π‘—) < 𝐴 ↔ Β¬ 𝐴 ≀ (πΊβ€˜π‘—)))
2322rexbidva 3177 . 2 ((𝐡 βŠ† ℝ ∧ 𝐹:π΅βŸΆβ„* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ ℝ (πΊβ€˜π‘—) < 𝐴 ↔ βˆƒπ‘— ∈ ℝ Β¬ 𝐴 ≀ (πΊβ€˜π‘—)))
245, 18, 233bitr4d 311 1 ((𝐡 βŠ† ℝ ∧ 𝐹:π΅βŸΆβ„* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) β†’ ((lim supβ€˜πΉ) < 𝐴 ↔ βˆƒπ‘— ∈ ℝ (πΊβ€˜π‘—) < 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  Vcvv 3475   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232   β€œ cima 5680  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  supcsup 9435  β„cr 11109  +∞cpnf 11245  β„*cxr 11247   < clt 11248   ≀ cle 11249  [,)cico 13326  lim supclsp 15414
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-limsup 15415
This theorem is referenced by:  limsupgre  15425  limsuplt2  44469
  Copyright terms: Public domain W3C validator