MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  limsuplt Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem limsuplt 15425
Description: The defining property of the superior limit. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.) (Revised by AV, 12-Sep-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
limsupval.1 𝐺 = (π‘˜ ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
Assertion
Ref Expression
limsuplt ((𝐡 βŠ† ℝ ∧ 𝐹:π΅βŸΆβ„* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) β†’ ((lim supβ€˜πΉ) < 𝐴 ↔ βˆƒπ‘— ∈ ℝ (πΊβ€˜π‘—) < 𝐴))
Distinct variable groups:   π‘˜,𝐹   𝐴,𝑗   𝐡,𝑗   𝑗,π‘˜,𝐹   𝑗,𝐺
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘˜)   𝐡(π‘˜)   𝐺(π‘˜)
Proof of Theorem limsuplt
StepHypRef Expression
1 limsupval.1 . . . . 5 𝐺 = (π‘˜ ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
21limsuple 15424 . . . 4 ((𝐡 βŠ† ℝ ∧ 𝐹:π΅βŸΆβ„* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) β†’ (𝐴 ≀ (lim supβ€˜πΉ) ↔ βˆ€π‘— ∈ ℝ 𝐴 ≀ (πΊβ€˜π‘—)))
32notbid 318 . . 3 ((𝐡 βŠ† ℝ ∧ 𝐹:π΅βŸΆβ„* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) β†’ (Β¬ 𝐴 ≀ (lim supβ€˜πΉ) ↔ Β¬ βˆ€π‘— ∈ ℝ 𝐴 ≀ (πΊβ€˜π‘—)))
4 rexnal 3092 . . 3 (βˆƒπ‘— ∈ ℝ Β¬ 𝐴 ≀ (πΊβ€˜π‘—) ↔ Β¬ βˆ€π‘— ∈ ℝ 𝐴 ≀ (πΊβ€˜π‘—))
53, 4bitr4di 289 . 2 ((𝐡 βŠ† ℝ ∧ 𝐹:π΅βŸΆβ„* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) β†’ (Β¬ 𝐴 ≀ (lim supβ€˜πΉ) ↔ βˆƒπ‘— ∈ ℝ Β¬ 𝐴 ≀ (πΊβ€˜π‘—)))
6 simp2 1134 . . . . 5 ((𝐡 βŠ† ℝ ∧ 𝐹:π΅βŸΆβ„* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) β†’ 𝐹:π΅βŸΆβ„*)
7 reex 11198 . . . . . . 7 ℝ ∈ V
87ssex 5312 . . . . . 6 (𝐡 βŠ† ℝ β†’ 𝐡 ∈ V)
983ad2ant1 1130 . . . . 5 ((𝐡 βŠ† ℝ ∧ 𝐹:π΅βŸΆβ„* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) β†’ 𝐡 ∈ V)
10 xrex 12970 . . . . . 6 ℝ* ∈ V
1110a1i 11 . . . . 5 ((𝐡 βŠ† ℝ ∧ 𝐹:π΅βŸΆβ„* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) β†’ ℝ* ∈ V)
12 fex2 7918 . . . . 5 ((𝐹:π΅βŸΆβ„* ∧ 𝐡 ∈ V ∧ ℝ* ∈ V) β†’ 𝐹 ∈ V)
136, 9, 11, 12syl3anc 1368 . . . 4 ((𝐡 βŠ† ℝ ∧ 𝐹:π΅βŸΆβ„* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) β†’ 𝐹 ∈ V)
14 limsupcl 15419 . . . 4 (𝐹 ∈ V β†’ (lim supβ€˜πΉ) ∈ ℝ*)
1513, 14syl 17 . . 3 ((𝐡 βŠ† ℝ ∧ 𝐹:π΅βŸΆβ„* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) β†’ (lim supβ€˜πΉ) ∈ ℝ*)
16 simp3 1135 . . 3 ((𝐡 βŠ† ℝ ∧ 𝐹:π΅βŸΆβ„* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
17 xrltnle 11280 . . 3 (((lim supβ€˜πΉ) ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) β†’ ((lim supβ€˜πΉ) < 𝐴 ↔ Β¬ 𝐴 ≀ (lim supβ€˜πΉ)))
1815, 16, 17syl2anc 583 . 2 ((𝐡 βŠ† ℝ ∧ 𝐹:π΅βŸΆβ„* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) β†’ ((lim supβ€˜πΉ) < 𝐴 ↔ Β¬ 𝐴 ≀ (lim supβ€˜πΉ)))
191limsupgf 15421 . . . . 5 𝐺:β„βŸΆβ„*
2019ffvelcdmi 7076 . . . 4 (𝑗 ∈ ℝ β†’ (πΊβ€˜π‘—) ∈ ℝ*)
21 xrltnle 11280 . . . 4 (((πΊβ€˜π‘—) ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) β†’ ((πΊβ€˜π‘—) < 𝐴 ↔ Β¬ 𝐴 ≀ (πΊβ€˜π‘—)))
2220, 16, 21syl2anr 596 . . 3 (((𝐡 βŠ† ℝ ∧ 𝐹:π΅βŸΆβ„* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) β†’ ((πΊβ€˜π‘—) < 𝐴 ↔ Β¬ 𝐴 ≀ (πΊβ€˜π‘—)))
2322rexbidva 3168 . 2 ((𝐡 βŠ† ℝ ∧ 𝐹:π΅βŸΆβ„* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ ℝ (πΊβ€˜π‘—) < 𝐴 ↔ βˆƒπ‘— ∈ ℝ Β¬ 𝐴 ≀ (πΊβ€˜π‘—)))
245, 18, 233bitr4d 311 1 ((𝐡 βŠ† ℝ ∧ 𝐹:π΅βŸΆβ„* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) β†’ ((lim supβ€˜πΉ) < 𝐴 ↔ βˆƒπ‘— ∈ ℝ (πΊβ€˜π‘—) < 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3053  βˆƒwrex 3062  Vcvv 3466   ∩ cin 3940   βŠ† wss 3941   class class class wbr 5139   ↦ cmpt 5222   β€œ cima 5670  βŸΆwf 6530  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  supcsup 9432  β„cr 11106  +∞cpnf 11244  β„*cxr 11246   < clt 11247   ≀ cle 11248  [,)cico 13327  lim supclsp 15416
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-po 5579  df-so 5580  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-limsup 15417
This theorem is referenced by:  limsupgre  15427  limsuplt2  45014
  Copyright terms: Public domain W3C validator