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Theorem fourierdlem30 45448
Description: Sum of three small pieces is less than ε. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem30.ibl (𝜑 → (𝑥𝐼 ↦ (𝐹 · -𝐺)) ∈ 𝐿1)
fourierlemreimleblemlte22.f ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐹 ∈ ℂ)
fourierdlem30.g ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐺 ∈ ℂ)
fourierdlem30.a (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
fourierdlem30.x 𝑋 = (abs‘𝐴)
fourierdlem30.c (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
fourierdlem30.y 𝑌 = (abs‘𝐶)
fourierdlem30.z 𝑍 = (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)
fourierdlem30.e (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
fourierdlem30.r (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
fourierdlem30.ler (𝜑 → ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1) ≤ 𝑅)
fourierdlem30.b (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
fourierdlem30.12 (𝜑 → (abs‘𝐵) ≤ 1)
fourierdlem30.d (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
fourierdlem30.14 (𝜑 → (abs‘𝐷) ≤ 1)
Assertion
Ref Expression
fourierdlem30 (𝜑 → (abs‘(((𝐴 · -(𝐵 / 𝑅)) − (𝐶 · -(𝐷 / 𝑅))) − ∫𝐼(𝐹 · -(𝐺 / 𝑅)) d𝑥)) < 𝐸)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐼   𝑥,𝑅   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝐸(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝑋(𝑥)   𝑌(𝑥)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem fourierdlem30
StepHypRef Expression
1 fourierdlem30.b . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
2 fourierdlem30.r . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
32recnd 11264 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑅 ∈ ℂ)
4 0red 11239 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
5 1red 11237 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
6 0lt1 11758 . . . . . . . . . . . . . 14 0 < 1
76a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 < 1)
8 fourierdlem30.x . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑋 = (abs‘𝐴)
9 fourierdlem30.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
109abscld 15407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
118, 10eqeltrid 2832 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
12 fourierdlem30.y . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑌 = (abs‘𝐶)
13 fourierdlem30.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
1413abscld 15407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
1512, 14eqeltrid 2832 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
1611, 15readdcld 11265 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ ℝ)
17 fourierdlem30.z . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑍 = (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)
18 fourierlemreimleblemlte22.f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐹 ∈ ℂ)
19 fourierdlem30.g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐺 ∈ ℂ)
2019negcld 11580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥𝐼) → -𝐺 ∈ ℂ)
2118, 20mulcld 11256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝐹 · -𝐺) ∈ ℂ)
22 fourierdlem30.ibl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝑥𝐼 ↦ (𝐹 · -𝐺)) ∈ 𝐿1)
2321, 22itgcl 25700 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥 ∈ ℂ)
2423abscld 15407 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥) ∈ ℝ)
2517, 24eqeltrid 2832 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑍 ∈ ℝ)
2616, 25readdcld 11265 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) ∈ ℝ)
27 fourierdlem30.e . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
2827rpred 13040 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
2927rpne0d 13045 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐸 ≠ 0)
3026, 28, 29redivcld 12064 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) ∈ ℝ)
3130, 5readdcld 11265 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1) ∈ ℝ)
329absge0d 15415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝐴))
3332, 8breqtrrdi 5184 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → 0 ≤ 𝑋)
3413absge0d 15415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝐶))
3534, 12breqtrrdi 5184 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → 0 ≤ 𝑌)
3611, 15, 33, 35addge0d 11812 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 0 ≤ (𝑋 + 𝑌))
3723absge0d 15415 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → 0 ≤ (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥))
3837, 17breqtrrdi 5184 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 0 ≤ 𝑍)
3916, 25, 36, 38addge0d 11812 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 0 ≤ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍))
4026, 27, 39divge0d 13080 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 0 ≤ (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸))
415, 30addge02d 11825 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (0 ≤ (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) ↔ 1 ≤ ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)))
4240, 41mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 1 ≤ ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1))
43 fourierdlem30.ler . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1) ≤ 𝑅)
445, 31, 2, 42, 43letrd 11393 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 1 ≤ 𝑅)
454, 5, 2, 7, 44ltletrd 11396 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 < 𝑅)
4645gt0ne0d 11800 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑅 ≠ 0)
471, 3, 46divnegd 12025 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → -(𝐵 / 𝑅) = (-𝐵 / 𝑅))
4847oveq2d 7430 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 · -(𝐵 / 𝑅)) = (𝐴 · (-𝐵 / 𝑅)))
491negcld 11580 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → -𝐵 ∈ ℂ)
509, 49, 3, 46divassd 12047 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐴 · -𝐵) / 𝑅) = (𝐴 · (-𝐵 / 𝑅)))
5148, 50eqtr4d 2770 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 · -(𝐵 / 𝑅)) = ((𝐴 · -𝐵) / 𝑅))
52 fourierdlem30.d . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
5352, 3, 46divnegd 12025 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → -(𝐷 / 𝑅) = (-𝐷 / 𝑅))
5453oveq2d 7430 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐶 · -(𝐷 / 𝑅)) = (𝐶 · (-𝐷 / 𝑅)))
5552negcld 11580 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → -𝐷 ∈ ℂ)
5613, 55, 3, 46divassd 12047 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐶 · -𝐷) / 𝑅) = (𝐶 · (-𝐷 / 𝑅)))
5754, 56eqtr4d 2770 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐶 · -(𝐷 / 𝑅)) = ((𝐶 · -𝐷) / 𝑅))
5851, 57oveq12d 7432 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴 · -(𝐵 / 𝑅)) − (𝐶 · -(𝐷 / 𝑅))) = (((𝐴 · -𝐵) / 𝑅) − ((𝐶 · -𝐷) / 𝑅)))
599, 49mulcld 11256 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 · -𝐵) ∈ ℂ)
6013, 55mulcld 11256 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐶 · -𝐷) ∈ ℂ)
6159, 60, 3, 46divsubdird 12051 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) / 𝑅) = (((𝐴 · -𝐵) / 𝑅) − ((𝐶 · -𝐷) / 𝑅)))
6258, 61eqtr4d 2770 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴 · -(𝐵 / 𝑅)) − (𝐶 · -(𝐷 / 𝑅))) = (((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) / 𝑅))
633, 46reccld 12005 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 / 𝑅) ∈ ℂ)
6463, 21, 22itgmulc2 25750 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1 / 𝑅) · ∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥) = ∫𝐼((1 / 𝑅) · (𝐹 · -𝐺)) d𝑥)
6523, 3, 46divrec2d 12016 . . . . . . 7 (𝜑 → (∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥 / 𝑅) = ((1 / 𝑅) · ∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥))
663adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑅 ∈ ℂ)
6746adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑅 ≠ 0)
6819, 66, 67divnegd 12025 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐼) → -(𝐺 / 𝑅) = (-𝐺 / 𝑅))
6968oveq2d 7430 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝐹 · -(𝐺 / 𝑅)) = (𝐹 · (-𝐺 / 𝑅)))
7018, 20, 66, 67divassd 12047 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝐹 · -𝐺) / 𝑅) = (𝐹 · (-𝐺 / 𝑅)))
7121, 66, 67divrec2d 12016 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝐹 · -𝐺) / 𝑅) = ((1 / 𝑅) · (𝐹 · -𝐺)))
7269, 70, 713eqtr2d 2773 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝐹 · -(𝐺 / 𝑅)) = ((1 / 𝑅) · (𝐹 · -𝐺)))
7372itgeq2dv 25698 . . . . . . 7 (𝜑 → ∫𝐼(𝐹 · -(𝐺 / 𝑅)) d𝑥 = ∫𝐼((1 / 𝑅) · (𝐹 · -𝐺)) d𝑥)
7464, 65, 733eqtr4rd 2778 . . . . . 6 (𝜑 → ∫𝐼(𝐹 · -(𝐺 / 𝑅)) d𝑥 = (∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥 / 𝑅))
7562, 74oveq12d 7432 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐴 · -(𝐵 / 𝑅)) − (𝐶 · -(𝐷 / 𝑅))) − ∫𝐼(𝐹 · -(𝐺 / 𝑅)) d𝑥) = ((((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) / 𝑅) − (∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥 / 𝑅)))
7659, 60subcld 11593 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) ∈ ℂ)
7776, 23, 3, 46divsubdird 12051 . . . . 5 (𝜑 → ((((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) − ∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥) / 𝑅) = ((((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) / 𝑅) − (∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥 / 𝑅)))
7875, 77eqtr4d 2770 . . . 4 (𝜑 → (((𝐴 · -(𝐵 / 𝑅)) − (𝐶 · -(𝐷 / 𝑅))) − ∫𝐼(𝐹 · -(𝐺 / 𝑅)) d𝑥) = ((((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) − ∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥) / 𝑅))
7978fveq2d 6895 . . 3 (𝜑 → (abs‘(((𝐴 · -(𝐵 / 𝑅)) − (𝐶 · -(𝐷 / 𝑅))) − ∫𝐼(𝐹 · -(𝐺 / 𝑅)) d𝑥)) = (abs‘((((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) − ∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥) / 𝑅)))
8076, 23subcld 11593 . . . 4 (𝜑 → (((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) − ∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥) ∈ ℂ)
8180, 3, 46absdivd 15426 . . 3 (𝜑 → (abs‘((((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) − ∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥) / 𝑅)) = ((abs‘(((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) − ∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / (abs‘𝑅)))
824, 2, 45ltled 11384 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ 𝑅)
832, 82absidd 15393 . . . 4 (𝜑 → (abs‘𝑅) = 𝑅)
8483oveq2d 7430 . . 3 (𝜑 → ((abs‘(((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) − ∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / (abs‘𝑅)) = ((abs‘(((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) − ∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / 𝑅))
8579, 81, 843eqtrd 2771 . 2 (𝜑 → (abs‘(((𝐴 · -(𝐵 / 𝑅)) − (𝐶 · -(𝐷 / 𝑅))) − ∫𝐼(𝐹 · -(𝐺 / 𝑅)) d𝑥)) = ((abs‘(((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) − ∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / 𝑅))
8680abscld 15407 . . . 4 (𝜑 → (abs‘(((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) − ∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) ∈ ℝ)
8786, 2, 46redivcld 12064 . . 3 (𝜑 → ((abs‘(((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) − ∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / 𝑅) ∈ ℝ)
8810, 14readdcld 11265 . . . . 5 (𝜑 → ((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)) ∈ ℝ)
8988, 24readdcld 11265 . . . 4 (𝜑 → (((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) ∈ ℝ)
9089, 2, 46redivcld 12064 . . 3 (𝜑 → ((((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / 𝑅) ∈ ℝ)
912, 45elrpd 13037 . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
9276abscld 15407 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷))) ∈ ℝ)
9392, 24readdcld 11265 . . . . 5 (𝜑 → ((abs‘((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷))) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) ∈ ℝ)
9476, 23abs2dif2d 15429 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘(((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) − ∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) ≤ ((abs‘((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷))) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)))
9559abscld 15407 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘(𝐴 · -𝐵)) ∈ ℝ)
9660abscld 15407 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘(𝐶 · -𝐷)) ∈ ℝ)
9795, 96readdcld 11265 . . . . . . 7 (𝜑 → ((abs‘(𝐴 · -𝐵)) + (abs‘(𝐶 · -𝐷))) ∈ ℝ)
9859, 60abs2dif2d 15429 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷))) ≤ ((abs‘(𝐴 · -𝐵)) + (abs‘(𝐶 · -𝐷))))
999, 49absmuld 15425 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (abs‘(𝐴 · -𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (abs‘-𝐵)))
10049abscld 15407 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (abs‘-𝐵) ∈ ℝ)
1011absnegd 15420 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (abs‘-𝐵) = (abs‘𝐵))
102 fourierdlem30.12 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (abs‘𝐵) ≤ 1)
103101, 102eqbrtrd 5164 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (abs‘-𝐵) ≤ 1)
104100, 5, 10, 32, 103lemul2ad 12176 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((abs‘𝐴) · (abs‘-𝐵)) ≤ ((abs‘𝐴) · 1))
10510recnd 11264 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
106105mulridd 11253 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((abs‘𝐴) · 1) = (abs‘𝐴))
107104, 106breqtrd 5168 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((abs‘𝐴) · (abs‘-𝐵)) ≤ (abs‘𝐴))
10899, 107eqbrtrd 5164 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘(𝐴 · -𝐵)) ≤ (abs‘𝐴))
10913, 55absmuld 15425 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (abs‘(𝐶 · -𝐷)) = ((abs‘𝐶) · (abs‘-𝐷)))
11055abscld 15407 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (abs‘-𝐷) ∈ ℝ)
11152absnegd 15420 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (abs‘-𝐷) = (abs‘𝐷))
112 fourierdlem30.14 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (abs‘𝐷) ≤ 1)
113111, 112eqbrtrd 5164 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (abs‘-𝐷) ≤ 1)
114110, 5, 14, 34, 113lemul2ad 12176 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((abs‘𝐶) · (abs‘-𝐷)) ≤ ((abs‘𝐶) · 1))
11514recnd 11264 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ ℂ)
116115mulridd 11253 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((abs‘𝐶) · 1) = (abs‘𝐶))
117114, 116breqtrd 5168 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((abs‘𝐶) · (abs‘-𝐷)) ≤ (abs‘𝐶))
118109, 117eqbrtrd 5164 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘(𝐶 · -𝐷)) ≤ (abs‘𝐶))
11995, 96, 10, 14, 108, 118le2addd 11855 . . . . . . 7 (𝜑 → ((abs‘(𝐴 · -𝐵)) + (abs‘(𝐶 · -𝐷))) ≤ ((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)))
12092, 97, 88, 98, 119letrd 11393 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷))) ≤ ((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)))
12192, 88, 24, 120leadd1dd 11850 . . . . 5 (𝜑 → ((abs‘((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷))) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) ≤ (((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)))
12286, 93, 89, 94, 121letrd 11393 . . . 4 (𝜑 → (abs‘(((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) − ∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) ≤ (((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)))
12386, 89, 91, 122lediv1dd 13098 . . 3 (𝜑 → ((abs‘(((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) − ∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / 𝑅) ≤ ((((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / 𝑅))
12430ltp1d 12166 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) < ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1))
1254, 30, 31, 40, 124lelttrd 11394 . . . . . 6 (𝜑 → 0 < ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1))
126125gt0ne0d 11800 . . . . 5 (𝜑 → ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1) ≠ 0)
12789, 31, 126redivcld 12064 . . . 4 (𝜑 → ((((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) ∈ ℝ)
12830, 40ge0p1rpd 13070 . . . . 5 (𝜑 → ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1) ∈ ℝ+)
1298eqcomi 2736 . . . . . . . 8 (abs‘𝐴) = 𝑋
13012eqcomi 2736 . . . . . . . 8 (abs‘𝐶) = 𝑌
131129, 130oveq12i 7426 . . . . . . 7 ((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)) = (𝑋 + 𝑌)
13217eqcomi 2736 . . . . . . 7 (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥) = 𝑍
133131, 132oveq12i 7426 . . . . . 6 (((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) = ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍)
13439, 133breqtrrdi 5184 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ (((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)))
135128, 91, 89, 134, 43lediv2ad 13062 . . . 4 (𝜑 → ((((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / 𝑅) ≤ ((((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)))
136133oveq1i 7424 . . . . 5 ((((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) = (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1))
137 oveq1 7421 . . . . . . . . 9 (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0 → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) = (0 / ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)))
138137adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) = (0 / ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)))
13930recnd 11264 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) ∈ ℂ)
1405recnd 11264 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
141139, 140addcld 11255 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1) ∈ ℂ)
142141adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1) ∈ ℂ)
143 oveq1 7421 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0 → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) = (0 / 𝐸))
144143adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) = (0 / 𝐸))
14527rpcnd 13042 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐸 ∈ ℂ)
146145adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → 𝐸 ∈ ℂ)
14729adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → 𝐸 ≠ 0)
148146, 147div0d 12011 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → (0 / 𝐸) = 0)
149144, 148eqtrd 2767 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) = 0)
150149oveq1d 7429 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1) = (0 + 1))
151 0p1e1 12356 . . . . . . . . . . 11 (0 + 1) = 1
152150, 151eqtrdi 2783 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1) = 1)
153 ax-1ne0 11199 . . . . . . . . . . 11 1 ≠ 0
154153a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → 1 ≠ 0)
155152, 154eqnetrd 3003 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1) ≠ 0)
156142, 155div0d 12011 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → (0 / ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) = 0)
157138, 156eqtrd 2767 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) = 0)
15827rpgt0d 13043 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 < 𝐸)
159158adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → 0 < 𝐸)
160157, 159eqbrtrd 5164 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) < 𝐸)
16126adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) ∈ ℝ)
16227adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → 𝐸 ∈ ℝ+)
16339adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → 0 ≤ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍))
164 neqne 2943 . . . . . . . . . . . 12 (¬ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0 → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) ≠ 0)
165164adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) ≠ 0)
166161, 163, 165ne0gt0d 11373 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → 0 < ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍))
167161, 166elrpd 13037 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) ∈ ℝ+)
168167, 162rpdivcld 13057 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) ∈ ℝ+)
169 1rp 13002 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ+
170169a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → 1 ∈ ℝ+)
171168, 170rpaddcld 13055 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1) ∈ ℝ+)
172124adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) < ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1))
173161, 162, 171, 172ltdiv23d 13107 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) < 𝐸)
174160, 173pm2.61dan 812 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) < 𝐸)
175136, 174eqbrtrid 5177 . . . 4 (𝜑 → ((((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) < 𝐸)
17690, 127, 28, 135, 175lelttrd 11394 . . 3 (𝜑 → ((((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / 𝑅) < 𝐸)
17787, 90, 28, 123, 176lelttrd 11394 . 2 (𝜑 → ((abs‘(((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) − ∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / 𝑅) < 𝐸)
17885, 177eqbrtrd 5164 1 (𝜑 → (abs‘(((𝐴 · -(𝐵 / 𝑅)) − (𝐶 · -(𝐷 / 𝑅))) − ∫𝐼(𝐹 · -(𝐺 / 𝑅)) d𝑥)) < 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2935   class class class wbr 5142  cmpt 5225  cfv 6542  (class class class)co 7414  cc 11128  cr 11129  0cc0 11130  1c1 11131   + caddc 11133   · cmul 11135   < clt 11270  cle 11271  cmin 11466  -cneg 11467   / cdiv 11893  +crp 12998  abscabs 15205  𝐿1cibl 25533  citg 25534
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9656  ax-cc 10450  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208  ax-addf 11209
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-disj 5108  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-ofr 7680  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-oadd 8484  df-omul 8485  df-er 8718  df-map 8838  df-pm 8839  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9378  df-fi 9426  df-sup 9457  df-inf 9458  df-oi 9525  df-dju 9916  df-card 9954  df-acn 9957  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-7 12302  df-8 12303  df-9 12304  df-n0 12495  df-z 12581  df-dec 12700  df-uz 12845  df-q 12955  df-rp 12999  df-xneg 13116  df-xadd 13117  df-xmul 13118  df-ioo 13352  df-ioc 13353  df-ico 13354  df-icc 13355  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-fl 13781  df-mod 13859  df-seq 13991  df-exp 14051  df-hash 14314  df-cj 15070  df-re 15071  df-im 15072  df-sqrt 15206  df-abs 15207  df-clim 15456  df-rlim 15457  df-sum 15657  df-struct 17107  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-ress 17201  df-plusg 17237  df-mulr 17238  df-starv 17239  df-sca 17240  df-vsca 17241  df-ip 17242  df-tset 17243  df-ple 17244  df-ds 17246  df-unif 17247  df-hom 17248  df-cco 17249  df-rest 17395  df-topn 17396  df-0g 17414  df-gsum 17415  df-topgen 17416  df-pt 17417  df-prds 17420  df-xrs 17475  df-qtop 17480  df-imas 17481  df-xps 17483  df-mre 17557  df-mrc 17558  df-acs 17560  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-submnd 18732  df-mulg 19015  df-cntz 19259  df-cmn 19728  df-psmet 21258  df-xmet 21259  df-met 21260  df-bl 21261  df-mopn 21262  df-cnfld 21267  df-top 22783  df-topon 22800  df-topsp 22822  df-bases 22836  df-cn 23118  df-cnp 23119  df-cmp 23278  df-tx 23453  df-hmeo 23646  df-xms 24213  df-ms 24214  df-tms 24215  df-cncf 24785  df-ovol 25380  df-vol 25381  df-mbf 25535  df-itg1 25536  df-itg2 25537  df-ibl 25538  df-itg 25539  df-0p 25586
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