Theorem fourierdlem30 47147

Description: Sum of three small pieces is less than ε. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem30.ibl	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝐹 · -𝐺)) ∈ 𝐿1)
fourierlemreimleblemlte22.f	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐹 ∈ ℂ)
fourierdlem30.g	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐺 ∈ ℂ)
fourierdlem30.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
fourierdlem30.x	⊢ 𝑋 = (abs‘𝐴)
fourierdlem30.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
fourierdlem30.y	⊢ 𝑌 = (abs‘𝐶)
fourierdlem30.z	⊢ 𝑍 = (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)
fourierdlem30.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
fourierdlem30.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ)
fourierdlem30.ler	⊢ (𝜑 → ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1) ≤ 𝑅)
fourierdlem30.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
fourierdlem30.12	⊢ (𝜑 → (abs‘𝐵) ≤ 1)
fourierdlem30.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
fourierdlem30.14	⊢ (𝜑 → (abs‘𝐷) ≤ 1)

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem30	⊢ (𝜑 → (abs‘(((𝐴 · -(𝐵 / 𝑅)) − (𝐶 · -(𝐷 / 𝑅))) − ∫𝐼(𝐹 · -(𝐺 / 𝑅)) d𝑥)) < 𝐸)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐼   𝑥,𝑅   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝐸(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝑋(𝑥)   𝑌(𝑥)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem fourierdlem30

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem30.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
2		fourierdlem30.r	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ)
3	2	recnd 11337	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℂ)
4		0red 11311	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
5		1red 11309	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
6		0lt1 11838	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 < 1
7	6	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 < 1)
8		fourierdlem30.x	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝑋 = (abs‘𝐴)
9		fourierdlem30.a	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
10	9	abscld 15606	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
11	8, 10	eqeltrid 2865	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
12		fourierdlem30.y	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝑌 = (abs‘𝐶)
13		fourierdlem30.c	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
14	13	abscld 15606	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
15	12, 14	eqeltrid 2865	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
16	11, 15	readdcld 11338	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ ℝ)
17		fourierdlem30.z	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝑍 = (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)
18		fourierlemreimleblemlte22.f	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐹 ∈ ℂ)
19		fourierdlem30.g	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐺 ∈ ℂ)
20	19	negcld 11656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → -𝐺 ∈ ℂ)
21	18, 20	mulcld 11329	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐹 · -𝐺) ∈ ℂ)
22		fourierdlem30.ibl	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝐹 · -𝐺)) ∈ 𝐿1)
23	21, 22	itgcl 26104	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥 ∈ ℂ)
24	23	abscld 15606	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥) ∈ ℝ)
25	17, 24	eqeltrid 2865	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ ℝ)
26	16, 25	readdcld 11338	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) ∈ ℝ)
27		fourierdlem30.e	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
28	27	rpred 13164	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
29	27	rpne0d 13169	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ≠ 0)
30	26, 28, 29	redivcld 12145	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) ∈ ℝ)
31	30, 5	readdcld 11338	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1) ∈ ℝ)
32	9	absge0d 15614	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝐴))
33	32, 8	breqtrrdi 5147	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑋)
34	13	absge0d 15614	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝐶))
35	34, 12	breqtrrdi 5147	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑌)
36	11, 15, 33, 35	addge0d 11892	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑋 + 𝑌))
37	23	absge0d 15614	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥))
38	37, 17	breqtrrdi 5147	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑍)
39	16, 25, 36, 38	addge0d 11892	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍))
40	26, 27, 39	divge0d 13204	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸))
41	5, 30	addge02d 11905	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) ↔ 1 ≤ ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)))
42	40, 41	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1))
43		fourierdlem30.ler	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1) ≤ 𝑅)
44	5, 31, 2, 42, 43	letrd 11467	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝑅)
45	4, 5, 2, 7, 44	ltletrd 11470	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑅)
46	45	gt0ne0d 11880	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ≠ 0)
47	1, 3, 46	divnegd 12106	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → -(𝐵 / 𝑅) = ( -𝐵 / 𝑅))
48	47	oveq2d 7436	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · -(𝐵 / 𝑅)) = (𝐴 · ( -𝐵 / 𝑅)))
49	1	negcld 11656	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → -𝐵 ∈ ℂ)
50	9, 49, 3, 46	divassd 12128	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · -𝐵) / 𝑅) = (𝐴 · ( -𝐵 / 𝑅)))
51	48, 50	eqtr4d 2799	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · -(𝐵 / 𝑅)) = ((𝐴 · -𝐵) / 𝑅))
52		fourierdlem30.d	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
53	52, 3, 46	divnegd 12106	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → -(𝐷 / 𝑅) = ( -𝐷 / 𝑅))
54	53	oveq2d 7436	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · -(𝐷 / 𝑅)) = (𝐶 · ( -𝐷 / 𝑅)))
55	52	negcld 11656	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → -𝐷 ∈ ℂ)
56	13, 55, 3, 46	divassd 12128	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · -𝐷) / 𝑅) = (𝐶 · ( -𝐷 / 𝑅)))
57	54, 56	eqtr4d 2799	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · -(𝐷 / 𝑅)) = ((𝐶 · -𝐷) / 𝑅))
58	51, 57	oveq12d 7438	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · -(𝐵 / 𝑅)) − (𝐶 · -(𝐷 / 𝑅))) = (((𝐴 · -𝐵) / 𝑅) − ((𝐶 · -𝐷) / 𝑅)))
59	9, 49	mulcld 11329	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · -𝐵) ∈ ℂ)
60	13, 55	mulcld 11329	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · -𝐷) ∈ ℂ)
61	59, 60, 3, 46	divsubdird 12132	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) / 𝑅) = (((𝐴 · -𝐵) / 𝑅) − ((𝐶 · -𝐷) / 𝑅)))
62	58, 61	eqtr4d 2799	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · -(𝐵 / 𝑅)) − (𝐶 · -(𝐷 / 𝑅))) = (((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) / 𝑅))
63	3, 46	reccld 12086	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝑅) ∈ ℂ)
64	63, 21, 22	itgmulc2 26154	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1 / 𝑅) · ∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥) = ∫𝐼((1 / 𝑅) · (𝐹 · -𝐺)) d𝑥)
65	23, 3, 46	divrec2d 12097	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥 / 𝑅) = ((1 / 𝑅) · ∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥))
66	3	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ ℂ)
67	46	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑅 ≠ 0)
68	19, 66, 67	divnegd 12106	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → -(𝐺 / 𝑅) = ( -𝐺 / 𝑅))
69	68	oveq2d 7436	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐹 · -(𝐺 / 𝑅)) = (𝐹 · ( -𝐺 / 𝑅)))
70	18, 20, 66, 67	divassd 12128	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝐹 · -𝐺) / 𝑅) = (𝐹 · ( -𝐺 / 𝑅)))
71	21, 66, 67	divrec2d 12097	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝐹 · -𝐺) / 𝑅) = ((1 / 𝑅) · (𝐹 · -𝐺)))
72	69, 70, 71	3eqtr2d 2802	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐹 · -(𝐺 / 𝑅)) = ((1 / 𝑅) · (𝐹 · -𝐺)))
73	72	itgeq2dv 26102	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∫𝐼(𝐹 · -(𝐺 / 𝑅)) d𝑥 = ∫𝐼((1 / 𝑅) · (𝐹 · -𝐺)) d𝑥)
74	64, 65, 73	3eqtr4rd 2807	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∫𝐼(𝐹 · -(𝐺 / 𝑅)) d𝑥 = (∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥 / 𝑅))
75	62, 74	oveq12d 7438	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · -(𝐵 / 𝑅)) − (𝐶 · -(𝐷 / 𝑅))) − ∫𝐼(𝐹 · -(𝐺 / 𝑅)) d𝑥) = ((((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) / 𝑅) − (∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥 / 𝑅)))
76	59, 60	subcld 11669	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) ∈ ℂ)
77	76, 23, 3, 46	divsubdird 12132	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) − ∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥) / 𝑅) = ((((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) / 𝑅) − (∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥 / 𝑅)))
78	75, 77	eqtr4d 2799	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · -(𝐵 / 𝑅)) − (𝐶 · -(𝐷 / 𝑅))) − ∫𝐼(𝐹 · -(𝐺 / 𝑅)) d𝑥) = ((((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) − ∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥) / 𝑅))
79	78	fveq2d 6889	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘(((𝐴 · -(𝐵 / 𝑅)) − (𝐶 · -(𝐷 / 𝑅))) − ∫𝐼(𝐹 · -(𝐺 / 𝑅)) d𝑥)) = (abs‘((((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) − ∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥) / 𝑅)))
80	76, 23	subcld 11669	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) − ∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥) ∈ ℂ)
81	80, 3, 46	absdivd 15625	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘((((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) − ∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥) / 𝑅)) = ((abs‘(((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) − ∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / (abs‘𝑅)))
82	4, 2, 45	ltled 11458	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑅)
83	2, 82	absidd 15590	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑅) = 𝑅)
84	83	oveq2d 7436	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) − ∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / (abs‘𝑅)) = ((abs‘(((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) − ∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / 𝑅))
85	79, 81, 84	3eqtrd 2800	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘(((𝐴 · -(𝐵 / 𝑅)) − (𝐶 · -(𝐷 / 𝑅))) − ∫𝐼(𝐹 · -(𝐺 / 𝑅)) d𝑥)) = ((abs‘(((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) − ∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / 𝑅))
86	80	abscld 15606	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘(((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) − ∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) ∈ ℝ)
87	86, 2, 46	redivcld 12145	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) − ∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / 𝑅) ∈ ℝ)
88	10, 14	readdcld 11338	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)) ∈ ℝ)
89	88, 24	readdcld 11338	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) ∈ ℝ)
90	89, 2, 46	redivcld 12145	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / 𝑅) ∈ ℝ)
91	2, 45	elrpd 13161	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
92	76	abscld 15606	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷))) ∈ ℝ)
93	92, 24	readdcld 11338	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷))) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) ∈ ℝ)
94	76, 23	abs2dif2d 15628	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘(((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) − ∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) ≤ ((abs‘((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷))) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)))
95	59	abscld 15606	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 · -𝐵)) ∈ ℝ)
96	60	abscld 15606	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐶 · -𝐷)) ∈ ℝ)
97	95, 96	readdcld 11338	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐴 · -𝐵)) + (abs‘(𝐶 · -𝐷))) ∈ ℝ)
98	59, 60	abs2dif2d 15628	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷))) ≤ ((abs‘(𝐴 · -𝐵)) + (abs‘(𝐶 · -𝐷))))
99	9, 49	absmuld 15624	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 · -𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (abs‘ -𝐵)))
100	49	abscld 15606	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (abs‘ -𝐵) ∈ ℝ)
101	1	absnegd 15619	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (abs‘ -𝐵) = (abs‘𝐵))
102		fourierdlem30.12	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐵) ≤ 1)
103	101, 102	eqbrtrd 5127	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (abs‘ -𝐵) ≤ 1)
104	100, 5, 10, 32, 103	lemul2ad 12257	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐴) · (abs‘ -𝐵)) ≤ ((abs‘𝐴) · 1))
105	10	recnd 11337	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
106	105	mulridd 11326	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐴) · 1) = (abs‘𝐴))
107	104, 106	breqtrd 5131	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐴) · (abs‘ -𝐵)) ≤ (abs‘𝐴))
108	99, 107	eqbrtrd 5127	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 · -𝐵)) ≤ (abs‘𝐴))
109	13, 55	absmuld 15624	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐶 · -𝐷)) = ((abs‘𝐶) · (abs‘ -𝐷)))
110	55	abscld 15606	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (abs‘ -𝐷) ∈ ℝ)
111	52	absnegd 15619	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (abs‘ -𝐷) = (abs‘𝐷))
112		fourierdlem30.14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐷) ≤ 1)
113	111, 112	eqbrtrd 5127	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (abs‘ -𝐷) ≤ 1)
114	110, 5, 14, 34, 113	lemul2ad 12257	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐶) · (abs‘ -𝐷)) ≤ ((abs‘𝐶) · 1))
115	14	recnd 11337	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ ℂ)
116	115	mulridd 11326	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐶) · 1) = (abs‘𝐶))
117	114, 116	breqtrd 5131	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐶) · (abs‘ -𝐷)) ≤ (abs‘𝐶))
118	109, 117	eqbrtrd 5127	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐶 · -𝐷)) ≤ (abs‘𝐶))
119	95, 96, 10, 14, 108, 118	le2addd 11935	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐴 · -𝐵)) + (abs‘(𝐶 · -𝐷))) ≤ ((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)))
120	92, 97, 88, 98, 119	letrd 11467	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷))) ≤ ((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)))
121	92, 88, 24, 120	leadd1dd 11930	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷))) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) ≤ (((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)))
122	86, 93, 89, 94, 121	letrd 11467	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘(((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) − ∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) ≤ (((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)))
123	86, 89, 91, 122	lediv1dd 13222	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) − ∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / 𝑅) ≤ ((((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / 𝑅))
124	30	ltp1d 12247	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) < ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1))
125	4, 30, 31, 40, 124	lelttrd 11468	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 < ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1))
126	125	gt0ne0d 11880	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1) ≠ 0)
127	89, 31, 126	redivcld 12145	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) ∈ ℝ)
128	30, 40	ge0p1rpd 13194	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1) ∈ ℝ+)
129	8	eqcomi 2770	. . . . . . . 8 ⊢ (abs‘𝐴) = 𝑋
130	12	eqcomi 2770	. . . . . . . 8 ⊢ (abs‘𝐶) = 𝑌
131	129, 130	oveq12i 7432	. . . . . . 7 ⊢ ((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)) = (𝑋 + 𝑌)
132	17	eqcomi 2770	. . . . . . 7 ⊢ (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥) = 𝑍
133	131, 132	oveq12i 7432	. . . . . 6 ⊢ (((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) = ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍)
134	39, 133	breqtrrdi 5147	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)))
135	128, 91, 89, 134, 43	lediv2ad 13186	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / 𝑅) ≤ ((((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)))
136	133	oveq1i 7430	. . . . 5 ⊢ ((((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) = (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1))
137		oveq1 7427	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0 → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) = (0 / ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)))
138	137	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) = (0 / ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)))
139	30	recnd 11337	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) ∈ ℂ)
140	5	recnd 11337	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
141	139, 140	addcld 11328	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1) ∈ ℂ)
142	141	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1) ∈ ℂ)
143		oveq1 7427	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0 → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) = (0 / 𝐸))
144	143	adantl 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) = (0 / 𝐸))
145	27	rpcnd 13166	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
146	145	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → 𝐸 ∈ ℂ)
147	29	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → 𝐸 ≠ 0)
148	146, 147	div0d 12092	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → (0 / 𝐸) = 0)
149	144, 148	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) = 0)
150	149	oveq1d 7435	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1) = (0 + 1))
151		0p1e1 12463	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 + 1) = 1
152	150, 151	eqtrdi 2812	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1) = 1)
153		ax-1ne0 11269	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ≠ 0
154	153	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → 1 ≠ 0)
155	152, 154	eqnetrd 3023	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1) ≠ 0)
156	142, 155	div0d 12092	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → (0 / ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) = 0)
157	138, 156	eqtrd 2796	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) = 0)
158	27	rpgt0d 13167	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐸)
159	158	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → 0 < 𝐸)
160	157, 159	eqbrtrd 5127	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) < 𝐸)
161	26	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) ∈ ℝ)
162	27	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → 𝐸 ∈ ℝ+)
163	39	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → 0 ≤ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍))
164		neqne 2964	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0 → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) ≠ 0)
165	164	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) ≠ 0)
166	161, 163, 165	ne0gt0d 11447	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → 0 < ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍))
167	161, 166	elrpd 13161	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) ∈ ℝ+)
168	167, 162	rpdivcld 13181	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) ∈ ℝ+)
169		1rp 13124	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ+
170	169	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → 1 ∈ ℝ+)
171	168, 170	rpaddcld 13179	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1) ∈ ℝ+)
172	124	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) < ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1))
173	161, 162, 171, 172	ltdiv23d 13231	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) < 𝐸)
174	160, 173	pm2.61dan 825	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) < 𝐸)
175	136, 174	eqbrtrid 5140	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) < 𝐸)
176	90, 127, 28, 135, 175	lelttrd 11468	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / 𝑅) < 𝐸)
177	87, 90, 28, 123, 176	lelttrd 11468	. 2 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) − ∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / 𝑅) < 𝐸)
178	85, 177	eqbrtrd 5127	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘(((𝐴 · -(𝐵 / 𝑅)) − (𝐶 · -(𝐷 / 𝑅))) − ∫𝐼(𝐹 · -(𝐺 / 𝑅)) d𝑥)) < 𝐸)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℂcc 11198  ℝcr 11199  0cc0 11200  1c1 11201   + caddc 11203   · cmul 11205   < clt 11343   ≤ cle 11344   − cmin 11541   -cneg 11542   / cdiv 11973  ℝ⁺crp 13120  abscabs 15401  𝐿¹cibl 25938  ∫citg 25939

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-inf2 9642  ax-cc 10513  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278  ax-addf 11279

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-disj 5071  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-ofr 7694  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-oadd 8480  df-omul 8481  df-er 8717  df-map 8849  df-pm 8850  df-ixp 8926  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-fsupp 9354  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9504  df-dju 9982  df-card 10020  df-acn 10023  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-q 13076  df-rp 13121  df-xneg 13241  df-xadd 13242  df-xmul 13243  df-ioo 13480  df-ioc 13481  df-ico 13482  df-icc 13483  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-fl 13932  df-mod 14010  df-seq 14145  df-exp 14205  df-hash 14475  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-clim 15655  df-rlim 15656  df-sum 15854  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-starv 17443  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-ip 17446  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-unif 17451  df-hom 17452  df-cco 17453  df-rest 17593  df-topn 17594  df-0g 17612  df-gsum 17613  df-topgen 17614  df-pt 17615  df-prds 17618  df-xrs 17674  df-qtop 17679  df-imas 17680  df-xps 17682  df-mre 17756  df-mrc 17757  df-acs 17759  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-submnd 18979  df-mulg 19278  df-cntz 19531  df-cmn 19996  df-psmet 21670  df-xmet 21671  df-met 21672  df-bl 21673  df-mopn 21674  df-cnfld 21679  df-top 23212  df-topon 23229  df-topsp 23251  df-bases 23264  df-cn 23545  df-cnp 23546  df-cmp 23705  df-tx 23881  df-hmeo 24074  df-xms 24639  df-ms 24640  df-tms 24641  df-cncf 25199  df-ovol 25785  df-vol 25786  df-mbf 25940  df-itg1 25941  df-itg2 25942  df-ibl 25943  df-itg 25944  df-0p 25991

This theorem is used by:  fourierdlem47  47163