Theorem fourierdlem30 46965

Description: Sum of three small pieces is less than ε. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem30.ibl	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝐹 · -𝐺)) ∈ 𝐿1)
fourierlemreimleblemlte22.f	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐹 ∈ ℂ)
fourierdlem30.g	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐺 ∈ ℂ)
fourierdlem30.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
fourierdlem30.x	⊢ 𝑋 = (abs‘𝐴)
fourierdlem30.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
fourierdlem30.y	⊢ 𝑌 = (abs‘𝐶)
fourierdlem30.z	⊢ 𝑍 = (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)
fourierdlem30.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
fourierdlem30.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ)
fourierdlem30.ler	⊢ (𝜑 → ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1) ≤ 𝑅)
fourierdlem30.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
fourierdlem30.12	⊢ (𝜑 → (abs‘𝐵) ≤ 1)
fourierdlem30.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
fourierdlem30.14	⊢ (𝜑 → (abs‘𝐷) ≤ 1)

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem30	⊢ (𝜑 → (abs‘(((𝐴 · -(𝐵 / 𝑅)) − (𝐶 · -(𝐷 / 𝑅))) − ∫𝐼(𝐹 · -(𝐺 / 𝑅)) d𝑥)) < 𝐸)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐼   𝑥,𝑅   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝐸(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝑋(𝑥)   𝑌(𝑥)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem fourierdlem30

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem30.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
2		fourierdlem30.r	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ)
3	2	recnd 11261	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℂ)
4		0red 11235	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
5		1red 11233	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
6		0lt1 11760	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 < 1
7	6	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 < 1)
8		fourierdlem30.x	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝑋 = (abs‘𝐴)
9		fourierdlem30.a	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
10	9	abscld 15526	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
11	8, 10	eqeltrid 2864	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
12		fourierdlem30.y	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝑌 = (abs‘𝐶)
13		fourierdlem30.c	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
14	13	abscld 15526	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
15	12, 14	eqeltrid 2864	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
16	11, 15	readdcld 11262	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ ℝ)
17		fourierdlem30.z	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝑍 = (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)
18		fourierlemreimleblemlte22.f	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐹 ∈ ℂ)
19		fourierdlem30.g	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐺 ∈ ℂ)
20	19	negcld 11580	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → -𝐺 ∈ ℂ)
21	18, 20	mulcld 11253	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐹 · -𝐺) ∈ ℂ)
22		fourierdlem30.ibl	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝐹 · -𝐺)) ∈ 𝐿1)
23	21, 22	itgcl 26011	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥 ∈ ℂ)
24	23	abscld 15526	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥) ∈ ℝ)
25	17, 24	eqeltrid 2864	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ ℝ)
26	16, 25	readdcld 11262	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) ∈ ℝ)
27		fourierdlem30.e	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
28	27	rpred 13086	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
29	27	rpne0d 13091	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ≠ 0)
30	26, 28, 29	redivcld 12067	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) ∈ ℝ)
31	30, 5	readdcld 11262	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1) ∈ ℝ)
32	9	absge0d 15534	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝐴))
33	32, 8	breqtrrdi 5147	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑋)
34	13	absge0d 15534	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝐶))
35	34, 12	breqtrrdi 5147	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑌)
36	11, 15, 33, 35	addge0d 11814	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑋 + 𝑌))
37	23	absge0d 15534	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥))
38	37, 17	breqtrrdi 5147	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑍)
39	16, 25, 36, 38	addge0d 11814	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍))
40	26, 27, 39	divge0d 13126	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸))
41	5, 30	addge02d 11827	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) ↔ 1 ≤ ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)))
42	40, 41	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1))
43		fourierdlem30.ler	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1) ≤ 𝑅)
44	5, 31, 2, 42, 43	letrd 11391	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝑅)
45	4, 5, 2, 7, 44	ltletrd 11394	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑅)
46	45	gt0ne0d 11802	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ≠ 0)
47	1, 3, 46	divnegd 12028	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → -(𝐵 / 𝑅) = (-𝐵 / 𝑅))
48	47	oveq2d 7429	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · -(𝐵 / 𝑅)) = (𝐴 · (-𝐵 / 𝑅)))
49	1	negcld 11580	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → -𝐵 ∈ ℂ)
50	9, 49, 3, 46	divassd 12050	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · -𝐵) / 𝑅) = (𝐴 · (-𝐵 / 𝑅)))
51	48, 50	eqtr4d 2798	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · -(𝐵 / 𝑅)) = ((𝐴 · -𝐵) / 𝑅))
52		fourierdlem30.d	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
53	52, 3, 46	divnegd 12028	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → -(𝐷 / 𝑅) = (-𝐷 / 𝑅))
54	53	oveq2d 7429	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · -(𝐷 / 𝑅)) = (𝐶 · (-𝐷 / 𝑅)))
55	52	negcld 11580	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → -𝐷 ∈ ℂ)
56	13, 55, 3, 46	divassd 12050	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · -𝐷) / 𝑅) = (𝐶 · (-𝐷 / 𝑅)))
57	54, 56	eqtr4d 2798	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · -(𝐷 / 𝑅)) = ((𝐶 · -𝐷) / 𝑅))
58	51, 57	oveq12d 7431	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · -(𝐵 / 𝑅)) − (𝐶 · -(𝐷 / 𝑅))) = (((𝐴 · -𝐵) / 𝑅) − ((𝐶 · -𝐷) / 𝑅)))
59	9, 49	mulcld 11253	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · -𝐵) ∈ ℂ)
60	13, 55	mulcld 11253	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · -𝐷) ∈ ℂ)
61	59, 60, 3, 46	divsubdird 12054	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) / 𝑅) = (((𝐴 · -𝐵) / 𝑅) − ((𝐶 · -𝐷) / 𝑅)))
62	58, 61	eqtr4d 2798	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · -(𝐵 / 𝑅)) − (𝐶 · -(𝐷 / 𝑅))) = (((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) / 𝑅))
63	3, 46	reccld 12008	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝑅) ∈ ℂ)
64	63, 21, 22	itgmulc2 26061	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1 / 𝑅) · ∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥) = ∫𝐼((1 / 𝑅) · (𝐹 · -𝐺)) d𝑥)
65	23, 3, 46	divrec2d 12019	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥 / 𝑅) = ((1 / 𝑅) · ∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥))
66	3	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ ℂ)
67	46	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑅 ≠ 0)
68	19, 66, 67	divnegd 12028	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → -(𝐺 / 𝑅) = (-𝐺 / 𝑅))
69	68	oveq2d 7429	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐹 · -(𝐺 / 𝑅)) = (𝐹 · (-𝐺 / 𝑅)))
70	18, 20, 66, 67	divassd 12050	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝐹 · -𝐺) / 𝑅) = (𝐹 · (-𝐺 / 𝑅)))
71	21, 66, 67	divrec2d 12019	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝐹 · -𝐺) / 𝑅) = ((1 / 𝑅) · (𝐹 · -𝐺)))
72	69, 70, 71	3eqtr2d 2801	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐹 · -(𝐺 / 𝑅)) = ((1 / 𝑅) · (𝐹 · -𝐺)))
73	72	itgeq2dv 26009	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∫𝐼(𝐹 · -(𝐺 / 𝑅)) d𝑥 = ∫𝐼((1 / 𝑅) · (𝐹 · -𝐺)) d𝑥)
74	64, 65, 73	3eqtr4rd 2806	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∫𝐼(𝐹 · -(𝐺 / 𝑅)) d𝑥 = (∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥 / 𝑅))
75	62, 74	oveq12d 7431	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · -(𝐵 / 𝑅)) − (𝐶 · -(𝐷 / 𝑅))) − ∫𝐼(𝐹 · -(𝐺 / 𝑅)) d𝑥) = ((((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) / 𝑅) − (∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥 / 𝑅)))
76	59, 60	subcld 11593	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) ∈ ℂ)
77	76, 23, 3, 46	divsubdird 12054	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) − ∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥) / 𝑅) = ((((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) / 𝑅) − (∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥 / 𝑅)))
78	75, 77	eqtr4d 2798	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · -(𝐵 / 𝑅)) − (𝐶 · -(𝐷 / 𝑅))) − ∫𝐼(𝐹 · -(𝐺 / 𝑅)) d𝑥) = ((((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) − ∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥) / 𝑅))
79	78	fveq2d 6882	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘(((𝐴 · -(𝐵 / 𝑅)) − (𝐶 · -(𝐷 / 𝑅))) − ∫𝐼(𝐹 · -(𝐺 / 𝑅)) d𝑥)) = (abs‘((((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) − ∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥) / 𝑅)))
80	76, 23	subcld 11593	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) − ∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥) ∈ ℂ)
81	80, 3, 46	absdivd 15545	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘((((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) − ∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥) / 𝑅)) = ((abs‘(((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) − ∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / (abs‘𝑅)))
82	4, 2, 45	ltled 11382	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑅)
83	2, 82	absidd 15510	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑅) = 𝑅)
84	83	oveq2d 7429	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) − ∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / (abs‘𝑅)) = ((abs‘(((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) − ∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / 𝑅))
85	79, 81, 84	3eqtrd 2799	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘(((𝐴 · -(𝐵 / 𝑅)) − (𝐶 · -(𝐷 / 𝑅))) − ∫𝐼(𝐹 · -(𝐺 / 𝑅)) d𝑥)) = ((abs‘(((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) − ∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / 𝑅))
86	80	abscld 15526	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘(((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) − ∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) ∈ ℝ)
87	86, 2, 46	redivcld 12067	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) − ∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / 𝑅) ∈ ℝ)
88	10, 14	readdcld 11262	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)) ∈ ℝ)
89	88, 24	readdcld 11262	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) ∈ ℝ)
90	89, 2, 46	redivcld 12067	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / 𝑅) ∈ ℝ)
91	2, 45	elrpd 13083	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
92	76	abscld 15526	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷))) ∈ ℝ)
93	92, 24	readdcld 11262	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷))) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) ∈ ℝ)
94	76, 23	abs2dif2d 15548	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘(((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) − ∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) ≤ ((abs‘((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷))) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)))
95	59	abscld 15526	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 · -𝐵)) ∈ ℝ)
96	60	abscld 15526	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐶 · -𝐷)) ∈ ℝ)
97	95, 96	readdcld 11262	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐴 · -𝐵)) + (abs‘(𝐶 · -𝐷))) ∈ ℝ)
98	59, 60	abs2dif2d 15548	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷))) ≤ ((abs‘(𝐴 · -𝐵)) + (abs‘(𝐶 · -𝐷))))
99	9, 49	absmuld 15544	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 · -𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (abs‘-𝐵)))
100	49	abscld 15526	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (abs‘-𝐵) ∈ ℝ)
101	1	absnegd 15539	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (abs‘-𝐵) = (abs‘𝐵))
102		fourierdlem30.12	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐵) ≤ 1)
103	101, 102	eqbrtrd 5127	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (abs‘-𝐵) ≤ 1)
104	100, 5, 10, 32, 103	lemul2ad 12179	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐴) · (abs‘-𝐵)) ≤ ((abs‘𝐴) · 1))
105	10	recnd 11261	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
106	105	mulridd 11250	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐴) · 1) = (abs‘𝐴))
107	104, 106	breqtrd 5131	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐴) · (abs‘-𝐵)) ≤ (abs‘𝐴))
108	99, 107	eqbrtrd 5127	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 · -𝐵)) ≤ (abs‘𝐴))
109	13, 55	absmuld 15544	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐶 · -𝐷)) = ((abs‘𝐶) · (abs‘-𝐷)))
110	55	abscld 15526	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (abs‘-𝐷) ∈ ℝ)
111	52	absnegd 15539	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (abs‘-𝐷) = (abs‘𝐷))
112		fourierdlem30.14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐷) ≤ 1)
113	111, 112	eqbrtrd 5127	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (abs‘-𝐷) ≤ 1)
114	110, 5, 14, 34, 113	lemul2ad 12179	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐶) · (abs‘-𝐷)) ≤ ((abs‘𝐶) · 1))
115	14	recnd 11261	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ ℂ)
116	115	mulridd 11250	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐶) · 1) = (abs‘𝐶))
117	114, 116	breqtrd 5131	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐶) · (abs‘-𝐷)) ≤ (abs‘𝐶))
118	109, 117	eqbrtrd 5127	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐶 · -𝐷)) ≤ (abs‘𝐶))
119	95, 96, 10, 14, 108, 118	le2addd 11857	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐴 · -𝐵)) + (abs‘(𝐶 · -𝐷))) ≤ ((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)))
120	92, 97, 88, 98, 119	letrd 11391	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷))) ≤ ((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)))
121	92, 88, 24, 120	leadd1dd 11852	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷))) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) ≤ (((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)))
122	86, 93, 89, 94, 121	letrd 11391	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘(((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) − ∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) ≤ (((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)))
123	86, 89, 91, 122	lediv1dd 13144	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) − ∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / 𝑅) ≤ ((((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / 𝑅))
124	30	ltp1d 12169	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) < ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1))
125	4, 30, 31, 40, 124	lelttrd 11392	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 < ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1))
126	125	gt0ne0d 11802	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1) ≠ 0)
127	89, 31, 126	redivcld 12067	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) ∈ ℝ)
128	30, 40	ge0p1rpd 13116	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1) ∈ ℝ+)
129	8	eqcomi 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (abs‘𝐴) = 𝑋
130	12	eqcomi 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (abs‘𝐶) = 𝑌
131	129, 130	oveq12i 7425	. . . . . . 7 ⊢ ((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)) = (𝑋 + 𝑌)
132	17	eqcomi 2769	. . . . . . 7 ⊢ (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥) = 𝑍
133	131, 132	oveq12i 7425	. . . . . 6 ⊢ (((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) = ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍)
134	39, 133	breqtrrdi 5147	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)))
135	128, 91, 89, 134, 43	lediv2ad 13108	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / 𝑅) ≤ ((((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)))
136	133	oveq1i 7423	. . . . 5 ⊢ ((((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) = (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1))
137		oveq1 7420	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0 → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) = (0 / ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)))
138	137	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) = (0 / ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)))
139	30	recnd 11261	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) ∈ ℂ)
140	5	recnd 11261	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
141	139, 140	addcld 11252	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1) ∈ ℂ)
142	141	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1) ∈ ℂ)
143		oveq1 7420	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0 → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) = (0 / 𝐸))
144	143	adantl 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) = (0 / 𝐸))
145	27	rpcnd 13088	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
146	145	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → 𝐸 ∈ ℂ)
147	29	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → 𝐸 ≠ 0)
148	146, 147	div0d 12014	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → (0 / 𝐸) = 0)
149	144, 148	eqtrd 2795	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) = 0)
150	149	oveq1d 7428	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1) = (0 + 1))
151		0p1e1 12385	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 + 1) = 1
152	150, 151	eqtrdi 2811	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1) = 1)
153		ax-1ne0 11193	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ≠ 0
154	153	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → 1 ≠ 0)
155	152, 154	eqnetrd 3022	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1) ≠ 0)
156	142, 155	div0d 12014	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → (0 / ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) = 0)
157	138, 156	eqtrd 2795	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) = 0)
158	27	rpgt0d 13089	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐸)
159	158	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → 0 < 𝐸)
160	157, 159	eqbrtrd 5127	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) < 𝐸)
161	26	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) ∈ ℝ)
162	27	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → 𝐸 ∈ ℝ+)
163	39	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → 0 ≤ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍))
164		neqne 2963	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0 → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) ≠ 0)
165	164	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) ≠ 0)
166	161, 163, 165	ne0gt0d 11371	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → 0 < ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍))
167	161, 166	elrpd 13083	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) ∈ ℝ+)
168	167, 162	rpdivcld 13103	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) ∈ ℝ+)
169		1rp 13046	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ+
170	169	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → 1 ∈ ℝ+)
171	168, 170	rpaddcld 13101	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1) ∈ ℝ+)
172	124	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) < ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1))
173	161, 162, 171, 172	ltdiv23d 13153	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) < 𝐸)
174	160, 173	pm2.61dan 825	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) < 𝐸)
175	136, 174	eqbrtrid 5140	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) < 𝐸)
176	90, 127, 28, 135, 175	lelttrd 11392	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / 𝑅) < 𝐸)
177	87, 90, 28, 123, 176	lelttrd 11392	. 2 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) − ∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / 𝑅) < 𝐸)
178	85, 177	eqbrtrd 5127	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘(((𝐴 · -(𝐵 / 𝑅)) − (𝐶 · -(𝐷 / 𝑅))) − ∫𝐼(𝐹 · -(𝐺 / 𝑅)) d𝑥)) < 𝐸)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  ℂcc 11122  ℝcr 11123  0cc0 11124  1c1 11125   + caddc 11127   · cmul 11129   < clt 11267   ≤ cle 11268   − cmin 11465  -cneg 11466   / cdiv 11895  ℝ⁺crp 13042  abscabs 15321  𝐿¹cibl 25845  ∫citg 25846

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-inf2 9620  ax-cc 10437  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202  ax-addf 11203

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-disj 5071  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7678  df-ofr 7679  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8159  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-oadd 8459  df-omul 8460  df-er 8696  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8905  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fsupp 9332  df-fi 9381  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-dju 9906  df-card 9944  df-acn 9947  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-div 11896  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12737  df-uz 12888  df-q 12998  df-rp 13043  df-xneg 13163  df-xadd 13164  df-xmul 13165  df-ioo 13402  df-ioc 13403  df-ico 13404  df-icc 13405  df-fz 13562  df-fzo 13710  df-fl 13853  df-mod 13931  df-seq 14066  df-exp 14126  df-hash 14395  df-cj 15186  df-re 15187  df-im 15188  df-sqrt 15322  df-abs 15323  df-clim 15575  df-rlim 15576  df-sum 15774  df-struct 17239  df-sets 17256  df-slot 17274  df-ndx 17286  df-base 17302  df-ress 17323  df-plusg 17355  df-mulr 17356  df-starv 17357  df-sca 17358  df-vsca 17359  df-ip 17360  df-tset 17361  df-ple 17362  df-ds 17364  df-unif 17365  df-hom 17366  df-cco 17367  df-rest 17507  df-topn 17508  df-0g 17526  df-gsum 17527  df-topgen 17528  df-pt 17529  df-prds 17532  df-xrs 17588  df-qtop 17593  df-imas 17594  df-xps 17596  df-mre 17670  df-mrc 17671  df-acs 17673  df-mgm 18730  df-sgrp 18821  df-mnd 18837  df-submnd 18892  df-mulg 19191  df-cntz 19444  df-cmn 19909  df-psmet 21577  df-xmet 21578  df-met 21579  df-bl 21580  df-mopn 21581  df-cnfld 21586  df-top 23119  df-topon 23136  df-topsp 23158  df-bases 23171  df-cn 23452  df-cnp 23453  df-cmp 23612  df-tx 23788  df-hmeo 23981  df-xms 24546  df-ms 24547  df-tms 24548  df-cncf 25106  df-ovol 25692  df-vol 25693  df-mbf 25847  df-itg1 25848  df-itg2 25849  df-ibl 25850  df-itg 25851  df-0p 25898

This theorem is used by:  fourierdlem47  46981