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Theorem fourierdlem30 40991
Description: Sum of three small pieces is less than ε. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem30.ibl (𝜑 → (𝑥𝐼 ↦ (𝐹 · -𝐺)) ∈ 𝐿1)
fourierlemreimleblemlte22.f ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐹 ∈ ℂ)
fourierdlem30.g ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐺 ∈ ℂ)
fourierdlem30.a (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
fourierdlem30.x 𝑋 = (abs‘𝐴)
fourierdlem30.c (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
fourierdlem30.y 𝑌 = (abs‘𝐶)
fourierdlem30.z 𝑍 = (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)
fourierdlem30.e (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
fourierdlem30.r (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
fourierdlem30.ler (𝜑 → ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1) ≤ 𝑅)
fourierdlem30.b (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
fourierdlem30.12 (𝜑 → (abs‘𝐵) ≤ 1)
fourierdlem30.d (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
fourierdlem30.14 (𝜑 → (abs‘𝐷) ≤ 1)
Assertion
Ref Expression
fourierdlem30 (𝜑 → (abs‘(((𝐴 · -(𝐵 / 𝑅)) − (𝐶 · -(𝐷 / 𝑅))) − ∫𝐼(𝐹 · -(𝐺 / 𝑅)) d𝑥)) < 𝐸)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐼   𝑥,𝑅   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝐸(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝑋(𝑥)   𝑌(𝑥)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem fourierdlem30
StepHypRef Expression
1 fourierdlem30.b . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
2 fourierdlem30.r . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
32recnd 10322 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑅 ∈ ℂ)
4 0red 10297 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
5 1red 10294 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
6 0lt1 10804 . . . . . . . . . . . . . 14 0 < 1
76a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 < 1)
8 fourierdlem30.x . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑋 = (abs‘𝐴)
9 fourierdlem30.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
109abscld 14460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
118, 10syl5eqel 2848 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
12 fourierdlem30.y . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑌 = (abs‘𝐶)
13 fourierdlem30.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
1413abscld 14460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
1512, 14syl5eqel 2848 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
1611, 15readdcld 10323 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ ℝ)
17 fourierdlem30.z . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑍 = (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)
18 fourierlemreimleblemlte22.f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐹 ∈ ℂ)
19 fourierdlem30.g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐺 ∈ ℂ)
2019negcld 10633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥𝐼) → -𝐺 ∈ ℂ)
2118, 20mulcld 10314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝐹 · -𝐺) ∈ ℂ)
22 fourierdlem30.ibl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝑥𝐼 ↦ (𝐹 · -𝐺)) ∈ 𝐿1)
2321, 22itgcl 23841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥 ∈ ℂ)
2423abscld 14460 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥) ∈ ℝ)
2517, 24syl5eqel 2848 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑍 ∈ ℝ)
2616, 25readdcld 10323 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) ∈ ℝ)
27 fourierdlem30.e . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
2827rpred 12070 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
2927rpne0d 12075 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐸 ≠ 0)
3026, 28, 29redivcld 11107 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) ∈ ℝ)
3130, 5readdcld 10323 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1) ∈ ℝ)
329absge0d 14468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝐴))
3332, 8syl6breqr 4851 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → 0 ≤ 𝑋)
3413absge0d 14468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝐶))
3534, 12syl6breqr 4851 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → 0 ≤ 𝑌)
3611, 15, 33, 35addge0d 10857 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 0 ≤ (𝑋 + 𝑌))
3723absge0d 14468 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → 0 ≤ (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥))
3837, 17syl6breqr 4851 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 0 ≤ 𝑍)
3916, 25, 36, 38addge0d 10857 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 0 ≤ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍))
4026, 27, 39divge0d 12110 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 0 ≤ (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸))
415, 30addge02d 10870 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (0 ≤ (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) ↔ 1 ≤ ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)))
4240, 41mpbid 223 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 1 ≤ ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1))
43 fourierdlem30.ler . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1) ≤ 𝑅)
445, 31, 2, 42, 43letrd 10448 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 1 ≤ 𝑅)
454, 5, 2, 7, 44ltletrd 10451 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 < 𝑅)
4645gt0ne0d 10846 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑅 ≠ 0)
471, 3, 46divnegd 11068 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → -(𝐵 / 𝑅) = (-𝐵 / 𝑅))
4847oveq2d 6858 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 · -(𝐵 / 𝑅)) = (𝐴 · (-𝐵 / 𝑅)))
491negcld 10633 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → -𝐵 ∈ ℂ)
509, 49, 3, 46divassd 11090 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐴 · -𝐵) / 𝑅) = (𝐴 · (-𝐵 / 𝑅)))
5148, 50eqtr4d 2802 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 · -(𝐵 / 𝑅)) = ((𝐴 · -𝐵) / 𝑅))
52 fourierdlem30.d . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
5352, 3, 46divnegd 11068 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → -(𝐷 / 𝑅) = (-𝐷 / 𝑅))
5453oveq2d 6858 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐶 · -(𝐷 / 𝑅)) = (𝐶 · (-𝐷 / 𝑅)))
5552negcld 10633 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → -𝐷 ∈ ℂ)
5613, 55, 3, 46divassd 11090 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐶 · -𝐷) / 𝑅) = (𝐶 · (-𝐷 / 𝑅)))
5754, 56eqtr4d 2802 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐶 · -(𝐷 / 𝑅)) = ((𝐶 · -𝐷) / 𝑅))
5851, 57oveq12d 6860 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴 · -(𝐵 / 𝑅)) − (𝐶 · -(𝐷 / 𝑅))) = (((𝐴 · -𝐵) / 𝑅) − ((𝐶 · -𝐷) / 𝑅)))
599, 49mulcld 10314 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 · -𝐵) ∈ ℂ)
6013, 55mulcld 10314 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐶 · -𝐷) ∈ ℂ)
6159, 60, 3, 46divsubdird 11094 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) / 𝑅) = (((𝐴 · -𝐵) / 𝑅) − ((𝐶 · -𝐷) / 𝑅)))
6258, 61eqtr4d 2802 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴 · -(𝐵 / 𝑅)) − (𝐶 · -(𝐷 / 𝑅))) = (((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) / 𝑅))
633, 46reccld 11048 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 / 𝑅) ∈ ℂ)
6463, 21, 22itgmulc2 23891 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1 / 𝑅) · ∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥) = ∫𝐼((1 / 𝑅) · (𝐹 · -𝐺)) d𝑥)
6523, 3, 46divrec2d 11059 . . . . . . 7 (𝜑 → (∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥 / 𝑅) = ((1 / 𝑅) · ∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥))
663adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑅 ∈ ℂ)
6746adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑅 ≠ 0)
6819, 66, 67divnegd 11068 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐼) → -(𝐺 / 𝑅) = (-𝐺 / 𝑅))
6968oveq2d 6858 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝐹 · -(𝐺 / 𝑅)) = (𝐹 · (-𝐺 / 𝑅)))
7018, 20, 66, 67divassd 11090 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝐹 · -𝐺) / 𝑅) = (𝐹 · (-𝐺 / 𝑅)))
7121, 66, 67divrec2d 11059 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝐹 · -𝐺) / 𝑅) = ((1 / 𝑅) · (𝐹 · -𝐺)))
7269, 70, 713eqtr2d 2805 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝐹 · -(𝐺 / 𝑅)) = ((1 / 𝑅) · (𝐹 · -𝐺)))
7372itgeq2dv 23839 . . . . . . 7 (𝜑 → ∫𝐼(𝐹 · -(𝐺 / 𝑅)) d𝑥 = ∫𝐼((1 / 𝑅) · (𝐹 · -𝐺)) d𝑥)
7464, 65, 733eqtr4rd 2810 . . . . . 6 (𝜑 → ∫𝐼(𝐹 · -(𝐺 / 𝑅)) d𝑥 = (∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥 / 𝑅))
7562, 74oveq12d 6860 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐴 · -(𝐵 / 𝑅)) − (𝐶 · -(𝐷 / 𝑅))) − ∫𝐼(𝐹 · -(𝐺 / 𝑅)) d𝑥) = ((((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) / 𝑅) − (∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥 / 𝑅)))
7659, 60subcld 10646 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) ∈ ℂ)
7776, 23, 3, 46divsubdird 11094 . . . . 5 (𝜑 → ((((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) − ∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥) / 𝑅) = ((((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) / 𝑅) − (∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥 / 𝑅)))
7875, 77eqtr4d 2802 . . . 4 (𝜑 → (((𝐴 · -(𝐵 / 𝑅)) − (𝐶 · -(𝐷 / 𝑅))) − ∫𝐼(𝐹 · -(𝐺 / 𝑅)) d𝑥) = ((((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) − ∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥) / 𝑅))
7978fveq2d 6379 . . 3 (𝜑 → (abs‘(((𝐴 · -(𝐵 / 𝑅)) − (𝐶 · -(𝐷 / 𝑅))) − ∫𝐼(𝐹 · -(𝐺 / 𝑅)) d𝑥)) = (abs‘((((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) − ∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥) / 𝑅)))
8076, 23subcld 10646 . . . 4 (𝜑 → (((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) − ∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥) ∈ ℂ)
8180, 3, 46absdivd 14479 . . 3 (𝜑 → (abs‘((((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) − ∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥) / 𝑅)) = ((abs‘(((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) − ∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / (abs‘𝑅)))
824, 2, 45ltled 10439 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ 𝑅)
832, 82absidd 14446 . . . 4 (𝜑 → (abs‘𝑅) = 𝑅)
8483oveq2d 6858 . . 3 (𝜑 → ((abs‘(((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) − ∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / (abs‘𝑅)) = ((abs‘(((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) − ∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / 𝑅))
8579, 81, 843eqtrd 2803 . 2 (𝜑 → (abs‘(((𝐴 · -(𝐵 / 𝑅)) − (𝐶 · -(𝐷 / 𝑅))) − ∫𝐼(𝐹 · -(𝐺 / 𝑅)) d𝑥)) = ((abs‘(((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) − ∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / 𝑅))
8680abscld 14460 . . . 4 (𝜑 → (abs‘(((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) − ∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) ∈ ℝ)
8786, 2, 46redivcld 11107 . . 3 (𝜑 → ((abs‘(((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) − ∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / 𝑅) ∈ ℝ)
8810, 14readdcld 10323 . . . . 5 (𝜑 → ((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)) ∈ ℝ)
8988, 24readdcld 10323 . . . 4 (𝜑 → (((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) ∈ ℝ)
9089, 2, 46redivcld 11107 . . 3 (𝜑 → ((((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / 𝑅) ∈ ℝ)
912, 45elrpd 12067 . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
9276abscld 14460 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷))) ∈ ℝ)
9392, 24readdcld 10323 . . . . 5 (𝜑 → ((abs‘((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷))) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) ∈ ℝ)
9476, 23abs2dif2d 14482 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘(((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) − ∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) ≤ ((abs‘((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷))) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)))
9559abscld 14460 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘(𝐴 · -𝐵)) ∈ ℝ)
9660abscld 14460 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘(𝐶 · -𝐷)) ∈ ℝ)
9795, 96readdcld 10323 . . . . . . 7 (𝜑 → ((abs‘(𝐴 · -𝐵)) + (abs‘(𝐶 · -𝐷))) ∈ ℝ)
9859, 60abs2dif2d 14482 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷))) ≤ ((abs‘(𝐴 · -𝐵)) + (abs‘(𝐶 · -𝐷))))
999, 49absmuld 14478 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (abs‘(𝐴 · -𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (abs‘-𝐵)))
10049abscld 14460 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (abs‘-𝐵) ∈ ℝ)
1011absnegd 14473 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (abs‘-𝐵) = (abs‘𝐵))
102 fourierdlem30.12 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (abs‘𝐵) ≤ 1)
103101, 102eqbrtrd 4831 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (abs‘-𝐵) ≤ 1)
104100, 5, 10, 32, 103lemul2ad 11218 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((abs‘𝐴) · (abs‘-𝐵)) ≤ ((abs‘𝐴) · 1))
10510recnd 10322 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
106105mulid1d 10311 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((abs‘𝐴) · 1) = (abs‘𝐴))
107104, 106breqtrd 4835 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((abs‘𝐴) · (abs‘-𝐵)) ≤ (abs‘𝐴))
10899, 107eqbrtrd 4831 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘(𝐴 · -𝐵)) ≤ (abs‘𝐴))
10913, 55absmuld 14478 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (abs‘(𝐶 · -𝐷)) = ((abs‘𝐶) · (abs‘-𝐷)))
11055abscld 14460 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (abs‘-𝐷) ∈ ℝ)
11152absnegd 14473 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (abs‘-𝐷) = (abs‘𝐷))
112 fourierdlem30.14 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (abs‘𝐷) ≤ 1)
113111, 112eqbrtrd 4831 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (abs‘-𝐷) ≤ 1)
114110, 5, 14, 34, 113lemul2ad 11218 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((abs‘𝐶) · (abs‘-𝐷)) ≤ ((abs‘𝐶) · 1))
11514recnd 10322 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ ℂ)
116115mulid1d 10311 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((abs‘𝐶) · 1) = (abs‘𝐶))
117114, 116breqtrd 4835 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((abs‘𝐶) · (abs‘-𝐷)) ≤ (abs‘𝐶))
118109, 117eqbrtrd 4831 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘(𝐶 · -𝐷)) ≤ (abs‘𝐶))
11995, 96, 10, 14, 108, 118le2addd 10900 . . . . . . 7 (𝜑 → ((abs‘(𝐴 · -𝐵)) + (abs‘(𝐶 · -𝐷))) ≤ ((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)))
12092, 97, 88, 98, 119letrd 10448 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷))) ≤ ((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)))
12192, 88, 24, 120leadd1dd 10895 . . . . 5 (𝜑 → ((abs‘((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷))) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) ≤ (((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)))
12286, 93, 89, 94, 121letrd 10448 . . . 4 (𝜑 → (abs‘(((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) − ∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) ≤ (((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)))
12386, 89, 91, 122lediv1dd 12128 . . 3 (𝜑 → ((abs‘(((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) − ∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / 𝑅) ≤ ((((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / 𝑅))
12430ltp1d 11208 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) < ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1))
1254, 30, 31, 40, 124lelttrd 10449 . . . . . 6 (𝜑 → 0 < ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1))
126125gt0ne0d 10846 . . . . 5 (𝜑 → ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1) ≠ 0)
12789, 31, 126redivcld 11107 . . . 4 (𝜑 → ((((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) ∈ ℝ)
12830, 40ge0p1rpd 12100 . . . . 5 (𝜑 → ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1) ∈ ℝ+)
1298eqcomi 2774 . . . . . . . 8 (abs‘𝐴) = 𝑋
13012eqcomi 2774 . . . . . . . 8 (abs‘𝐶) = 𝑌
131129, 130oveq12i 6854 . . . . . . 7 ((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)) = (𝑋 + 𝑌)
13217eqcomi 2774 . . . . . . 7 (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥) = 𝑍
133131, 132oveq12i 6854 . . . . . 6 (((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) = ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍)
13439, 133syl6breqr 4851 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ (((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)))
135128, 91, 89, 134, 43lediv2ad 12092 . . . 4 (𝜑 → ((((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / 𝑅) ≤ ((((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)))
136133oveq1i 6852 . . . . 5 ((((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) = (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1))
137 oveq1 6849 . . . . . . . . 9 (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0 → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) = (0 / ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)))
138137adantl 473 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) = (0 / ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)))
13930recnd 10322 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) ∈ ℂ)
1405recnd 10322 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
141139, 140addcld 10313 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1) ∈ ℂ)
142141adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1) ∈ ℂ)
143 oveq1 6849 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0 → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) = (0 / 𝐸))
144143adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) = (0 / 𝐸))
14527rpcnd 12072 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐸 ∈ ℂ)
146145adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → 𝐸 ∈ ℂ)
14729adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → 𝐸 ≠ 0)
148146, 147div0d 11054 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → (0 / 𝐸) = 0)
149144, 148eqtrd 2799 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) = 0)
150149oveq1d 6857 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1) = (0 + 1))
151 0p1e1 11401 . . . . . . . . . . 11 (0 + 1) = 1
152150, 151syl6eq 2815 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1) = 1)
153 ax-1ne0 10258 . . . . . . . . . . 11 1 ≠ 0
154153a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → 1 ≠ 0)
155152, 154eqnetrd 3004 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1) ≠ 0)
156142, 155div0d 11054 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → (0 / ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) = 0)
157138, 156eqtrd 2799 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) = 0)
15827rpgt0d 12073 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 < 𝐸)
159158adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → 0 < 𝐸)
160157, 159eqbrtrd 4831 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) < 𝐸)
16126adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) ∈ ℝ)
16227adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → 𝐸 ∈ ℝ+)
16339adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → 0 ≤ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍))
164 neqne 2945 . . . . . . . . . . . 12 (¬ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0 → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) ≠ 0)
165164adantl 473 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) ≠ 0)
166161, 163, 165ne0gt0d 10428 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → 0 < ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍))
167161, 166elrpd 12067 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) ∈ ℝ+)
168167, 162rpdivcld 12087 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) ∈ ℝ+)
169 1rp 12032 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ+
170169a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → 1 ∈ ℝ+)
171168, 170rpaddcld 12085 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1) ∈ ℝ+)
172124adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) < ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1))
173161, 162, 171, 172ltdiv23d 12137 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) < 𝐸)
174160, 173pm2.61dan 847 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) < 𝐸)
175136, 174syl5eqbr 4844 . . . 4 (𝜑 → ((((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) < 𝐸)
17690, 127, 28, 135, 175lelttrd 10449 . . 3 (𝜑 → ((((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / 𝑅) < 𝐸)
17787, 90, 28, 123, 176lelttrd 10449 . 2 (𝜑 → ((abs‘(((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) − ∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / 𝑅) < 𝐸)
17885, 177eqbrtrd 4831 1 (𝜑 → (abs‘(((𝐴 · -(𝐵 / 𝑅)) − (𝐶 · -(𝐷 / 𝑅))) − ∫𝐼(𝐹 · -(𝐺 / 𝑅)) d𝑥)) < 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937   class class class wbr 4809  cmpt 4888  cfv 6068  (class class class)co 6842  cc 10187  cr 10188  0cc0 10189  1c1 10190   + caddc 10192   · cmul 10194   < clt 10328  cle 10329  cmin 10520  -cneg 10521   / cdiv 10938  +crp 12028  abscabs 14259  𝐿1cibl 23675  citg 23676
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-inf2 8753  ax-cc 9510  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267  ax-addf 10268  ax-mulf 10269
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-iin 4679  df-disj 4778  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-se 5237  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-isom 6077  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-of 7095  df-ofr 7096  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-supp 7498  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-2o 7765  df-oadd 7768  df-omul 7769  df-er 7947  df-map 8062  df-pm 8063  df-ixp 8114  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-fsupp 8483  df-fi 8524  df-sup 8555  df-inf 8556  df-oi 8622  df-card 9016  df-acn 9019  df-cda 9243  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-4 11337  df-5 11338  df-6 11339  df-7 11340  df-8 11341  df-9 11342  df-n0 11539  df-z 11625  df-dec 11741  df-uz 11887  df-q 11990  df-rp 12029  df-xneg 12146  df-xadd 12147  df-xmul 12148  df-ioo 12381  df-ioc 12382  df-ico 12383  df-icc 12384  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-mod 12877  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14124  df-re 14125  df-im 14126  df-sqrt 14260  df-abs 14261  df-clim 14504  df-rlim 14505  df-sum 14702  df-struct 16132  df-ndx 16133  df-slot 16134  df-base 16136  df-sets 16137  df-ress 16138  df-plusg 16227  df-mulr 16228  df-starv 16229  df-sca 16230  df-vsca 16231  df-ip 16232  df-tset 16233  df-ple 16234  df-ds 16236  df-unif 16237  df-hom 16238  df-cco 16239  df-rest 16349  df-topn 16350  df-0g 16368  df-gsum 16369  df-topgen 16370  df-pt 16371  df-prds 16374  df-xrs 16428  df-qtop 16433  df-imas 16434  df-xps 16436  df-mre 16512  df-mrc 16513  df-acs 16515  df-mgm 17508  df-sgrp 17550  df-mnd 17561  df-submnd 17602  df-mulg 17808  df-cntz 18013  df-cmn 18461  df-psmet 20011  df-xmet 20012  df-met 20013  df-bl 20014  df-mopn 20015  df-cnfld 20020  df-top 20978  df-topon 20995  df-topsp 21017  df-bases 21030  df-cn 21311  df-cnp 21312  df-cmp 21470  df-tx 21645  df-hmeo 21838  df-xms 22404  df-ms 22405  df-tms 22406  df-cncf 22960  df-ovol 23522  df-vol 23523  df-mbf 23677  df-itg1 23678  df-itg2 23679  df-ibl 23680  df-itg 23681  df-0p 23728
This theorem is referenced by:  fourierdlem47  41007
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