Theorem fourierdlem30 46138

Description: Sum of three small pieces is less than ε. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem30.ibl	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝐹 · -𝐺)) ∈ 𝐿1)
fourierlemreimleblemlte22.f	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐹 ∈ ℂ)
fourierdlem30.g	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐺 ∈ ℂ)
fourierdlem30.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
fourierdlem30.x	⊢ 𝑋 = (abs‘𝐴)
fourierdlem30.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
fourierdlem30.y	⊢ 𝑌 = (abs‘𝐶)
fourierdlem30.z	⊢ 𝑍 = (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)
fourierdlem30.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
fourierdlem30.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ)
fourierdlem30.ler	⊢ (𝜑 → ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1) ≤ 𝑅)
fourierdlem30.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
fourierdlem30.12	⊢ (𝜑 → (abs‘𝐵) ≤ 1)
fourierdlem30.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
fourierdlem30.14	⊢ (𝜑 → (abs‘𝐷) ≤ 1)

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem30	⊢ (𝜑 → (abs‘(((𝐴 · -(𝐵 / 𝑅)) − (𝐶 · -(𝐷 / 𝑅))) − ∫𝐼(𝐹 · -(𝐺 / 𝑅)) d𝑥)) < 𝐸)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐼   𝑥,𝑅   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝐸(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝑋(𝑥)   𝑌(𝑥)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem fourierdlem30

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem30.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
2		fourierdlem30.r	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ)
3	2	recnd 11162	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℂ)
4		0red 11137	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
5		1red 11135	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
6		0lt1 11661	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 < 1
7	6	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 < 1)
8		fourierdlem30.x	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝑋 = (abs‘𝐴)
9		fourierdlem30.a	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
10	9	abscld 15365	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
11	8, 10	eqeltrid 2832	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
12		fourierdlem30.y	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝑌 = (abs‘𝐶)
13		fourierdlem30.c	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
14	13	abscld 15365	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
15	12, 14	eqeltrid 2832	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
16	11, 15	readdcld 11163	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ ℝ)
17		fourierdlem30.z	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝑍 = (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)
18		fourierlemreimleblemlte22.f	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐹 ∈ ℂ)
19		fourierdlem30.g	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐺 ∈ ℂ)
20	19	negcld 11481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → -𝐺 ∈ ℂ)
21	18, 20	mulcld 11154	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐹 · -𝐺) ∈ ℂ)
22		fourierdlem30.ibl	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝐹 · -𝐺)) ∈ 𝐿1)
23	21, 22	itgcl 25702	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥 ∈ ℂ)
24	23	abscld 15365	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥) ∈ ℝ)
25	17, 24	eqeltrid 2832	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ ℝ)
26	16, 25	readdcld 11163	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) ∈ ℝ)
27		fourierdlem30.e	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
28	27	rpred 12956	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
29	27	rpne0d 12961	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ≠ 0)
30	26, 28, 29	redivcld 11971	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) ∈ ℝ)
31	30, 5	readdcld 11163	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1) ∈ ℝ)
32	9	absge0d 15373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝐴))
33	32, 8	breqtrrdi 5137	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑋)
34	13	absge0d 15373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝐶))
35	34, 12	breqtrrdi 5137	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑌)
36	11, 15, 33, 35	addge0d 11715	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑋 + 𝑌))
37	23	absge0d 15373	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥))
38	37, 17	breqtrrdi 5137	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑍)
39	16, 25, 36, 38	addge0d 11715	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍))
40	26, 27, 39	divge0d 12996	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸))
41	5, 30	addge02d 11728	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) ↔ 1 ≤ ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)))
42	40, 41	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1))
43		fourierdlem30.ler	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1) ≤ 𝑅)
44	5, 31, 2, 42, 43	letrd 11292	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝑅)
45	4, 5, 2, 7, 44	ltletrd 11295	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑅)
46	45	gt0ne0d 11703	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ≠ 0)
47	1, 3, 46	divnegd 11932	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → -(𝐵 / 𝑅) = (-𝐵 / 𝑅))
48	47	oveq2d 7369	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · -(𝐵 / 𝑅)) = (𝐴 · (-𝐵 / 𝑅)))
49	1	negcld 11481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → -𝐵 ∈ ℂ)
50	9, 49, 3, 46	divassd 11954	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · -𝐵) / 𝑅) = (𝐴 · (-𝐵 / 𝑅)))
51	48, 50	eqtr4d 2767	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · -(𝐵 / 𝑅)) = ((𝐴 · -𝐵) / 𝑅))
52		fourierdlem30.d	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
53	52, 3, 46	divnegd 11932	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → -(𝐷 / 𝑅) = (-𝐷 / 𝑅))
54	53	oveq2d 7369	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · -(𝐷 / 𝑅)) = (𝐶 · (-𝐷 / 𝑅)))
55	52	negcld 11481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → -𝐷 ∈ ℂ)
56	13, 55, 3, 46	divassd 11954	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · -𝐷) / 𝑅) = (𝐶 · (-𝐷 / 𝑅)))
57	54, 56	eqtr4d 2767	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · -(𝐷 / 𝑅)) = ((𝐶 · -𝐷) / 𝑅))
58	51, 57	oveq12d 7371	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · -(𝐵 / 𝑅)) − (𝐶 · -(𝐷 / 𝑅))) = (((𝐴 · -𝐵) / 𝑅) − ((𝐶 · -𝐷) / 𝑅)))
59	9, 49	mulcld 11154	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · -𝐵) ∈ ℂ)
60	13, 55	mulcld 11154	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · -𝐷) ∈ ℂ)
61	59, 60, 3, 46	divsubdird 11958	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) / 𝑅) = (((𝐴 · -𝐵) / 𝑅) − ((𝐶 · -𝐷) / 𝑅)))
62	58, 61	eqtr4d 2767	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · -(𝐵 / 𝑅)) − (𝐶 · -(𝐷 / 𝑅))) = (((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) / 𝑅))
63	3, 46	reccld 11912	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝑅) ∈ ℂ)
64	63, 21, 22	itgmulc2 25752	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1 / 𝑅) · ∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥) = ∫𝐼((1 / 𝑅) · (𝐹 · -𝐺)) d𝑥)
65	23, 3, 46	divrec2d 11923	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥 / 𝑅) = ((1 / 𝑅) · ∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥))
66	3	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ ℂ)
67	46	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑅 ≠ 0)
68	19, 66, 67	divnegd 11932	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → -(𝐺 / 𝑅) = (-𝐺 / 𝑅))
69	68	oveq2d 7369	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐹 · -(𝐺 / 𝑅)) = (𝐹 · (-𝐺 / 𝑅)))
70	18, 20, 66, 67	divassd 11954	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝐹 · -𝐺) / 𝑅) = (𝐹 · (-𝐺 / 𝑅)))
71	21, 66, 67	divrec2d 11923	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝐹 · -𝐺) / 𝑅) = ((1 / 𝑅) · (𝐹 · -𝐺)))
72	69, 70, 71	3eqtr2d 2770	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐹 · -(𝐺 / 𝑅)) = ((1 / 𝑅) · (𝐹 · -𝐺)))
73	72	itgeq2dv 25700	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∫𝐼(𝐹 · -(𝐺 / 𝑅)) d𝑥 = ∫𝐼((1 / 𝑅) · (𝐹 · -𝐺)) d𝑥)
74	64, 65, 73	3eqtr4rd 2775	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∫𝐼(𝐹 · -(𝐺 / 𝑅)) d𝑥 = (∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥 / 𝑅))
75	62, 74	oveq12d 7371	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · -(𝐵 / 𝑅)) − (𝐶 · -(𝐷 / 𝑅))) − ∫𝐼(𝐹 · -(𝐺 / 𝑅)) d𝑥) = ((((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) / 𝑅) − (∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥 / 𝑅)))
76	59, 60	subcld 11494	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) ∈ ℂ)
77	76, 23, 3, 46	divsubdird 11958	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) − ∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥) / 𝑅) = ((((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) / 𝑅) − (∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥 / 𝑅)))
78	75, 77	eqtr4d 2767	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · -(𝐵 / 𝑅)) − (𝐶 · -(𝐷 / 𝑅))) − ∫𝐼(𝐹 · -(𝐺 / 𝑅)) d𝑥) = ((((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) − ∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥) / 𝑅))
79	78	fveq2d 6830	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘(((𝐴 · -(𝐵 / 𝑅)) − (𝐶 · -(𝐷 / 𝑅))) − ∫𝐼(𝐹 · -(𝐺 / 𝑅)) d𝑥)) = (abs‘((((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) − ∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥) / 𝑅)))
80	76, 23	subcld 11494	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) − ∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥) ∈ ℂ)
81	80, 3, 46	absdivd 15384	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘((((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) − ∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥) / 𝑅)) = ((abs‘(((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) − ∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / (abs‘𝑅)))
82	4, 2, 45	ltled 11283	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑅)
83	2, 82	absidd 15349	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑅) = 𝑅)
84	83	oveq2d 7369	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) − ∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / (abs‘𝑅)) = ((abs‘(((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) − ∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / 𝑅))
85	79, 81, 84	3eqtrd 2768	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘(((𝐴 · -(𝐵 / 𝑅)) − (𝐶 · -(𝐷 / 𝑅))) − ∫𝐼(𝐹 · -(𝐺 / 𝑅)) d𝑥)) = ((abs‘(((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) − ∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / 𝑅))
86	80	abscld 15365	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘(((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) − ∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) ∈ ℝ)
87	86, 2, 46	redivcld 11971	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) − ∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / 𝑅) ∈ ℝ)
88	10, 14	readdcld 11163	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)) ∈ ℝ)
89	88, 24	readdcld 11163	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) ∈ ℝ)
90	89, 2, 46	redivcld 11971	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / 𝑅) ∈ ℝ)
91	2, 45	elrpd 12953	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
92	76	abscld 15365	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷))) ∈ ℝ)
93	92, 24	readdcld 11163	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷))) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) ∈ ℝ)
94	76, 23	abs2dif2d 15387	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘(((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) − ∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) ≤ ((abs‘((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷))) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)))
95	59	abscld 15365	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 · -𝐵)) ∈ ℝ)
96	60	abscld 15365	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐶 · -𝐷)) ∈ ℝ)
97	95, 96	readdcld 11163	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐴 · -𝐵)) + (abs‘(𝐶 · -𝐷))) ∈ ℝ)
98	59, 60	abs2dif2d 15387	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷))) ≤ ((abs‘(𝐴 · -𝐵)) + (abs‘(𝐶 · -𝐷))))
99	9, 49	absmuld 15383	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 · -𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (abs‘-𝐵)))
100	49	abscld 15365	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (abs‘-𝐵) ∈ ℝ)
101	1	absnegd 15378	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (abs‘-𝐵) = (abs‘𝐵))
102		fourierdlem30.12	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐵) ≤ 1)
103	101, 102	eqbrtrd 5117	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (abs‘-𝐵) ≤ 1)
104	100, 5, 10, 32, 103	lemul2ad 12084	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐴) · (abs‘-𝐵)) ≤ ((abs‘𝐴) · 1))
105	10	recnd 11162	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
106	105	mulridd 11151	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐴) · 1) = (abs‘𝐴))
107	104, 106	breqtrd 5121	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐴) · (abs‘-𝐵)) ≤ (abs‘𝐴))
108	99, 107	eqbrtrd 5117	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 · -𝐵)) ≤ (abs‘𝐴))
109	13, 55	absmuld 15383	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐶 · -𝐷)) = ((abs‘𝐶) · (abs‘-𝐷)))
110	55	abscld 15365	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (abs‘-𝐷) ∈ ℝ)
111	52	absnegd 15378	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (abs‘-𝐷) = (abs‘𝐷))
112		fourierdlem30.14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐷) ≤ 1)
113	111, 112	eqbrtrd 5117	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (abs‘-𝐷) ≤ 1)
114	110, 5, 14, 34, 113	lemul2ad 12084	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐶) · (abs‘-𝐷)) ≤ ((abs‘𝐶) · 1))
115	14	recnd 11162	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ ℂ)
116	115	mulridd 11151	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐶) · 1) = (abs‘𝐶))
117	114, 116	breqtrd 5121	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐶) · (abs‘-𝐷)) ≤ (abs‘𝐶))
118	109, 117	eqbrtrd 5117	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐶 · -𝐷)) ≤ (abs‘𝐶))
119	95, 96, 10, 14, 108, 118	le2addd 11758	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐴 · -𝐵)) + (abs‘(𝐶 · -𝐷))) ≤ ((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)))
120	92, 97, 88, 98, 119	letrd 11292	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷))) ≤ ((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)))
121	92, 88, 24, 120	leadd1dd 11753	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷))) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) ≤ (((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)))
122	86, 93, 89, 94, 121	letrd 11292	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘(((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) − ∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) ≤ (((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)))
123	86, 89, 91, 122	lediv1dd 13014	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) − ∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / 𝑅) ≤ ((((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / 𝑅))
124	30	ltp1d 12074	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) < ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1))
125	4, 30, 31, 40, 124	lelttrd 11293	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 < ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1))
126	125	gt0ne0d 11703	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1) ≠ 0)
127	89, 31, 126	redivcld 11971	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) ∈ ℝ)
128	30, 40	ge0p1rpd 12986	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1) ∈ ℝ+)
129	8	eqcomi 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (abs‘𝐴) = 𝑋
130	12	eqcomi 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (abs‘𝐶) = 𝑌
131	129, 130	oveq12i 7365	. . . . . . 7 ⊢ ((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)) = (𝑋 + 𝑌)
132	17	eqcomi 2738	. . . . . . 7 ⊢ (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥) = 𝑍
133	131, 132	oveq12i 7365	. . . . . 6 ⊢ (((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) = ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍)
134	39, 133	breqtrrdi 5137	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)))
135	128, 91, 89, 134, 43	lediv2ad 12978	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / 𝑅) ≤ ((((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)))
136	133	oveq1i 7363	. . . . 5 ⊢ ((((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) = (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1))
137		oveq1 7360	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0 → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) = (0 / ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)))
138	137	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) = (0 / ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)))
139	30	recnd 11162	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) ∈ ℂ)
140	5	recnd 11162	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
141	139, 140	addcld 11153	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1) ∈ ℂ)
142	141	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1) ∈ ℂ)
143		oveq1 7360	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0 → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) = (0 / 𝐸))
144	143	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) = (0 / 𝐸))
145	27	rpcnd 12958	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
146	145	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → 𝐸 ∈ ℂ)
147	29	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → 𝐸 ≠ 0)
148	146, 147	div0d 11918	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → (0 / 𝐸) = 0)
149	144, 148	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) = 0)
150	149	oveq1d 7368	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1) = (0 + 1))
151		0p1e1 12264	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 + 1) = 1
152	150, 151	eqtrdi 2780	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1) = 1)
153		ax-1ne0 11097	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ≠ 0
154	153	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → 1 ≠ 0)
155	152, 154	eqnetrd 2992	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1) ≠ 0)
156	142, 155	div0d 11918	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → (0 / ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) = 0)
157	138, 156	eqtrd 2764	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) = 0)
158	27	rpgt0d 12959	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐸)
159	158	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → 0 < 𝐸)
160	157, 159	eqbrtrd 5117	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) < 𝐸)
161	26	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) ∈ ℝ)
162	27	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → 𝐸 ∈ ℝ+)
163	39	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → 0 ≤ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍))
164		neqne 2933	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0 → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) ≠ 0)
165	164	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) ≠ 0)
166	161, 163, 165	ne0gt0d 11272	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → 0 < ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍))
167	161, 166	elrpd 12953	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) ∈ ℝ+)
168	167, 162	rpdivcld 12973	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) ∈ ℝ+)
169		1rp 12916	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ+
170	169	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → 1 ∈ ℝ+)
171	168, 170	rpaddcld 12971	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1) ∈ ℝ+)
172	124	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) < ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1))
173	161, 162, 171, 172	ltdiv23d 13023	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) < 𝐸)
174	160, 173	pm2.61dan 812	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) < 𝐸)
175	136, 174	eqbrtrid 5130	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) < 𝐸)
176	90, 127, 28, 135, 175	lelttrd 11293	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / 𝑅) < 𝐸)
177	87, 90, 28, 123, 176	lelttrd 11293	. 2 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) − ∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / 𝑅) < 𝐸)
178	85, 177	eqbrtrd 5117	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘(((𝐴 · -(𝐵 / 𝑅)) − (𝐶 · -(𝐷 / 𝑅))) − ∫𝐼(𝐹 · -(𝐺 / 𝑅)) d𝑥)) < 𝐸)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   class class class wbr 5095   ↦ cmpt 5176  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  ℂcc 11026  ℝcr 11027  0cc0 11028  1c1 11029   + caddc 11031   · cmul 11033   < clt 11168   ≤ cle 11169   − cmin 11366  -cneg 11367   / cdiv 11796  ℝ⁺crp 12912  abscabs 15160  𝐿¹cibl 25535  ∫citg 25536

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-inf2 9556  ax-cc 10348  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106  ax-addf 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-iin 4947  df-disj 5063  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-of 7617  df-ofr 7618  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-oadd 8399  df-omul 8400  df-er 8632  df-map 8762  df-pm 8763  df-ixp 8832  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fsupp 9271  df-fi 9320  df-sup 9351  df-inf 9352  df-oi 9421  df-dju 9816  df-card 9854  df-acn 9857  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-4 12212  df-5 12213  df-6 12214  df-7 12215  df-8 12216  df-9 12217  df-n0 12404  df-z 12491  df-dec 12611  df-uz 12755  df-q 12869  df-rp 12913  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13271  df-ioc 13272  df-ico 13273  df-icc 13274  df-fz 13430  df-fzo 13577  df-fl 13715  df-mod 13793  df-seq 13928  df-exp 13988  df-hash 14257  df-cj 15025  df-re 15026  df-im 15027  df-sqrt 15161  df-abs 15162  df-clim 15414  df-rlim 15415  df-sum 15613  df-struct 17077  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17140  df-ress 17161  df-plusg 17193  df-mulr 17194  df-starv 17195  df-sca 17196  df-vsca 17197  df-ip 17198  df-tset 17199  df-ple 17200  df-ds 17202  df-unif 17203  df-hom 17204  df-cco 17205  df-rest 17345  df-topn 17346  df-0g 17364  df-gsum 17365  df-topgen 17366  df-pt 17367  df-prds 17370  df-xrs 17425  df-qtop 17430  df-imas 17431  df-xps 17433  df-mre 17507  df-mrc 17508  df-acs 17510  df-mgm 18533  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-submnd 18677  df-mulg 18966  df-cntz 19215  df-cmn 19680  df-psmet 21272  df-xmet 21273  df-met 21274  df-bl 21275  df-mopn 21276  df-cnfld 21281  df-top 22798  df-topon 22815  df-topsp 22837  df-bases 22850  df-cn 23131  df-cnp 23132  df-cmp 23291  df-tx 23466  df-hmeo 23659  df-xms 24225  df-ms 24226  df-tms 24227  df-cncf 24788  df-ovol 25382  df-vol 25383  df-mbf 25537  df-itg1 25538  df-itg2 25539  df-ibl 25540  df-itg 25541  df-0p 25588

This theorem is referenced by:  fourierdlem47  46154