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Theorem fourierdlem30 44368
Description: Sum of three small pieces is less than ε. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem30.ibl (𝜑 → (𝑥𝐼 ↦ (𝐹 · -𝐺)) ∈ 𝐿1)
fourierlemreimleblemlte22.f ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐹 ∈ ℂ)
fourierdlem30.g ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐺 ∈ ℂ)
fourierdlem30.a (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
fourierdlem30.x 𝑋 = (abs‘𝐴)
fourierdlem30.c (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
fourierdlem30.y 𝑌 = (abs‘𝐶)
fourierdlem30.z 𝑍 = (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)
fourierdlem30.e (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
fourierdlem30.r (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
fourierdlem30.ler (𝜑 → ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1) ≤ 𝑅)
fourierdlem30.b (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
fourierdlem30.12 (𝜑 → (abs‘𝐵) ≤ 1)
fourierdlem30.d (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
fourierdlem30.14 (𝜑 → (abs‘𝐷) ≤ 1)
Assertion
Ref Expression
fourierdlem30 (𝜑 → (abs‘(((𝐴 · -(𝐵 / 𝑅)) − (𝐶 · -(𝐷 / 𝑅))) − ∫𝐼(𝐹 · -(𝐺 / 𝑅)) d𝑥)) < 𝐸)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐼   𝑥,𝑅   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝐸(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝑋(𝑥)   𝑌(𝑥)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem fourierdlem30
StepHypRef Expression
1 fourierdlem30.b . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
2 fourierdlem30.r . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
32recnd 11183 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑅 ∈ ℂ)
4 0red 11158 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
5 1red 11156 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
6 0lt1 11677 . . . . . . . . . . . . . 14 0 < 1
76a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 < 1)
8 fourierdlem30.x . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑋 = (abs‘𝐴)
9 fourierdlem30.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
109abscld 15321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
118, 10eqeltrid 2842 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
12 fourierdlem30.y . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑌 = (abs‘𝐶)
13 fourierdlem30.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
1413abscld 15321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
1512, 14eqeltrid 2842 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
1611, 15readdcld 11184 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ ℝ)
17 fourierdlem30.z . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑍 = (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)
18 fourierlemreimleblemlte22.f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐹 ∈ ℂ)
19 fourierdlem30.g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐺 ∈ ℂ)
2019negcld 11499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥𝐼) → -𝐺 ∈ ℂ)
2118, 20mulcld 11175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝐹 · -𝐺) ∈ ℂ)
22 fourierdlem30.ibl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝑥𝐼 ↦ (𝐹 · -𝐺)) ∈ 𝐿1)
2321, 22itgcl 25148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥 ∈ ℂ)
2423abscld 15321 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥) ∈ ℝ)
2517, 24eqeltrid 2842 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑍 ∈ ℝ)
2616, 25readdcld 11184 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) ∈ ℝ)
27 fourierdlem30.e . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
2827rpred 12957 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
2927rpne0d 12962 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐸 ≠ 0)
3026, 28, 29redivcld 11983 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) ∈ ℝ)
3130, 5readdcld 11184 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1) ∈ ℝ)
329absge0d 15329 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝐴))
3332, 8breqtrrdi 5147 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → 0 ≤ 𝑋)
3413absge0d 15329 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝐶))
3534, 12breqtrrdi 5147 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → 0 ≤ 𝑌)
3611, 15, 33, 35addge0d 11731 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 0 ≤ (𝑋 + 𝑌))
3723absge0d 15329 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → 0 ≤ (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥))
3837, 17breqtrrdi 5147 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 0 ≤ 𝑍)
3916, 25, 36, 38addge0d 11731 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 0 ≤ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍))
4026, 27, 39divge0d 12997 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 0 ≤ (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸))
415, 30addge02d 11744 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (0 ≤ (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) ↔ 1 ≤ ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)))
4240, 41mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 1 ≤ ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1))
43 fourierdlem30.ler . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1) ≤ 𝑅)
445, 31, 2, 42, 43letrd 11312 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 1 ≤ 𝑅)
454, 5, 2, 7, 44ltletrd 11315 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 < 𝑅)
4645gt0ne0d 11719 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑅 ≠ 0)
471, 3, 46divnegd 11944 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → -(𝐵 / 𝑅) = (-𝐵 / 𝑅))
4847oveq2d 7373 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 · -(𝐵 / 𝑅)) = (𝐴 · (-𝐵 / 𝑅)))
491negcld 11499 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → -𝐵 ∈ ℂ)
509, 49, 3, 46divassd 11966 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐴 · -𝐵) / 𝑅) = (𝐴 · (-𝐵 / 𝑅)))
5148, 50eqtr4d 2779 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 · -(𝐵 / 𝑅)) = ((𝐴 · -𝐵) / 𝑅))
52 fourierdlem30.d . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
5352, 3, 46divnegd 11944 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → -(𝐷 / 𝑅) = (-𝐷 / 𝑅))
5453oveq2d 7373 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐶 · -(𝐷 / 𝑅)) = (𝐶 · (-𝐷 / 𝑅)))
5552negcld 11499 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → -𝐷 ∈ ℂ)
5613, 55, 3, 46divassd 11966 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐶 · -𝐷) / 𝑅) = (𝐶 · (-𝐷 / 𝑅)))
5754, 56eqtr4d 2779 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐶 · -(𝐷 / 𝑅)) = ((𝐶 · -𝐷) / 𝑅))
5851, 57oveq12d 7375 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴 · -(𝐵 / 𝑅)) − (𝐶 · -(𝐷 / 𝑅))) = (((𝐴 · -𝐵) / 𝑅) − ((𝐶 · -𝐷) / 𝑅)))
599, 49mulcld 11175 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 · -𝐵) ∈ ℂ)
6013, 55mulcld 11175 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐶 · -𝐷) ∈ ℂ)
6159, 60, 3, 46divsubdird 11970 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) / 𝑅) = (((𝐴 · -𝐵) / 𝑅) − ((𝐶 · -𝐷) / 𝑅)))
6258, 61eqtr4d 2779 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴 · -(𝐵 / 𝑅)) − (𝐶 · -(𝐷 / 𝑅))) = (((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) / 𝑅))
633, 46reccld 11924 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 / 𝑅) ∈ ℂ)
6463, 21, 22itgmulc2 25198 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1 / 𝑅) · ∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥) = ∫𝐼((1 / 𝑅) · (𝐹 · -𝐺)) d𝑥)
6523, 3, 46divrec2d 11935 . . . . . . 7 (𝜑 → (∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥 / 𝑅) = ((1 / 𝑅) · ∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥))
663adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑅 ∈ ℂ)
6746adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑅 ≠ 0)
6819, 66, 67divnegd 11944 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐼) → -(𝐺 / 𝑅) = (-𝐺 / 𝑅))
6968oveq2d 7373 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝐹 · -(𝐺 / 𝑅)) = (𝐹 · (-𝐺 / 𝑅)))
7018, 20, 66, 67divassd 11966 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝐹 · -𝐺) / 𝑅) = (𝐹 · (-𝐺 / 𝑅)))
7121, 66, 67divrec2d 11935 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝐹 · -𝐺) / 𝑅) = ((1 / 𝑅) · (𝐹 · -𝐺)))
7269, 70, 713eqtr2d 2782 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝐹 · -(𝐺 / 𝑅)) = ((1 / 𝑅) · (𝐹 · -𝐺)))
7372itgeq2dv 25146 . . . . . . 7 (𝜑 → ∫𝐼(𝐹 · -(𝐺 / 𝑅)) d𝑥 = ∫𝐼((1 / 𝑅) · (𝐹 · -𝐺)) d𝑥)
7464, 65, 733eqtr4rd 2787 . . . . . 6 (𝜑 → ∫𝐼(𝐹 · -(𝐺 / 𝑅)) d𝑥 = (∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥 / 𝑅))
7562, 74oveq12d 7375 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐴 · -(𝐵 / 𝑅)) − (𝐶 · -(𝐷 / 𝑅))) − ∫𝐼(𝐹 · -(𝐺 / 𝑅)) d𝑥) = ((((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) / 𝑅) − (∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥 / 𝑅)))
7659, 60subcld 11512 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) ∈ ℂ)
7776, 23, 3, 46divsubdird 11970 . . . . 5 (𝜑 → ((((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) − ∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥) / 𝑅) = ((((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) / 𝑅) − (∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥 / 𝑅)))
7875, 77eqtr4d 2779 . . . 4 (𝜑 → (((𝐴 · -(𝐵 / 𝑅)) − (𝐶 · -(𝐷 / 𝑅))) − ∫𝐼(𝐹 · -(𝐺 / 𝑅)) d𝑥) = ((((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) − ∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥) / 𝑅))
7978fveq2d 6846 . . 3 (𝜑 → (abs‘(((𝐴 · -(𝐵 / 𝑅)) − (𝐶 · -(𝐷 / 𝑅))) − ∫𝐼(𝐹 · -(𝐺 / 𝑅)) d𝑥)) = (abs‘((((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) − ∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥) / 𝑅)))
8076, 23subcld 11512 . . . 4 (𝜑 → (((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) − ∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥) ∈ ℂ)
8180, 3, 46absdivd 15340 . . 3 (𝜑 → (abs‘((((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) − ∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥) / 𝑅)) = ((abs‘(((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) − ∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / (abs‘𝑅)))
824, 2, 45ltled 11303 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ 𝑅)
832, 82absidd 15307 . . . 4 (𝜑 → (abs‘𝑅) = 𝑅)
8483oveq2d 7373 . . 3 (𝜑 → ((abs‘(((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) − ∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / (abs‘𝑅)) = ((abs‘(((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) − ∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / 𝑅))
8579, 81, 843eqtrd 2780 . 2 (𝜑 → (abs‘(((𝐴 · -(𝐵 / 𝑅)) − (𝐶 · -(𝐷 / 𝑅))) − ∫𝐼(𝐹 · -(𝐺 / 𝑅)) d𝑥)) = ((abs‘(((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) − ∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / 𝑅))
8680abscld 15321 . . . 4 (𝜑 → (abs‘(((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) − ∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) ∈ ℝ)
8786, 2, 46redivcld 11983 . . 3 (𝜑 → ((abs‘(((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) − ∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / 𝑅) ∈ ℝ)
8810, 14readdcld 11184 . . . . 5 (𝜑 → ((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)) ∈ ℝ)
8988, 24readdcld 11184 . . . 4 (𝜑 → (((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) ∈ ℝ)
9089, 2, 46redivcld 11983 . . 3 (𝜑 → ((((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / 𝑅) ∈ ℝ)
912, 45elrpd 12954 . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
9276abscld 15321 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷))) ∈ ℝ)
9392, 24readdcld 11184 . . . . 5 (𝜑 → ((abs‘((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷))) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) ∈ ℝ)
9476, 23abs2dif2d 15343 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘(((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) − ∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) ≤ ((abs‘((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷))) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)))
9559abscld 15321 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘(𝐴 · -𝐵)) ∈ ℝ)
9660abscld 15321 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘(𝐶 · -𝐷)) ∈ ℝ)
9795, 96readdcld 11184 . . . . . . 7 (𝜑 → ((abs‘(𝐴 · -𝐵)) + (abs‘(𝐶 · -𝐷))) ∈ ℝ)
9859, 60abs2dif2d 15343 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷))) ≤ ((abs‘(𝐴 · -𝐵)) + (abs‘(𝐶 · -𝐷))))
999, 49absmuld 15339 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (abs‘(𝐴 · -𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (abs‘-𝐵)))
10049abscld 15321 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (abs‘-𝐵) ∈ ℝ)
1011absnegd 15334 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (abs‘-𝐵) = (abs‘𝐵))
102 fourierdlem30.12 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (abs‘𝐵) ≤ 1)
103101, 102eqbrtrd 5127 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (abs‘-𝐵) ≤ 1)
104100, 5, 10, 32, 103lemul2ad 12095 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((abs‘𝐴) · (abs‘-𝐵)) ≤ ((abs‘𝐴) · 1))
10510recnd 11183 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
106105mulid1d 11172 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((abs‘𝐴) · 1) = (abs‘𝐴))
107104, 106breqtrd 5131 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((abs‘𝐴) · (abs‘-𝐵)) ≤ (abs‘𝐴))
10899, 107eqbrtrd 5127 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘(𝐴 · -𝐵)) ≤ (abs‘𝐴))
10913, 55absmuld 15339 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (abs‘(𝐶 · -𝐷)) = ((abs‘𝐶) · (abs‘-𝐷)))
11055abscld 15321 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (abs‘-𝐷) ∈ ℝ)
11152absnegd 15334 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (abs‘-𝐷) = (abs‘𝐷))
112 fourierdlem30.14 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (abs‘𝐷) ≤ 1)
113111, 112eqbrtrd 5127 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (abs‘-𝐷) ≤ 1)
114110, 5, 14, 34, 113lemul2ad 12095 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((abs‘𝐶) · (abs‘-𝐷)) ≤ ((abs‘𝐶) · 1))
11514recnd 11183 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ ℂ)
116115mulid1d 11172 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((abs‘𝐶) · 1) = (abs‘𝐶))
117114, 116breqtrd 5131 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((abs‘𝐶) · (abs‘-𝐷)) ≤ (abs‘𝐶))
118109, 117eqbrtrd 5127 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘(𝐶 · -𝐷)) ≤ (abs‘𝐶))
11995, 96, 10, 14, 108, 118le2addd 11774 . . . . . . 7 (𝜑 → ((abs‘(𝐴 · -𝐵)) + (abs‘(𝐶 · -𝐷))) ≤ ((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)))
12092, 97, 88, 98, 119letrd 11312 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷))) ≤ ((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)))
12192, 88, 24, 120leadd1dd 11769 . . . . 5 (𝜑 → ((abs‘((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷))) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) ≤ (((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)))
12286, 93, 89, 94, 121letrd 11312 . . . 4 (𝜑 → (abs‘(((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) − ∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) ≤ (((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)))
12386, 89, 91, 122lediv1dd 13015 . . 3 (𝜑 → ((abs‘(((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) − ∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / 𝑅) ≤ ((((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / 𝑅))
12430ltp1d 12085 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) < ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1))
1254, 30, 31, 40, 124lelttrd 11313 . . . . . 6 (𝜑 → 0 < ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1))
126125gt0ne0d 11719 . . . . 5 (𝜑 → ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1) ≠ 0)
12789, 31, 126redivcld 11983 . . . 4 (𝜑 → ((((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) ∈ ℝ)
12830, 40ge0p1rpd 12987 . . . . 5 (𝜑 → ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1) ∈ ℝ+)
1298eqcomi 2745 . . . . . . . 8 (abs‘𝐴) = 𝑋
13012eqcomi 2745 . . . . . . . 8 (abs‘𝐶) = 𝑌
131129, 130oveq12i 7369 . . . . . . 7 ((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)) = (𝑋 + 𝑌)
13217eqcomi 2745 . . . . . . 7 (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥) = 𝑍
133131, 132oveq12i 7369 . . . . . 6 (((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) = ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍)
13439, 133breqtrrdi 5147 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ (((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)))
135128, 91, 89, 134, 43lediv2ad 12979 . . . 4 (𝜑 → ((((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / 𝑅) ≤ ((((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)))
136133oveq1i 7367 . . . . 5 ((((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) = (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1))
137 oveq1 7364 . . . . . . . . 9 (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0 → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) = (0 / ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)))
138137adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) = (0 / ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)))
13930recnd 11183 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) ∈ ℂ)
1405recnd 11183 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
141139, 140addcld 11174 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1) ∈ ℂ)
142141adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1) ∈ ℂ)
143 oveq1 7364 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0 → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) = (0 / 𝐸))
144143adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) = (0 / 𝐸))
14527rpcnd 12959 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐸 ∈ ℂ)
146145adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → 𝐸 ∈ ℂ)
14729adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → 𝐸 ≠ 0)
148146, 147div0d 11930 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → (0 / 𝐸) = 0)
149144, 148eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) = 0)
150149oveq1d 7372 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1) = (0 + 1))
151 0p1e1 12275 . . . . . . . . . . 11 (0 + 1) = 1
152150, 151eqtrdi 2792 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1) = 1)
153 ax-1ne0 11120 . . . . . . . . . . 11 1 ≠ 0
154153a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → 1 ≠ 0)
155152, 154eqnetrd 3011 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1) ≠ 0)
156142, 155div0d 11930 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → (0 / ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) = 0)
157138, 156eqtrd 2776 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) = 0)
15827rpgt0d 12960 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 < 𝐸)
159158adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → 0 < 𝐸)
160157, 159eqbrtrd 5127 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) < 𝐸)
16126adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) ∈ ℝ)
16227adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → 𝐸 ∈ ℝ+)
16339adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → 0 ≤ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍))
164 neqne 2951 . . . . . . . . . . . 12 (¬ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0 → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) ≠ 0)
165164adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) ≠ 0)
166161, 163, 165ne0gt0d 11292 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → 0 < ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍))
167161, 166elrpd 12954 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) ∈ ℝ+)
168167, 162rpdivcld 12974 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) ∈ ℝ+)
169 1rp 12919 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ+
170169a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → 1 ∈ ℝ+)
171168, 170rpaddcld 12972 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1) ∈ ℝ+)
172124adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) < ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1))
173161, 162, 171, 172ltdiv23d 13024 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) < 𝐸)
174160, 173pm2.61dan 811 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) < 𝐸)
175136, 174eqbrtrid 5140 . . . 4 (𝜑 → ((((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) < 𝐸)
17690, 127, 28, 135, 175lelttrd 11313 . . 3 (𝜑 → ((((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / 𝑅) < 𝐸)
17787, 90, 28, 123, 176lelttrd 11313 . 2 (𝜑 → ((abs‘(((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) − ∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / 𝑅) < 𝐸)
17885, 177eqbrtrd 5127 1 (𝜑 → (abs‘(((𝐴 · -(𝐵 / 𝑅)) − (𝐶 · -(𝐷 / 𝑅))) − ∫𝐼(𝐹 · -(𝐺 / 𝑅)) d𝑥)) < 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943   class class class wbr 5105  cmpt 5188  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385  -cneg 11386   / cdiv 11812  +crp 12915  abscabs 15119  𝐿1cibl 24981  citg 24982
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cc 10371  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-disj 5071  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-ofr 7618  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-oadd 8416  df-omul 8417  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-dju 9837  df-card 9875  df-acn 9878  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ioc 13269  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-cmp 22738  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cncf 24241  df-ovol 24828  df-vol 24829  df-mbf 24983  df-itg1 24984  df-itg2 24985  df-ibl 24986  df-itg 24987  df-0p 25034
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