MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pntlemc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pntlemc 27548
Description: Lemma for pnt 27567. Closure for the constants used in the proof. For comparison with Equation 10.6.27 of [Shapiro], p. 434, 𝑈 is α, 𝐸 is ε, and 𝐾 is K. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pntlem1.r 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
pntlem1.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
pntlem1.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
pntlem1.l (𝜑𝐿 ∈ (0(,)1))
pntlem1.d 𝐷 = (𝐴 + 1)
pntlem1.f 𝐹 = ((1 − (1 / 𝐷)) · ((𝐿 / (32 · 𝐵)) / (𝐷↑2)))
pntlem1.u (𝜑𝑈 ∈ ℝ+)
pntlem1.u2 (𝜑𝑈𝐴)
pntlem1.e 𝐸 = (𝑈 / 𝐷)
pntlem1.k 𝐾 = (exp‘(𝐵 / 𝐸))
Assertion
Ref Expression
pntlemc (𝜑 → (𝐸 ∈ ℝ+𝐾 ∈ ℝ+ ∧ (𝐸 ∈ (0(,)1) ∧ 1 < 𝐾 ∧ (𝑈𝐸) ∈ ℝ+)))
Distinct variable group:   𝐸,𝑎
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎)   𝐴(𝑎)   𝐵(𝑎)   𝐷(𝑎)   𝑅(𝑎)   𝑈(𝑎)   𝐹(𝑎)   𝐾(𝑎)   𝐿(𝑎)

Proof of Theorem pntlemc
StepHypRef Expression
1 pntlem1.e . . 3 𝐸 = (𝑈 / 𝐷)
2 pntlem1.u . . . 4 (𝜑𝑈 ∈ ℝ+)
3 pntlem1.r . . . . . 6 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
4 pntlem1.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
5 pntlem1.b . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
6 pntlem1.l . . . . . 6 (𝜑𝐿 ∈ (0(,)1))
7 pntlem1.d . . . . . 6 𝐷 = (𝐴 + 1)
8 pntlem1.f . . . . . 6 𝐹 = ((1 − (1 / 𝐷)) · ((𝐿 / (32 · 𝐵)) / (𝐷↑2)))
93, 4, 5, 6, 7, 8pntlemd 27547 . . . . 5 (𝜑 → (𝐿 ∈ ℝ+𝐷 ∈ ℝ+𝐹 ∈ ℝ+))
109simp2d 1140 . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ ℝ+)
112, 10rpdivcld 13073 . . 3 (𝜑 → (𝑈 / 𝐷) ∈ ℝ+)
121, 11eqeltrid 2833 . 2 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
13 pntlem1.k . . 3 𝐾 = (exp‘(𝐵 / 𝐸))
145, 12rpdivcld 13073 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵 / 𝐸) ∈ ℝ+)
1514rpred 13056 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 / 𝐸) ∈ ℝ)
1615rpefcld 16089 . . 3 (𝜑 → (exp‘(𝐵 / 𝐸)) ∈ ℝ+)
1713, 16eqeltrid 2833 . 2 (𝜑𝐾 ∈ ℝ+)
1812rpred 13056 . . . 4 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
1912rpgt0d 13059 . . . 4 (𝜑 → 0 < 𝐸)
202rpred 13056 . . . . . . . 8 (𝜑𝑈 ∈ ℝ)
214rpred 13056 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2210rpred 13056 . . . . . . . 8 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
23 pntlem1.u2 . . . . . . . 8 (𝜑𝑈𝐴)
2421ltp1d 12182 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 < (𝐴 + 1))
2524, 7breqtrrdi 5194 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 < 𝐷)
2620, 21, 22, 23, 25lelttrd 11410 . . . . . . 7 (𝜑𝑈 < 𝐷)
2710rpcnd 13058 . . . . . . . 8 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
2827mulridd 11269 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐷 · 1) = 𝐷)
2926, 28breqtrrd 5180 . . . . . 6 (𝜑𝑈 < (𝐷 · 1))
30 1red 11253 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
3120, 30, 10ltdivmuld 13107 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑈 / 𝐷) < 1 ↔ 𝑈 < (𝐷 · 1)))
3229, 31mpbird 256 . . . . 5 (𝜑 → (𝑈 / 𝐷) < 1)
331, 32eqbrtrid 5187 . . . 4 (𝜑𝐸 < 1)
34 0xr 11299 . . . . 5 0 ∈ ℝ*
35 1xr 11311 . . . . 5 1 ∈ ℝ*
36 elioo2 13405 . . . . 5 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → (𝐸 ∈ (0(,)1) ↔ (𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐸𝐸 < 1)))
3734, 35, 36mp2an 690 . . . 4 (𝐸 ∈ (0(,)1) ↔ (𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐸𝐸 < 1))
3818, 19, 33, 37syl3anbrc 1340 . . 3 (𝜑𝐸 ∈ (0(,)1))
39 efgt1 16100 . . . . 5 ((𝐵 / 𝐸) ∈ ℝ+ → 1 < (exp‘(𝐵 / 𝐸)))
4014, 39syl 17 . . . 4 (𝜑 → 1 < (exp‘(𝐵 / 𝐸)))
4140, 13breqtrrdi 5194 . . 3 (𝜑 → 1 < 𝐾)
42 1re 11252 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
43 ltaddrp 13051 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → 1 < (1 + 𝐴))
4442, 4, 43sylancr 585 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 < (1 + 𝐴))
452rpcnne0d 13065 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑈 ∈ ℂ ∧ 𝑈 ≠ 0))
46 divid 11939 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ ℂ ∧ 𝑈 ≠ 0) → (𝑈 / 𝑈) = 1)
4745, 46syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑈 / 𝑈) = 1)
484rpcnd 13058 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
49 ax-1cn 11204 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
50 addcom 11438 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝐴 + 1) = (1 + 𝐴))
5148, 49, 50sylancl 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 + 1) = (1 + 𝐴))
527, 51eqtrid 2780 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 = (1 + 𝐴))
5344, 47, 523brtr4d 5184 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑈 / 𝑈) < 𝐷)
5420, 2, 10, 53ltdiv23d 13123 . . . . 5 (𝜑 → (𝑈 / 𝐷) < 𝑈)
551, 54eqbrtrid 5187 . . . 4 (𝜑𝐸 < 𝑈)
56 difrp 13052 . . . . 5 ((𝐸 ∈ ℝ ∧ 𝑈 ∈ ℝ) → (𝐸 < 𝑈 ↔ (𝑈𝐸) ∈ ℝ+))
5718, 20, 56syl2anc 582 . . . 4 (𝜑 → (𝐸 < 𝑈 ↔ (𝑈𝐸) ∈ ℝ+))
5855, 57mpbid 231 . . 3 (𝜑 → (𝑈𝐸) ∈ ℝ+)
5938, 41, 583jca 1125 . 2 (𝜑 → (𝐸 ∈ (0(,)1) ∧ 1 < 𝐾 ∧ (𝑈𝐸) ∈ ℝ+))
6012, 17, 593jca 1125 1 (𝜑 → (𝐸 ∈ ℝ+𝐾 ∈ ℝ+ ∧ (𝐸 ∈ (0(,)1) ∧ 1 < 𝐾 ∧ (𝑈𝐸) ∈ ℝ+)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2937   class class class wbr 5152  cmpt 5235  cfv 6553  (class class class)co 7426  cc 11144  cr 11145  0cc0 11146  1c1 11147   + caddc 11149   · cmul 11151  *cxr 11285   < clt 11286  cle 11287  cmin 11482   / cdiv 11909  2c2 12305  3c3 12306  cdc 12715  +crp 13014  (,)cioo 13364  cexp 14066  expce 16045  ψcchp 27045
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9672  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-pm 8854  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-sup 9473  df-inf 9474  df-oi 9541  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-rp 13015  df-ioo 13368  df-ico 13370  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-fl 13797  df-seq 14007  df-exp 14067  df-fac 14273  df-bc 14302  df-hash 14330  df-shft 15054  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-limsup 15455  df-clim 15472  df-rlim 15473  df-sum 15673  df-ef 16051
This theorem is referenced by:  pntlema  27549  pntlemb  27550  pntlemg  27551  pntlemh  27552  pntlemq  27554  pntlemr  27555  pntlemj  27556  pntlemi  27557  pntlemf  27558  pntlemo  27560  pntleme  27561  pntlemp  27563
  Copyright terms: Public domain W3C validator